http://baigiangtoanhoc.com Khóa học: Ánh xạ tuyến tính Bài giảng số 02 HẠNG VÀ MA TRẬN CỦA ÁNH XẠ TUYẾN TÍNH I Tóm lược lý thuyết Cho E F hai K – không gian véc tơ có số chiều n m Giả sử {e1, e2, …,en} sở E {f1, f2, …, fm} sở F Gọi f ánh xạ tuyến tính từ không gian véc tơ E vào không gian véc tơ F Định nghĩa 2.1: Hạng ánh xạ tuyến tính f hạng hệ véc tơ: { f (e1 ), f (e2 ), , f (en )} Kí hiệu hạng ánh xạ tuyến tính f rg ( f ) từ không gian véc tơ E vào F đẳng cấu tuyến tính Tính chất 2.2: Ánh xạ tuyến tính f rg ( f )  dim F  m Với véc tơ ei (i =1, 2, …, n), ta có f (ei )  a1i f1  a2i f    ami f m Bộ số (a1i, a2i, …, ami) gọi toạ độ véc tơ f(ei) sở  f1 , f , , f n  không gian véc tơ F Định nghĩa 2.3: Ma trận A ánh xạ tuyến tính f : E  F sở e1 , e2 ,  , en  E  f1 , f , , f n  F ma trận cấp m  n có dạng:  a11   a21    a  m1 a12 a22  am  a1n    a 2n       amn  Nhận xét 2.4: i) Mỗi cột thứ i ma trận A toạ độ tương ứng véc tơ f(ei) ii) Ma trận A ánh xạ tuyến tính f phụ thuộc vào sở E F iii) Nếu dim E =dim F = n ma trận A f ma trận vuông cấp n Đặc biệt E = F lấy sở E F trùng A ma trận tự đồng cấu f sở e1 , e2 , , en  iv) Cho véc tơ v  E , v  x1e1  x2e2    xn en , ta có: Trung tâm gia sư VIP –Số 4, ngõ 128, Hoàng Văn Thái Thanh Xuân, Hà Nội Biên soạn: ThS Đỗ Viết Tuân –Giảng viên toán khoa CNTT –Học viện Quản lý giáo dục http://baigiangtoanhoc.com Khóa học: Ánh xạ tuyến tính f (v)  x1 f (e1 )  x2 f (e2 )    xn f (en ) Vậy nên biết ảnh véc tơ ei, tức biết ma trận A ánh xạ tuyến tính f ảnh f(v) véc tơ v hoàn toàn xác định f(v) =Av Tính chất 2.5: Nếu f ánh xạ tuyến tính từ không gian véc tơ E vào F có ma trận A sở cho rg ( f )  rankA  dim Im f Tính chất 2.6: Nếu f tự đồng cấu tuyến tính E ma trận A sở f không suy biến f đẳng cấu tuyến tính Định lý 2.7: Cho phép biến đổi tuyến tính f K- không gian véc tơ E có số chiều n, gọi A ma trận f sở e1 , e2 ,  , en  E Các tính chất sau tương đương: a) Kerf  {0} b) f đơn cấu c) Hệ véc tơ { f (e1 ), f (e2 ), , f (en )} độc lập tuyến tính d) f toàn cấu e) rg ( f )  n f) f đẳng cấu g) Ma trận A f khả nghịch Tính chất 2.8: Cho f tự đồng cấu tuyến tính không gian véc tơ E Giả sử A B ma trận tự đồng cấu tuyến tính f sở e1 , e2 ,  , en  h1 , h2 ,  , hn  E Gọi T ma trận chuyển sở từ sở { e1 , e2 ,  , en  sang sở h1 , h2 ,  , hn  , B =T-1AT II Các ví dụ minh hoạ Ví dụ 1: Xét ánh xạ tuyến tính f : M 13 ()  M 13 ( ) , xác định bởi: f ( x, y, z )  ( x, x  y  z , z ) Gọi e1  (1, 0, 0), e2  (1, 1, 0), e3  (1, 1, 1) sở M 13 ( ) 1) Tìm ma trận ánh xạ tuyến tính f sở: a) e1 , e2 , e3  b) e3 , e2 , e1 Trung tâm gia sư VIP –Số 4, ngõ 128, Hoàng Văn Thái Thanh Xuân, Hà Nội Biên soạn: ThS Đỗ Viết Tuân –Giảng viên toán khoa CNTT –Học viện Quản lý giáo dục http://baigiangtoanhoc.com Khóa học: Ánh xạ tuyến tính c) e1 , e2 , e3  e3 , e2 , e1 2) Tìm hạng ánh xạ tuyến tính f Giải 1) a) Dễ thấy f(e1) = (1, 2, 0), f(e2) = (1, 5, 0) f(e3) = (1, 7, 1) Ta có f(e1) = e1 +2e2, f(e2) = e1 +5e2, f(e3) = e1 +7e2 +e3 Vậy ma trận f sở e1 , e2 , e3  là: 1 1   Af    0 1   b) Tương tự, ta có f(e2) = 5e2 -4e1, f(e3) = 6e2 +e3 -6e1, f(e1) = 2e2 -e1 Vậy trận f sở e3 , e2 , e1 là:  2   Bf     4 6 1    c) Ta có f(e1) = 2e2 - e1, f(e2) = 5e2 - e1 f(e3) = 6e2 + e3 -6e1 Vậy ma trận f cặp sở {e1, e2, e3} {e2, e3, e1} là: 2 6   Cf   0   1 4 6    2) Ta có: rg ( f )  dim Im f  dim[ f (e1 ), f (e2 ), f ( e3 )]  rank ( A f )  Ví dụ 2: Giả sử f : 1 ( x)   ( x), ánh xạ tuyến tính xác định bởi: f(p) = xp + p 1) Tìm ma trận ánh xạ tuyến tính sở B  {1, x} B '  {1,  x,  x } 2) Tìm đa thức f ( p) biết p   3x Trung tâm gia sư VIP –Số 4, ngõ 128, Hoàng Văn Thái Thanh Xuân, Hà Nội Biên soạn: ThS Đỗ Viết Tuân –Giảng viên toán khoa CNTT –Học viện Quản lý giáo dục http://baigiangtoanhoc.com Khóa học: Ánh xạ tuyến tính Giải: 1) Ta có: f (1)   x  0.1  1.(1  x )  0.(1  x ) f ( x)  x  x  2.1  (1  x)  1.(1  x ) , nên ma trận f sở B B’ là: 0  2   Af =  1  0    2) Toạ độ p sở B (2, - 3), toạ độ f(p) sở B’ là: 6 2   f ( p)  Af     1   3   3    Vậy đa thức f ( p) cần tìm p( x)  6.1  1.(1  x )  3.(1  x )   x  3x Ví dụ 3: Cho phép biến đổi tuyến tính f :    , xác định bởi: f ( x, y, z , t )  (  x  y  z  1, x  y  z  t , x  y  z  t , x  y  z  t ) Chứng minh phép biến đổi f đẳng cấu Giải: Phép biến đổi tuyến tính f đẳng cấu ma trận Af f sở  khả nghịch Xét ma trận f sở tắc  , ta có: f(e1) = (-1, 1, 1, 1), f(e2) = (1, -1, 1, 1), f(e3) = (1, 1, -1, 1), f(e4) = (1, 1, 1, -1) Vậy ma trận f có dạng: Trung tâm gia sư VIP –Số 4, ngõ 128, Hoàng Văn Thái Thanh Xuân, Hà Nội Biên soạn: ThS Đỗ Viết Tuân –Giảng viên toán khoa CNTT –Học viện Quản lý giáo dục http://baigiangtoanhoc.com Khóa học: Ánh xạ tuyến tính  1 1    1 1  Af    1 1     1 1 1 Ta có det( A f )  0 2 2  1 0 2 2  2 1 0 1 2 2 0  16  Vậy Af khả nghịch Ví dụ 4: Cho tự đồng cấu fa không gian véc tơ R3 có ma trận sở tắc a 1   Ma  1 a  1 a   1) Xác định theo tham số a hạng fa 2) Xác định Kerf a Im f a Giải: 1) Ta có rg fa = rank Ma Bằng phép biến đổi sơ cấp ma trận ta đưa ma trận Ma dạng tam giác trên: a 1    1 a  0 a 1 0  a  a   biện luận: a  +) Nếu  a  a    rg f a  rank M a  a  2 a  +) Nếu  a  a    a  2 Trung tâm gia sư VIP –Số 4, ngõ 128, Hoàng Văn Thái Thanh Xuân, Hà Nội Biên soạn: ThS Đỗ Viết Tuân –Giảng viên toán khoa CNTT –Học viện Quản lý giáo dục http://baigiangtoanhoc.com Khóa học: Ánh xạ tuyến tính i) Nếu a  2 rg f a  rank M a  ii) Nếu a  rg f a  rank M a  a  2) Trường hợp 1: Nếu  dim Im f a  rg f a  a  2 mà dim Kerf a  dim Im f a  nên dim Kerf a  Vậy Kerf a  0 Im f a   Trường hợp 2: a  2 , Kerf a  {x  ( x1 , x2 , x3 )   | f a ( x)  0},  x  x2  x3  ta có: f a ( x)   M a x     x1  x2  x3  x2  x3  Vậy Kerf a  [(1, 1, 1)] Im f a  {( y1 , y2 , y3 )   |  ( x1 , x2 , x3 )   mà f ( x1 , x2 , x3 )  ( y1 , y2 , y3 )}, ta có: 2 x1  x2  x3  y1  f ( x1 , x2 , x3 )  ( y1 , y2 , y3 )   x1  x2  x3  y2  y1  y2  y3  x  x  2x  y 3  Vậy Im f a  {( y1 , y2 , y3 )   | y1  y2  