Netschool.edu.vn CÁC PHƯƠNG PHÁP TÌM NGUYÊN HÀM * Để tìm họ nguyên hàm hàm số y=f(x) , có nghĩa ta tính tích phân bất định : I   f ( x)dx Ta có ba phương pháp : - Phương pháp phân tích - Phương pháp đổi biến số - Phương pháp tích phân phần Do điều quan trọng f(x) có dạng để ta ngiên cứu phân tích chúng cho sử dụng bảng nguyên hàm để tìm nguyên hàm chúng Hoặc sử dụng hai phương pháp lại - Sau số gợi ý giúp em nhận biết dạng f(x) mà có phương pháp phân tích cụ thể , từ tìm nguyên hàm chúng Bảng nguyên hàm Nguyên hàm hàm số thường gặp Nguyên hàm hàm số sơ cấp thường gặp  dx  x  C  x  dx  x  1  C   1  1  x  ln x  C x  0  e dx  e  C dx x x ax  C 0  a  1 ln a cos xdx  sin x  C    sin xdx   cos x  C  cos x dx  tan x  C a x dx   sin x dx   cot x  C   ax  b dx  a  ax  b   C  ax  b        dx  ax  b  a  1  1  C   1 dx  ln ax  b  C x  0 ax  b a e axb dx  e axb  C a cosax  b dx  sin ax  b   C a sin ax  b dx   cosax  b   C a 1 dx  tanax  b   C a cos ax  b  1 dx   cotax  b   C a sin ax  b  Nguyên hàm hàm số hợp  du  u  C  u  du  u  1  C   1  1  u  ln u  C u  0  e du  e  C du u u au  C 0  a  1 ln a cos udu  sin u  C    sin udu   cos u  C  cos u du  tan u  C a u dx   sin u du   cot u  C PHƯƠNG PHÁP TÌM NGUYÊN HÀM BẰNG CÁCH PHÂN TÍCH I.TRƯỜNG HỢP : f(x) LÀ MỘT HÀM ĐA THỨC  f ( x)  an xn  an1 x n1   a0 A.CÁCH TÌM Sử dụng công thức tìm nguyên hàm hàm số : f(x)= x  F ( x)  x 1  C  1 an n1 an1 n x  x   a0 x  C n 1 n B MỘT SỐ VÍ DỤ MINH HỌA Do nguyên hàm f(x) :  F  x   Netschool.edu.vn Netschool.edu.vn Ví dụ Tìm nguyên hàm hàm số sau 1   x  x3  x  x   dx 4   me 4m   mx3  3x  x     7m  dx  x  2a x  log3 x  2sin x  3cos x  dx x 2x       3x  t anx+3x-2  dx  x   GIẢI 1 1   x  x3  x  x   dx  x5  x  x  x  x  C 20 4  4m m 4m   mx3  3x  x     7m  dx  x  x3   x  1    7mx  C x 2x 2.x 2.x   x 2a    me x  2a x  log3 x  2sin x  3cos x  dx  me x  x ln x  x   cos2x+ sin x  C ln a ln x 3      3x  t anx+3x-2  dx  x   ln cosx  x  x  C ln  x  II TRƯỜNG HỢP f(x)LÀ PHÂN THỨC HỮU TỶ : fx)= P( x) Q( x) * Trường hợp : Bậc P(x) cao bậc Q(x) , phép chia đa thức ta lấy P(x) chia cho Q(x) đa thức A(x) số dư R(x) mà bậc R(x) thấp bậc Q(x) Như tích phân A(x) ta tính ( trình bày trên) Do ta ngiên cứu cách tìm nguyên hàm f(x) trường hợp bậc tử thấp bậc mẫu , nghĩa f(x) có dạng : f ( x)  R( x) Q( x) Trước hết ta ngiên cứu cách tìm nguyên hàm f(x) có số dạng đặc biệt Hàm số f(x) có dạng : I    * Ta phân tích : ax  bx  c  a  x   