TRUNG TÂM BDVH & LTĐH NHÂN TÀI 245/40 Nguyễn Công Hoan - ĐN ĐT: 0905.652.581 – 0905.620.855 Netschool.edu.vn A ĐỊNH NGHĨA & CÁC PHÉP TOÁN SỐ PHỨC I LÝ THUYẾT: Khái niệm số phức:  Là biểu thức có dạng a + b i , a, b số thực số i thoả i = –1 Kí hiệu z = a + b i với a phần thực, b phần ảo, i đơn vị ảo  Tập hợp số phức kí hiệu C = {a + b i / a, b R i = –1} Ta có R  C  Số phức có phần ảo số thực: z = a + i = a   Số phức có phần thực số ảo: z = 0.a + b i = b i Đặc biệt i = + i  Số = + i vừa số thực vừa số ảo Số phức nhau: a  a '  Cho hai số phức z = a + b i z’ = a’ + b’ i Ta có z = z   b  b '  VD: Tìm số thực x, y biết: (2x – 3) – (3y+1) i = (2y + 1) + (3x – 7) i (1) 2 x   y  x  y  x  (1)     3 y   3x  x  y  y  Biểu diễn hình học số phức:  Mỗi số phức z = a + b i xác định cặp số thực (a; b)  Trên mặt phẳng Oxy, điểm M(a; b) biểu diễn số phức ngược lại  Mặt phẳng Oxy biểu diễn số phức gọi mặt phẳng phức Gốc tọa độ O biểu diễn số 0, trục hoành Ox biểu diễn số thực, trục tung Oy biểu diễn số ảo  VD: Các điểm A, B, C, D biểu diễn số phức là: z A = + i , z B = –3 + i , zC = –2 i , z D = – i Môđun số phức:  Số phức z = a + b i biểu diễn điểm M(a; b) mặt phẳng Oxy Độ dài véctơ OM gọi môđun số phức z Kí hiệu z = a + bi = a + b  VD: z = – i có z   4i  32  (4)2 =  Chú ý: z  a  b2  2abi  (a  b2 )2  4a 2b2  a  b2  z Số phức liên hợp:  Cho số phức z = a + b i , số phức liên hợp z z  a  bi z = a + bi  z = a - bi ; z  z , z = z n n * Chú ý (z )  (z) ;i  i; i  i   z số thực  z  z z số ảo  z  z * Môđun số phức z = a + b.i (a; b  R) z  OM  a  b2  z.z Chú ý: z z  Hai điểm biểu diễn z z đối xứng qua trục Ox mặt phẳng Oxy Cộng, trừ số phức:  Số đối số phức z = a + b i –z = –a – b i  Cho z  a  bi z '  a ' b ' i Ta có z ± z' = (a ± a')+ (b ± b')i  Phép cộng số phức có tính chất phép cộng số thực Phép nhân số phức: Chuyên đề: Số Phức Biên soạn: ThS Trương Nhật Lý Netschool.edu.vn z  C TRUNG TÂM BDVH & LTĐH NHÂN TÀI 245/40 Nguyễn Công Hoan - ĐN ĐT: 0905.652.581 – 0905.620.855 Netschool.edu.vn  Cho hai số phức z  a  bi z '  a ' b ' i Nhân hai số phức nhân hai đa thức thay i = –1 rút gọn, ta được: z.z' = a.a' - b.b' + (a.b' + a'.b)i  k.z = k(a + b i ) = ka + kb i Đặc biệt 0.z = z  z z = (a + b i )(a – b i ) hay z.z = a + b = z  VD: Phân tích z + thành nhân tử z + = z – (2i) = (z – i )(z + i )  Phép nhân số phức có tính chất phép nhân số thực Phép chia số phức: a - bi z  Số nghịch đảo số phức z  a  bi  z -1 = = hay = a + bi a + b z z  Cho hai số phức z  a  bi  z '  a ' b ' i z ' z '.z a' + b'i (a' + b'i)(a - bi)  hay = z a + bi a + b2 z  VD: Tìm z thoả (1 + i )z = 3z – i i i(2  2i) 2  2i 1 Ta có (3 – – i )z = i  z =  z z z  i 44 4  2i Lũy thừa đơn vị ảo: Cho k  N  i 4k = 1; i 4k+1 = i; i 4k+2 = -1; i 4k+3 = -i  VD: Tìm phần thực ảo số phức: z = (2  2i)13 z  (2  2i)2  (2  2i)  (8i)6 (2  2i)  86.2  86.2i  219  219 i Phần thực a = 219 , phần ảo b = 219 II BÀI TẬP ÁP DỤNG 1) Tìm số thực x, y biết: a) (3x –2) + (2y +1)i = (x + 1) – (y – 