http://baigiangtoanhoc.com Bài giảng số Khóa học: Ánh xạ tuyến tính cho trường kỹ thuật Giá trị riêng véc tơ riêng ma trận phép biến đổi tuyến tính I Tóm lược lý thuyết Cho f phép biến đổi tuyến tính K – không gian véc tơ E có số chiều n có ma trận sở tắc E A Định nghĩa 3.1: Ta gọi véc tơ riêng ma trận vuông A véc tơ v khác không E cho tồn số   K thoả mãn: Av =  v (1) Số  gọi giá trị riêng ma trận A v gọi véc tơ riêng liên kết với giá trị riêng  Nhận xét 3.2: i) Đẳng thức (1) viết lại dạng ( A   I )v  (2) Như véc tơ riêng ma trận A nghiệm hệ phương trình tuyến tính (2) ii) Nếu v véc tơ riêng cho trước, số  thoả mãn (1) Trái lại với giá trị riêng liên kết với nhiều véc tơ riêng Tính chất 3.3: Giá trị riêng ma trận vuông đối xứng A với hệ số thực số thực Tính chất 3.4: Hai ma trận vuông cấp đồng dạng với có giá trị riêng Định nghĩa 3.5: Đa thức P(  ) = |A -  I| gọi đa thức đặc trưng ma trận A Định lý 3.6: (Caylay –Hamilton) Nếu đa thức đặc trưng P(  ) viết dạng: P(  ) = (-1)n  n +an-1  n1 + …+ a0, P(A) = 0, tức là: (-1)nAn + an-1An-1 +…+ a0In = Định nghĩa 3.7: Ta gọi véc tơ riêng phép biến đổi tuyến tính f véc tơ khác không E cho tồn số  K thoả mãn: f(v) =  v (3) Số  gọi giá trị riêng ma trận A v gọi véc tơ riêng liên kết với giá trị riêng  Nhận xét 3.8: i) Vì f(v) = Av nên ta đồng giá trị riêng véc tơ riêng phép biến đổi tuyến tính f với giá trị riêng véc tơ riêng ma trận A liên kết với f Từ suy Biên soạn: ThS Đỗ Viết Tuân –Giảng viên khoa CNTT –Học viện Quản lý giáo dục http://baigiangtoanhoc.com Khóa học: Ánh xạ tuyến tính cho trường kỹ thuật việc tìm giá trị riêng véc tơ riêng f tìm véc tơ riêng giá trị riêng A ii) Đa thức đặc trưng ma trận vuông A liên kết với f gọi đa thức đặc trưng phép biến đổi tuyến tính f Định lý 3.9: Đa thức đặc trưng phép biến đổi tuyến tính f không phụ thuộc vào cách chọn sở không gian véc tơ E Tính chất 3.10: Các véc tơ riêng liên kết với giá trị riêng  với véc tơ không, lập nên không gian véc tơ không gian E Ta kí hiệu không gian Ker(f -  IdE) gọi không gian riêng Tính chất 3.11: Các không gian riêng Ker(f -  IdE) không gian hai chiều Định lý 3.12: Cho trước phép biến đổi tuyến tính f K - không gian véc tơ E ma trận A tương ứng với sở E Các giá trị riêng  f (hoặc A) nghiệm thuộc K phương trình đặc trưng: |A -  I| = Các véc tơ riêng f liên kết với giá trị riêng  f nghiệm hệ phương trình tuyến tính nhất:  x1  x  (A  I )       xn  Định lý 3.13: Nếu đa thức đặc trưng phép biến đổi tuyến tính f có n nghiệm phân biệt 1 , 2 ,, n v1, v2, …, n véc tơ riêng tương ứng với giá trị riêng hệ véc tơ {v1, v2, …, vn} lập thành sở không gian véc tơ E Hệ 3.14: Ma trận A phép biến đổi tuyến tính f sở gồm véc tơ riêng {v1, v2, …, vn} E có dạng:  1   0   0  A         