BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG  TRẦN THỊ THẮM MỞ RỘNG PHƯƠNG TRÌNH HÀM CAUCHY Chuyên ngành: PHƯƠNG PHÁP TOÁN SƠ CẤP Mã số: 60.46.01.13 TÓM TẮT LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC ĐÀ NẴNG - 2015 Công trình hoàn thành ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG  Người hướng dẫn khoa học: TS.CAO VĂN NUÔI Phản biện 1: PGS TSKH Trần Quốc Chiến Phản biện 2: TS Hoàng Quang Tuyến Luận văn bảo vệ trước Hội đồng chấm Luận văn tốt nghiệp Thạc sĩ khoa học Đại học Đà Nẵng vào ngày 13 tháng 12 năm 2015 Có thể tìm hiểu luận văn tại: - Trung tâm Thông tin – Học liệu, Đại học Đà Nẵng - Thư viện trường Đại học Sư phạm, Đại học Đà Nẵng MỞ ĐẦU Tính cấp thiết đề tài Lý thuyết phương trình hàm lĩnh vực nghiên cứu quan trọng giải tích toán học Việc giải phương trình hàm có lẽ toán lâu đời giải tích Nhu cầu giải phương trình hàm xuất bắt đầu có lý thuyết hàm số, nhiều phương trình hàm xuất phát từ nhu cầu thực tế toán học ngành khoa học khác Phương trình hàm chuyên đề quan trọng chương trình toán trường THPT chuyên Trong kì thi olympic toán quốc gia quốc tế, olympic khu vực, thường xuất dạng toán khác liên quan đến phương trình hàm Để giải ta cần nắm vững lý thuyết mà cần nhiều kỹ Tuy nhiên, nay, học sinh lớp chuyên, lớp chọn biết phương pháp đề giải phương trình hàm Đặc biệt, sách chuyên đề phương trình hàm ứng dụng chúng Các toán phương trình hàm phong phú đa dạng, bao gồm loại phương trình tuyến tính phi tuyến tính, phương trình hàm ẩn hàm phương trình nhiều ẩn hàm, phương trình hàm biến phương trình hàm nhiều biến… Phương trình hàm Cauchy có vai trò quan trọng mảng toán phương trình hàm Rất nhiều phương trình hàm giải gọn gàng nhờ phép biến đổi đưa phương trình hàm Cauchy Và xây dựng công thức tính diện tích hình chữ nhật, công thức Logarit, công thức lãi đơn, lãi kép…ta bắt gặp phương trình hàm Cauchy Từ vấn đề trên, định chọn đề tài nghiên cứu: “Mở rộng phương trình hàm Cauchy” Mục tiêu nghiên cứu Mục tiêu đề tài nhằm nghiên cứu mở rộng phương trình hàm Cauchy Nội dung đề tài chia thành chương: - Chương giới thiệu lịch sử phát triển mở rộng phương trình hàm Cauchy - Chương giới thiệu ứng dụng phương trình hàm Cauchy Đối tƣợng phạm vi nghiên cứu Đối tượng nghiên cứu luận văn phương trình hàm Cauchy Phạm vi nghiên cứu luận văn xây dựng sở lý thuyết hệ thống mở rộng phương trình hàm Cauchy ứng dụng phương trình hàm cauchy Phƣơng pháp nghiên cứu a Thu thập báo khoa học tài liệu tác giả nghiên cứu liên quan đến phương trình hàm Cauchy ứng dụng b Tham gia buổi seminar thầy hướng dẫn để trao đổi kết nghiên cứu Trao đổi qua email, blog, forum với chuyên gia ứng dụng phương trình hàm CHƢƠNG MỞ RỘNG CÁC PHƢƠNG TRÌNH HÀM CAUCHY 1.1 VÀI NÉT VỀ LỊCH SỬ PHÁT TRIỂN PHƢƠNG TRÌNH HÀM Trong chương này, ta tóm lược đôi nét lịch sử phát triển phương trình hàm phát triển chung Toán học mở rộng phương trình hàm Cauchy 