NGUYỄN BẢO VƯƠNG GIÁO VIÊN MUỐN MUA FILE WORD LIÊN HỆ 0946798489 GIỚI HẠN HÀM SỐ TẬP 220 BÀI TẬP TRẮC GIỚI HẠN HÀM SỐ CÓ LỜI GIẢI CHI TIẾT https://web.facebook.com/phong.baovuong ALBA-CHƯ SÊ-GIA LAI NGUYỄN BẢO VƯƠNG CHƯƠNG IV GIỚI HẠN HÀM SỐ - TẬP CHƢƠNG IV: GIỚI HẠN TẬP I GIỚI HẠN DÃY SỐ VÀ GIỚI HẠN HÀM SỐ GIỚI HẠN DÃY SỐ Giới hạn hữu hạn dãy số 1.1 Định nghĩa:  Dãy số (un ) gọi có giới hạn n tiến dương vô cực với số dương nhỏ tuỳ ý cho trước, số hạng dãy số , kể từ số hạng n|o trở đi, có giá tri tuyệt dối nhỏ số dương Kí hiệu: lim un  Hay là: lim un  với   nhỏ tùy ý, tồn số tự x  x 0 nhiên n0 cho: un   , n  n0  lim un  a  lim  un  a   , tức là: Với   nhỏ tùy ý, tồn số tự nhiên n0 cho x  x  un  a   , n  n0 Dãy số (un) có giới hạn số thực gọi dãy số có giới hạn hữu hạn 1.2 Một số giới hạn đặc biệt  lim  với k  nk *  Nếu q  lim qn  n   Nếu un  c (với c số) lim un  lim c  c n n Chú ý: Ta viết lim un  a thay cho cách viết lim un  a n Một số định lí giới hạn Định lí Nếu dãy số (un) thỏa un  kể từ số hạng n|o trở v| lim  lim un  Định lí Cho lim un  a, lim  b Ta có:  lim(un  )  a  b  lim(un  )  a  b  lim(un )  a.b lim  un a  (b  0) b  Nếu un  n lim un  a Tổng CSN lùi vô hạn Cho CSN (un ) có công bội q thỏa q  Khi tổng S  u1  u2   un  gọi tổng vô hạn CSN S  lim Sn  lim u1 (1  qn ) u  1 q 1 q Giới hạn vô cực GIÁO VIÊN MUỐN MUA FILE WORD LIÊN HỆ 0946798489 ĐỂ ĐẶT MUA CHƯƠNG IV GIỚI HẠN HÀM SỐ - TẬP NGUYỄN BẢO VƯƠNG 4.1 Định nghĩa:  lim un    với số dương tuỳ ý cho trước , số hạng dãy số , kể từ số hạng n|o n trở đi, lớn số dương  lim un    lim  un    n n 4.2 Một số kết đặc biệt  lim nk   với k   lim qn   với q  4.3.Một vài quy tắc tìm giới hạn vô cựC Quy tắc 1: Nếu lim un   , lim   lim(un ) cho sau; lim un lim lim(un )             Quy tắc 2: Nếu lim un   , lim  l lim(un ) cho sau; Dấu l lim un lim(un )             Quy tắc 3: Nếu lim un  l , lim    kể từ số hạng dó trở lim un coi sau; Dấu l Dấu             lim un Vấn đề Tìm giới hạn định nghĩa Phƣơng pháp:  Để chứng minh lim un  ta chứng minh với số a  nhỏ tùy ý tồn số na cho un  a n  na  Để chứng minh lim un  l ta chứng minh lim(un  l)  GIÁO VIÊN MUỐN MUA FILE WORD LIÊN HỆ 0946798489 ĐỂ ĐẶT MUA CHƯƠNG IV GIỚI HẠN HÀM SỐ - TẬP NGUYỄN BẢO VƯƠNG  Để chứng minh lim un   ta chứng minh với số M  lớn tùy ý, tồn số tự nhiên nM cho un  M n  nM  Để chứng minh lim un   ta chứng minh lim(un )    Một dãy số có giới hạn giới hạn l| Các ví dụ Ví dụ Chứng minh rằng: lim n2 1 n1 lim n2  1  2n  lim  2n n2   2 Lời giải Với a  nhỏ tùy ý, ta chọn na   , ta có: a n2 1 1    a với n  na n1 n  na  Suy lim n2 n2    lim  n1 n1 Với a  nhỏ tùy ý, ta chọn na   , ta có: a n2  1 3     a với n  na 2 2n  n  na  Suy lim n2  1 n2  1    lim  2n  2n  Với a  nhỏ tùy ý, ta chọn na   2n n 1 2  Suy lim  n  n2  n 1  2n n 1     lim  , ta có: a2  2n  2(n  1) n 1  2n n2   n 1  n 1 a  a với n  na  2 Ví dụ Chứng minh dãy số (un ) : un  ( 1)n giới hạn Lời giải Ta có: u2n   lim u2n  1; u2n1  1  lim u2n1  1 Vì giới hạn dãy số có nên ta suy dãy (un) giới hạn Ví dụ Chứng minh giới hạn sau: lim n2    n lim 2n   n Lời giải