http://baigiangtoanhoc.com Toán cao cấp Bài giảng số 03 KHÔNG GIAN VÉCTƠ 3.1 ĐỊNH NGHĨA KHÔNG GIAN VÉCTƠ VÀ VÍ DỤ 3.1.1 Định nghĩa tính chất Định nghĩa: Giả sử K trường Tập V gọi K - không gian véctơ (hay không gian véctơ K, hay không gian tuyến tính K) phần tử V gọi véctơ tập V trang bị hai phép toán: Phép cộng véctơ, kí hiệu x + y, x, y  V, phép nhân phần tử   K với véctơ x  V, kí hiệu x, cho điều kiện sau thoả mãn: 1) (V, +) nhóm Aben 2)  (x + y) = x + y, với   K, x, y  V 3) ( + ) x = x + x, với ,   K, x  V 4)  ( x) = ( ) x, với ,   K, x  V 5) 1x = x, với x  V Phần tử trung hoà nhóm Aben (V, +) gọi véctơ không, kí hiệu  Phần tử đối phần tử x nhóm Aben (V, +) gọi véctơ đối véctơ x, kí hiệu - x Theo tính chất phép toán hai nhóm (V, +) véctơ không  véctơ đối -x véctơ x Ta có x+=x x + (-x) = , với x  V Ta viết x + (- y) x - y gọi hiệu hai véctơ x, y  Các tính chất suy từ định nghĩa 1) 0x = , với x  V 2)  = , với   K 3) x =   = 0, x =  4) (-x) = -(x) = (-)x, với   K, x  V Chứng minh: 1) Ta có 0x = (0 + 0) x = 0x + 0x Bài giảng cung cấp độc quyền http://baigiangtoanhoc.com Biên soạn: ThS Trương Chí Trung http://baigiangtoanhoc.com Toán cao cấp Do ta có (0x + 0x) + (- 0x) = 0x + (- 0x) 0x + (0x + (- 0x)) =  0x +  =  Vậy 0x =  2) Ta có  = ( + ) =  +  Do ta có ( + ) + (- ) =  + (- )  + ( + (- ) =   =  3) Theo tính chất 1) 2) ta có:  = x =  x =  Ngược lại giả sử x =  Nếu   0, có  -1  K:  -1 = Ta có  -1 (x) =  -1  ( -1 )x = , 1x =  Do x =  4) Ta có  (-x) + x = ((-x) + x) =  =  Vậy  (-x) = - (x) Tương tự ta có (-)x = - (x). 3.1.2 Các ví dụ không gian véctơ 1) Giả sử K trường, n số nguyên dương Kí hiệu V luỹ thừa Đề-các bậc n tập K V = Kn = x = (x1, , xn) : xi  K, i = 1, , n V K - không gian véctơ hai phép toán sau đây: - Phép cộng véctơ: Giả sử x = (x1, , xn), y = (y1, , yn) Ta định nghĩa x + y = (x1 + y1, , xn + yn) - Phép nhân véctơ với phân tử trường K: x = (x1, , xn), với   K Dễ dàng kiểm tra lại điều kiện định nghĩa không gian véctơ thoả mãn Vậy Kn K - không gian véctơ Không gian K n có véctơ không  = (0, , 0); véctơ đối véctơ x = (x1, , xn) -x = (- x1, , -xn) Chẳng hạn với K = R, n = ta có:  = (0, 0, 0, 0); Nếu x = (0, -1, 3, 1), y = (1, , -5, 2) Bài giảng cung cấp độc quyền http://baigiangtoanhoc.com Biên soạn: ThS Trương Chí Trung http://baigiangtoanhoc.com Toán cao cấp x + y = (1, -1, - 2, 3), - x = (0, 1, -3, -1); 2x = (0, -2, 6, 2) Với n = ta có K1 = K, trường K không gian véctơ 2) Giả sử K trường Khi tập K[x] đa thức ẩn x hệ số K K - không gian véctơ phép cộng đa thức phép nhân đa thức với phần tử trường K Véctơ không đa thức 0, véctơ đối f(x) - f(x) 3) Giả sử P trường, K trường trường P Khi dễ thấy P K - không gian véctơ phép cộng phần tử P phép nhân phần tử K phần tử thuộc P Vậy ta có: Tập số thực R Q - không gian véctơ Tập số phức C R - không gian véctơ 4) Kí hiệu C(a,b) tập hàm số xác định liên tục khoảng mở (a, b) Trong tập C(a, b) ta xác định phép toán cộng hàm số phép nhân hàm số với số thực sau: Với f, g  C(a, b),   R (f + g) (x) = f(x) + g(x) (f) (x) =  f(x), với x  (a, b) Dễ thấy hai phép toán C(a, b) R - không gian véctơ 3.2 KHÔNG GIAN CON 3.2.1 Định nghĩa không gian Định nghĩa: Giả sử V K - không gian véctơ Tập khác rỗng F  V gọi không gian K - không gian véctơ V điều kiện sau thoả mãn 1) Với x, y  F  x + y  F 2) Với x  F  x  F,   K Vì F   nên tồn x  F Theo điều kiện 2) ta có  = 0x  F, không gian chứa véctơ  Nếu x  F, theo điều kiện 2) ta có -x = (- 1) x  F Vậy không gian K - không gian véctơ V K - không gian véctơ Mệnh đề 3.2.1: Tập khác rỗng F  V không gian K - không gian véctơ V điều kiện sau thoả mãn: Với x, y  F  x + y  F, ,   K Chứng minh: Bài giảng cung cấp độc quyền http://baigiangtoanhoc.com Biên soạn: ThS Trương