dx ax  bx  c  a  0 b       , mà ta biết lớp 10 2a  4a  * Xét ba trường hợp  Ta có ba dạng f(x) ta có ba cách tìm nguyên hàm gợi ý sau :  b    b  u  x  ; k    2a 2a - Nếu :      0ax  bx  c  a  x       2a  4a   2  a  u  k   b   b   - Nếu :    a  x      au u  x   2a  4a  2a    Netschool.edu.vn Netschool.edu.vn  b    - Nếu :    a  x      a  x  x1  x  x2  2a  4a    b   b    ; x2   x1   2a 2a   Do tích phân giải sau : - Trường hợp :   , I   1 dx   du ax  bx  c a u  k2 * Nếu đặt :  1 u  tan t  du  cos 2t dt  1  tan t  dt I   du   a u k a.k u  k  k tan t  k  k 1  tan t    1  tan t  1  tan t  dt 2 t dt   C ( với : u  tan t  t  arctanu )  a.k ak 1 1 - Trường hợp :  =0 : I   dx   du     C b  ax  bx  c u u  x  2a   1 1 dx   dx   C Hay : I   2 b  ax  bx  c a   b  a x   x  2a   a    - Trường hợp :   : I   1 1 1  dx   dx     dx  ax  bx  c a  x  x1  x  x2  a  x2  x1   x  x2 x  x1  x  x2 1 ln x  x1  ln x  x2   ln C  a  x2  x1  a  x2  x1  x  x1 Ví dụ Hãy tính tích phân sau : a x dx  x 1 b x dx  2x  GIẢI 1 1 3  dx   dx Đặt :  x    tan t  dx   tan t  dt  2  x 1 4 2  1  3  x       4    1 3  dx   1  tan t  dt   dt  t  C 3 x  x 1 4  tan t    4 2 3 Với :  x    tan t  t  arctan   4   4x-1  a x Netschool.edu.vn Netschool.edu.vn b x  1 dx    2x   x  1   2 dx Đặt : x   tan t  dx  1  tan t  dt 1 1 dx   1  tan t  dt   dt  t  C x  2x  2  tan t  1 Với : x   tan t  tan t  x 1  x 1   t  arctan     Ví dụ Tìm nguyên hàm hàm số sau a x dx  4x  b  9x dx  12 x  GIẢI a x b  9x 1 dx   dx   C  4x  x2  x  2 1 1 1 dx   dx   dx   C 2  9x   12 x   9 2 2  9 x   x  x  3  3 3   Ví dụ Tìm nguyên hàm hàm số sau a  dx x  3x  b  4x dx  3x  GIẢI a x 1 1 x2 dx  dx   dx   dx  ln x   ln x   ln C   3x  2   x  1 x   x2 x 1 x 1    1 1 1 1 dx  dx    dx   dx   b   1 x  3x   1   x 1  x 1    x    x  1   4  4  1 1 x 1  x  1 ln x   ln x    ln  C  ln C  3  x 4x 1 Hàm số f(x) có dạng : f ( x)  Ax+B ax  bx  c * Ta có hai cách tìm -Cách : Biến đổi tử số thành dạng : Ax+B=d(ax  bx  c)  D   2ax  b  dx  D d  ax  bx  c   2ax  b  dx  ln ax  bx  c  C Ax+B dx    +) Nếu D=0 :  2 ax  bx  c ax  bx  c ax  bx  c Netschool.edu.vn Netschool.edu.vn d  ax  bx  c   2ax  b  dx  D Ax+B +)Nếu D  :  dx    dx 2  ax  bx  c ax  bx  c ax bx c ax bx c  ln ax  bx  c  D  dx  C ax  bx  c Trong :  dx , biết cách tìm ý ax  bx  c -Cách hai :( Chỉ áp dụng cho trường hợp mẫu số có hai nghiện thực x1  x2 ) +) Ta biến đổi : Ax+B Ax+B 1 M N       ax  bx  c a  x-x1  x  x2  a  x  