5)i; c) (1 – 2x) – i = + (1 – 3y)i; b) (2x + y) + (2y – x)i = (x – 2y + 3) + (y + 2x +1)i; 1 1 3  ĐS: a) x = , y = b) x = 0, y = c) x = ,y= 3 2) Trên mặt phẳng tọa độ, tìm tập hợp điểm biểu diễn số phức z thỏa: a) Phần thực z –2; b) Phần ảo z 3; c) Phần thực z thuộc khoảng (–1; 2); d) Phần ảo z thuộc đoạn [1; 3]; e) Phần thực phần ảo z thuộc đoạn [–2; 2]  Hướng dẫn: a) Là đường thẳng x = –2; b) Là đường thẳng y = 3; c) Là miền giới hạn hai đường thẳng song song x = –1 x = không tính biên; d) Là miền giới hạn hai đường thẳng song song y = y = tính biên; e) Là miền giới hạn bốn đường thẳng đôi song song x = –2, x = y = –2, y = tính biên 3) Trên mặt phẳng tọa độ, tìm tập hợp điểm biểu diễn số phức z thỏa: a) |z| = 1; b) |z|  c) < |z|  d) |z| = phần ảo z  Hướng dẫn: a) Tập hợp điểm M(a; b) thỏa a  b2  , đường tròn tâm O, bán kính R = 1; b) Tập hợp điểm M(a; b) thỏa a  b2  1, hình tròn tâm O, bán kính R = tính biên; Chuyên đề: Số Phức Biên soạn: ThS Trương Nhật Lý Netschool.edu.vn TRUNG TÂM BDVH & LTĐH NHÂN TÀI 245/40 Nguyễn Công Hoan - ĐN ĐT: 0905.652.581 – 0905.620.855 Netschool.edu.vn c) Tập hợp điểm M(a; b) thỏa  a  b2  , hình vành khăn tâm O, bán kính r = không tính biên, bán kính lớn R = tính biên; 4) Thực phép tính sau: (1  i) (2i)3 a) 2i(3 + i)(2 + 4i) b) 2  i 5) Giải phương trình sau: b) (3 – 2i)z + (4 + 5i) = + 3i; b) (1 + 3i)z – (2 + 5i) = (2 + i)z c) z  (2  3i)   2i  3i c) z = 15 – 5i  i 5 6) Xác định số phức biểu diễn đỉnh lục giác có tâm gốc tọa độ O mặt phẳng phức, biết đỉnh biểu diễn số i     Hướng dẫn:Gọi A điểm biểu diễn số phức i D biểu diễn số –i F  cos ;sin  nên F biểu 6  3 diễn số  i E đối xứng F qua Ox nên E  i C đối xứng F qua O nên C biểu diễn số  2 2 3 biểu diễn số  i B đối xứng E qua O nên B biểu diễn số   i 2 2 7) Cho z    i Hãy tính: ; z ; z ;( z ) 3;1  z  z 2 z  Hướng dẫn: Ta có z  nên  Hướng dẫn: a) z = 1   iz; z 2 b) z = z2    i; 2 z  z z  ; 1 z  z2  8) Chứng minh rằng: 1  z  z  , phần ảo số phức z  z  z  2i b) Số phức z số ảo z   z c) Số phức z số thực z  z z'  z'   d) Với số phức z, z, ta có z  z '  z  z ', zz '  z.z ' z  z z  Hướng dẫn: z  a  bi, z  a  bi (1) a) Lấy vế cộng vế  Phần thực số phức z  z  z  Lấy vế trừ vế  phần ảo số phức z  z  z  2i b) Số phức z số ảo phần thực  z  z   z   z c) Số phức z số thực phần ảo  z  z   z  z d) z  a  bi; z '  a ' b ' i; z z  a  b2 số thực a) Phần thực số phức z z  z '  (a  a ')  (b  b ')i  (a  a ')  (b  b ')i  (a  bi)  (a ' b ' i)  z  z ' Chuyên đề: Số Phức Biên soạn: ThS Trương Nhật Lý Netschool.edu.vn TRUNG TÂM BDVH & LTĐH NHÂN TÀI 245/40 Nguyễn Công Hoan - ĐN ĐT: 0905.652.581 – 0905.620.855 Netschool.edu.vn zz '  (aa ' bb ')  (ab ' a ' b)i  (aa ' bb ')  (ab ' a ' b)i  (a  bi)(a ' b ' i)  z.z '  z '   z '.z  z '.z z '.z z '      z.z z  z   z.z  z.z 9) Chứng minh với số nguyên m > 0, ta có i 4m  1; i 4m1  i; i 4m2  1; i 4m3  i  Hướng dẫn: Ta có i  i i  i  m  1m  i 4m   i 4m i  1.i  i 4m1  i  i 4m1.i  i.i  i 4m2  1  i 4m2 i  1.i  i 4m3  i 10) Chứng minh rằng: e) Nếu u mặt phẳng phức biểu diễn số phức z | u |  | z | từ hai điểm A1 , A2 theo thứ tự biểu diễn số phức z1 , z2 A1 A2  z2  z1 f) Với số phức z, z, ta có |z.z | = |z|.