ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC NGUYỄN TRỌNG NGHĨA ỨNG DỤNG CỦA TÍCH VÔ HƯỚNG VÀ TÍCH CÓ HƯỚNG LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Thái Nguyên - 2015 ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC NGUYỄN TRỌNG NGHĨA ỨNG DỤNG CỦA TÍCH VÔ HƯỚNG VÀ TÍCH CÓ HƯỚNG Chuyên ngành: Phương pháp Toán sơ cấp Mã số: 60 46 01 13 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC PGS.TS NGUYỄN VIỆT HẢI Thái Nguyên - 2015 i Mục lục Mở đầu Danh sách hình vẽ Tích vô hướng không gian vector Euclid 1.1 Định nghĩa không gian vector Euclid 1.2 Các đẳng thức vector bất đẳng thức vector 1.2.1 Các đẳng thức vector 1.2.2 Các bất đẳng thức vector 1.3 Tích vô hướng hình học phẳng 1.3.1 Chứng minh hệ thức hình học tính biểu thức 1.3.2 Chứng minh bất đẳng thức hình học 1.3.3 Chứng minh quan hệ vuông góc 1.3.4 Sáng tạo bất đẳng thức nhờ tích vô hướng 1.4 Tích vô hướng Hình học không gian 1.4.1 Chứng minh tính vuông góc không gian 1.4.2 Tính góc, khoảng cách, diện tích, thể tích 1.5 Ứng dụng tích vô hướng giải toán đại số 1.5.1 Giải phương trình 1.5.2 Giải bất phương trình 1.5.3 Giải hệ phương trình 1.5.4 Chứng minh bất đẳng thức 1.5.5 Tìm cực trị hình học cực trị đại số 1.6 Bài tập 5 7 8 15 17 24 27 27 30 39 39 41 42 43 46 49 Kết luận Chương 52 53 53 53 54 Tích giả vô hướng tích có hướng 2.1 Tích giả vô hướng hai vector E2 2.1.1 Nhắc lại số thuật ngữ ký hiệu 2.1.2 Tích giả vô hướng (tích ngoài) hai vector ii 2.2 2.3 2.1.3 Biểu diễn số kiện hình học theo tích giả vô hướng 2.1.4 Ứng dụng vào diện tích đại số 2.1.5 Các ví dụ ứng dụng Tích có hướng hai vector 2.2.1 Định nghĩa tính chất 2.2.2 Tích hỗn tạp vector 2.2.3 Biểu diễn kiện hình học 2.2.4 Ứng dụng tích có hướng hình học 2.2.5 Ứng dụng tích có hướng Vật lý Bài tập 57 58 61 64 64 66 66 67 72 75 Kết luận Đề nghị 77 Tài liệu tham khảo 79 Lời cảm ơn Để hoàn thành luận văn cách hoàn chỉnh, nhận hướng dẫn giúp đỡ nhiệt tình PGS.TS Nguyễn Việt Hải, giảng viên cao cấp Trường Đại học Hải Phòng Tôi xin chân thành bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến Thầy xin gửi lời tri ân điều Thầy dành cho Tôi xin chân thành cảm ơn ban lãnh đạo phòng Đào tạo Sau đại học, quý Thầy Cô giảng dạy lớp Cao học K7B (khóa 2013-2015) Trường Đại học Khoa học Đại học Thái Nguyên tận tình truyền đạt kiến thức quý báu tạo điều kiện cho hoàn thành khóa học Tôi xin gửi lời cảm ơn chân thành tới gia đình, bạn bè, người động viên, hỗ trợ tạo điều kiện cho suốt trình học tập thực luận văn Xin trân trọng cảm ơn! Tác giả Nguyễn Trọng Nghĩa Mở đầu Trong toán học đại, tất cấu trúc toán học dựa cấu trúc không gian vector Chỉ với hai phép toán cộng hai vector nhân số với vector, không gian mô tả nhiều kiện quan trọng toán học nói riêng ngành khoa học tự nhiên nói chung Vector công cụ mạnh để giải toán hình học phổ thông Phương pháp vector ngày trở nên quen thuộc để giải toán hình học loại toán khác thay cho cách giải toán truyền thống, góp phần làm nên vẻ đẹp lời giải toán Tiếp nối luận văn tác giả Nịnh Thị Thu với đề tài "Phương pháp vector", bảo vệ thành công năm 2015 (xem [7]), tự đặt cho toán nghiên cứu ứng dụng phép toán tích vô hướng tích có hướng vào giải toán Hình học, Đại số số toán Vật lý Mục đích đề tài là: Nêu bật kỹ thuật thường gặp ứng dụng tích vô hướng tích có hướng để giải toán Các kỹ thuật minh họa