x1 x  x2  * +) Sau quy đồng mẫu số vế phải thành :  M  x  x2   N  x  x1    M  N  x   Mx2  Nx1    a   x  x1  x  x2   a  x  x1  x  x2  M  N  A +) Đồng hệ số hai tử số , ta có hệ :  Từ suy M,N   Mx2  Nx1   C +) Thay M,N vào (*) ta tính tích phân :  ax  M Ax+B 1 M N N dx    dx   dx   ln x  x1  ln x  x2  C  bx  c a  x  x1 x  x2  a a * Chú ý : Ta tìm M,N cách khác thay hai nghiệm mấu số vào hai tử số , ta hai phương trình Từ hai phương trình ta suy M,N Các bước lại làm CÁC VÍ DỤ ÁP DỤNG Ví dụ Tìm nguyên hàm hàm số sau a x 2( x  1) dx  2x  b 2  x   dx  4x  x GIẢI d  x  x  3 2( x  1) 2x  2 dx  dx   x  x   x  x   x2  x   ln x  x   C d  x  x  3  x   dx x  4dx    ln x  x   C b  2   x  4x  x  4x  x  4x  a Ví dụ Tìm nguyên hàm hàm số sau a x 3x  dx  2x  b GIẢI Netschool.edu.vn x 2x  dx  4x  Netschool.edu.vn a.Cách E  x  2  D 2E  D  2E 3x  Đồng hệ số hai tử số ta có hệ phương   x  2x  x2  x  x  2x  3   2x  2 E  E   3x   trình :      2 2 x  x  x  x  x  x  D  2E    D  1 Ta có : 2 3x  d  x  x  3 Vậy :  dx    dx  ln x  x   J 1 x  2x  x  2x  x  2x  1 1 x 1  dx    dx   dx   ln x   ln x   ln C Tính :J=  x  2x   x 1 x3  4 x3 3x  x 1 dx  ln x  x   ln C Do :  x  2x  x3 -Cách Ta có : +) A  x  3  B  x  1  A  B  x  3A  B 3x  3x  A B     *  x  x   x  1 x  3 x  x   x  1 x  3  x  1 x  3  A  A  B    Đồng hệ số hai tử số ta có hệ :  3 A  B   B   3x  Suy :   x  x   x  1  x  3 Vậy : x 3x  7 dx   dx   dx  ln x   ln x   C  2x  x 1 x3 4 +) Phân tích f(x) đễn (*) Sau thay hai nghiệm x=1 x=3 vào hai tử số để tìm   A  3.1   A(1  3)  A,B , cụ thể ta có hệ hai phương trình sau :  3(3)   B(3  1) B   Các bước giống E  x    D Ex  D  E 2x    Đồng hệ số hai tử số : x  4x  x2  x  x  4x  2 E  E  Ta có hệ     D  E  3  D  7 2x  2x    Suy : x  4x  x  4x  x  4x  2x  2x  dx   dx   dx  ln x  x   C Vậy :  2 x  4x  x  4x  x2  x  2 b Ta có : TỔNG QUÁT : a Trường hợp mẫu số nghiệm thực có nghiệm thực (Tức mẫu số vô nghiệm) Netschool.edu.vn Netschool.edu.vn * Ta phân tích ví dụ 5- cách b Trường hợp mẫu số có nhiều nghiệm thực đơn * Ta phân tích giống ví dụ 5a- cách c Trường hợp mẫu số có trường hợp nghiệm thực trường hợp có nhiều nghiệm thực đơn * Ta sử dụng hai phương pháp CÁC VÍ DỤ MINH HỌA Ví dụ Tìm nguyên hàm hàm số sau a  3x  3x  12 dx  x  1 x   x b x2  x    x  1 x   x   dx GIẢI 3x  3x  12 A B C Ax  x+2   Bx  x  1  C  x  1 x        x  1 x   x x  x  x  x  1 x   x a.Ta phân tích f(x)= Bằng cách thay nghiệm thực mẫu số vào hai