Đang tải... (xem toàn văn)
Phương pháp lượng giác và một số ứng dụng hình học. Tìm hiểu về phương pháp lượng giác và ứng dụng hình học. Phương pháp lượng giác và một số ứng dụng hình học. Tìm hiểu về phương pháp lượng giác và ứng dụng hình học. Mối quan hệ giữa phương pháp lượng giác và hình học
BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG ĐOÀN VĂN TOÀN PHƯƠNG PHÁP LƯỢNG GIÁC VÀ MỘT SỐ ỨNG DỤNG TRONG HÌNH HỌC Chuyên ngành : Phương pháp Toán sơ cấp Mã số: 60.46.40 LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC Người hướng dẫn khoa học: PGS.TS Trần Đạo Dõng Đà Nẵng - Năm 2013 LỜI CAM ĐOAN Tôi cam đoan công trình nghiên cứu riêng Các số liệu, kết nêu luận văn trung thực chưa công bố công trình khác Tác giả luận văn Đoàn Văn Toàn MỤC LỤC MỞ ĐẦU 1 Lý chọn đề tài Mục đích nghiên cứu Đối tượng phạm vi nghiên cứu Phương pháp nghiên cứu Ý nghĩa khoa học thực tiễn đề tài Cấu trúc luận văn CHƯƠNG CÁC KIẾN THỨC LIÊN QUAN 1.1 CÁC KIẾN THỨC LƯỢNG GIÁC LIÊN QUAN ĐẾN HÌNH HỌC 1.1.1 Tỷ số lượng giác tam giác vuông 1.1.2 Giá trị lượng giác góc có liên quan đặc biệt 1.1.3 Các công thức lượng giác 1.1.4 Định lý hàm sin, hàm côsin, hàm tang tam giác 1.1.5 Các hệ thức lượng giác 1.1.6 Một số bất đẳng thức tam giác 1.1.7 Một số bất đẳng thức khác 10 1.2 CÁC KIẾN THỨC VỀ HÌNH HỌC PHẲNG VÀ HÌNH HỌC KHÔNG GIAN 11 1.2.1 Phương trình dạng lượng giác đường tròn 11 1.2.2 Phương trình dạng lượng giác elíp 11 1.2.3 Phương trình dạng lượng giác hypebol 12 1.2.4 Một số định nghĩa, khái niệm hình học không gian 12 1.2.5 Một số định lý, tính chất hình học không gian 13 1.2.6 Công thức tính diện tích hình chiếu đa giác mặt phẳng 14 1.2.7 Công thức tính thể tích số khối hình không gian 14 1.2 Hệ thức liên hệ thể tích khối chóp tam giác 15 1.2 Công thức tính khoảng cách t điểm t i đường thẳng 15 CHƯƠNG ỨNG DỤNG PHƯƠNG PHÁP LƯ NG GIÁC VÀO GI I TOÁN H NH HỌC…… 16 2.1 BÀI TOÁN TÌM GIÁ TRỊ LỚN NHẤT VÀ NHỎ NHẤT 16 2.1.1 Biểu thức lượng giác 16 2.1.2 Giá trị l n nhất, nhỏ liên quan đến diện tích tam giác 26 2.1.3 Giá trị l n nhỏ thể tích 31 2.2 BÀI TOÁN NHẬN DẠNG TAM GIÁC 36 2.2.1 Nhận dạng tam giác cân 36 2.2.2 Nhận dạng tam giác 43 2.2.3 Nhận dạng tam giác vuông 49 2.3 BÀI TOÁN VỀ ĐỘ DÀI CÁC ĐƯỜNG ĐẶC BIỆT TRONG TAM GIÁC 54 2.3.1 Độ dài đường trung tuyến 54 2.3.2 Độ dài đường phân giác 59 2.3.3 Độ dài đường cao 63 2.4 BÀI TOÁN KHOẢNG CÁCH 67 2.4.1 Bài toán khoảng cách hình phẳng 67 2.4.2 Bài toán khoảng cách hình học không gian 74 2.5 BÀI TOÁN VỀ GÓC PHẲNG VÀ GÓC NHỊ DIỆN 78 2.5.1 Góc tam giác tứ giác 78 2.5.2 Góc nhị diện 89 2.6 BÀI TOÁN VỀ DIỆN TÍCH VÀ THỂ TÍCH 93 2.6.1 Diện tích tam giác 93 2.6.2 Diện tích thiết diện 97 2.6.3 Thể tích 101 KẾT LUẬN……………………………………………………………… 109 DANH MỤC TÀI LIỆU THAM KH O 110 QUYẾT ĐỊNH GIAO ĐỀ TÀI LUẬN VĂN THẠC SĨ (Bản sao) DANH MỤC CÁC KÝ HIỆU ABC : Tam giác ABC A, B, C : Các đỉnh hay góc tương ứng tam giác a, b, c : Độ dài cạnh đối diện góc A, B, C , hb , hc : Độ dài đường cao xuất