1.1.1 Nicole Oresme (1323 – 1382) Nicole Oresme nhà toán học người Pháp, ông nhà khoa học lớn thời Trung cổ, ông có nghiên cứu quan trọng cho khoa học thời Phục hưng Năm 1348, Nicole Oresme giành học bổng đại học Paris, năm Châu Âu xảy nạn dịch Cái chết đen làm chết 1/3 dân số Châu Âu Năm 1355, ông có thạc sĩ bổ nhiệm làm hiệu trưởng trường Đại học Navarre Pháp Ông nhà khoa học lớn kỉ XIV Ở giai đoạn khó khăn, dịch bệnh mà ông làm điều sức phi thường, thật điều không tưởng Phương trình hàm nhà khoa học nghiên cứu từ sớm Ngay từ kỉ XIV, nhà toán học Nicole Oresme xác định hàm số bậc nghiệm phương trình hàm Cụ thể là, ông đặt toán tìm hàm số f ( x) thỏa mãn với x, y, z  , đôi phân biệt, phương trình hàm sau: y  x f  y  f  x  z  y f  z  f  y (1.1) Nicole Oresme tìm nghiệm phương trình (1.1) là: f  x   ax  b với a, b số 1.1.2 Gregory of Saint – Vincent (1584 – 1667) Trong vài trăm năm tiếp theo, phương trình hàm biết đến nhiều lại lý thuyết chung cho phương trình hàm lúc Trong số nhà toán học lớn có nhà toán học Gregory of Saint – Vincent, người đầu lý thuyết Logarithm tìm hàm hypebol phương trình hàm: f ( xy)  f ( x)  f ( y) Ông xét toán diện tích phần mặt phẳng giới hạn đường y  ; x  1; x  t; x, y  x  ông kí hiệu diện tích f (t ) chứng tỏ f (t ) thỏa mãn phương trình hàm: f ( xy)  f ( x)  f ( y), x, y  Ngày ta biết hàm f  x   log a x với a  0, a  Tuy nhiên, việc giải tìm nghiệm phương trình hàm f ( xy)  f ( x)  f ( y), x, y  phải đến 200 năm sau tìm nhờ công Augustin – Louis Cauchy (1789 – 1885) 1.1.3 Augustin – Louis Cauchy (1789 – 1885) Augustin – Louis Cauchy sinh Paris năm 1789, năm xảy cách mạng Pháp kéo dài đến 10 năm Khi Cauchy 10 tuổi bố ông đem gia đình quê sống ẩn dật năm 1800 Năm 13 tuổi, Cauchy vào học trường trung tâm Parthenon Ở vua Napoleon đặt nhiều giải thưởng kỳ thi học sinh giỏi cho tất trường nước Pháp thuộc lớp Cauchy đứng đầu lớp đạt nhiều giải môn học tiếng La Tinh, Hy Lạp thơ La Tinh Năm 1805, 16 tuổi Cauchy gặp thầy dạy Toán giỏi thi đỗ thứ hai vào trường Đại học Bách Khoa Năm 1807 ông vào học trường Đại học Cầu đường 18 tuổi ông vượt qua bạn học 20 tuổi, bạn học năm trường Năm 1813, ông dạy toán Trường Bách Khoa thành hội viên Hàn lâm viện Khoa học Pháp Bước vào tuổi 27, ông nhà toán học xuất sắc thời giờ, ông nghiên cứu nhiều lĩnh vực Tuy nhiên, ông chủ yếu biết đến lĩnh vực toán học công nhận người sáng lập nên toán học đại Mặc dù định nghĩa Nicole Oresme tuyến tính hiểu ví dụ phương trình hàm, không đại diện cho điểm khởi đầu cho lý thuyết phương trình hàm Các chủ đề phương trình hàm đánh dấu cách xác từ công việc Augustin – Louis Cauchy Một phương trình hàm tiếng mà ta hay gọi phương trình Cauchy có dạng: f ( x  y)  f ( x)  f ( y), x, y  (1.2) Nghiệm phương trình (1.2) có dạng: f  x   ax Phương trình (1.2) Carl Friedrich Gauss (1777 – 1855) Legendre nghiên cứu tìm định lí hình học xạ ảnh nghiên cứu phân phối