Chương : Đạo hàm vi phân hàm nhiều biến KHÔNG GIAN R n 1) Chuẩn khoảng cách (mêtric) Rn : n  x  x1, x , , x n  , x i   n không gian vectơ   n Với x  x1, x , , x n    ta goïi x  x12   x 2n chuẩn (vectơ) x Với x  x1, x , , x n  , y  y1, y , , y n  ta goïi xy x1y1   x n y n tích vô hướng x y Ta có : x  x.x Định lí 1: Với x , y, z  n ,    ta có tính chất: x 0, x 0  x 0 x   x x y  x y x  y  x  y x  y  y  z  x  z Chứng minh số tính chaát : 2  x.y  x1y1   x n y n   x12   x n2  y   y n2   x.y  x12   x n2 y12   y 2n  x y x  y  x  y   x  y   2 x.x  x.y  y.x  y.y  x  2xy  y  x  x y  y   x  y   xy  x  y Ta goïi   x , y   x  y khoảng cách x y n Theo định lý 1, khoảng cách có tính chất sau :   x, y  0,   x, y  0  x y   x, y    y, x    x, z    x, y     y, z    x , y      x, y  Chú ý : n 1 : x  x  x , x  y  x  y n 2, :   x , y   x  y khoảng cách thông thường điểm mặt phẳng, không gian 2) Giới hạn dãy Rn : n Cho dãy  a k    , dãy gọi hội tụ ñeán a  n neáu :   0, k o , k k o : a k  a   a k a (hoaëc lim a k a , a k  a ) Ký hiệu : klim  Một vài nhận xét :  Nếu dãy hội tụ giới hạn  Nếu dãy hội tụ đến a dãy hội tụ đến a  Dãy  a k  gọi dãy Cauchy   0, k o , k , m k o : a k  a m   Ta noùi  a k  n hội tụ  dãy Cauchy  Nếu  a k  dãy Cauchy có dãy hội tụ đến a a k  a n n Định lý : Cho daõy  a k    , a   , đặt k  k  k a k  x1 , x , , x n   , a  x1, x , , x n     k  x (i 1, 2, , n ) i lim a k a  lim x i k  k  Chứng minh Với n 2 :    lim a k a    0, k o , k k o : a k  a   k  2  k  k  k  k  k k o :  x1  x1    x  x     k k o : x1  x1  , x  x        k  x , lim x  k  x  lim x  k  x , lim x  k  x  2 1 2  lim x1 k  k  k   k     0, k o , k k o : x1  x1  k   k , x  x   2   k k        k k o : a k  a   x1  x1    x  x      lim a k a k  2     3) Vài khái niệm Tôpô Rn :   n Cho a  n vaø   , ta goïi B  a   x   : x  a    _ lân cận điểm a (hình cầu tâm a, bán kính )   B '  a   x  n : x  a  Cho taäp A  n a  n  Điểm a gọi điểm A   cho B  a   A  Điểm a gọi điểm A   cho B  a   A  (hoaëc B  a   A C ) C  Điểm a gọi điểm biên A   0, B  a   A  vaø B  a   A  Mỗi điểm a  n loại điểm nói tập A Tập tất điểm biên A, ký hiệu A gọi biên A Tập A gọi tập mở a  A điểm A Nói cách khác : a  A,   cho B  a   A Taäp A gọi tập đóng A chứa tất điểm biên A Nói cách khác : a  A,   cho B  a   A  1) A mở  A A  Nhận xét : 2) A đóng  A  A Ta gọi bao đóng A tập đóng nhỏ chứa A, ký hiệu A Ta có : A A  A o Ta gọi phần A tập mở lớn chứa A, ký hiệu A Ta có : o A A \ A n n Định lí 3: Tập A   đóng  Mọi dãy  a k   A,a k  a   có a  A Chứng minh    : Gia sử A đóng tồn  a k   A, a k  a  A Choïn   0, cho B  a   A  Do a k  a neân k o , k k o : a k  a    a k  B  a  Mâu thuẫn với B  a   A     : Gia sử a  A \ A k  ,B  a  A  Choïn a