|z | z  z' z'  z z g) Với số phức z, z, ta có z  z '  z  z '  Hướng dẫn: a) z  a  bi z  a  b2 , u biểu diễn số phức z u = (a; b)  u  a  b2 | u |  | z | A1 , A2 theo thứ tự biểu diễn số phức z1 , z2 A1 A2  OA2  OA1  z2  z1  A1 A2  z2  z1 b) z  a  bi , z '  a ' b ' i , z.z '   aa ' bb '   ab ' a ' b i , z  a2  b2 , z '  a '2  b '2 Ta có z z '   a  b2  a '2  b '2  2 Ta có z.z '   aa ' bb '   ab ' a ' b    aa '   bb '   ab '   a ' b    a  b  a '2  b '2  2 2 2 Vậy |z.z| = |z|.|z| z' z z' z z' z ' z '.z     Khi z  ta có 2 z z.z z z z c) u biểu diễn z, u ' biểu diễn z u  u ' biểu diễn z + z z  z '  u  u ' 2   2  Khi u, u '  , ta có u  u '  u  u '  u u ' cos u, u '  u  u '  u u '  u  u '   u  u '  u  u ' z  z '  z  z ' 11) Xác định tập hợp điểm mặt phẳng phức biểu diễn số phức z thỏa điều kiện sau: z i 1 h) z  i  b) c) z  z   4i z i  Hướng dẫn: Gọi M(x; y) điểm biểu diễn số phức z mặt phẳng phức a) Với z  x  yi  z  i   x  ( y  1)i   x  ( y  1)   x   y  1  Tập hợp điểm M đường tròn tâm I(0; 1) bán kính R = z i 2   x  ( y  1)i  x  ( y  1)i  x   y  1  x   y  1  y  b) Với z  x  yi  z i Tập hợp điểm M trục thực Ox c) Với z  x  yi  z  z   4i  x  yi  ( x  3)  (4  y)i  x  y  ( x  3)2  (4  y)2  x  y  25  Tập hợp điểm M đường thẳng x  y  25  12) Tìm số phức thỏa mãn đk 11 mà có mô đun nhỏ Chuyên đề: Số Phức Biên soạn: ThS Trương Nhật Lý Netschool.edu.vn TRUNG TÂM BDVH & LTĐH NHÂN TÀI 245/40 Nguyễn Công Hoan - ĐN ĐT: 0905.652.581 – 0905.620.855 Netschool.edu.vn z10  13) Chứng minh với số phức z  1, ta có  z  z   z  z 1  Hướng dẫn: Với z  1, 1  z  z   z   z  1  z  z   z  z10  1  z  z   z   z10  Chia hai vế cho z – đẳng thức chứng minh.(Cấp số nhân) 14) Hỏi số sau số thực hay số ảo (z số phức tùy ý cho biểu thức xác định)? zz z  ( z )2 2 a) z  ( z ) b) c) z  ( z )3  zz 2  Hướng dẫn: Ta có z  a  bi, z  a  bi , z  (a  b2 )  2abi, z  ( a2  b2 )  2abi, Và z  (a3  3ab2 )  (3a2b  b3 )i, z  (a3  3ab2 )  (3a2b  b3 )i zz b z  ( z )2 4ab  i số ảo;  i số ảo 3 z  (z ) a  3ab  z.z  a  b2 15) Xác định tập hợp điểm mặt phẳng phức biểu diễn số phức z thỏa điều kiện sau: i) z số thực âm; b) z số ảo ; c) z  ( z )2 d) số ảo z i  Hướng dẫn: M(x; y) biểu diễn z z  x  yi  z  x  y  xyi; z  x  y  2xyi a) z số thực âm xy = x  y   x = y  Tập hợp điểm M trục Oy trừ O b) z số ảo x  y   y =  x Tập hợp điểm M đường phân giác gốc tọa độ c) z  ( z )2 xy =  x = y = Tập hợp điểm M trục tọa độ x  ( y  1)i  d) = số ảo x = 0, y  Tập hợp M trục Oy bỏ điểm M(0; z  i x  ( y  1)i x  ( y  1) 16) Tìm nghiệm phức phương trình sau: j) iz   i  c)   i  z   e) z   Vậy z  ( z )2  2(a  b2 ) số thực; k)   3i  z  z   Hướng dẫn: a) z   2i b) z   d)  iz  1 z  3i  z   3i    i 10 10 c) z   i 5 d) i;  3i;  3i e) z  2i 2) Tìm : 17) a) Cho số phức z  x  yi (x, yR) Khi z  1, tìm phần thực phần ảo