Gauss phân bố xác suất G Darbour nghiên cứu phương trình (1.2) cần f  x  liên tục điểm, bị chặn (hoặc dưới) khoảng đủ nhỏ nghiệm phương trình (1.2) f  x   kx Sau nhà toán học đưa nhiều hạn chế nữa, việc hàm số không liên tục thỏa điều kiện (1.2) đến năm 1905 thực nhà toán học người Đức Georg Hamel (1877 – 1954) với việc đưa hệ cở sở Hamel tập số thực Thật bất ngờ phương trình hàm lại có liên quan chặt chẽ đến nhị thức Newton Từ hàng kỷ trước Newton, nhà toán học biết đến công thức (1  x)n   Cn1 x  Cn2 x   Cnn1x n1  x n với n (1.3) với x  , tổ hợp x  xác định từ tam giác Pascal tính theo công thức: Ci  n n(n  1)(n  2) (n  i  1) i! (với i số tự nhiên) 1.1.4 Jean d’Alembert (1717 – 1783) Jean d'Alembert sinh năm 1717 Paris, ông giá thú sĩ quan quân đội nhà văn Ông sinh cha ông nước ngoài, sợ ảnh hưởng đến tiếng tăm mình, mẹ ông để ông bậc thang lối vào nhà thờ Saint – Jean – leRond Theo tục lệ, ông đặt tên Jean le Rond, sau nhà thờ gởi ông vào trại trẻ mồ côi trông nom sớm nhận nuôi vợ người thợ làm kính Mặc dù, Destouches - cha ông hỗ trợ tài lo cho trai ăn học, ông không công khai thừa nhận Jean d'Alembert trai Năm 1738, Jean le Rond vào trường luật, ông lấy tên Daremberg Sau ông đổi thành d'Alembert Năm 1741, nhờ nỗ lực mình, d'Alembert vào Viện Hàn lâm Khoa học Pháp trợ lý thiên văn học, hai năm tiếp theo, ông thực nhiều nghiên cứu học công bố nhiều báo nhiều sách, năm 1746, d'Alembert thăng chức Phó Uỷ viên Hội đồng toán học Trong lịch sử, Jean d'Alembert coi tiền bối nghiên cứu phương trình Cauchy Tuy nhiên, vấn đề phương trình hàm, tự nhiên xem xét đóng góp ông sau Cauchy Khi nghiên cứu định luật tổng hợp lực theo quy tắc hình bình hành, ông xét phương trình: g  x  y   g  x  y   2g  x  g  y  với  y  x   (1.4) Phương trình (1.4) gọi phương trình d'Alembert Yêu cầu đặt phải tìm tất hàm g :  thỏa mãn phương trình (1.4), gặp khó khăn lớn việc tìm nghiệm so với phương trình Cauchy Phương trình làm ta liên tưởng đến tính chất hàm số lượng giác Xét hàm số lượng giác đơn giản ta thấy hàm số g ( x)  cos x thỏa mãn hàm số g ( x)  sin x lại không thỏa mãn Câu hỏi đặt liệu có nghiệm khác không? Và người ta nghiệm có dạng: g  x   b.cos ax, với việc chọn số a, b phù hợp Tuy nhiên, thay x  y  vào phương trình (1.4) ta g (0)  g (0), suy g (0)  g (0)  tương ứng với trường hợp b  b  Với a số tùy ý, g ( x) nghiệm phương trình (1.4) g (ax) nghiệm Như vậy, nghiệm ban đầu mở rộng thành g ( x)  g ( x)  cos x Người ta lại tự hỏi, nghiệm có nghiệm khác không? Câu trả lời có Và lần nữa, vào năm 1821, Cauchy giải phương trình hàm với điều kiện g ( x) hàm liên tục nghiệm là: g ( x)  0, g ( x)  cos ax g ( x)  b x  b x (b  0) Sau người ta nghiên cứu viết lại nghiệm thành: g ( x)  0, g ( x)  cos ax g ( x)  eax  e ax 1.2 ĐỊNH NGHĨA 1.2.1 Định nghĩa phƣơng trình hàm Phương trình hàm phương trình mà ẩn hàm số, giải phương trình hàm việc tìm tất hàm số thỏa mãn phương