k B  a  A k k  lim a k a Mâu thuẫn với giả thiết  a k   A, a k  a nhöng a  A k  k Tập A  R n gọi tập compact dãy  ak  A có dãy hội tụ đến Vì a k  a  Định lý : Tập A n compact  A đóng bị chặn Chứng minh    : Lay tùy ý  a k   A, a k  a  n   Do A compact, tồn dãy a k   a k  , a k l l  a'A Do giới hạn dãy nên a a '  A Theo định lý A đóng Giả sử A không bị chặn Khi k  ,a k  A cho a k k Ta có  a k   A dãy hội tụ Điều mâu thuẫn với A compact Vậy A bị chặn    : Cho n 2 Giả sử  ak   x1 k  ,x2k   dãy tùy ý A Ta cần CM dãy  a k  co k k k Do x1  bị chặn nên có dãy x1 l  hội tụ, x1 l   x1            x  bị chặn nên có dãy x  hội tụ, x kl kl 2 m kl m x      k l  kl m m  a k  x1 ,x2    x1, x  a  A (do A đóng) lm    Tập A n gọi tập liên thông S1, S2 tập tùy ý n thỏa mãn : S1  A  ,S2  A  , A  S1 S2 có S1 S2  A   Tập D n gọi miền D mở liên thông Nếu D miền D D  D gọi miền đóng HÀM NHIỀU BIẾN – GIỚI HẠN & LIÊN TỤC 1) Hàm n biến : Cho A  n f :A  Ta gọi ánh xạ x  x , , x  n    u f  x  f x , , x n hàm n _ biến xác   định tập A Ký hiệu u f  x1 , , x n  ,  x1, , x n   A  Hàm biến thường ký hiệu z f  x , y  Hàm biến thường ký hiệu u f  x , y, z   Haøm z f  x , y  cho công thức, ta gọi tập tất (x,y) mà công thức có nghóa tập xác định hàm số Ví dụ : z f  x , y    x  y có TXĐ x  y 1 hình tròn đơn vị mặt phẳng  Biểu diễn hàm biến : cho haøm z f  x , y  ,  x , y   D Tập tất điểm  x, y, f  x, y   Oxyz gọi “mặt” biểu diễn f Ví dụ : z = 2x – 3y có mặt biểu diễn mp có pt 2x – 3y – z = z = x2 + y2 có mặt biểu diễn mặt paraboloid tròn xoay f  x , y  z o  Cho haøm z f  x , y  Với zo hệ pt  đường không z z o gian, gọi đường đẳng trị hay đường mức f 2) Giới hạn : Cho A  n điểm x  n  Điểm x gọi điểm giới hạn (điểm tụ) tập A   0, B  x   A \  x       k   A \ x cho x  k   x   x điểm giới hạn A   dãy x Các điểm x  A điểm giới hạn A gọi điểm cô lập A 1  Ví dụ : A  : n     điểm giới hạn A,  A điểm thuộc n  A điểm cô lập x  A điểm cô lập A    cho B  x   A x  Cho haøm u = f(x) xác định tập A, x   điểm giới hạn A Số L gọi      k   A \ x 0 , x k   x 0 giới hạn f(x) x  x   dãy x có   k f x   L Ký hiệu lim f  x  L x x  0 lim f  x  L      0,   cho x  A,  x  x     có f  x   x x  0  Tính chất : Neáu 1) lim f  x  A, lim g  x  B x x  0 x x lim  f  x   g  x   A  B 2)  0 x x 3) lim x x f  x  0 g  x   A (B 0) B 4)  0 lim  f  x  g  x   A.B  0 x x lim f  x  x x g x   0 A B (A  0, A 1)  Giaû sử z f  x , y  , (xo, yo) điểm giới hạn TXĐ lim Giới hạn f  x , y   x , y    x o , yo  ký hiệu  x ,y    x o , yo  f  x, y  hoaëc lim f  x , y  x  xo y  yo lim f  x , y  L    x n , y n  ,  x n , y n   x o , y o  ,  x n , y n    x o , y o  có f  x n ,  x  xo y  yo     x n , y n  ,  x n , y n   x o , yo  , x n  x o , y