Chí Trung http://baigiangtoanhoc.com Toán cao cấp Điều kiện cần: Giả sử x, y  F, theo điều kiện 2) định nghĩa không gian ta có  x, y  F, với ,   K Và theo điều kiện 1) định nghĩa ta có  x + y  F Điều kiện đủ: Nếu lấy  =  = ta có điều kiện 1) thoả mãn Nếu lấy  = 0, ta có điều kiện 2) thoả mãn Vậy F không gian   Ví dụ không gian 1) Mỗi K - không gian véctơ V có hai không gian hiển nhiên V không gian tầm thường  2) Với số nguyên n  Ta đặt Kn[x] = f  K[x] : bậc f < n Dễ thấy Kn[x] không gian không gian đa thức ẩn x trường K 3) Đặt: F = x = (0, 0, x3, x4)  K4 F không gian K - không gian véctơ K4 4) Kí hiệu C 1(a, b) tập hàm số xác định có đạo hàm liên tục khoảng (a, b) Dễ dàng thấy C -1(a, b) không gian R - không gian véctơ C(a,b) hàm số xác định liên tục (a, b) 3.2.2 Bao tuyến tính, tập sinh không gian véctơ Mệnh đề 3.2.2: Giao họ khác rỗng không gian K - không gian véctơ V không gian Chứng minh: Giả sử Fi, i  I không gian K - không gian véctơ V Ta đặt F =  Fi i I Vì   Fi, với i  I, nên   F Ta có F   Giả sử x, y  F, ta có x, y  Fi, với i  I Vì Fi không gian nên x + y  Fi, với ,   K Vậy x + y   Fi = F Theo mệnh đề i I 3.2.1 tập F không gian  Giả sử S tập K - không gian véctơ V Khi họ không gian chứa tập S họ khác rỗng Chẳng hạn V không gian chứa tập S Ta kí hiệu (S) giao tất không gian chứa tập S Theo mệnh đề 3.2.2 (S) không gian (S) không gian nhỏ chứa tập S Ta gọi không gian (S) không gian sinh tập S Đặc biệt (S) = V, tập S gọi tập phần tử sinh không gian véctơ V Biểu diễn tuyến tính (bdtt): Giả sử A tập K - không gian véctơ V Ta nói véctơ x  V biểu diễn tuyến tính qua tập A tồn véctơ ui  A, phần tử i  K, i = 1, , m cho Bài giảng cung cấp độc quyền http://baigiangtoanhoc.com Biên soạn: ThS Trương Chí Trung http://baigiangtoanhoc.com Toán cao cấp m x= α i u i = 1 u1 + + m um i 1 Khi ta nói véctơ x tổ hợp tuyến tính véctơ u1, , um Dễ thấy véctơ x bdtt qua tập A, véctơ tập A lại bdtt qua tập B  V véctơ x bdtt qua tập B Mệnh đề 3.2.3: Giả sử S tập khác rỗng K - không gian véctơ V Khi ta có m (S) = x = α i u i : ui  S, i  K i 1 Vậy (S) tập tất phần tử bdtt qua tập S Vì lẽ không gian (S) gọi bao tuyến tính tập S m Chứng minh: Ta đặt X = x =  αi u i ; ui  S, i  K i 1 Vì X S nên X   Dễ thấy x, y  X x + y  X với ,   K Vậy X không gian chứa tập S Giả sử F không gian chứa tập S Khi ui  S, i  K, i = 1, , m, F m không gian nên ta có  αi u i  F i 1 Do ta có X  F Vậy X không gian nhỏ chứa tập S hay X = (S). Ví dụ: a) Trong K - không gian véctơ K4 ta xét hệ véctơ e1 = (1, 0, 0, 0), e2 = (0, 1, 0, 0), e3 = (0, 0, 1, 0), e4 = (0, 0, 0, 1) Khi x = (x1, x2, x3, x4)  K4 ta có x = (x1, 0, 0, 0) + (0, x2, 0, 0) + (0, 0, x3, 0) + (0, 0, 0, x4) x = x1(1, 0, 0, 0) + x2(0, 1, 0, 0) + x3(0, 0, 1, 0) + x4(0, 0, 0, 1) x = x1 e1 + x2 e2 + x3 e3 + x4 e4 Vậy ta có K4 = (e1, e2, e3, e4) Hệ e1, e2, e3, e4 tập sinh không gian véctơ K4 Một cách tổng quát ta có: Hệ véctơ e1 = (1, 0, 0, ,0), e2 = (0, 1, 0, , 0), en = (0, 0, 0, , 1), Bài giảng cung cấp độc quyền http://baigiangtoanhoc.com Biên soạn: ThS Trương Chí Trung http://baigiangtoanhoc.com Toán cao cấp tập sinh K - không gian véctơ Kn b) Dễ dàng thấy không gian đa thức ẩn x trường K ta có: K[x] = (1, x, x2, ) Kn[x] = (1, x, xn-1) 3.2.3 Tổng trực tiếp không gian Giả sử Xi, i = 1, , m tập K - không gian véctơ V Ta kí hiệu m m Xi = X1 + + Xm = x =  u i : ui  Xi i 1 i 1 Mệnh đề 3.2.4: Nếu F1, F2 không gian K - không gian véctơ V F = F1 + F2 không gian Không gian F gọi tổng không gian F1, F2 Chứng minh: Theo mệnh đề 3.2.3 dễ dàng thấy F1 + F2 = (F1  F2).  