trình hàm cho số điều kiện cho trước Cấu trúc phương trình hàm gồm ba phần chính: - Miền xác định miền giá trị - Phương trình hàm 10 1.3.2 Mở rộng hàm cộng tính Cho  a, b đoạn ,và cho f :  a, b  hàm cộng tính đoạn  a, b với x, y, x  y [a, b] Liệu có tồn hàm cộng tính A : A | [a,b] cho A  x    x  x [a,b] ( nghĩa   f )? Định lí sau chứng minh Aczél Erdos (1965) Định lí 1.1 Cho   , cho f :  ,    hàm cộng tính  ,   Khi tồn hàm cộng tính A :  cho A  x   f  x  , x  ,   Lƣu ý 1.1 Chú ý miền  ,   không bị chặn x, y   ,   x  y [ , ) Tuy nhiên, x, y   ,    a, b khoảng bị chặn x  y không thiết thuộc  a, b  Do đó, cách chứng minh định lí không áp dụng cho khoảng bị chặn Định lí sau Daróczy Losonczi (1967) Định lí 1.2 Cho f : 0,1  thỏa mãn phương trình hàm Cauchy f  x  y   f  x   f  y  với x, y, x  y [0,1] Thì tồn hàm cộng tính A :  cho: A  x   f  x  , x0,1 11 CHƢƠNG CÁC ỨNG DỤNG CỦA PHƢƠNG TRÌNH HÀM CAUCHY 2.1 GIỚI THIỆU CHUNG Nhiều phương trình hàm bắt nguồn từ ứng dụng Hiện tại, toán khoa học kỹ thuật thông thường mô hình hóa phương trình vi phân thường (ODE) phương trình đạo hàm riêng (PDE) Trước ODE PDE phát triển, trình vật lý phân tích cách sử dụng hàm Khi trình vật lý mô hình hóa hàm, chẳng hạn như, f , dùng biến số vào x (hay vài biến số vào) biến số tương ứng f  x  f  x  biến số thoả mãn số quan hệ tương ứng với vài tính chất trình vật lý thường biết đến cách quan sát Điều dẫn đến phương trình hàm cho hàm f Khi phương trình hàm dùng cho mô hình hóa, chẳng cần phải giả định tính khả vi hàm vậy, phương trình hàm thường đưa đến kết nhiều nghiệm so với ODE PDE Các giải pháp khác phù hợp với khoa học công nghệ Trong chương này, trình bày vài ứng dụng phương trình hàm Cauchy Trong mục 2, xây dựng công thức hình chữ nhật theo Legendre (1971) Trong xây dựng công thức này, bắt gặp phương trình hàm Cauchy cộng tính biến Trong mục 3, dùng tính chất cộng tính tích phân xác định, thấy x  t dt  ln( x) 12 với x   0,   Khi suy công thức này, dùng hàm Cauchy logarit Trong nhiều sách tích phân sử dụng để xác định logarit tự nhiên Mục thoả thuận với phép lấy đạo hàm công thức lãi đơn lãi kép từ phương trình hàm Vì chất phóng xạ phân rã theo thời gian, thật hữu ích để có công thức tính toán lượng chất phóng xạ có mặt vào thời gian t Bằng cách sử dụng phương trình hàm mũ Cauchy, ta xây dựng nên công thức phân rã phóng xạ Từ mục đến mục trình bày ứng dụng phương trình hàm lý thuyết xác suất Trong mục 6, ta hình thành đặc tính xác suất phân phối bội theo thuật ngữ tính chất không nhớ Trong mục 7, ta tìm hiểu đặc tính xác suất phân phối chuẩn rời rạc Mục 8, đặc tính xác suất phân phối chuẩn Chúng ta kết thúc chương với số nhận xét ứng dụng khác phương trình hàm 2.2 DIỆN TÍCH HÌNH CHỮ NHẬT Năm 1791, Legendre đưa công thức tính diện tích hình chữ nhật cách sử dụng phương trình hàm Cauchy cộng tính Để đến công thức tính diện tích hình chữ nhật, cần định lí sau: Định lí 2.1 Hàm f :[0, )  [0, ) thỏa mãn phương trình Cauchy cộng tính f ( x  y)  f ( x)  f ( y) x, y [0, ) Khi f ( x)  cx , c số thực không âm 2.3 XÁC ĐỊNH LOGARIT 13 Trong giáo trình tính toán sơ cấp, logarit xác định thông qua công thức tích phân Anton (H Anton 1992, p.469) định nghĩa logarit tự nhiên sau: x ln x   dt t x với x   0,   Ta thấy (2.7)  t dt thực lnx ta công nhận định nghĩa Nó tính chất tích phân Ta tích phân hàm x thỏa mãn phương trình hàm logarit Cauchy Cho :   x t  ( x)   dt , x0 Do đó, trường hợp x, y  (1, ) , ta có y x t 1 t x xy  ( x)   ( y )   dt   dt 1   dt   dz t z x xy  (z  tx)   d   ( xy) Các trường hợp khác làm tương tự nên ta có  ( xy)   ( x)   ( y) (2.8) 14 x, y   Trong Giải tích toán học ta biết  hàm khả vi nên liên tục Do phương trình (2.8) có  ( x)  c ln x (c số) Sử dụng tổng Riemann, ta có e t  (e)   dt  Vì c  nên x Do  ( x)  ln x  t dt  ln x 2.4 CÔNG THỨC LÃI ĐƠN VÀ LÃI KÉP Tiếp theo ta xây dựng công thức lãi đơn cách sử dụng hàm Cauchy cộng tính Cho f  x, t  giá trị tương lai vốn x đầu tư với khoảng chu kỳ lãi đơn, hàm f  x, t  t Thì theo công thức lãi thỏa mãn f ( x  y,t )  f ( x, t )  f ( y, t ) Và Do f ( x,t  s)  f ( x,t )  f ( x, s) x, y, t , s   f ( x, t )  kxt với k số dương tùy ý có đơn vị Bây ta hình thành công thức lãi kép Cho f  x, t  giá trị tương lai vốn x đầu tư với khoảng chu kỳ thời gian Thì theo công thức lãi kép, hàm f  x, t  thỏa mãn phương trình f ( x  y, t )  f ( x, t )  f ( y, t ) (2.9) 15 f ( x,t  s)  f ( f ( x,t ), s) Và (2.10) x, y, t, s   Phương trình thứ cho ta giá trị tương lai vốn x  y sau đầu tư khoảng chu kỳ t y vốn sau đầu tư với chu kỳ lãi t Phương trình thứ hai cho ta giá trị tương lai vốn x đầu tư với chu kỳ lãi t  s tương đương với giá trị tương lai vốn f  x, t  đầu tư với chu kỳ lãi s Một cách tự nhiên ta có f  x, t  liên tục biến Vì thế, hàm (2.9) cho bởi: f ( x,t )  c(t ) x c:   (2.11) Sử dụng f (2.10), ta có c(t  s) x  c(t )c(s) x (2.12) Do ta có c(t  s)  c(t )c(s) s, t   (2.13) Tính liên tục (2.13) cho c(t )  e λ số tùy ý Từ   ln(1  r ) ta có f ( x, t )  x(1  r )t Đó công thức tiếng lãi kép 2.5 SỰ PHÂN RÃ CỦA PHÓNG XẠ (r  0) t , 16 Cho m0  g  khối lượng ban đầu nguyên tố phóng xạ Cho m  t  khối lượng thời điểm t Ta giả định tốc độ thay đổi m  t  tỉ lệ thuận với m  t  Từ giả định này, ta có m '(t )   m(t ) Do m(t )   et Hoặc m(t )  m0e t (2.14) Do (2.14) đưa công thức cho việc tìm kiếm khối lượng thời điểm t khối lượng m0 ban đầu khoảng thời gian t Ở λ số phân rã Bây ta hình thành công thức (2.14) cách sử dụng phương trình hàm Cho f  t  biểu thị mối quan hệ khối lượng thời điểm t khối lượng ban đầu m0 ,vì m(t )  m0 f (t ) Lượng chất phóng xạ thời điểm t + h thể hai cách khác (xem hình dưới): m(t  h)  m0 f (t  h) m(t  h)  m0 f (t ) f (h) Do 17 m0 f (t  h)  m0 f (t ) f (h) Do t , h   f (t  h)  f (t ) f (h) Từ áp dụng điểm ta xem f liên tục Thì tính liên tục phương