Ôn luyện toán THCS và thi vào lớp 10 thpt Phần thứ nhất: Đại số I. Biến đổi đồng nhất I.1 Dùng hằng đẳng thức 1. Kiến thức cần nhớ (A + B) 2 = A 2 + 2AB + B 2 (A - B) 2 = A 2 - 2AB + B 2 A 2 - B 2 = (A - B) (A + B) (A + B) 3 = A 3 + 3A 2 B + 3AB 2 + B 3 (A - B) 3 = A 3 - 3A 2 B + 3AB 2 - B 3 A 3 - B 3 = (A - B) (A 2 + AB + B 2 ) A 3 + B 3 = (A + B) (A 2 - AB + B 2 ) (A + B + C) 2 = A 2 + B 2 + C 2 + 2AB + 2AC + 2BC A 3 + B 3 = (A + B) 3 - 3AB(A+ B) A 3 - B 3 = (A - B) 3 - 3AB(A - B) 2. Những điểm cần lu ý - Khi giải các bài toán vận dụng các hằng đẳng thức, chúng ta phải vận dụng các hằng đẳng thức theo cả hai chiều khai triển và thu gọn một cách linh hoạt. - Hai đa thức bằng nhau với mọi giá trị của biểu thức khi tất cả các hệ số của chúng tơng ứng bằng nhau. Một đa thức bằng đa thức không khi tất cả các hệ số của chúng đều bằng 0. 3. Các ví dụ Ví dụ 1: Thu gọn biểu thức sau: P = (2x - 3) 2 + (6 - 4x) (2x + 5) + (2x + 1) 2 + 8 (2x + 1) + 16 P = (2x - 3) 2 - 2(2x - 3) (2x + 5) + [(2x + 1) 2 + 8 (2x + 1) + 16] P = (2x - 3) 2 - 2(2x - 3) (2x + 5) + (2x + 5) 2 P = (2x + 5 - 2x + 3) 2 = 64 Ví dụ 2: Cho a + b + c = 0 và abc = 3 3 . Tính giá trị biểu thức M = a 3 + b 3 + c 3 Giải: Ta có: M = a 3 + b 3 + c 3 = (a + b) 3 - 3ab (a + b) + c 3 = (a + b + c) [ (a + b) 2 - (a + b)c + c 2 ] - 3ab (a + b) = - 3ab (a + b) = 3abc = 3 Từ đây ta có: Nếu a + b + c = 0 thì a 3 + b 3 + c 3 = 3abc Điều ngợc lại thì sao? Ví dụ 3: Cho x + 1 4 x = . Tính x 5 + 5 1 x Giải: (x + 1 x ) 2 = x 2 + 2 1 x + 2 = 16 , nên x 2 + 2 1 x = 14 x 3 + 3 1 x = 2 2 1 1 1 4.13 52x x x x + + = = ữ ữ x 5 + 3 2 5 3 2 1 1 1 1 52.14 4 724x x x x x x x = + + + = = ữ ữ ữ 4. Bài tập tự luyện Bài 1: Điền các biểu thức thích hợp vào ô trống : a. (2x + 3y) ( + + ) = 8x 3 - 27 b. (4x + 3y) ( - + ) = 64 - 27 y 3 c. (2x -1) 2 ( + + (1 + ) 2 = 4 d. (3x - 2) 2 ( . + ( - 2) 2 = 16 *Bài 2: Cho a là nghiệm của phơng trình: x 2 - 5x + 1 = 0 Tính giá trị biểu thức: A= a 4 + 3 2 4 3 2 1 1 1 1 2 3 4a a a a a a a + + + + ữ ữ ữ *Bài 3: Cho các số a, b R thoả mãn (a - 3) (b - a) + (a - b) (b - 3) + (a -3) (3 - b) + 3 = 0 Tính giá trị biểu thức: 2 2 2 ( ) ( 3) ( 3)a b a b + + *Bài 4: Cho x 2 + y 2 = 1 và 4 x a + 4 1y b a b = + . Tính : 2006 2006 1003 1003 x y a b + *Bài 5: Cho a, b, c là ba số đôi một khác nhau thoả mãn ab + ac + bc = 1 . Tính