tử số ta có hệ :  x   18  A  A  6     x  2  18  B  B   f ( x)  x 1 x  x  x   12  2C  C  6  Vậy : 3x  3x  12 6    x  1 x  2 x dx    x   x   x  dx  6ln x   3ln x   6ln x  C b Ta phân tích A  x   x    B  x  1 x    C  x  1 x   x2  2x  A B C f(x)=      x  1 x   x   x  x  x   x  1 x   x   Bằng cách thay nghiệm mẫu số vào hai tử số ta có hệ : x   A   x  3     x   14  2 B  x  7  f ( x)  x 1 x  x   x   30  6C  C   Vậy x2  x      x  1 x  2 x  4 dx    x   x   x   dx  3ln x   ln x   5ln x   C Ví dụ Tìm nguyên hàm hàm số sau a x2  x 1   x  1  x2  1 dx b GIẢI Netschool.edu.vn x2    x  1  x  3 dx Netschool.edu.vn a Trong trường hợp ,mẫu số chứa biểu thức có nghiệm thực nghiệm thực Các em ý đến cách phân tích sau x2  2x 1 A Bx  C A  x  1   x  1 Bx  C  Ta có f(x)=    1  x  1  x  1 x  x2   x  1  x  1 Thay x=1 vào hai tử ta dược : 2= 2A, A=1 Do (1) trở thành : 1 x  1   x  1 Bx  C   x  1  x  1   B  1 x   C  B  x   C  x  1  x  1 B   B   Đồng hệ số hai tử số , ta có hệ : C  B   C   f ( x)   x 1 x 1 1  C  1  A    Vậy : x2  x 1 1   x  1  x2  1 dx   x  dx  2 x2  dx  ln x   J  C   * Tính J =  dx Đặt : x 1   x  tan t  dx  1  tan t  dt  2  x   tan t   1 dx   1  tan t  dt   dt  t ; : x  tan t  t  arctanx 1  tan t x2  2x 1 dx  ln x   arctanx+C Do , thay tích phân J vào (2) ta có :   x  1  x2  1 Cho nên : x b.Ta phân tích f(x)= x2   A  B  C D  x 1 x   x  1  x  3  x  1  x  1 A  x  3  B  x  1 x  3  C  x  1  x  3  D  x  1   x  1  x  3 3   x    A  A  Thay x=1 x=-3 vào hai tử số ta :   x  3  10  64 D  D    32 Thay hai giá trị A D vào (*) đồng hệ số hai tử số ta có hệ hai phương trình  0  C  D  C   D  32 5  f ( x)      32  x  3  x  1  x  1 32  x  1 1  A  3B  3C  D  B     x 1 5 dx       Vậy :     x  13  x  12 32  x  1 32  x  3  dx  x  1  x  3   5 x 1    ln x   ln x   C     ln C 2 32  x  1  x  1 32  x  1  x  1 32 x  Netschool.edu.vn Netschool.edu.vn III NGUYÊN HÀM CÁC HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC Để xác định nguyên hàm hàm số lượng giác ta cần linh hoạt lựa chọn phương pháp sau : Sử dụng dạng nguyên hàm Sử dụng phương pháp biến đổi lượng giác đưa nguyên hàm Phương pháp đổi biến Phương pháp tích phân phần A SỬ DỤNG CÁC DẠNG NGUYÊN HÀM CƠ BẢN BÀI TOÁN Xác định nguyên hàm hàm số lượng giác việc sử dụng nguyên hàm Dạng 1.: Tính tích phân bất định : I   dx sin  x  a  sin  x  b  Ta thực theo bước sau :  Bước 1: Sử dụng đồng thức : 1= sin  a  b  sin  x  a    x  b    sin  a  b   a  b  Bước 2: Ta : I  sin  x  a    x  b   dx  dx  sin  x  a  sin  x  b  sin  a  b  sin  x  a  sin  x  b   sin  x  a  cos  x-b   sin  x  b  cos  x-a  dx  sin  a  b  sin  x+a  sin  x  b    cos  x+b  cos  x+a   1 ln sin  x  b   ln sin  x  a   dx  dx    sin  a  b   sin  x  b  sin  x+a   sin  a  b    sin  x  b  ln C sin  a  b  sin  x  a  * Chú ý Phương pháp áp dụng cho dạng tích phân sau : I   sin  a  b  dx , sử dụng đồng thức :  cos  x+a  cos  x+b  sin  a  b  dx  sin  x  a  cos  x+b  , sử dụng đồng thức : 1 Netschool.edu.vn cos  a-b  cos  a-b  Netschool.edu.vn Ví dụ Tìm họ nguyên hàm hàm số : f ( x)    cosx.cos  x+  4  Giải  Cách Sử dụng đồng thức :  cos cos        cos  x+   x     cos       2cos  x+   x  4           cos  x+   x  cos  x+  cosx+sin  x+  s inx 4  4 4   Ta có : F ( x)    dx   dx     s inx.cos  x+  s inxcos  x+  4 4       sin  x+    cosx  s inx 4     =  dx   dx   ln s inx  ln cos  x+    ln C          s inx   cos  x+  cos  x+     4    Cách : Dựa đặc thù hàm số f(x) Ta có : 1 1 dx   dx   dx   dx cosx  s inx  sinx-cosx  s in x  cotx-1    s inxcos  x+  s in x 1  4  sinx  d  cot x  d  cot x  1   2   2   ln cot x   C cot x  cot x  dx Dạng 2: Tính tích phân bất định : I   s inx+sin F ( x)   Ta thực theo bước sau :  Bước Biến đổi I dạng :  Bước 2: Áp dụng toán để giải (1) * Chú ý : Phương pháp áp dụng cho dạng tích phân sau : dx ; m 1 s inx+m dx dx I  ; I   cosx+m cosx+cos I   m 1 Ví dụ 2: Tìm họ nguyên hàm hàm số : f ( x)  2sin x  Giải Biến đổi f(x) dạng : Netschool.edu.vn Netschool.edu.vn   a  d  x  x  x  x 1 dx cos x b    1+x dx c x dx 1 x4  x2  e f  1-x   cosx.ln  1+x  dx  2  ln x   x dx 1   cosx.ln  x+ x  s inx  x2  dx 1 GIẢI   a   x  x5  x3  x  dx  cos x Tính : J       x  x5  x3  x  x  x5  x3  x  dx  dx  J  K 0 cos x cos x x  x5  x3  x  dx Đặt : t = -x , suy dt=-dx : cos x  J            Vậy : I  J  K   dx   tan x  d  t anx    x  tan x      cos x   0   b  4 t  t  t  t   x  x5  x3  x  dt  J  dx  J  K  dx 4    cos t c os x c os x 0     cosx.ln x+ 1+x dx    Tính : J   cosx.ln  x+    1+x dx Đặt : t = -x suy dt =- dx   J    cos-t.ln -t+ 1+t   cosx.ln x+ 1+x dx   cosx.ln x+ 1+x dx  J  K       dt   cost ln t  2  1 t  dt   cosxln  x+ 1+x  dx  K 2 2  Vậy : I= J+K =0 c  1-x   1-x   1-x   cosx.ln  1+x  dx   cosx.ln  1+x  dx   cosx.ln  1+x  dx  J  K    Tính : J   J  1-x   1-x   1+t   1-t   1-x   cosx.ln  1+x  dx   cos(-t).ln  1-t  dt   cost.ln  1+t  dt   cosx.ln  1+x  dx   K    cosx.ln  1+x  