số phức b) Xác định tập hợp điểm mặt phẳng phức biểu diễn số phức z thỏa điều kiện zi z i zi số z i thực dương  Hướng dẫn: x2  y 1 2x , phần ảo 2 x  ( y  1) x  ( y  1) b) Là số thực dương x  x  y    Tập hợp trục Oy bỏ đoạn IJ với I, J điểm biểu diễn hai số phức i,  i 18) a) Trong mặt phẳng phức cho điểm A, B, C không thẳng hàng theo thứ tự biểu diễn số phức z1 , z2 , z3 Hỏi trọng tâm ABC biểu diễn số phức nào? a) Phần thực b) Xét điểm A, B, C mặt phẳng phức theo thứ tự biểu diễn số phức z1 , z2 , z3 thỏa z1  z2  z3 Chứng minh A, B, C đỉnh tam giác z1  z2  z3  Chuyên đề: Số Phức Biên soạn: ThS Trương Nhật Lý Netschool.edu.vn TRUNG TÂM BDVH & LTĐH NHÂN TÀI 245/40 Nguyễn Công Hoan - ĐN ĐT: 0905.652.581 – 0905.620.855 Netschool.edu.vn  Hướng dẫn: a) Gọi G trọng tâm ABC, ta có OG    1 OA  OB  OC   z1  z2  z3  G biểu diễn số phức 3  z1  z2  z3  b) Vì OA  OB  OC nên A, B, C thuộc đường tròn tâm O Tam giác ABC trọng tâm G trùng z O hay z1  z2  z3  B CĂN BẬC HAI CỦA SỐ PHỨC & PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI I LÝ THUYẾT Căn bậc hai số phức: Cho số phức w, số phức z = a + b i thoả z = w gọi bậc hai w  w số thực: w = a  a = 0: Căn bậc hai  a > 0: Có hai bậc hai đối a – a  a < 0: Có hai bậc hai đối a i – a i  w số phức: w = a + b i (a, b , b  0) z = x + y i bậc hai w  x2 - y2 = a 2 z  w  (x + yi) = a + bi    2xy = b  Mỗi số phức có hai bậc hai đối  VD: Tính bậc hai w = –3 + i ĐS: có bậc hai w z1 = + i , z2 = –1 – i Phương trình bậc hai: a) Phương trình bậc hai với hệ số a, b, c số thực: ax2  bx  c  (a  0),   b2  4ac b   2a b  |  |.i   < 0: Phương trình có nghiệm phức x1,2  2a  VD: Giải phương trình x3      0: Phương trình có nghiệm thực x1,2  ĐS: Phương trình có nghiệm x1   3.i, x2   3.i, x3  2 b) Phương trình bậc hai với hệ số phức: Ax2  Bx  C  ( A  0),   B2  AC ,   a  bi B   = 0: Phương trình có nghiệm kép x  2A B      0: Phương trình có nghiệm x1,2  với  bậc hai  2A  VD: Giải phương trình: a) 2z  iz   ; b) z  (3  2i) z   5i  Chuyên đề: Số Phức Biên soạn: ThS Trương Nhật Lý Netschool.edu.vn TRUNG TÂM BDVH & LTĐH NHÂN TÀI 245/40 Nguyễn Công Hoan - ĐN ĐT: 0905.652.581 – 0905.620.855 Netschool.edu.vn a) 2z  iz   có  = –1 – = – = (3i) i  3i i  3i Phương trình có nghiệm phức z1   i , z2   i 4 2 b) z  (3  2i) z   5i  có  = (3  2i)  4(5  5i)  12i  4i  20  20i  15  8i = (1  4i) 3  2i   4i 3  2i 1  4i Phương trình có nghiệm phức z1   1  3i ; z2   2  i 2 B BÀI TẬP ÁP DỤNG 1) Giải phương trình sau tập phức: a) 3z  z   b) z  3z   ; c) 5z  z  11   Hướng dẫn:  i 171 1 i 3  i 47 a) b) c) 10 14 2) Giải phương trình sau tập phức: a) z  z   b) z  z  10   Hướng dẫn: a)  2;  i b) i 2;  i 3) Cho a, b, c  R, a  0, z1 , z2 hai nghiệm phương trình az  bz  c  Hãy tính z1  z2 z1 z2 theo hệ số a, b, c b c  Hướng dẫn: z1  z2 =  , z1 z2 = a a 4) Cho z = a + bi số phức Hãy tìm phương trình bậc hai với hệ số thực nhận z, z làm nghiệm  Hướng dẫn: Phương trình ẩn x nhận z, z làm nghiệm nên có (x – z)(x – z ) =  x2  ( z  z ) x  zz  Với z + z = 2a, z z = a  b2 Vậy phương trình x2  2ax  a2  b2  5) Chứng minh z bậc hai w z  w  Hướng dẫn: z  a  bi bậc hai w  z  w  z  w  z  w  z  VD:  4i    i  tức z   i bậc hai w   4i z  6) Tìm nghiệm phức phương trình sau: a) z  z  b) z  z    Hướng dẫn: w w c) z  (1  3i) z  2(1  i)  1 1 5  a) z  2.z     z     z   4 2 2  b) z  z     z  1  4   z  1   2i   z   2i  z  1  2i 2 c)   1  3i   1  i   2i  1  i  Phương trình có hai nghiệm phức z1  2i; z2  1  i 7) a) Hỏi công thức Viét phương trình bậc hai với hệ số thực có cho phương trình bậc hai với hệ số phức không? Vì sao? b) Tìm hai số phức, biết tổng chúng – i tích chúng 5(1 – i) c) Có phải phương trình bậc hai z  Bz  C  (B, C hai số phức) nhận hai nghiệm hai số phức liên hợp không thực phải có hệ số B, C hai số thực? Vì sao? Điều ngược lại có không?  Hướng dẫn: 2 Chuyên đề: Số Phức Biên soạn: ThS Trương Nhật Lý Netschool.edu.vn TRUNG TÂM BDVH & LTĐH NHÂN TÀI 245/40 Nguyễn Công Hoan - ĐN ĐT: 0905.652.581 – 0905.620.855 Netschool.edu.vn a) Hai nghiệm phương trình bậc hai hệ số phức z1,2  B       B2  AC  nên 2A B C ; z1 z2  A A b) Hai số cần tìm nghiệm phương trình z    i  z  1  i   z1  z2   Có   5  12i    3i  nên hai số cần tìm z1   i; z2   2i c) Phương trình z  Bz  C  có hai nghiệm z  a  bi; z  a  bi B    z  z   2a số thực C  z.z  a  b2 số thực Điều ngược lại không 8) a) Giải phương trình sau:  z  i  z  2iz  1  b) Tìm số phức B để phương trình z  Bz  3i  có tổng bình phương hai nghiệm  Hướng dẫn: 2 2 a)  z  i   z  i   có nghiệm  i;   i; i 2 2 b) Ta có z1  z2   B; z1.z2  3i nên z12  z22    z1  z2   z1 z2   B  6i   B    i   B     i  2  k trường hợp sau: z a) k = 1; b) k = ; c) k = 2i k   Hướng dẫn: z   k  z  kz   có nghiệm z1,2      k  4  z 2 a) k = z1,2   b) k = z1,2  c) k  2i  z1,2   i  i i 2 2 10) Giải phương trình biểu diễn tập nghiệm mặt phẳng phức phương trình sau: a) z   ; b) z   ; c) z   ; d) 8z  8z  z   Hướng dẫn: 3 a) z     z  1  z  z  1   z  1, z   i, z   i 2 2 b) z    z   z  1  z  1, z  i 9) Tìm nghiệm phương trình z    c) z    z  4  z  2i  z   1  i  , z   1  i  1 d)  z  1 8 z  1    z  1 z  1  z  z  1   z  1, z  , z    i 4 11) a) Tìm số thực b, c để phương trình z  bz  c  nhận z   i làm nghiệm b) Tìm số thực a, b, c để phương trình z  az  bz  c  nhận z   i z = làm nghiệm  Hướng dẫn: a) 1  i   b 1  i   c   b  c    b  i   b  c  vaø  b   b  2, c  b) Lần lượt thay z   i z = vào phương trình, ta b  c  a  4 b  c   (2  2a  b)i     b   2a  b  2  8  4a  2b  c  4a  2b  c  8 c  4   C DẠNG LƯỢNG GIÁC CỦA SỐ PHỨC (Tham khảo) I LÝ THUYẾT Chuyên đề: Số Phức Biên soạn: ThS Trương Nhật Lý Netschool.edu.vn TRUNG TÂM BDVH & LTĐH NHÂN TÀI 245/40 Nguyễn Công Hoan - ĐN ĐT: 0905.652.581 – 0905.620.855 Netschool.edu.vn Số phức dạng lượng giác: a) Acgumen số phức z  0:  Cho số phức z = a + b i  biểu diễn điểm M(a; b) mặt phẳng Oxy Số đo (rađian) góc   (Ox, OM ) gọi acgumen z  Mọi acgumen z sai khác k2 tức có dạng  + k2 (k ) (z nz sai khác k2 với n số thực khác 