y3  0}  [( 1, 1, 0), ( 1, 0, 1)]} Trường hợp 3: a  , ta có: Kerf a  {( x1 , x2 , x3 )  3 | f a ( x )  0}  {( x1 , x2 , x3 )   | x1  x2  x3  0}  [(1, 1, 0), ( 1, 0, 1)] Và Im f a  {( y1 , y2 , y3 )   | y1  y2  y3 }  [(1, 1, 1)] Ví dụ 5: Cho E K – không gian véc tơ có số chiều sở b  {e1 , e2 , e3 , e4 } Xét tự đồng cấu u theo sở b có ma trận là:  1  3 A 0  0 7   1  8   4  Trung tâm gia sư VIP –Số 4, ngõ 128, Hoàng Văn Thái Thanh Xuân, Hà Nội Biên soạn: ThS Đỗ Viết Tuân –Giảng viên toán khoa CNTT –Học viện Quản lý giáo dục http://baigiangtoanhoc.com Khóa học: Ánh xạ tuyến tính 1) Xác định Ker u, rgu Im u 2) Imu Ker u có bù không gian véc tơ E không? 3) Chứng minh {e3, u(e3), u2(e3), u3(e3)} sở E 4) Xác định ma trận u sở 5) Chứng minh u3  u4 = Giải: 3 x  y  z  7t   z  2t 9 x  y  z  t    1) ( x, y, z , t )  Keru    3 x  y  5t  z  t   9 x  y  5t   2 z  4t   z  2t t      y  3x  5t  z  20t   y  3x   Vậy ( x, y, z , t )  Keru  ( x, y, z , t )  ( x, 3x, 0, 0) Suy ra: Ker u  [(1, 3, 0, 0)] Ta có rg u = dim Im u = dim E – dim Ker u = Im u = [u(e1), u(e2), u(e3), u(e4)] Dễ thấy u(e1) = (3, 9, 0, 0), u(e2) = (-1, -3, 0, 0) suy u(e1) = -3u(e2) Vậy Im u =[u(e2), u(e3), u(e4)], dim Im u = nên {u(e2), u(e3), u(e4)} sở Im u 2) Ta có (1, 3, 0, 0)  Ker u mà (1, 3, 0, 0)  u (e2 )  Im u , Ker u  Im u  {0} nên Ker u Im u không bù E 0  1  10        0 3 10     3) Ta có e3  , u (e3 )  Ae3  , u (e3 )  A( Ae3 )  1  4         0  2   Trung tâm gia sư VIP –Số 4, ngõ 128, Hoàng Văn Thái Thanh Xuân, Hà Nội Biên soạn: ThS Đỗ Viết Tuân –Giảng viên toán khoa CNTT –Học viện Quản lý giáo dục http://baigiangtoanhoc.com Khóa học: Ánh xạ tuyến tính  40    120  u (e3 )  A(u (e3 ))         Kí hiệu véc tơ tương ứng f1, f2, f3 f4, ta xét 2  103  404  3  10  120   1 f1  2 f  3 f  4 f     1  2  3  4       22  Vậy hệ véc tơ {f1, f2, f3, f4} độc lập tuyến tính Vì dim E = nên hệ véc tơ sở E 4) Ta có u(f1) = u(e3) = f2 u(f2) = u2(e3) = f3 u(f3) = u3(e3) = f4  40        120    u ( f )  Au (e3 )  A      0        0 Vậy ma trận u sở {f1, f2, f3, f4} E là: 0  B 0  0 0 0 0 0  0 0  0 5) Vì u3(e3) = f4  nên u3  Ta có u4(e3) = nên u(f4) = u4(e3) = Vì e3 = f1 nên ta có u4(f1) = 0, u4(f2) = u4(u(e3)) = u(u4(e3)) = u(0) = 0, u4(f3) = u4(u2(e3)) = u2(u4(e3)) = u2(0) = u4(f4) = u4(u3(e3)) = u7(e3) = u3(u4(e3)) = u(0) = Vậy ảnh sở {f1, f2, f3, f4}của E qua ánh xạ tuyến tính u4 véc tơ không nên u4 = Ví dụ 6: Trung tâm gia sư VIP –Số 4, ngõ 128, Hoàng Văn Thái Thanh Xuân, Hà Nội Biên soạn: ThS Đỗ Viết Tuân –Giảng viên toán khoa CNTT –Học viện Quản lý giáo dục http://baigiangtoanhoc.com Khóa học: Ánh xạ tuyến tính Cho tự đồng cấu tuyến tính f :   3 có ma trận sở tắc {e1, e2, e3} là:  15 11    A   20 15   7    1) Chứng minh f1 = 2e1 + 3e2 + e3, f2 = 3e1 + 4e2 + e3, f3 = e1 + 2e2 + 2e3 sở R3 2) Tìm ma trận f sở {f1, f2, f3} Giải: 1) Xét: a1f1 + a2f2 + a3f3 + a4f4 =  a1(2e1 + 3e2 + e3) + a2(3e1 + 4e2 + e3) + a3(e1 + 2e2 + 2e3) =  (2a1 + 3a2 + a3)e1 + (3a1 + 4a2 +2a3)e2 + (a1 + a2 + 2a3)e3 = Vì {e1, e2, e3} độc lập tuyến tính nên ta có: 2a  3a  a   3a  4a  2a   a  a  a  a  a  2a   Vậy hệ véc tơ {f1, f2, f3} độc lập tuyến tính dim R3 = nên hệ véc tơ sở R3 2) Ma trận chuyển từ sở {e1, e2, e3} sang sở {f1, f2, f3} R3 ma trận T có dạng: 2 1   T =  2 1 2   T ma trận khả nghịch ma trận nghịch đảo T là:    2   T =  3   1    -1 Vậy ma trận B f sở {f1, f2, f3} R3 có dạng Trung tâm gia sư VIP –Số 4, ngõ 128, Hoàng Văn Thái Thanh Xuân, Hà Nội Biên soạn: ThS Đỗ Viết Tuân –Giảng viên toán khoa CNTT –Học viện Quản lý giáo dục http://baigiangtoanhoc.com Khóa học: Ánh xạ tuyến tính      15  11        B = T AT =     20  15    =  1    6 1 2     -1 1 0   0 0  0 3   Ví dụ 7: Cho R2(x) không gian véc tơ đa thức với hệ số thực có bậc không vượt 2, b = {1, x, x2} sở tắc R2(x) Xét phép biến đổi tuyến tính T: R2 ( x)  R2 ( x) , với đa thức p(x) =a0 +a1x + a2x2 ta có T(p(x)) = p(2x +1) = a0 + a1(2x +1) +a2(2x +1)2 1) Tính T(1), T(x), T(x2) viết ma trận A T tương ứng với sở {1, x, x2} 2) Dùng ma trận A tính T(3 +x +2x2) Kiểm tra lại cách tính trực tiếp 3) Ma trận T  T: R2 ( x)  R2 ( x) sở tắc 4) Xét sở c = {1+ x, + x2, x + x2} R2(x) Dùng ma trận chuyển sở tính ma trận T sở c 5) Hãy kiểm tra lại phần cách tính trực tiếp Giải: 1) T (1)  T ( x)  1.(2 x  1)   x T ( x )  1.(2 x  1)   x  x 1 1   Vậy ma trận T sở b là: A     0 4      1            2) Ta có toạ độ véc tơ T (3  x  x ) là: A       10     0            Vậy T(3 +x +2x2) = +10x +8x2 Mặt khác tính trực tiếp ta có Trung tâm gia sư VIP –Số 4, ngõ 128, Hoàng Văn Thái Thanh Xuân, Hà Nội Biên soạn: ThS Đỗ Viết Tuân –Giảng viên toán khoa CNTT –Học viện Quản lý giáo dục http://baigiangtoanhoc.com Khóa học: Ánh xạ tuyến tính T(3 +x +2x2) =3T(1) +T(x) +2T(x2) = + 1+2x + 2(1 +2x)2 = + 10x + 8x2 3) Cách 1: Ta có T  T(p(x)) =T(T(p(x)) = T(p(2x +1)) =T[a0 +a1(1 +2x) +a2(1 +2x)2] = T[(a0 +a1 +a2) +(2a1 +4a2)x +4a2x2] = (a0 +a1 +a2) +(2a1 +4a2)(1 +2x) +4a2(1 +2x)2 = a0 + 3a1 +9a2 +(4a1 +24a2)x +16a2x2 suy ra: T2(1) = 1, T2(x) = +4x, T2(x2) = +24x +16x2, ma trận T2 sở tắc là: 1     24   0 16    Cách 2: Ta có T  T(p(x)) =T(Ap(x)) = A.Ap(x) = A2p(x) 1    Vậy ma trận T sở tắc A dễ thấy A =  24   0 16    2  1 0   4) Ma trận chuyển sở từ b sang c có dạng: P =  1  Ta có 0 1      -1 P =     2  2 1   2      Ma trận T sở c là: Trung tâm gia sư VIP –Số 4, ngõ 128, Hoàng Văn Thái Thanh Xuân, Hà Nội Biên soạn: ThS Đỗ Viết Tuân –Giảng viên toán khoa CNTT –Học viện Quản lý giáo dục http://baigiangtoanhoc.com    -1 B = P AP =      2  2 Khóa học: Ánh xạ tuyến tính 1     1   1 0    4 1 1      0 4 0 1    4  2    1 =   =   2     8 0 4 5) Ta có T(1 + x) = +1.(1 +2x) = 2(1+x) T(1 + x2) = + 1.(1 +2x)2 = +4x +4x2 = 1.(1 + x) +1.(1 +x2) +3 (x +x2) T(x + x2) = 1(1 +2x) +1(1 + 2x)2 = + 6x +4x2 = (1 + x) + 0.