Định nghĩa tổng trực tiếp Không gian F gọi tổng trực tiếp không gian F1 F2, kí hiệu F = F1  F2, điều kiện sau thoả mãn: 1) F = F1 + F2 2) F1  F2 =  Khi không gian Fi gọi phần bù tuyến tính (hay bù trực tiếp) không gian Fj Ví dụ: Trong R - không gian véctơ R3 ta xét không gian F1 = x = (x1, x2, 0) : x1  R, x2  R, F2 = y = (0, 0, y) : y  R Rõ ràng R3 = F1 + F2 F1  F2 =  Vậy ta có R = F1  F2 Mệnh đề 3.2.5: Giả sử F1, F2 không gian K - không gian véctơ F Khi F = F1  F2 véctơ u  F biểu diễn dạng u = u1 + u2, với u1  F1, u2  F2 (3.2.1) Chứng minh: Điều kiện cần: Giả sử F = F1  F2 Theo định nghĩa tổng trực tiếp ta có F = F1 + F2 Do với u  F có biểu diễn (3.2.1) Giả sử u = u'1 + u'2, u'1  F1, u'2  F2 Khi ta có  = (u1 - u'1) + (u2 - u'2) Do ta có u'1 - u1 = u2 - u'2  F1F2 =  Vậy u1 = u'1, u2 = u'2 Biểu diễn (3.2.1) véctơ u  F Bài giảng cung cấp độc quyền http://baigiangtoanhoc.com Biên soạn: ThS Trương Chí Trung http://baigiangtoanhoc.com Toán cao cấp Điều kiện đủ: Giả sử véctơ u  F biểu diễn dạng (3.2.1) Khi rõ ràng F = F1 + F2 Nếu có v  F1F2 v   Khi véctơ   F có hai biểu diễn (3.2.1) khác nhau,  =  +   = v + (-v) Mâu thuẫn chứng tỏ F1F2 =  Ta có F = F1F2 Tổng quát: Không gian F gọi tổng trực tiếp không gian F1, , Fm, kí hiệu F = F1 m   Fm = Fi, điều kiện sau thoả mãn  i i m 1) F =  Fi i 1 m 2) Fj   Fi = , j = 1, , m i 1 ij Bằng quy nạp ta có: Giả sử F1, i = 1, , m không gian K - không gian véctơ F Khi m F = Fi với véctơ u  F có biểu diễn  i i u = u1 + + um, với ui  Fi, i = 1, , m (3.2.2) 3.2.4 Không gian thương Giả sử F không gian K - không gian véctơ V Ta xét quan hệ ~ tập V xác định sau x~yx-yF (3.2.3) Theo tính chất không gian dễ dàng thấy quan hệ ~ xác định (3.2.3) quan hệ tương đương tập V Ta kí hiệu V F tập thương tập V theo quan hệ tương đương Bổ đề 3.2.6: Nếu x ~ x' y ~ y' z + y ~ x' + y' x ~ x',   K Chứng minh: Vì x ~ x', y ~ y' theo (3.2.3) ta có x - x'  F, y - y'  F Do ta có (x + y) - (x' + y') = (x - x') + (y - y')  F; x - x' = (x - x')  F, với   K Vậy theo (3.2.3) ta có x + y ~ x' + y', x ~ x' Trên tập thương V / F ta xác định hai phép toán sau đây:  Phép cộng phần tử V / F x+ y = xy (3.2.4)  Phép nhân phần tử trường K với phần tử V / F  x = αx (3.2.5) Bài giảng cung cấp độc quyền http://baigiangtoanhoc.com Biên soạn: ThS Trương Chí Trung http://baigiangtoanhoc.com Toán cao cấp Từ bổ đề 3.2.6 ta suy x = x' , y  y' x  y = x' y ' , α x = α x' Do phép toán xác định (3.2.4) (3.2.5) đắn, phần tử vế phải không phụ thuộc vào đại biểu lớp tương đương Dễ dàng chứng minh tập V / F K - không gian véctơ phép toán (3.2.4) (3.2.5) K - không gian véctơ V / F gọi không gian thương không gian véctơ V theo không gian F 3.3 HỆ VÉCTƠ ĐỘC LẬP TUYẾN TÍNH, PHỤ THUỘC TUYẾN TÍNH 3.3.1 Hệ véctơ độc lập tuyến tính (ĐLTT) Định nghĩa: - Hệ véctơ u1, , um thuộc K - không gian véctơ V gọi độc lập tuyến tính có tổ hợp tuyến tính 1 u1 + + m um = , suy 1 = = m = - Tập S K - không gian véctơ V gọi độc lập tuyến tính tập hữu hạn u1, , um  S, ui  uj, i  j hệ độc lập tuyến tính Ví dụ: a) Trong không gian K3 xét hệ véctơ: e1 = (1, 0, 0), e2 = (0, 1, 0), e3 = (0, 0, 1) Hệ véctơ e1, e2, e3 hệ ĐLTT Thực giả sử có tổ hợp tuyến tính 1 e1 + 2 e2 + 3 e3 =  Ta có 1 (1, 0, 0) + 2 (0, 1, 0) + 3 (0, 0, 1) = (0, 0, 0) (1, 2, 3) = (0, 0, 0) Vậy 1 = 2 = 3 = Một cách tương tự ta có: Trong không gian Kn hệ véctơ e1 = (1, 0, , 0), e2 = (0, 1, , 0), en = (0, 0, , 1) hệ ĐLTT b) Trong không gian đa thức K[x] tập Bài giảng cung cấp độc quyền http://baigiangtoanhoc.com Biên soạn: ThS Trương Chí Trung http://baigiangtoanhoc.com Toán cao cấp B = 1, x, x2,  tập ĐLTT 3.3.2 Hệ véctơ phụ thuộc tuyến tính (PTTT) Định nghĩa: - Nếu hệ véctơ u1, , umthuộc K - không gian véctơ V không ĐLTT gọi PTTT Vậy hệ véctơ u1, , umPTTT tồn phần tử 1, , m thuộc trường K, có i  cho 1u1 + + mum =  - Tập S K - không gian véctơ V gọi PTTT S tập không độc lập tuyến tính Tức S chứa tập hữu