Chuyên đề đại số 9 dãy số có quy luật ******************* Ngời biên soạn : Tạ Phạm Hải Giáo viên Trờng THCS Thị trấn Hng hà , Thái bình Chú ý : Có bốn cách thông thờng để làm loại toán này - Cách 1 : Truy toán - Cách 2 : Phân tích đánh giá số hạng tổng quát - Cách 3 : Dùng quy nạp toán học - Cách 4 : Đa về tính ngiệm của một phơng trình - Cách 5 : Vận dụng tổng hợp các cách đã học - Ví dụ 1 : Cho 2 2 2 . 2A = + + + + có 100 dấu căn Chứng minh A không phải là một số tự nhiên Giải : Dễ tháy A > 1 .Sau đây ta chứng minh A < 2 Thật vậy 2 2 + < 2 2 4 2 + = = 2 2 2 + + < 2 2 4 2 + = = . 2 2 2 . 2A = + + + + < 2 2 4 2 + = = Do vậy ta có 1 < A < 2 , chứng tỏ A N ( dpcm ) Cách giải này thờng đợc gọi là truy toán Ví dụ 2 : Rút gọn dẫy tính sau 1 1 1 1 . 1 2 2 3 3 4 1n n + + + + + + + + Với n là số tự nhiên lớn hơn 1 Giải : Xét số hạng tổng quát 1 1 1 1 1 1 1 n n n n n n n n n n = = = + + + Vậy : 1 1 1 1 . 1 2 2 3 3 4 1n n + + + + + + + + Trang 2 = ( 2 1) ( 3 2) ( 4 3) . ( 1)n n + + + + = 1n Nh vậy cứ cho n một giá trị cụ thể ta lại đợc một bài toán Cách giải này gọi là cách phân tích đánh giá số hạng tổng quát Ví dụ 3 : Chứng minh rằng với mọi số nguyên dơng n ta đều có 1 1 1 1 1 . 2 1 3 2 4 3 5 4 ( 1)n n + + + + + < 2 Giải : Xét số hạng tổng quát ta có : 1 1 1 1 1 1 1 ( 1) 1 ( 1) 1 1 n n n n n n n n n n n n n = = = + ữ ữ ữ + + + + + < 1 1 1 1 2 1 1 . 1 1 n n n n n n n n n + = ữ ữ ữ + + = = 2 2 1n n + . Từ đây tiếp tục giải bài toán dễ dàng Ví dụ 4 : Tính giá trị của biểu thức 5 13 5 13 5 13 B = + + + + + + Trong đó các dấu chấm có nghĩa là lặp đi lặp lại cách viết căn thức có chứa 5 và 13 một cách vô hạn lần Giải : Nhận xét B > 2 Ta thấy : 2 5 13 5 13 5 13 B = + + + + + + ( B 2 5 ) 2 = 13 + B B 4 10 B 2 + 25 = 13 + B B 4 10 B 2 B + 12 = 0 B 4 9 B 2 B 2 + 9 B + 3 = 0 B 2 ( B 3 )( B + 3 ) ( B 3)( B + 3) ( B 3) = 0 ( B 3)[ B 2 ( B + 3) ( B + 3) 1 ] = 0 ( B 3)[ ( B + 3)( B 2 1 ) 1 ] = 0 Vì B > 2 nên B 2 1 > 3 và B + 3 > 4 nên ( B + 3)( B 2 1) 1 > 11 do đó B 3 = 0 . Vậy B = 3 Trang 3 Cách giải của ví dụ 4 gọi là đa về tính ngiệm của một phơng trình Ví dụ 5 : Tính giá trị của biểu thức 2 2 2 2 2 2 2 2 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 . 1 1 2 2 3 3 4 99 100 C = + + + + + + + + + + + + Giải : Xét số hạng tổng quát : 2 2 1 1 1 ( 1)k k + + + với k là số nguyên dơng , ta có : 2 2 2 2 2 1 1 1 1 1 1 ( 1) 1k k k k + + = + + = ữ ữ + + 2 2 2 1 1 1 1 1 1 1 2 1. 2 2 1 1 1 1k k k k k k = + + + ữ ữ ữ ữ ữ ữ + + + Vì : 1 1 1 1 1 1 2 1. 2 . 2 1 2. 