Hình học CHƯƠNG III GĨC VỚI ĐƯỜNG TRỊN I GĨC Ở TÂM SỐ ĐO CUNG Góc tâm • Góc có đỉnh trùng với tâm đường trịn đgl góc tâm • Nếu 00 < a < 1800 cung nằm bên góc đgl cung nhỏ, cung nằm bên ngồi góc đgl cung lớn • Nếu a = 1800 cung nửa đường trịn • Cung nằm bên góc đgl cung bị chắn Góc bẹt chắn nửa đường trịn • Ki hiệu cung AB »AB Số đo cung • Số đo cung AB kí hiệu sđ »AB • Số đo cung nhỏ số đo góc tâm chắn cung • Số đo cung lớn hiệu 3600 số đo cung nhỏ (có chung mút với cung lớn) • Số đo nửa đường tròn 1800 Cung đường trịn có số đo 3600 Cung khơng có số đo 00 (cung có mút trùng nhau) So sánh hai cung Trong đường tròn hay hai đường trịn nhau: • Hai cung đgl chúng có số đo • Trong hai cung, cung có số đo lớn đgl cung lớn Định lí: Nếu C điểm nằm cung AB sđ »AB = sđ»AC + sđ »CB Bài Cho đường tròn (O; R) Vẽ dây AB = R Tính số đo hai cung AB ĐS: 900 ;2700 Bài Cho đường tròn (O; R) Vẽ dây AB cho số đo cung nhỏ AB số đo cung lớn AB Tính diện tích tam giác AOB ĐS: S = R2  R 3 Bài Cho hai đường tròn đồng tâm (O; R)  O; ÷ Trên đường tròn nhỏ lấy điểm M   Tiếp tuyến M đường tròn nhỏ cắt đường tròn lớn A B Tia OM cắt đường tròn lớn C a) Chứng minh »CA = »CB b) Tính số đo hai cung AB HD: b) 600 ;3000 Bài Cho (O; 5cm) điểm M cho OM = 10cm Vẽ hai tiếp tuyến MA MB Tính góc tâm hai tia OA OB tạo HD: 1200 Bài Cho tam giác ABC, vẽ nửa đường tròn đường kính BC cắt AB D AC E So sánh cung BD, DE EC HD: »BD = »DE = »EC Bài Cho hai đường tròn đồng tâm (O; R) (O; R′) với R > R′ Qua điểm M (O; R), vẽ hai tiếp tuyến với (O; R′) Một tiếp tuyến cắt (O; R) A B (A nằm M B); tiếp tuyến cắt (O; R) C D (C nằm D M) Chứng minh hai cung AB CD Trang Hình học II LIÊN HỆ GIỮA CUNG VÀ DÂY Định lí Với hai cung nhỏ đường tròn hay hai đường tròn nhau: a) Hai cung căng hai dây b) Hai dây căng hai cung Định lí Với hai cung nhỏ đường tròn hay hai đường tròn nhau: a) Cung lớn căng dây lớn b) Dây lớn căng cung lớn Bổ sung a) Trong đường tròn, hai cung bị chắn hai dây song song b) Trong đường trịn, đường kính qua điểm cung qua trung điểm dây căng cung Trong đường trịn, đường kính qua trung điểm dây (khơng qua tâm) qua điểm cung bị căng dây c) Trong đường trịn, đường kính qua điểm cung vng góc với dây căng cung ngược lại Bài Cho tam giác ABC cân A nội tiếp đường tròn (O) Biết µA = 500 , so sánh cung nhỏ AB, AC BC HD: µB = µC > µA ⇒ »AC = »AB > »BC Bài Cho hai đường tròn (O) (O′) cắt hai điểm A, B Vẽ đường kính AOE, AO′F BOC Đường thẳng AF cắt đường tròn (O) điểm thứ hai D Chứng minh cung nhỏ AB, CD, CE HD: Chứng minh E, B, F thẳng hàng; BC // AD Bài Cho đường trịn tâm O đường kính AB Vẽ hai dây AM BN song song với cho sđ ¼BM < 900 Vẽ dây MD song song với AB Dây DN cắt AB E Từ E vẽ đường thẳng song song với AM cắt đường thẳng DM C Chứng minh rằng: a) AB ⊥ DN b) BC tiếp tuyến đường tròn (O) Bài Cho đường tròn tâm O đường kính AB Từ A B vẽ hai dây cung AC BD song song với Qua O vẽ đường thẳng vng góc AC M BD N So sánh hai cung AC BD ¼ = AnB ¼ Cho đường trịn (O) dây AB chia đường tròn thành hai cung thỏa: AmB ¼ a) Tính số đo hai cung ¼ AmB, AnB AB » = 2CD » Chứng minh: AB < 2.CD Bài Trên đường tròn (O) vẽ hai cung AB CD thỏa: AB b) Chứng minh khoảng cách từ tâm O đến dây AB III GĨC NỘI TIẾP Định nghĩa: Góc nội tiếp góc có đỉnh nằm đường trịn hai cạnh chứa hai dây cung đường trịn Cung nằm bên góc đgl cung bị chắn Định lí: Trong đường trịn, số đo góc nội tiếp nửa số đo cung bị chắn Hệ quả: Trong đường trịn: a) Các góc nội tiếp chắn cung b) Các góc nội tiếp chắn cung chắn cung c) Góc nội tiếp (nhỏ 900 ) có số đo nửa số đo góc tâm chắn cung d) Góc nội tiếp chắn nửa đường trịn góc vng Hình học Bài Cho nửa đường trịn (O) đường kính AB dây AC căng cung