hạn PTTT: Ví dụ: Trong không gian R4 hệ véctơ sau PTTT u1 = (1, -1, -1, 3), u2 = (-2, 2, 2, -6), u3 = (-5, 2, 7, 0) Vì chọn 1 = 2, 2 = 1, 3 = ta có 2u1 + u2 + 0u3 =  3.3.3 Tính chất Các tính chất suy từ định nghĩa: 1) Tập véctơ u phụ thuộc tuyến tính u =  Thực theo tính chất 3) mục 3.1.1 ta có u =  u =   = 2) Giả sử A, B tập K - không gian véctơ V A  B Khi ta có: - Nếu tập B ĐLTT tập A ĐLTT - Nếu tập A PTTT tập B PTTT Từ tính chất suy tập chứa véctơ  tập PTTT Điều kiện cần đủ để hệ véctơ ĐLTT, PTTT Mệnh đề 3.3.1: Hệ véctơ u1, , um, m  2, thuộc K - không gian véctơ V ĐLTT (PTTT) (có một) véctơ biểu diễn tuyến tính qua véctơ lại Chứng minh: Điều kiện cần: Giả sử hệ véctơ u1, , um, m  2, ĐLTT Nếu có véctơ chẳng hạn u1, biểu diễn tuyến tính qua véctơ lại u1 = 2u2 + + m um Ta có u1 - 2u2 - - m um = , 1 =  Trái với giả thiết hệ ĐLTT Điều kiện đủ: Giả sử hệ véctơ u1, , um, thoả mãn điều kiện véctơ biểu diễn tuyến tính qua véctơ lại Khi có tổ hợp tuyến tính 1u1 + + mum =  1 = = m = Vì có i khác 0, chẳng hạn 1  0, ta có Bài giảng cung cấp độc quyền http://baigiangtoanhoc.com Biên soạn: ThS Trương Chí Trung http://baigiangtoanhoc.com Toán cao cấp u1 = - ( α11 2) u2 - - ( α11 m) um Vậy véctơ u1 biểu diễn tuyến tính qua véctơ lại, trái với giả thiết Do hệ cho ĐLTT Điều khẳng định thứ hai suy từ điều khẳng định thứ hệ véctơ không ĐLTT PTTT ngược lại. 3.4 CƠ SỞ, SỐ CHIỀU CỦA KHÔNG GIAN VÉCTƠ 3.4.1 Cơ sở không gian véctơ Định nghĩa: Tập S gọi sở K - không gian véctơ V điều kiện sau thoả mãn: 1) S tập độc lập tuyến tính 2) S tập phần tử sinh K - không gian véctơ V, tức (S) = V Định lý 3.4.1: Hệ véctơ S = u1, , un sở K - không gian véctơ V véctơ x  V biểu diễn tuyến tính duynhất qua hệ S, tức n x=  λi u i , (3.4.1) i 1 Họ 1, , n gọi toạ độ véctơ x sở S Chứng minh: Điều kiện cần: Giả sử S = u1, , un sở K - không gian véctơ V Vì (S) = V, theo mệnh đề 3.2.3 véctơ x  V bdtt qua S Giả sử có hai biểu diễn n x=  λi u i , i 1 n x=  λ' i u i i 1 n Khi ta có  (λ i - λ' i ) u i =  i 1 Vì hệ S ĐLTT nên ta có i - 'i = 0, i = 1, , n Do i = 'i, u = 1, , n Vậy biểu thức (3.4.1) Điều kiện đủ: Giả sử hệ véctơ S = u1, , un thoả mãn điều kiện định lý Rõ ràng (S) = V Giả sử có tổ hợp tuyến tính tầm thường n  λ i u i =  i 1 Bài giảng cung cấp độc quyền http://baigiangtoanhoc.com Biên soạn: ThS Trương Chí Trung http://baigiangtoanhoc.com Toán cao cấp n Mặt khác ta luôn có  u i =  Theo giả thiết véctơ  có biểu diễn tuyến tính i 1 qua tập S, nên ta có 1 = = n = Do S tập ĐLTT Vậy S sở không gian V. Ví dụ: a) Trong K - không gian véctơ Kn xét hệ véctơ: e1 = (1, 0, , 0), e2 = (0, 1, , 0), en = (0, 0, , 1) Ta biết hệ véctơ e1, , en ĐLTT tập sinh không gian Kn Vậy hệ véctơ e1, , en sở, gọi sở tắc không gian Kn Với x = (x1, , xn)  Kn có biểu diễn x = n x e i i Do họ x1, , xn toạ độ véctơ x i 1 sở tắc b) Hệ 1, x, , xn-1 sở không gian Kn[x] đa thức có bậc < n Tập S = 1, x, x2,  sở không gian đa thức K[x] 3.4.2 Số chiều không gian véctơ Mệnh đề 3.4.2: Trong K - không gian véctơ V ta xét hai hệ véctơ u1, u2, , um, v1, v2, , vs (I) (II) Nếu hệ (I) ĐLTT véctơ hệ (I) biểu diễn tuyến tính qua hệ (II) m  s Chứng minh: Vì véctơ hệ (I) biểu diễn tuyến tính qua hệ (II) nên ta có u1 = 1v1 + + s vs (a) Vì hệ (I) ĐLTT nên u1   Do phải có i khác 0, chẳng hạn 1  (nếu cần đánh số lại véctơ hệ (II)) Từ đẳng thức (a) ta có v1 = - 1-1 2 v2 - - 1-1 s vs + 1-1 u1 (b) Trong hệ (II) ta thay véctơ v1 véctơ u1 Ta có hệ u1, v2, , vs, (II,1) Từ (b) suy véctơ của hệ (II) bđtt qua hệ (II,1) Do véctơ hệ (I) bdtt qua hệ (II,1) Ta có u2 = 1 u1 + 2 v2 + + s vs, (c) Bài giảng cung cấp độc quyền http://baigiangtoanhoc.com Biên soạn: ThS Trương Chí Trung http://baigiangtoanhoc.com Toán cao cấp Vì hệ (I) ĐLTT nên hệ số 2, s