Trường đại học Cần Thơ Khoa Công nghệ thông tin truyền thông Bộ môn Khoa học máy tính TOÁN RỜI RẠC (Discrete Mathematics) Chương 1: Mệnh đề Vị từ 12/2015 1.Mệnh đề 2.Vị từ Mệnh đề - định nghĩa Mệnh đề (P) câu khẳng định có giá trị chân lý xác định – đúng: T; sai: F  P: mệnh đề nguyên tử  Ví dụ: Các câu sau mệnh đề   2+3=5 True D.C thủ đô Mỹ  Toronto thủ đô Canada  3*4=10 True  Washington False False 1.Mệnh đề 2.Vị từ Mệnh đề - ví dụ  Xét câu sau Bây giờ? Hãy đọc giáo trình này! x+1=2 x+y=z Không phải mệnh đề câu 1, câu khẳng định; câu 3, chứa biến (vị từ - tham khảo phần Vị từ) 1.Mệnh đề 2.Vị từ Phương pháp tạo mệnh đề Mệnh đề thường ký hiệu: P, Q, R, S…; Giá trị chân lý: T (Đúng); F(Sai)  Mệnh đề xây dựng cách tổ hợp nhiều mệnh đề nguyên tử gọi mệnh đề phức hợp (sử dụng toán tử logic – phép toán mệnh đề)  Bảng chân trị: biểu diễn mối quan hệ giá trị chân lý mệnh đề  1.Mệnh đề 2.Vị từ Các phép toán mệnh đề  Phép phủ định: mệnh đề P  Mệnh đề “không phải P”: phủ định mệnh đề P  Kí hiệu: ¬P, P P ¬P  Bảng chân trị  Cho T F  Ví dụ: P= “2 > 0” F T ¬P= “2 ≤ 0” 1.Mệnh đề 2.Vị từ Các phép toán mệnh đề Cho hai mệnh đề P, Q  Mệnh đề “P Q”: hội mệnh đề P Q (PQ)  Mệnh đề “P hay Q”: tuyển mệnh đề P Q (P  Q)  Mệnh đề “loại trừ P loại trừ Q”, nghĩa “hoặc P Q không đồng thời hai”: phép Xor mệnh đề P Q (PQ)  Mệnh đề “Nếu P Q”: phép kéo theo hai mệnh đề P Q (PQ)  Q  P: mệnh đề đảo mệnh đề P  Q  ¬Q  ¬P: mệnh đề phản đảo mệnh đề P  Q  1.Mệnh đề 2.Vị từ Các phép toán mệnh đề  Ví dụ: False PQ = “2>0 2=0” True PQ = “2>0 2=0” PQ = “An đến trường An nhà không đồng thời hai” P  Q = “Nếu An trả lời An 10 điểm” P Q = "Nếu có nhiều tiền mua xe hơi"  Mệnh đề đảo: "Nếu mua xe có nhiều tiền"  Mệnh đề phản đảo: " Nếu không mua xe nhiều tiền" 1.Mệnh đề 2.Vị từ Các phép toán mệnh đề  Bảng chân trị: P T T F F Q T F T F PQ T F F F PQ PQ T F T T T T F F PQ T F T T 1.Mệnh đề 2.Vị từ Các phép toán mệnh đề   Phép tương đương: Câu “P Q” mệnh đề gọi P tương đương Q Ví dụ: P=“Bạn bay”  Q=“Bạn mua vé”   PQ  Bảng chân trị: P T T F F Q T F T F PQ TT F F TT P  Q = (P  Q)  (Q  P) 1.Mệnh đề 2.Vị từ Các phép toán mệnh đề  Phép toán bit: tính dùng bit (binary digit) để biểu diễn thông tin  Một bit có giá trị 0, bit biểu diễn giá trị chân lý (True False)  Trong máy tính sử dụng phép toán bit phép toán logic (OR, AND XOR)  Ví dụ : 101011000 - xâu