phát t A, B, C ma , mb , mc : Độ dài đường trung tuyến xuất phát t A, B, C la , lb , lc : Độ dài đường phân giác xuất phát t R : Bán kính đường tròn ngoại tiếp r : Bán kính đường tròn nội tiếp p : Nửa chu vi tam giác SABC : Diện tích tam giác ABC VABCD : Thể tích hình chóp ABCD d Max : Khoảng cách l n d Min : Khoảng cách nhỏ (C ),( E ),( H ) : Đường tròn, elíp, hypebol đỉnh A, B, C MỞ ĐẦU Lý chọn đề tài Qua thực tế giảng dạy Toán cho học sinh phổ thông trung học, nhận thấy học sinh gặp nhiều khó khăn việc nắm bắt khái niệm, ứng dụng phương pháp lượng giác vào giải chủ đề liên quan đại số, giải tích hình học Cùng v i định hư ng PGS.TS Trần Đạo Dõng, chọn đề tài “PHƯƠNG PHÁP LƯ NG GIÁC VÀ MỘT SỐ ỨNG DỤNG TRONG H NH HỌC” làm đề tài luận văn thạc sĩ Trong luận văn này, trư c hết gi i thiệu hệ thức lượng giác đẳng thức, bất đẳng thức lượng giác thể chương trình Toán bậc phổ thông trung học Tiếp đó, ứng dụng hệ thức lượng giác, đẳng thức, bất đẳng thức lượng giác để giải số dạng toán hình học Mục đích nghiên cứu Mục đích nghiên cứu đề tài khai thác công cụ phương pháp lượng giác để khảo sát số chủ đề hình học thể qua dạng toán tìm giá trị nhỏ giá trị l n nhất, toán nhận dạng tam giác, toán xác định khoảng cách, nhằm góp phần nâng cao hiệu chất lượng dạy học môn Toán chương trình phổ thông trung học Đối tượng phạm vi nghiên cứu - Chương trình Toán bậc trung học, đặc biệt chuyên đề hình học lượng giác - Các ứng dụng lượng giác vào giải tập hình học chương trình Toán bậc trung học Phương pháp nghiên cứu - Tham khảo tài liệu chuyên đề lượng giác, chuyên đề hình học phẳng hình học không gian - Phân tích, tổng hợp, hệ thống toán hình học giải phương pháp lượng giác chương trình bậc trung học - Trao đổi, tham khảo ý kiến giáo viên hư ng dẫn, đồng nghiệp Ý nghĩa khoa học thực tiễn đề tài - Nâng cao hiệu dạy học số chủ đề hình học thuộc chương trình Toán phổ thông trung học - Phát huy tính tự học sáng tạo học sinh Cấu trúc luận văn Ngoài phần mở đầu, kết luận danh mục tài liệu tham khảo, nội dung luận văn chia làm chương: Chương Các kiến thức liên quan Trong chương 1, luận văn trình bày: - Các kiến thức lượng giác bản: tính chất, công thức lượng, hệ thức lượng giác, đẳng thức, bất đẳng thức lượng giác số bất đẳng thức đại số để làm sở cho chương sau - Các kiến thức hình học phẳng không gian như: dạng lượng giác đường tròn, elíp, hypebol, công thức tính góc, khoảng cách, hình chiếu, công thức tính thể tích hình không gian… Chương Ứng dụng phương pháp lượng giác vào giải toán hình học Trong chương 2, luận văn trình bày: Một số ứng dụng lượng giác vào giải toán hình học chương trình Toán bậc trung học phổ thông Cụ thể toán tìm giá trị nhỏ giá trị l n nhất, toán nhận dạng tam giác, toán độ dài đường đặc biệt tam giác, toán khoảng cách, toán góc phẳng góc nhị diện, toán diện tích thể tích CHƯƠNG CÁC KIẾN THỨC LIÊN QUAN Chương nhắc lại kiến thức lượng giác liên quan đến hình học, số bất đẳng thức đại số, kiến thức liên