GV : ThS Nguyễn Vũ Minh NGUYÊN HÀM - TÍCH PHÂN Chủ đề : NGUYÊN HÀM ( TÍCH PHÂN BẤT ĐỊNH ) 1) Định nghĩa : F(x) nguyên hàm hàm số f(x) (a; b) ⇔ ……………… 2) Họ nguyên hàm : , với C số 3) Bảng nguyên hàm : Hàm : ∫ dx= Hàm chứa (ax + b) x+C x α +1 +C dx ∫ x= α +1 α dx = ∫ x ln x + C dx = − ∫ x2 x + C dx = ∫ x x +C ax = +C ∫ a dx lna x x x e dx = e +C ∫ −cosx + C ∫ sinx.dx = = ∫ cosx.dx sinx + C dx tanx + C ∫ cos= x dx −cotx + C ∫ sin x = dx x −a = ln ∫ x − a 2a x + a + C dx −1 = ∫ x n (n − 1)x n −1 + C Đt : 0914.449.230 (Zalo – Facebook) (ax + b)α +1 +C ) dx ∫ ( ax + b= a α +1 dx = ∫ ax + b a ln ax + b + C α dx 1 = − ∫ (ax + b)2 a ax + b + C ∫ dx = ax + b + C ax + b a a ax + b dx +C ∫ a= a lna ax + b ax + b e dx e = +C ∫ a ax + b sin(ax + b).dx = − cos(ax + b) + C ∫ a + = cos(ax b).dx sin(ax + b) + C ∫ a dx = ∫ cos2 (ax + b) a tan(ax + b) + C dx = − ∫ sin (ax + b) a cot(ax + b) + C dx 1 = − ∫ (ax + b)n a (n − 1)(ax + b)n −1 + C BIÊN HÒA – ĐỒNG NAI GV : ThS Nguyễn Vũ Minh NGUYÊN HÀM - TÍCH PHÂN 4) Cách tìmnguyên hàm : Biến đổi tích thương, tổng, bạ bậc, khai triển lũy thừy, chia đa thức… m m n m −n x n x= ; n x= ; n x m−n Căn thức thành lũy thừa= : x x x 5) Công thức thường dùng : + cos2u − cos2u sin u = = + tan u cos u = + cot u sin u cos u = 3cosu + cos3u 3sinu − sin3u sin u = cos3 u = sin2u = 2sinu.cosu cos2u = cos u − sin u cos2u = 2cos u − cos2u = − 2sin u Ví dụ : TÌM HỌ NGUYÊN HÀM CỦA CÁC HÀM SỐ SAU: a/ f(x) = (2x + 1)3 c/ f(x) = ; b/= f(x) (tan x + cot x) ; 2x − 5x + ; x2 d/ f(x) = e 2x − 3e x + ex − ♥ Giải : a/ Ta có f(x) = 8x + 12x + 6x + , Suy : f(x) = 8∫ x dx + 12 ∫ x dx + ∫ x dx + ∫ 1dx = 12 x + x + 2x + x + C 1     b/ Ta có f(x) + 2  = tan x + cot x += − 1 +  − 1= +2 2 cos x sin x  cos x   sin x  Suy ra: ∫ f(x)dx = c/ Ta có f(x) = 2x − Suy ra: ∫ cos x dx + ∫ dx = tan x − cot x + C sin x + x x2 ∫ f(x)dx = 2∫ xdx − 5∫ x dx + 2∫ x −2 dx = x − 5ln x − +C x e 2x − e x − 2(e x − 1) e x (e x − 1) − 2(e x − 1) (e x − 1)(e x − 2) d/ Ta có f(x) = = = ex − = x x x e −1 e −1 e −1 Suy ra: ∫ f(x)dx = ∫ e x dx − ∫ 2dx = e x − 2x + C Đt : 0914.449.230 (Zalo – Facebook) BIÊN