SỞ GD & ĐT QUẢNG BÌNH KỲ THI TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 THPT NĂM HỌC 2016 - 2017 ĐỀ CHÍNH THỨC Khóa ngày 08/6/2016 Môn: TOÁN (CHUYÊN) SBD:………… Thời gian làm bài: 150 phút (không kể thời gian giao đề) Đề có 01 trang, gồm 05 câu  a −4  + Câu (2,0 điểm) Cho biểu thức P =  ÷× a − a − với a > 0, a ≠ a − a a −   a) Rút gọn biểu thức P ( b) Tính giá trị P a = (3 2+4 ) 2− 3 −1 ) × Câu (2,5 điểm) 1 + x + 2017 = + x + 2016 x2 x 2 b) Cho phương trình x - ( 2m + 1) x+m + = (1) (m tham số) Tìm m để phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt x1 ,x2 thỏa mãn:  x12 - ( 4m + 1) x1 + m2  × x22 - ( 4m + 1) x2 + m  = 25 a) Giải phương trình Câu (1,0 điểm) Cho a, b, c số thực dương thỏa mãn ab + bc + ca = 3abc 1 + + ≤ Chứng minh rằng: a3 + b b3 + c c3 + a Câu (3,5 điểm) Cho tam giác nhọn ABC ( AB < AC ) nội tiếp đường tròn tâm O Đường phân giác góc BAC cắt BC D, cắt đường tròn (O) E Gọi M giao điểm AB CE Tiếp tuyến C đường tròn (O) cắt AD N tiếp tuyến E đường tròn (O) cắt CN F a) Chứng minh tứ giác MACN nội tiếp đường tròn b) Gọi K điểm cạnh AC cho AB = AK Chứng minh AO ⊥ DK 1 = + c) Chứng minh CF CN CD Câu (1,0 điểm).Trong 100 số tự nhiên từ đến 100 chọn n số ( n ≥ ) cho hai số phân biệt chọn có tổng chia hết cho Hỏi chọn n số thỏa mãn điều kiện với n lớn bao nhiêu? ………………HẾT………………… SỞ GD & ĐT QUẢNG BÌNH HƯỚNG DẪN CHẤM ĐỀ THI TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 THPT NĂM HỌC 2016 -2017 Môn: TOÁN (CHUYÊN) Khóa ngày 08/6/2016 (Hướng dẫn chấm gồm có trang) Yêu cầu chung * Đáp án trình bày lời giải cho câu Trong làm học sinh yêu cầu phải lập luận logic chặt chẽ, đầy đủ, chi tiết rõ ràng * Trong câu, học sinh giải sai bước giải trước điểm bước sau có liên quan * Điểm thành phần câu phân chia đến 0,25 điểm Đối với điểm 0,5 điểm tùy tổ giám khảo thống để chiết thành 0,25 điểm * Đối với Câu 4, học sinh không vẽ hình cho điểm Trường hợp học sinh có vẽ hình, vẽ sai ý điểm ý * Học sinh có lời giải khác đáp án (nếu đúng) cho điểm tối đa tùy theo mức điểm câu * Điểm toàn tổng (không làm tròn số) điểm tất câu Câu 1a Nội dung Ta có: P = = = a −4 a−2 a ( a +1) ( a − 2) ( a −1) ( a +1) ( a − ) a ( a − 2) ( a −1) a= 1b = (3 2+4 ) 2− = −1 ( 3+ 2) ( Suy ra: 0,5 0,25 0,25 a Ta có: Điểm 2,0 ) −1 −1 a = +1 (3+ 2) 4−2 3 −1 0,5 =3+ 2 0,25 Câu Khi đó: P = 2a ( Nội dung ) =8 Điểm + 2 −1 +1 0,25 ĐK: x ≥ − 672; x ≠ Ta có: 1 1 + x + 2017 = + x + 2016 ⇔ − = x + 2016 − x + 2017 x x x x 1− x x −1 ⇔ = x 3x + 2016 + x + 2017  1  ⇔ ( x − 1)  + ÷=0  x + 2016 + x + 2017 x ÷   1 + ≠ với x ≥ − 672; x ≠ ⇔ x = 3x + 2016 + x + 2017 x Vậy phương trình có nghiệm x = Ta có Δ' = 3m + 4m − = m − 3m + ( )( 0,25 0,25 0,25 