n  yo có f  x n , y n   L   (Trong đk cuối có ý nghóa trường hợp xo, yo, L =  ) x2y Ví dụ : Tìm giới hạn : xlim  x  y2 y x2y x  y2 x2y Ta coù :  x x  x Từ : lim 0  lim 2 2 2 2 x  x x 2 x y x y x y x y xy y Ví dụ : Xét tồn giới hạn : lim x x y xy  y2 y  x n , yn   n1 ,    0,  , f  x n , yn  0     x 'n , y 'n   n1 , n1    0,  , f  x 'n , y 'n    Do  nên giới hạn không tồn 1 1 n n n     1 2  n2 n2 n2 3) Giới hạn lặp : Xét hàm z f  x , y  , giả sử với y lân cận yo tồn   y   lim f  x , y  x xo   y  L L gọi giới hạn lặp (x,y) Khi tồn ylim y o   L  lim lim f x , y lim f  x , y     ylim Ký hiệu :  y  yo  x  x o  y x  o  xo Tương tự, ta có : lim lim f  x , y  x  x o y  yo Ví duï : f  x , y   x y x lim lim f  x, y   lim 0 y x  y Ví dụ : f  x , y  x sin Ví dụ : f  x , y   y lim lim f  x, y  : không tồn lim f  x  y x y xy x  y2 lim f  x , y  : khoâng tồn x y x  y y lim lim f  x, y   lim 0 y x  x  lim x  x x lim lim f  x , y   lim lim lim f  x, y   lim lim f  x , y  0 y x  x  y 4) Hàm liên tục : n Cho haøm u f  x  , x  A   Hàm gọi liên tục x    A   0   0,   cho x  A, x  x     f  x   f x     k k k f lieân tục x    x    A, x    x   có f x    f x         Hàm gọi liên tục A liên tục x  A Tính chất : Cho u f  x  , u g  x  liên tục x   Khi f  x f  x   g  x  , f  x  g  x  , (g x  0) liên tục x   g x     Định lý : Hàm u f  x  liên tục tập compăc A tồn x  a  , x  b   A cho : a b f  x    f  x  f  x    , x  A k k Đặt m  inf f  x  , tồn x    A, f x    m     Do A compăc nên có dãy  x      x    , x    x    A CM : Do f liên tục nên f  x     f  x    Vì f  x     m nên f  x    m xA k kl kl a kl a kl a Tương tự, ta có phần lại CM Hàm f xác định tập A gọi liên tục   0,   0, cho moïi x, y  A, x  y   f  x   f  y    Định lý : Hàm f liên tục tập compăc A f liên tục CM : Giả sử f không liên tục Khi k k k k k k o  0, cho moïi k, tồn x   , y   A, x    y   nhöng f x    f y   o k     k k k Do A compaêc, x   A nên tồn dãy x l  ,x l   x    A   Do f liên tục nên f  x     f  x    kl   k k k k k k Ta coù y l   x    y l   x  l   x  l   x     x  l   x     y l   x   kl k k k 0 Do f liên tục nên f y l   f x   Từ f x  l   f y l   f x    f x   0             Ta gặp mâu thuẫn f  x     f  y    , k kl kl o l ĐẠO HÀM RIÊNG 1) Định nghóa đạo hàm riêng : Cho hàm z f  x , y  , xác định  – lân cận B  x o , yo   x o , yo  Cho x soá gia x Ta goïi :  x f  x o , yo  f  x o  x, y o   f  x o , y o  số gia riêng theo biến x  x o , yo  Nếu tồn hữu hạn giới hạn : lim  x f  x o , yo  x f  x o , yo  x  riêng theo biến x  x o , yo  Ký hiệu Vậy f  x o , yo  x  lim giới hạn gọi đạo hàm f 'x  x o , yo  x f  x o  x , yo   f  x o , yo  x x  Tương tự, ta có đạo hàm riêng theo biến y  x o , yo  Ký hiệu f  x o , yo  y