AC có số đo 600 a) So sánh góc tam giác ABC b) Gọi M, N điểm cung AC BC Hai dây AN BM cắt I Chứng minh tia CI tia phân giác góc ACB HD: a) µB = 300 < µA = 600 < µC = 900 b) Chứng minh tia AN, BM tia phân giác góc A B Bài Cho tam giác ABC cân A ( µA < 900 ) Vẽ đường trịn đường kính AB cắt BC D, cắt AC E Chứng minh rằng: a) Tam giác DBE cân b) ·CBE = ·BAC » » · · HD: a) DB = DE ⇒ DB = DE b) CBE = DAE Bài Cho tam giác ABC (AB < AC) nội tiếp đường trịn (O) Vẽ đường kính MN ⊥ BC (điểm M thuộc cung BC không chứa A) Chứng minh tia AM, AN tia phân giác đỉnh A tam giác ABC HD: MN ⊥ BC ⇒ ¼MB = ¼MC Bài Cho đường tròn (O) hai dây MA, MB vng góc với Gọi I, K điểm cung nhỏ MA MB Gọi P giao điểm AK BI a) Chứng minh ba điểm A, O, B thẳng hàng b) Chứng minh P tâm đường tròn nội tiếp tam giác MAB c*) Giả sử MA = 12 cm, MB = 16 cm, tính bán kính đường tròn nội tiếp tam giác MAB HD: a) ·AOB = 1800 b) AK, BI đường phân giác ∆MAB c) AB = 20 cm Chứng minh r = p − a ⇒ r = 4cm Bài Cho đường trịn (O) đường kính AB điểm C di động nửa đường trịn Vẽ đường tròn tâm I tiếp xúc với đường tròn (O) C tiếp xúc với đường kính AB D, đường tròn cắt CA CB điểm thứ hai M N Chứng minh rằng: a) Ba điểm M, I, N thẳng hàng b) ID ⊥ MN c) Đường thẳng CD qua điểm cố định, từ suy cách dựng đường trịn (I) nói HD: a) ·MCN = 900 ⇒ MN đường kính b) Chứng minh O, I, C thẳng hàng; ·INC = ·OBC ⇒ MN // AB; ID ⊥ AB c) Gọi E giao điểm đường thẳng CD với (O) ⇒ »EA = »EB ⇒ E cố định Bài Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn (O), hai đường cao BD CE cắt H Vẽ đường kính AF a) Tứ giác BFCH hình gì? b) Gọi M trung điểm BC Chứng minh ba điểm H, M, F thẳng hàng c) Chứng minh OM = AH · HD: a) Chứng minh ABF = ·ACF = 900 ⇒ CE // BF, BD // CF ⇒ BFCH hình bình hành b) Dùng tính chất hai đường chéo hình bình hành c) Dùng tính chất đường trung bình tam giác AHF Bài Cho đường trịn (O) đường kính AB, M điểm nửa đường trịn, C điểm nửa đường trịn kia, CM cắt AB D Vẽ dây AE vng góc với CM F a) Chứng minh tứ giác ACEM hình thang cân b) Vẽ CH ⊥ AB Chứng minh tia CM tia phân giác góc ·HCO c) Chứng minh CD ≤ AE HD: a) Chứng minh ∆FAC ∆FEM vuông cân F ⇒ AE = CM; Trang Hình học ·CAE = ·AEM = 450 ⇒ AC // ME ⇒ ACEM hình thang cân b) ·HCM = ·OMC = ·OCM CD CH DH 1 = = ≤ ⇒ CD ≤ MD ⇒ CD ≤ CM = AE c) ∆HDC # ∆ODM ⇒ MD MO DO 2 µ Bài Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn (O; R) Biết A = a < 90 Tính độ dài BC HD: Vẽ đường kính BD ·BDC = ·BAC = a BC = BD.sin D = R sin a Bài Cho đường trịn (O) có hai bán kính OA OB vng góc Lấy điểm C đường trịn (O) » sd AC cho = Tính góc tam giác ABC » sd BC Bài 10 Cho tam giác ABC cân A có góc A 500 Nửa đường trịn đường kính AC cắt AB D BC H Tính số đo cung AD, DH HC Bài 11 Cho đường trịn (O) có đường kính AB vng góc dây cung CD E Chứng minh rằng: CD = AE.BE IV GÓC TẠO BỞI TIA TIẾP TUYẾN VÀ DÂY CUNG Định lí Số đo góc tạo tiếp tuyến dây cung nửa số đo cung bị chắn Hệ Trong đường trịn, góc tạo tia tiếp tuyến dây cung góc nội tiếp chắn cung Định lí (bổ sung) Nếu góc BAx (với đỉnh A nằm đường tròn, cạnh chứa dây cung AB), có số đo nửa số đo cung AB căng dây cung nằm bên góc cạnh Ax tia tiếp tuyến đường tròn Bài Cho nửa đường trịn (O) đường kính AB Trên tia đối tia AB lấy điểm M Vẽ tiếp tuyến MC với nửa đường trịn Gọi H hình chiếu C AB a) Chứng minh tia CA tia phân giác góc MCH b) Giả sử MA = a, MC = 2a Tính AB CH theo a HD: a) ·ACH = ·ACM = µB b) Chứng minh MA.MB = MC ⇒ MB = 4a , AB = 3a MC.OC = CH.OM ⇒ CH = a Bài Cho tam giác ABC ngoại tiếp đường tròn (O) Gọi D, E, F tiếp điểm đường tròn cạnh AB, BC, CA Gọi M, N, P giao điểm đường tròn (O) với ti OA, OB, OC Chứng minh điểm M, N, P tâm đường tròn nội tiếp tam giác ADF, BDE