(1 + x2) +4(x + x2) Vậy ma trận B T sở c có dạng:  2   B = 0 0 0 4   Ví dụ 8: Xét phép biến đổi tuyến tính f: R3(x)  R3(x), xác định bởi: f(q(x)) = q(1 + x) = a0 + a1(1 + x) +a2(1 + x)2 + a3(1 + x)3 với đa thức q(x) = a0 + a1x + a2x2 + a3x3 thuộc R3(x) Chứng minh f đẳng cấu tìm biểu thức f-1 Giải: Ta có f(1) = f(x) = 1.(1 + x) = + x f(x2) = 1.(1 + x)2 = + 2x + x2 f(x3) = (1 + x)3 = + 3x + 3x2 + x3 Trung tâm gia sư VIP –Số 4, ngõ 128, Hoàng Văn Thái Thanh Xuân, Hà Nội Biên soạn: ThS Đỗ Viết Tuân –Giảng viên toán khoa CNTT –Học viện Quản lý giáo dục http://baigiangtoanhoc.com Khóa học: Ánh xạ tuyến tính Vậy ma trận f sở tắc B = {1, x, x2, x3} 1  A 0  0 1 0 1  3 3  1 Vì det (A) = nên tự đồng cấu f đẳng cấu, f có đẳng cấu ngược f 1  1 1    2  1  A   0 3    0 0  Ta có: Giả sử p(x) = p0 + p1x + p2x2 + p3x3, toạ độ p(x) sở B là:  p0   1 1   p   p  p1  p  p3  p     p   p  p  3p   3    1 =  [ p ( x)]B    , ta có A1[ p ( x )]B        p2   0 3  p p  p3            p3  p3   0   p3    Vậy f 1 ( p( x ))  ( p0  p1  p2  p3 ) + ( p1  p2  p3 )x + ( p2  p3 )x2 + p3x3  p0  p1 ( x  1)  p2 ( x  x  1)  p3 ( x3  3x  3x  1)  p0  p1 ( x  1)  p2 ( x  1)  p3 ( x  1)3  p ( x  1) Ví dụ 9: Cho E không gian véc tơ hữu hạn có số chiều n, u  L(E) Chứng minh u2 = rgu  n Giải: Vì dim E = n nên ta có dim Ker u + dim Im u = n  rg u = dim Im u = n – dim Ker u (1) Mặt khác u2 = nên u2(x) = với x  E suy u(u(x)) = hay u(x)  Ker u Trung tâm gia sư VIP –Số 4, ngõ 128, Hoàng Văn Thái Thanh Xuân, Hà Nội Biên soạn: ThS Đỗ Viết Tuân –Giảng viên toán khoa CNTT –Học viện Quản lý giáo dục http://baigiangtoanhoc.com Vậy Im u  Ker u Khóa học: Ánh xạ tuyến tính hay dim Ker u  dim Im u (2) Từ (1) (2) ta có: rg u  n – rg u  rg u  n Ví dụ 10: Cho E R – không gian véc tơ có số chiều hữu hạn, f g tự đồng cấu E 1) Chứng minh rằng: ker(g|Imf)= ker(g)  Im(f) 2) Chứng minh rằng: a) rg(g  f)= rg(f) –dim(ker(g)  Im(f)) (1) b) rg(g  f)  rg(f) + rg(g) –dim E (2) Giải: 1) Ta xem g|Imf ánh xạ tuyến tính từ Im(f) vào E Giả sử x  ker(g|Imf)  x  Im(f) g(x)=0  x  ker(g)  Im(f)  x  Im(f) Ngược lại x  ker(g)  Im(f)    g|Imf (x) =0  x  ker(g|Imf) g(x)  Vậy ker(g|Imf) = ker(g)  Im(f) 2) a) Ta có rg(g  f) = dim(Im(g  f)), rg(f) = dim(Im f) Theo 1) ta có dim(ker(g)  Im(f)) = dim(ker(g|Imf)) = dim(Im f) – dim(Im(g|Imf))  dim(Im(g|Imf)) = dimIm f - dim(ker(g)  Im(f)) = rg(f) - dim(ker(g)  Im(f)) Ta chứng minh dim(Im(g  f)) = dim(Im(g|Imf)), thật vậy: y  Im(g|Imf)   x Im f cho y = g(x) x Im f   t E, x = f(t) hay y  Im(g|Imf)   t  E cho y = g  f(t)  y  Im(g  f)  Im(g  f)) = Im(g|Imf)  dim(Im(g  f)) = dim(Im(g|Imf)) Trung tâm gia sư VIP –Số 4, ngõ 128, Hoàng Văn Thái Thanh Xuân, Hà Nội Biên soạn: ThS Đỗ Viết Tuân –Giảng viên toán khoa CNTT –Học viện Quản lý giáo dục http://baigiangtoanhoc.com Khóa học: Ánh xạ tuyến tính b) Theo 2a) bất đẳng thức cần chứng minh: rg ( g  f )  rg ( f )  rg ( g )  dim E  rg ( f )  dim( Kerg  Im f )  rg ( f )  rg ( g )  dim E  dim( Kerg  Im f )  dim E  rg ( g )  dim( Kerg  Im f )  dim Kerg  Kerg  Im f  Kerg Bao hàm thức cuối nên suy ta bất đẳng thức (2) III Bài tập có