hoaëc f 'y  x o , yo  Chú ý : Đạo hàm riêng theo biến x (y) đạo hàm hàm cho theo biến x (y) coi biến số Ví dụ : a) Cho z x  3xy Tính z 'x  1,  , z 'y  1,  z 'x 2x  3y  z 'x  1,  2, z 'y 3x  z 'y  1,  3 b) Cho z f  x , y   x Tính z 'x  0,  , z 'y  0,   x f  0,   x , lim  x f  0,  x   y f  0,   0, lim  lim x  y f  0,  x x  x không tồn nên f ' x  0,  không tồn  lim 0 y y 0 neáu xy 0 c) Cho z f  x , y   Tính z 'x  0,  , z 'y  0,  1 neáu xy 0 y   x f  0,  f  x ,  0  f 'x  0,   lim x   x f  0,  x 0 Tương tự, ta có : f ' y  0,  1 1 1 1 Chú ý :  ,    0,  , f  ,   f  0,  nên hàm không liên tục  0,  n n n n 2) Đạo hàm riêng cấp cao : f Nếu có đạo hàm riêng theo biến x  x o , yo  , x 2 f  x o , yo    f  Ta có : gọi đạo hàm riêng cấp theo x hàm  x ,y   x  x  o o x  x o , yo  Tương tự, ta có 2 f  x o , y o  đạo hàm riêng cấp theo biến y  x o , yo  y Các đạo hàm riêng :   f   2f  x , y  xy  x o , yo  f ''xy  x o , yo  y  x  o o   f   2f  x , y  yx  x o , yo  f ''yx  x o , yo  x  y  o o gọi đạo hàm riêng hỗn hợp cấp Ví dụ : Cho z sin x.e x  y Tính đạo hàm riêng z ' x , z ' y , z '' xx , z '' yy , z '' xy , z '' yx z 'x cos x.e x  y  sin x.e x  y  cos x  sin x  e x  y z 'y sin x.e x  y z ''xx  sin x.e x  y  cos x.e x  y  cos x.e x  y  sin x.e x  y 2 cos x.e x  y z ''yy sin x.e x  y z ''xy cos x.e x  y  sin x.e x  y  cos x  sin x  e x  y z ''yx cos x.e x  y  sin x.e x  y  cos x  sin x  e x  y Chú ý : xảy trường hợp f ''xy  x o , y o  f ''yx  x o , yo   x  y2 neáu x  y 0  xy 2 Ví dụ : Cho hàm f  x , y   x  y Tính f ''xy  0,  , f ''yx  0,   2 0 neáu x  y 0  x, y   0,  : f 'x  f 'x  0,   lim  y x  4x y  y  x  y2 f  x ,   f  0,  x  x   0 x  x  lim y    y     f ''xy  0,   lim  1, tương tự, f '' yx  0,  1 y   y  y Định lý Schwartz :  CM : z' x = - F' x F' z Xeùt taïi  x, y   B  x o ,y o  cố định, z z  x  h, y   z  x, y  , z z  x, y  Ta coù : F  x  h, y, z  z   F  x , y, z   F  x  h , y, z  z   F  x , y, z  z     F  x , y, z  z   F  x , y, z   hF 'x  x  h , y, z  z   zF 'z  x, y, z   ' z  (,'   0,1 )  F '  x  h , y, z  z  F '  x , y, z  x Cho h  0, z lieân tuïc  z   z 'x  x h F 'z  x , y, z   ' z  F 'z  x , y, Caùc ví dụ : a) Tính y’x hàm z xác định từ pt : x  y  e 2x Cách : Đặt : F  x , y  x  y  e 2x F ' x 1  4x e 2x  y , F ' y 1  e 2 y 0 y 2x  y  y ' x   4x e 1 e 2x  y 2x  y Cách : Lấy đạo hàm vế theo x, ta  y 'x  e 2x y  4x  y 'x  0  y 'x   4x e 1e 2x  y 2x  y b) Tìm đạo hàm riêng z = z(x,y) xác định từ : x  2y  3z  e x 2 Đặt F  x, y, z  x  2y  3z  e x 2y 3z F 'x 1  2x.e x 2y2 3z2 , F ' y 2  4y.e x 2y2 3z , F 'z 3  6z.e x 2y2 3z 0 2y2 3z 2 2 2 z  2x.e x 2y 3z z  4y.e x 2y 3z  ;  2 2 2 x y  6z.e x 2y 3z  6z.e x 2y 3z Cách khác : Lấy đạo hàm vế theo x, coi z = z(x,y)  2 2 2 2  3z 'x   2x  6z.z 'x  e x 2y 3z 0  z 'x   6z.e x 2y 3z    2xe x 2y 3z     2 2 2   2x.e x 2y 3z   4y.e x 2y 3z  z 'x  Tương tự, z ' y  2 2 2  6z.e x 2y 3z  6z.e x 2y 3z CÔNG THỨC TAYLOR HÀM NHIỀU BIẾN 1) Công thức đạo hàm hàm hợp :  Cho hàm z f  x , y  , x x  t  , y y  t  Ta laäp công thức tính dz dt Giả sử z có đạo hàm riêng liên tục miền D Khi z khả vi   x , y   D Tại  x , y   D ta coù : z z z  x  y  x  y , (,  x , y  0) x y z z x z y x y      t x t y t t t dz z dx z dy Cho t  :   (*) dt x dt y dt  Cho z f  x , y  , x x  u , v  , y y  u , v  Theo công thức (*) z z x z y z z x z y     u x u y u v x v y v 2) Công thức Taylor :  Cho hàm f(x,y) có đạo hàm riêng đến cấp n +  - lân cận B  x o , yo   x o , yo  Với h, k đủ beù cho  x o  h , yo  k   B  x o , yo    t 1 Đặt F  t  f  x o  ht , y o  kt  Ta có hàm biến F có đạo hàm đến cấp n + Theo công thức Taylor cho hàm F(t) (to = 0, t = 1) F  1 F    F' 0 1!   n F    n!  F n 1    n  1 ! (*) (0    1) F '  t  f 'x x '  t   f ' y y '  t  f 'x h  f ' y k F ''  t   f ''xx h  f ''xy k h  f '' yx h  f '' yy k k f ''xx h  2.f '' xy h.k  f '' yy k  2 f    2f 2 f      h  hk  k  h  k  f  x , y  xy y  x y2  x n     n Bằng quy nạp ta có công thức, F   t   h  k  f  x , y  (n 0,1, 2, ) x y   n     n t 0 : F     h  k  f  x o , y o  Thay vào (*), ta x y   n i 1        f  x o  h, yo  k     h  k  f  x o , yo   h  k y  i 0 i!  x  n  1 !  x y  n 1 f  x o  h , y o     Rn  h  k  n  1 !  x y  n 1   f  x o  h , yo  k  0 n   h  k  0   0  0  0   Cho hàm n biến f  x  f  x1 , x , , x n  Xét điểm x  x1 , x , , x n  Giả   sử f có đạo hàm riêng liên tục đến cấp n + lân cận điểm x   Khi ta có công thức : i n    1     0 f x   h    h1  h   h n  f x    h1  h   i !  x  x  x  x  x  n  ! i 0      n      0  0  0   0  Với h  h1, h , , h n  , x  h  x1  h1, x  h , , x n  h n  , h  h1 , h , , h n      R n 0 n ,   h12  h 22   h n2  h y  Ví dụ : Tìm khai triển Taylor (n = 2) hàm : f  x , y  x taïi (1,1) f   h,1  k  f  1,1   f 'x  1,1 h  f ' y  1,1 k    f '' xx  1,1 h  2f ''xy  1,1 hk  f '' yy 2!  Ta coù : f  1,1 1 f 'x  x, y  yx y   f 'x  1,1 1 f ' y  x, y  x y ln x  f ' y  1,1 0 f ''xx  x, y  y  y  1 x y   f ''xx  1,1 0 f ' yy  x , y  x y ln x  f '' yy  1,1 0 f ''xy  x, y  x y  y.x y  1.ln x x y    y ln x   f '' xy  1,1 1   f   h ,1  k  1  h  hk  2 Với  h x ,1  k y  h x  1, k y    f  x, y  1   x  1   x  1  y  1  2 CỰC TRỊ CỦA HÀM NHIỀU BIẾN 1) Định nghóa : Cho hàm z f  x , y  xác định lân cận B  x o , yo   Điểm  x o , yo  gọi điểm cực đại f  x , y  f  x o , yo  ,   x , y   B  x o , yo   Điểm  x o , yo  gọi điểm cực tiểu f  x , y  f  x o , yo  ,   x , y   B  x o , yo   f  x , y   f  x o , yo  ,   x , y   x o , yo   x o , yo  gọi