trình hàm cho bởi: f (t )  e t , α số thực Do m(t )  m0 f (t )  m0 e t Vì m  t  giảm theo thời gian t, số α phải âm    Với λ > 0, ta có f (t )  m0 et Hằng số α gọi số phân rã 2.6 ĐẶC TÍNH CỦA PHÂN PHỐI BỘI Trong phần cách sử dụng phương trình hàm mũ Cauchy ta hình thành đặc tính phân phối bội theo thuật ngữ tính chất không nhớ Một biến ngẫu nhiên X gọi có phân phối bội (hay biến ngẫu nhiên bội) hàm mật độ xác suất cho f ( x)  (1  p) x 1 p , x  1,2,3, , Trong p [0,1] tham số Ở đây, p hiểu xác suất thành công Nếu X biến ngẫu nhiên bội, biểu diễn cho số thử nghiệm thành công xảy 18 Một biến ngẫu nhiên X gọi có tính chất không nhớ thỏa mãn P( X  m  n | X  n)  P( X  m) (m, n  ) Bây ta chứng minh biến ngẫu nhiên X phép ngẫu nhiên bội thỏa mãn tính chất không nhớ P( X  m  n | X  n)  P( X  m) Vì P(( X  m  n) | ( X  n))  P(( X  m  n)  ( X  n)) P ( x  n) Ta có P(( X  m  n)  ( X  n))  P( X  m) P( X  n) Mà P( X  m  n)  P( X  m) P( X  n) m, n  Nếu X biến ngẫu nhiên bội, X (1  p) x 1 p Thì P ( X  m  n)    (1  p) x 1 p x  m  n 1  (1  p )n  m  (1  p )n (1  p )m  P ( X  n ) P ( x  m) Do phân phối bội có tính chất không nhớ Tiếp theo, cho X biến ngẫu nhiên thỏa mãn tính chất không nhớ P( X  m  n)  P( X  m) P( X  n) m, n  19 Ta X biến ngẫu nhiên bội Xác định g:  g (n)  P( X  n) Do đó, ta có g (m  n)  g (m) g (n) m, n  Nghiệm tổng quát (ngay trường hợp không liên tục) cho g (n)  a n , với α số Vì P( X  n)  a n Hoặc  F (n)  a n Trong F  n  hàm phân phối xác suất Vì vậy: F (n)   a n Do F  n  hàm phân phối xác suất, ta có  lim F (n) n  Hoặc  lim(1  a n ) n  Từ trên, ta kết luận < a < Ta thay a 1 – p  , ta có F  n    1  p  n Hàm mật độ xác suất biến ngẫu nhiên X cho 20 f (1)  F (1)  p f (2)  F (2)  F (1)   (1  p)  p  (1  p) p f (3)  F (3)  F (2)   (1  p)3   (1  p)  (1  p) p Vì vậy, quy tắc quy nạp, ta có: f ( x)  (1  p) x 1 p Vì X (x=1, 2, 3, ,) (đpcm) Geo( p) 2.7 ĐẶC TÍNH CỦA PHÂN PHỐI CHUẨN RỜI RẠC Trong phần này, ta xét phương trình hàm liên quan đến đặc trưng phân phối chuẩn rời rạc Phương trình hàm ta quan tâm sau: f ( x12  x22   xn2 )  f ( x12 )  f ( x22 )   f ( xn2 ) x1 , x2 , , xn  (là tập số nguyên) Nếu n  , phương trình hàm trở thành f ( x12  x22 )  f ( x12 )  f ( x22 ) x1, x  (2.15) Một nghiệm phương trình là: f ( x)  kx x Tuy nhiên (2.16) nghiệm Ví dụ (2.16) 21 0 x =  f ( x)  1 x=1 2 x=2  Cũng nghiệm (2.15) Tương tự vậy, phương trình hàm f ( x12  x22  x32 )  f ( x1nếu )  f ( x22 )  f ( x32 ) (2.17) Cũng có nghiệm phi tuyến (xem Dasgupta (1993)) 0 1  f ( x)   2  3 x = x = x = x = Bên cạnh nghiệm tuyến tính f  x   kx Nếu n ≥ 4, ta nghiệm phương trình hàm f ( x12  x22   xn2 )  f ( x12 )  f ( x22 )   f ( xn2 ) x1, x2 , , xn  (2.18) tuyến tính Chúng ta dùng định lí Lagrange để tìm nghiệm tổng quát Định lí 2.2 Mỗi số nguyên dương n tổng nhiều bốn bình phương số nguyên dương, tức n  a  b2  c  d , a, b, c, d  Định lí 2.3 Cho n  số nguyên Hàm f :  thỏa