hướng dẫn Bài tập 1: Cho ánh xạ tuyến tính f : M 13 ()  M 13 (), xác định bởi: f ( x, y, z )  (  y  z , x  y  z , z ) Cho sở e1(1, 1, 0), e2(0, 1, 1) e3(1, 0, 1) M 13 ( ) 1) Tính f(e1), f(e2), f(e3) theo sở {e1, e2, e3} 2) Tìm ma trận f sở {e1, e2, e3} 3) Tìm ma trận f sở {e2, e3, e1} Bài tập 2: Xét ánh xạ f :    , xác định bởi: f(x, y, z) = (x – z, y + z) 1) Chứng minh f ánh xạ tuyến tính 2) Tìm ma trận f sở {e1(1, 0, 0), e2(0, 1, 0), e3(0, 0, 1)} 3 sở {v1(1, 0), v2(1, 1)}  2) Tìm toạ độ véc tơ f(u) sở {f1, f2} với u = (1, 2, 3) Bài tập 3: Cho ánh xạ tuyến tính f : 3   , có ma trận sở tắc là: 0 1   A  1 1 1 0   1) Chứng minh f tự đẳng cấu 3 2) Tính thành phần toạ độ x’, y’, z’ f(v) theo thành phần x, y, z véc tơ v 3) Tính thành phần toạ độ x, y, z véc tơ v theo thành phần toạ độ x’, y’, z’ f(v) Từ suy ma trận A-1 Trung tâm gia sư VIP –Số 4, ngõ 128, Hoàng Văn Thái Thanh Xuân, Hà Nội Biên soạn: ThS Đỗ Viết Tuân –Giảng viên toán khoa CNTT –Học viện Quản lý giáo dục http://baigiangtoanhoc.com Khóa học: Ánh xạ tuyến tính Bài tập 4: Cho ánh xạ tuyến tính f : 3   , xác định bởi: f(x, y, z) = (2x – y + z, -x + y, x –z) 1) Xác định ma trận ánh xạ tuyến tính f sở {f1 (1, 0, 0), f2 (1, 1, 0), f3(1, 1, 1)} 2) Chứng minh f song ánh tuyến tính xác định ma trận f 1 sở tắc 5 1 Bài tập 5: Cho u tự đồng cấu  có ma trận M    sở tắc  Xác   định a b cho u  au  bid 2  Bài tập 6: Cho tự đồng cấu tuyến tính u :   3 có ma trận sở tắc 3 là:  2 1    A   15 6 11 Cho {f1 = (1, 1, 2), f2 = (0, 3, 2), f3 = (0, 0, 1)} sở R3 Tìm ma trận B  14 6 11   tự đồng cấu u sở {f1, f2, f3} Tính An theo n, I, A A2 Bài tập 7: Cho phép biến đổi tuyến tính f :  ( x)   ( x ), xác định bởi: f (1  x  x )   x  x , f (1  x )  x  x , f (2 x  1)  x  Hãy tìm ma trận f sở tắc {1, x, x2}  ( x ) Từ suy f tự đẳng cấu Bài tập 8: Cho E  - không gian véc tơ có số chiều Gọi {e1, e2, e3} sở tắc E xét tự đồng cấu f E có ma trận sở tắc là: 1 2   A 1   2 2 3    1) Chứng minh {e1, f(e1), f2(e1)} sở E tìm ma trận f sở 2) Chứng minh f  Id E Bài tập 9: Cho E không gian véc tơ , {e1, e2, e3, e4} sở E, f  L(E) cho: Trung tâm gia sư VIP –Số 4, ngõ 128, Hoàng Văn Thái Thanh Xuân, Hà Nội Biên soạn: ThS Đỗ Viết Tuân –Giảng viên toán khoa CNTT –Học viện Quản lý giáo dục http://baigiangtoanhoc.com Khóa học: Ánh xạ tuyến tính  f (e1 )  (m  2)e1  2e2  e4  f (e )  e  me  4e  3e  2   f (e3 )  (m  1)e3  e4  f (e4 )  e1  me2  4e3  me4 1) Xác định giá trị tham số m để f đơn ánh 2) Tìm sở số chiều hạt nhân f Bài tập 10: Cho E không gian véc tơ có số chiều n, cho f, g  L(E) cho f + g song ánh f  g  Tính rg(f) + rg(g) Bài tập 11: Cho E, F G khộng gian véc tơ hữu hạn chiều 1) Giả sử u  L(E, F) v  L(F, G) Chứng minh a) dim Ker(vu)  dim Ker u + dim Ker v b) rg u + rg v – dim F  rg(vu)  {rg u, rg v} 2) Giả sử u, v  L(E, F) Chứng minh rằng: |rg u – rg v|  rg(u +v)  rg u + rg v ĐÁP ÁN BÀI GIẢNG SỐ Bài 1:  f (e1 )  3e1  4e2  4e3  1)  f (e2 )  2e2  e3  f (e )  e2  2e3   0   