Chơng 1 - Đại số nâng cao 10 Ch ơng I : Tập hợp - mệnh đề Đ1-2 Mệnh đề I - Mục đích, yêu cầu: HS hiểu khái niệm mệnh đề, nắm đợc một số phép toán của mệnh đề: phép phủ định, phép kéo theo, phép tơng đơng. HS nắm đợc khái niệm mệnh đề chứa biến (trọng tâm là mệnh đề chứa một biến), kí hiệu và , phủ định của các mệnh đề chứa các kí hiệu và . II - Tiến trình bài giảng 1) Ph ơng pháp Vấn đáp gợi mở thông qua các hoạt động của t duy 2) Nội dung Đ 1 Mục I IV Hoạt động của GV Hoạt động của HS A - Giảng bài mới: I. Khái niệm mệnh đề: GV nêu khái niệm mệnh đề, nhấn mạnh đặc điểm hoặc "đúng" hoặc "sai" của mệnh đề. Khái niệm: Trong toán học, một mệnh đề là một phát biểu khẳng định một sự kiện nào đó, sao cho khẳng định đó nhận một trong hai giá trị "đúng" hoặc "sai". Mệnh đề đúng gọi là định lý. Ví dụ: Trong các phát biểu sau, đâu là mệnh đề và là mệnh đề "đúng" hay "sai"? 1. Hoà Bình là một tỉnh thuộc vùng Đông Bắc. 2. Số 13 có chia hết cho 7 không? 3. Số 47 là số nguyên tố. 4. a 2 = 9. GV lu ý HS: Phát biểu 4 sẽ trở thành mệnh đề nếu cho a một giá trị cụ thể nên nó đợc gọi là mệnh đề chứa biến. II. Mệnh đề phủ định : GV khẳng định đây là một phép toán trên mệnh đề và nêu khái niệm phủ định của một mệnh đề. HS theo dõi và ghi chép. HS suy nghĩ và trả lời. 1. Là mệnh đề sai. 2. Không là mệnh đề. 3. Là mệnh đề đúng. 4. Không là mệnh đề. Hoạt động của GV Hoạt động của HS THPT Quảng Xơng 3 Chơng 1 - Đại số nâng cao 10 Cho mệnh đề A, mệnh đề A (hay 7A) là hai khẳng định trái ngợc nhau. Nếu A nhận giá trị sai thì A nhận giá trị đúng và ngợc lại. GV nêu ví dụ. Ví dụ: Cho A = "27 không chia hết cho 3". Hãy tìm A . GV yêu cầu HS tự lấy ví dụ. Chú ý: A = A. III. Mệnh đề kéo theo GV nêu hai mệnh đề: A = "Số 47 là số nguyên tố" B = "Số 47 chỉ chia hết cho 1 và 47" thành lập mệnh đề C = "Nếu số 47 là số nguyên tố thì số 47 chỉ chia hết cho 1 và 47"; khẳng định mệnh đề C là mệnh đề kéo theo. GV yêu cầu HS nêu cách thành lập mệnh đề kéo theo dựa vào ví dụ trên. GV chính xác hoá thành định nghĩa. . Mệnh đề kéo theo : Cho hai mệnh đề A và B, ta lập mệnh đề C = "Nếu A thì B", kí hiệu: A B và đọc là A kéo theo B. GV nêu ví dụ. Ví dụ: Cho mệnh đề A = "Số 47 là số nguyên tố" D = "Số 47 chia hết cho 23" Hãy thành lập mệnh đề E = "A D". Nhận xét về tính đúng sai của hai mệnh đề C và E. GV tổng quát thành tính chất chung (lu ý không xét trờng hợp A là mệnh đề sai vì ) Tính chất: Nếu A đúng và B đúng thì A B đúng. Nếu A đúng và B sai thì A B sai. IV Mệnh đề t ơng đ ơng: GV nêu cách thực hiện phép tơng đơng. Cho hai mệnh đề A và B, ta lập mệnh đề C ="A tơng đơng với B", kí hiệu:A B, còn đọc là A khi và chỉ khi B. HS theo dõi và ghi chép. HS giải ví dụ. A = "27 chia hết cho 3" HS lấy ví dụ và giải thích. HS theo dõi ví dụ. HS suy nghĩ và trả lời: dùng liên từ "Nếu thì " để liên kết hai mệnh đề. HS theo dõi và ghi chép. HS suy nghĩ và trả lời. E = "Nếu số 