Với số thực dương M lớn tùy ý, ta có: GIÁO VIÊN MUỐN MUA FILE WORD LIÊN HỆ 0946798489 ĐỂ ĐẶT MUA NGUYỄN BẢO VƯƠNG CHƯƠNG IV GIỚI HẠN HÀM SỐ - TẬP n2  M  M2   M  n2  Mn    n  n  M  M2   n2  Ta chọn n0    ta có:  M , n  n0 n   Do đó: lim n2    n Với M  lớn tùy ý, ta có:  M  M2     M  n M n 2   n     n   n2 2   n2 M  M2      ta có:  M , n  n0 Ta chọn n0      n     Do đó: lim 2n n   CÁC BÀI TOÁN LUYỆN TẬP Bài Giá trị lim bằng: n1 A B.1 Lời giải Với a  nhỏ tùy ý, ta chọn na  Bài Giá trị lim nk sin n n2 C.4 k D 1 1 ta có k  k  a n  na nên có lim k  a n na n bằng: B.3 Lời giải Với a  nhỏ tùy ý, ta chọn na  lim 1 1   a n  na nên có lim  ta có  n  na  a n1 B.2 Lời giải Với a  nhỏ tùy ý, ta chọn na  A D ( k  *) bằng: A Bài Giá trị lim C.2 C.5 D sin n 1    a n  na nên có  ta có n  n  n 2 a a sin n 0 n2 Bài Giá trị lim(2n  1) bằng: A  B  Lời giải Với số dương M lớn tùy ý ta chọn nM  C.0 D M 1 Ta có: 2n   2nM   M n  nM  lim(2n  1)   GIÁO VIÊN MUỐN MUA FILE WORD LIÊN HỆ 0946798489 ĐỂ ĐẶT MUA NGUYỄN BẢO VƯƠNG Bài Giá trị lim  n2 n CHƯƠNG IV GIỚI HẠN HÀM SỐ - TẬP bằng: B  A  Lời giải Với số dương M lớn tùy ý ta chọn nM thỏa  nM  Ta có: C.0 D n 1 M nM M M  M2  n2  n2   M n  nM  lim   n n Vậy lim  n2   n Bài Giá trị lim bằng: n1 B  A  C.0 D C.0 D 2  Lời giải Với a  nhỏ tùy ý, ta chọn na    1  a  Suy 2  a n  na  lim 0 n1 n1 Bài Giá trị lim cos n  sin n bằng: n2  B  A  Lời giải Ta có cos n  sin n n Bài Giá trị lim  cos n  sin n mà lim   lim 0 n n n2  n1 n2 bằng: B  A  C.0 D 1  Lời giải Với số thực a  nhỏ tùy ý, ta chọn na    1  a   Ta có: n1 n1   a n  na  lim 0 n2 n 2 n1 Bài Giá trị lim A  3n3  n n2 bằng: B  C.0 D M Lời giải Với M  lớn tùy ý, ta chọn nM     3 Ta có: 3n3  n  3n   M n  nM n n2 GIÁO VIÊN MUỐN MUA FILE WORD LIÊN HỆ 0946798489 ĐỂ ĐẶT MUA CHƯƠNG IV GIỚI HẠN HÀM SỐ - TẬP NGUYỄN BẢO VƯƠNG Vậy lim 3n3  n   n2 Bài 10 Giá trị lim 2n bằng: n1 B  A  C.0 D 1  Lời giải Với M  lớn tùy ý , ta chọn nM      a  n2 Ta có: 1 n Suy lim  n1  2n n1 n1   n   M n  nM   Bài 11 Giá trị A  lim 2n  n2 bằng: B  A  C.2 Lời giải Với số thực a  nhỏ tùy ý, ta chọn na  D 2 a 2n  5 2    a n  na n2 n  na  Ta có: Vậy A  Bài 12 Giá trị B  lim 2n  n2  bằng: B  A  C.0 Lời giải Với số thực a  nhỏ tùy ý, ta chọn na thỏa  na  Ta có: na2  a  a2  4a  13 a 2n   a n  na  B  n2  Bài 13 Giá trị C  lim n2  n1 bằng: B  A  C.0 Lời giải Với số thực a  nhỏ tùy ý, ta chọn na  Ta có: 2na  D D 1 1 a n2  n2 1  1   a n  na n1 n1 na  Vậy C  Bài 14 Giá trị A  lim n2 n 2n bằng: GIÁO VIÊN MUỐN MUA FILE WORD LIÊN HỆ 0946798489 ĐỂ ĐẶT MUA CHƯƠNG IV GIỚI HẠN HÀM SỐ - TẬP NGUYỄN BẢO VƯƠNG B  A  Đáp án A  C D 1 Bài 15 Giá trị B  lim n sin n  3n2 n2 bằng: B  A  C 3 D C.0 D C.0 D C.0 D Lời giải B  3 Bài 16 Giá trị C  lim n 2 n 7 bằng: B  A  Lời giải C  Bài 17 Giá trị D  lim 4n  n  3n  2 bằng: B  A  Lời giải D  Bài 18 Giá trị lim an  bằng: n! B  A  Lời giải Gọi m số tự nhiên thỏa: m   a Khi với n  m  m a  a  an a a a a a     Ta có:  n! m m  n m !  