0)  VD: Biết z  có acgumen  Hãy tìm acgumen số phức sau: –z; z ; – z ; z  z biểu diễn OM –z biểu diễn – OM nên có acgumen  + (2k + 1)  z biểu diễn M đối xứng M qua Ox nên có acgumen –  + k2  – z biểu diễn – OM ' nên có acgumen –  + (2k + 1) z 1  = z 1  , số thực nên z 1 có acgumen với z –  + k2 |z| |z| z b) Dạng lượng giác số phức z = a + b i :  Dạng lượng giác số phức z  z = r (cos  + i sin  ) với  acgumen z a b z = a + bi  z = r  cosφ + isinφ  Vôùi r = a + b ; cosφ = ; sinφ = r r  VD:  Số –1 có môđun acgumen  nên có dạng lượng giác z = cos + i sin   Số + i có môđun acgumen  thoả cos  = sin  = Lấy  = 2   + i = 2(cos + i sin ) 3  Số có môđun acgumen tuỳ ý nên có dạng lượng giác = 0(cos  + i sin  )  Chú ý:  Số – cos  – i sin  có dạng lượng giác cos(  + ) + i sin(  + )  Số cos  – i sin  có dạng lượng giác cos(–  ) + i sin(–  )  Số – cos  + i sin  có dạng lượng giác cos( –  ) + i sin( –  ) Nhân, chia số phức dạng lượng giác: Cho z = r (cos  + i sin  ) z = r (cos  ’ + i sin  ’) với r , r  z r = [cos(φ - φ')+ isin(φ - φ')] ( r  0) z.z' = r.r'[cos(φ+ φ')+ isin(φ+ φ')] z' r' 1  Ta có z có acgumen –  ’ + k2 nên  [cos( ')  i sin( ')] z' z' r' Do z r  [cos( -  ')  i sin( -  ')] ( r ’ 0) z' r' 3 3    5 5  z1  i sin  i cos  VD: z1   cos  z2   sin  Tính z1.z2 4  12 12  z2   Chuyên đề: Số Phức Biên soạn: ThS Trương Nhật Lý Netschool.edu.vn TRUNG TÂM BDVH & LTĐH NHÂN TÀI 245/40 Nguyễn Công Hoan - ĐN ĐT: 0905.652.581 – 0905.620.855 Netschool.edu.vn    5 5   Với z2   cos  i sin  ; z1.z2 = 2  cos  i sin 12 12  6       i     2.i   2     2    2 2   z1 =  i sin i     i  cos      3  2 z2 2  2  Công thức Moa–vrơ (Moivre) ứng dụng: a) Công thức Moa–vrơ: Cho số phức z = r (cos  + i sin  )   r(cosφ+ isinφ) = r n (cosnφ+ isinnφ) (n * ) b) Căn bậc hai số phức dạng lượng giác:`  Mọi số phức z = r (cos  + i sin  ) ( r > 0) có bậc hai n φ φ    φ    φ    r  cos + isin     r  cos  i sin     r cos  + π  + isin  + π   2 2    2   2 100  VD: Đổi sang dạng lượng giác tính: 1  i  bậc hai w = + 3.i      2  i    cos  i sin  4     Ta có + i = 100      Do 1  i  =   cos  i sin    250  cos 25  i sin 25  4           w = + 3.i =  cos  i sin  có bậc hai  cos  i sin  3 6   7 7    cos  i sin  6   100 II BÀI TẬP ÁP DỤNG 1) Dùng công thức khai triển nhị thức Niutơn 1  i  công thức Moavrơ để tính 19 19  19  19   16 19  18 19     Hướng dẫn:  i   cos  i sin  4  n 19 Ta có 1  i    nk i k  19 k 0 i  0 19 i  1 19 i   2 19 i  18 18 19 i với phần thực 19 19 19 19  19  19   19  19  19 19  2 9   cos  i sin i   2  i có phần thực 2  512     4     Vậy 190  192  194   1916  1918 = –512 1  i  19 2004  i  2) Tính:    1 i   Hướng dẫn:  i     1 i  2004   3i  ;     3i   1 i      2004 21  2     cos  i sin   4    Chuyên đề: Số Phức 2004  1002  cos   i sin     1002 Biên soạn: ThS Trương Nhật Lý Netschool.edu.vn 10 16 19  18 19 TRUNG TÂM BDVH & LTĐH NHÂN TÀI 245/40 Nguyễn Công Hoan - ĐN ĐT: 0905.652.581 – 0905.620.855 Netschool.edu.vn 21 21   3i    2 2   21 21  i sin    1  3i    