CEF HD: Áp dụng tính chất hai tiếp tuyến cắt Bài Cho hai đường tròn (O) (O′) cắt A B Một đường thẳng tiếp xúc với đường tròn (O) C tiếp xúc với đường tròn (O′) D Vẽ đường tròn (I) qua ba điểm A, C, D, cắt đường thẳng AB điểm thứ hai E Chứng minh rằng: · a) CAD + ·CBD = 1800 b) Tứ giác BCED hình bình hành HD: a) Chứng minh ·BAC = ·BCD , ·BAD = ·BDC ⇒ ·CAD + ·CBD = ·BCD + ·BDC + ·CBD = 1800 b) Chứng minh ·BCD = ·EDC (= ·BAC ) , ·ECD = ·BDC (= ·BAD ) ⇒ BC // DE, BD // CE Bài Trên cạnh góc ·xMy lấy điểm T, cạnh lấy hai điểm A, B cho MT = MA.MB Chứng minh MT tiếp tuyến đường tròn ngoại tiếp tam giác TAB · µ » HD: Chứng minh ∆MAT # ∆MTB ⇒ ATM = B = sd AT ⇒ MT tiếp tuyến Bài Cho hai đường tròn (O) (O′) cắt A B Vẽ dây BC đường tròn (O) tiếp xúc với đường tròn (O′) Vẽ dây BD đường tròn (O′) tiếp xúc với đường trịn (O) Chứng Hình học minh rằng: a) AB2 = AC AD b) BC = BD AC AD AB AC BC  BC  AB AC AC = = HD: a) ∆ABC # ∆ADB ⇒ đpcm.b) ⇒ = = ÷ AD AB BD  BD  AD AB AD Bài Cho đường trịn (O) điểm M bên ngồi đường tròn Tia Mx quay quanh M, cắt đường tròn A B Gọi I điểm thuộc tia mx cho MI = MA.MB Hỏi điểm I di động đường nào? HD: MT = MA.MB = MI ⇒ MI = MT ⇒ Điểm I di động đường tròn (M, MT) Bài Cho đường tròn (O) ba điểm A, B, C (O) Dây cung CB kéo dài gặp tiếp tuyến A · · M So sánh góc: ·AMC , ABC , ACB Bài Cho hai đường tròn (O, R) (O′, R′) (R > R′) tiếp xúc A Qua A kẽ hai cát · tuyến BD CE (B, C ∈ (O′); D, E ∈ (O)) Chứng minh: ABC = ·ADE Bài Cho đường trịn (O, R) có hai đường kính AB CD vng góc Gọi I điểm cung AC cho vẽ tiếp tuyến qua I cắt DC kéo dài M IC = CM a) Tính góc AOI b) Tính độ dài OM V GĨC CĨ ĐỈNH Ở BÊN TRONG ĐƯỜNG TRỊN GĨC CĨ ĐỈNH Ở BÊN NGỒI ĐƯỜNG TRỊN Định lí Số đo góc có đỉnh bên đường tròn nửa tổng số đo hai cung bị chắn Định lí Số đo góc có đỉnh bên ngồi đường trịn nửa hiệu số đo hai cung bị chắn Bài Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn (O) Trên cung nhỏ AB AC lấy điểm I K cho ºAI = »AK Dây IK cắt cạnh AB, AC D E a) Chứng minh ·ADK = ·ACB b) Tam giác ABC phải có thêm điều kiện tứ giác DECB hình thang cân » º » HD: a) ·ADK = sd AK + sd BI = sd AB = µC b) µC = µB 2 Bài Cho đường tròn (O) dây AB Vẽ đường kính CD vng góc với AB (D thuộc cung nhỏ AB) Trên cung nhỏ BC lấy điểm N Các đường thẳng CN DN cắt đường thẳng AB E F Tiếp tuyến đường tròn (O) N cắt đường thẳng AB I Chứng minh rằng: AE + AF a) Các tam giác INE INF tam giác cân b) AI = » = µE HD: a) ·INE = sdCN b) AI = AE − IE , AI = AF + IF ⇒ đpcm Bài Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn (O) Các tia phân giác góc B góc C cắt I cắt đường tròn (O) D E Dây DE cắt cạnh AB AC M N Chứng minh rằng: a) Tam giác AMN tam giác cân b) Các tam giác EAI DAI tam giác cân c) Tứ giác AMIN hình thoi HD: a) »DA = »DC ,»EA = »EB,»FB = »FC ⇒ ·AMN = ·ANM b) ·DAI = ·DIA ⇒ DA = DI c) Chứng minh NI // AM, MI // AN, AM = AN ⇒ đpcm Bài Từ điểm M bên ngồi đường trịn (O), ta vẽ hai tiếp tuyến MB, MC Vẽ đường kính BD Hai đường thẳng CD MB cắt A Chứng minh M trung điểm AB Trang Hình học » HD: µA = sd CD = ·MAC ⇒ MA = MC = MB Bài Từ điểm A bên ngồi đường trịn (O), ta vẽ hai cát tuyến ABC ADE (B nằm A C; D nằm A E) Cho biết µA = 500 , sd»BD = 400 Chứng minh CD ⊥ BE » » » » » = 1400 Gọi H = CD ∩ BE ⇒ ·CHE = sdCE + sd BD = 900 HD: µA = sdCE − sd BD ⇒ sdCE 2 Bài Cho điểm A, B, C D theo thứ tự đường tròn (O) cho số đo cung sau: » = 1200 Gọi I giao điểm AC BD M giao điểm DA sd»AB = 400 , sdCD CB kéo dài Tính góc CID AMB Bài Cho đường trịn (O) Từ điểm M ngồi (O), ta vẽ cát tuyến MAC MBD cho ·CMD = 400 Gọi E giao điểm AD BC Biết góc ·AEB = 700 , tính số đo cung AB CD Bài Cho đường trịn (O) điểm M ngồi (O) Vẽ tiếp tuyến MA cát tuyến MBC qua O (B nằm M C) Đường tròn đường kính MB cắt MA E Chứng minh: ¼ = sd BmA ¼ + sd BkE ¼ với ¼ sd AnC AnC , ¼ BmA ¼ BkE cung góc AMC VI CUNG CHỨA GĨC Quỹ tích cung chứa góc Với đoạn thẳng AB góc α ( 00 < a < 1800 ) cho trước quỹ tích điểm M thoả mãn ·AMB = a hai cung chứa góc α dựng đoạn AB Chú ý: • Hai cung chứa góc α nói hai cung tròn đối xứng qua AB • Hai điểm A, B coi thuộc quỹ tích • Đặc biệt: Quỹ tích điểm M nhìn đoạn thẳng AB cho trước góc vng đường trịn đường kính AB Cách vẽ cung chứa góc α – Vẽ đường trung trực d đoạn thẳng AB – Vẽ tia Ax tạo với AB góc α – Vẽ đường thẳng Ay vng góc với Ax Gọi O giao điểm Ay với d – Vẽ cung AmB, tâm O, bán kính OA cho cung nằm nửa mặt phẳng bờ AB khơng chứa tia Ax ¼ AmB vẽ cung chứa góc α Cách giải tốn quỹ tích Muốn chứng minh quỹ tích (tập hợp) điểm M thoả mãn tính chất T hình H đó, ta phải chứng minh hai phần: – Phần thuận: Mọi điểm có tính chất T thuộc hình H – Phần đảo: Mọi điểm thuộc hình H có tính chất T – Kết luận: Quỹ tích điểm M có tính chất T hình H Bài Cho nửa đường tròn (O; R) đường kính AB Vẽ dây MN = R (điểm M cung »AN ) Hai dây AN BM cắt I Hỏi dây MN di động điểm I di động đường nào? HD: Chứng minh ∆MON ·MON = 600 ⇒ ·AIB = 1200 ⇒ I nằm cung chứa góc 1200 dựng đoạn AB Bài Cho nửa đường trịn đường kính AB dây AC quay quanh A Trên nửa mặt phẳng bờ AC khơng chứa B ta vẽ hình vng ACDE Hỏi: a) Điểm D di động đường nào? b) Điểm E di động đường nào? · · HD: a) ADB = ADC = 45 ⇒ D di động cung chứa góc 450 dựng đoạn AB (nằm nửa mặt phẳng bờ AB có chứa C) Hình học b) Vẽ Ax ⊥ AB DE cắt Ax F ⇒ ∆EAF = ∆CAB ⇒ AF = AB ⇒ AF cố định ·AEF = 900 ⇒ E nằm đường trịn đường kính AF Bài Cho hình vng ABCD Trên cạnh BC lấy điểm E, tia đối tia CD lấy điểm F cho CE = CF Gọi M giao điểm hai đường thẳng DE BF Tìm quỹ tích điểm M E di động cạnh BC HD: Phần thuận: ∆CBF = ∆CDE ⇒ ·BMD = ·BME = 900 ⇒ M nằm đường trịn đường kính BD Mặt khác E → C M → C, E → B M → B ⇒ M thuộc cung nhỏ BC Phần đảo: DM cắt BC E, BM cắt DC F ∆CBF = ∆CDE ⇒ CE = CF Kết luận: Quỹ tích điểm M cung nhỏ BC đường trịn đường kính BD Bài Cho tam giác ABC vuông A Vẽ hai nửa đường trịn đường kính AB AC phía tam giác Qua A vẽ cát tuyến MAN (M thuộc nửa đường trịn đường kính AB, N thuộc nửa đường trịn đường kính AC) a) Tứ giác BMNC hình gì? b) Tìm quỹ tích trung điểm I MN cát tuyến MAN quay quanh A HD: a) BMNC hình thang vng b) Gọi K trung điểm BC Quỹ tích điểm I cung DAE đường trịn đường kính AK Bài Cho nửa đường trịn đường kính AB Gọi M điểm cung AB Trên cung AM lấy điểm N Trên tia AM, AN BN lấy điểm C, D, E cho MC = MA, ND = NB, NE = NA Chứng minh năm điểm A, B, C, D, E thuộc đường tròn HD: ·ACB = ·ADB = ·AEB = 450 ⇒ C, D, E nằm cung chứa góc 450 dựng đoạn AB Bài Cho tam giác ABC vuông A, đường phân giác BF Từ điểm I nằm B F, vẽ đường thẳng song song với AC cắt AB BC M N Vẽ đường tròn ngoại tiếp tam giác BIN cắt đường thẳng AI điểm thứ hai D Hai đường thẳng DN BF cắt E a) Chứng minh bốn điểm A, B, D, E nằm đường tròn b) Chứng minh năm điểm A, B, C, D, E nằm đường trịn Từ suy BE ⊥ CE HD: a) ·ABE = ·ADE ⇒ B, D thuộc cung chứa góc dựng đoạn AE ⇒ A, B, D, E ∈ (P) b) ·ACB = ·ADB ⇒ A, B, C, D ∈ (P′) (P) (P′) có điểm chung A, B, D ⇒ (P) ≡ (P′) ⇒ ·BEC = ·BAC = 900 Bài Cho đường trịn (O) đường kính AB, điểm C di động (O) Gọi M giao điểm ba đường phân giác tam giác ABC Điểm M di động đường nào? Bài Dựng tam giác ABC biết BC = 3cm, µA = 500 , AB = 3,5cm HD: Bài tốn có hai nghiệm hình Bài Dựng tam giác ABC biết BC = 4cm, đường cao BD = 3cm đường cao CE = 3,5cm VII TỨ GIÁC NỘI TIẾP Định nghĩa Một tứ giác có bốn đỉnh nằm đường tròn đgl tứ giác nội tiếp đường trịn Định lí • Trong tứ giác nội tiếp, tổng số đo hai góc đối