qua hàng loạt ví dụ tường minh Hệ thống toán giải cách ứng dụng phép toán trên, đặc biệt nêu rõ ứng dụng phép toán vector vào toán phi hình học như: Giải phương trình, bất phương trình, hệ phương trình; chứng minh bất đẳng thức, tìm cực trị hình học, cực trị đại số Trình bày thêm tích giả vô hướng (tích ngoài) hai vector, diện tích đại số, ví dụ đại số Lie, kiến thức có ích mà chương trình đại học chưa đề cập đến Phạm vi đề tài ứng dụng phép toán không gian vector vào toán chương trình phổ thông, đặc biệt ý đến toán thi học sinh giỏi cấp, thi Olympic nước Quốc tế, thi vào Trung học phổ thông chuyên đề thi Đại học Ngoài phần mở đầu danh mục tài liệu tham khảo nội dung luận văn chia làm hai chương: • Chương Tích vô hướng không gian vector Euclid dành để trình bày ứng dụng tích vô hướng giải toán Hình học phẳng, Hình học không gian toán Đại số • Chương Tích giả vô hướng tích có hướng, giới thiệu phép toán " tích giả vô hướng", ứng dụng phép toán phạm vi kiến thức Hình học phổ thông Mỗi chương có phần giới thiệu chung lý thuyết cần dùng đến chương Nội dung có nêu tài liệu trích dẫn, nội dung tác giả chứng minh chi tiết chặt chẽ Ý tưởng tác giả lưu ý suốt luận văn Thái Nguyên, ngày 25 tháng 11 năm 2015 Tác giả Nguyễn Trọng Nghĩa Danh sách hình vẽ Hình vẽ Trang 1.1 1.2 1.3 1.4 1.5 1.6 1.7 1.8 1.9 1.10 1.11 1.12 1.13 1.14 1.15 1.16 1.17 1.18 1.19 1.20 1.21 Ví dụ 1.3 Ví dụ 1.4 Ví dụ 1.5 Ví dụ 1.10 Ví dụ 1.11 Ví dụ 1.12 Ví dụ 1.13 Ví dụ 1.14 Ví dụ 1.15 Ví dụ 1.16 Ví dụ 1.25 Ví dụ 1.20 Ví dụ 1.29 (Trường hợp 1) Ví dụ 1.29 (Trường hợp 2) Ví dụ 1.22 Ví dụ 1.23 Ví dụ 1.23 (Chú ý) Ví dụ 1.40 10 12 16 17 18 19 21 23 24 28 31 31 32 33 35 35 36 37 38 47 2.1 2.2 2.3 2.4 2.5 2.6 2.7 2.8 Mệnh đề 2.3 Ví dụ 2.7 Ví dụ 2.8 Ví dụ 2.9 Ví dụ 2.10 Ví dụ 2.11 Ví dụ 2.12 Ví dụ 2.14 55 68 69 70 71 72 73 74 Chương Tích vô hướng không gian vector Euclid Trong không gian vector ta có khái niệm độc lập tuyến tính, phụ thuộc tuyến tính, tập sinh, sở, tọa độ, không gian k-chiều (đường thẳng, mặt phẳng, ) Ngoài phép toán cộng, trừ vector, nhân số với vector ta cần đến phép toán để diễn tả khái niệm mang nội dung hình học nhiều như: Độ dài vector, góc hai vector, tính trực giao, thể tích khối đa diện Đó phép toán nhân vô hướng hai vector Phép toán cho ta khái niệm không gian vector Euclid (có thể xem chi tiết [8]) 1.1 Định nghĩa không gian vector Euclid Định nghĩa 1.1 Một không gian vector E trường số thực R gọi không gian vector Euclid thực có dạng song tuyến tính đối xứng α, β : E× E → R thỏa mãn điều kiện α, α > với vector α = Dạng song tuyến tính đối xứng gọi tích vô hướng E Nói cách khác, tích vô hướng hai vector α, β ∈ E số thực α, β , ký hiệu đơn giản α.β, thỏa mãn bốn tiên đề sau (1) α.β = β.α (2) (α1 + α2 ).β = α1 β + α2 β (3) k.(α.β) = (k.α).β với k ∈ R (4) α.α = α2 ; α.α = α = θ Ta xét số ví dụ không gian vector Euclid Ví dụ 1.1 Các không gian sau tích vô hướng xác định (1) Không gian vector tự hình học sơ cấp không gian vector Euclid → − → − → − − − − với tích vô hướng → α β = |→ α |.| β | cos(→ α , β ) − − − (2) Giả sử E không gian vector thực n chiều → e 1, → e , , → e n sở n − − Có thể định nghĩa tích vô hướng E sau: Nếu → α = x→ e i i → − β = n → − − − yi → ei ta đặt → α.