bit có chiều dài  Các phép toán OR bit, AND bit XOR bit xâu bit có chiều dài 10  Máy Nội dung  Phần 1: Mệnh đề  Phần 2: Vị từ 28 1.Mệnh đề 2.Vị từ Tập hợp     Tập hợp: Là sưu tập gồm đối tượng Mỗi đối tượng gọi phần tử tập hợp Kí hiệu: A, B , X,… Nếu x phần tử tập hợp A, ta kí hiệu x  A Ví dụ: tập hợp số tự nhiên  Z= {0,1,-1,2,-2,…} tập hợp số nguyên  Q= {m/n | m,nZ, n≠0} tập hợp số hữu tỉ  R: tập hợp số thực  N={0,1,2,…} 29 1.Mệnh đề 2.Vị từ Vị từ  Ví dụ: P(n) = {n chẵn}, n thuộc tập số nguyên mệnh đề =  P(2) = {2 chẵn}: True  n =  P(5) = {là chẵn}: False n  Định nghĩa: Vị từ khẳng định P(x,y, ) có chứa số biến x, y, lấy giá trị tập hợp A, B, cho trước, cho :  Bản thân P(x,y, ) mệnh đề  Nếu thay x, y, giá trị cụ thể thuộc tập hợp A, B, cho trước ta mệnh đề P(x, y, ) Các 30 biến x, y, gọi biến tự vị từ 1.Mệnh đề 2.Vị từ Vị từ    Không gian vị từ: vị từ ánh xạ P,  xE ta ảnh P(x){0, 1} Tập hợp E gọi không gian vị từ Trọng lượng vị từ: số biến vị từ Ví dụ: Cho P(a,b) = {cặp số nguyên tương ứng thỏa a + b = 5}  Không gian vị từ: tập số nguyên; Trọng lượng: Vị từ P(x) ~ Hàm mệnh đề P(x) Ví dụ: P(x,y,z) = { 2x + y - z = } x, y, zZ  P(x,y,z) mệnh đề x = 1,y = -1,z =1  P(x,y,z) mệnh đề sai x = 1, y = 1, z =  31 1.Mệnh đề 2.Vị từ Phép toán vị từ  Cho trước vị từ P(x), Q(x) theo biến x  A Ta có phép toán tương ứng mệnh đề  Phủ định ¬P(x)  Phép hội P(x)  Q(x)  Phép tuyển P(x)  Q(x)  Phép kéo theo P(x)  Q(x)  Phép tương đương P(x)  Q(x) 32 1.Mệnh đề 2.Vị từ Lượng từ   Ví dụ: Cho vị từ P(x) = {số nguyên x số chẵn} Xét chân trị hai mệnh đề  Tất số nguyên số chẵn  mệnh đề sai x =  Có (hiện hữu) số nguyên số chẵn  mệnh đề x = 10 Trong không gian xác định vị từ P(x): X Vị từ P(x) với phần tử x  X Vị từ P(x) với số phần tử x  X sự lượng hoá hay lượng từ hàm mệnh đề 33 1.Mệnh đề 2.Vị từ Lượng từ  Định nghĩa: Cho P(x) vị từ có không gian X Các mệnh đề lượng từ hóa P(x) sau:  Mệnh đề “Với x thuộc X, P(x) ”, kí hiệu “x  X, P(x)”, mệnh đề P(x) với giá trị x  X đề “Tồn x thuộc X, P(a)”, kí hiệu “x  X, P(x)”, mệnh đề có giá trị x cho mệnh đề P(x)  Mệnh 34 1.Mệnh đề 2.Vị từ Lượng từ  Mệnh đề Khi đúng? Khi sai? xP(x) P(x) với x Có giá trị x để P(x) sai xP(x) Có giá trị x để P(x) P(x) sai với x Phủ định lượng từ Phủ định MĐ tương đương Khi đúng? Khi sai? xP( x) xP( x) Có giá trị x để P(x) sai P(x) với x xP( x) xP( x) P(x) sai