diện 1800 • Nếu tứ giác có tổng số đo hai góc đối diện 1800 tứ giác nội tiếp đường trịn Một số dấu hiệu nhận biết tứ giác nội tiếp • Tứ giác có bốn đỉnh nằm đường trịn tứ giác nội tiếp đường trịn • Tứ giác có tổng số đo hai góc đối diện 1800 tứ giác nội tiếp đường trịn • Tứ giác ABCD có hai đỉnh C D cho ·ACB = ·ADB tứ giác ABCD nội tiếp Chú ý: Trong tứ giác học hình chữ nhật, hình vng, hình thang cân nội tiếp đường trịn Trang Hình học Bài Cho tam giác ABC cân A nội tiếp đường trịn (O) µA = a (00 < a < 900 ) Gọi M điểm tuỳ ý cung nhỏ AC Vẽ tia Bx ⊥ AM, cắt tia CM D a) Tính số đo góc ·AMD b) Chứng minh MD = MB a HD: a) ·AMD = 900 − b) ∆MBD cân ⇒ MD = MB Bài Cho tam giác ABC góc tù Các đường cao AH đường trung tuyến AM không trùng Gọi N trung điểm AB Cho biết ·BAH = ·CAM a) Chứng minh tứ giác AMHN nội tiếp b) Tính số đo góc ·BAC HD: a) ·AHN = ·AMN ⇒ AMHN nội tiếp b) ·BAC = ·ANM = 900 Bài Cho tam giác ABC vuông A Điểm E di động cạnh AB Qua B vẽ đường thẳng vng góc với tia CE D cắt tia CA H Chứng minh rằng: a) Tứ giác ADBC nội tiếp b) Góc ·ADH có số đo không đổi E di động cạnh AB c) Khi E di động cạnh AB BA.BE + CD.CE không đổi HD: a) ·BAC = ·BDC = 900 b) ·ADH = ·ACB c) Vẽ EK ⊥ BC ∆KBE # ∆ABC ⇒ BE.BA = BK.BC; ∆KCE # ∆DCB ⇒ CE.CD = CK.CB Bài Cho nửa đường tròn đường kính AB dây AC Từ điểm D AC, vẽ DE ⊥ AB Hai đường thẳng DE BC cắt F Chứng minh rằng: a) Tứ giác BCDE nội tiếp b) ·AFE = ·ACE HD: a) ·DCB + ·DEB = 1800 b) AECF nội tiếp ⇒ ·AFE = ·ACE Bài Cho nửa đường trịn đường kính AB Lấy hai điểm C D nửa đường tròn cho »AC = »CD = »DB Các tiếp tuyến vẽ từ B C nửa đường tròn cắt I Hai tia AC BD cắt K Chứng minh rằng: a) Các tam giác KAB IBC tam giác b) Tứ giác KIBC nội tiếp HD: a) Chứng minh tam giác có hai góc 600 b) ·BKC = ·BIC = 60 Bài Cho nửa đường trịn (O) đường kính AB tia tiếp tuyến Bx nửa đường tròn Trên tia Bx lấy hai điểm C D (C nằm B D) Các tia AC BD cắt đường tròn E F Hai dây AE BF cắt M Hai tia AF BE cắt N Chứng minh rằng: a) Tứ giác FNEM nội tiếp b) Tứ giác CDFE nội tiếp · · µ · HD: a) MEN = MFN = 90 b) D + CEF = 1800 Bài Cho tam giác ABC Hai đường cao BE CF cắt H Gọi D điểm đối xứng H qua trung điểm M BC a) Chứng minh tứ giác ABDC nội tiếp đường tròn Xác định tâm O đường trịn b) Đường thẳng DH cắt đường tròn (O) điểm thứ hai I Chứng minh năm điểm A, I, F, H, E nằm đường tròn HD: a) BHCD hình bình hành ⇒ ·ACD = ·ABD = 900 O trung điểm AD b) ·AIH = ·AFH = ·AEH = 900 Bài Cho tam giác ABC Dựng ngồi tam giác tam giác BCD, ACE ABF Chứng minh rằng: a) Ba đường trịn ngoại tiếp ba tam giác nói qua điểm b) Ba đường thẳng AD, BE, CF qua điểm c) Ba đoạn thẳng AD, BE, CF HD: a) Gọi O giao điểm thứ hai hai đường tròn (ABF) (ACE) ⇒ ·AOB = ·AOC = ·BOC = 1200 ⇒ BODC nội tiếp ⇒ đường tròn (BCD) qua O Hình học b) ·AOB + ·BOD = 1800 ⇒ A, O, D thẳng hàng Tương tự B, O, E thẳng hàng; C, O, F thẳng hàng ⇒ Ba đường thẳng AD, BE, CF đồng qui c) ∆ABD = ∆FBC ⇒ AD = CF; ∆ACF = ∆AEB ⇒ CF = BE Bài Cho tứ giác ABCD nội tiếp đường tròn (O), hai đường chéo AC BD cắt I Vẽ đường tròn ngoại tiếp tam giác ABI Tiếp tuyến đường tròn I cắt AD BC M N Chứng minh rằng: a) MN // CD b) Tứ giác ABNM nội tiếp HD: a) ·BIN = ·BDC ⇒ MN // CD b) ·BAM + ·BNM = 1800 Bài 10 Cho góc nhọn xOy Trên tia Ox lấy hai điểm A B cho OA = 2cm, OB = 6cm Trên tia Oy lấy hai điểm C D cho OC = 3cm, OD = 4cm Nối BD AC Chứng minh tứ giác ABCD nội tiếp Bài 11 Cho đường tròn (O) điểm A đường tròn (O) Từ điểm M tiếp tuyến A, vẽ cát tuyến MBC Gọi I trung điểm BC Chứng minh tứ giác AMIO nội tiếp VIII ĐƯỜNG TRÒN NGOẠI TIẾP ĐƯỜNG TRÒN NỘI TIẾP Định nghĩa a) Đường tròn qua tất đỉnh đa giác đgl đường tròn ngoại tiếp đa giác đa giác đgl đa giác nội tiếp đường