mãn phương trình f ( x12  x22   xn2 )  f ( x12 )  f ( x22 )   f ( xn2 ) (2.20) 22 với x1 , x2 , , xn  f  x   kx ,trong k số tùy ý 2.8 ĐẶC TÍNH CỦA PHÂN PHỐI CHUẨN Biết rõ rằng, x1 , x2 , x3 , xn biến ngẫu nhiên từ phân phối chuẩn với trung bình µ phương sai σ2 , ước lượng hợp lý cực đại (MLE) tham số vị trí µ cho giá trị trung bình n mẫu x   xi / n Nếu ước lượng hợp lý cực đại tham số vị i 1 trí cho tổng thể tính cách lấy giá trị trung bình mẫu, có thật phân phối cho tổng thể chuẩn? Câu trả lời cho điều kiểm chứng việc chứng minh thực Gaus (1809) Trong phần này, với việc sử dụng hàm Cauchy cộng tính, trình bày đặc tính phân phối chuẩn Teicher (1961) đặc trưng hóa phân phối chuẩn dựa vào MLE cách làm giảm điều kiện yêu cầu Gauss (1809) Marshall Olkin (1993) mở rộng kết Teicher đến phân phối chuẩn đa chiều Stadje (1993) nghiên cứu vấn đề đặc tính, điều kiện khác ví dụ cỡ mẫu n = 2,3,4 lúc Chúng theo chứng minh gần Azzalini Gento (2007) sử dụng giá trị kích thước mẫu n, với n  Định lý 2.4 Xét tập hợp vị trí hàm cho biến ngẫu nhiên liên tục không gian chiều, cho với lựa chon   hàm mật độ xác suất tuông ứng điểm x  , f  x  µ Giả sử 23 mẫu ngẫu nhiên với kích thước n  lấy từ đơn vị tập hợp hàm này, với điều kiện sau: F(x) hàm vi phân x đạo hàm cuả f '  x  liên tục điểm x  Với tập hợp giá trị biến, x1 , x2 , x3 , xn , giá trị trung bình biến x   i 1 xi / n nghiệm phương n trình hợp lý cho tham số vị trí µ hàm mật độ xác suất f  x  µ  hàm mật độ chuẩn chiều cho f  x  µ  Với vài giá trị dương  2 e  x     2   24 KẾT LUẬN Luận văn trình bày cách khái quát lịch sử phát triển phương trình hàm nói riêng phát triển chung Toán học, định nghĩa ví dụ phương trình hàm Luận văn trình bày hệ thống kiến thức phương trình hàm Cauchy mở rộng ứng dụng phương trình hàm Cauchy, cụ thể: - Trình bày định nghĩa ví dụ phương trình hàm Cauchy - Xem xét toán mở rộng phương trình hàm Cauchy cộng tính từ miền nhỏ đến miền lớn hơn, trình bày định lí, chứng minh - Trình bày ứng dụng phương trình hàm Cauchy, bắt gặp phương trình hàm Cauchy công thức tính diện tích hình chữ nhật, xác định Logarit, công thức lãi đơn, lãi kép, phân rã phóng xạ, đặc tính phân phối bội, đặc tính tính phân phối chuẩn rời rạc Tôi mong muốn luận văn góp phần cho nhận thấy hàm Cauchy xuất việc định tính công thức toán học ... chúng Các toán phương trình hàm phong phú đa dạng, bao gồm loại phương trình tuyến tính phi tuyến tính, phương trình hàm ẩn hàm phương trình nhiều ẩn hàm, phương trình hàm biến phương trình hàm... trình hàm nhiều biến… Phương trình hàm Cauchy có vai trò quan trọng mảng toán phương trình hàm Rất nhiều phương trình hàm giải gọn gàng nhờ phép biến đổi đưa phương trình hàm Cauchy Và xây dựng... gặp phương trình hàm Cauchy 2 Từ vấn đề trên, định chọn đề tài nghiên cứu: “Mở rộng phương trình hàm Cauchy Mục tiêu nghiên cứu Mục tiêu đề tài nhằm nghiên cứu mở rộng phương trình hàm Cauchy