β = i=1 n i=1 xi yi Nói riêng E = Rn tích vô i=1 hướng tích vô hướng tắc Rn − − Định nghĩa 1.2 Chuẩn hay độ dài vector → α ∈ E đại lượng |→ α| = √→ − → − → − → − α α Nếu | α | = α gọi vector định chuẩn Khái niệm chuẩn mở rộng khái niệm độ dài thông thường lên không gian nhiều chiều √ − − Ví dụ 1.2 Với vector → α = (a1 , , an ) ∈ Rn ta có |→ α | = a1 + + an Dễ thấy chuẩn vector có tính chất sau → − → − − − − − − (1) |→ α | ≥ ∀→ α ∈ E ; |→ α|→ α = → α = − − − (2) |c→ α | = |c| |→ α | ∀c ∈ R; ∀→ α ∈E → − → − α → − − vector định chuẩn vector → α = (3) β = → − |α| Chuẩn vector thỏa mãn bất đẳng thức quen thuộc hình học Hai bất đẳng thức sau sử dụng rộng rãi ví dụ ứng dụng tích vô hướng → − → − − − |→ α ± β | ≤ |→ α | + | β | (bất đẳng thức tam giác) → − → − − − |→ α β | ≤ |→ α |.| β | (bất đẳng thức Schwarz) → − → − → − − − Định nghĩa 1.3 Với vector → α , β = E ta gọi góc → α , β góc ϕ với ≤ ϕ ≤ π cho → − → − α.β cos ϕ = → − − |→ α |.| β| Khái niệm phù hợp với khái niệm góc thông thường hình học Kết → − → − − − sau gọi Định lý cosin: Nếu ϕ góc hai vector → α , β → α ± β = → − → − − − |→ α | + β ±2 |→ α | · β · cos ϕ Định nghĩa 1.4 Giả sử S1 S2 hai tập hợp vector E Ta gọi S1 trực → − → − − − giao với S2 → α β = với vector → α ∈ S1 , β ∈ S2 → − → − − Do tính đối xứng tích vô hướng nên → α β trực giao với β → − − − → α trực giao với Ta có định lý mở rộng Định lý Pitago: Nếu → α, β → − → − − − hai vector trực giao |→ α + β |2 = |→ α |2 + | β |2 65 → − − Nếu λ = hay → a , b phương vế nên hiển nhiên có → − → − − − đẳng thức Ta giả sử λ = → a , b không phương Ta có |λ(→ a ∧ b )| = → − → − − − a , b ) |λ||→ a || b | sin(→ → − → − → − → − − − − − Nếu λ > |λ(→ a ∧ b )| = λ.|→ a || b | sin(→ a , b ) = |λ(→ a ∧ b )| → − → − → − → − − − − − Nếu λ < |λ(→ a ∧ b )| = |λ→ a || b | sin(π − (→ a , b )) = λ(→ a ∧ b )| Như vậy, hai vector hai vế có độ dài → − − Chúng phương vuông góc với → a b Nếu λ > chúng → − → − − − hướng với → a ∧ b , λ < chúng ngược hướng với → a ∧ b Đẳng thức đầu chứng minh Để chứng minh đẳng thức thứ hai ta sử dụng đẳng thức thứ tính chất (2) → − → − → − − → − − −c = (→ − − − −c ∧ → − Tính chất (→ a + b )∧→ a ∧ b ) + (→ a ∧ b ); → c ∧ (→ a + b ) = (→ a)+ → − → − (c ∧ b) → − − − Thật vậy, có vector → a , b ,→ c vector không hiển nhiên Giả sử → −c → − → → − − → − −c ) Trước hết vector a , b , c khác không gọi c0 = → (chuẩn hóa vector → − |c| → − → − − → − → − → − → − ta chứng minh: ( a + b ) ∧ c0 = ( a ∧ c0 + ( b ∧ → c0 ) Thật vậy, từ điểm O −→ → − → − ta đặt vector: OA = − a ; OC = → c0 Gọi P mặt phẳng qua O, vuông góc với −−→ −→ −−→ −→ OC OA hình chiếu OA lên mặt phẳng P Ta quay vector OA quanh điểm −−→ O góc π2 theo chiều kim đồng hồ nhìn từ điểm C, ta vector OA −−→ − → − − −→ → −−→ − → Ta có OA = → a ∧− c0 Từ điểm A dựng vector AB = b Khi đó, OB = → a + b −−→ −−→ −−→ Ta gọi OB hình chiếu OB mặt phẳng P OB kết việc −−→ −−→ → − − − quay OB qua phép quay nói Khi Ta có OB = (→ a + b)∧→ c0 Nhưng −−→ −−−→ −−→ −→ A B hình chiếu AB P A B ảnh A B qua phép quay nên −−−→ → − − A B = b ∧→ c0 −−→ −− → −−−→ → − → − − − − − − Ta có OB = OA + A B nên (→ a + b )∧→ c0 = (→ a ∧→ c0 + ( b ∧ → c0 ) → −c → −c → −c → −c → − → − − − − nên (→ a + b )∧ → = (→ a ∧ → )+( b ∧ → ) hay Vì → c0 = → − − |c| |c| |−c | |−c | → − → − → − − −c = (→ − − a + b )∧→ a ∧ b ) + (→ a ∧ b) (→ Biểu thức tọa độ → − − Giả sử hệ trục tọa độ Oxyz cho → a = (a1 , a2 , a,3 ); b = (b1 , b2 , b3 ) Ta có → − → − − − − − − − a = a1 → e1 + a2 → e2 + a3 → e ; b = b1 → e + b2 → e + b3 → e3 → − → − → − → − → − → − − − Dễ thấy: a ∧ b = (a1 e1 + a2 e2 + a3 e3 ) ∧ (b1 e1 + b2 → e2 + b3 → e3 ) = a2 a3 → a3 a1 → a1 a2 → − − − e1 + e2 + e3 b2 b3 b3 b1 b1 b2 → − − tức là: → a ∧ b = a2 a3 a3 a1 a1 a2 , , b2 b3 b3 b1 b1 b2 Cũng viết dạng tọa độ 66 tích có hướng cách dùng định thức cấp 3: → − e1 → − → − a ∧ b = a1 b1 2.2.2 → − e2 a2 b2 → − e3 a3 b3 Tích hỗn tạp vector − − − Không gian gọi định hướng định sở → e1 , → e2 , → e3 → − → − → − → − → − → − Nếu ba thứ tự a , b , c có hướng với sở e1 , e2 , e3 gọi → − − − tam diện thuận (hoặc tam diện có hướng dương) Nếu ba thứ tự → a , b ,→ c → − → → − → − → − → − − ba e1 , e2 , e3 có hướng ngược ba a , b , c gọi tam diện nghịch (hoặc tam diện có hướng âm) → − − → − − − − a , b ,→ c ) ba thứ tự → a , b ,→ c không gian định hướng Tích hỗn tạp (→ số, định nghĩa → − − → − − − − (→ a , b ,→ c ) = (→ a ∧ b ).→ c Tính chất: Tích hỗn tạp có tính chất sau → − − → − − → → − → − − → − −c , → − (1) (→ a , b ,→ c ) = ( b ,→ c ,− a ) = (→ a , b ) = −( b , → a , −c ) → − − → − − → − − → − − − −c , → (2) (λ→ a + µ b ,→ c , d ) = λ(→ a ,→ d ) + µ( b , → c , d ), λ, µ ∈ R − −→ − → − − −→ − −−→ → − (3) Nếu OA = → a ; OB = b ; OC = → c , O điểm tùy ý, |(→ a , b ,→ c )| → − → → − − thể tích hình hộp cạnh OA,OB,OC Khi a , b , c vector đồng phẳng → − − − tích (→ a , b ,→ c ) = → − − −c = (x , y , z ) (4) Nếu → a = (x1 , y1 , z1 ), b = (x2 , y2 , z2 ), → 3 x1 y1 z1 → − → → − − ( a , b , c ) = x2 y2 z2 x3 y3 z3 2.2.3 Biểu diễn kiện hình học → − → − − − (1) Mặt phẳng nhận → a , b làm cặp phương nhận → a ∧ b làm vector pháp tuyến A1 x + B1 y + C1 z + D1 = vector phương A2 x + B2 y + C2 z + D2 = → − − − (∆) N = → n1 (A1 , B1 , C1 ) ∧ → n2 (A2 , B2 , C2 ) (2) Với đường thẳng (∆) 67 (3) Trong không gian Oxyz cho điểm M (x1 , x2 , x3 ) đường thẳng (∆) : x − x0 y − y0 z − z0 = = a1 a2 a1 Khi đó, khoảng cách từ M đến (∆) −−−→ − |→ a ∧ M0 M | d(M, ∆) = = − |→ a| 2 x1 − x0 y1 − y0 z1 − z0 x1 − x0 y1 − y0 z1 − z0 + + a1 a2 a3 a1 a2 a3 a21 + a22 + a23 → − − − (4) Điều kiện đồng phẳng vector: → a , b ,→ c đồng phẳng → − → −→ −−→ − −c ) = 0; Bốn điểm A,B,C,D đồng phẳng (− (→ a , b ,→ AB, AC, AD) = −→ −→ (5) Diện tích tam giác ABC: SABC = |AB ∧ AC|; Thể tích hình hộp ABCD.A’B’C’D’: −→ −−→ −−→ VABCD.A B C D = |(AB ∧ AD).AA | (6) Khoảng cách +Khoảng cách từ điểm đến đường thẳng: − Đường thẳng ∆ qua M0 , có vector phương → u điểm M ∈ / ∆ Ta có khoảng cách từ M đến ∆: −−−→ − |M0 M ∧ → u| d(M, ∆) = → − |u| +Khoảng cách hai đường thẳng chéo nhau: − Khoảng cách đường thẳng ∆ (qua M0 , vector phương → u ) đường → − thẳng ∆ (qua M0 , vector phương u )là: → − −−−−→ − |(→ u ∧ u ).M0 M0 | d(∆, ∆ ) = → − − |(→ u ∧u| 2.2.4 Ứng dụng tích có hướng hình học Nhờ hai phép toán tích có hướng tích hỗn tạp toán chứng minh, tính toán Hình học không gian định hình cách giải dễ dàng Các phép toán gắn với tọa độ giảm hẳn tính trừu tượng Hình học không gian 68 Ví dụ 2.7 Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình chữ nhật, cạnh bên SA vuông góc với đáy, AB=a, AD=2a, SA=3a Gọi M,N hình chiếu A lên SB, SD P giao SC với mặt phẳng (AMN) a Tính thể tích khối chóp S.AM P N b Tính khoảng cách cosin góc DM CN Lời giải Chọn hệ trục hình vẽ Ta có tọa độ điểm: Hình 2.2.Ví dụ 2.7 A(0, 0, 0); B(a, 0, 0), D(0, 2a, 0); C(a, 2a, 