tròn b) Đường tròn tiếp xúc với tất cạnh đa giác đgl đường tròn nội tiếp đa giác đa giác đgl đa giác ngoại tiếp đường trịn Định lí Bất kì đa giác có đường trịn ngoại tiếp, có đường tròn nội tiếp Tâm hai đường tròn trùng đgl tâm đa giác Tâm giao điểm hai đường trung trực hai cạnh hai đường phân giác hai góc Chú ý: • Bán kính đường trịn ngoại tiếp đa giác khoảng cách từ tâm đến đỉnh • Bán kính đường tròn nội tiếp đa giác khoảng cách từ tâm O đến cạnh • Cho n_ giác cạnh a Khi đó: – Chu vi đa giác: p = na (p nửa chu vi) (n − 2).180 – Mỗi góc đỉnh đa giác có số đo n 3600 n a R= 1800 ⇒ 180 a = R.sin 2sin n n a r= 1800 1800 ⇒ a = 2r.tan tan n n – Mỗi góc tâm đa giác có số đo – Bán kính đường trịn ngoại tiếp: – Bán kính đường trịn nội tiếp: – Liên hệ bán kính đường tròn ngoại tiếp nội tiếp: R2 − r = – Diện tích đa giác đều: S= nar a2 Bài Một đường tròn có bán kính R = 3cm Tính diện tích hình vng nội tiếp đường trịn HD: a = R = 2(cm) ⇒ S = 18cm Trang Hình học Bài Một đa giác nội tiếp đường tròn ( O;2cm ) Biết độ dài cạnh 3cm Tính diện tích đa giác a R= HD: 1800 ⇒ n = ⇒ S = 3(cm ) 2sin n Bài Cho lục giác ABCDEF, độ dài cạnh a Các đường thẳng AB CD cắt M, cắt đường thẳng EF theo thứ tự N P a) Chứng minh ∆MNP tam giác b) Tính bán kính đường trịn ngoại tiếp ∆MNP HD: a) ∆MNP có góc 600 ⇒ ∆MNP tam giác cạnh 3a b) R = a Bài Cho ngũ giác ABCDE cạnh a Hai đường chéo AC AD cắt BE M N a) Tính tỉ số bán kính đường trịn nội tiếp đường trịn ngoại tiếp ngũ giác b) Chứng minh tam giác AMN CMB tam giác cân c) Chứng minh AC.BM = a2    r  a a = : ÷ ÷ ≈ 0,8 HD: a) R  1800 ÷  1800 ÷  tan ÷  2sin ÷     b) Vẽ đường tròn ngoại tiếp ngũ giác ⇒ »AB = »BC = »CD = »DE = »EA Dùng định lí góc đường trịn, chứng minh tam giác có hai góc AB BM = c) ∆ABM # ∆ACB ⇒ AC BC Bài Cho đường tròn (O; R) Từ điểm A đường tròn (O) vẽ cung AB, AC cho sd»AB = 300 , sd»AC = 900 (điểm A nằm cung BC nhỏ) Tính cạnh diện tích tam giác ABC HD: BC = R , AC = R , AB = R sin150 , S = R sin150 IX ĐỘ DÀI ĐƯỜNG TRÒN, CUNG TRỊN Cơng thức tính độ dài đường trịn (chu vi đường tròn) Độ dài C đường tròn bán kính R tính theo cơng thức: C = 2π R C = π d ( d = 2R ) Cơng thức tính độ dài cung trịn Trên đường trịn bán kính R, độ dài l cung n tính theo cơng thức: π Rn l= 180 Bài Cho π = 3,14 Hãy điền vào bảng sau: Bán kính R Đường kính d Độ dài C Diện tích S 94,2 28,26 Bài Cho đường tròn (O) bán kính OA Từ trung điểm M OA vẽ dây BC ⊥ OA Biết độ dài đường tròn (O) 4π (cm) Tính: a) Bán kính đường trịn (O) b) Độ dài hai cung BC đường tròn 10 Hình học Bài Tam giác ABC có AB = AC = 3cm, µA = 1200 Tính độ dài đường tròn ngoại tiếp ∆ABC HD: Bài Một tam giác hình vng có chu vi 72cm Hỏi độ dài đường tròn ngoại tiếp hình lớn hơn? Lớn bao nhiêu? HD: Bài Cho hai đường tròn (O; R) (O′; R′) tiếp xúc với A Một đường thẳng qua A cắt đường tròn (O) B, cắt đường tròn (O′) C Chứng minh R′ = R độ dài cung AC nửa độ dài cung AB (chỉ xét cung nhỏ AC, AB) Bài Cho đường trịn đường kính BC = R Trên đường tròn lấy điểm A cho AB = R Gọi P1, P2 , P3 chu vi đường tròn có đường kính CA, AB, BC Chứng minh rằng: P12 P22 P32 = = Bài Cho tứ giác ABCD ngoại tiếp đường trịn (O) Vẽ phía ngồi tứ giác bốn nửa đường trịn có đường kính bốn cạnh tứ giác Chứng minh tổng độ dài hai nửa đường trịn có đường kính hai cạnh đối diện tổng độ dài hai nửa đường tròn Bài Cho nửa đường tròn (O; 10cm) có đường kính AB Vẽ hai nửa đường trịn đường kính OA OB nửa đường trịn (O; 10cm) Tính diện tích phần nằm ba đường trịn Bài Cho nửa đường trịn (O) đường kính BC Lấy điểm A (O) cho AB < AC Vẽ hai nửa đường trịn đường kính AB AC phía ngồi tam giác ABC Chứng minh diện tích tam giác ABC tổng hai diện tích hai hình trăng khuyết