TÀI LIỆU THAM KHẢO TOÁN HỌC PHỔ THÔNG 1988  Gac Ma 14.03 CHUYÊN ĐỀ PHƯƠNG TRÌNH VÀ BẤT PHƯƠNG TRÌNH LÝ THUYẾT SỬ DỤNG ĐẠI LƯỢNG LIÊN HỢP – TRỤC CĂN THỨC – HỆ PHƯƠNG TRÌNH TẠM THỜI (PHẦN 1) TRUNG ĐOÀN TRẦN HƯNG ĐẠO – QUÂN ĐOÀN BỘ BINH CHỦ ĐẠO: SỬ DỤNG ĐẠI LƯỢNG LIÊN HỢP – TRỤC CĂN THỨC – HỆ PHƯƠNG TRÌNH TẠM THỜI  MỘT SỐ BÀI TOÁN MỞ ĐẦU  LIÊN HỢP TRỰC TIẾP CÁC BIỂU THỨC CHỨA CĂN  BÀI TOÁN NHIỀU CÁCH GIẢI CREATED BY GIANG SƠN (FACEBOOK); GACMA1431988@GMAIL.COM (GMAIL) THỦ ĐÔ HÀ NỘI – MÙA THU 2013 LÝ THUYẾT SỬ DỤNG ĐẠI LƯỢNG LIÊN HỢP – TRỤC CĂN THỨC – HỆ TẠM THỜI (PHẦN 1) _ “Non sông Việt Nam có trở nên tươi đẹp hay không, dân tộc Việt Nam có bước tới đài vinh quang để sánh vai với cường quốc năm châu hay không, nhờ phần lớn công học tập em” (Trích thư Chủ tịch Hồ Chí Minh) “Mẹ nằm yên khe núi, trái đào dại vương vãi chung quanh, tay mẹ nắm chặt quả, máu người mẹ cứng lại thành màu đen nặng nề Tôi đau đớn tới mức ngũ tạng vỡ ra, ôm chặt cứng lấy mẹ, gọi: mẹ ơi, mẹ ơi…mẹ sống chẳng sung sướng ngày nào…” (Mẹ điên – Vương Hằng Tích) CREATED BY GIANG SƠN; GACMA1431988@GMAIL.COM;01633275320 TRUNG ĐOÀN TRẦN HƯNG ĐẠO; QUÂN ĐOÀN BỘ BINH LÝ THUYẾT SỬ DỤNG ĐẠI LƯỢNG LIÊN HỢP – TRỤC CĂN THỨC – HỆ TẠM THỜI (PHẦN 1) _ CHUYÊN ĐỀ PHƯƠNG TRÌNH VÀ BẤT PHƯƠNG TRÌNH LÝ THUYẾT SỬ DỤNG ĐẠI LƯỢNG LIÊN HỢP – TRỤC CĂN THỨC – HỆ TẠM THỜI (PHẦN 1) TRUNG ĐOÀN TRẦN HƯNG ĐẠO – QUÂN ĐOÀN BỘ BINH Trong chương trình Toán học phổ thông nước ta, cụ thể chương trình Đại số sơ cấp, phương trình bất phương trình nội dung quan trọng, phổ biến nhiều dạng toán xuyên suốt cấp học, phận thường thấy kỳ thi kiểm tra chất lượng học kỳ, thi tuyển sinh lớp 10 THPT, thi học sinh giỏi môn Toán cấp kỳ thi tuyển sinh Đại học – Cao đẳng với hình thức phong phú, đa dạng Mặc dù đề tài quen thuộc, thống không mà giảm phần thú vị, nhiều toán tăng dần đến mức khó chí khó, với biến đổi đẹp kết hợp nhiều kiến thức, kỹ làm khó nhiều bạn học sinh THCS, THPT Ngoài phương trình đại số bậc cao, phương trình phân thức hữu tỷ phương trình chứa (còn gọi phương trình vô tỷ) đông đảo bạn học sinh, thầy cô giáo chuyên gia Toán phổ thông quan tâm sâu sắc Chương trình Toán Đại số lớp THCS bước đầu giới thiệu phép toán với thức, kể từ thức xuất hầu hết vấn đề đại số, hình học, lượng giác xuyên suốt chương trình Toán THPT Sự đa dạng hình thức lớp toán thức đặt yêu cầu cấp thiết làm để đơn giản hóa, thực tế phương pháp giải, kỹ năng, mẹo mực hình thành, vào hệ thống Về để làm việc với lớp phương trình, bất phương trình vô tỷ ưu tiên khử giảm thức phức tạp toán Phương pháp sử dụng biến đổi tương đương – nâng cao lũy thừa phương pháp bản, đơn giản nhất, bạn bước đầu làm quen thông qua tiêu mục Hầu hết phương pháp khác nhiều quy dạng nâng lũy thừa, điều quan trọng trình thu gọn toán Tiếp tục dựa tảng ấy, mang tính kế thừa phát huy thêm bậc, tài liệu trân trọng giới thiệu gửi tới toàn thể bạn đọc hướng xử lý phổ biến, mang tên: Sử dụng đại lượng liên hợp – trục thức – hệ tạm thời (phần 1) Kiến thức chủ đạo ví dụ minh họa mở đầu, kỹ thuật liên hợp trực tiếp biểu thức chứa toán liên quan đến tìm nghiệm, liên hợp số Đây coi phương pháp mạnh, chất phân tích nhân tử đưa phương trình chứa phương trình tích hệ Tài liệu nhỏ viết theo trình tự kiến thức tăng dần, phù hợp với bạn học sinh THCS (lớp 9) ôn thi vào lớp 10 THPT, bạn học sinh THPT thi học sinh giỏi Toán cấp luyện thi vào hệ đại học, cao đẳng, cao tài liệu tham khảo dành cho thầy cô giáo bạn yêu Toán khác I KIẾN THỨC – KỸ NĂNG CHUẨN BỊ Kỹ nhân, chia đa thức, phân tích đa thức thành nhân tử, biến đổi phân thức đại số thức Kỹ biến đổi tương đương, nâng lũy thừa, sử dụng lượng liên hợp, phân tích đẳng thức Nắm vững lý thuyết bất phương trình, dấu nhị thức bậc nhất, dấu tam thức bậc hai Thực hành giải phương trình, bất phương trình bậc hai, dạng đại số bậc cao, phân thức hữu tỷ Sử dụng thành thạo ký hiệu logic phạm vi toán phổ thông CREATED BY GIANG SƠN; GACMA1431988@GMAIL.COM;01633275320 TRUNG ĐOÀN TRẦN HƯNG ĐẠO; QUÂN ĐOÀN BỘ BINH LÝ THUYẾT SỬ DỤNG ĐẠI LƯỢNG LIÊN HỢP – TRỤC CĂN THỨC – HỆ TẠM THỜI (PHẦN 1) _ II MỘT SỐ BÀI TOÁN ĐIỂN HÌNH VÀ KINH NGHIỆM THAO TÁC Bài toán Giải phương trình x   x    x   Lời giải Điều kiện x  Phương trình cho tương đương với x   x 1   x   x   x 1  x 1   x  Vậy phương trình cho có nghiệm x  Lời giải Điều kiện x   x  3   x  1   x   x   Phương trình cho tương đương với  x   x 1  x   x   Kết hợp (1) phương trình cho ta có hệ   x   x   Thực cộng vế tương ứng thu x    x    x  Kết luận nghiệm S  1 Lời giải Điều kiện x  Đặt x   a; x   b  a  b  Phương trình cho trở thành a  b  Ta có hệ phương trình a  b  a  b  a   a  b  a  b       x   a  b  b  