giá trị biểu thức : A= ( ) 2 2 2 2 2 2 ( ) ( ) 2 (1 )(1 )(1 ) a b b c c a a b c + + + + + + + *Bài 6: Cho a + b + c = 0; a, b, c Q. Chứng minh rằng: M= 2 2 2 1 1 1 a b c + + là bình phơng của một số hữu tỷ Ta có: 2 2 2 1 1 1 a b c + + = ( ) 2 2 2 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 2 2 a b c a b c ab bc ac a b c abc a b c + + + + + + = + + = + + ữ ữ ữ ữ Vậy M là bình phơng của một số hữu tỷ I.2 Phân tích đa thức thành nhân tử Để phân tích đa thức thành nhân tử, chúng ta có nhiều phơng pháp nh: đặt nhân tử chung, dùng hằng đẳng thức đáng nhớ, nhóm nhiều hạng tử, tách các hạng tử thành nhiều hạng tử, thêm bớt cùng một hạng tử, đặt ẩn phụ, dùng phơng pháp hệ số bất định, phơng pháp xét giá trị riêng.v.v. Sau đây ta nêu chủ yếu một số phơng pháp thờng dùng. 1. Phơng pháp đặt nhân tử chung: Ví dụ 1 : Phân tích đa thức sau thành nhân tử: 3x 2 (y-2z) - 15x(y- 2z) 2 Giải : Ta có 3x 2 (y-2z) - 15x(y- 2z) 2 = 3x(y-2z)[x-5(y-2z)] =3x(y-2z)(x-5y+10z) Ví dụ 2 : Phân tích đa thức A= 2x(y-z) + (z-y)(x+y) thành nhân tử Giải: A= 2x(y-z) + (z-y)(x+y) = 2x(y-z) - (y-z)(x+y) = (y-z)[2x-(x+y)] = (y-z)(2x-x-y) =(y-z)(x-y) Chú ý: Nhiều khi cần đổi dấu để xuất hiện nhân tử chung 2. Phơng pháp dùng hằng đẳng thức : Ví dụ 1: Phân tích đa thức -x 4 y 2 + 8x 2 y - 16 thành nhân tử Giải : Ta có -x 4 y 2 + 8x 2 y - 16 =- (x 4 y 2 - 8x 2 y -16 ) = -(x 2 y - 4) 2 Chú ý: Có những trờng hợp phải đổi dấu mới áp dụng đợc hằng đẳng thức đáng nhớ để phân tích đa thức thành nhân tử . Ví dụ 2: Phân tích đa thức sau thành nhân tử : 4b 2 c 2 - (b 2 +c 2 -a 2 ) 2 Giải: Ta có 4b 2 c 2 - (b 2 +c 2 -a 2 ) 2 = (2bc) 2 - (b 2 +c 2 -a 2 ) 2 =(2bc+b 2 +c 2 -a 2 ) (2bc-b 2 -c 2 +a 2 ) = [(b+c) 2 - a 2 ] [a 2 -(b-c) 2 ] = (b+c-a)(b+c+a)(a-b+c)(a+b-c) 3. Phơng pháp nhóm nhiều hạng tử Sử dụng tính chất giao hoán và kết hợp của phép cộng, ta kết hợp nhiều hạng tử của đa thức thành các nhóm thích hợp, rồi áp dụng các phơng pháp khác để phân tích thành nhân tử đối với từng nhóm Ví dụ 1: Phân tích đa thức sau thành nhân tử: P = x 3 z + x 2 yz - x 2 z 2 - xyz 2 Giải P = x 3 z + x 2 yz - x 2 z 2 - xyz 2 = (x 3 z-x 2 z 2 ) + (x 2 yz-xyz 2 ) = x 2 z(x-z) + xyz(x-z) = xz(x-z)(x+y) . Ví dụ 2: Tìm tất cả các giá trị của x,y sao cho: xy+1 = x+y Giải: Ta có xy+1=x+y xy-x-y+1 = 0 (xy-x ) - (y-1) =0 x(y-1) - (y-1) = 0 (y-1)(x-1) = 