0); S(0, 0, 3a) Tính −→ −→ −→ SB = (a, 0, −3a); SD = (0, 2a, −3a); SC = (a, 2a, −3a)    x = a+t −−→ Phương trình SB: y = =⇒ M (a + t, 0, −3t) Suy AM = (a + t, 0, −3t)   z = −3t −−→ −→ a Mà AM ⊥SB nên AM SB = ⇐⇒ (a + t) + 9t = Suy t = − =⇒ 10 9a 3a 18a 12a M , 0, Tương tự, M 0, , Suy ra, 10 10 13 13 −−→ −−→ 27a2 → − n1 = AM ∧ AN = − (1, 2, −3) 65 Do đó, phương trình của (AMN):x + 2y − 3z =  t x = Phương trình SC: =⇒ y = 2t   z = 3a − 3t  x = t     y = 2t P nghiệm hệ:  z = 3a − 3t    x + y − 3z = 69 9a 9a 15a , , 14 14 −−→ −→ −−→ −→ 27a2 27a2 (1, 2, −3); AN ∧ AP = (1, 2, −3) Ta có AM ∧ AP = − 91 √70 621 14a 9a Suy SAM P N = (dvdt) d(S, M N ) = √ Vậy 1820 14 √ 9a 621 14a2 1863a3 √ VS.AM P N = = (dvdt) 14 1820 1820 Suy P 9a 3a 8a 12a −−→ , ; DM = , −2a, ; 13 13 10 10 −−→ −−→ −−→ 348a2 147a2 426a2 CD = (−a, 0, 0) Suy CN ∧ DM = , , 65 130 65 −−→ −−→ −−→ 348a (CN , DM , CD) = − 65 Cuối cùng, áp dụng tích có hướng tích hỗn tạp −−→ b Ta có CN = −a, − ; 2332a 133 d(CN, DM ) = √ ; cos(CN, DM ) = √ 15209 154570 Ví dụ 2.8 (Đề thi ĐH khối A năm 2010) Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình vuông cạnh a Gọi M,N trung điểm AB, AD; H giao điểm √ CN DM Biết SH vuông góc với mặt phẳng (ABCD) SH = a Tính thể tích khối chóp S.CDNM khoảng cách hai đường thẳng DM SC theo a Lời giải Chọn hệ trục tọa độ hình vẽ: Gốc A,Ox trùng AD, Oy trùng AB, Oz Hình 2.3.Ví dụ 2.8 vuông góc với mặt phẳng hình vuông 70 Tọa độ đỉnh: A(0, 0, 0); B(a, 0, 0); D(0, a, 0); C(a, a, 0); −−→ a a a M ( , 0, 0); N (0, , 0) Ta Suy DM = , −a, nên phương trình DM 2 2  t x = −−→ −−→ y = a − 2t =⇒ H(t, a − 2t, 0) Suy CH = (t − a, −2t, 0); CN =   z = a t−a −2t a −a, − , Vì H ∈ CN nên = ⇐⇒ −t + a = 4t hay t = Từ −a −a a 3a có H( , , 0); 5 a 3a √ S( , , a 3) Vì SCDN M = SABCD − SAM N − SABCM = 5 a2 a2 5a2 − = (dvdt) nên thể tích khối chóp S.CDM N a2 − 8 √ 1 √ 5a2 5a2 V = SH.SCDN M = a = (dvdt) 3 24 √ −−→ −→ 4a 2a Ta có SC = ( , , −a 3); DC = (a, 0, 0) nên Suy 5 √ √ √ a2 −−→ −→ −−→ −−→ −→ , a ); (DM , SC, DC) = a3 DM ∧ SC = (a 3, √ √ −−→ −→ −−→ |(DM , SC, DC)| a3 2a 57 Cuối d(SC, DM ) = = 2√ Sau ta = −−→ −→ 19 a 19 DM ∧ SC xét thêm ví dụ trình bày hai cách giải: Cách 1-Phương pháp truyền thống; Cách 2-Dùng tích có hướng Ví dụ 2.9 Cho ABCD.A1 B1 C1 D1 hình lập phương có cạnh a Gọi M,N trung điểm AB,CD Tính khoảng cách d(A1 C, M N ) Lời giải Cách Hình 2.4.Ví dụ 2.9 71 Ta có M N (A1 BC) suy d(M N, A1 C) = d(M N, (A1 BC)) = d(M, (A1 BC)) Gọi H = AB1 ∩ A1 B K trung điểm BH M K AH M K = AH Do AB1 ⊥A1 B nên M K⊥A1 B Lại CB⊥(BAA1 B1 ) nên M K⊥(A1 BC) Từ Ta có √ 1 a d(A1 C, M N ) = d(M, (A1 BC)) = M K = AH = AB1 = 4 Cách Xét hệ trục tọa độ với A(0, 0, 0); B(a, 0, 0); C(a, a, 0); D(0, a, 0); a A1 (0, 0, a); B1 (a, 0, a); C1 (a, a, a); D1 (0, a, a) Suy M ( , 0, 0); −−→ −−→ A1 C = (a, a, −a) (1, 1, −1); BC = (0, a, 0) (0, 1, 0) Vec tơ pháp tuyến mặt phẳng A1 BC −−→ −−→ → − n1 = A1 C ∧ BC = −1 −1 1 , , 0 0 = (1, 0, 1) Phương trình (A1 BC) là: x + z − a = Ta √ có M N (A1 BC) suy d(M N, A1 C) = a d(M N, (A1 BC)) = d(M, (A1 BC)) = √ Ví dụ 2.10 Cho hình chóp S ABCD có đáy hình chữ nhật với AB = a; AD = a 2; SA = a; SA⊥(ABCD) Gọi M trung điểm AD, K giao BM AC Chứng minh (SAC)⊥(SM B) Hình 2.5.Ví dụ 2.10 Chứng minh Cách 72 1 Do M trung điểm AD nên AK = KC = AC Ta có a AC = AD2 + DC = 3a2 ⇒ AK = AC = ⇒ M K2 = a2 a2 M B2 = ⇒ AK + M