m    a   Mà lim   m1   n m  Từ suy ra: lim n m an 0 n! Bài 19 Giá trị lim n a với a  bằng: B  A  C.0 D Lời giải Nếu a  ta có đpcm  Giả sử a  Khi đó: a  1    n  n a    n   n  a 1 Suy ra:  n a   a  nên lim n a  n  Với  a  1   lim n   lim n a  a a Tóm lại ta có: lim n a  với a  Vấn đề Tìm giới hạn dãy số dựa vào định lý giới hạn Phƣơng pháp: GIÁO VIÊN MUỐN MUA FILE WORD LIÊN HỆ 0946798489 ĐỂ ĐẶT MUA NGUYỄN BẢO VƯƠNG CHƯƠNG IV GIỚI HẠN HÀM SỐ - TẬP Sử dụng c{c định lí giới hạn, biến đổi đưa giới hạn  Khi tìm lim f (n) ta thường chia tử mẫu cho n k , k bậc lớn tử mẫu g(n)  Khi tìm lim  k f (n)  m g(n)  lim f (n)  lim g(n)   ta thường tách sử dụng phương ph{p   nh}n lượng liên Các ví dụ Ví dụ Tìm giới hạn sau : A  lim n     (2n  1) B  lim 2n     n  n  2   n2  2n Lời giải Ta có:     2n   n2 Suy A  lim n2  lim 2n2  Ta có:    n  1 2 n  n(n  1) ; n(n  1)(2n  1) 12  22   n2   1 n2    n n(n  1)   n n 2 Suy : B  lim  lim  n ( n  1)(2 n  1)    3  2n n      n  n   2n 1 2 Ví dụ Tìm giới hạn sau :   1 C  lim              n     1 1      D  lim   n(n  1)   1.2 2.3 3.4 Lời giải Ta có:  ( k  1)( k  1) nên suy  k2 k2   1         2 n     Do C  lim Ta có  1.3 2.4 (n  1)(n  1) n     2n n2  n1  2n 1 1 1 1        1 nên suy k( k  1) k k  1.2 2.3 3.4 n(n  1) n1 GIÁO VIÊN MUỐN MUA FILE WORD LIÊN HỆ 0946798489 ĐỂ ĐẶT MUA NGUYỄN BẢO VƯƠNG CHƯƠNG IV GIỚI HẠN HÀM SỐ - TẬP   Vậy D  lim    1 n 1  Ví dụ Tìm giới hạn sau : A  lim n   5n  n  5n B  lim 4.3n  2.7 n1 4n  n 1 Lời giải n 4 4   n 5 4  n Chia tử mẫu cho ta có: A  lim  5 ( lim    ) n 5 4  5 1   n 4 36    7  Ta có: B  lim  n 49 4 7  7     1   Ví dụ Tìm giới hạn sau : C  lim          n      Lời giải Ta có:  ( k  1)( k  1) nên suy  k2 k2   1   1.3 2.4 (n  1)(n  1) n            2n n2     n  Do C  lim n1  2n CÁC BÀI TOÁN LUYỆN TẬP Bài Giá trị A  lim 2n2  3n  bằng: 3n2  n  B  A  C D  n n  Lời giải Ta có: A  lim 3  n n 2 Bài Giá trị B  lim A  n2  2n n  3n2  B  bằng: C.0 D 1 GIÁO VIÊN MUỐN MUA FILE WORD LIÊN HỆ 0946798489 ĐỂ ĐẶT MUA CHƯƠNG IV GIỚI HẠN HÀM SỐ - TẬP NGUYỄN BẢO VƯƠNG * Nếu m  n  B  lim a a a1   nn11  nn )  a b  x 0 x x   bm 1 bm b1  a b 0  0  b0    m 1  m x x x xn  m ( a0  x  Bài 11 Tìm giới hạn A  lim 3x   x  x  x  4x4  B  A  x3  Lời giải Ta có: A  lim x  C  3 2 D 1 x 2  3 x x x3  2 x 4  x x x2   x  Bài 12 Tìm giới hạn B  lim x  x3   : B  A  : C D 1   ) x(    ) x x x x x x    2 3 x(   ) 2  x x x x x2 (  Lời giải B  lim x  (do tử   , mẫu  ) (2 x  1)3 ( x  2)4 : x  (3  x)7 Bài 13 Tìm giới hạn A  lim B  A  C  16 D  1  2   x  1 x      Lời giải A  lim  x  16 3   x  2   Bài 14 Tìm giới hạn B  lim x2  3x   x x  x2  x   x B  A   4 Lời giải B  lim x   2 x x2 1  1   x x x : C.2 D 2 GIÁO VIÊN MUỐN MUA FILE WORD LIÊN HỆ 0946798489 ĐỂ ĐẶT MUA 45 CHƯƠNG IV GIỚI HẠN HÀM SỐ - TẬP NGUYỄN BẢO VƯƠNG x  3x2  Bài 15 Tìm giới hạn C  lim x  5x  x  : B  A  C 2 D C D 1 C D C D x2   Lời giải C  lim x   1 x 2 3 Bài 16 Tìm giới hạn D  lim x   x  x6  x3  x4 : B  A  1  1 x x Lời giải D  lim  1 x  1  1  x x Bài 17 Tìm giới hạn A  lim x   x2  x   2x3  x  B  A   :  1 1  Lời giải Ta có: A  lim  x    x    x   x x x x    1 1   lim x          x   x x x x    Bài 18 Tìm giới hạn B  lim x  x  x  x   : B  A   1 Lời giải Ta có: B  lim  x  x   x   x x  Bài 19 Tìm