cos     cos14  i sin14   3      3i  3) Cho số phức w    3i Tìm số nguyên dương n để wn số thực Hỏi có số nguyên dương m m để w số ảo? 4 4 4n 4n  Hướng dẫn: w    3i  cos  i sin  wn  cos  i sin 3 3 4n W số thực sin  , điều xảy n bội nguyên dương 3 Không có m để wm số ảo  21      CÁC DẠNG BÀI TẬP CƠ BẢN Tìm phần thực phần ảo số phức sau: 1 i  10    1  i   2  3i 2  3i   i  1 i  2 Tìm nghiệm phức phương trình sau: a 2i   3i z ; 1 i 2i b 2  i z   i . iz    1   0; 2i  c z  | z | 0; d z  z  ; 3.Tính: a + (1+i) + (1+i)2 + (1+i)3 + + (1+i)20 b + i + i2 + i3 + ……+ i2011 Xác đỉnh tập hợp điểm mặt phẳng phức biểu diễn số z thỏa mãn điều kiện sau: a | z  z  | 4; b | z  z   i | 2; c 2  z i  z  số ảo tùy ý; d | z  i || z  z  2i |;   Các vectơ u ,u ' mặt phẳng phức theo thứ tự biểu diễn số phức z, z’   a Chứng minh tích vô hướng u u '    z.z ' z.z ' ;   b Chứng minh u ,u ' vuông góc | z  z'|| z  z'| Xác định tập hợp điểm mặt phẳng phức biểu diễn số phức z thỏa mãn z  k , (k số thực dương cho trước) z i z 1  Tìm số phức z thỏa mãn đồng thời: z i  z i  Tìm số phức z thỏa mãn   1  z i  z  3i  z i Tìm phần thực ;phần ảo ;mô đun số phức:  i tan   i tan  10 Giải phương trình sau C : Chuyên đề: Số Phức Biên soạn: ThS Trương Nhật Lý Netschool.edu.vn 11 TRUNG TÂM BDVH & LTĐH NHÂN TÀI 245/40 Nguyễn Công Hoan - ĐN ĐT: 0905.652.581 – 0905.620.855 Netschool.edu.vn z2 a z  z   z   cách đặt ẩn số phụ w  z  ; z b z  3z  6  z z  3z  6  3z  c (z2+1)2+(z+3)2=0a z  i z  1z  i   d z  z   4z  z   12  11 Giải hệ phương trình hai ẩn phức z1 , z sau :  z1  z   i  z1 z  5  5i a  b  2  z1  z   2i 2  z1  z  5  2i 12 Tìm acgumen số phức sau :       a -1-i ; b cos  i sin c  sin  i cos ; d  sin   i cos      ; 2 4 8  13 Cho PT : z2 + kz + 1=0 (-2[...]... phức z có môđun nhỏ nhất ĐS: z  MỘT SỐ ĐỀ THI ĐẠI HỌC – CAO ĐẲNG Bài 1 (Đề thi Cao đẳng năm 2009 – Khối A, B, D) a) Chương trình Chuẩn (1 điểm) Cho số phức z thoả mãn (1  i)2 (2  i) z  8  i  (1  2i) z Tìm phần thực và phần ảo của z 4 z  3  7i b) Chương trình Nâng cao (1 điểm) Giải phương trình  z  2i trên tập z i  Hướng dẫn: Chuyên đề: Số Phức Biên so n: ThS Trương Nhật Lý Netschool.edu.vn... 10i  (1  5i)2 1  i  1  5i 1  i  1  5i  1  2i ; z2   3i 2 2 Bài 6 (Đề thi Đại học năm 2010 – Khối D) Chương trình Chuẩn (1 điểm) Tìm số phức z thỏa: z  2 và z 2 là số thuần ảo  ĐS z = 1 + i hoặc z = 1 – i hoặc z = –1 + i hoặc z = –1 – i Bài 7 (Đề thi Đại học năm 2010 – Khối B) Chương trình Chuẩn (1 điểm) Trong mặt phẳng Oxy, tìm tập hợp điểm biểu diễn bởi số phức z thỏa z  1  (1  i)... 3 1 3 i i;z=   Vậy phương trình có các nghiệm: z = 0; z = 1; z =   2 2 2 2 Chuyên đề: Số Phức Biên so n: ThS Trương Nhật Lý Netschool.edu.vn 14 TRUNG TÂM BDVH & LTĐH NHÂN TÀI 245/40 Nguyễn Công Hoan - ĐN ĐT: 0905.652.581 – 0905.620.855 Netschool.edu.vn 2 c) z  1  3i; z  1  3i  4i 3 17) Trong mặt phẳng Oxy, tìm tập hợp điểm biểu diễn số phức z thỏa: z  3i c) z  i  2 ; b) d) (2  3i) z ... 