K = = AM Theo định lý Pitago ta có M B⊥AC Mặt khác, SA⊥(ABCD) nên SA⊥M B Vậy M B⊥(SAC) Theo giả thiết, mặt phẳng (SM B) qua MB nên (SM B)⊥(SAC) Cách √ √ Đặt tọa độ: A(0, 0,√ 0); D(a 2, 0, √ 0); B(0, a, 0); C(a 2, a, 0); −→ −→ a a a a , 0, 0); N ( , , ) Tính SA = (0, 0, −a), AC = S(0, 0, a) Ta có M ( 2 2 √ √ → − (a 2, a, 0) vector pháp tuyến (SAC) phương với n = (1, − 2, 0) √ √ 2 − vector pháp tuyến (SM B) phương với → n2 = (1, , ) Ta có 2 → − → − → − → − n1 n2 = =⇒ n1 ⊥n2 =⇒ (SAC)⊥(SM B) 2.2.5 Ứng dụng tích có hướng Vật lý Bài toán học Vật lý giải nhiều cách khác nhau: Phân tích theo phương thích hợp; Áp dụng tọa độ phương trình chuyển động Ở − − − ta sử dụng công cụ tích có hướng, chủ yếu ta xét công thức sau: → v =→ v0 + → g t, → − → − đó: v0 vận tốc ban đầu v vận tốc tức thời thời điểm t Trên ví dụ cụ thể ta thấy rõ ứng dụng tích có hướng Ví dụ 2.11 Chứng minh từ độ cao so với mặt đất ta ném vật đạt tới tầm xa cực đại, vận tốc ban đầu vận tốc trước chạm đất vuông góc với Hình 2.6.Ví dụ 2.11 − Lời giải Vật ném với vận tốc ban đầu → v0 tạo với phương nằm ngang góc → − − − − α, vận tốc trước chạm đất v Ta có → v =→ v0 + → g t (t thời gian rơi → − → − → − → − → − → − → − → − − − − vật) Suy v0 ∧ v = v0 ∧ ( v0 + g t) = ( v0 ∧ v0 ) + ( v0 ∧ → g t) = t.→ v0 ∧ → g 73 − − − − − − Như vậy, |→ v0 ∧ → v | = t.|→ v0 ∧ → g | = v0 g sin(→ v0 , → g ) = t.v0 g cos α − − Vì tầm bay vật là: L = vx t = v0 cos α.t nên ta có |→ v0 ∧ → v | = g.L Suy công thức sau: − − − − |→ v0 ∧ → v| v0 v| sin(→ v0 , → v )| = (2.3) L= g g − − − − − − Vậy L lớn sin(→ v0 , → v ) = hay cos(→ v0 , → v ) = Suy → v0 → v = 0, tức hai vận tốc vuông góc với − Ví dụ 2.12 Một vật ném từ mặt đất với vận tốc → v lập với phương nằm ngang góc α Tìm tầm xa đạt được? Với góc ném α tầm xa đạt cực đại? − − Lời giải Theo định luật bảo toàn vận tốc cuối → v = → v0 Kết hợp Hình 2.7.Ví dụ 2.12 − − với hình vẽ ta suy góc (→ v ,→ v0 ) = 2α Áp dụng công thức (2.3), L = → − → − | v0 ∧ v | v sin 2α ⇐⇒ L = Ta Suy g g v02 sin 2α = ⇐⇒ α = 45◦ Lmax = g − Ví dụ 2.13 Ném vật với vận tốc ban đầu → v0 , lập với phương nằm ngang góc α Tìm thời gian để vận tốc vật vuông góc với phương ban đầu − Lời giải Gọi thời gian phải tìm t vận tốc vật thời điểm t là: → v = → − → − → − → − → − → − → − → − → − → − → − → − v0 + g t Nếu v0 ⊥ v v0 v = hay ( v0 + g t) v0 = ⇐⇒ v0 + t g v0 = v0 ⇐⇒ v02 − t.g sin α = Tức t = g sin α Ví dụ 2.14 Một vật ném lên theo phương lập với phương ngang góc α − Đến thời điểm t vận tốc vật → v góc lệch so với ban đầu góc ϕ Tìm thời gian t − − − Lời giải Gọi vận tốc ban đầu → v0 Xét tích có hướng → v0 ∧ → v , Ta có → − − − − − − − − − v0 ∧ → v =→ v0 ∧ (→ v0 + → g t) ⇐⇒ → v0 ∧ → v =→ v0 ∧ → g t Suy v0 v sin ϕ = v0 g.t cos α ⇐⇒ t = v sin ϕ g cos α 74 Hình 2.8.Ví dụ 2.14 − → Ví dụ 2.15 Hai vật ném thời điểm với vận tốc − v→ 01 ; v02 lập với phương nằm ngang góc α1 , α2 Sau khoảng thời gian t vần tốc hai vật song song với Tìm thời gian t − Lời giải Sau khoảng thời gian t, ta có vận tốc hai vật là: → v1 = − v→ 01 + → − → − − → → − → − → − → − → − g t; v2 = v02 + g t Theo giả thiết, v1 song song v2 nghĩa là: v1 ∧ v2 = Điều tương đương → − − → − − → → − − → − → − → → − → − − → → (− v→ 01 + g t) ∧ (v02 + g t) = ⇐⇒ v01 ∧ v02 + v01 ∧ g t + g t ∧ v02 = Suy v01 v02 sin(α1 − α2 ) − v01 g.t cos α1 g cos α2 t = hay g(v01 cos α1 − v02 cos