giới hạn C  lim x     1   lim x      x   x x   4x2  x   2x  : B  A  Lời giải Ta có: C  lim x        C D  1 x1   1 x x1  x  lim  lim  x  x  2 1 1 4x  x   2x x    2x 4  2 x x x x Bài 20 Tìm giới hạn D  lim x   x3  x2   x2  x   : GIÁO VIÊN MUỐN MUA FILE WORD LIÊN HỆ 0946798489 ĐỂ ĐẶT MUA 46 CHƯƠNG IV GIỚI HẠN HÀM SỐ - TẬP NGUYỄN BẢO VƯƠNG B  A  Lời giải Ta có: D  lim x    x3  x2   x  lim x  x  x1 N  lim x  x  x1  x Do đó: B  3 1  lim x  1   Bài 21 Tìm giới hạn A  lim x   x   x2  x   x2  x  x  x x x  x  x1 2 2 x2  x   x  : C D   4(x  x) 2 x2  x   x2  x  x x x  x    5x  x x2  x   x2  x  x 2x  x2  x   x  x2  x   x2  x  x   B  Lời giải Ta có:  1  1 x x2  1 A  D x2  x   x  M  N ( x  x  1)  x x  x   x   x2  M  lim  C  x( x  1) x  x   x2  x  x  Do đó: A  lim x     5x x2  x   x2  x  x x2  x   x  5x x  x   x2  x  x 2   x    1 1 1    1          x x x x x     5 x  lim    x  4 1 1   1 1 x x x Bài 22 Tìm giới hạn B  lim x( x2  2x  x2  x  x) : x  A  B  C  D GIÁO VIÊN MUỐN MUA FILE WORD LIÊN HỆ 0946798489 ĐỂ ĐẶT MUA 47 CHƯƠNG IV GIỚI HẠN HÀM SỐ - TẬP NGUYỄN BẢO VƯƠNG Lời giải Ta có: x2  x  x2  x  x  Nên B  lim x  x2  2x  x2  x  x 2 x ( x  x  x  x  x)( x2  x  x  1) 2 2 x2 x   lim x2  2x  x2  x  x x2  2x  x   2x  2x2  2x  2x x2  2x  4x2  4x ( x2  x  x  x  x)( x  2x  x  1) 2  2 (     1)(    ) x x x x Bài 23 Tìm giới hạn A  lim x  a0 xn   an1 x  an b0 xm   bm1 x  bm , (a0 b0  0) : B  A  C D Đ{p {n kh{c a a a1   nn11  nn ) x x x Lời giải Ta có: A  lim x  b b b x m (b0    mm11  mm ) x x x xn ( a0  a a a1   nn11  nn x x x  a0  Nếu m  n  B  lim x  b b b b0 b0    mm11  mm x x x a0  a a a1   nn11  nn x x x 0  Nếu m  n  B  lim x  b bm b mn m 1 x (b0    m 1  m ) x x x a0  ( Vì tử  a0 , mẫu  )  Nếu m  n , ta có: B  lim x  a a a1   nn11  nn )  a b  x 0 x x   bm 1 bm b1  a b 0  0  b0    m 1  m x x x xn m ( a0  Bài 24 Tìm giới hạn B  lim 4x2  x  8x3  x  x  A  B  x4  : C D GIÁO VIÊN MUỐN MUA FILE WORD LIÊN HỆ 0946798489 ĐỂ ĐẶT MUA 48 CHƯƠNG IV GIỚI HẠN HÀM SỐ - TẬP NGUYỄN BẢO VƯƠNG x 4 Lời giải Ta có: B  lim x  Bài 25 Tìm giới hạn C  lim 1 1 1  x   4  8  x x x x  lim x x 4 x  3 1 x 1 x x4 4x2   x3  x  : x2   x B  A  C  x 1  x x  lim x  x 1  x x x 4 Lời giải Ta có: C  lim x  Bài 26 Tìm giới hạn D  lim x x2   x  x  x3  x   x 4     D  1 x x 3  1   1  x  : B  A  C D   x2       x x  x  Lời giải Ta có: D  lim   x   1 1 x  3 5    x x  x x  Bài toán 04: Dạng vô định:    0. Phƣơng pháp: Những dạng vô định ta tìm cách biến đổi đưa dạng   Các ví dụ Ví dụ Tìm giới hạn sau: A  lim( x3  3x2  x2  2x ) x  Lời giải Ta có: x3  3x2  x2  2x  ( x3  3x2  x)  ( x2  2x  x) 3x2  ( x  3x )  x x  3x  x 3 2 3  A  lim x  3 (1  )2    x x  lim x  2 x  x  2x  x 2  1 1 x  Ví dụ Tìm giới hạn sau: B  lim x( x2  2x  x2  x  x) x  Lời giải GIÁO VIÊN MUỐN MUA FILE WORD LIÊN HỆ 0946798489 ĐỂ ĐẶT MUA 49 CHƯƠNG IV GIỚI HẠN HÀM SỐ - TẬP NGUYỄN BẢO VƯƠNG x2  2x  x2  x  x x2  2x  x   2x  2x2  2x  2x x2  2x  4x2  4x x2  x  x2  x  x  Ta có: x2  2x  x2  x  x 2 x ( x  x  x  x  x)( x  x  x  1) 2  B  lim x  B  lim x  2 x2 ( x2  x  x2  x  x)( x2  x  x  1) 2  2 (     1)(    ) x x x x CÁC BÀI TOÁN