0 + Hoặc x-1 = 0 x=1 + Hoặc y-1= 0 y= 1 Vậy các giá trị cần tìm của x và y là: + x= 1 , y tuỳ ý + y= 1 , x tuỳ ý 4. Phân tích đa thức thành nhân tử bằng cách phối hợp nhiều phơng pháp Bài toán phân tích một đa thức thành nhân tử nhiều lúc ta phải vận dụng linh hoạt các phơng pháp trên đồng thời sử dụng các tính chất giao hoán, kết hợp của phép cộng và phép nhân , tính chất phân phối của phép nhân đối với phép cộng các đa thức. Ví dụ : Phân tích đa thức thành nhân tử M = ab(a+b) - bc(b+c) -ac ( c-a) Giải M= ab(a+b) -bc(b+c ) -ac (c-a) = a 2 b + ab 2 -b 2 c -bc 2 -ac(c-a) =(a 2 b -bc 2 ) + (ab 2 -b 2 c) + ac(a-c) =b(a 2 -c 2 ) + b 2 (a-c) + ac(a-c) =(a-c)[b(a+c) + b 2 + ac] =(a-c)[ba+cb+b 2 +ac] =(a-c)[(ba+b 2 )+(ac+cb)] =(a-c)[b(a+b)+c(a+b) =(a-c)(a+b)(b+c) Ngoài các phơng pháp trên, ta còn dùng một số phơng pháp khác nữa, chẳng hạn: 1. Phơng pháp tách một hạng tử thành nhiều hạng tử rồi nhóm các hạng tử thích hợp Ví dụ: Phân tích đa thức thành nhân tử: A= x 4 +x 3 +x 2 -x-2 Giải: A= x 4 +x 3 +x 2 -x-2 = (x 4 -x 2 ) + (x 3 -x) +(2x 2 -2) = x 2 (x 2 -1)+x(x 2 -1)+2(x 2 -1) = (x 2 -1)(x 2 +x+2) = (x-1)(x+1)(x 2 +x+2) Ví dụ 2: Phân tích đa thức thành nhân tử: B = 2x 3 + x 2 +x -1 Giải: B = 2x 3 + x 2 +x -1 = 2x 3 - x 2 +2x 2 -x +2x-1 = x 2 (2x-1)+x(2x-1)+(2x-1) = (2x-1)(x 2 +x+1) 2. Phơng pháp thêm bớt cùng một hạng tử Ta có thể thêm bớt cùng một hạng tử vào đa thức đã cho để làm xuất hiện những nhóm số hạng mà ta có thể phân tích đa thức thành nhân tử bằng các phơng pháp: đặt nhân tử chung, dùng hằng đẳng thức, nhóm các hạng tử Ví dụ 1: Phân tích đa thức C = x 5 + x + 1 thành nhân tử Giải: Ta có C = x 5 + x + 1 =x 5 -x 2 +x 2 +x+1 =x 2 (x 3 -1) + (x 2 +x+1) =x 2 (x-1)(x 2 +x+1)+ (x 2 +x+1) =(x 2 +x+1) [x 2 (x-1)+1] =(x 2 +x+1)(x 3 -x 2 +1) Ví dụ 2 : Phân tích đa thức D = 4x 4 +1 thành nhân tử Giải: Ta có D = 4x 4 +1 = 4x 4 + 4x 2 +1 -4x 2 = (2x 2 +1) 2 -(2x) 2 = (2x 2 +1-2x)( 2x 2 +1+2x) 3. Phân tích đa thức thành nhân tử bằng phơng pháp đặt biến phụ Trong một số trờng hợp việc đặt biến phụ thích hợp giúp cho phân tích đa thúc thành nhân tử đợc thuận lợi. Ví dụ: Phân tích da thức thành nhân tử : A= (x 2 +x) 2 +4x 2 +4x -12 Giải : A= (x 2 +x) 2 +4x 2 +4x -12 = (x 2 +x) 2 + 4(x 2 +x) -12 Đặt y= x 2 +x. Ta có A= y 2 + 4 y -12 = y 2 + 4 y + 4 -16 = (y+2) 2 - 4 2 = (y+2-4)(y+2+4) = (y-2)(y+6) = (x 2 +x -2)( x 2 +x +6 ) 5. Bài tập áp dụng 3.Bài tập áp dụng : Phân tích các đa thức sau thành nhân tử : Bài 1: a) (x 2 +y 2 -2) 2 -(2xy-2) 2 b) (a-b)(a 2 -c 2 ) - (a-c)(a 2 -b 2 ) c) 2x 2 -5xy +2y 2 Bài 2: a) x 4 + 4x 2 -5 d) 3x 3 +2x 2 +2x -1 b) x 3 + 2x +3 e) x 3 + x 2 -2x -8 c) x 3 + x 2 + 4 f ) x 4 +x 3 -x-1 Bài 3 : a) x 4 + 3x 2 +4 e) x 8 +x +1 b) x 4 +x 2 y 2 +y 4 f) x 8 + x 7 +1 c) 64x 4 + 81 g) x 10 +x 5 + 1 d) x 5 + x 4 +1 h ) x 4 +4y 2 Bài 4 : a) x 2 + 2xy +y 2 +2x+2y-3 c) (x 2 + x + 7)(x 2 +8x + 15) +15 b) (x-1)(x-3)(x-4)(x-6) -72 d) (4x+1)(12x-1)(x+2)(x+1) - 4 H ớng dẫn giải : Bài 1 : a, (x+y+z)(x+y-z)(x-y) 2 b, (a-b)(a-c)(c-b) c) (x-2y)(2x-y) Bài 2 : Sử dụng phơng pháp nhẩm nghiệm . Đáp số b, (x +1 )(x 2 -x -3 ) c, (x + 2 )(x 2 - x + 2) d, (3x-1)(x 2 -x +1 ) e) (x-2)(x 2 +3x +4) f) (x+1)(x-1)(x 2 +x +1) Bài 3 : a, (x 2 - x + 2 )(x 2 + x + 2) b, (8x 2 -12x +9 )( 8x 2 +12x +9) c, (x 2 + xy +y 2 )( x 2 - xy +y 2 ) d, (x 2 + x + 1)(x 3 +x +2) e, (x 2 + x + 1)( x 6 -x 5 +x 3 -x 2 +1) f, (x 2 + x + 1)(x 8 -x 7 +x 5 -x 4 +x 3 -x +1) g, (x 2 + x + 1)(x 6 -x 4 +x 3 -x +1) h ) (x 2 -2xy+2y 2 )( x 2 +2xy+2y 2 ) Bài4: a, Đặt : x+ y = a (a-1)(a+3) = (x+y+1)(x+y+3) b, Đặt : x 2 -7x +9 = y (y-3)(y+3) - 72 = (y 2 -9 2 ) = x(x-7)(x 2 - 7x + 18) c, Đặt : x 2 + 8x +7 = y y(y+8) + 15 = (y+3)(y+5)= (x+2)(x+6)(x 2 +8x +10) d, Đặt : 12x 2 +11x -1 = y y(y+3) - 4 = (y-1)(y+4) = (12x 2 +11x -2)( 12x 2 +11x +3) I.4 Phân thức đại số 1. Kiến thức cần nhớ - Hai phân thức bằng nhau : A C B D = AD = BC - Nếu M khác đa thức 0 thì : AM A BM B = ; : : A M A B M B = - Các phép tính : +Phép cộng : A B A B M M M + + = ( Nếu hai phân thức khác mẫu thì phải quy đồng mẫu thức ) +Phép trừ : A C A C B D B D = + ữ với C D là phân thức đối của phân thức C D . +Phép nhân : . . . A C A C B D B D = +Phép chia : . : . . A C A D A D B D B C B C = = 2. Một số điẻm cần lu ý - Trớc khi quy đồng mẫu thức hay thực hiện các phép tính, nếu có thể thì nên rút gọn phân thức trớc. Kết quả sau khi biến đổi các biểu thức hữu tỉ cũng cần đợc rút gọn. - Các phép tính với đa thức cũng có đầy đủ các tính chất của các phép tính với các số thực. - Khi giải các bài toán liên quan đến giá trị của phân thức. Ta phải tìm điều kiện xác định của phân thức. 3.Bài tập ví dụ Ví dụ 1: Rút gọn biểu thức sau và tìm giá trị nguyên của x để biểu thức có giá trị nguyên M = 2 2 2 2 3 2 2 2 1 2 1 2 8 8 4 2 x x x x x x x x x ữ ữ + + Giải: M = ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 2 2 2 2 2 . 