a  b  a  b  Đối chiếu điều kiện ta có nghiệm x  Lời giải Điều kiện x  Đặt x   u; x   v  u  v  Phương trình cho trở thành u  v  Ta thu hệ phương trình  v  4v    v  u  v  v     x   u  u  v  u  v  Kết luận phương trình cho có nghiệm Nhận xét  Một phương trình chứa thức bản, có tới bốn lời giải khác mặt hình thức, đôi hai lời giải có chất  Cụ thể bạn thấy lời giải sử dụng phép biến đổi tương đương nâng lũy thừa, đưa phương trình đơn giản Lời giải sử dụng đẳng thức liên hợp đưa hệ điều kiện chứa x, từ hệ giải phương pháp cộng đại số cho kết tương tự Các lời giải đặt hai ẩn phụ quy hệ phương trình, ẩn phụ khác hệ thu đồng nhất, lời giải sử dụng đẳng thức với phép thế, lời giải sử dụng phép đơn  Nhẫn xét: Lời giải có chất, thực chất bình phương hai vế phương trình ban đầu Lời a2  b2 giải có chất, thực chất sử dụng đẳng thức liên hợp a  b   a  b   , ab a2  b2 thu  const , số, tạo gọn nhẹ bất ngờ thao tác ab  Trọng tâm tài liệu sử dụng đẳng thức liên hợp – trục thức – hệ tạm thời, nghĩa cách thực tương tự lời giải Hệ phương trình thu lời giải thường gọi hệ tạm thời, chứa x, xây dựng từ hệ liên hợp phương trình giả thiết ban đầu, bước trung gian để tới kết toán CREATED BY GIANG SƠN; GACMA1431988@GMAIL.COM;01633275320 TRUNG ĐOÀN TRẦN HƯNG ĐẠO; QUÂN ĐOÀN BỘ BINH LÝ THUYẾT SỬ DỤNG ĐẠI LƯỢNG LIÊN HỢP – TRỤC CĂN THỨC – HỆ TẠM THỜI (PHẦN 1) _  Các bạn trình bày hai cách 3, cách coi thuộc phạm vi đặt ẩn phụ đưa hệ phương trình, chất giải hệ tạm thời sử dụng nhân liên hợp, điều phụ thuộc vào đặc thù toán riêng biệt  Đối với đa thức biểu thức chứa thức bậc hai, bạn ý hệ thức liên hợp (trục thức) A2  B A2  B A B  A B   A  B  0 ;  A  B  0 A B A B A B A B A B   A  0; B  0; A  B  ; A  B   A  0; B  0; A2  B   A B A B Bài toán Giải phương trình x   x   x   Lời giải Điều kiện x  Phương trình cho tương đương với x  x  x   x  x  x   x  3x   x     x 4  x  x  x  x  12 x  36   Đối chiếu điều kiện ta lấy nghiệm x  Lời giải Điều kiện x  Nhận xét x   x, x   nên x   x  0, x  3 Phương trình cho tương đương với   x  x 3 1 x 3  x  x  x   Kết hợp với phương trình ban đầu ta có hệ   x  4 x   x   x  Đối chiếu điều kiện ta lấy nghiệm x  Bài toán Giải phương trình x   x   Lời giải Điều kiện x  Phương trình cho tương đương với  x    7  x  x  x   x  x  15  16  x  x  15   x     x  2 4 x  x  15  x  28 x  49  x  Kết hợp điều kiện ta thấy phương tình có nghiệm x  Lời giải Điều kiện x  Nhận xét x   x  3, x    x   x  3, x  Phương trình cho tương đương với   2x   2x     2x   2x  Kết hợp (*) phương trình ban đầu thu hệ  x   x    2x    2x    x    x   x   Vậy phương trình cho có nghiệm x  2 CREATED BY GIANG SƠN; GACMA1431988@GMAIL.COM;01633275320 TRUNG ĐOÀN TRẦN HƯNG ĐẠO; QUÂN ĐOÀN BỘ BINH LÝ THUYẾT SỬ DỤNG ĐẠI LƯỢNG LIÊN HỢP – TRỤC CĂN THỨC – HỆ TẠM THỜI (PHẦN 1) _ Bài toán Giải phương trình  x    3x    x   Lời giải Phương trình cho tương đương với 3x   3x    3x   3x   3x   3x    x  So sánh điều kiện đến kết luận tập nghiệm S  1 Điều kiện x  Lời giải Điều kiện x  Phương trình cho tương đương với  x    3x     x    3x      x    3x    Kết hợp hệ thức [*] phương trình ban đầu ta có   3x    3x    x    x    3x   So sánh điều kiện đến kết luận tập nghiệm S  1 Nhận xét Trên toán phương trình chứa thức sơ đẳng, tác giả đưa hai cách trình bày biến đổi tương đương – nâng lũy thừa sử dụng hệ thức liên hợp – trục Rõ ràng toán này, cách làm sử dụng liên hợp có tư sáng tạo (không phải giải phương trình bậc hai hệ quả), "chống chọi" lại với tinh thần "ngây thơ, đơn giản" phương pháp nâng lũy thừa Vấn đề nảy sinh nên nhân liên hợp nào, nguyên nhân lại làm Để dẫn dắt tới câu trả lời, mời bạn tham khảo ví dụ sau Bài toán Giải phương trình x  3x   x  3x   Lời giải Điều kiện x  3x   Phương trình cho tương đương với  x   x  3x   x  3x    x  x   x  3x   x  3x   x  3x    x  x    x  1; 4 Đối chiếu điều kiện ta có nghiệm x  1; 4 Lời giải Điều kiện x  3x   Đặt x  3x   t  t    x  3x   t , phương trình cho trở thành x  t   t   t   t  4t   t   x  3x      x  4 Đối chiếu điều kiện ta có nghiệm x  1; 4 Lời giải Điều kiện x  3x   Phương trình cho tương đương với   x  x   x  3x   1 2 x  3x   x  x  Kết hợp [1] phương trình ban đầu ta có hệ  x  3x   x  3x   x   x  3x    x  3x       x  4  x  3x   x  3x   CREATED BY GIANG SƠN; GACMA1431988@GMAIL.COM;01633275320 TRUNG ĐOÀN TRẦN HƯNG ĐẠO; QUÂN ĐOÀN BỘ BINH LÝ THUYẾT SỬ DỤNG ĐẠI LƯỢNG LIÊN HỢP – TRỤC CĂN THỨC – HỆ TẠM THỜI (PHẦN 1) _ Đối chiếu điều kiện ta có nghiệm x  1; 4 Bài toán Giải phương trình Lời giải Điều kiện x  x   5x  x   5x2  x    x   Nhận xét x  x   x  x  2, x    x  x   x  x  3, x thỏa mãn x  x   Phương trình cho tương đương với   5x2  x   5x2  x   1 2 5x  x   