0  n  Định nghĩa 3.15: Ma trận vuông A cấp n gọi chéo hoá tồn ma trận vuông P cấp n khả nghịch cho ma trận P 1 AP có dạng ma trận đường chéo Biên soạn: ThS Đỗ Viết Tuân –Giảng viên khoa CNTT –Học viện Quản lý giáo dục http://baigiangtoanhoc.com Khóa học: Ánh xạ tuyến tính cho trường kỹ thuật Định lý 3.16: Điều kiện để ma trận vuông A cấp n chéo hoá ma trận A có đủ n véc tơ riêng độc lập tuyến tính Nhận xét 3.17: Gọi P ma trận có cột toạ độ cột véc tơ riêng ma trận A ma trận P 1 AP có dạng:  1   0   0  B         0  n  Từ suy ra: An  PB n P 1 Định nghĩa 3.18: Phép biến đổi tuyến tính f không gian véc tơ E chéo hoá tồn sở E mà ma trận f sở chéo hoá Định lý 3.19: Điều kiện đủ để phép biến đổi tuyến tính f chéo hoá f có đủ n giá trị riêng phân biệt Định lý 3.20: Phép biến đổi f chéo hoá f có đủ n véc tơ riêng độc lập tuyến tính Định lý 3.21: Gọi 1 , 2 ,, k  k  n  giá trị riêng phép biến đổi tuyến tính f E Nếu: dim Ker ( f  1 Id E )  dim Ker ( f  2 Id E )    dim Ker ( f  n Id E )  n f chéo hoá II Các ví dụ minh hoạ Ví dụ 1: Với ma trận A sau đây, xác định giá trị riêng véc tơ riêng ma trận  4   2  1) A   2 1  2) B   1   2   2 3      Giải: Gọi  giá trị riêng A,  nghiệm phương trình: 3 | A   I |  2 2 1   4 0 1   2[8  4(1   )]  (1   )[(  1)(  3)  8]  Biên soạn: ThS Đỗ Viết Tuân –Giảng viên khoa CNTT –Học viện Quản lý giáo dục http://baigiangtoanhoc.com Khóa học: Ánh xạ tuyến tính cho trường kỹ thuật    1  (1   )(  1)((  3)        Với   1, tọa độ véc tơ riêng v1 tương ứng nghiệm hệ sau: 4 x1  x2  x3   x1     x1  x3      ( A  I )  x2      2 x1  x3     x2   x  0  2 x  x3   3    c Vậy v1    với c   \ {0} c   Với   , tọa độ véc tơ riêng v2 tương ứng nghiệm hệ sau:  x1  x2  x3   x1     x1   ( A  I )  x2      2 x1  x2  x3     x2  x3  x  0  2 x   3     0 Vậy v2   c  với c   \ {0} c   Với   3, tọa độ véc tơ riêng v3 tương ứng nghiệm hệ sau: x2  x3    x1     x1   x3  ( A  3I )  x2      2 x1  x2  x3     x2  x3  x  0  2 x  x   3     c  Vậy v3   c  với c   \ {0}  c    2) Gọi  giá trị riêng B  nghiệm phương trình | B   I |  2   1 6 2 3      1   3  2   1      (bôi ) Với   1, tọa độ véc tơ riêng v1 tương ứng nghiệm hệ sau: Biên soạn: ThS Đỗ Viết Tuân –Giảng viên khoa CNTT –Học viện Quản lý giáo dục http://baigiangtoanhoc.com Khóa học: Ánh xạ tuyến tính cho trường kỹ thuật  x1  x2  x3   x1     x1  x3  ( B  I )  x2       x1  x2  x3     x2   x3  x  0   x  x   3     2c  Vậy v1   c  với c   \ {0}  c    Với   , tọa độ véc tơ riêng v2 tương ứng nghiệm hệ sau: 3 x1  x2  x3   x1     x1  x3      ( B  I )  x2       x1  x2  x3     x2   x3  x   0   x2  x3   3     2c  Vậy v1   c  với c   \ {0}  c    Ví dụ 2: Trong  cho ma trận A có dạng sau: 1 1 A   0  1 1   a) Tìm trị riêng véc tơ riêng ma trận A; b) Tính An với