LUYỆN TẬP Bài Tìm giới hạn A  lim x   x2  x   x  : C  B  A  Lời giải Ta có: A  lim x  x2  x   x x2  x   x2 x  x1  x  lim x  x  1  x  x1  x  Bài Tìm giới hạn B  lim x  x  x  x   : B  A  Lời giải B  lim C (2 x  x  x  1)(2 x  x  x  1) x  D ( x2  x   x)( x  x   x) x   lim 2x  4x  x   lim x  D x1 2x  4x  x   Bài Tìm giới hạn C  lim [ n ( x  a1 )( x  a2 ) ( x  an )  x] : x  B  A  C a1  a2   an n D a1  a2   an 2n Lời giải Đặt y  n ( x  a1 )( x  a2 ) ( x  an )  yn  xn  ( y  x)( yn1  yn1 x   xn1 )  y  x   lim( y  x)  lim x  x  y n  xn y n1  y n1 x   xn1 y n  xn y n1  y n x   xn1 GIÁO VIÊN MUỐN MUA FILE WORD LIÊN HỆ 0946798489 ĐỂ ĐẶT MUA 50 CHƯƠNG IV GIỚI HẠN HÀM SỐ - TẬP NGUYỄN BẢO VƯƠNG y n  xn xn 1  C  lim n 1 n 1 x  y  y x   xn 1 xn 1 Mà lim x  y n  xn x n 1  lim( a1  a2   an  x  b b2 b3    nn1 ) x x x  a1  a2   an lim y k x n  1 k x  x n 1 Vậy C   k  0, , n   lim y n1  y n x   xn1 a1  a2   an n  n x n 1 x  Bài Tìm giới hạn A  lim( x  x   x) : x  C  B  A  x  Lời giải A  lim x  x  x1  x  D Bài Tìm giới hạn B  lim x( x   x) : x  B  A  C D C D Đ{p {n kh{c Lời giải B   Bài Tìm giới hạn C  lim( x2  x   x2  x  1) : x  B  A  Lời giải  lim  lim x  x   x  x    lim x2  x   x2  x   lim x2  x   2 x x  x  x   x2  x  2 x x  x2  x   x2  x  2  1 1 Bài Tìm giới hạn D  lim( 8x  2x  2x) : x  B  A  C 2x Lời giải D  lim x  (8 x  x)  x (8 x3  x)  x2 D D 0 Bài Tìm giới hạn E  lim( 16x4  3x   4x2  2) : x  B  A  Lời giải E  lim x    C 16x4  3x   x  lim x    x2   x  GIÁO VIÊN MUỐN MUA FILE WORD LIÊN HỆ 0946798489 ĐỂ ĐẶT MUA 51 CHƯƠNG IV GIỚI HẠN HÀM SỐ - TẬP NGUYỄN BẢO VƯƠNG Bài Tìm giới hạn F  lim( x   x ) : x  B  A  C D Lời giải F   Bài toán 05: Dạng vô định hàm lƣợng giác Phƣơng pháp: Ta sử dụng công thức lượng giác biến đổi dạng sau:  lim x 0 sin x x tan x x  lim  , từ đ}y suy lim  lim  x 0 sin x x 0 x 0 tan x x x  Nếu lim u( x)   lim x  x0 x  x0 sin u( x) tan u( x)  lim 1 x  x0 u( x) u( x) Các ví dụ Ví dụ Tìm giới hạn sau: cos x  cos x sin x A  lim x 0 B  lim  x   3x x 0  cos x Lời giải Ta có: A  lim x 0 Mà: lim x 0 cos x  x2  cos x x2  lim 2 x sin x x 0 x2 sin x cos x  cos x  1  lim  2 x  x x cos x  1  cos x  cos x 1  lim  x 0 x 0 x2 x2 cos x  cos x  lim 1 Do đó: A      12  x   3x x2 Ta có: B  lim x 0  cos x x2 Mà: lim x 0  lim x 0  x   3x  x  (1  x) ( x  1)   3x  lim  lim 2 x 0 x 0 x x x2 1  2x  x   lim x 0 x3 ( x  1)  ( x  1)  3x  1  3x  2 1   1 2 lim x 0  cos x  cos x  lim 1 x 0 x2 x2  cos x Vậy B  GIÁO VIÊN MUỐN MUA FILE WORD LIÊN HỆ 0946798489 ĐỂ ĐẶT MUA 52 CHƯƠNG IV GIỚI HẠN HÀM SỐ - TẬP NGUYỄN BẢO VƯƠNG Ví dụ Tìm giới hạn sau: A  lim x sin x 0 x2  B  lim sin x  cos x x   x 1  x  Lời giải Ta có:  x sin  x3 x2 Mà lim x3   lim x3 sin x 0 x 0 1   lim x3 sin  x 0 x2 x Vậy A  Ta có: B  lim sin x  cos3 x x  Mà:  x1  x sin x  cos x x1  x  x1  x  x   Do đó: B  CÁC BÀI TOÁN LUYỆN TẬP Bài Tìm giới hạn A  lim x 0  cos ax : x2 B  A  C a D C m n D Lời giải Ta có: A  lim x 0 ax  ax  sin   a lim    a x  ax 2 x     sin Bài Tìm giới hạn A  lim x 0  sin mx  cos mx :  sin nx  cos nx B  A   sin mx  cos mx  Lời giải Ta có:  sin nx  cos nx m  n m A  