47 là số nguyên tố thì số 47 chia hết cho 23". C là mệnh đề đúng, E là mệnh đề sai. HS theo dõi và ghi chép. HS theo dõi và ghi chép. Hoạt động của GV Hoạt động của HS GV nêu ví dụ. HS suy nghĩ và giải các ví THPT Quảng Xơng 3 Chơng 1 - Đại số nâng cao 10 Ví dụ 1: Cho hai mệnh đề A = "Số 47 là số nguyên tố" B = "Số 47 chỉ chia hết cho 1 và 47" Hãy thành lập mệnh đề A B. Nêu nhận xét về tính đúng - sai của các mệnh đề A B, B A và A B. Ví dụ 2: Cho các mệnh đề A = "ABC đều" B = "ABC có ba góc bằng nhau" C = "ABC có ba góc nhọn". Hãy thành lập và nhận xét về tính đúng - sai của các mệnh đề A B và A C. Từ đó tổng quát thành tính chất chung. GV chính xác hoá. Tính chất: Mệnh đề A B đúng nếu A và B cùng đúng hoặc cùng sai. Đ 2 Mục V VII V. Khái niệm mệnh đề chứa biến. Mệnh đề chứa biến: Ví dụ: Xét phát biểu p(n) = "n chia hết cho 3", n N. Phát biểu đó có phải là mệnh đề không? Vì sao? p(5), p(6) có phải là mệnh đề không? GV khẳng định p(n) đợc gọi là mệnh đề chứa biến và nêu khái niệm chung. Mệnh đề chứa biến là một phát biểu có chứa một hay nhiều biến lấy giá trị trong các tập hợp đã cho; bản thân phát biểu này cha phải là mệnh đề nhng sẽ trở thành mệnh đề khi cho các biến những giá trị cụ thể. VI Kí hiệu phổ biến và kí hiệu tồn tại : GV: ta đã đợc làm quen với các kí hiệu (với mọi) và (tồn tại), các kí hiệu này thờng đợc gắn với các mệnh đề chứa biến, khi đó ta đợc một mệnh đề. a. Kí hiệu phổ biến (với mọi): GV nêu ví dụ. Ví dụ 1: Cho p(n) = "n chia hết cho 3". Nhận xét về tính đúng sai của phát biểu " n N, p(n)" có nghĩa là: " n N, n chia hết cho 3". dụ. *Số 47 là số nguyên tố khi và chỉ khi số 47 chỉ chia hết cho 1 và chính nó. * Là các mệnh đề đúng. * ABC đều khi và chỉ khi ABC có 3 góc bằng nhau (là mđ đúng). * ABC đều khi và chỉ khi ABC có 3 góc nhọn (là mệnh đề sai). HS theo dõi và ghi chép. HS suy nghĩ và trả lời. * Không là mệnh đề, . * Là các mệnh đề. HS theo dõi và ghi chép. HS suy nghĩ và trả lời. VD1: Là phát biểu đúng. Hoạt động của GV Hoạt động của HS THPT Quảng Xơng 3 Chơng 1 - Đại số nâng cao 10 Ví dụ 2: Nhận xét về tính đúng - sai của phát biểu "Mọi HS trong lớp ta đều đã tốt nghiệp THCS". GV yêu cầu HS lấy ví dụ. b. Kí hiệu tồn tại (tồn tại ít nhất một, có ít nhất một): Ví dụ 1: Cho p(n) = "n chia hết cho 3". Nhận xét về tính đúng sai của phát biểu " n N, p(n)" có nghĩa là: " n N, n chia hết cho 3". Ví dụ 2: Nhận xét về tính đúng - sai của phát biểu "Tồn tại HS trong lớp ta cha tốt nghiệp THCS". VII. Phủ định của các mệnh đề chứa các kí hiệu và : GV nêu ví dụ: Ví dụ: Hãy phủ định các mệnh đề sau A = " HS trong lớp ta đều ở thị xã" B = " HS trong lớp ta mặc đồng phục" GV chính xác hoá: A = " HS trong lớp ta không ở thị xã" B = " HS trong lớp ta không mặc đồng phục" GV yêu cầu HS tổng quát hoá. Tổng quát: * Phủ định của mệnh đề " x X, x có tính chất P" là mệnh đề " x X, x không có tính chất P". * Phủ định