α2 )t = v01 v02 sin(α2 − α1 ) Từ Suy t= v01 v02 sin(α2 − α1 ) g(v01 cos α1 − v02 cos α2 ) Kết có ý nghĩa ≤ t ≤ t0 (t0 thời gian rơi vật) Các ví dụ minh họa hiệu việc ứng dụng tích có hướng toán ném xiên Nếu có điều kiện trình bày chi tiết ứng dụng toán học tĩnh điện Bằng cách xét thêm phép toán: Tích giả vô hướng [·, ·], tích có hướng ( ∧ ) → − − − tích hỗn tạp (→ a , b ,→ c ) có thêm công cụ để giải toán Chương nêu lên ứng dụng phép toán vào giải toán Hình học Vật lý với số kỹ thuật nhờ vào tính chất nêu Các ứng dụng phép toán bước đầu, nhiều ứng dụng khác chưa đề cập đến Phép toán tích có hướng ứng dụng Vật lý dừng số toán chuyển động đơn giản, hy vọng ứng dụng mở rộng Sau tập nhằm khẳng định ứng dụng tích giả vô hướng tích có hướng 75 2.3 Bài tập Bài tập 2.1 Cho tứ giác lồi ABCD Gọi H1 , H2 , H3 , H4 thứ tự trực tâm tam giác BCD.CDA, DAB, ABC Chứng minh S[H1 H2 H3 H4 ] = S[ABCD] Bài tập 2.2 Cho tam giác ABC điểm M khác đỉnh Giả sử AM cắt BC A , BM cắt CA B , CM cắt AB C Chứng minh MA MB MC + + = AA BB CC Bài tập 2.3 Cho tứ giác lồi ABCD có AD=BC Về phía tam giác ta dựng tam giác ADE, BCF cân A, B cho ∠DAE = ∠CBF Chứng minh trung điểm đoạn thẳng AB, CD, EF thẳng hàng Bài tập 2.4 Cho tứ giác lồi ABCD, AB cắt CD E, AD cắt BC F Chứng minh trung điểm đoạn thẳng AC, BD, EF thẳng hàng Bài tập 2.5 Cho tam giác ABC hai điểm O, O Giả sử AO cắt BC A , BO cắt CA B , CO cắt AB C , AO cắt B C A , BO cắt C A B , CO cắt A B C Chứng minh đường thẳng A A , B B , C C đồng quy đôi song song Bài tập 2.6 Cho tam giác ABC Các điểm A , B , C theo thứ tự thuộc cạnh BC, CA, AB Gọi A , B , C tương ứng điểm đối xứng điểm A,B,C theo thứ tự qua điểm A , B , C Chứng minh S(A B C ) = 3.S(ABC) + 4.S(a B C ) Bài tập 2.7 Cho tam giác ABC với BC=a, CA=b, AB=c Gọi G,I,O theo thứ tự trọng tâm, tâm nội tiếp, tâm ngoại tiếp tam giác ABC Chứng minh rằng: S[GOI] = (a + b + c)(b − c)(c − a)(a − b) 4S[ABC] Bài tập 2.8 Cho hình chóp S ABC có: ASC = 90◦ , CSB = 60◦ , ASB = 102◦ SA=SB=SC=a a Tính góc hai mặt phẳng (SAB), (SBC) b Gọi M,N chia đoạn SB,SC theo tỷ số −3 Tính khoảng cách góc hai đường thẳng AN, CM 76 Bài tập 2.9 Cho hình chóp tam giác S.ABC có độ dài cạnh đáy a Gọi M,N trung điểm SB,SC Biết (AM N )⊥(SBC) a Tính diện tích ∆ABC b Tính góc khoảng cách hai đường thẳng AM BN Bài tập 2.10 Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC tam giác cân AB=AC=a, BAC = 120◦ , SA⊥ABC Hai mặt phẳng (SAB) (SBC) tạo với góc 60◦ Gọi M,N trung điểm cạnh SB, SC a Tính thể tích khối chóp S ABC S AMN b Tính góc khoảng cách hai đường thẳng AN CM − Bài tập 2.11 Một vật ném với vận tốc → v0 , góc ném α Đến thời điểm vận tốc vật hợp với phương ban đầu góc ϕ Tìm thời gian v0 sin ϕ HD t = g cos2 α + sin2 ϕ − → Bài tập 2.12 Hai vật ném thời điểm với vận tốc − v→ 01 ; v02 góc ném α1 , α2 Đến thời điểm t phương vận tốc hai vật vuông góc Tìm thời gian t √ a2 ± a2 − 4b , với a = v01 sin α1 + v02 cos(α2 − α1 HD t = 2g 77 Kết luận Đề nghị Những kết đạt Phương pháp vector giải toán Hình học số toán Đại số nhiều tác giả, thầy giáo, cô giáo trường phổ thông đề cập tới Ở luận văn tác giả sâu vào ứng dụng phép toán không gian vector với mục đích tạo nên nhìn khác tích vô hướng, tích giả vô hướng, tích có hướng, tích hỗn tạp Ứng dụng phép toán toán hình học mà toán Đại số (giải phương trình, bất phương trình,hệ phương trình, chứng