Trường THCS Tân Thành Chuyên đề nâng cao Toán 9 CHUYÊN ĐỀ NÂNG CAO TOÁN 9 MỘT SỐ BÀI TOÁN VỀ BIẾN ĐỔI ĐỒNG NHẤT CÁC BIỂU THỨC GV:Đỗ Văn Phú Trường THCS Tân Thành Chuyên đề nâng cao Toán 9 PHƯƠNG PHÁP GIẢI PHƯƠNG TRÌNH THU VỀ PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI I/ MỤC TIÊU: -Giải thành thạo các phương trình dạng: Phương trình chứa ẩn ở mẫu, phương trình bậc 3, phương trình bậc cao, phương trình trùng phương, phương trình bậc hai - Rèn luyện kỹ năng giải phương trình. II/ SỐ LƯỢNG : 6 TIẾT III/ NỘI DUNG: Cho học sinh ôn lại cách giải phương trình bậc hai, hằng đẳng thức đáng nhớ. cách giải phương trình trùng phương 1/ Phương trình có ẩn số ở mẫu: Cách giải: - Thu tất cả về 1 vế, vế còn lại bằng 0 - Đặt điều kiện các mẫu khác 0. Từ đó suy ra điều kiện của ẩn trong phương trình. - Giải phương trình bằng cách quy đồng mẫu thức, so sánh điều kiện trước khi trả lời. Ví dụ: Giải phương trình 1 5 2 2 x x x + − = − ĐK: x ≠ 0, x ≠ 2 MTC: x ( x – 2) Ta có: 1 5 1 5 2 2 0 2 2 x x x x x x + + − = ⇔ − − = − − ⇔ ( x +1)(x – 2) – 5x – 2x ( x – 2) = 0 ⇔ x 2 + 2x +2 = 0 '∆ = 1 -2 = -1 < 0 Vậy phương trình vô nghiệm Bài tập tương tự: Giải các phương trình sau: a/ 72 72 3 4 2x x = − − b/ 4 9( 120) 120 x x x x − = − ĐS: a/ x 1 = 16: x 2 = -12 b/ x 1 = 360; x 2 = 72 2/ Phương trình bậc 3: ax 3 + bx 2 + cx + d = 0 Cách giải: Biến đổi đưa về phương trình tích. Ví dụ: Giải phương trình x 3 + 2x 2 + 2 2 x + 2 2 = 0 ⇔ x 3 + 2x(x + 2 ) + ( 2 ) 3 = 0 ⇔ ( x + 2 )( x 2 - x 2 + 2) + 2x( x + 2 ) = 0 ⇔ ( x + 2 ) ( ) 2 2 2 2x x   − +   =0 Phương trình x + 2 = 0 có nghiệm x = - 2 Phương trình x 2 + ( 2 - 2 )x +2 = 0 vô nghiệm vì ∆ < 0 Vậy phương trình đã cho có 1 nghiệm x = - 2 Bài tập tương tự: Giải các phương trình sau: a/ ( x 2 – 5x + 4)( x 2 – 7x + 10) = 0 b/ ( 3x 2 – 7x + 1) 2 = ( x 2 – 3x + 5) 2 GV:Đỗ Văn Phú Trường THCS Tân Thành Chuyên đề nâng cao Toán 9 Giải: a/ phương trình có 4 nghiệm: x 1 = 4; x 2 =1; x 3 = 5; x 4 = 2 b/ ( 3x 2 – 7x +1) 2 = ( x 2 – 3x + 5) 2 ⇔ ( 3x 2 – 7x + 1) 2 – ( x 2 – 3x + 5) 2 = 0 ⇔ (3x 2 – 7x + 1 – x 2 + 3x – 5)( 3x 2 – 7x + 1 + x 2 – 3x + 5)= 0 ⇔ ( x 2 – 2x – 2 )( 2x 2 – 5x + 3) = 0 ĐS: Phương trình có 4 nghiệm 3 ;1;1 3;1 3 2 + − 3/ Phương trình bậc cao dạng : ax 4 + bx 2 + c = 0 ( a ≠ 0) Cách giải: Đặt ẩn phụ x 2 = y ( y ≥ 0) rồi đưa về phương trình bậc hai để giải. Ví dụ: Giải phương trình x 4 – 34x 2 + 225 = 0 đặt x 2 = y ( y ≥ 0) Ta có phương trình y 