5x  x  Kết hợp (1) phương trình ban đầu ta có hệ phương trình  x  x   x  x      x  x    x  x    x   ;1     x  x   x  x     So sánh điều kiện ta thu nghiệm S   ;1   Lời giải Điều kiện x  x   Đặt x  x   t  t    x  x   t Phương trình cho tương đương với t    t2    t    t   x  x    x  x    x   ;1   t   t  10t  25   Kết hợp điều kiện ta thu tập nghiệm S   ;1   Bài toán Giải phương trình Lời giải Điều kiện x  x   x3  x   x3  x    x   Nhận xét x  x   x3  x  4, x    x3  x   x3  x  4, x thuộc tập xác định Phương trình cho tương đương với   x  x   x  x   1 3 4x  x   4x  x  Kết hợp [1] phương trình giả thiết thu hệ  x  x   x3  x    x3  x    3  x  x   x  x    x  x     x  1  x  x  5   x  Giá trị thỏa mãn điều kiện x  x   Kết luận tập hợp nghiệm S  1 Lời giải Điều kiện x  x   Đặt x  x   t  t    x3  x   t Phương trình cho tương đương với 4  t  t  t2    t     t 1  t  t   t  t  16    x3  x     x  1  x  x     x  CREATED BY GIANG SƠN; GACMA1431988@GMAIL.COM;01633275320 TRUNG ĐOÀN TRẦN HƯNG ĐẠO; QUÂN ĐOÀN BỘ BINH LÝ THUYẾT SỬ DỤNG ĐẠI LƯỢNG LIÊN HỢP – TRỤC CĂN THỨC – HỆ TẠM THỜI (PHẦN 1) _ Giá trị thỏa mãn điều kiện x  x   Kết luận tập hợp nghiệm S  1 Bài toán Giải phương trình 3x  x   12 x3  x   11 Lời giải Điều kiện 12 x  x    x   Nhận xét 12 x  x  20  12 x  x  9, x    3x  x   12 x3  x  9, x thuộc tập xác định Phương trình cho tương đương với 12 x  x  20  12 x  x   11 11   11 12 x  x  20  12 x3  x   12 x3  x  20  12 x  x   Kết hợp điều với phương trình ban đầu ta có hệ  12 x  x  20  12 x3  x    3x3  x   12  3  12 x  x  20  12 x  x   11  3x3  x     x  1  3x  x     x  So sánh với điều kiện thấy thỏa mãn Vậy tập nghiệm cần tìm: S  1 Lời giải Điều kiện 12 x  x   Phương trình cho tương đương với 12 x3  x  20  12 x  x   22 12 x3  x   121 3 12 x  x  20  11  12 x  x     12 x3  x   11  12 x3  x     12 x3  x   25  3x3  x     x  1  3x  3x     x   12 x  x   11 So sánh với điều kiện thấy thỏa mãn Vậy tập nghiệm cần tìm: S  1 Nhận xét  Các toán từ đến độ khó tăng thêm chút, với xuất đa thức bậc hai bậc ba phía dấu căn, nhiên phương pháp giải không thay đổi, cách giải đẳng thức liên hợp bạn sử dụng biến đổi tương đương sử dụng ẩn phụ, thực hai cách làm có chất, ẩn phụ nhằm mục đích giảm thiểu cồng kềnh sai sót tính toán, quan sát lời giải thấy rõ điều  Hình thức toán từ đến có tương đồng, biểu thức chứa biến x dấu (không tính hệ số tự do) giống y nhau, bên thức số, điều tạo nhiều lợi thao tác giải, điểm mấu chốt dẫn đến đơn giản toán  Có thể đề xuất dạng tổng quát : f  x   a  f  x   b  c (với a, b, c số thực) Phương án Nâng lũy thừa – biến đổi tương đương Sau chuyển vế thực biến đổi xuất triệt tiêu đa thức f  x  Như ta suy hệ  f  x  a  c  f  x  b  f  x   a  c  f  x   b  2c f  x   b c  b  a  2c f  x   b     c  f  x   b   f  x   b  c CREATED BY GIANG SƠN; GACMA1431988@GMAIL.COM;01633275320 TRUNG ĐOÀN TRẦN HƯNG ĐẠO; QUÂN ĐOÀN BỘ BINH LÝ THUYẾT SỬ DỤNG ĐẠI LƯỢNG LIÊN HỢP – TRỤC CĂN THỨC – HỆ TẠM THỜI (PHẦN 1) _  f  x  a  c  f  x  b  f  x   a  c  f  x   b  2c f  x   b c  b  a  2c f  x   b     c  f  x   b  c  f  x   b  Việc giải hai hệ Phép đặt ẩn phụ f  x   f  x   a  f  x   b quy phương trình chứa Phương án Sử dụng đẳng thức liên hợp Sau lập luận trường hợp f  x   a  a b f  x  a  Kết hợp với phương trình ban đầu f  x  b f  x   b ta có c f  x  a  f  x  a  f  x  a  f  x  b  ab c f  x   b  c ta có a b ab  c f  x   b  c c c  Đối với toán  f  x   a   g  x   b  c phương án cần xem xét kỹ lưỡng thực thận trọng yếu tố thay đổi theo hướng bất lợi cho  Trong trường hợp bất phương trình, bạn cần đặc biệt lưu ý dấu biểu thức liên hợp Bài toán Giải bất phương trình x   x    x   Lời giải 1 Điều kiện x  Bất phương trình cho tương đương với   x   x    x   16 x  12 x    16 x  12 x    x 4x 1  4x  Dễ thấy (*) vô nghiệm  x  0, x  Kết luận bất phương trình cho vô nghiệm Lời giải Điều kiện x  Bất phương trình cho tương đương với x   x    x   x   x   x   (Vô nghiệm) Vậy bất phương trình cho vô nghiệm Lời giải Điều kiện x  Bất phương trình cho tương đương với x   x   Ta có a  b  ab  a  b, a  0, b   a  b  a  b     Áp dụng bất đẳng thức (*) ta có x    x    x  Dấu đẳng thức không xảy Vậy bất phương trình cho vô nghiệm Nhận xét Lời giải toán sử dụng đẳng thức liên hợp, nhiên trực quan bạn thấy phương án không giảm thiểu phức tạp mấy, chí đưa toán cho toán có mức độ tương đương Lời giải sử dụng phép biến đổi tương đương bản, nâng lũy thừa dẫn đến kết nhanh chóng Lời giải sử dụng bất CREATED BY GIANG SƠN; GACMA1431988@GMAIL.COM;01633275320 TRUNG ĐOÀN TRẦN HƯNG ĐẠO; QUÂN ĐOÀN BỘ BINH LÝ THUYẾT SỬ DỤNG ĐẠI LƯỢNG LIÊN HỢP – TRỤC CĂN THỨC – HỆ TẠM THỜI (PHẦN 1) _ 10 đẳng thức để đánh giá hai vế, dẫn