HÒA – ĐỒNG NAI GV : ThS Nguyễn Vũ Minh NGUYÊN HÀM - TÍCH PHÂN Bài Tập : Tìm họ nguyên hàm hàm số sau 1/ f(x) = x + 3x − − x 2/ f(x) = 20 + 4− 3+ x x x x x + 4x − 2x + − 7x 3/ f(x) = x2 4/ f(x) = x + x + 4 x 5/ f(x) = ( x + 1)(x − x + 1) 6/ f(x) = e x (7 − 3e − x +  e− x  7/ = f(x) e x  +  sin x   8/ f(x) = (2 x e− x ) cos x + 3x ) 22x −1 ♥ Giải : Đt : 0914.449.230 (Zalo – Facebook) BIÊN HÒA – ĐỒNG NAI GV : ThS Nguyễn Vũ Minh NGUYÊN HÀM - TÍCH PHÂN Bài Tập : Tìm họ nguyên hàm hàm số sau 1/ f(x) = 2sinx − 3cosx + x 4/ f(x) = sin x.cos x 8/ f(x) = 3x15 + 7x − 2x + − 10x x3 9/ f(x) = sin x.cos x 2/ = f(x) tan x − 3cot x 3/= f(x) (2tanx + cotx) 5/ f(x) = ( x − 3x ) ( x − 1) 6/ = f(x) 3sinx − 7cosx 7/ f(x) = x − 3e x + 4sin x − / x 10/ f(x) = e x (5 + 3e − x ) ♥ Giải : Đt : 0914.449.230 (Zalo – Facebook) BIÊN HÒA – ĐỒNG NAI GV : ThS Nguyễn Vũ Minh NGUYÊN HÀM - TÍCH PHÂN Bài Tập : Tìm họ nguyên hàm hàm số sau x x cos 2 1/ f(x) = x − 3x + 4x + ; 2/= f(x) 2x(x + 3x) 3/ f(x) = 4sin 4/ f(x) = 2sin x + 3cos x + 5e x 5/= f(x) tan x − 6/ f(x)= (2 − ) x 8/ f(x) = 22x +1.33x + 9/ f(x) = (3x − 2) 7/ f(x) = ( x − 2)3 x ♥ Giải : Đt : 0914.449.230 (Zalo – Facebook) BIÊN HÒA – ĐỒNG NAI GV : ThS Nguyễn Vũ Minh NGUYÊN HÀM - TÍCH PHÂN Ví dụ : TÌM HỌ NGUYÊN HÀM CỦA CÁC HÀM SỐ SAU: a/ f(x) = (2x + 1)3 b/ = f(x) cos ( 3x − ) ; ; d/ f(x) = e − x c/ f(x) = 7x + e/ f(x)= (7 − 3x)10 Giải : a/ sử dụng công thức ) dx ∫ ( ax + b= α (ax + b)α +1 +C a α +1 (2x + 1) = + = +C f(x)dx (2x 1) dx ∫ ∫ b/ sử dụng công thức = ∫ cos(ax + b).dx sin ( 3x − ) + C = ∫ cos ( 3x − 2= )dx ∫ f(x)dx c/ sử dụng công thức dx ∫ ax = +b dx dx ∫ = = ∫ = ∫ f(x)dx 7x + 7x + d/ sử dụng công thức ∫ f(x)dx =∫ e −x sin(ax + b) + C a dx ∫e= ax + b ln ax + b + C a ln 3x − + C ax + b e +C a dx = e − x + C = −e − x + C −1 ( ý hệ số a -1 ) (7 − 3x)11 e/ giống a/ ∫ f(x)dx = +C ∫ (7 − 3x) dx = −3 11 10 Điền vào ô trống a/ ∫ (7 − 4x)5dx = dx c/ ∫ ( x + 1) e/ ∫e −x = dx = Đt : 0914.449.230 (Zalo – Facebook) dx b/ ∫ 2x + = d/ ∫e f/ ∫ cos ( −π x ) = 8x + dx = dx BIÊN HÒA – ĐỒNG NAI GV : ThS Nguyễn Vũ Minh NGUYÊN HÀM - TÍCH PHÂN Bài tập : Tìm họ nguyên hàm hàm số sau 1/ f(x) = sin x ; / f(x) = sin 7x 5/ f(x) = sin x ; 6/ f(x) = sin x cos x 8/ f(x) = sin x sin 6x ; 10 / f(x) cosx ( + cosx ) = ; 3/ f(x) = cos x ; ; 4/ f(x) = cos x / f(x) = sin x cos x / f(x) = cos x cos x ; 11 / f(x) cosx ( sin 3x + sinx ) ; = ♥ Giải : Đt : 0914.449.230 (Zalo – Facebook) BIÊN HÒA – ĐỒNG NAI GV : ThS Nguyễn Vũ Minh NGUYÊN HÀM - TÍCH PHÂN Bài tập : Tìm họ nguyên hàm hàm số sau / f(x) = 4/ f(x) = x + 3x − 6x + ; x +1 π  cos  2x +  4  ; x +9 − x 2/ f(x) = / f(x) = ; −6x + 2x − 3/ f(x) = 3x − 6x + 2x + 6/= f(x) cos x − sin x ♥ Giải : Bài tập : Tìm họ nguyên hàm hàm số sau 1/ (HV Quan Hệ Quốc Tế - 1997) f(x) = ( sin x + cos4 x ) ( sin x + cos6 x ) 2/ (ĐH Ngoại Thương – 1998- Khối A) f(x) = Đt : 0914.449.230 (Zalo – Facebook) x4 + x2 +1 x2 + x +1 BIÊN HÒA – ĐỒNG NAI GV : ThS Nguyễn Vũ Minh NGUYÊN HÀM - TÍCH PHÂN 3/ (ĐH Ngoại Thương – 1998- Khối D) f(x) = x + 2x + + x x2 + x +1 4/ (ĐH Ngoại Thương – 2000 - Khối D) f(x) = cos2x sinx + cosx  x −1  / f(x) =    x+2 / f(x) = cos x cos x sinx ♥ Giải : Đt : 0914.449.230 (Zalo – Facebook) BIÊN HÒA – ĐỒNG NAI GV : ThS Nguyễn Vũ Minh Ví dụ : a/ Tìm A, B cho b/ Tính I = ∫ 3x + A B = + x + 4x + x + x + ( x ≠ −1; ) 3x + dx x + 4x + 3x + A B A ( x + 3) + B ( x + 1) = + ⇔ 3x + = x + 4x + x + x + Giải :a/ A+B = = A ⇔ +B = 3A= B ( A + B ) x + 3A + B ⇔  ⇔ 3x + = b/= I NGUYÊN HÀM - TÍCH PHÂN ∫x 3x + = dx + 4x +   dx ∫  x + + x + = ln x + + ln x + + C Bài tập : Tính nguyên hàm số sau ( sử dụng pp …………… … ) A=∫ 3x + dx x + 4x − ; B=∫ x+7 dx x + 8x − D=∫ dx x ( x + 1) ; E=∫ x2 −1 dx ; ( x + )( x − )( x − 3) F=∫ −x dx x + x −6 ; 2 G=∫ dx x + 7x + 12 C=∫ ; ; F=∫ dx x −x−2 −8 dx x + 10x + ♥ Giải : Đt : 0914.449.230 (Zalo – Facebook) 10 BIÊN HÒA – ĐỒNG NAI GV : ThS Nguyễn Vũ Minh NGUYÊN HÀM - TÍCH PHÂN Bài tập : Tính tích phân sau R=∫ x + 3x + dx x + 3x + J=∫ 3x + dx x − 5x − I1 = ∫ π I3 = ∫ 2xdx x2 − I4 = dx x − 3x + 2 π π  ∫0 sin  − x  dx − cot x dx cos x π I5 = ∫ ♥ Giải : Đt : 0914.449.230 (Zalo – Facebook) 30 BIÊN HÒA – ĐỒNG NAI GV : ThS Nguyễn Vũ Minh NGUYÊN HÀM - TÍCH PHÂN Bài tập : Tính tích