của mệnh đề " x X, x có tính chất P" là mệnh đề " x X, x không có tính chất P". B - Luyện tập, củng cố: GV yêu cầu HS: Nêu hai phát biểu trong đó có một phát biểu là mệnh đề và một phát biểu không là mệnh đề. Hãy lấy một mệnh đề chứa kí hiệu và một mệnh đề chứa kí hiệu rồi phủ định chúng. VD2: Là phát biểu sai. HS lấy ví dụ và phân tích. HS suy nghĩ và trả lời. VD1: Là phát biểu đúng. VD2: Là phát biểu đúng. HS nêu các mệnh đề phủ định của A và B. (Lu ý: HS dễ nhầm A = " HS trong lớp ta không ở thị xã" B = " HS trong lớp ta không mặc đồng phục") HS suy nghĩ và tổng quát hoá. HS theo dõi và ghi chép. HS lấy ví dụ để củng cố lý thuyết. C - Chữa bài tập: Đề bài Hớng dẫn - Đáp số Bài 1(9): Trong các phát biểu sau, phát biểu nào là mệnh đề và nếu là mệnh đề thì đúng hay sai. Đề bài Hớng dẫn - Đáp số THPT Quảng Xơng 3 Chơng 1 - Đại số nâng cao 10 a) Số 11 là số chẵn. b) 2x + 3 là một số nguyên dơng. c) Bạn có chăm học không? d) Paris không phải là thủ đô của nớc Pháp. Bài 2 (9). Các mệnh đề sau đây đúng hay sai? Giải thích. a) Hai tam giác bằng nhau chúng có diện tích bằng nhau. b) Hai tam giác bằng nhau chúng đồng dạng và có 1 cạnh bằng nhau. c) Một tam giác là vuông có 1 góc (trong) bằng tổng 2 góc còn lại. d) Một tam giác là tam giác đều nó có hai trung tuyến bằng nhau và có 1 góc bằng 60 0 . Bài 3(9). Các mệnh đề sau đây đúng hay sai? Nếu sai hãy sửa lại cho đúng. a) x R, x > x 2 . b) x R, |x| < 3 x < 3. c) n N, n 2 + 1 không chia hết cho 3. d) a Q, a 2 = 2. Bài 4(9). Xét xem các mệnh đề sau đây đúng hay sai và lập mệnh đề phủ định của mỗi mệnh đề. a) x Q, 4x 2 - 1 = 0. b) n N, n 2 + 1 chia hết cho 4. c) x R, (x - 1) 2 x - 1. d) n N, n 2 > n. a) là mệnh đề sai b) không là mệnh đề. c) không là mệnh đề. e) là mệnh đề sai. a) sai (vẽ hình) b) sai (vẽ hình) c) đúng (chứng minh) d) đúng (chứng minh) a) đúng b) sai, sửa "x R, |x| < 3 -3 < x < 3" c) đúng d) sai, sửa " aQ, a 2 2" a) đúng b) sai c) sai d) sai THPT Quảng Xơng 3 Chơng 1 - Đại số nâng cao 10 Đ 3 - 4 áp dụng mệnh đề vào các suy luận toán học I - Mục đích, yêu cầu: HS nắm đợc thế nào là định lý, điều kiện cần, điều kiện đủ; biết cách thành lập định lý đảo, điều kiện cần và đủ. HS nắm vững phơng pháp chứng minh phản chứng và áp dụng vào bài tập. II - Tiến trình bài giảng 1) Ph ơng pháp Vấn đáp gợi mở thông qua các hoạt động của t duy 2) Nội dung Đ 3 Mục I II Hoạt động của GV Hoạt động của HS A - Kiểm tra bài cũ: GV nêu câu hỏi. Cho hai phát biểu sau: A = "ABC đều" B = "ABC có hai đờng trung tuyến bằng nhau" Hai phát biểu trên có phải là mệnh đề không? A B có phải là mệnh đề không? Nếu có thì đó là mệnh đề đúng hay sai? Chứng minh. B - Giảng bài mới: GV khẳng định: mệnh đề A B ở trên là một định lý. I - Định lý. Điều kiện cần, điều kiện đủ: GV yêu cầu HS nêu: thế nào là một định lý, cách chứng minh một định lý. GV chính xác hoá. * Phần lớn các định lý toán học là những