tới bất phương trình vô nghiệm, nguyên nhân đặc điểm đặc biệt hình thức toán, xin trình bày Lý thuyết sử dụng Đánh giá – Bất đẳng thức – Hàm số Qua ví dụ này, để ý thấy không nên áp dụng đẳng thức liên hợp theo lối mòn giáo điều, khuôn phép, tức cần linh hoạt cẩn trọng trình lựa chọn phương pháp, để có lời giải "cơ – vừa sức" Bài toán 10 Giải bất phương trình x   x   Lời giải Điều kiện x  Bất phương trình cho tương đương với  x   x 1  x    2x   x2  2x    x2  2x    x x    x 1 x  2x   x  2x  Kết hợp điều kiện ta thu nghiệm x  Lời giải Điều kiện x   x   Ta có x     x   x 1  x     x   Do bất phương trình cho có nghiệm   x   x   Lời giải Điều kiện x  Nhận xét x  nghiệm bất phương trình cho 1 Xét hàm số f  x   x   x  3; x  ta có f   x     0, x  x 1 x  Suy hàm số f  x  liên tục đồng biến miền 1;   Bất phương trình cho trở thành f  x   f 1  x  (Loại) Kết luận nghiệm S  1 Bài toán 11 Giải bất phương trình x   x    x   Lời giải 1 Điều kiện x  Bất phương trình cho tương đương với x   x    x   x  x   x    x  1  Kết hợp điều kiện ta nghiệm S   ;1 5  Lời giải Điều kiện x  5 Bất phương trình cho tương đương với   5x   5x 1  5x   5x  Mặt khác  x   x   1 , suy x    x    x  1  Kết hợp điều kiện ta nghiệm S   ;1 5  CREATED BY GIANG SƠN; GACMA1431988@GMAIL.COM;01633275320 TRUNG ĐOÀN TRẦN HƯNG ĐẠO; QUÂN ĐOÀN BỘ BINH LÝ THUYẾT SỬ DỤNG ĐẠI LƯỢNG LIÊN HỢP – TRỤC CĂN THỨC – HỆ TẠM THỜI (PHẦN 1) _ 113 2x2 x3  x  3x   x   Bài toán 255 Giải phương trình 2x2  2x  2x tập số thực Lời giải Điều kiện x  Phương trình cho tương đương với x3  x  3x   x   x  x  x  x3  x  3x   x  x   x  x  x  x   x   x  x  1  x  x2    x 1 1  2x   x 1 1  x 1  x2   2x     x   x x  x 1     x0  x   2x  x  1  2 Đối chiếu điều kiện thu nghiệm x   Bài toán 256 Giải phương trình    x 1 1 x2  7x x  3x  x   x   x tập số thực Lời giải Điều kiện x  Xét khả x  , không thỏa mãn phương trình cho Xét trường hợp  x  , phương trình cho tương đương với x  3x  x  x   x   x  x  x   x  x   x 3    x 4  x 4    x 2  x 4   x  2 x 3   x 4  x  16  x  16     x   x   x  x   x   x  7 Phương trình (*) vô nghiệm Kết luận phương trình có nghiệm x  16   Bài toán 257 Giải phương trình x  x   x  1 x  x  tập số thực Lời giải Điều kiện x  Phương trình cho tương đương với x2 1 x  x   x  1   x  1 x     x  1 x  x  x   x  1 x 1   x 1   x  1   x0 x 1   x 0  2x  2x  x    x  x  x  Ta thấy x 1 x2  x  x  1  x  0, x  nên (1) vô nghiệm Vậy phương trình có tập nghiệm S  1 Bài toán 258 Giải phương trình  x  x   x x2  x   x2  tập số thực CREATED BY GIANG SƠN; GACMA1431988@GMAIL.COM;01633275320 TRUNG ĐOÀN TRẦN HƯNG ĐẠO; QUÂN ĐOÀN BỘ BINH LÝ THUYẾT SỬ DỤNG ĐẠI LƯỢNG LIÊN HỢP – TRỤC CĂN THỨC – HỆ TẠM THỜI (PHẦN 1) _ 114 Lời giải Điều kiện x thực Phương trình cho tương đương với  x2  x   x2  x   x2   x2   2x2  x   x2  x    x2  x    x2  x   x2    x2  x x2  x   x2  x  x2  x   x2  0   1   x2  x    0 2x2  x   x2    x  x 1 1 1   nên ta thu x  x   x  x  1   x  0;1 Rõ ràng 2 x  x 1 1 2x  x 1  x 1 Kết luận phương trình cho có hai nghiệm Bài toán 259 Giải phương trình x2  1 x 1 x 1  x   x   Lời giải Điều kiện x  1 Phương trình cho tương đương với x2 x2 x 1  x     x 1 1   x2 0 x 1 x 1  x 1     x 1 1  x   x    x 1  x  0 x  x  1      x0 x 1   x   Vậy phương trình cho có nghiệm x    x 1  x  Bài toán 260 Giải phương trình   3x    x x3 x  x3 x  x   Lời giải Điều kiện  x  Phương trình cho tương đương với 2 x  x3   x x3 x 2 2 x  x x3  x3   x  1   x  1 x  x x x    x  1  x  3x     x  1; 4 x  x    Kết hợp điều kiện ta thu nghiệm x    Bài toán 261 Giải phương trình x2  x  x  3x  x   2x  x  5 x  x   Lời giải Điều kiện x  x  x   Phương trình cho tương đương với CREATED BY GIANG SƠN; GACMA1431988@GMAIL.COM;01633275320 TRUNG ĐOÀN TRẦN HƯNG ĐẠO; QUÂN ĐOÀN BỘ BINH LÝ THUYẾT SỬ DỤNG ĐẠI LƯỢNG LIÊN HỢP – TRỤC CĂN THỨC – HỆ TẠM THỜI (PHẦN 1) _ 115 x  3x  x   x  x   x   x  3   x x    5 x x   2x  x  x3  x   x   x  x      x   x3 x x2 2 x       x  x   x2  x      x  1;1; 2 x   x x   x   Đối chiếu điều kiện đến nghiệm x  1; x  x2  x  Bài toán 262 Giải phương trình 4x2 1  x  x  3x   x   2x2  x  2x  Lời giải  4 x  x    Điều kiện 2 x  3x    x   Phương trình cho tương đương với 4x2   x  2x2  x  2x   x  x   x  x x   x   x  x   x   x x   x  2x      2x 1 1  x 2x   x    2x 1 1  2x 1  x  x  1 2x 1 1     x   x    Kết hợp điều kiện ta có nghiệm x  Bài toán 263 Giải phương trình  x2  x   x2  2x    x   x   2  x   Lời giải Điều kiện x  Phương trình cho tương đương với 2  x 5  x 3 x2  x   x2  x   x2  x   x2  x   x   x   x2  x   x   x2  x   x   x2  x   x   x  x    x  3  x  x   x   x  x    x  5  x  x  11  x3  x  x  24  x  x  11  x3  x  x  30  x  x  x  24  x  x  x  30  x3  x  x  24  x3  x  x  