2 – 34y + 225 = 0 ∆ ’ = 17 2 – 225 = 64 y 1 = 25 ⇒ x = 5; x = -5 y 2 = 9. ⇒ x = 3; x = -3 Vậy Phương trình có 4 nghiệm 5; -5; 3; -3. Bài tập tương tự: Giải các phương trình sau: a/ x 4 – 13x 2 + 38 = 0 b/ x 4 – 8x 2 – 9 = 0 c/ x 4 – 7x 2 – 144 = 0 d/ x 6 + 2x 3 – 80 = 0 Hướng dẫn: a/ ĐS: Phương trình có 4 nghiệm: 2; -2; 3; -3 b/ Phương trình có 2 nghiệm: 3; -3 c/ Phương trình có 2 nghiệm 4; -4 d/ Đặt x 3 = y Phương trình có nghiệm x 1 = 2; x 2 = 3 10− 4/ Phương trình đối xứng bậc 4: Dạng: ax 4 + bx 3 + cx 2 + bx + a = 0 ( a ≠ 0) Cách giải: Chia 2 vế của phương trình cho x 2 ( vì x 0) rồi đặt y = 1 x . Khi đó y 2 = ( x + 1 x ) 2 = x 2 + 1 x + 2 ≥ 2 + 2 = 4 Do đó 2y ≥ Ví dụ: Giải phương trình ( x + 1) 4 = 2 ( x 4 +1) ⇔ x 4 – 4x 3 – 6x 2 – 4x +1 = 0 (1) Chia 2 vế cho x 2 ( hiển nhiên x ≠ 0 Vì x = 0 không là nghiệm của phương trình) Ta có: x 2 – 4x – 6 – 4/x + 1/x 2 = 0 ⇔ x 2 + 2 1 x – 4( x + 1 x ) – 6 = 0 (2) đặt x + 1 x = y thì x 2 + 2 1 x = y 2 - 2 phương trình (2) trở thành y 2 – 2 – 4y – 6 = 0 ⇔ y 2 – 4y – 8 = 0 ⇔ y = 2 ± 2 3 Với y = 2 + 2 3 ta có x 2 - 2( 1+ 3 )x + 1 = 0 x = 1 + 3 ± 3 2 3+ Với y = 2 - 2 3 : Phương trình vô nghiệm Vậy phương trình đã cho có nghiệm x = 1 + 3 ± 3 2 3+ GV:Đỗ Văn Phú Trường THCS Tân Thành Chuyên đề nâng cao Toán 9 Bài tập tương tự: Giải các phương trình sau: a/ x 4 – 2x 3 – x 2 – 2x + 1 = 0 b/ x 4 + x 3 – 4x 2 + x + 1 = 0 Hướng dẫn: a/ Đưa về y 2 – 2y – 3 = 0 ⇔ y = -1 ( loại) ; y = 3 3 5 2 x ± ⇒ = b/ x 1 = 1; x 2,3 = 3 5 2 ± 5/ Phương trình dạng 2 2 ax ax mx mx p bx d cx d + = + + + + Cách giải: Chia cả tử và mẫu của mỗi phân thức cho x ≠ 0 ta được 1 phương trình mới rồi đặt ẩn phụ và giải phương trình Ví dụ: Giải phương trình 2 2 2 7 1 3 2 3 5 2 x x x x x x − = − + + + ĐK: x ≠ -1; x ≠ 2 3 − x = 0 không là nghiệm của phương trình Chia cả tử và mẫu của mỗi phân thức cho x ≠ 0 ta được 2 7 2 2 3 1 3 5x x x x − − + + + = 1 Đặt 3x +2 + 2 x = y Phương trình trở thành 2 7 1 3 3y y − = − + ĐK : y 3≠ ± Ta có 2( y + 3) – 7 ( y – 3) = ( y + 3)( y – 3) ⇔ 2y + 6 – 7y + 21 – y 2 + 3y – 3y + 9 = 0 ⇔ - y 2 – 5y + 36 = 0 ⇔ y 1 = -9; y 2 = 4 • y 1 = -9 ta có 3x + 2 + 2/x = -9 có nghiệm x = 11 97 6 − ± • y 2 = 4 ta có 3x + 2 + 2/x = 4 vô nghiệm Vậy nghiệm của phương trình đã cho là x = 11 97 6 − ± Bài tập tương tự Giải các phương trình sau: a/ 2 2 4 3 1 4 8 7 4 10 7 x x x x x x + = − + − + b/ 2 2 2 13 6 2 5 3 2 3 x x x x x x + = − + + + Hướng dẫn:a/ Chia tử và