0,5 Vì x1 ,x2 hai nghiệm phương trình (1) nên  x1 + x2 = 4m + Theo hệ thức Vi-ét ta có   x1.x2 = m +  x - ( 4m + 1) x1 + m = x1 −  2  x2 - ( 4m + 1) x2 + m = x2 − 2 2 Khi đó:  x1 - ( 4m + 1) x1 + m  × x2 - ( 4m + 1) x2 + m  = 25 ⇔ ( x1 − 8) ( x2 − 8) = 25 0,5 ) Phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt m > ' Δ > ⇔ ( m − 1) ( 3m + ) > ⇔  (*) m < −  2b 2,5 0,25 m =  m = 31 ⇔ x1 x2 − ( x1 + x2 ) + 64 − 25 = ⇔ m − 32m + 31 = ⇔  0,25 0,25 Kết hợp (*) ta m = 31 1,0 1 + + =3 a b c 1 1 1 + + ≤ + + a3 + b b3 + c c3 + a 2a ab 2b bc 2c ca Từ giả thiết ta có Khi : 0,25 Câu Nội dung  a ab b bc c ca   a + ab b + bc c + ca   ÷≤ = + + + +  ÷  a ab b bc c ca ÷ 2 a ab b bc c ca     1   ab bc ca  = + + + = + + +  ÷  ÷ ab bc ca  2 ab bc ca  2   a+b b+c c+a ≤ + + ( + 3) = 3 + ÷= 2ab 2bc 2ca  2 2 Dấu “=” xảy a = b = c = Điểm 0,25 0,25 0,25 3.5 0,5 4a · · · Vì AD tia phân giác BAC nên MAN = NAC · · Mà NAC (góc tạo tia tiếp tuyến dây cung góc nội tiếp = MCN chắn cung) · · Suy NAM = MCN Vậy tứ giác MACN nội tiếp đường tròn Gọi I = AO ∩ DK ( I ∈ DK ) Khi đó: ·AKI = ·ABD (do ∆AKD = ∆ABD ) 0,5 0,25 0,25 0,5 4b Câu Nội dung · · Suy ·AKI = ·AOC = 900 − OAK nên ·AKI + OAK = 900 Vậy AO ⊥ DK 4c · · Ta có: BCE nên BC//EF hay DC//EF = CEF EF NF EF CN − CF = = Do đó: suy CD NC CD CN   ⇔ CF  + ÷ = (do EF=CF)  CD CN  1 = + Vậy CF CN CD Điểm 0,5 0,25 0,25 0,25 0,25 1,0 Gọi a1 , a2 , , an n số thỏa mãn đề Vì 6, 12, 18 thỏa mãn đề nên cần xét n ≥ Theo giả thiết a1 + a2 , a1 + a3 , a2 + a3 chia hết 2a1 + (a2 + a3 )M6 suy 2a1 M6 a1 M3 Lập luận tương tự số a1 , a2 , , an chia hết cho 3, nghĩa chia cho chúng có dạng 6k 6k + ( k số tự nhiên) Trong n số xét có hai số thuộc hai dạng trên, lúc tổng chúng không chia hết cho Vậy có hai dãy số ( n ≥ ) thỏa mãn đề là: 1) Các số có dạng 6k , với ≤ k ≤ 16 , gồm 16 số 2) Các số có dạng 6k + , với ≤ k ≤ 16 , gồm 17 số Kết luận: Có thể chọn dãy với n lớn n = 17 số thỏa mãn đề Lưu ý: Nếu học sinh xét dạng 6k 6k + mà không lập luận để loại trừ trường hợp khác cho 0,5 điểm 0,25 0,25 0,5 ...………………HẾT………………… SỞ GD & ĐT QUẢNG BÌNH HƯỚNG DẪN CHẤM ĐỀ THI TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 THPT NĂM HỌC 2016 -2017 Môn: TOÁN (CHUYÊN) Khóa ngày 08/6 /2016 (Hướng dẫn chấm gồm có trang) Yêu cầu chung * Đáp án trình bày... để chiết thành 0,25 điểm * Đối với Câu 4, học sinh không vẽ hình cho điểm Trường hợp học sinh có vẽ hình, vẽ sai ý điểm ý * Học sinh có lời giải khác đáp án (nếu đúng) cho điểm tối đa tùy theo... 2017 = + x + 2016 ⇔ − = x + 2016 − x + 2017 x x x x 1− x x −1 ⇔ = x 3x + 2016 + x + 2017  1  ⇔ ( x − 1)  + ÷=0  x + 2016 + x + 2017 x ÷   1 + ≠ với x ≥ − 672; x ≠ ⇔ x = 3x + 2016 + x + 2017