30  x  x   1 CREATED BY GIANG SƠN; GACMA1431988@GMAIL.COM;01633275320 TRUNG ĐOÀN TRẦN HƯNG ĐẠO; QUÂN ĐOÀN BỘ BINH LÝ THUYẾT SỬ DỤNG ĐẠI LƯỢNG LIÊN HỢP – TRỤC CĂN THỨC – HỆ TẠM THỜI (PHẦN 1) _ 116 Dễ thấy phương trình (1) vô nghiệm   12  Kết luận phương trình đề vô nghiệm Bài toán 264 Giải phương trình x   x   x   3x tập số thực Lời giải Điều kiện x  Phương trình cho tương đương với x   x   3x  x   x 1 3x  x   0 2x   x  3x  x  x 1 9x2  x   0 2x   x  3x  x  3x  x        9x  0   x  1    2x   x  3x  x  3x  x     9x    0, x  nên ta có nghiệm x    x  2x   x  3x  x  3x  x   Dễ thấy       Vậy phương trình cho có nghiệm x  Bài toán 265 Giải phương trình x  x   3x  tập số thực Lời giải Điều kiện x  Phương trình cho tương đương với x 1 x   3x  x  x   x   3x     0 2x  x 1 x   3x  x 1 x2  x   0 2x  x 1 x   3x  x   3x         2x   1   x  1    x  x  x   3x  x   3x     2x   0, x  Do 1  x    x  x  x  x   3x  x   3x   Rõ ràng      Kết luận phương trình có nghiệm x  Bài toán 266 Giải phương trình  x8  x    x   tập số thực Lời giải Điều kiện  x  Phương trình cho tương đương với    1 x 1   x 8  x    1 x 1  x   x (1) Ta xét x  phương trình (1) nghiệm Xét  x   x   x      x  , (1) vô nghiệm   Kết luận phương trình cho có nghiệm x  Bài toán 267 Giải phương trình  x  15  x    x3    x   CREATED BY GIANG SƠN; GACMA1431988@GMAIL.COM;01633275320 TRUNG ĐOÀN TRẦN HƯNG ĐẠO; QUÂN ĐOÀN BỘ BINH LÝ THUYẾT SỬ DỤNG ĐẠI LƯỢNG LIÊN HỢP – TRỤC CĂN THỨC – HỆ TẠM THỜI (PHẦN 1) _ 117 Lời giải Điều kiện  x  Phương trình cho tương đương với  x  15  x   x  15  x    x3      x  15  x  x     x  1  x  15   x3   3 x 1 Lời giải Điều kiện  x  Phương trình cho tương đương với  x  24  x  24  x   x   x  24  x 1  15 x  15  Xét trường hợp x  (1) nghiệm Xét trường hợp  x   x  15  x  16       x3  , (1) vô nghiệm Vậy phương trình cho có nghiệm x    Bài toán 268 Giải phương trình  x     x  24  x     x       Xét trường hợp x  (1) nghiệm Xét trường hợp  x   x  24  x  25     x  , (1) vô nghiệm Vậy phương trình cho có nghiệm x  Bài toán 269 Giải phương trình x    x   3x   Lời giải Điều kiện x   Phương trình cho tương đương với  x   x 1   x  1 3x   x   3x  x  1     x  1   3x        3x    x   3x    x   3x  Rõ ràng  3x    0, x   nên (1) vô nghiệm 4 x   3x  Vậy phương trình cho có nghiệm x  x   3x    x  1 3x    Bài toán 270 Giải phương trình x    x  3 x   tập số thực Lời giải Điều kiện x   Phương trình cho tương đương vơí x 1 x   x    x  1 x      x  1 x   x   6x  x  1     x  1   6x        6x    x   6x    x   x  Rõ ràng  x   0, x   nên (1) vô nghiệm 7 x   6x  Vậy phương trình cho có nghiệm x  1 1 CREATED BY GIANG SƠN; GACMA1431988@GMAIL.COM;01633275320 TRUNG ĐOÀN TRẦN HƯNG ĐẠO; QUÂN ĐOÀN BỘ BINH LÝ THUYẾT SỬ DỤNG ĐẠI LƯỢNG LIÊN HỢP – TRỤC CĂN THỨC – HỆ TẠM THỜI (PHẦN 1) _ 118 Bài toán 271 Giải phương trình x    x   x   x3  Lời giải Điều kiện x  1, Phương trình cho tương đương với  x   x   x    x  1 x   x3   x 1   x  1 x    x  1  x  x  1  5x   4x      x  1   x   x  x  1   5x   4x    x 1    x   x  x   1  x   x  Ta thấy  x   x  x   0, x   nên (1) vô nghiệm 5x   x  Vậy phương trình cho có nghiệm x  x    x  x  3 x   Bài toán 272 Giải phương trình  x   Lời giải Điều kiện x   Phương trình cho tương đương với 4 x   3x    x  x   x    x   x    x  1 x   x   x 1   x  1 x   3x   x   3x      x  1    x   3x     x   3x    x      x   3x    x   3x  Ta thấy   x   3x   0, x   nên (1) vô nghiệm 4 x   3x  Vậy phương trình cho có nghiệm x  1 Bài toán 273 Giải bất phương trình x    x   x   x   tập số thực Lời giải Điều kiện x  0,125 Bất phương trình cho tương đương với x   x    x  1 x    x  1  x 1   x  1 x    x  1  8x   x      x  1   x     1  8x   x    CREATED BY GIANG SƠN; GACMA1431988@GMAIL.COM;01633275320 TRUNG ĐOÀN TRẦN HƯNG ĐẠO; QUÂN ĐOÀN BỘ BINH LÝ THUYẾT SỬ DỤNG ĐẠI LƯỢNG LIÊN HỢP – TRỤC CĂN THỨC – HỆ TẠM THỜI (PHẦN 1) _ 119 1  x    0, x   nên 1  x    x  8x   x  Kết luận bất phương trình có nghiệm x  Ta thấy x    x  x   3x   Bài toán 274 Giải phương trình  x   Lời giải Điều kiện x   Phương trình cho tương đương với 4 x   x    x  x  3 x    x   3x    x  1 x  3 x   x 1   x  1 x  3 3x   x   3x      x  1    x  3 x     x   3x    Rõ ràng x 1     x  3 x  1  x   3x    x  3 3x   0, x   nên (1) vô nghiệm Kết luận nghiệm x  4 x   3x  Bài toán 275 Giải phương trình  x3  x  x   x   x   Lời giải Điều kiện x  1 Phương trình cho tương đương với x   x    x3  x   x       x  2   x  2  x  x   5x   5x   4x      x  1    x2  x  2 5x     5x   x   x 1     x2  x  2 5x    x   x  1 1  Rõ ràng x  x    x     0, x   nên   x  x  1 x   0, x  1 2 5x   x   Do phương trình cho có nghiệm x  Bài toán 276 Giải phương trình x  x  1 3x   2 x  Lời giải Điều