quan đến hình học phẳng, hình học không gian chương trình Toán trung học phổ thông để làm sở cho chương sau Các chứng minh chi tiết xem [6], [9], [10] 1.1 CÁC KIẾN THỨC LƯ NG GIÁC LIÊN QUAN ĐẾN H NH HỌC 1.1.1 Tỷ số lượng giác tam giác vuông Cho tam giác ABC vuông A, tỉ số lượng giác góc định nghĩa qua cạnh sau: - Tỉ số cạnh đối góc B cạnh huyền gọi sin góc B, kí hiệu sinB - Tỉ số cạnh kề góc B cạnh huyền gọi côsin góc B, kí hiệu cosB - Tỉ số cạnh đối góc B cạnh kề gọi tan góc B, kí hiệu tanB - Tỉ số cạnh kề góc B cạnh đối gọi cotan góc B, kí hiệu cotB Chú ý: Trong tam giác vuông ABC tính chất hàm sin, hàm tan góc nhọn hàm cos, hàm cot góc nhọn ngược lại AC cos C BC AC tan B cot C AB sin B ; ; AB sin C BC AB cot B tan C AC cos B 96 S1 SABC S2 SABC S3 SABC S1 AN AP.sin A bc cos2 B cos2 A ; SABC AC AB.sin A bc (2.92) S2 BP.BM sin B ca cos2 C cos2 B ; SABC BA.BC.sin B ca (2.93) S3 CM CN sin C ab cos2 C cos2 C SABC CB.CA.sin C ab (2.94) Cộng đẳng thức (2.92), (2.93) (2.94), ta được: S1 SABC S2 SABC S3 SABC cos2 A cos2 B cos2 C Sử dụng bất đẳng thức: cos2 A cos2 B cos2 C S1 S ABC S2 S ABC S3 S ABC suy (2.95) T (2 5) ta điều phải chứng minh Nhận xét: T bất đẳng thức cần chứng minh cách biến đổi tương đương sử dụng công thức tính diện tích tam giác, ta thu bất đẳng thức lượng giác bản, qua Bài toán 2.116 chứng minh Một số toán tham khảo Bài toán 2.117 Cho tam giác ABC thỏa mãn: A B C 9R3 tan tan tan 2 4S Chứng minh tam giác ABC tam giác Bài toán 2.118 Cho tam giác ABC Dựng ba đường cao AM, BN, CP Chứng minh S MNP S Bài toán 2.119 Chứng minh tam giác ABC, đẳng thức lượng giác cot A = 2(cotB + cotC) điều kiện cần đủ để hai đường trung tuyến kẻ t B C vuông góc v i 97 2.6.2 Diện tích thiết diện Phương pháp giải: Khi gặp toán diện tích thiết diện hình học không gian, trư c tiên ta phải xác định dạng hình thiết diện, t sử dụng công thức tính diện tích cho hình phù hợp để tính Khi tính diện tích thiết diện, công thức hàm côsin tỷ số lượng giác sử dụng để tính các cạnh Dư i số toán minh họa: Bài toán 2.120 ([1]) Cho tứ diện ABCD cạnh a I, J trung điểm AB, AC K điểm cạnh BD cho KB = 2KD a) Xác định thiết diện tạo mặt phẳng (IJK) khối tứ diện Chứng tỏ thiết diện hình thang cân b) Tính diện tích thiết diện Giải: A I L E D M K C J B Hình 2.16 a) Kéo dài JK cắt CD E Nối EI cắt AD L, IJ // AB, suy KL // AB, suy IJ // KL.(*) Hai tam giác AIL = BJK (c.g.c), suy IL = JK (**) T (*) (**) ta IJKL hình thang cân 98 b) Ta có KB = 2KD suy KD = IJ = BD, a KL DK a ; suy KL AB DB Hai tam giác EKL , EJI hai tam giác đồng dạng theo tỉ số a KL k= , JI a suy SEKL SEJI 4 Đặt SEJI s SEKL s suy SIJKL s s s 9 Tính s: Tam giác BKJ cho JK BK BJ 2BK.BJ cos KBJ 2 a 4a a a 2 a = a a 2 3 2 suy JK a 13 Đặt KE = x a 13 x JK JK suy suy JK x x Suy EJ EK KJ a 13 a 13 a 13 Gọi M trung điểm IJ MJ = a Tam giác vuông MEJ cho: 13a a 51a EM EJ MJ 16 16 2 99 suy EM a 51 1 a a a 51 Suy s IJ.EM 51 2 16 Suy SIJKM a 51 5a 51 16 144 Nhận xét: Sử dụng công thức