2) Af     4    2    3) B f  4   0    Bài 2:  1 2   0 1  2) Af    7   5 3) f (u )  Af u   Bài 3: Trung tâm gia sư VIP –Số 4, ngõ 128, Hoàng Văn Thái Thanh Xuân, Hà Nội Biên soạn: ThS Đỗ Viết Tuân –Giảng viên toán khoa CNTT –Học viện Quản lý giáo dục http://baigiangtoanhoc.com  x'   2) f (v )  y '     z'   Khóa học: Ánh xạ tuyến tính  x  y  z A  y    x  z   z   x  y      x ' y ' z '  x    x ' y ' z '  3)  y  ,  x ' y ' z '   z     1 A      2  2         2 Bài 4:  2   1) A  2 1    1 0   2) Vì det(A) = - nên ánh xạ tuyến tính f song ánh Bài 5:  0  A 1   1  2  1 1   2 1  2 a  10, b  24  2 0    Bài 6: B     0 1   Bài 7: Trung tâm gia sư VIP –Số 4, ngõ 128, Hoàng Văn Thái Thanh Xuân, Hà Nội Biên soạn: ThS Đỗ Viết Tuân –Giảng viên toán khoa CNTT –Học viện Quản lý giáo dục http://baigiangtoanhoc.com Khóa học: Ánh xạ tuyến tính 3x  x  f (1)   1   3   f ( x )  1  x  x  A    2   2  1  f ( x )  x  3x  0  1  3  Vì det(A) = -8 nên ánh xạ f đẳng cấu Bài 8: 1) {e (1, 0,0), f (e1 )  (1, 1,  2), f (e1 )  ( 1,  2, 2)} độc lập tuyến tính nên sở 3 4 2) Ta có A  I  f  Id 3 m  1 m  Bài 9: 1)    m  1  Kerf  0  m    2)  m  1  Kerf  span ( 4, 1, 0, 1)   m   Kerf  span (0,1, 0,1)   Bài 10: Theo §2 , ví dụ 10, phần (2a)  rg ( f )  rg ( g )  n Trung tâm gia sư VIP –Số 4, ngõ 128, Hoàng Văn Thái Thanh Xuân, Hà Nội Biên soạn: ThS Đỗ Viết Tuân –Giảng viên toán khoa CNTT –Học viện Quản lý giáo dục [...]...http://baigiangtoanhoc.com Khóa học: Ánh xạ tuyến tính T(3 +x +2x2) =3T(1) +T(x) +2T(x2) = 3 + 1+2x + 2( 1 +2x )2 = 6 + 10x + 8x2 3) Cách 1: Ta có T  T(p(x)) =T(T(p(x)) = T(p(2x +1)) =T[a0 +a1(1 +2x) +a2(1 +2x )2] = T[(a0 +a1 +a2) +(2a1 +4a2)x +4a2x2] = (a0 +a1 +a2) +(2a1 +4a2)(1 +2x) +4a2(1 +2x )2 = a0 + 3a1 +9a2 +(4a1 +24 a2)x +16a2x2 suy ra: T2(1) = 1, T2(x) = 3 +4x, T2(x2) = 9 +24 x +16x2, vậy ma trận của T2 trong cơ sở chính... http://baigiangtoanhoc.com Khóa học: Ánh xạ tuyến tính Bài tập 4: Cho ánh xạ tuyến tính f : 3   3 , xác định bởi: f(x, y, z) = (2x – y + z, -x + y, x –z) 1) Xác định ma trận của ánh xạ tuyến tính f trong cơ sở {f1 (1, 0, 0), f2 (1, 1, 0), f3(1, 1, 1)} 2) Chứng minh rằng f là song ánh tuyến tính và xác định ma trận của f 1 trong cơ sở chính tắc 5 1 2 Bài tập 5: Cho u là một tự đồng cấu của  2 có ma trận M    trong... ' z '  x   2  x ' y ' z '  3)  y  , 2  x ' y ' z '   z  2  1  2  1 1 A   2  1   2 1 2 1  2 1 2 1  2   1  2  1    2 Bài 4:  3 1 2   1) A  2 1 0    1 1 0   2) Vì det(A) = - 1 nên ánh xạ tuyến tính f là song ánh và Bài 5:  0  A 1   0 1  2  1 1   1 2 1 1  2 a  10, b  24  2 0 0    Bài 6: B  0 1 3    0 0 1   Bài 7: Trung... thức (2) đúng III Bài tập có hướng dẫn Bài tập 1: Cho ánh xạ tuyến tính f : M 13 ()  M 13 (), xác định bởi: f ( x, y, z )  (  y  2 z , 3 x  4 y  2 z , 3 z ) Cho một cơ sở e1(1, 1, 0), e2(0, 1, 1) và e3(1, 0, 1) của M 13 ( ) 1) Tính f(e1), f(e2), f(e3) theo cơ sở {e1, e2, e3} 2) Tìm ma trận của f trong cơ sở {e1, e2, e3} 3) Tìm ma trận của f trong cơ sở {e2, e3, e1} Bài tập 2: Xét ánh xạ f... T(1 + x) = 1 +1.