n số tự nhiên khác không Giải: Phương trình đặc trưng ma trận A là: 1  A  I    1       (  2)      Với   , toạ độ véc tơ riêng tương ứng nghiệm khác không hệ: x  z  z  x   x  z   y   Vậy nghiệm tổng quát hệ có dạng (a, b, -a) = a(1, 0, -1) +b(0, 1, 0) Ta chọn v1 = (1, 0, -1), v2 = (0, 1, 0) hai véc tơ riêng sở không gian riêng Với   2, toạ độ véc tơ riêng tương ứng nghiệm khác không hệ: Biên soạn: ThS Đỗ Viết Tuân –Giảng viên khoa CNTT –Học viện Quản lý giáo dục http://baigiangtoanhoc.com Khóa học: Ánh xạ tuyến tính cho trường kỹ thuật  x  z  x  z    2y    y  x  z   Vậy chọn véc tơ v3 = (1, 0, 1) véc tơ riêng tương ứng với giá trị riêng 2) Gọi P ma trận chuyển sở từ sơ tắc sang sở {v1, v2, v3}  1 Khi P có dạng: P     1    1 1  2 2   Ma trận nghịch đảo P là: P 1    1     2 1 1  2  1 1  1   Ta có: P 1 AP     0    = 1   1   1     2 0 0  0   B   0 2   Vậy A  PBP 1 , suy ra: 1 1  n 1 2n 1   1 0 0   2 2     An  PB n P 1     0    =  0   1   0 n   1   2n 1 2n 1       2 Ví dụ 3: Xét ma trận:    a M   b  a   c b a  b c c  a   c  , với a, b, c   \ 0 b     2 Biên soạn: ThS Đỗ Viết Tuân –Giảng viên khoa CNTT –Học viện Quản lý giáo dục http://baigiangtoanhoc.com Khóa học: Ánh xạ tuyến tính cho trường kỹ thuật Tính giá trị riêng M suy vec tơ riêng Chứng minh nhờ cách đổi sở ta đưa M dạng đường chéo Giải:   a Xét đa thức đặc trưng: M     b a c  b                1       a b a   b c c a c 0 b    1  a a c a   a             =0   a c b b    c    3      3 +12 2 -18  -27 =   3  3 Với  = , toạ độ vec tơ riêng tương ứng nghiệm hệ: b c  x  a y  a z   c b c a  x  y  z   ax  by  cz   x   y  z b a a b b a x  yz0  c c nghiệm tổng quát hệ là: c z  b   b   c  y   y  z, y, z  =   y, y,0  +   z,0, z  =  b, a,0  +  c,0, a  a  a   a a   a  a Vậy v1  (b, a, 0) v2  (c, 0, a) véc tơ riêng liên kết với giá trị riêng  3 Với   3 , toạ độ véc tơ riêng tương ứng nghiệm hệ: Biên soạn: ThS Đỗ Viết Tuân –Giảng viên khoa CNTT –Học viện Quản lý giáo dục http://baigiangtoanhoc.com b c   x  y  z0  a a  c  a  x  2y  z  b b b  a x  y  2z   c c Khóa học: Ánh xạ tuyến tính cho trường kỹ thuật  2ax  by  cz     ax  2by  cz   ax  by  2cz    ax  by  cz  ax ax  x Vậy nghiệm tổng quát hệ là:  x, ,    bc, ac, ab   b c  bc Véc tơ v3  (bc, ca, ab) vec tơ riêng liên kết với giá trị riêng   Gọi P ma trận chuyển từ sở tắc e1 , e2 , e3  sang sở v1 , v2 , v3  P có dạng:  b c bc  P   a ca   a ab    det( P )  3a 2bc  (a, b, c  0) Ta có:  b  1 1 P   3 c    bc a b  ca ac c  ab    a    ab   Vậy ma trận M đồng dạng với ma trận  3  0     1 P MP   0       2  Ma trận có dạng chéo nên M chéo hoá Ví dụ 4: Cho ánh xạ f :  ( x)   ( x), xác định f ( P )  (2 x  1) P  ( x  1) P ' Biên soạn: ThS Đỗ Viết Tuân –Giảng viên khoa CNTT –Học viện Quản lý giáo dục