mệnh đề đúng có dạng A B với A, B là mệnh đề. * Cách chứng minh định lý gồm các bớc: 1 0 ) Giả thiết rằng mệnh đề A là đúng. 2 0 ) Dùng suy luận và các kiến thức toán học đã biết, chứng minh mệnh đề B đúng. 3 0 ) Kết luận mệnh đề A B là đúng. HS suy nghĩ và trả lời. A, B, AB là các mệnh đề. A B là mđ sai, . HS suy nghĩ và trả lời. HS theo dõi và ghi chép. Hoạt động của GV Hoạt động của HS THPT Quảng Xơng 3 Chơng 1 - Đại số nâng cao 10 A gọi là giả thiết, B gọi là kết luận của định lý. GV lu ý HS không đợc quên bớc kết luận khi chứng minh định lý cũng nh khi giải bài tập. GV nêu khái niệm điều kiện cần, điều kiện đủ. * Trong định lý A B ta có: + Nếu A đúng thì B đúng và gọi A là một điều kiện đủ để có B. + Nếu B sai thì A sai và gọi B là một điều kiện cần để có A. GV yêu cầu HS sử dụng các thuật ngữ điều kiện cần và điều kiện đủ để phát biểu lại định lý nêu trong phần kiểm tra bài cũ. Từ đó nhận xét: vai trò của điều kiện cần và điều kiện đủ có thể thay thế cho nhau đợc không? II. Định lý đảo. Điều kiện cần và đủ: GV nêu khái niệm mệnh đề đảo, định lý đảo. * Cho định lý A B. Mệnh đề B A gọi là mệnh đề đảo của mệnh đề A B. Nếu mệnh đề B A đúng thì ta gọi là định lý đảo của định lý A B và A gọi là định lý thuận. * Nếu có đồng thời định lý thuận và định lý đảo thì mệnh đề A B đúng. Ta nói A là điều kiện cần và đủ để có B và ng- ợc lại. GV nêu ví dụ. Ví dụ: Cho các mệnh đề A = "ABC đều" B = "ABC có ba đờng trung tuyến bằng nhau". Hãy xét tính đúng sai của các mệnh đề A B và B A. Hãy phát biểu các định lý sử dụng thuật ngữ "điều kiện cần và đủ". Đ 4 Mục Iii + bài tập HS theo dõi và ghi chép. HS suy nghĩ và trả lời. Ví dụ: + Để ABC có hai đờng trung tuyến bằng nhau, điều kiện đủ là ABC đều. + Để ABC đều, điều kiện cần là ABC có hai đờng trung tuyến bằng nhau. HS theo dõi và ghi chép. HS suy nghĩ và trả lời: đó là các mđ đúng. "ABC đều khi và chỉ khi ABC có ba đờng trung tuyến bằng nhau". HS suy nghĩ và trả lời. THPT Quảng Xơng 3 Chơng 1 - Đại số nâng cao 10 III. Phép chứng minh phản chứng: GV yêu cầu HS nêu cách chứng minh phản chứng (đã đợc làm quen ở các lớp dới). GV nêu các ví dụ và yêu cầu HS áp dụng phép chứng minh phản chứng để chứng minh. HS lấy ví dụ. Hoạt động của GV Hoạt động của HS Ví dụ 1: Chứng minh rằng nếu bình phơng của một số tự nhiên n là một số chẵn thì n cũng là một số chẵn. Ví dụ 2: Chứng minh rằng nếu bỏ 100 viên bi vào 9 hộp thì có ít nhất 1 hộp chứa nhiều hơn 11 viên. C - Củng cố, luyện tập: Hãy chứng minh mệnh đề sau bằng phép chứng minh phản chứng: "Nếu a, b, c là độ dài ba cạnh của một tam giác và thoả mãn a 2 + b 2 > 5c 2 thì c là độ dài cạnh ngắn nhất của tam giác đó". HS chứng minh ví dụ 1. Giả sử n là một số tự nhiên lẻ n = 2k + 1, k N. n 2 = 4k 2 + 4k + 1 là số lẻ, trái giả thiết. Vậy n phải là một số chẵn nếu n 2 chẵn. HS chứng minh ví dụ 2. Giả sử mỗi hộp chứa không quá 11 viên bi tổng số bi