lim n x 0 mx mx mx  sin cos 2 nx nx nx sin  sin cos 2 2 sin mx nx mx mx sin  cos 2 mx nx nx nx sin sin  cos 2 2 sin mx nx mx mx sin  cos lim lim 2 m mx x 0 nx x 0 nx nx n sin sin  cos 2 2 sin GIÁO VIÊN MUỐN MUA FILE WORD LIÊN HỆ 0946798489 ĐỂ ĐẶT MUA 53 CHƯƠNG IV GIỚI HẠN HÀM SỐ - TẬP NGUYỄN BẢO VƯƠNG  cos x.cos x.cos x : x2 Bài Tìm giới hạn B  lim x 0 B  A  C.3 D Lời giải Ta có:  cos x.cos x.cos 3x  cos x  cos x cos x(1  cos 3x)  cos x(1  cos 2x)  x2 x2   cos x  cos 3x  cos x  cos x.cos x  cos x 2 x x x2 B  lim x 0  cos x  cos 3x  cos x  lim cos x.cos x  lim cos x 3 2 x  x  x x x2 Bài Tìm giới hạn A  lim x 0  cos x : 3x sin B  A  C.1 sin x sin x Lời giải Ta có: A  lim  lim x( ) lim x 0 3x x 0 x x 0 sin D 3x 0 3x sin cos x  cos x : x(sin 3x  sin x) Bài Tìm giới hạn B  lim x 0 B  A  C D 5x x 5x sin sin 2 ).lim  Lời giải B  lim   lim( x 0 x 0 x 0 7x x 5x 7x 2 x cos sin cos 2 2 sin tan 2 x Bài Tìm giới hạn C  lim  cos x x 0 : B  A  Lời giải C  lim x 0 tan 2 x  cos x  lim x 0 C.6 D tan 2 x(1  cos x  cos 2 x )  cos x tan 2 x(1  cos x  cos 2 x ) x 0 sin x tan x x  lim( ) ( ) (1  cos x  cos 2 x ) x 0 2x sin x  lim C  Bài Tìm giới hạn D  lim x 0 A  x2  x sin 3x  cos x B  : C D GIÁO VIÊN MUỐN MUA FILE WORD LIÊN HỆ 0946798489 ĐỂ ĐẶT MUA 54 CHƯƠNG IV GIỚI HẠN HÀM SỐ - TẬP NGUYỄN BẢO VƯƠNG Lời giải Ta có: D  lim  x sin 3x  cos x x2 x 0  x sin 3x  cos x  x sin 3x  1  cos x  lim  lim x 0 x 0 x2 x2 x2 Mà : lim x 0  3lim( x 0 Vậy: D  sin 3x )  3x  x sin 3x  Bài Tìm giới hạn A  lim x 1 sin( xm ) : sin( xn ) B  A  Lời giải A  lim x 1 C n m D sin  (1  xm ) sin  (1  xm )  (1  xn )  xn  lim lim lim n m n sin  (1  x ) x 1  (1  x ) x 1 sin  (1  x ) x 1  xm  xn (1  x)( xn1  xn   1) n  lim  x 1  x m x 1 (1  x)( x m 1  x m    1) m  lim Bài Tìm giới hạn B  lim( x   2  x) tan x : B  A  C   sin x  lim Lời giải Ta có: B  lim(  x)  cos x x   x 2 Bài 10 Tìm giới hạn C  lim x sin x 0 x  sin(  x) D lim sin x  x  (  0) : x B  A  C D C D Lời giải Ta có: | x sin | x Mà lim x  x 0 x Nên theo nguyên lí kẹp  A39  Bài 11 Tìm giới hạn D  lim(sin x   sin x ) : x  B  A  Lời giải Trước hết ta có: sin x  x Ta có: sin x   sin x  2sin x  x1  x x1 x  cos 2 x1  x GIÁO VIÊN MUỐN MUA FILE WORD LIÊN HỆ 0946798489 ĐỂ ĐẶT MUA 55 CHƯƠNG IV GIỚI HẠN HÀM SỐ - TẬP NGUYỄN BẢO VƯƠNG Mà lim x   nên D  x1  x Bài 12 Tìm giới hạn A  lim x 0 cos x  cos x : cos 5x  cos x B  A  C 11 D D 7x x sin 2  Lời giải Ta có: A  lim x 0 11x x 11 sin sin 2 sin   sin x : x 0 sin 3x Bài 13 Tìm giới hạn B  lim B  A  Lời giải Ta có B  lim x 0  C  2 sin x sin 3x   sin x  (1  sin x) Bài 14 Tìm giới hạn C  lim sin 2 x x 0   : cos x  cos x C 96 B  A  D sin x x2  96 Lời giải Ta có: C  lim x 0 cos x  1  cos x  x2 x2 Bài 15 Tìm giới hạn D  lim x 0 B  A  Lời giải Ta có: D  sin x : sin 3x C 16 81 D C D 16 81   sin( cos x) Bài 16 Tìm giới hạn E  lim : x 0 sin(tan x) B  A     sin  cos x  2  tan x Lời giải E  lim 0 x 0 sin(tan x ) tan x Bài 17 Tìm giới hạn F  lim x  3sin x  cos x x1  x : GIÁO VIÊN MUỐN MUA FILE WORD LIÊN HỆ 0946798489 ĐỂ ĐẶT MUA 56 CHƯƠNG IV GIỚI HẠN HÀM SỐ - TẬP NGUYỄN BẢO VƯƠNG B  A  Lời