với x Có giá trị x để P(x) 35 1.Mệnh đề 2.Vị từ Lượng từ  Định lý: Cho vị từ P(a, b) có trọng lượng  ab P(a,b)  ba P(a, b)  ab P(a,b)  ba P(a, b)  ab P(a,b) => ba P(a,b)  ba P(a,b) => ab P(a,b) 36 1.Mệnh đề 2.Vị từ Lượng từ  Định lý: Cho P(x) Q(x) hai vị từ có không gian  x (P(x)  Q(x)) = x P(x)  x Q(x)  x (P(x)  Q(x)) => x P(x)  xQ(x)  x (P(x)  Q(x)) = xP(x)  xQ(x)  x(P(x)  Q(x)) => xP(x)  xQ(x) 37 1.Mệnh đề 2.Vị từ Lượng từ Ví dụ: Cho P(a,b) = {cặp số nguyên tương ứng thỏa a + b = 5} Hãy xác định chân trị mệnh đề sau: (a,b) P(a,b) Tất cặp số nguyên tương ứng (a,b) cho a + b = F (a,b) P(a,b) Hiện hữu cặp số nguyên tương ứng (a,b) cho a + b = T ba P(a,b) Hiện hữu cặp số nguyên tương ứng b cho tất số nguyên tương ứng a ta có a + b = F ab P(a, b) Tất số nguyên tương ứng a, hữu số nguyên tương ứng b cho a + b = T ab P(a,b) Hiện hữu cặp số nguyên tương ứng a cho tất số nguyên tương ứng b ta có a + b = F ba P(a, b) Tất số nguyên tương ứng b, hữu số nguyên tương ứng a cho a + b = T 38 1.Mệnh đề 2.Vị từ Dịch câu thông thường thành biểu thức logic   Biểu diễn câu: "Nếu người phụ nữ sinh con, người mẹ người khác" thành biểu thức logic Giải:  Giả sử F(x) = "x phụ nữ" P(x) = "x sinh con" M(x,y) = "x mẹ y" Ta viết thành biểu thức logic sau: x (F(x)  P(x))  y M(x,y) 39 1.Mệnh đề 2.Vị từ Dịch câu thông thường thành biểu thức logic  Xét câu sau: Hai câu tiền đề câu ba kết luận Toàn tập hợp câu gọi suy lý     "Tất sư tử Hà Đông dữ" "Một số sư tử Hà Đông không uống cà phê" "Một số sinh vật không uống cà phê" Giải:   Gọi: P(x)= {x sư tử hà đông} Q(x)= {x dữ} R(x)= {x uống cà phê} Giả sử không gian tập hợp toàn sinh vật, ta có cách suy diễn sau: x ( P(x)  Q(x) x ( P(x)  R (x)) x ( Q(x)  R (x)) 40 1.Mệnh đề 2.Vị từ Dịch câu thông thường thành biểu thức logic  Cho vị từ: P(x) = {x sinh viên) Q(x) = {x kẻ ngu dốt} R(x) = {x kẻ vô tích sự}  Dựa vào vị từ với không gian tất sinh viên Hãy diễn đạt câu sau thành biểu thức logic? a) Không có sinh viên kẻ ngu dốt x(P( x)  Q( x)) x(Q( x)  R( x)) b) Mọi kẻ ngu dốt vô tích c) Không có sinh viên vô tích x( P( x)  R( x)) 41 ... đề  Ví dụ: Tìm OR bit, AND bit XOR bit xâu sau đây: 011 01 1 011 0 11 000 11 1 01 111 01 111 11 OR bit 010 00 10 100 AND bit 10 1 01 010 11 XOR bit 11 1. Mệnh đề 2.Vị từ Biểu thức mệnh đề Cho P, Q, R, mệnh... học,…  Ví dụ 1: đặt điều kiện 0