4 2 2 2 4 x x x x x x x x x x ữ ữ + + = ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 2 2 2 1 2 2 . 2 4 4 2 x x x x x x x x x + ữ + ữ + + = ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 2 2 2 2 4 4 4 2 4 2 1 2 1 . . 2 2 4 2 4 2 x x x x x x x x x x x x x x x x x + + + + + = + + = ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 4 2 1 1 . 2 2 2 4 x x x x x x x x x + + + = + Để M xác định thì ( ) 2 2 2 2 8 0 4 ( 2) 0 0 x x x x + + 0 2 x x (*) Khi đó M nguyên thì 2M nguyên hay 1x x + nguyên. Mà 1x x + =1+ 1 x Z x Ư(1)= { } 1;1 Với x=-1 thoả mãn (*) và M = 0 Z Với x = 1 thoả mãn (*) và M = 1 Z Vậy x=1; x=-1 thoả mãn điều kiện bài ra . *Ví dụ 2 : Cho abc = 1, biết biểu thức sau đợc xác định. Tính giá trị của biểu thức: P = 1 1 1 1 1 1ab a bc b ca c + + + + + + + + Giải: P = 1 1 1 1 1 1ab a bc b ca c + + + + + + + + = 2 1 1 c ac abc ac c ca c abc abc ac + + + + + + + + = 1 1 1 1 1 1 1 c ac ca c ca c ca c ca c ca c + + + + = = + + + + + + + + . 4. Bài tâp tự luyện Bài 1 : Cho x,y,z đôi một khác nhau . Tính giá trị của biểu thức : M = ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) xy yz xz y z z x z x x y x y y z + + Bài 2 : Rút gọn biểu thức : A = 1 : 2 2 2 3 1 2 1 2 : 2 4 4 2 4 2 x x x x x x ữ + ữ + ữ ữ Bài 3 : Rút gọn biểu thức : 2 2 2 2 5 25 3 5 1 : 5 3 25 2 15 x x x x x M x x x x x + = + ữ ữ + + và tìm giá trị của x để M < 1 Bài 4 : Rút gọn biểu thức B = 2 1 1 8 3 2 : 1 3 1 1 3 3 1 9 1 x x x x x x x + ữ ữ + + Tìm các giá trị của x để B = 5 6 Bài 5: Tính giá trị biểu thức P = ( ) 2 2 2 2 2 3 12 1 1 2 . 4 5 6 3 2 4 3 x x x x x x x x x + + + ữ + + + + + + với x = 2006 2007+ H ớng dẫn giải và đáp số Bài 1 : Đặt : a = x y z ; b = y z x ; c = z x y Ta có : (a+1)(b+1)(c+1) = (a-1)(b-1)(c-1) nên M = ab+bc+ca = 1 Bài 2 : A = 4x +8 Bài 3 : M = 5 3x + Bài 4: B = 2 3 1 x x x + Bài 5: P = 1 không phụ thuộc vào x . Ôn luyện toán THCS và thi vào lớp 10 thpt Phần thứ nhất: Đại số I. Biến đổi đồng nhất I.1 Dùng hằng đẳng thức 1. Kiến. các tính chất của các phép tính với các số thực. - Khi giải các bài toán liên quan đến giá trị của phân thức. Ta phải tìm điều kiện xác định của phân thức.