giải Ta có:  3sin x  cos x x1  x  C x 1  x D  x   Vậy F  m Bài 18 Tìm giới hạn H  lim x 0 cos ax  m cos bx : sin x B  A  C b a  2n m D a 2n D cos ax  1  n cos bx  b a x x2   Lời giải Ta có: H  lim x 0 2n m sin x x2 m  n cos ax : x 0 x2 Bài 19 Tìm giới hạn M  lim B  A  Lời giải Ta có:  n cos ax   M  lim x 0 C  cos ax  cos ax  ( cos ax )2   ( n cos ax )n1 n n  cos ax lim n n x 0 x2  cos ax  ( cos ax )2   ( n cos ax )n1 Bài 20 Tìm giới hạn A  lim x 0 cos x  cos x : cos 5x  cos x B  A  a a   n 2n C 11 D D 7x x sin 2 Lời giải Ta có: A  lim  x 0 11x x 11 sin sin 2 sin   sin x : x 0 sin 3x Bài 21 Tìm giới hạn B  lim B  A  Lời giải Ta có B  lim x 0 2 sin x  sin 3x   sin x  (1  sin x)2 Bài 22 Tìm giới hạn C  lim sin 2 x x 0 A  C  cos x  cos x B    : C 96 D GIÁO VIÊN MUỐN MUA FILE WORD LIÊN HỆ 0946798489 ĐỂ ĐẶT MUA 57 CHƯƠNG IV GIỚI HẠN HÀM SỐ - TẬP NGUYỄN BẢO VƯƠNG sin 2 x x2 Lời giải Ta có: C  lim  96 x 0 cos x  1  cos x  x2 x2 sin x : sin 3x Bài 23 Tìm giới hạn D  lim x 0 B  A   sin x  Lời giải Ta có: D  lim   x 0  2x  C 16 81 D  3x  16 16     sin 3x  81 81   sin( cos x) Bài 24 Tìm giới hạn E  lim : x 0 sin(tan x) B  A  C.1 D    sin  cos x  2  sin(tan x) tan x Lời giải Ta có: E  lim Mà lim  1; x 0 x 0 sin(tan x) tan x tan x      sin  cos x   cos  (1  cos x)  2    lim   lim x 0 x 0 tan x tan x  x    sin  sin        lim x 0 tan x  x    sin  sin     sin x    x x   lim x  x x tan x  sin ( )2 2 2 Do đó: E  3sin x  cos x Bài 25 Tìm giới hạn F  lim x1  x x  B  A  Lời giải Ta có:  : 3sin x  cos x x1  x  C x 1  x D  x   Vậy F  Bài 26 Tìm giới hạn H  lim x 0 m cos ax  m cos bx : sin x GIÁO VIÊN MUỐN MUA FILE WORD LIÊN HỆ 0946798489 ĐỂ ĐẶT MUA 58 CHƯƠNG IV GIỚI HẠN HÀM SỐ - TẬP NGUYỄN BẢO VƯƠNG B  A  C b a  2n m D cos ax  1  n cos bx  b a x2 x2 Lời giải Ta có: H  lim   x 0 2n m sin x x2 m Bài 27 Tìm giới hạn M  lim x 0  3x   x :  cos x B  A  C  D 3x   x  1  x Lời giải Ta có: M  lim   x 0  cos x x2 GIÁO VIÊN MUỐN MUA FILE WORD LIÊN HỆ 0946798489 ĐỂ ĐẶT MUA 59 [...]... ra: 1 1 1 1    xn 1 xn ( xn  1) xn xn  1 1 1 1   xn  1 xn xn 1 Dẫn tới: Sn  1 1 1 1   2  lim Sn  2  lim 2 x1 xn 1 xn 1 xn 1 Bài 54 Cho dãy ( xk ) được x{c định như sau: xk  1 2 k    2! 3! ( k  1) ! n Tìm lim un với un  n x1n  x2n   x2 011 B  A  Lời giải Ta có: C 1  1 2 012 ! D 1  1 2 012 ! k 1 1 1   nên xk  1  ( k  1) ! k ! ( k  1) ! ( k  1) ! Suy ra xk  xk 1  1 1 ... ( x)  lim   mx  1  x 1 x 1  1 x  2    lim ( x  2) 1  x  mx  1  m  1 x 1 Hàm số có giới hạn khi x  1 khi và chỉ khi lim f ( x)  lim f ( x) x 1  5m  1  m  1  m  x 1 1 2 CÁC BÀI TOÁN LUYỆN TẬP Bài 1 Tìm giới hạn hàm số A  lim x 1 x2  x  1 bằng định nghĩA x 1 B  A  Lời giải Ta có: A  lim x 1 C 1 2 D 1 x2  x  1 1  1  1 1   x 1 1 1 2 GIÁO VIÊN MUỐN MUA... Tính giới hạn của dãy số un  (1  n(n  1) 1 1 1 ) (1  ) (1  ) trong đó Tn  : 2 T1 T2 Tn B  A  Lời giải Ta có: 1  C 1 3 D 1 1 2 ( k  1) ( k  2)  1  Tk k( k  1) k( k  1) 1 n2 1 Suy ra un   lim un  3 n 3 Bài 44 Tính giới hạn của dãy số un  A  Lời giải Ta có 2 3  1 3 3  1 n3  1 : 2 3  1 3 3  1 n3  1 B  2 3 D 1 C.3 D 1 C k3  1 ( k  1) ( k 2  k  1)  k 3  1 ( k  1) [(...   