http://baigiangtoanhoc.com Khóa học: Ánh xạ tuyến tính cho trường kỹ thuật (P’ đạo hàm P) 1) Chứng minh f phép biến đổi tuyến tính viết ma trận phép biến đổi tuyến tính f sở {1, x, x2}; 2) Tìm giá trị riêng vec tơ riêng f Giải: 1) Lấy P, Q   ( x) ( ,   ) Xét: f ( P   Q )  (2 x  1)( P   Q )  ( x  1)( P   Q )'   (2 x  1) P   ( x  1) P '   (2 x  1)Q   ( x  1)Q '   [(2 x  1) P  ( x  1) P ' ]   [(2 x  1)Q  ( x  1)Q ' ]   f ( P)   f (Q ) Vậy f phép biến đổi tuyến tính  ( x ) Ta có: f (1)   x f ( x)   x  x f ( x )  x  x2 Vậy ma trận phép biến đổi f sở {1, x, x2} là: 1 0 A   2  0 1   2) Gọi  giá trị riêng f  giá trị riêng A, ta có đa thức đặc trưng f là: 1  A  I   1  0 1   (1   )[(1   )2  2]  2(1   )     1  (1   )(  1)(3   )          Với   1, véc tơ riêng v1 ( x, y , z ) tương ứng nghiệm hệ: Biên soạn: ThS Đỗ Viết Tuân –Giảng viên khoa CNTT –Học viện Quản lý giáo dục http://baigiangtoanhoc.com Khóa học: Ánh xạ tuyến tính cho trường kỹ thuật 0  2x  y  xz   2x  y  2z     y  2 z  y  z   Vậy vectơ v1 (1,  2,1) Với   , véc tơ riêng v2 ( x, y, z ) tương ứng nghiệm hệ 0  y x  z  2 x  2z     y0  y 0  Vậy vectơ riêng v2 (1, 0, 1) Với   , vec tơ riêng v3 ( x, y , z ) tương ứng nghiệm hệ 0  2 x  y  y  2x  xz  x  y  z        y  2z  y  2z  y  2z   Vậy vec tơ riêng v3 (1, 2,1) Ví dụ 5: 0 0 Cho ma trận A    ma trận tự đồng cấu f sở 1 0   tắc  1) Tìm giá trị thực  để hạng ma trận A -  I có hạng bé 3; 2) Xác định Ker(f -  Id) với  giá trị tìm trên; 3) Tính ma trận An, từ suy A1 giới hạn dãy (pn), (qn) (rn)  pn1   pn  thoả mãn điều kiện  qn1   A  qn  với n  N p0 =0, q0 =1, r0 = r  r   n 1   n Giải:  1) rank ( A   I )   A   I    1 0  Biên soạn: ThS Đỗ Viết Tuân –Giảng viên khoa CNTT –Học viện Quản lý giáo dục http://baigiangtoanhoc.com Khóa học: Ánh xạ tuyến tính cho trường kỹ thuật    3  (4   )(  1)(  3)     1     x  0 2) Với   3 , véc tơ ( x, y, z )  Ker ( f  3Id )  ( A  3I )  y      z  0     3 x  y  x   y   3 x  y  z    z    x  y  3z   Vậy Ker ( f  3Id  )  span{v1 (1,  1, 0)}  x   0 Với   1, véc tơ ( x, y, z )  Ker ( f  Id )  ( A  I )  y      z   0     x  3y   x  3 y   3 x  y  z    z  y  x  y  z   Vậy Ker ( f  Id  )  span{v2 (3, 1, 2)}  x  0 Với   , véc tơ ( x, y, z )  Ker ( f  Id  )  ( A  I )  y      z  0     0 4 x  y  x  12c     x  y  z    y  16c  x  y  4z   z  7c   Vậy Ker ( f  Id  )  span{v3 (12,16, 7)} 3 3) Gọi P ma trận có cột toạ độ véc tơ v1, v2, v3 Ta có:  3 12  P   1 16  , 0 7   det(P) = 70 nên P ma trận khả nghịch Ma trận nghịch đảo P là: Biên soạn: ThS Đỗ Viết Tuân –Giảng viên khoa CNTT –Học viện Quản lý giáo dục http://baigiangtoanhoc.com Khóa học: Ánh xạ tuyến tính cho trường kỹ thuật  25 45 60  P 1   7 28  70  2  2 Ma trận D  P 1 AP ma trận f sở {v1, v2, v3} D có dạng:  3 0  D   1   0 4   Từ suy A  PDP 1 , ta có An  ( PDP 1 )( PDP 1 ) ( PDP 1 )  PD n P 1  21  25.3n  24(4)n (1)   7  25.3n  32(4) n  70  n  14  14(4) 21  45.3n  24(4)n n 7  45.3n  32(4) n 14  14(4) n  3  1 Với n  1, ta có: A       0 84  60.3n  24(4) n   28  60.3n  32(4) n   56  14.