kiện x   Phương trình cho tương đương với  x   CREATED BY GIANG SƠN; GACMA1431988@GMAIL.COM;01633275320 TRUNG ĐOÀN TRẦN HƯNG ĐẠO; QUÂN ĐOÀN BỘ BINH LÝ THUYẾT SỬ DỤNG ĐẠI LƯỢNG LIÊN HỢP – TRỤC CĂN THỨC – HỆ TẠM THỜI (PHẦN 1) _ 120 x  x  x  3x   2 x    x3  x  x   3x   3x   2 x     2 2   x     x    x  1 3x   x    x3  x  x   3x   3x    x  2 3x     x    x  1 3x   3x   x      x  2    x  1 3x  1  1  3x   x   Rõ ràng   x  1 3x   0, x   nên 1  x    x  3x   x  Kết luận phương trình cho có nghiệm x  Bài toán 277 Giải phương trình x3  x  20   x  Lời giải Điều kiện  x  Phương trình cho tương đương với x3  x    x  20   x    x  20   x   x   x  x  x    x   x  x  20   x  1 Ta có  x   x   x      x  20   x  , (1) vô nghiệm Xét trường hợp x  (1) nghiệm Kết luận phương trình cho có nghiệm x  Lời kết Thông qua 227 toán mở đầu thuộc Trung đoàn Trần Hưng Đạo, điều chắn đa số quý bạn đọc hình dung ý tưởng, phương cách xử lý toán phương trình, bất phương trình chứa thức phép sử dụng đẳng thức liên hợp, trục mẫu thức hệ phương trình tạm thời Mức độ toán dừng lại mức khởi điểm, với hình thức không phức tạp lời giải thực với trực tiếp với căn, cần chút tinh ý nhận dạng thức thao tác dễ dàng Đáng ý số toán sử dụng liên hợp với mục đích ẩn giấu chất, sau liên hợp thành công bắt buộc phải sử dụng kỹ thuật khác biến đổi tương đương, ẩn số phụ, hàm số hay chí đánh giá, ước lượng, bất đẳng thức Chính phương pháp coi công cụ đắc lực, "tấm bình phong" bảo vệ cho phương pháp khác, khiến cho chất toán không lộ liễu, đảm bảo yếu tố "bí mật", đồng nghĩa với mức độ khó toán tăng cường, phải vượt qua phép liên hợp "khai quật" lời giải ngắn gọn Lớp toán xây dựng thông qua phương pháp này, kết hợp với phương pháp khác thực đa dạng phong phú, vượt khuôn khổ phiên hiệu Trần Hưng Đạo nên tác giả xin đề cập Lý thuyết sử dụng liên hợp – trục thức – hệ tạm thời phần cuối Lý thuyết phần mang phiên hiệu Trung đoàn Trần Nhật Duật, tác giả trân trọng giới thiệu tới quý độc giả kinh nghiệm nhỏ thao tác sử dụng đại lượng liên hợp với phương trình chứa thức, mức độ xác định nghiệm (hữu tỷ vô tỷ) phương trình, làm ngược trở lại phép liên hợp với số, mục đích xuất nhân tử đưa phương trình ban đầu dạng tích, dạng mà hệ phần lớn biết cách giải Cuối cùng, tác giả mong muốn bạn độc giả, thầy cô giáo, bạn học sinh hiểu, vận đúng, đánh giá kỹ thuật liên hợp trực tiếp thực tiễn học tập, thi cử làm việc Hy vọng bạn trẻ yêu toán có nhiều phát thú vị, xây dựng phát triển kỹ thuật liên hợp lên tầm cao nữa, tăng cường kho tàng tri thức nhân loại dẫn dắt hệ tương lai, phục vụ đất nước CREATED BY GIANG SƠN; GACMA1431988@GMAIL.COM;01633275320 TRUNG ĐOÀN TRẦN HƯNG ĐẠO; QUÂN ĐOÀN BỘ BINH LÝ THUYẾT SỬ DỤNG ĐẠI LƯỢNG LIÊN HỢP – TRỤC CĂN THỨC – HỆ TẠM THỜI (PHẦN 1) _ 121 Bài tập tương tự Giải phương trình bất phương trình sau tập hợp số thực 1   x  3 x     x   2x  x7 3x   x2  4x   2x   x   3x      3x   x   3x   x x x  3x   x  x9 3 4x  1  x 1  x    15  3x   x  4x    x   x3   x   x9   15   x   4x   x    x   x   x   x   1  x  x     x   x2   x   x2   x  2 15  x   x    x  5 x    x   x    x   x   x3    x   x    x  x  3 x   x   x   x    3x  3x   3x    x   x    x   x    x  1   x   x    x  x   3x    x   16 x   17 x  x   x  x  x  3x   x  10 11 12 13 14 18 19 20 x    3x    x    x 1  x2   1  x  x    x   1   4 x3  x2 x   x 1 x 1  x 1   1 x4  x3 x3  x2 x   x 1 5x  x   x2  x   x   x    x   21 x  x   3x  x   x  x   x  x  22 23 24 25  x    x    x   x2  x   3x   5x   x2   x   x3  x   x   x3   x   x   x   3x   x  x  x   x   x2  x   x   x   x2  CREATED BY GIANG SƠN; GACMA1431988@GMAIL.COM;01633275320 TRUNG ĐOÀN TRẦN HƯNG ĐẠO; QUÂN ĐOÀN BỘ BINH LÝ THUYẾT SỬ DỤNG ĐẠI LƯỢNG LIÊN HỢP – TRỤC CĂN THỨC – HỆ TẠM THỜI (PHẦN 1) _ 122 26 27 28 1  x2  x   x2    x   4x  5x  1 x3     x   6x  5x  x2  2x  1 x    3x   x   x  29 x    x  x  8 3x   30 4 x    x  x  x   31 x  x  x  3 3x   x  32 x  x   x   3x   x    x    x    x    x      x   x   x   1  x  13x  42    x   x   x   x  1   x   36  x   x   x  1   x   37  x   x   1  x  26 x  42    x   38 1  x    x   x     x   39 1  x    x   x     x    34  35  33 x   x   x  x  20  2 2 40 x  x   x  1 x   x   x    x     x  1 x  15  x   42  x  15  x    x  1   x    43 13  x  1 x  24  x    x    3  44  x   x    x  1   x    2  45  x   x   x    x  1   x    41 46 x    x3  3x   x   47 x3  48  x    x  x   x  15  x    x  4  x  x   49 x  15  x  1  x  4 1 x 50 x  24  x  12  x  x  1  x   x    x   CREATED BY GIANG SƠN; GACMA1431988@GMAIL.COM;01633275320 TRUNG ĐOÀN TRẦN HƯNG ĐẠO; QUÂN ĐOÀN BỘ BINH LÝ THUYẾT SỬ DỤNG ĐẠI LƯỢNG LIÊN HỢP – TRỤC CĂN THỨC – HỆ TẠM THỜI (PHẦN 1) _ 123 III MỘT SỐ TÀI LIỆU THAM KHẢO Bài tập nâng cao số