cực đại thực  f  x , y   f  x o , yo  ,   x , y   x o , yo   x o , yo  gọi cực tiểu thực Điểm cực đại hay cực tiểu gọi chung điểm cực trị Đặt x x o  h , y yo  k ta định nghóa sau :   x o , yo  điểm cực đại f  x o  h , yo  k  f  x o , yo  ,   h , k   B  0,    x o , yo  điểm cực tiểu f  x o  h , yo  k  f  x o , yo  ,   h , k   B  0,  2) Điều kiện cần để có cực trị : Định lý : Hàm z f  x , y  có cực trị  x o , yo  điểm có đạo hàm riêng đạo hàm riêng CM : Đặt   x  f  x , yo  ta có x o điểm cực trị   x  Theo định lý Fermat ta coù :  '  x o  0  f  x o , yo  x 0 Tương tự ta có : f  x o , yo  y 0 Chú ý :  Hàm nhiều biến có cực trị điểm có đạo hàm riêng điểm đạo hàm riêng  Các điểm có đạo hàm riêng gọi điểm dừng 3) Điều kiện đủ : Định lý : Cho f  x , y  có đạo hàm riêng cấp liên tục lân cận điểm dừng  x o , yo  Đặt A f ''xx  x o , y o  , B f ''xy  x o , y o  , C f ''yy  x o , yo  Tính  AC  B2   :  x o , yo  điểm cực trị Khi :   0, A  :  x o , yo  điểm cực tiểu   0, A  :  x o , yo  điểm cực đại  0 : kết luận Chứng minh    0, A  :  x o , yo  điểm dừng nên theo công thứ c Taylor ta có : f  x o  h , y o  k Với R1   f ''xx  x o  h, y o  k  h  2f ''xy  x o  h , y o  k  hk  f '' yy  x o  h , y o  k 2   A o h  2Bo hk  Co k   2 với A o f ''xx  x o  h , yo  k  , Bo f ''xy  x o  h , yo  k  , Co f '' yy  x o  h , y o  k  A  0, lim A o A   lân cận  0,  cho A o  0, h, k thuộc lân cận h ,k  Ta coù : R1  1  A 02 h  2A o Bo hk  A o Co k  A o h  Bo k   A o Co  Bo2 k    2A o 2A o       Do đạo hàm riêng cấp liên tục  A o Co  Bo2 liên tục theo h,k  lim A o Co  B h ,k   lân cận  0,  cho A o Co  Bo2  0, h, k thuộc lân cận Vậy lân cận chọn, ta có : R1  neáu  h,k   0,  R1 0 neáu  h,k   0,    x o , yo  điểm cực tie    : Xét hàm   x  A  2Bx  Cx ,  có biệt thức  0, nên có dấu thay đổi  , cho      0,      Do :  lim  A  lim A o  2Bo   Co  A  2B  C  h ,k  h ,k  o   2Bo  Co2 A  2B  C2   o  cho  h, k   B  0,  : A o  2Bo   Co   0, A o  2Bo  Co2  o   0,    o , choïn   cho :   ,   ,    Đặt h , k1 , k    h , k1  ,  h , k   B  0,  1 A o 2  2Bo 2  Co 2   A o  2Bo   Co   2 1  A o 2  2Bo 2  Co 22  2 A o  2Bo  Co2  2 f  x o  h , yo  k1   f  x o , yo   f  x o  h, yo  k   f  x o , yo          ... tùy ý  x1, y1   B  x o ,y o  , đặt z1 z  x1, y1  Với  x, y   B  xo ,yo  ta coù F  x1 , y1 , z1   F  x , y, z   F  x1 , y1 , z1   F  x1 , y1 , z ... 2f ''''xy  1, 1 hk  f '''' yy 2!  Ta coù : f  1, 1 ? ?1 f ''x  x, y  yx y   f ''x  1, 1 ? ?1 f '' y  x, y  x y ln x  f '' y  1, 1 0 f ''''xx  x, y  y  y  1? ?? x y   f ''''xx  1, 1 0 f ''...   h12  h 22   h n2  h y  Ví dụ : Tìm khai triển Taylor (n = 2) hàm : f  x , y  x taïi (1, 1) f   h ,1  k  f  1, 1   f ''x  1, 1 h  f '' y  1, 1 k    f '''' xx  1, 1 h 