(1 +2x) = 2( 1+x) T(1 + x2) = 1 + 1.(1 +2x )2 = 2 +4x +4x2 = 1.(1 + x) +1.(1 +x2) +3 (x +x2) T(x + x2) = 1(1 +2x) +1(1 + 2x )2 = 2 + 6x +4x2 = 2 (1 + x) + 0.(1 + x2) +4(x + x2) Vậy ma trận B của T trong cơ sở c có dạng:  2 1 2   B = 0 1 0 0 3 4   Ví dụ 8: Xét phép biến đổi tuyến tính f: R3(x)  R3(x), xác định bởi: f(q(x)) = q(1 + x) = a0 + a1(1 + x) +a2(1 + x )2 + a3(1 + x)3 với... tắc của  Xác 1 5   định a và b sao cho u 2  au  bid 2  0 Bài tập 6: Cho tự đồng cấu tuyến tính u :  3  3 có ma trận trong cơ sở chính tắc của 3 là:  2 1 2    A   15 6 11 Cho {f1 = (1, 1, 2) , f2 = (0, 3, 2) , f3 = (0, 0, 1)} là một cơ sở của R3 Tìm ma trận B  14 6 11   của tự đồng cấu u trong cơ sở {f1, f2, f3} Tính An theo n, I, A và A2 Bài tập 7: Cho phép biến đổi tuyến tính. .. tuyến tính f :  2 ( x)   2 ( x ), xác định bởi: f (1  2 x  x 2 )  2  4 x  5 x 2 , f (1  x 2 )  2 x  x 2 , f (2 x  1)  x 2  2 Hãy tìm ma trận của f trong cơ sở chính tắc {1, x, x2} của  2 ( x ) Từ đó suy ra f là một tự đẳng cấu Bài tập 8: Cho E là  - không gian véc tơ có số chiều bằng 3 Gọi {e1, e2, e3} là một cơ sở chính tắc của E và xét một tự đồng cấu f của E có ma trận trong cơ sở... e1} Bài tập 2: Xét ánh xạ f :  3   2 , xác định bởi: f(x, y, z) = (x – z, y + z) 1) Chứng minh rằng f là ánh xạ tuyến tính 2) Tìm ma trận của f trong cơ sở {e1(1, 0, 0), e2(0, 1, 0), e3(0, 0, 1)} của 3 và cơ sở {v1(1, 0), v2(1, 1)} của  2 2) Tìm toạ độ của véc tơ f(u) trong cơ sở {f1, f2} với u = (1, 2, 3) Bài tập 3: Cho ánh xạ tuyến tính f : 3   3 , có ma trận trong cơ sở chính tắc là: 0 1... học: Ánh xạ tuyến tính  f (e1 )  (m  2) e1  2e2  e4  f (e )  e  me  4e  3e  2 1 2 3 4   f (e3 )  (m  1)e3  e4  f (e4 )  e1  me2  4e3  me4 1) Xác định giá trị của tham số m để f là đơn ánh 2) Tìm cơ sở và số chiều của hạt nhân của f Bài tập 10: Cho E là không gian véc tơ có số chiều n, cho f, g  L(E) sao cho f + g là song ánh và f  g  0 Tính rg(f) + rg(g) Bài tập 11: Cho E, F và. .. là: 1 3 9     0 4 24   0 0 16    Cách 2: Ta có T  T(p(x)) =T(Ap(x)) = A.Ap(x) = A2p(x) 1 3 9    Vậy ma trận của T trong cơ sở chính tắc là A và dễ thấy A =  0 4 24   0 0 16    2 2 2  1 1 0   4) Ma trận chuyển cơ sở từ b sang c có dạng: P =  1 0 1  Ta có 0 1 1    1   2 1 -1 P =  2  1   2 1 2 1  2 1 2 1   2 1  2  1   2  Ma trận của T trong cơ sở c là: ... +(2a1 +4a2)x +4a2x2] = (a0 +a1 +a2) +(2a1 +4a2)(1 +2x) +4a2(1 +2x )2 = a0 + 3a1 +9a2 +(4a1 +24 a2)x +16a2x2 suy ra: T2(1) = 1, T2(x) = +4x, T2(x2) = +24 x +16x2, ma trận T2 sở tắc là: 1     24 ... Ánh xạ tuyến tính T(3 +x +2x2) =3T(1) +T(x) +2T(x2) = + 1+2x + 2( 1 +2x )2 = + 10x + 8x2 3) Cách 1: Ta có T  T(p(x)) =T(T(p(x)) = T(p(2x +1)) =T[a0 +a1(1 +2x) +a2(1 +2x )2] = T[(a0 +a1 +a2) +(2a1... x2} 2) Dùng ma trận A tính T(3 +x +2x2) Kiểm tra lại cách tính trực tiếp 3) Ma trận T  T: R2 ( x)  R2 ( x) sở tắc 4) Xét sở c = {1+ x, + x2, x + x2} R2(x) Dùng ma trận chuyển sở tính ma trận