phải có hệ số i  0, cần đánh số lại, giả sử 2  Từ đẳng thức (c) ta có v2 = - 2-1 3 v3 - - 2-1 s vs - 2-1 1 u1 + 2-1 u2, (d) Trong hệ (II,1) ta thay véctơ v2 véctơ u2 Ta có hệ u1, u2, v3, , vs, (II,2) Ta tiếp tục làm vậy, sau m bước véctơ hệ (I) đưa vào hệ (II) Ta có hệ u1, u2, , um, vm+1, , vs, (II,m) Từ suy m  s. Hệ 3.4.3: Nếu hệ véctơ (I) (II) ĐLTT véctơ hệ bdtt qua hệ m = s Định lý 3.4.4: Nếu K - không gian véctơ V có sở hữu hạn gồm n véctơ sở khác V có n véctơ Số n gọi số chiều K - không gian véctơ V, kí hiệu n = dimV Chứng minh: Giả sử K - không gian véctơ V có sở gồm n véctơ f1, , fn, (a) Giả sử S sở không gian V Ta chọn tuỳ ý k véctơ thuộc S, u1, u2, , uk, (b) Vì S sở nên hệ (b) ĐLTT Vì hệ (a) sở không gian V nên véctơ hệ (b) bdtt qua hệ (a) Theo mệnh đề 3.4.2 ta có k  n Do số véctơ tập S lớn n Giả sử S = u1, u2, , um, (c) Ta có m  n Vì hệ (c) sở, nên véctơ hệ ĐLTT (a) bdtt qua hệ (c), ta có n  m Vậy m = n. Từ định lý 3.4.4 ta suy rằng: Nếu K - không gian véctơ V có sở có vô hạn véctơ số véctơ sở khác vô hạn Khi ta nói số chiều K - không gian véctơ V vô hạn, kí hiệu dimV =  Ta quy ước dim  = Ví dụ: a) K - không gian véctơ Kn có sở tắc gồm n véctơ e1, , en Do ta có dim Kn = n b) Hệ véctơ: 1, x, x2, x3 sở không gian K4[x] đa thức có bậc < Vậy dim K4[x] = c) Tập S = 1, x, x2,  sở không gian đa thức K[x] Vậy ta có dim K[x] =  Bài giảng cung cấp độc quyền http://baigiangtoanhoc.com Biên soạn: ThS Trương Chí Trung http://baigiangtoanhoc.com Toán cao cấp Định lý 3.4.5: Giả sử K - không gian véctơ V có dimV = n <  Khi không gian V hệ k véctơ ĐLTT u1, ,uk, k < n bổ sung thêm n - k véctơ uk+1, , un để hệ u1, , uk, uk+1, , un sở K - không gian véctơ V Chứng minh: Vì k < n, theo định lý 3.4.4 hệ u1, , uk sở không gian V Do tập phần tử sinh không gian V Ta có F = (u1, , uk)  V Chọn véctơ uk+1  V \ F Hệ véctơ u1, , uk, uk+1 ĐLTT Thực giả sử có tổ hợp tuyến tính 1 u1 + + kuk + k+1 uk+1 =  Nếu k+1  ta có: uk+1 = -  k11 1 u1 - -  k11 k uk  F Mâu thuẫn chứng tỏ k+1 = Vậy ta có 1 u1 + + kuk =  Theo giả thiết hệ u1, , uk ĐLTT, nên ta có 1 = = k = Vậy hệ véctơ u1, , uk, uk+1 ĐLTT Một cách tương tự k + < n ta bổ sung thêm véctơ uk+2 để hệ véctơ u1, , uk, uk+1, uk+2 ĐLTT Tiếp tục sau n - k bước ta hệ n véctơ ĐLTT u1, , uk, , un Đó sở cần tìm  Định lý 3.4.6: Giả sử L, M không gian không gian véctơ hữu hạn chiều, ta có dim (M + L) + dim (M L) = dim M + dim L Chứng minh: Giả sử u1, ur sở không gian ML Theo định lý 3.4.5 ta bổ sung thêm để thành sở L u1, , ur, v1, , vp, (a) sở M u1, , ur, w1, wq (b) Vì (ML) = M + L nên véctơ thuộc M + L biểu diễn tuyến tính qua ML, biểu diễn tuyến tính qua hệ véctơ u1, , ur, v1, vp, w1, , wq (c) Vậy hệ véctơ (c) tập sinh không gian M + L Ta chứng tỏ hệ (c) độc lập tuyến tính Thực vậy, giả sử có tổ hợp tuyến tính 1u1 + + rur + 1v1 + + p vp + 1 w1 + + q wq = , (d) Từ đẳng thức (d) ta có 1u1 + + rur + 1v1 + + p vp = 1 w1 - - q wq, (e) Bài giảng cung cấp độc quyền http://baigiangtoanhoc.com Biên soạn: ThS Trương Chí Trung http://baigiangtoanhoc.com Toán cao cấp Ta nhận thấy tổng vế trái (c) phần tử thuộc L, tổng vế phải (c) phần tử thuộc M Do ta có - 1w1 - - qwq  ML Vì hệ u1, , ur sở ML nên tồn biểu diễn - 1w1 - - qwq = 1 u1 + + r ur Do ta có 1 u1 + + r ur + 1 w1 + + q wq =  Vì hệ (b) độc lập tuyến tính nên ta có 1 = = r = 0, 1 = = q = Theo hệ thức (d) ta có 1u1 + + r ur + 1 v1 + + p vp =  Vì hệ (a) độc lập tuyến tính nên ta có 1 = = r = 0, 1 = = p = Vậy hệ véctơ (c) hệ độc lập tuyến tính sở không gian M + L Ta có dim (M + L) = r + p + q dim (M + L) + r = (p + r) + (q + r) Do dim (M + L) + dim (ML) = dim L + dim M Điều khẳng định chứng minh. Hệ 3.4.7: dim (F1  F2) = dim F1 + dim F2, F1, F2 không gian hữu hạn chiều K - không