(4) n          4  pn   0   Nếu U n   qn  U    từ U n1  AU n , ta có: r   0  n    21  45.3n  24(4)n  (1)  n n  U n  n AnU  n  7  45.3  32( 4)  70.4  14  14(4)n    n  12   35    16 12 16 Suy : limU n    , lim pn  , lim qn  lim rn   35  35 35       Ví dụ 6: Biên soạn: ThS Đỗ Viết Tuân –Giảng viên khoa CNTT –Học viện Quản lý giáo dục http://baigiangtoanhoc.com Khóa học: Ánh xạ tuyến tính cho trường kỹ thuật Cho E  – không gian véc tơ có số chiều Với t  , xét sở e , e , e  E tự đồng cấu f E cho sở ma trận f có dạng:    2cos t 1  cos 4t    M     2sin t      Giả sử g  f  Id E 1) Xác định giá trị riêng không gian riêng f Hỏi f có chéo hoá không? 2) Giả sử w = e2, v = g(w), u =g(v) Hãy tính v u chứng minh u, v, w sở E; 3) Chứng minh ma trận f sở {u, v, w} có dạng 1 0 J   1  0 1   Biên soạn: ThS Đỗ Viết Tuân –Giảng viên khoa CNTT –Học viện Quản lý giáo dục http://baigiangtoanhoc.com Khóa học: Ánh xạ tuyến tính cho trường kỹ thuật Gọi P ma trận chuyển sở từ e1 , e2 , e3  sang sở u, v, w Tính P 1 ; 4) Tính Jn Mn theo n N Giải: 1) Gọi u  xe1  ye2  ze3 véc tơ riêng f, tồn số thực  cho f (u )  u Vậy ta có:   2cos t    Mu  u  ( M   I )u    1       (2cos t   ) x  y  2(cos 2t ) z    (1   ) y    x  (2sin t   ) z     x         y      z    2sin t          cos 4t (S) (2cos t  1) x  y  2(cos 2t ) z  y   Nếu   hệ (S)      x  2(cos 2t ) z   x  (2sin t  1) z  Vậy với   giá trị riêng f không gian riêng f là: Ker ( f  Id E )  span{(2cos 2t , 0,  1)}, dim Ker ( f  Id E )  Nếu   1, hệ (S) tương đương với hệ sau:  (2cos t   ) x  y  2(cos 2t ) z   x  2(  2sin t ) z    y  y   (2cos 2t  2(2cos t   )(  2sin t )) z    x  (2sin t   ) z    x  2(  2sin t ) z   y   x  y  z  (  1) z   Biên soạn: ThS Đỗ Viết Tuân –Giảng viên khoa CNTT –Học viện Quản lý giáo dục http://baigiangtoanhoc.com Khóa học: Ánh xạ tuyến tính cho trường kỹ thuật Vậy giá trị riêng f khác 1, tức tổng số chiều không gian riêng khác 3, nên f không chéo hoá 2) g  f  Id E , w  e2    cos 2t 2cos 2t        v  g ( w)  ( f  Id E )( w)  ( M  I ) w   0               cos t          cos 2t 2cos 2t     cos 2t      Vậy v  e1 u  g (v)   0        (cos 2t )e1  e3        cos 2t           Ma trận hệ véc tơ u, v, w sở e1 , e2 , e3  là:    cos 2t     0   0      Ma trận ma trận tam giác có định thức khác không nên khả nghịch hệ véc tơ u, v, w sở E Ta có: g (u )  (cos 2t ) g (e1 )  g (e3 ) 1  (cos 2t )[(cos 2t )e1  e3 ]  [(2cos 2t )e1  (cos 2t )e3 ]  2 g (v )  u g ( w)  v, nên ma trận g sở u, v, w có dạng: 0 0 