2i ĐS: y  4 3 32) Trong các số phức thỏa mãn z  2  3i  Tìm số phức z có môđun nhỏ nhất 2 3 9 2 2 HD: *Gọi z=x+yi z  2  3i   …   x  2    y  3  2 4  Vẽ hình |z|min z 26  3 13 78  9 13  i 13 26 33) Tìm phần thực và phần ảo của số phức sau: 1+(1+i)+(1+i)2+(1+i)3+ … + (1+i)20 HD: Áp dụng công thức tính tổng của CSN, ĐS: phần thực 210, phần ảo: 210+1 34) Trong các số phức thỏa... a 1 + (1+i) + (1+i)2 + (1+i)3 + + (1+i)20 b 1 + i + i2 + i3 + ……+ i2011 4 Xác đỉnh tập hợp các điểm trong mặt phẳng phức biểu diễn các số z thỏa mãn điều kiện sau: a | z  z  3 | 4; b | z  z  1  i | 2; c 2  z i  z  là số ảo tùy ý; d 2 | z  i || z  z  2i |; 2   5 Các vectơ u ,u ' trong mặt phẳng phức theo thứ tự biểu diễn các số phức z, z’   a Chứng minh rằng tích vô hướng u...  1  7i  0 z i Ta có  = (4  3i)2  4(1  7i)  3  4i  (2  i) 2 Phương trình có 2 nghiệm: 4  3i  2  i 4  3i  2  i z1   3  i và z2   1  2i 2 2 Bài 2 (Đề thi Đại học năm 2009 – Khối D) Chương trình Chuẩn (1 điểm) Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, tìm tập hợp điểm biểu diễn các số phức z thoả điều kiện | z  (3  4i) | 2  Hướng dẫn: Đặt z = x + y i (x, y )  z  (3  4i)  x  yi  3... = 2  ( x  3)2  ( y  4)2 = 4 Tập hợp điểm biểu diễn các số phức z là đường tròn tâm I(3; –4), bán kính R = 2 Bài 3 (Đề thi Đại học năm 2009 – Khối B) Chương trình Chuẩn (1 điểm) Tìm số phức z thoả: | z  (2  i) | 10 và z.z = 25  ĐS: z = 3 + 4 i hoặc z = 5 + 0 i Bài 4 (Đề thi Đại học năm 2009 – Khối A) Chương trình Chuẩn (1 điểm) Gọi z1 và z2 là hai nghiệm phức của phương trình z 2  2 z  10... 6 Xác định tập hợp các điểm trong mặt phẳng phức biểu diễn các số phức z thỏa mãn z  k , (k là số thực dương cho trước) z i z 1  1 và 7 Tìm số phức z thỏa mãn đồng thời: z i  z i  8 Tìm số phức z thỏa mãn   1  z i  z  3i  1 z i 4 9 Tìm phần thực ;phần ảo ;mô đun số phức: 1  i tan  1  i tan  10 Giải các phương trình sau trên C : Chuyên đề: Số Phức Biên so n: ThS Trương Nhật Lý Netschool.edu.vn... x2  y 2  2 y  1  0  x2  ( y  1)2  2 Tập hợp là đường tròn tâm I(0; –1), bán kính R = Chuyên đề: Số Phức Biên so n: ThS Trương Nhật Lý Netschool.edu.vn 17 2 TRUNG TÂM BDVH & LTĐH NHÂN TÀI 245/40 Nguyễn Công Hoan - ĐN ĐT: 0905.652.581 – 0905.620.855 Netschool.edu.vn Bài 8 (Đề thi Đại học năm 2010 – Khối A) a) Chương trình Chuẩn (1 điểm) Tìm phần ảo của số phức z thỏa: z  ( 2  i)2 (1  2i)... sin  i cos ; d 1  sin   i cos   0    ; 2 4 4 8 8  13 Cho PT : z2 + kz + 1=0 (-2 ... giới hạn hai đường thẳng song song x = –1 x = không tính biên; d) Là miền giới hạn hai đường thẳng song song y = y = tính biên; e) Là miền giới hạn bốn đường thẳng đôi song song x = –2, x = y = –2,... ĐS: phần thực 210, phần ảo: 210+1 34) Trong số phức thỏa mãn z  z   i Tìm số phức z có môđun nhỏ ĐS: z  MỘT SỐ ĐỀ THI ĐẠI HỌC – CAO ĐẲNG Bài (Đề thi Cao đẳng năm 2009 – Khối A, B, D) a)... Biên so n: ThS Trương Nhật Lý Netschool.edu.vn 14 TRUNG TÂM BDVH & LTĐH NHÂN TÀI 245/40 Nguyễn Công Hoan - ĐN ĐT: 0905.652.581 – 0905.620.855 Netschool.edu.vn c) z   3i; z  1  3i  4i 17) Trong