phân sau x(x − 1) dx (Dự Bị D – 2007) x2 − I6 = ∫ π 4sin x I8 = ∫ dx (ĐH Đà Nẵng – 1998) + cos x π π I7 = ∫ sin 2x cos x.dx x − 2x − 38 I= ∫1 x − dx= + ln π (ĐH Bách Khoa – 1994) = = I10 ∫= cos x.dx I11 2 π sin x.dx ∫= 3π (ĐH Hùng Vương – 1997) 16 ♥ Giải : Đt : 0914.449.230 (Zalo – Facebook) 31 BIÊN HÒA – ĐỒNG NAI GV : ThS Nguyễn Vũ Minh NGUYÊN HÀM - TÍCH PHÂN Bài tập : Tính tích phân sau : I1= ∫x + x − 2x dx = I2 −2 I4 = ∫ −4 ∫ I5= x − 6x + 9.dx= ∫x −1 ∫x − 4x + 3dx= −2 − 2x − x + dx= + 5x + − x )dx 56 (HVCN BCVT – 1998) I7 = 12 ∫ ( + x ) dx = 2 ∫ ( 3x 71 x − 4dx = I= = I3 − x dx (D – 2003) I= ∫x 2 −2 37 (ĐH SP Tp.HCM – 1999) 12 π I9 = 2 (ĐH KTCN – 1999) ∫ + cos 2x.dx = ♥ Giải : Đt : 0914.449.230 (Zalo – Facebook) 32 BIÊN HÒA – ĐỒNG NAI GV : ThS Nguyễn Vũ Minh NGUYÊN HÀM - TÍCH PHÂN 3) Phương pháp đổi biến số cần nhớ : β I = ∫ f(u(x)).u'(x)dx ta đặt t= u(x) ⇒ dt= u'(x).dx α x α β t u(α) u(β) Sau đổi cận u(β) Suy I = ∫ f(t).dt sau giải bình thường công thức tích phân u(α) Ví dụ : Tính tích phân : I = ∫ x (1 − x ) dx J= ∫ 0 π 4x K=∫ dx x2 +1 π tanxdx cos x cosx.dx + sin x L=∫ Giải : ☺ a/ Viết lại I dạng: = I ∫ x (1 − x ) 3 x dx Đặt t = − x suy dt = −3x dx Đổi cận: ☻ x = t = ☻ x = t = 1 1 11  Khi đó: I = − ∫ (1 − t)t dt =− (1 t)t dt = (t − t )dt =  t − t  = ∫ ∫ 31 30 30 3  168 ☺ b/ J = 1 4x ∫ dx Đặt u = x + x +1 suy ra: u = x + ⇒ 2udu = 2xdx ⇔ udu = xdx Đổi cận: ☻ Với x = u = Từ đó:= J ∫ 4x ☻ Với x = u = 2 udu = dx ∫ = ∫= du 4= u u x2 +1 1 π ☺ c/ K = ∫ tanxdx cos x Đặt u = tanx suy du = Đổi cận: ☻ x = u = π tanxdx Từ đó: = K ∫ = cos x ☻ x= π dx cos x u = 1 udu = u ∫0= 2 Đt : 0914.449.230 (Zalo – Facebook) 33 BIÊN HÒA – ĐỒNG NAI GV : ThS Nguyễn Vũ Minh NGUYÊN HÀM - TÍCH PHÂN π cosx.dx + sin x ☺d/ L = ∫ Đặt u = sinx, suy du = cosx.dx Đổi cận: ☻ Với x = u = π cosx.dx du = ∫ = ln + u Từ đó: L = ∫ + sin x + u ☻ Với x = π u = = ln − ln1 = ln Bài tập : Tính tích phân sau : I1 = ∫ (1 + 3x)(1 + 2x + 3x I2 = 10 ) dx π I3 = ∫x − x dx = 2 cos x ∫0 + sin x dx (CĐ Marketing – 97) 15 (ĐH Ngoại Thương – 96) = I4 ∫ x(1 − x) 19 dx ♥ Giải : x5 Bài tập : Tính tích phân sau : I = ∫ dx = J x +1 Đt : 0914.449.230 (Zalo – Facebook) 34 dx ∫= x x +4 5 ln (A – 2003) BIÊN HÒA – ĐỒNG NAI GV : ThS Nguyễn Vũ Minh NGUYÊN HÀM - TÍCH PHÂN ♥ Giải : Bài tập : Tính tích phân sau : = I1 I4 = x dx 141 ∫0= 20 1+ x2 ∫x dx x −1 = I2 ∫ x − xdx I5 = x 12 = ∫1 2x + dx ( Dự Bị A – 2008) − I3 = ∫ x2 − dx x3 π cosxdx π sin x − 5sin x + I6 = ∫ ♥ Giải : Đt : 0914.449.230 (Zalo – Facebook) 35 BIÊN HÒA – ĐỒNG NAI GV : ThS Nguyễn Vũ Minh NGUYÊN HÀM - TÍCH PHÂN Bài tập : Tính tích phân sau : π sin xdx I1= ∫ = − ln cos x + ln I3 = ∫ = I2 π cosx ln dx ∫= 11 − sin x − cos x e 2x + 3e x 27 = ∫0 e2x + 3ex + 2dx ln 16 ln dx = I4 ex + ♥ Giải : Bài tập : Tính tích phân sau : 1 xdx I1 = ∫ x + 4x + 3 I4 = ∫ x + 2x x +1 I2 = dx= I5 ∫ x2 −1 23 dx = − 30 x +1 x dx ∫= 2x + 1 (ĐHQG – 1998) I3 = ∫ x3 1+ x2 dx π 15 I6 =∫ sin 2x(1 + sin x)3dx = ♥ Giải : Đt : 0914.449.230 (Zalo – Facebook) 36 BIÊN HÒA – ĐỒNG NAI GV : ThS Nguyễn Vũ Minh NGUYÊN HÀM - TÍCH PHÂN Bài tập : Tính tích phân sau : π I ∫ cos 2x(cos x + sin x)dx π cos xdx ∫= = M 0 π K sin x.cos xdx ∫= 2 3 15 (ĐHQG – 98) H = π sin xdx ∫= (ĐH KTCN – 99) 15 ♥ Giải : Đt : 0914.449.230 (Zalo – Facebook) 37 BIÊN HÒA – ĐỒNG NAI GV : ThS Nguyễn Vũ Minh NGUYÊN HÀM - TÍCH PHÂN Trắc nghiệm bổ sung e Câu 01 : Tính tích phân: I = ∫ e dx x C I = B I = A I = a x +1 dx ∫= x Câu 02 := Cho I D I = −2 e Khi đó, giá trị a là: A 1− e B e C e D −2 1− e π π sinxdx cosxdx Câu 03 : Cho I = ∫ J = ∫ Biết I = J giá trị I J bằng: s inx+cosx s inx+cosx 0 A B C D π π π π π Câu 04 : Đổi biến u = s inx tích phân ∫ sin x cos xdx thành: π π B ∫ u du A ∫ u 1− u du C ∫ u du 0 D ∫ u − u du 2x + dx = aln2 + b Thì giá trị a là: − x Câu 05 : Biết tích phân ∫ A B C D Câu 05 : Giả sử ∫ A dx = ln c Giá trị c 2x −1 B C D 81 C 4e D 3e − C D 81 dx= m + 16 ln giá trị m x+5 B C D 81 Câu 06 : Giá trị ∫ 2e x dx A e B e − Câu 07 : Giá trị ∫ x − dx −2 A B Câu 08 : Giả sử I= ∫ 4+ −1 A Đt : 0914.449.230 (Zalo – Facebook) 38 BIÊN HÒA – ĐỒNG NAI GV : ThS Nguyễn Vũ Minh NGUYÊN HÀM - TÍCH PHÂN 3  Câu 09 : Nghiệm phương trình ∫  4sin x − dx = khoảng ( 0; π ) là: 2 0 t A t = π B t = π C t = π D Đáp án khác Câu 10 : Các số A B để hàm = số f ( x) A.sin π x + B thỏa mãn đồng thời điều kiện f '(1) = π ∫ f ( x)dx = A A = −1, B = −1 B A = −π , B = π C A = −1, B = D A = −π , B = −π Câu 11 : Các số A B để hàm số = f ( x) A.sin x + B thỏa mãn đồng thời điều kiện f '(0) = π ∫ f ( x)dx = π là: A.