gian véctơ V Chứng minh: Theo định nghĩa tổng trực tiếp ta có F1  F2 = F1 + F2 F1F2 =  Vậy hệ 3.4.7 suy trực tiếp từ định lý 3.4.6. Chú ý: Nếu dim V = n <  ta có: - Số véctơ hệ ĐLTT không gian tối đa n - Mọi hệ n + véctơ không gian V PTTT - Mỗi hệ n véctơ ĐLTT sở không gian V - Nếu F không gian không gian V dim F  n, dim F = n F = V 3.5 CƠ SỞ, HẠNG CỦA MỘT HỆ VÉCTƠ 3.5.1 Định nghĩa tính chất Bài giảng cung cấp độc quyền http://baigiangtoanhoc.com Biên soạn: ThS Trương Chí Trung http://baigiangtoanhoc.com Toán cao cấp Định nghĩa: Trong K - không gian véctơ V xét hệ véctơ A = u1, , um Hệ S =  u i1 , , u i k   A gọi sở hệ véctơ A điều kiện sau thoả mãn: 1) S hệ véctơ độc lập tuyến tính 2) Mỗi véctơ hệ A biểu diễn tuyến tính qua hệ S Mệnh đề 3.5.1: Nếu hệ k véctơ S sở hệ véctơ A S làm sở không gian (A) sinh A, dim (A) = k Chứng minh: Vì hệ véctơ S độc lập tuyến tính nên S sở không gian (S) sinh S Theo mệnh đề 3.2.3 từ điều kiện 2) định nghĩa ta có A  (S), (A)  (S) Rõ ràng (S)  (A) Vậy ta có (A) = (S), S sở không gian (A). Từ mệnh đề 3.5.1 suy rằng: Nếu hệ véctơ A = u1, , un có sở k véctơ số véctơ sở khác k Số k chung gọi hạng hệ véctơ A, kí hiệu r(A) Các tính chất sau trực tiếp suy từ mệnh đề 3.5.1 phép chứng minh mệnh đề - Mọi hệ ĐLTT hệ A có số véctơ nhỏ hạng r(A) - Nếu véctơ hệ véctơ A biểu diễn tuyến tính qua hệ véctơ B r(A)  r(B) - Hai hệ hữu hạn véctơ véctơ hệ biểu diễn tuyến tính qua hệ có hạng 3.5.2 Phép biến đổi sơ cấp Định nghĩa: Cho trước hệ véctơ A = u1, , um Các phép biến đổi sau gọi phép biến đổi sơ cấp hệ véctơ A: 1) Thay đổi thứ tự véctơ hệ A 2) Loại véctơ  (nếu   A) khỏi hệ A 3) Trong hệ A thay véctơ ui véctơ ui,   K,   4) Trong hệ A thay véctơ ui véctơ ui + uk, uk  A, với k  i Mệnh đề 3.5.2: Các phép biến đổi sơ cấp không làm thay đổi hạng hệ véctơ Chứng minh: Dễ dàng thấy hệ véctơ B nhận từ hệ véctơ A phép biến đổi sơ cấp véctơ hệ B biểu diễn tuyến tính qua hệ A, ngược lại véctơ hệ A biểu diễn tuyến tính qua hệ B Do ta có r(A) = r(B). Bài giảng cung cấp độc quyền http://baigiangtoanhoc.com Biên soạn: ThS Trương Chí Trung http://baigiangtoanhoc.com Toán cao cấp BÀI TẬP CHƯƠNG 3.1 Xét V K - không gian véctơ Chứng minh véctơ x, y  V, phần tử ,   K ta luôn có: 1) (x - y) = x - y 2) ( - ) x = x - x 3.2 Kí hiệu R+ tập số thực dương Chứng tỏ tập (R+)n R - không gian véctơ phép toán xác định sau: x Với = (x1, ., xn)  (R+)n, y = (y1, ., yn)  (R+)n,   R x + y = (x1 y1, , xnyn); x = ( xα1 , xαn ) 3.3 Giả sử V, V' K - không gian véctơ Chứng minh tập tích Đề V x V' với phép toán sau K - không gian véctơ (x, x') + (y, y') = (x + y, x' + y') (x, x') = (x, x') 3.4 Trong tập E dãy vô hạn số thực ta định nghĩa phép cộng dãy phép số thực với dãy sau: un + vn = un + vn  un =  un 1) Chứng minh E R - không gian véctơ phép toán xét 2) Chứng tỏ tập F tất dẫy bị chặn, tập M tất dãy có số hữu hạn số hạng khác không gian Hãy xác định sở R - không gian véctơ M 3.5 Xét hệ m phương tình n ẩn số x1, , xn trường K ai1 x1 + ai2x2 + + ainxn = bi; i = 1, , m Hãy viết hệ phương trình dạng đẳng thức véctơ không gian véctơ Km 3.6 Giả sử A, B, C không gian không gian véctơ V, chứng minh: 1) A + B + C = (ABC) 2) Nếu AB không gian A  B B A 3) Nếu AB = AC, A + B = A + C B  C B = C 3.7 Xét xem tập sau không gian véctơ R4 tập không gian Nếu không gian xác định sở phần bù tuyến tính không gian A = x = (x1, x2, x3, x4)  R4 : x1 + x2 + x3 + x4 = 0; Bài giảng cung cấp độc quyền http://baigiangtoanhoc.com Biên soạn: ThS Trương Chí Trung http://baigiangtoanhoc.com Toán cao cấp B = x = (x1, x2, x3, x4)  R4 : x1 + x2 + x3 + x4 = 1; C = x = (x1, x2, x3, x4)  R4 : x1 + x2 = x3 + x4 = 0; D = x = (x1, x2, x3, x4)  R4 : xi  Q, i = 1, 2 3.8 Xét C (- , + ) R - không gian véctơ hàm