trong 9 hộp sẽ không quá 99 viên, mà theo giả thiết có 100 viên. Vậy phải có ít nhất 1 hộp chứa nhiều hơn 11 viên. HS suy nghĩ và trình bày chứng minh. D - Chữa bài tập: Đề bài Hớng dẫn - Đáp số Bài 1(12). Phát biểu các định lý sau, sử dụng khái niệm "điều kiện đủ": a) Trong mặt phẳng, nếu hai đờng thẳng phân biệt cùng vuông góc với một đờng thẳng thứ ba thì hai đờng thẳng ấy song song với nhau. b) Nếu hai tam giác bằng nhau thì chúng có diện tích bằng nhau. c) Nếu một số tự nhiên có chữ số tận cùng là chữ số 5 thì nó chia hết cho 5. d) Nếu a + b > 0 thì một trong hai số a và b phải dơng. a) Trong mặt phẳng, điều kiện đủ để hai đ- ờng thẳng song song với nhau là chúng là hai đờng thẳng phân biệt cùng vuông góc với một đờng thẳng thứ ba. b) Để hai tam giác có diện tích bằng nhau thì một điều kiện đủ là chúng bằng nhau. c) Để một số tự nhiên chia hết cho 5thì một điều kiện đủ là nó có chữ số tận cùng là chữ số 5. d) Để một trong hai số a và b dơng thì một THPT Quảng Xơng 3 Chơng 1 - Đại số nâng cao 10 Bài 2(13). Phát biểu các định lý sau, sử dụng khái niệm "điều kiện cần": a) Nếu hai tam giác bằng nhau thì chúng có các góc tơng ứng bằng nhau. điều kiện đủ là a + b > 0. a) Để hai tam giác bằng nhau thì một điều kiện cần là chúng có các góc tơng ứng bằng nhau. b) Nếu tứ giác T là hình thoi thì nó có hai đ- ờng chéo vuông góc với nhau. c) Nếu một số tự nhiên chia hết cho 6 thì nó chia hết cho 3. d) Nếu a = b thì a 2 = b 2 . Bài 3(13). Hãy sửa lại (nếu cần) các mệnh đề sau đây để đợc mệnh đề đúng: a) Để tứ giác T là một hình vuông, điều kiện cần và đủ là nó có 4 cạnh bằng nhau. b) Để tổng hai số tự nhiên chia hết cho 7, điều kiện cần và đủ là mỗi số đó chia hết cho 7. c) Để ab > 0, điều kiện cần là cả hai số a và b đều dơng. d) Để một số nguyên dơng chia hết cho 3, điều kiện đủ là nó chia hết cho 9. Bài 4(13). Chứng minh các mệnh đề sau là đúng bằng phơng pháp phản chứng: a) Nếu a + b < 2 thì một trong hai số a và b nhỏ hơn 1. b) Một tam giác không phải là tam giác đều thì nó có ít nhất một góc (trong) nhỏ hơn 60 0 . c) Nếu x -1 và y -1 thì x + y + xy -1. b) Để tứ giác T là hình thoi thì một điều kiện cần là nó có hai đờng chéo vuông góc với nhau. c) Để một số tự nhiên chia hết cho 6 thì một điều kiện cần là nó chia hết cho 3. d) Để a = b thì một điều kiện cần là a 2 = b 2 . a) Để tứ giác T là một hình vuông thì một điều kiện cần là nó có 4 cạnh bằng nhau. b) Để tổng hai số tự nhiên chia hết cho 7 thì một điều kiện đủ là mỗi số đó chia hết cho 7. c) Để ab > 0 thì một điều kiện đủ là cả hai số a và b đều dơng. d) Đúng. THPT Quảng Xơng 3 . không quá 11 viên bi tổng số bi trong 9 hộp sẽ không quá 99 viên, mà theo giả thiết có 10 0 viên. Vậy phải có ít nhất 1 hộp chứa nhiều hơn 11 viên. HS. phủ định của mỗi mệnh đề. a) x Q, 4x 2 - 1 = 0. b) n N, n 2 + 1 chia hết cho 4. c) x R, (x - 1) 2 x - 1. d) n N, n 2 > n. a) là mệnh đề sai