phía ngồi (O) X DIỆN TÍCH HÌNH TRỊN, HÌNH QUẠT TRỊN Cơng thức tính diện tích hình trịn Diện tích S hình trịn bán kính R tính theo cơng thức: S = π R2 Cơng thức tính diện tích hình quạt trịn Diện tích hình quạt trịn bán kính R, cung n tính theo cơng thức: π R 2n S= 360 hay S= lR (l độ dài cung n hình quạt trịn) Bài Một hình vng hình trịn có chu vi Hỏi hình có diện tích lớn 2 HD: Gọi chu vi hình 4a ⇒ Shv = a , Sht = a ⇒ Sht > Shv π Bài Chứng minh diện tích hình trịn ngoại tiếp hình vng hai lần diện tích hình trịn nội tiếp hình vng π a2 π a2 ; Snội tiếp = Bài Tính diện tích hình vành khăn tạo thành bới đường tròn nội tiếp đường tròn ngoại tiếp tam giác cạnh 6cm a a Rngoaïi tiếp = = Rnội tiếp = = HD: , ⇒ S = 9π (cm2 ) 180 1800 2sin tan 3 Bài Một tam giác cạnh a nội tiếp đường tròn (O) Tính diện tích hình viên phân tạo thành cạnh tam giác cung nhỏ căng cạnh π a2 a2 HD: S = − 12 Bài Tam giác ABC vuông A, đường cao AH = 2cm Trên nửa mặt phẳng bờ BC có Trang 11 HD: Gọi độ dài cạnh hình vng a ⇒ Sngoại tiếp = Hình học chứa A ta vẽ ba nửa đường trịn có đường kính BH, CH BC Tính diện tích miền giới hạn ba nửa đường trịn HD: Đặt HB = R, HC = 2r ⇒ AH = HB.HC = Rr ⇒ Rr = ⇒ S = π Rr = π (cm2 ) BÀI TẬP ÔN CHƯƠNG III Bài Cho nửa đường trịn (O; R) đường kính AB Từ A B vẽ tiếp tuyến Ax By với nửa đường trịn Một góc vng quay quanh O, hai cạnh góc cắt Ax By C D Hai đường thẳng OD Ax cắt E Chứng minh rằng: a) AC.BD = R b) Tam giác CDE tam giác cân c) CD tiếp tuyến nửa đường tròn (O) HD: a) ∆AOC # ∆BDO ⇒ AC.BD = OA.OB = R b) ∆CDE có CO vừa đường cao, vừa trung tuyến c) Vẽ OF ⊥ CD ⇒ ∆FOD = ∆AOE ⇒ OF = OA = R ⇒ CD tiếp tuyến (O) Bài Cho đường trịn (O; R) đường kính AB, tia tiếp tuyến Ax Trên tia Ax lấy điểm M cho AM = R Vẽ tiếp tuyến MC (C tiếp điểm) Đường thẳng vng góc với AB O cắt tia BC D a) Chứng minh BD // OM b) Xác định dạng tứ giác OBDM AODM c) Gọi E giao điểm AD với OM, F giao điểm MC với OD Chứng minh EF tiếp tuyến đường trịn (O) HD: a) ·AOM = µB ⇒ BD // OM b) OBDM hình bình hành, AODM hình chữ nhật c) OE = R, FE ⊥ OE ⇒ EF tiếp tuyến (O) Bài Cho hai đường tròn (O) (O′) cắt A B Vẽ đường kính AOC AO′D Đường thẳng AC cắt đường tròn (O′) E Đường thẳng AD cắt đường tròn (O) F Chứng minh rằng: a) Ba điểm C, B, D thẳng hàng b) Tứ giác CDEF nội tiếp c) A tâm đường tròn nội tiếp (hoặc bàng tiếp) tam giác BEF HD: a) ·ABC = ·ABD = 900 b) ·CED = ·CFD = 90 c) Chứng minh FA tia phân giác (hoặc ngồi) góc F, EA tia phân giác (hoặc ngồi) góc E ∆BEF ⇒ A tâm đường tròn nội tiếp (hoặc bàng tiếp) tam giác BEF Bài Từ điểm A ngồi đường trịn (O) vẽ tiếp tuyến AT cát tuyến ABC với đường tròn (B nằm A C) Gọi H hình chiếu T OA Chứng minh rằng: a) AT = AB AC b) AB AC = AH AO c) Tứ giác OHBC nội tiếp HD: a) ∆ATB # ∆ACT ⇒ AT = AB AC b) AB AC = AH AO = AT c) ∆AOC # ∆ABH ⇒ ·ACO = ·AHB ⇒ ·ACO + ·BHO = 1800 ⇒ OHBC nội tiếp Bài Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn (O) (AB < AC) Vẽ dây AD // BC Tiếp tuyến A B đường tròn cắt E Gọi I giao điểm AC BD Chứng minh rằng: · a) AIB = ·AOB b) Năm điểm E, A, I, O, B nằm đường tròn c) IO ⊥ IE HD: a) ·AIB = sd»AB = ·AOB b) ABOI, AOBE nội tiếp c) ·EIO = ·EAO = 900 ⇒ IO ⊥ IE Bài Cho hình vng ABCD Trên hai cạnh CB CD lấy hai điểm di động M N cho CM = CN Từ C vẽ đường thẳng vng góc với BN, cắt BN E AD F a) Chứng minh tứ giác FMCD hình chữ nhật 12 Hình học b) Chứng minh nam điểm A, B, M, E, F nằm đường tròn Xác định tâm O đường tròn c) Đường trịn (O) cắt AC điểm thứ hai I Chứng minh tam giác IBF vuông cân d) Tiếp tuyến B đường tròn (O) cắt đường thẳng FI K Chứng minh ba điểm K, C, D thẳng hàng HD: a) ∆FDC = ∆NCB ⇒ FD = CN = CM b) A, B, M, E, F nằm đường trịn đường kính BF O trung điểm BF c) ºIF = ºIB ⇒ IF = IB d) IBKC nội tiếp ⇒ ·BCK = ·BIK = 900 ⇒ ·BCK + ·BCD = 1800 Bài Cho đường tròn (O) Vẽ hai dây AC BD vng góc với I (điểm B nằm cung nhỏ AC) Chứng minh rằng: a) Tứ giác ABCD hình thang cân b) Tổng diện tích hai hình quạt trịn AOB COD tổng diện tích hai hình quạt trịn AOD BOC (các hình quạt trịn ứng với cung nhỏ) HD: a) ·BDC = ·ABD ⇒ AB // CD π R2 ( ¶ π R2 ( ¶ » ), S sñ AB + sñCD + S = sñ AD + sđ»BC ) quạt AOD quạt BOC 360 360 Bài Cho nửa đường trịn đường kính BC = 10cm dây BA = 8cm Vẽ phía ngồi tam giác ABC nửa đường trịn đường kính AB AC a) Tính diện tích tam giác ABC b) Tính tổng diện tích hai hình viên phân c) Tính tổng diện tích hai hình trăng khuyết 25 HD: a) S ABC = 24(cm ) b) Svp = π − 24(cm2 ) c) Stk = 24(cm2 ) Bài Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn (O) Biết BC = 2cm, µA = 450 a) Tính diện tích hình trịn (O) b) Tính diện tích hình viên phân giới hạn dây BC cung nhỏ BC c) Xác định vị trí điểm A để diện tích tam giác ABC lớn Tính diện tích lớn π −2 (cm ) HD: a) R = OB = ⇒ S = 2π (cm ) b) Svp = c) S ABC lớn ⇔ A điểm cung lớn BC Khi S ABC = + 1(cm ) b) Squaït AOB + Squaït COD = Bài 10 Cho tam giác ABC nhọn Đường tròn đường kính BC cắt AB N cắt AC M Gọi H giao điểm BM CN a) Tính số đo góc BMC BNC b) Chứng minh AH vng góc BC c) Chứng minh tiếp tuyến N qua trung điểm AH HD: Bài 11 Cho đường trịn tâm O, đường kính AB = 2R điểm M đường trịn cho góc ·MAB = 900 Kẻ dây MN vng góc với AB H a) Chứng minh AM AN tiếp tuyến đường tròn (B; BM) b) Chứng minh MN = AH HB c) Chứng minh tam giác BMN tam giác điểm O trọng tâm d) Tia MO cắt đường tròn (O) E, tia MB cắt (B) F.Chứng minh ba điểm N, E, F thẳng hàng Bài 12 Cho đường tròn (O; R) điểm A cách O khoảng 2R, kẻ tiếp tuyến AB tới đường trịn (B tiếp điểm) a) Tính số đo góc tam giác OAB b) Gọi C điểm đối xứng với B qua OA Chứng minh điểm C nằm đường tròn O AC tiếp tuyến đường tròn (O) c) AO cắt đường tròn (O) G Chứng minh G trọng tâm tam giác ABC Bài 13 Từ điểm A đường tròn (O; R), kẻ hai tiếp tuyến AB, AC (với B C hai tiếp điểm) Gọi H giao điểm OA BC Trang 13 Hình học a) Chứng minh OA ⊥ BC tính tích OH.OA theo R b) Kẻ đường kính BD đường tròn (O) Chứng minh CD//OA c) Gọi E hình chiếu C BD, K giao điểm AD CE Chứng minh K trung điểm CE Bài 14 Từ điểm A đường tròn (O; R), kẻ hai tiếp tuyến AB, AC (với B C tiếp điểm) Kẻ BE ⊥ AC CF ⊥ AB (E ∈ AC , F ∈ AB ), BE CF cắt H a) Chứng minh tứ giác BOCH hình thoi b) Chứng minh ba điểm A, H, O thẳng hàng c) Xác định vị trí điểm A để H nằm đường tròn (O) Bài 15 Cho đường tròn (O; 3cm) điểm A có OA = cm Kẻ tiếp tuyến AB AC với đường tròn (B, C tiếp điểm) Gọi H giao điểm OA BC a) Tính độ dài OH b) Qua điểm M thuộc cung nhỏ BC, kẻ tiếp tuyến với đường tròn, cắt AB AC theo thứ tự E F Tính chu vi tam giác ADE c) Tính số đo góc DOE HD: Bài 16 Cho nửa đường trịn tâm O đường kính AB Gọi Ax, By tia vng góc với AB (Ax, By nửa đường tròn thuộc nửa mặt phẳng bờ AB) Qua điểm M thuộc tia Ax, kẻ tiếp tuyến với nửa đường tròn, cắt By N a) Tính số đo góc MON b) Chứng minh MN = AM + BN c) Tính tích AM.BN theo R 14 ... Trong tứ giác học hình chữ nhật, hình vng, hình thang cân nội tiếp đường trịn Trang Hình học Bài Cho tam giác ABC cân A nội tiếp đường trịn (O) µA = a (00 < a < 90 0 ) Gọi M điểm tu? ?? ý cung nhỏ... diện tích hình quạt trịn Diện tích hình quạt trịn bán kính R, cung n tính theo cơng thức: π R 2n S= 36 0 hay S= lR (l độ dài cung n hình quạt trịn) Bài Một hình vng hình trịn có chu vi Hỏi hình có... vi hình 4a ⇒ Shv = a , Sht = a ⇒ Sht > Shv π Bài Chứng minh diện tích hình trịn ngoại tiếp hình vng hai lần diện tích hình trịn nội tiếp hình vng π a2 π a2 ; Snội tiếp = Bài Tính diện tích hình