hàm côsin để tính JK, t ta tính cạnh lại Bài toán 2.121 Trong mặt phẳng (P) cho điểm O đường thẳng (d) cách O khoảng OH = h Lấy (d) hai điểm B, C cho BOH COH Trên đường thẳng vuông góc v i (P) O lấy điểm A v i OA= OB K điểm thuộc OH, v i OK = x (O < x 0) 2 = AO 2 tan 2 Ngoài sin 2 Như AB AB sin sin ASB tan tan 2 5( 1) tan r tan sin 2 tan tan R tan 5( 1) V r Vậy = V2 R 5( 1) Nhận xét: Tỉ số thể tích đường tròn nội tiếp đường tròn ngoại tiếp đường r tròn hình nón tỉ số R Một số toán tham khảo Bài toán 2.128 Cho hình lăng trụ tròn xoay bán kính đáy R, đường cao OO’ = h (O, O’ tâm đáy) AB đường kính di động đường tròn (O), CD đường kính cố định đường tròn (O’) ; gọi góc AB CD a) Tính diện tích tam giác ACD góc mặt phẳng (ACD) tạo v i mặt phẳng đáy (O’) theo R, h, b) Tính thể tích tứ diện ABCD 108 Bài toán 2.129 ([1]) Cho hình chóp S.ABC Mặt (SBC) vuông góc v i (ABC), SB = SC = 1; ASB BSC CSA 60o Tính thể tích diện tích toàn phần hình chóp Bài toán 2.130 Cho khối cầu nội tiếp khối nón Gọi V1 , V2 thể tích khối nón khối cầu Chứng minh V1 V2 Bài toán 2.131 Gọi S V diện tích toàn phần hình nón (N) thể tích khối nón gi i hạn (N), r bán kính mặt cầu nội tiếp (N) Chứng minh r 3V S 109 KẾT LUẬN V i mục tiêu đề tài, luận văn “Phương pháp lượng giác số ứng dụng hình học” thực nội dung sau: Hệ thống kiến thức lượng giác liên quan đến hình học, kiến thức hình học phẳng hình học không gian chương trình Toán bậc trung học phổ thông Hệ thống phân loại chủ đề toán hình học giải ứng dụng phương pháp lượng giác cụ thể sau: - Bài toán tìm giá trị l n nhất, nhỏ nhất; - Bài toán nhận dạng tam giác; - Bài toán độ dài đường đặc biệt tam giác; - Bài toán khoảng cách; - Bài toán góc phẳng góc nhị diện; - Bài toán diện tích thể tích Đối v i chủ đề, có toán minh họa toán đề nghị tham khảo kèm theo Đối v i dạng toán, có phân tích định hư ng giải theo phương pháp lượng giác sau toán minh họa, có nhận xét phân tích, đánh giá phương pháp giải 110 TÀI LIỆU THAM KH O [1] Bùi Ngọc Anh (2012), Thuật giải nhanh Hình học lượng giác, NXB Đại Học Quốc gia TP Hồ Chí Minh, HCM [2] Doãn Minh Cường (2005), Đề thi tuyển sinh vào đại học, NXB Đại Học Quốc gia Hà Nội, HN [3] Lê Hồng Đức (2005), Các phương pháp giải phép lượng giác hóa, Nhà xuất Hà Nội [4] Trịnh Bằng Giang – Nguyễn Hoài Chương (1 2), Đề thi toán, Nhà xuất Trẻ [5] Vũ Đình Hòa (200 ), Chuyên đề bồi dưỡng học sinh giỏi toán trung học phổ thông Bất đẳng thức hình học, Nhà xuất Giáo dục, HN [6] Phan Huy Khải – Nguyễn Đạo Phương (1999), Các toán chọn lọc Hệ thức lượng tam giác tứ giác, Nhà xuất Giáo dục, HN [7] Nguyễn Văn Mậu (200 ), Chuyên đề chọn lọc Lượng giác Áp dụng, Nhà xuất Giáo dục, HN [8] Trần Phương (2002), Tuyển tập chuyên đề luyện thi đại học môn toán Hệ thức lượng giác, Nhà xuất Hà Nội [9] Huỳnh Công Thái (2002), Chuyên đề lượng giác – Tập 3, NXB Đại Học Quốc gia TP Hồ Chí Minh, HCM [10] Nguyễn Thượng Võ (2000), Tuyển tập 300 toán chọn lọc Hệ thức lượng tam giác, Nhà xuất Trẻ