minh bất đẳng thức, giải toán cực trị, ) toán Vật lý (bài toán chuyển động học) Sự phân loại chi tiết loại toán làm cho phạm vi ứng dụng phép toán mở rộng Ý tưởng luận văn minh họa tường minh hàng loạt ví dụ tập Các kết luận văn tóm tắt sau: Hệ thống lại kiến thức chung số phép toán vector Những bổ sung cần thiết tích vô hướng để nâng cao hiệu ứng dụng Bổ sung khái niệm tính chất tích giả vô hướng, tích có hướng với ví dụ điển hình đại số Lie chiều Nêu bật kỹ thuật ứng dụng tích vô hướng giải toán Hình học, số dạng toán Đại số, kỹ thuật kết hợp với tọa độ, lập bảng nhân vô hướng; ứng dụng tích giả vô hướng dẫn đến khái niệm "diện tích đại số" "diện tích hình học" tam giác; kỹ thuật sử dụng tích có hướng Hình học không gian áp dụng giải số dạng toán Vật lý Toàn luận văn quán triệt tư tưởng đại số hóa toán Hình học, nêu bật kỹ biến đổi đại số vector Kỹ giải toán rèn luyện qua ví dụ tập đề nghị Một số toán thi Học sinh giỏi, thi vô địch nước, thi vô địch Quốc tế (IMO), trình bày cách giải hay ngắn gọn cách giải truyền thống 78 Các hướng nghiên cứu Việc ứng dụng phép toán vector để giải toán sơ cấp đề tài mở, chẳng hạn kỹ thuật "vector tọa độ" phát triển thành phương pháp giải toán hấp dẫn, hiệu quả; Tích "giả vô hướng" mở rộng không gian chiều không gian n chiều mang lại kết tốt Với ngành Vật lý, Hóa học, phép toán vector có ứng dụng rộng rãi, hướng mở rộng luận văn Tác giả luận văn cố gắng khả hạn chế nên luận văn khó tránh khỏi thiếu sót Tác giả mong nhận ý kiến đóng góp quý báu thầy cô giáo đồng nghiệp để luận văn hoàn thiện 79 Tài liệu tham khảo Tiếng Việt [1] Trần Xuân Đáng (2013), Sử dụng phương pháp tọa độ để giải số toán Hình học, Toán học tuổi trẻ số 439 [2] Nguyễn Thúc Hào (1996), Hình học vector, NXB Giáo dục [3] Nguyễn Thúc Hào (1996), Bài tập hình học vector, NXB Giáo dục [4] Nguyễn Sinh Nguyên, Nguyễn Văn Nho, Lê Hoành Phò (2002), Tuyển tập dự tuyển Olympic toán học quốc tế 1991–2001, NXB Giáo dục [5] Đinh Văn Quyết (2012), Phương pháp giải toán Hình học, NXB Đại học Quốc gia Hà Nội [6] Nguyễn Tất Thu (2012), Sử dụng phương pháp tọa độ không gian để giải toán đại số hình học tổng hợp, NXB Đại học Sư phạm [7] Nịnh Thị Thu (2014), Phương pháp vector, Luận văn Thạc sĩ, bảo vệ năm 2014 HĐBV Thạc sĩ Đại học Thái Nguyên [8] Ngô Việt Trung (2002), Giáo trình Đại số tuyến tính, NXB Đại học Quốc gia Hà Nội [9] Konnhiagin X V., Sarugin I F (2013), Các đề thi vô địch toán nước (19 nước), Bản dịch Tiếng Việt, NXB Hải Phòng [10] Nhiều tác giả (2011), Tuyển tập toán hình học, Tạp chí Toán học Tuổi trẻ, NXB Giáo dục [11] Tuyển tập đề thi Olympic Matcova, NXB Mir, 1969 [12] Website: Tài liệu www.tailieu.vn Tiếng Nga [13] Modenov P C (1979), Các toán hình học (Tiếng Nga), Matscova, Nauka ... nghiên cứu ứng dụng phép toán tích vô hướng tích có hướng vào giải toán Hình học, Đại số số toán Vật lý Mục đích đề tài là: Nêu bật kỹ thuật thường gặp ứng dụng tích vô hướng tích có hướng để giải... trình bày ứng dụng tích vô hướng giải toán Hình học phẳng, Hình học không gian toán Đại số • Chương Tích giả vô hướng tích có hướng, giới thiệu phép toán " tích giả vô hướng" , ứng dụng phép toán... thức nhờ tích vô hướng 1.4 Tích vô hướng Hình học không gian 1.4.1 Chứng minh tính vuông góc không gian 1.4.2 Tính góc, khoảng cách, diện tích, thể tích 1.5 Ứng dụng tích vô hướng giải