= A 2,= B B A = −2, B = −2 C A = −1, B = −1 D.= A 1,= B π Câu 12 : Tính tích phân: I = ∫ cos3 x.sin xdx A I = − π 4 B I = −π C I = D I = − π Câu 13 : Tính tích phân I = ∫ sin xcos xdx A I = π π B I = B C I = π D I = π Câu 14 : Tính tích phân: = I ∫x − xdx A I = 15 B I = 15 C I = 15 D I = 15 C = I − D = I 5 − −1 Câu 15 : Tính tích phân:= I ∫ − xdx −2 A = I + 5 B I = − + Đt : 0914.449.230 (Zalo – Facebook) 39 BIÊN HÒA – ĐỒNG NAI GV : ThS Nguyễn Vũ Minh Câu 16 : Tính tích phân: I = ∫ x3 dx x4 + 1 B I = ln 2 A I = ln Câu 17 := Giả sử I NGUYÊN HÀM - TÍCH PHÂN x dx ∫= x +1 A C I = ln D I = ln C D 81 P giá trị Q Q B Bài tập : Tính tích phân sau : ln A= dx ∫ln3 ex + 2e− x − (B – 2006) e− x dx (ĐHQG – 1996) −x e + B=∫ ln 1076 (Dự Bị D – 2004) C =∫ e x + 1.e 2x dx = 15 ln3 = D ∫e dx = ln(e + e + 1) − (D – 2009) −1 x ♥ Giải : Đt : 0914.449.230 (Zalo – Facebook) 40 BIÊN HÒA – ĐỒNG NAI GV : ThS Nguyễn Vũ Minh TN : Giả sử = I dx ∫ −= e −x NGUYÊN HÀM - TÍCH PHÂN ln ( m + 1) giá trị m A e C e2 B 2e b TN : Biết D e3 b b : I ∫ (3f (x) − 5g(x))dx = ∫ f (x)dx = 10 ∫ g(x)dx = Khi giá trị tích phân a a A : a B C D Bài tập : Tính tích phân sau : E= ∫ x + e + 2x e 1 + 2e (A – 2010) dx= + ln x + 2e 3 x x π G sin2x + sin x 34 (A – 2005) dx ∫0= 27 + 3cos x π π F= − (A – 2009) ∫0 (cos x − 1) cos x.dx = 15 H = π sin2x.cosx dx ln − (B – 2005) = + cosx ∫ ♥ Giải : Đt : 0914.449.230 (Zalo – Facebook) 41 BIÊN HÒA – ĐỒNG NAI GV : ThS Nguyễn Vũ Minh NGUYÊN HÀM - TÍCH PHÂN Bài tập : Tính tích phân sau : + 3ln x.ln x 116 (B – 2004) L = dx ∫1= x 135 e K e dx 5e ln x ∫0= 4+e e+4 = I2 − 2lnx 10 − 11 (Dự Bị B – 2006) dx ∫1= x + 2lnx I3 = e 2x dx ln + e − (ĐH Văn Lang – 1996) ∫0 ex = e +1 +1 ♥ Giải : Bài tập 10 : Tính tích phân sau 2x −1 dx= − 3ln2 I= ∫ x +1 J= ∫ ∫x − x dx = (x + 1) = K dx = + ln (D – 2013) x2 +1 