số xác định liên tục toàn trục số R 1) Kí hiệu I = f  C (- , + ) : f hàm số lẻ; P = f  C (- , + ) : f hàm số chẵn Chứng minh tập I, P không gian C(- , + ) = I  P 2) Kí hiệu: A = f  C (- , + ) : f(0) = 0; B = f  C (- , + ) : f(x) = constant Chứng minh tập A, B không gian C (- , + ) = A  B 3.9 Trong không gian véctơ R3 xét hệ véctơ u1 = (1, 2, -1); u2 = (1, 1, 1); u3 = (0, 1, 1) Chứng minh hệ u1, u2, u3 sở không gian véctơ R3.Hãy tìmtoạ độ véc tơ u = (x, y, z) sở u1, u2, u3 3.10 Xét R - không gian véctơ C (- , + ) hàm số liên tục Chứng minh hệ véctơ sau độc lập tuyến tính 1) sin x, sin 2x, , sin nx 2) 1, cos x, cos 2x, , cos nx 3) 1, u(t), u2(t), , um(t), u  constant 3.11 Xét R - không gian véctơ R[x] đa thức 1) Giả sử Pk(x) đa thức có bậc k, với k = 1, 2, , n Chứng minh hệ Pk(x), k = 1, 2, , n độc lập tuyến tính 2) Giả sử f(x) đa thức có bậc n > Chứng minh hệ f(x), f'(x), f(n) độc lập tuyến tính 3.12 Chứng minh hệ véctơ u1 = (1,10,10), u2 = (10, 1, 10), u3 = (10, 10, 1) sở R - không gian véctơ (R+)3 (ở tập 3.2) 3.13 Chứng minh hệ (x-2)k, k = 0, , n-1 sở không gian Kn[x] đa thức ẩn x trường số K có bậc < n Xác định toạ độ đa thức f(x)  Kn[x] sở 3.14 Giả sử f1, , fn hệ véctơ độc lập tuyến tính không gian véctơ V trường số K 1) Xét hệ véctơ: ui = fi + fi+1, i = 1, , n -1; un = fn + f1 Chứng tỏ hệ u1, , un độc lập tuyến tính n lẻ, phụ thuộc tuyến tính n chẵn 2) Với k cho trước < k < n, xét hệ véctơ Bài giảng cung cấp độc quyền http://baigiangtoanhoc.com Biên soạn: ThS Trương Chí Trung http://baigiangtoanhoc.com Toán cao cấp vi = fi, i = 1, , k; k vi =  fj + fi, với i = k + 1, , n j 1 Chứng minh hệ v1, , vn độc lập tuyến tính 3.15 Chứng minh không gian không gian véctơ hữu hạn chiều có bù tuyến tính 3.16 Hãy chứng tỏ tập R số thực Q - không gian véctơ phép cộng số thực phép nhân số hữu tỉ với số thực, Q - không gian véctơ R hệ véctơ 1, ,  độc lập tuyến tính 3.17 Chứng minh không gian véctơ - chiều không tồn không gian -chiều M, N thoả mãn MN =  3.18 Giả sử F không gian m - chiều K - không gian véctơ n - chiều V, m < n Chứng minh rằng: 1) Có sở V không chứa véctơ F 2) Có sở V chứa k véctơ độc lập tuyến tính cho trước F, < k  m 3.19 Giả sử L không gian K - không gian véctơ V Trên tập V ta xét quan hệ ~ xác định sau: x ~ y  x - y  L Chứng minh quan hệ ~ quan hệ tương đương với x  V lớp tương đương x tập có dạng x = x + L = y = x + u : u  L 3.20 1) Giả sử hệ véctơ u1, , un sở không gian V, L = (u1, , uk) Chứng minh rằng  u k 1 , u n  sở không gian thương V L 2) Chiều không gian thương V L gọi đối chiếu không gian L, kí hiệu codim L Giả sử V K - không gian véctơ hữu hạn chiều, không gian M bù tuyến tính không gian L Chứng minh codim L = dim M Bài giảng cung cấp độc quyền http://baigiangtoanhoc.com Biên soạn: ThS Trương Chí Trung [...]... mọi không gian con của không gian véctơ hữu hạn chiều đều có bù tuyến tính 3. 16 Hãy chứng tỏ rằng tập R các số thực là một Q - không gian véctơ đối với phép cộng các số thực và phép nhân số hữu tỉ với số thực, và trong Q - không gian véctơ R hệ véctơ 1, 2 , 3  độc lập tuyến tính 3. 17 Chứng minh rằng trong không gian véctơ 3 - chiều không tồn tại các không gian con 2 -chiều M, N thoả mãn MN =  3. 18... constant Chứng minh rằng các tập A, B là các không gian con và C (- , + ) = A  B 3. 9 Trong không gian véctơ R3 xét hệ véctơ u1 = (1, 2, -1); u2 = (1, 1, 1); u3 = (0, 1, 1) Chứng minh rằng hệ u1, u2, u3 là một cơ sở của không gian véctơ R3.Hãy tìmtoạ độ của véc tơ u = (x, y, z) đối với cơ sở u1, u2, u3 3 .10 Xét R - không gian véctơ C (- , + ) các hàm số liên tục Chứng minh rằng các hệ véctơ sau... = (1 ,10, 10), u2 = (10, 1, 10) , u3 = (10, 10, 1) là một cơ sở của R - không gian véctơ (R+ )3 (ở bài tập 3. 2) 3. 