0 1 1 ( 1) k k k k k k k k + = = ữ ữ ữ ữ + + + Vậy : 2 2 2 1 1 1 1 1 1 ( 1) ( 1)k k k k + + = + ữ + + Nên : 2 2 1 1 1 1 1 1 1 1 1 ( 1) ( 1) 1k k k k k k + + = + = + + + + áp dung vào bài 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 . 1 1 2 2 3 3 4 99 100 C = + + + + + + + + ữ ữ ữ ữ 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 99 . 100 99,99 1 2 2 3 3 4 4 99 100 100 = + + + + + = = Ví dụ 6 : Chứng minh rằng với mọi số nguyên dơng n ta đều có 4 4 4 . 4 + + + + < 3 Giải : Ta chứng minh bằng quy nạp toán học Với n = 1 ta có D 1 = 4 2 = < 3 Đúng Trang 4 Giả sử bài toán đúng với n = k , tức là ta có : 4 4 4 . 4 k k B = + + + + 1 4 4 44 2 4 4 4 43 < 3 là đúng Ta c/m bài toán cũng đúng với n = k + 1 1 1 4 4 4 . 4 k k B + + = + + + + 1 4 4 44 2 4 4 4 43 = 4 k B + Vì B k < 3 ( Giả thiết quy nạp ) , nên B k+1 = 4 k B + < 4 3 + < 3 Vậy bài toán đúng với n = k + 1 . Do đó bài toán đúng với mọi n Ví dụ 7 : Cho biểu thức 2 2 2 2 . 2 2 2 2 2 . 2 A + + + + = + + + + ở đó trên tử có 100 dấu căn , dới mẫu có 99 dấu căn . Chứng minh A > 1 4 Giải : Đặt : 2 2 2 . 2 n a = + + + + có biểu thức có n dấu căn Ta có : 2 1 2 n n a a = + 2 1 2 n n a a = và 100 99 2 2 a A a = Vậy : ( ) ( ) 100 100 100 2 2 100 100 100 100 100 2 2 2 1 2 ( 2) 4 2 2 2 a a a A a a a a a = = = = + + Sau đây ta c/m 100 a < 2 bằng truy toán Ta có 1 2a = < 2 đúng 2 1 2 2 2a a = + = + < 2 2 4 2 + = = 3 2 2 2 2 2a a = + + = + < 2 2 4 2 + = = . 100 99 2a a = + < 2 Trang 5 Vậy : 100 2a + < 2 + 2 = 4 , nên : 100 1 2 a + > 1 4 Từ đó A > 1 4 ( dpcm ) Bài toán trên đã giải bằng vận dụng tổng hợp các kiến thức đã học Ví dụ 8 : Chứng minh rằng : 2 3 4 5 6 2003 2004 < 3 Giải : Đặt : ( 1) ( 2) . ( 1) k a k k k n n = + + Với n > k và n và k là những số nguyên dơng . Ta chứng minh 1 k a k < + Phản chứng : Giả sử 1 k a k + thì theo cách đặt trên ta có : 2 2 1 1 1 . . k k k k k k a a k a a k a a k + + + = = = mà 2 2 ( 1) k a k + nên 2 2 2 2 1 ( 1) 2 1 2 2 k k a k k k k k a k k k k k + + + + + = = > = + với mọi số nguyên dơng k , tức là 2002 2003 2003 > phải đúng . điều này vô lý . Vậy 1 k a k + là sai . Vậy 1 k a k < + là đúng . Do đó 2 3a < . Ta có điều phải chứng minh . Ví dụ 9 : Tìm ngiệm tự nhiên của phơng trình 2 2 2 2 2 3x x x x x x x + + + + + + = Giải : Dễ thấy x = 0 là một ngiệm Nếu x = 1 , ta có : Trang 6 1 2 1 2 1 . 2 1 2 3.1 1 2 3 1 + + + + + > + = > Vậy x = 1 không phải là ngiệm của phơng trình Nếu x = 2 , ta có : 2 2 2 2 2 2 2 . 