G   0  0 0   Vậy ma trận f  g  Id E sở u, v, w E có dạng: Biên soạn: ThS Đỗ Viết Tuân –Giảng viên khoa CNTT –Học viện Quản lý giáo dục http://baigiangtoanhoc.com Khóa học: Ánh xạ tuyến tính cho trường kỹ thuật  1 0 J  G  I   1  0 1   Ma trận P chuyển sở e1 , e2 , e3  sang sở u, v, w có dạng:    cos 2t    P  0  Từ suy ra:   0      e1  u  v   Pe   2    w e     3  u  (cos 2t )e1  e3   v  e1  w  e   Vậy ma trận nghịch đảo P là: 0 P 1   0  e1  v  e2  w e  2u  2(cos 2t )v  2  2cos 2t   n 4) Ta có J n  ( I  G ) n   Cnk G k Vì g  0, nên G k  với k  k 0  1 n  Vậy J n  I  nG  Cn2G   0   n(n  1)    n     Vì P ma trận chuyển sở từ e1 , e2 , e3  sang u, v, w J ma trận f sở u, v, w nên ta có J  P 1MP  M  PJP 1  M n  PJ n P 1 Vậy ma trận M có dạng: Biên soạn: ThS Đỗ Viết Tuân –Giảng viên khoa CNTT –Học viện Quản lý giáo dục http://baigiangtoanhoc.com Khóa học: Ánh xạ tuyến tính cho trường kỹ thuật    cos 2t   n   M  0 1 0   0  0     n(n  1)  2   0  n   2cos 2t       n(n  1)   cos 2t 2n cos 2t  1  n cos 2t n        n n(n  1)    n cos t     Ví dụ 7: Cho A B hai ma trận đối xứng cấp n, ma trận có đủ giá trị riêng khác Chứng minh BA = AB A B có chung véc tơ riêng Giải: Nếu A, B thoả mãn điều kiện AB = BA x véc tơ riêng ứng với giá trị riêng  ma trận B, ta có ABx  A( x)   Ax Mặt khác BAx  ABx, nên suy BAx   Ax Vậy Ax véc tơ riêng B ứng với giá trị riêng  Vì  giá trị riêng đơn B nên Ax x phụ thuộc tuyến tính suy s   cho Ax  sx Vậy x véc tơ riêng A Ngược lại giả sử A B hai ma trận đối xứng cấp n có chung véc tơ riêng Gọi { 1 , 2 ,, n } { 1 ,  ,,  n } giá trị riêng ma trận A B, giả sử {e1, e2, …, en} véc tơ riêng chung tương ứng với giá trị riêng ma trận A B suy {e1, e2, …, en} sở  n Gọi x = x1e1 + x2e2 + … +xnen véc tơ thuộc  n , ta có: ABx = AB(x1e1 + x2e2 + … +xnen) = A(x1Be1 +x2Be2 + …+xnBen) = A(x1 1 e1 + x2  e2 + …+ xn  n en) = x1 1 Ae1 + x2  Ae2 + …+ xn  n Aen = x1 11 e1 + x2  22 e2 + …+ xn  n n en Biên soạn: ThS Đỗ Viết Tuân –Giảng viên khoa CNTT –Học viện Quản lý giáo dục http://baigiangtoanhoc.com Khóa học: Ánh xạ tuyến tính cho trường kỹ thuật Tương tự BAx  x1 11 e1 + x2  2 e2 + …+ xn  n n en Vậy ABx = BAx với x   n hay AB = BA Ví dụ 8: Cho phép biến đổi tuyến tính f  xác định bởi: f ( x, y, z )  (2 x  y  z , x  z ,  x  y  z ) 1) Hãy tìm sở  để sở ma trận f có dạng chéo 2) Tìm giá trị riêng f 1 (nếu có) Giải: 1) Ma trận ánh xạ tuyến tính f sở tắc  có dạng:  1 1 A   1   1    Gọi  giá trị riêng f, suy  nghiệm phương trình:   1 1   (bôi) A   I3    1  (  1) (  2)      1 2 Với  = 1, toạ độ véc tơ riêng u tương ứng nghiệm hệ sau: x  y  z   ( A  I )u    x  y  z   x  y  z  x  y  z   Vậy véc tơ riêng tương ứng có dạng (a + b, a, b) với a, b   Suy u1(1, 1, 0) u2(1, 0, 1) hai véc tơ riêng sở Ker ( f  