n2  n  1  n  2 lim  3 n3  n 2  1  n   : 1 6 D 1 1 1 n  lim  n  n  1  n  lim 2 2 1 1 n n 1 n 1  2  1 n n  2  1 n 1 n 1 2 n3  n2  1  n  lim Vậy D   B  A  1 4 3 (n  n  1)  n n  n  1  n 3 2 2 3 3 2 2 1  lim 1 n2 2 3   1 1  1 1 1 4  6   3 1 n  3  1 n n  n  1 3 1 2 1   2 3 6 Bài 52 Cho các số thực a,b thỏa a  1; b  1 Tìm giới hạn I  lim... 0946798489 ĐỂ ĐẶT MUA 32 CHƯƠNG IV GIỚI HẠN HÀM SỐ - TẬP 1 NGUYỄN BẢO VƯƠNG 2 Ta có: 2x  1 3 3x  2 4 4x  3  1  2x  1 3 3x  2  2x  1 Mà: lim x 1  3  4  4x  3  1   3x  2  1  2 x  1  1 3 4 2x  1  1 3x  2  1 4x  3  1  lim  lim 1 x  1 x  1 x 1 x 1 x 1 Nên ta có: C  1  1  1  3 Ví dụ 5 Tìm các giới hạn sau: 1 A  lim x 1 3 7 x  1  5x  1 x 1 2 B  lim x  2  3 x... BẢO VƯƠNG Ta có: un3 1  un3  3  CHƯƠNG IV GIỚI HẠN HÀM SỐ - TẬP 1 3 1 (1)  un3 un6 Suy ra: un3  un3 1  3  un3  u03  3n (2) Từ (1) và (2), suy ra: un3 1  un3  3  Do đó: un3  u03  3n  n Lại có: 1 k k 1  1 2 1 1  u  3n u3  3n 0  3 0  1 1  2 3n 9n 1 n 1 1 n 1    (3) 3 k 1 k 9 k 1 k 2 n 1 1 1 1 1     2  2.  n 1. 2 2.3 (n  1) n n k 1 k Nên: u03  3n  un3  u03  3n... Lời giải K  1 2 Bài 41 Tính giới hạn của dãy số un  Suy ra un  1  1 3 2 2 3 1 ( k  1) k  k k  1 1 n 1  1 1 (n  1) n  n n  1 : D 1 1  k 1 k  lim un  1 (n  1) 13  23   n3 : 3n3  n  2 B  A    C.0 Bài 42 Tính giới hạn của dãy số un   n(n  1)  Lời giải Ta có: 13  2 3   n3     3  Suy ra un  2 1 2  B  A  Lời giải Ta có: 1 C 1 9 D 1 2 n(n  1) 2 1  lim un ... xk  1 ( k  2)! ( k  1) ! n  n 2 011 x2 011 Mà: x2 011  n x1n  x2n   x2 011 Mặt khác: lim x2 011  lim n 2 011 x2 011  x2 011  1  Vậy lim un  1  1 2 012 ! 1 2 012 ! u0  2 011 u3  Bài 55 Cho dãy số (un ) được x{c định bởi:  1 Tìm lim n n un 1  un  u2 n  B  A  C.3 D 1 Lời giải Ta thấy un  0, n GIÁO VIÊN MUỐN MUA FILE WORD LIÊN HỆ 0946798489 ĐỂ ĐẶT MUA 19 NGUYỄN BẢO VƯƠNG Ta có: un3 1 ...CHƯƠNG IV GIỚI HẠN HÀM SỐ - TẬP 1 NGUYỄN BẢO VƯƠNG 1 n2  n 1 n  1 n Lời giải Ta có: B  lim  lim 2 1 1 3 n  3n  1 1 3  2 n n  2n Bài 3 Giá trị của C  lim 2  n  2 1 4 9 bằng: n17  1 B  A  C .16 D 1 1 4 9 2 1 2 ) n (1  )9 (2  2 )4 (1  )9 n  lim n n2 n 1 1 n17 (1  17 ) 1  17 n n n8 (2  Lời giải Ta có: C  lim Suy ra C  16 n2  1  3 3n3  2 Bài 4 Giá... un 1  1 n  1 1  1 1 1 1 Do đó, suy ra: vn          u  1 u  1 u  1 u  1 2 u 1 i 1  i i 1 1 n 1 n 1  Mặt khác, từ un 1  un2  3un  1 ta suy ra: un 1  3n Nên lim 1 1  0 Vậy lim vn  un 1  1 2 Bài 72 Cho a, b  n  au  bv Tìm lim n  A  ,(a, b)  1; n  ab  1, ab  2,  Kí hiệu rn l| số cặp số (u, v)   sao cho rn 1  n ab B  C 1 ab D ab  1  n  1 Lời giải Xét ... BẢO VƯƠNG CHƯƠNG IV GIỚI HẠN HÀM SỐ - TẬP CHƢƠNG IV: GIỚI HẠN TẬP I GIỚI HẠN DÃY SỐ VÀ GIỚI HẠN HÀM SỐ GIỚI HẠN DÃY SỐ Giới hạn hữu hạn dãy số 1. 1 Định nghĩa:  Dãy số (un ) gọi có giới hạn n tiến... 15 CHƯƠNG IV GIỚI HẠN HÀM SỐ - TẬP NGUYỄN BẢO VƯƠNG Lời giải K  Bài 41 Tính giới hạn dãy số un  Suy un   2 ( k  1) k  k k  1 n 1  1 (n  1) n  n n  : D 1  k 1 k  lim un  (n  1) ... Mà: x2 011  n x1n  x2n   x2 011 Mặt khác: lim x2 011  lim n 2 011 x2 011  x2 011   Vậy lim un   2 012 ! 2 012 ! u0  2 011 u3  Bài 55 Cho dãy số (un ) x{c định bởi:  Tìm lim n n un 1  un