chuyên đề toán Bùi Văn Tuyên; NXB Giáo dục Việt Nam; 2004 Bài tập nâng cao số chuyên đề toán Bùi Văn Tuyên; NXB Giáo dục Việt Nam; 2005 Nâng cao phát triển toán 8, tập – tập Vũ Hữu Bình; NXB Giáo dục Việt Nam; 2004 Nâng cao phát triển toán 9, tập – tập Vũ Hữu Bình; NXB Giáo dục Việt Nam; 2005 Toán nâng cao Đại số 10 Nguyễn Huy Đoan; NXB Giáo dục Việt Nam; 1999 Bài tập nâng cao số chuyên đề Đại số 10 Nguyễn Huy Đoan; Đặng Hùng Thắng; NXB Giáo dục Việt Nam; 2006 Tài liệu chuyên toán: Đại số 10 – Bài tập Đại số 10 Đoàn Quỳnh – Doãn Minh Cường – Trần Nam Dũng – Đặng Hùng Thắng; NXB Giáo dục Việt Nam; 2010 Một số chuyên đề Đại số bồi dưỡng học sinh giỏi THPT Nguyễn Văn Mậu – Nguyễn Văn Tiến số tác giả; NXB Giáo dục Việt Nam; 2009 Tuyển tập toán hay khó Đại số Nguyễn Đức Tấn – Đặng Đức Trọng – Nguyễn Cao Huynh – Vũ Minh Nghĩa – Bùi Ruy Tân – Lương Anh Văn; NXB Giáo dục Việt Nam; 2002 10 Một số phương pháp chọn lọc giải toán sơ cấp, tập – tập Phan Đức Chính – Phạm Văn Điều – Đỗ Văn Hà – Phạm Văn Hạp – Phạm Văn Hùng – Phạm Đăng Long – Nguyễn Văn Mậu – Đỗ Thanh Sơn – Lê Đình Thịnh; NXB Đại học Quốc gia Hà Nội; 1997 11 Bài giảng chuyên sâu Toán THPT: Giải toán Đại số 10 Lê Hồng Đức – Nhóm Cự Môn; NXB Hà Nội; 2011 12 Phương pháp giải phương trình bất phương trình Nguyễn Văn Mậu; NXB Giáo dục Việt Nam; 1994 13 Toán bồi dưỡng học sinh phổ thông trung học – 1; Đại số Hàn Liên Hải – Phan Huy Khải – Đào Ngọc Nam – Nguyễn Đạo Phương – Lê Tất Tôn – Đặng Quan Viễn; NXB Hà Nội; 1991 14 Phương trình hệ phương trình không mẫu mực Nguyễn Đức Tấn – Phan Ngọc Thảo; NXB Giáo dục Việt Nam; 1996 15 Chuyên đề bồi dưỡng Toán cấp ba; Đại số Nguyễn Sinh Nguyên; NXB Đà Nẵng; 1997 16 Giải toán Đại số sơ cấp (Dùng cho học sinh 12 chuyên, luyện thi đại học) Trần Thành Minh – Vũ Thiện Căn – Võ Anh Dũng; NXB Giáo dục Việt Nam; 1995 17 Những dạng toán điển hình kỳ thi tuyển sinh Đại học Cao đẳng; Tập 1;2;3;4 Bùi Quang Trường; NXB Hà Nội; 2002 18 Ôn luyện thi môn Toán THPT theo chủ đề; Tập một: Đại số lượng giác Cung Thế Anh; NXB Giáo dục Việt Nam; 2011 19 Phương pháp giải toán trọng tâm Phan Huy Khải; NXB Đại học Sư phạm; 2011 20 Các giảng luyện thi môn Toán; Tập Đức Chính – Vũ Dương Thụy – Đào Tam – Lê Thống Nhất; NXB Giáo dục Việt Nam; 1993 21 500 Bài toán chọn lọc Đại số - Hình học 10 Lê Hoành Phò; NXB Đại học Quốc gia Hà Nội; 2012 22 Tam thức bậc hai ứng dụng CREATED BY GIANG SƠN; GACMA1431988@GMAIL.COM;01633275320 TRUNG ĐOÀN TRẦN HƯNG ĐẠO; QUÂN ĐOÀN BỘ BINH LÝ THUYẾT SỬ DỤNG ĐẠI LƯỢNG LIÊN HỢP – TRỤC CĂN THỨC – HỆ TẠM THỜI (PHẦN 1) _ 124 Lê Sĩ Đồng – Lê Minh Tâm; NXB Giáo dục Việt Nam; 2003 23 Chuyên đề Bất đẳng thức ứng dụng đại số Nguyễn Đức Tấn; NXB Giáo dục Việt nam; 2003 24 23 Chuyên đề giải 1001 toán sơ cấp ; Quyển Nguyễn Văn Vĩnh – Nguyễn Đức Đồng số đồng nghiệp (NKTH); NXB Giáo dục Việt Nam; 2002 25 Phương pháp giải toán bất đẳng thức cực trị Nguyễn Văn Dũng – Võ Quốc Bá Cẩn – Trần Quốc Anh; NXB ĐHQG Hà Nội; 2011 26 Các giảng bất đẳng thức Cauchy Nguyễn Vũ Lương – Phạm Văn Hùng – Nguyễn Ngọc Thắng; NXB ĐHQG Hà Nội; 2008 27 Cẩm nang luyện thi Đại học Ứng dụng hàm số Giải toán Đại số Giải tích Huỳnh Nguyễn Luân Lưu – Nguyễn Thị Duy An; NXB ĐHQG Hà Nội ;2014 28 Tư logic tìm tòi lời giải Hệ phương trình Mai Xuân Vinh – Phạm Kim Chung – Phạm Chí Tuân – Đào Văn Chung – Dương Văn Sơn ; NXB ĐHQG Hà Nội; 2015 29 Bồi dưỡng học sinh giỏi toán Trung học sở, Đại số Nguyễn Thị Thanh Thủy – Phạm Minh Phương – Trần Văn Tấn; NXB Giáo dục Việt Nam; 2014 30 Chuyên đề Đại số Trung học sở Vũ Hữu Bình; NXB Giáo dục Việt Nam; 2014 31 Hệ phương trình phương trình chứa thức Nguyễn Vũ Lương – Phạm Văn Hùng – Nguyễn Ngọc Thắng; NXB ĐHQG Hà Nội; 2006 32 Tam thức bậc hai ứng dụng Lê Sĩ Đồng – Lê Minh Tâm; NXB Giáo dục Việt Nam; 2003 33 Chuyên đề Bất đẳng thức ứng dụng Đại số Nguyễn Đức Tấn; NXB Giáo dục Việt Nam; 2003 34 Ôn thi vào lớp 10 THPT Chuyên; Môn Toán Doãn Minh Cường – Trịnh Hoài Dương – Trần Văn Khải – Đỗ Thanh Sơn ; NXB Giáo dục Việt Nam ; 2013 35 Tài liệu chuyên toán THCS; Toán 9; Tập 1: Đại số Vũ Hữu Bình – Phạm Thị Bạch Ngọc – Đàm Văn Nhỉ ; NXB Giáo dục Việt Nam ; 2012 36 Đề thi tuyển sinh vào lớp 10 hệ THPT Chuyên trực thuộc đại học THPT Chuyên tỉnh thành 37 Đề thi tuyển sinh vào lớp 10 hệ THPT hệ đại trà địa phương toàn quốc 38 Đề thi học sinh giỏi môn toán khối đến khối 12 cấp 39 Đề thi tuyển sinh Đại học – Cao đẳng môn Toán (chính thức – dự bị) qua thời kỳ 40 Đề thi Olympic 30 tháng Toán học khối 10, khối 11 tỉnh miền Trung Nam (1995 – 2013) 41 Các tạp chí toán học: Tạp chí Toán học tuổi trẻ; Tạp chí Toán tuổi thơ THCS; Tạp chí Kvant 42 Các diễn đàn toán học: Boxmath.vn; Math.net.vn; Mathscope.org; Onluyentoan.vn; Diendantoanhoc.net; Math.net.vn; K2pi.net; Mathlink.ro; 43 Một số trang mạng học tập thông qua facebook; twitter; CREATED BY GIANG SƠN; GACMA1431988@GMAIL.COM;01633275320 TRUNG ĐOÀN TRẦN HƯNG ĐẠO; QUÂN ĐOÀN BỘ BINH LÝ THUYẾT SỬ DỤNG ĐẠI LƯỢNG LIÊN HỢP – TRỤC CĂN THỨC – HỆ TẠM THỜI (PHẦN 1) _ 125 THÂN THỂ TẠI NGỤC TRUNG TINH THẦN TẠI NGỤC NGOẠI DỤC THÀNH ĐẠI SỰ NGHIỆP TINH THẦN CÁNH YẾU ĐẠI CREATED BY GIANG SƠN; GACMA1431988@GMAIL.COM;01633275320 TRUNG ĐOÀN TRẦN HƯNG ĐẠO; QUÂN ĐOÀN BỘ BINH LÝ THUYẾT SỬ DỤNG ĐẠI LƯỢNG LIÊN HỢP – TRỤC CĂN THỨC – HỆ TẠM THỜI (PHẦN 1) _ 126 CREATED BY GIANG SƠN; GACMA1431988@GMAIL.COM;01633275320 TRUNG ĐOÀN TRẦN HƯNG ĐẠO; QUÂN ĐOÀN BỘ BINH LÝ THUYẾT SỬ DỤNG ĐẠI LƯỢNG LIÊN HỢP – TRỤC CĂN THỨC – HỆ TẠM THỜI (PHẦN 1) _ 127 CREATED BY GIANG SƠN; GACMA1431988@GMAIL.COM;01633275320 TRUNG ĐOÀN TRẦN HƯNG ĐẠO; QUÂN ĐOÀN BỘ BINH [...]... 1  1  2    2  2 x2  1  1  2 x  1  1  2 x2  1  1  2 x  1  1 x 1  2 x 2  1  1  2 x  1  1  x 2  1  x  1  x  x  1  0   x  0 Kết luận nghiệm S   1; 0  1;   Lời giải 2 Điều kiện x  1 Bất phương trình đã cho tương đương với   x2  x 1 2 2 2 x  x  x 1  x 1  0  x  x   0  x  x  1  1  0 x2  1  x  1 x2  1  x  1   x 1 1  0, x  1. .. GACMA14 319 88@GMAIL.COM; 016 33275320 TRUNG ĐOÀN TRẦN HƯNG ĐẠO; QUÂN ĐOÀN BỘ BINH LÝ THUYẾT SỬ DỤNG ĐẠI LƯỢNG LIÊN HỢP – TRỤC CĂN THỨC – HỆ TẠM THỜI (PHẦN 1) _ 31 2 x2  x   2 x  1 1  1  x  2 x Dễ thấy [*] nghiệm đúng với  Bài toán 63 Giải phương trình 2   2  x  2  2 1  x  2x2  x  2  2 1  x  2x2  1 1 1 1... 3x  1 5 9x  3  x  2  8x  5 6 9x  2  4 x  5x  2 7 16 x  1  7 x  1  9 x 8 8x 1  2 x  3  4x  4 9 10 x  1  6 x  1  4 x 10 3x  1  2 x  x  1 11 7 x  3  x  2  6 x  1 12 2 x  5  x  x  5 13 5 x  4  3x  9  2 x  5 14 13 x  1  x  12 x  1 15 x  1  2 x  3x  1 16 x  3  3 x  8 x  3 17 7  x  1  x  2 x  6 18 x  8  3  x  2 x  5 19 3x  10 ... GACMA14 319 88@GMAIL.COM; 016 33275320 TRUNG ĐOÀN TRẦN HƯNG ĐẠO; QUÂN ĐOÀN BỘ BINH LÝ THUYẾT SỬ DỤNG ĐẠI LƯỢNG LIÊN HỢP – TRỤC CĂN THỨC – HỆ TẠM THỜI (PHẦN 1) _ 36 Xét các trường hợp 13 17  Kết hợp (1) và phương trình ban đầu thu được  17 x  36  0 746   14 4 x 2  5 x  1  17 x  36    2  x   2;  2 495    19 6... GACMA14 319 88@GMAIL.COM; 016 33275320 TRUNG ĐOÀN TRẦN HƯNG ĐẠO; QUÂN ĐOÀN BỘ BINH LÝ THUYẾT SỬ DỤNG ĐẠI LƯỢNG LIÊN HỢP – TRỤC CĂN THỨC – HỆ TẠM THỜI (PHẦN 1) _ 18 Vậy ta thu được nghiệm 1  x  0 2 Sử dụng đánh giá – bất đẳng thức hoặc biến đổi tương đương 1 x 1 x  2 1 x 1 2  x  ; 1 x   Áp dụng bất đẳng thức AM – GM ta có 1  x  2 2 2 2 x22... GACMA14 319 88@GMAIL.COM; 016 33275320 TRUNG ĐOÀN TRẦN HƯNG ĐẠO; QUÂN ĐOÀN BỘ BINH LÝ THUYẾT SỬ DỤNG ĐẠI LƯỢNG LIÊN HỢP – TRỤC CĂN THỨC – HỆ TẠM THỜI (PHẦN 1) _ 22 1 bất phương trình nghiệm đúng 7 1 16  2 15 Kết luận bất phương trình đã cho có nghiệm  x  7 49 Trường hợp x   x   Bài toán 37 Giải phương trình 10 x  1  14 ... 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 5x  3  2  x  6 x  1 7 x  6  3  2x  9x  3 8x  5  x  7 x  5 8x  1  x  7 x  1  0 10 x  3  x  3  9 x  0 5 x  2  2 x  1  3x  1 2x 1  x 1  2x  4 10 x  1  2 x  8 x  1  0 13 x  2  2 2 x  8 x  2 7 x  2  x  3  6x 1  0 8x  1  x  7 x  1  0 10 x  1  9  x  11 x  8  0 12 x  1  x  11 x  1 ...  3  2 9 x2  x  1  x2  x  3  4 10 8x2  x  5  8x2  x  5 11 x3  x 2  7  x3  x  2  1 12 4 x3  x  4  4 x 3  x  5  3 13 5 x 3  x  3  5 x3  x  5  3 14 2 x3  x  6  2 x 3  x  1  1 3x3  x  5  3x3  x  3  2 3x  2  3x  1  1 8x  1  8x  7  2 18 7 x  2  7 x  6  4 19 10 x  2  10 x  1  1 20 10 x  1  10 x  9  4 15 16 17 21 4 x2  5x  4 x 2 ... giải 1 Điều kiện x  Phương trình đã cho tương đương với 10 7 x 1  2  7 x  1  0 10 x  1  3x 10 x  1  3x  14 x  2  0  1     7 x  1   2   0 1  10 x  1  3 x  1 1 1 Rõ ràng  2  0, x  Do đó phương trình (1) trở thành 1  7 x  1  0  x  7 10 10 x  1  3x 1 Kết luận phương trình có nghiệm duy nhất x  7 Bài toán 38 Trích lược bài I .1, Đề thi tuyển sinh vào lớp 10 ...  1  x 2  2   0   2  x   1; 1 x  1  Kết luận phương trình đề bài có hai nghiệm x  1; x  1 CREATED BY GIANG SƠN; GACMA14 319 88@GMAIL.COM; 016 33275320 TRUNG ĐOÀN TRẦN HƯNG ĐẠO; QUÂN ĐOÀN BỘ BINH LÝ THUYẾT SỬ DỤNG ĐẠI LƯỢNG LIÊN HỢP – TRỤC CĂN THỨC – HỆ TẠM THỜI (PHẦN 1) ... CREATED BY GIANG SƠN; GACMA1431988@GMAIL.COM;01633275320 TRUNG ĐOÀN TRẦN HƯNG ĐẠO; QUÂN ĐOÀN BỘ BINH LÝ THUYẾT SỬ DỤNG ĐẠI LƯỢNG LIÊN HỢP – TRỤC CĂN THỨC – HỆ TẠM THỜI... TRÌNH LÝ THUYẾT SỬ DỤNG ĐẠI LƯỢNG LIÊN HỢP – TRỤC CĂN THỨC – HỆ TẠM THỜI (PHẦN 1) TRUNG ĐOÀN TRẦN HƯNG ĐẠO – QUÂN ĐOÀN BỘ BINH ... CREATED BY GIANG SƠN; GACMA1431988@GMAIL.COM;01633275320 TRUNG ĐOÀN TRẦN HƯNG ĐẠO; QUÂN ĐOÀN BỘ BINH LÝ THUYẾT SỬ DỤNG ĐẠI LƯỢNG LIÊN HỢP – TRỤC CĂN THỨC – HỆ TẠM THỜI