H= (CĐ – 2010) π 2 −1 (B – 2013) sin2x dx ∫= cos x + 4sin x 2 (A – 2006) ♥ Giải : Đt : 0914.449.230 (Zalo – Facebook) 42 BIÊN HÒA – ĐỒNG NAI GV : ThS Nguyễn Vũ Minh NGUYÊN HÀM - TÍCH PHÂN Bài tập 11 : Tính tích phân sau I e = J 6x ln ( 3x + x 2=  dx − 2lnx ln (Thi Thử D – 2012) )  +1  ∫ 3x lnx dx ∫ x(2 + lnx)= 3 (B – 2010) ln   − 2 ♥ Giải : Đt : 0914.449.230 (Zalo – Facebook) 43 BIÊN HÒA – ĐỒNG NAI GV : ThS Nguyễn Vũ Minh x.dx a a – b b ∫= ( x + 1) TN : Giả sử I = NGUYÊN HÀM - TÍCH PHÂN A –3 B –9 TN : Giả sử dx a ∫ x + = ln b C –5 D –7 (với a, b số tự nhiên ước chung lớn a, b 1) Chọn khẳng định sai khẳng định sau: A a − b > B a + b = 41 C 3a − b < 12 D a + 2b = 13 TN : Nếu 3 ∫ f ( x)dx = ∫ f ( x)dx = ∫ f ( x)dx A C có giá trị B D TN : Cho = I ∫ x( x − 1) dx u= x − Chọn khẳng định sai khẳng định sau: 1 A.= I ∫ (u + 1)u du B I =  u6 u5  C.= I  +   0 13 42 D = I ∫ x(1 − x) dx Bài tập 12 : Tính tích phân sau x +1 46 dx ∫0= 15 3x + 7/3 = I = J x+2 dx ∫= x +1 141 10 ♥ Giải : Đt : 0914.449.230 (Zalo – Facebook) 44 BIÊN HÒA – ĐỒNG NAI [...]... Tích phân 1 ∫x 0 4 x + 11 dx có cận dưới là và cận trên là + 5x + 6 2 π Ví dụ 03 : Tích phân 5 ∫π sin − πx 3 dx có cận dưới là và cận trên là 3 1 ∫ x ( 2x − 1) dx = Ví dụ 04 : Tích phân = A 3 0 1 ∫ x (x Ví dụ 05 : Tích phân I = 2 + 1) dx = 2 0 A B Khi đó giá trị của A là : A 4 2) Tính chất của tích phân : B 7 a 1) C 5 b D 6 b b a a 3) ∫ [ f(x) ± g(x) ]dx = ∫ f(x)dx ± ∫ g(x)dx ∫ f(x)dx... ThS Nguyễn Vũ Minh NGUYÊN HÀM - TÍCH PHÂN Chủ đề 2 : TÍCH PHÂN XÁC ĐỊNH b = ∫ f(x)dx 1) Định nghĩa : F(x) = F(b) − F(a) a b a với ∫ là ; a là ; ; b là ; Ví dụ 01 : ……………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………… Ví dụ 02 : Tích phân 1 ∫x 0 4 x + 11 dx có cận... (Zalo – Facebook) 32 BIÊN HÒA – ĐỒNG NAI GV : ThS Nguyễn Vũ Minh NGUYÊN HÀM - TÍCH PHÂN 3) Phương pháp đổi biến số cơ bản cần nhớ : β I = ∫ f(u(x)).u'(x)dx ta đặt t= u(x) ⇒ dt= u'(x).dx α x α β t u(α) u(β) Sau đó đổi cận u(β) Suy ra I = ∫ f(t).dt sau đó giải bình thường bằng công thức tích phân cơ bản u(α) Ví dụ : Tính các tích phân : 3 1 I = ∫ x (1 − x ) dx 5 J= 3 6 ∫ 0 0 π 4 