13 Chứng minh hệ (x-2)k, k = 0, , n-1 là một cơ sở của không gian Kn[x] các đa thức ẩn x trên trường số K có bậc < n Xác định toạ độ của đa thức f(x)  Kn[x] đối với cơ sở đó 3. 14 Giả sử f1, , fn là một hệ véctơ độc lập tuyến tính trong không gian véctơ V trên trường số K 1) Xét hệ véctơ:... quả 3. 4 .3: Nếu các hệ véctơ (I) và (II) ĐLTT và mỗi véctơ của hệ này bdtt qua hệ kia thì m = s Định lý 3. 4.4: Nếu K - không gian véctơ V có một cơ sở hữu hạn gồm n véctơ thì các cơ sở khác của V cũng có n véctơ Số n gọi là số chiều của K - không gian véctơ V, kí hiệu n = dimV Chứng minh: Giả sử K - không gian véctơ V có một cơ sở gồm n véctơ f1, , fn, (a) Giả sử S là một cơ sở bất kỳ của không gian. .. E các dãy vô hạn các số thực ta định nghĩa phép cộng các dãy và phép một số thực với một dãy như sau: un + vn = un + vn  un =  un 1) Chứng minh rằng E là một R - không gian véctơ đối với các phép toán đang xét 2) Chứng tỏ rằng tập F tất cả các dẫy bị chặn, tập M tất cả các dãy chỉ có một số hữu hạn số hạng khác 0 là các không gian con Hãy xác định một cơ sở của R - không gian véctơ M 3. 5... véctơ ĐLTT là một cơ sở của không gian V - Nếu F là một không gian con của không gian V thì dim F  n, dim F = n khi và chỉ khi F = V 3. 5 CƠ SỞ, HẠNG CỦA MỘT HỆ VÉCTƠ 3. 5.1 Định nghĩa và tính chất Bài giảng được cung cấp độc quyền bởi http://baigiangtoanhoc.com Biên soạn: ThS Trương Chí Trung http://baigiangtoanhoc.com Toán cao cấp Định nghĩa: Trong K - không gian véctơ V xét hệ véctơ A = u1, , um Hệ... (S), và S là một cơ sở của không gian (A). Từ mệnh đề 3. 5.1 suy ra rằng: Nếu hệ véctơ A = u1, , un có một cơ sở k véctơ thì số véctơ của các cơ sở khác cũng bằng k Số k chung đó được gọi là hạng của hệ véctơ A, kí hiệu là r(A) Các tính chất sau đây trực tiếp suy từ mệnh đề 3. 5.1 và phép chứng minh của mệnh đề đó - Mọi hệ con ĐLTT của hệ A có số véctơ nhỏ hơn hoặc bằng hạng r(A) - Nếu mỗi véctơ... ta suy ra rằng: Nếu K - không gian véctơ V có một cơ sở có vô hạn véctơ thì số véctơ của các cơ sở khác cũng vô hạn Khi đó ta nói số chiều của K - không gian véctơ V là vô hạn, kí hiệu dimV =  Ta quy ước dim  = 0 Ví dụ: a) K - không gian véctơ Kn có cơ sở chính tắc gồm n véctơ e1, , en Do đó ta có dim Kn = n b) Hệ 4 véctơ: 1, x, x2, x3 là một cơ sở của không gian K4[x] các đa thức có bậc < 4... ẩn số x1, , xn trên trường K ai1 x1 + ai2x2 + + ainxn = bi; i = 1, , m Hãy viết hệ phương trình đó dưới dạng một đẳng thức véctơ trong không gian véctơ Km 3. 6 Giả sử A, B, C là các không gian con của không gian véctơ V, chứng minh: 1) A + B + C = (ABC) 2) Nếu AB là một không gian con thì hoặc A  B hoặc B A 3) Nếu AB = AC, A + B = A + C và B  C thì B = C 3. 7 Xét xem các tập con sau đây của không. .. 3. 4.7: dim (F1  F2) = dim F1 + dim F2, trong đó F1, F2 là các không gian con hữu hạn chiều của K - không gian véctơ V Chứng minh: Theo định nghĩa tổng trực tiếp ta có F1  F2 = F1 + F2 và F1F2 =  Vậy hệ quả 3. 4.7 suy trực tiếp từ định lý 3. 4.6. Chú ý: Nếu dim V = n <  thì ta có: - Số véctơ của mỗi hệ ĐLTT trong không gian tối đa là n - Mọi hệ n + 1 véctơ của không gian V là PTTT - Mỗi hệ n véctơ ... K - không gian véctơ phép toán (3. 2.4) (3. 2.5) K - không gian véctơ V / F gọi không gian thương không gian véctơ V theo không gian F 3. 3 HỆ VÉCTƠ ĐỘC LẬP TUYẾN TÍNH, PHỤ THUỘC TUYẾN TÍNH 3. 3.1... b) không gian R - không gian véctơ C(a,b) hàm số xác định liên tục (a, b) 3. 2.2 Bao tuyến tính, tập sinh không gian véctơ Mệnh đề 3. 2.2: Giao họ khác rỗng không gian K - không gian véctơ V không. .. toán C(a, b) R - không gian véctơ 3. 2 KHÔNG GIAN CON 3. 2.1 Định nghĩa không gian Định nghĩa: Giả sử V K - không gian véctơ Tập khác rỗng F  V gọi không gian K - không gian véctơ V điều kiện