Id  ) Với  = 2, toạ độ véc tơ riêng u tương ứng nghiệm hệ sau:  y  z   ( A  I )u    x  y  z   x  y   z  x  y   Vậy u3(1, 1, -1) véc tơ riêng sở Ker ( f  2Id  ) Vì dim Ker ( f  2Id  )  dim Ker ( f  Id  )   dim  nên f chéo hoá 3 Lúc ta có f(u1) = u1, f(u2) = u2, f(u3) =2u3 nên ma trận f sở {u1, u2, u3} có dạng: Biên soạn: ThS Đỗ Viết Tuân –Giảng viên khoa CNTT –Học viện Quản lý giáo dục http://baigiangtoanhoc.com Khóa học: Ánh xạ tuyến tính cho trường kỹ thuật 1 0 B    0 2   2) Vì det(B) = 2, nên f tự đẳng cấu  Vậy tồn ánh xạ ngược f 1 f 1 tự đẳng cấu  Giả sử  giá trị riêng f    1 giá trị riêng f 1 Thật giả sử tồn giá trị riêng tự đẳng cấu f, gọi x véc tơ riêng khác không tương ứng, ta có f(x) = Vì f đơn cấu nên x  (> [...]... tuyến tính của M n    (n  2 ), xác định bởi f(A) =At Xác định giá trị riêng của f  a 1 3  Bài 12: Cho ma trận A   1 a 3  và B = A –aI3 (a  )  1 0 a  3   Chứng minh rằng B chéo hoá được, từ đó suy ra A cũng chéo hoá được  1 2  Bài 13: Cho ma trận vuông A    mà ta coi là ma trận của phép biến đổi  5 6   tuyến tính từ  2 vào  2 1) Tìm các giá trị riêng và véc tơ riêng của. .. khi và chỉ khi A và B có chung các véc tơ riêng Giải: Nếu A, B thoả mãn điều kiện AB = BA và x là véc tơ riêng ứng với giá trị riêng  của ma trận B, ta có ABx  A( x)   Ax Mặt khác BAx  ABx, nên suy ra BAx   Ax Vậy Ax cũng là một véc tơ riêng của B ứng với giá trị riêng  Vì  là giá trị riêng đơn của B nên Ax và x phụ thuộc tuyến tính suy ra s   sao cho Ax  sx Vậy x cũng là véc tơ riêng của. ..   2 mà ma trận của nó theo cơ sở chính tắc có dạng: t  2 2 A  , trong đó t là tham số thực  t  3 3 1) Tìm các giá trị riêng và véc tơ riêng của phép biến đổi tuyến tính đó; 2) Với giả thiết t  1, hãy viết biểu thức của phép biến đổi T theo cơ sở gồm các véc tơ riêng Từ đó suy ra đặc trưng hình học của phép biến đổi T Bài 5: Chứng minh rằng trong hệ toạ độ đề các vuông góc Oxy, phép chiếu... 0 và x  0 Vậy   0 cũng là giá trị riêng của g  f 2) Nếu E hữu hạn và giả sử 0 không là giá trị riêng của g  f , lúc đó g  f là song ánh và do đó g, f cũng là những song ánh, suy ra f  g cũng là song ánh và 0 không là giá trị riêng của f  g (> ... n v1, v2, …, n véc tơ riêng tương ứng với giá trị riêng hệ véc tơ {v1, v2, …, vn} lập thành sở không gian véc tơ E Hệ 3. 14: Ma trận A phép biến đổi tuyến tính f sở gồm véc tơ riêng {v1, v2, …,... tuyến tính f Định lý 3. 9: Đa thức đặc trưng phép biến đổi tuyến tính f không phụ thuộc vào cách chọn sở không gian véc tơ E Tính chất 3. 10: Các véc tơ riêng liên kết với giá trị riêng  với véc. ..  1  Bài 13: Cho ma trận vuông A    mà ta coi ma trận phép biến đổi    tuyến tính từ  vào  1) Tìm giá trị riêng véc tơ riêng A; x  2) Cho X ( x0 , y0 )   , ta đồng với ma trận cột