mẫu của mỗi phân thức cho x rồi đặt y = 4x + 7 x ta được y = 9 và y = 16 Đáp số: Phương trình có nghiệm là 1 2 và 7 2 b/ Chia cả tử và mẫu của mỗi phân thức cho x rồi đặt y = 2x + 3 x ta được y = 1 và y = 11 2 GV:Đỗ Văn Phú Trường THCS Tân Thành Chuyên đề nâng cao Toán 9 KIỂM TRA GIẢI CÁC PHƯƠNG TRÌNH SAU a/ ( 2x 2 – x – 1) 2 – ( x 2 – 7x + 6) 2 = 0 (3đ) b/ x 4 – 3x 3 – 6x 2 +3x + 1 = 0 ( 3,5 đ) c/ 2 2 3 7 4 3 1 1 x x x x x x + = − − + + + ( 3,5đ) ĐÁP ÁN a/ ( 2x 2 – x – 1) 2 – ( x 2 – 7x + 6) 2 = 0 ⇔ ( 2x 2 - x – 1 + x 2 – 7x + 6)( 2x 2 – x – 1 – x 2 + 7x – 6) = 0 ( 0,5đ) ⇔ ( 3x 2 – 8x + 5) ( x 2 + 6x -7) = 0 ( 0,5đ) ⇔ 3x 2 – 8x + 5 = 0 hoặc x 2 + 6x – 7 = 0 ( 0,75đ) ⇔ x = 1; x = 5 3 hoặc x = 1; x = -7 ( 0,75đ) Vậy phương trình có nghiệm 1; 5 3 ; -7 ( 0,5 đ) b/ x 4 – 3x 3 – 6x 2 + 3x + 1 = 0 (1) Chia 2 vế của phương trình cho x 2 ta có x 2 – 3x – 6 + 3 x + 2 1 x = 0 ( 0,25đ) ⇔ x 2 + 1/x 2 – 3( x – 1/x) – 6 = 0 (2) ( 0,5đ) đặt x - 1 x = y ( 0,25) ⇒ y 2 = x 2 + 2 1 x – 2 ⇒ x 2 + 2 1 x = y +2 thế vào phương trình (2) ( 0,25đ) Ta được y 2 + 2 – 3y – 6 = 0 ( 0,25đ) ⇔ y 2 -3y – 4 = 0 ⇔ y 1 = -1, y 2 = 4 ( 0,5đ) Với y 1 = -1 ta có x – 1 x = -1 ⇔ x 2 – 1 + x = 0 ( 0,25đ) Phương trình có nghiệm x = 1 5 2 − ± ( 0,25đ) Với y = 4 ta có x – 1 x = 4 ⇔ x 2 – 1 – 4x = 0 ( 0,25đ) Có nghiệm x = 2 5± ( 0,25đ) Vậy phương trình đã cho có nghiệm là x 1,2 = 1 5 2 − ± ; x 3,4 = 2 5± ( 0,5 đ) c/ 2 2 3 7 4 3 1 1 x x x x x x + = − − + + + GV:Đỗ Văn Phú Trường THCS Tân Thành Chuyên đề nâng cao Toán 9 Chia cả tử và mẫu của mỗi phân thức cho x ta được 3 7 4 1 1 3 1x x x x + = − − + + + ( 0,25 đ) Đặt x + 1 y x = Ta có ( 0,25đ) 3 7 4 3 1y y + = − − + ĐK: y ≠ -1; y ≠ 3 ( 0,25đ) ⇒ 3( y + 1) + 7( y – 3) = -4 ( y -3)( y + 1) ( 0,25đ) 2 2 1 2 3 3 7 21 4 4 12 12 0 4 2 30 0 5 3; 2 y y y y y y y y y ⇔ + + − + + − − + ⇔ + − + ⇔ = − = ( 0,75đ) y 1 = -3 Ta có x + 1 3 x = − ⇔ x 2 + 1 + 3x = 0 ( 0,25đ) Có nghiệm là x = 3 5 2 − ± ( 0,25 đ) y 2 = 5 2 Ta có x + 1 5 2x = ( 0,25) 2 2 2 5 0x x ⇔ + − = ( 0,25đ) có nghiệm x 1 = 2, x 2 = 1 2 ( 0,25đ) Vậy phương trình đã cho có nghiệm 2; 1 2 ; 3 5 2 − ± ( 0,5đ) GV:Đỗ Văn Phú . Thành Chuyên đề nâng cao Toán 9 CHUYÊN ĐỀ NÂNG CAO TOÁN 9 MỘT SỐ BÀI TOÁN VỀ BIẾN ĐỔI ĐỒNG NHẤT CÁC BIỂU THỨC GV:Đỗ Văn Phú Trường THCS Tân Thành Chuyên đề. + 1) 2 = ( x 2 – 3x + 5) 2 GV:Đỗ Văn Phú Trường THCS Tân Thành Chuyên đề nâng cao Toán 9 Giải: a/ phương trình có 4 nghiệm: x 1 = 4; x 2 =1; x 3 = 5; x