2 2 2 6 2 2 2 + + + + + + > + = Vậy x = 2 không phải là ngiệm của phơng trình Nếu x = 3 , xét căn trong cùng ta có : 2 2 3x x + do x = 3 nên 2 2 3 2 3 2 3.3 2 9 6x x + = + = = Căn tiếp theo sẽ là : 2 2 2 3 2 3 2 3 2 3.3 2 3 6 6x x x + + = + + = + = và quá trình nh vậy cứ lặp lại cho đến căn ngoài cùng , ta có : 3 2.3 3 + = đúng . Vậy x = 3 là một ngiệm của phơng trình Nếu x > 3 , thì 2 2 2 2 . 2 2 3 2 2 2 . 2 2 3 x x x x x x x x x x x x x x + + + + + + = = + + + + + + x 2 = x + 2x x 2 3x = 0 x = 0 hoặc x = 3 Nhng do x > 3 nên trong trờng hợp này phơng trình vô ngiệm Vậy phơng trình chỉ có hai ngiệm là 0 và 3 Trang 7 Bài tập luyện tập dãy tính có quy luật Bài 1 : Tính giá trị các biểu thức sau a ) 2 2 2 2 .A = + + + + vô hạn dấu căn b ) 6 6 6 6 .B = + + + + vô hạn dấu căn Bài 2 : Chứng minh rằng : a ) 6 6 6 . 6 3 n C = + + + + < 1 4 4 44 2 4 4 4 43 b ) 3 3 3 3 6 6 6 . 6 2 n D = + + + + < 1 4 4 44 2 4 4 4 43 Bài tập 3 : Dùng quy nạp toán học chứng minh rằng : 2 2 2 2 . 1 n n T a a a a a = + + + + + 1 4 4 4 44 2 4 4 4 4 43 ; Với n Z + Bài tập 4 : Chứng minh rằng 1 1 1 1 . 1 2 1 1 2 3 2 2 3 4 3 3 4 ( 1) 1n n n n + + + + < + + + + + + với mọi số nguyen dơng n Bài 5 : Chứng minh rằng với mọi n nguyên dơng và n > 1 , ta đều có 1 1 1 1 2 3 . 2 2 2 3 4 n n n < + + + + < Bài 6 : Rút gọn các biểu thức sau a ) 1 1 1 1 1 4 4 7 7 10 97 100 A = + + + + + + + + b ) 1 1 1 1 2 3 3 4 4 5 100 101 B = + + Bài 7 : Chứng minh rằng 1 1 1 1 1 1 . 2 3 4 5 100 S = + + + + + + không phải là một số tự nhiên . Trang 8 Bài 8 : Dùng quy nạp toán học chứng minh rằng : 1 1 1 1 1 . 1 2 3 4 n n + + + + + , với mọi n Z + Bài 9 : Cho 100 số : 1 2 3 4 100 , , , , ,a a a a a là 100 số tự nhiên sao cho ta có : 1 2 3 4 100 1 1 1 1 1 . 20 a a a a a + + + + + = Chứng minh rằng tồn tại ít nhất hai số bằng nhau Bài 10 : Chứng minh bất đẳng thức 1 1 1 1 2001 . 2003 3(1 2) 5( 2 3) 7( 3 4) 4003( 2001 2002) + + + + < + + + + Bài 11 : Chứng minh rằng : 2 2 2 2 2 2 2 2 1 1 1 1 1 . 1 2 2 3 3 4 2002 2003 2 + + + + < + + + + Bài 12 : Chứng minh rằng : 2 2 3 8 15 1 . 4 9 16 n n + + + + , n N và n > 1 không phải là một số nguyên . Bài 13 : a ) Chng minh rằng n Z + ta đều có 1 1 1 1 1 ( 1) n n n n n + + < < + + b ) áp dụng chứng minh 3 5 2008 4 3 4 5 2008 2007 2 2008 2 3 4 2007 < + + + + + < Bài 14 : Tìm ngiệm nguyên của phơng trình . y x x x x x z + + + + + = 1 4 4 4 44 2 4 4 4 4 43 vế trái có y dấu căn . Chuyên đề đại số 9 dãy số có quy luật ******************* Ngời biên soạn : Tạ Phạm Hải Giáo viên Trờng THCS Thị trấn Hng hà , Thái bình Chú ý : Có. : Truy toán - Cách 2 : Phân tích đánh giá số hạng tổng quát - Cách 3 : Dùng quy nạp toán học - Cách 4 : Đa về tính ngiệm của một phơng trình - Cách 5 :