4x K=∫ dx x2 +1 0 π 2 tanxdx... Tính các tích phân sau đây : I = ∫ 2 dx = J x +1 0 Đt : 0914.449.230 (Zalo – Facebook) 34 2 3 dx ∫= x x +4 2 5 1 5 ln (A – 2003) 4 3 BIÊN HÒA – ĐỒNG NAI GV : ThS Nguyễn Vũ Minh NGUYÊN HÀM - TÍCH PHÂN ♥ Giải : Bài tập 3 : Tính các tích phân sau... NGUYÊN HÀM - TÍCH PHÂN Bài tập 3 : Tính các tích phân sau đây... 0914.449.230 (Zalo – Facebook) 30 BIÊN HÒA – ĐỒNG NAI GV : ThS Nguyễn Vũ Minh NGUYÊN HÀM - TÍCH PHÂN Bài tập 4 : Tính các tích phân sau đây x(x − 1) dx (Dự Bị D – 2007) x2 − 4 1 I6 = ∫ 0 π 4sin 3 x I8 = ∫ dx (ĐH Đà Nẵng... Đt : 0914.449.230 (Zalo – Facebook) 31 BIÊN HÒA – ĐỒNG NAI GV : ThS Nguyễn Vũ Minh NGUYÊN HÀM - TÍCH PHÂN Bài tập 5 : Tính các tích phân sau đây : 1 I1= ∫x 2 3 + x − 2x dx = I2 2 −2 3 I4 = ∫ −4 ∫ I5= x 2 − 6x + 9.dx= ∫x −1 3 ∫x 2 − 4x + 3dx= −2 − 2x 2 − x + 2 dx= 2 + 5x + 1 − x )dx 56 (HVCN BCVT – 1998) 3 2 I7 = 12... Nguyễn Vũ Minh NGUYÊN HÀM - TÍCH PHÂN b/ B = ∫ 2x + 4 dx Đặt t = x 2 + 4x − 5 ⇒ dt = x + 4x − 5 Vậy B= ∫ 2 ( 2x + 4 ) dx dt = ln t + C= ln x 2 + 4x − 5 + C t ln 5 x dx c/ C = ∫ dx ; đặt t = ln x ⇒ dt = x x t6 ln 6 x Vậy C = ∫ t dt = +C = +C 6 6 5 ex d/ D = ∫ x dx e +1 ∫ Vậy : D= ; đặt t = e x + 1 ⇒ dt = e x dx dt = ln t + C= ln e x + 1 + C t CÁCH ĐỔI BIẾN SỐ CẦN NHỚ Dạng Tích Phân Cách Giải + Nếu bậc... (Zalo – Facebook) 33 BIÊN HÒA – ĐỒNG NAI GV : ThS Nguyễn Vũ Minh NGUYÊN HÀM - TÍCH PHÂN π 2 cosx.dx 1 + sin x 0 ☺d/ L = ∫ Đặt u = sinx, suy ra du = cosx.dx Đổi cận: ☻ Với x = 0 thì u = 0 π 2 1 cosx.dx du = ∫ = ln 1 + u Từ đó: L = ∫ 1 + sin x 0 1 + u 0 ☻ Với x = 1 0 π 2 thì u = 1 = ln 2 − ln1 = ln 2 Bài tập 1 : Tính các tích phân sau đây : 1 I1 = ∫ (1 + 3x)(1 + 2x + 3x 1 I2 = 2 10 ) dx 0 π I3 = ∫x 3... a b b b a a a 7) nếu A ≤ f(x) ≤ B thì ∫ A.dx ≤ ∫ f(x).dx ≤ ∫ B.dx ( A, B là hằng số ) Đt : 0914.449.230 (Zalo – Facebook) 28 BIÊN HÒA – ĐỒNG NAI GV : ThS Nguyễn Vũ Minh NGUYÊN HÀM - TÍCH PHÂN Bài tập 1 : Tính các tích phân sau đây : 1 = A ln 2 ∫ x ( 2x − 1) dx B = 2 0 π D= C=∫ 0 π 4 ∫ cos4x.cos3x.dx π ∫ 2 e x ( 3e − x − 5 ) dx 6 π 6 −π x.e x 1 ∫ E= (1 + x ) e x − x dx F= sin3x.sinx.dx 4 ∫ sin 2 xdx