dx Đặt : t = -x suy : dt =- dx , :  2 Vậy :  I  J  K  Netschool.edu.vn Netschool.edu.vn d       2  ln x   x dx   ln x   x dx   ln x   x dx  J  K 1     0 Tính : J   ln x   x dx Đặt : t = -x , suy : dt = - dx Cho nên :  1  1     J   ln x   x dx    ln(t   t )dt    ln t   t dt    ln x   x dx   K 1  1 Vậy : I  J  K  e x dx x dx x dx   1 x4  x2  1 x4  x2  0 x4  x2   J  K   x dx  x4  x2  Đặt : t = -x , suy : dt = -dx Cho nên : 1 0 1 x dx t dt t dt x dx J     1 t  t  0 t  t  0 x4  x2   K x  x2  1 Tính : J   Vậy : I=J+K=2K= 2  x dx Đặt : x  x2  1  du  xdx du du u  x2   K   2  2 u  u 1   x   u  0; x   u  1  3  u    2      du  dt  2cos t tan t   K  dt  Đặt : u   2  2cos 2t  tan t       u   t   ; u   t      t  Do : I  K     6 1 4 x  s inx x  s inx x  s inx f  dx   dx   dx  J  K 2 x  x  x  1 1 12 3  dt   Vậy : K   x  s inx Tính : J   dx Đặt : t = -x , suy : dt = -dx x2  1  x  s inx t  s int x  s inx Do : J   dx    dt   dx x2  t 1 x4  1  x  s inx x  s inx 2x dx dt J K  dx  dx  dx   H 4 4    x 1 x 1 x 1 x 1 t 1 0 0 0 1 1 Netschool.edu.vn 1 Netschool.edu.vn   du     4  dt  cos 2u du  Đặt : t  tan u   H    du  u  2 t   u  0; t   u   cos u 1  tan u  0   Vậy : I   Bài Tính tích phân sau :  a   b 2 1 x dx 1 e x c  1   xdx  sin x   d   sin x dx  cosx 1 x dx  2x x  cosx dx 4-sin x 2 f  e 1 GIẢI   a   sin x dx   cosx    K     sin x sin x dx   dx  J  K  cosx  cosx sin x dx Đặt : t = -x suy : dt = -dx  cosx  Tính : K     sin x sin t sin x dx    dt    dt    dx   K  cosx  cost  cosx  cos  t   0 2 Vậy : I=J+K =0  b sin  t     xdx   sin x 2 xdx xdx  J K   sin x  sin x   Tính : J   xdx   sin  x Đặt t = -x suy : dt = -dx ,  J      tdt tdt xdx     K  I  J  K  2    sin t  sin t  sin x 2  c    x  cosx dx  4-sin x  Tính : J      x  cosx x  cosx dx  dx  J  K  4-sin x 4-sin x x  cosx dx Đặt t = -x suy : dt = -dx , 4-sin x Netschool.edu.vn x dx  1 x  1 Netschool.edu.vn  J     t  cos(-t) t  cost  x  cosx (  dt )  dt  dx 2    sin (t ) 4-sin t 4-sin x 0 2    2    x  cosx x  cosx 2cosx  d  s inx  d (s inx   x  J K  dx  dx  dx      ln 0 4-sin x 0  sin x 4-sin x 0   s inx 2+sinx  2  x 0   Vậy : I=  ln  1 x x4 x4 d  x dx   x dx   x dx  J  K    1 1 0  x4 Tính : J   x dx Đặt : t = -x suy : dt = -dx , 1 1  x4 (t )4 2t t 2x x4 J x dx   t  dt   t dt   x dx 1 1 1 1 1 0 0 1 1 2x x4 x4 1 I J K  x dx   x dx   x dx  x5  1 1 5 0    x2  x2  x2 dx   dx   dx  J  K  2x  2x  2x 1  Tính : J  e 1 0  1 J  1 1  x2 dx Đặt t = -x , suy : dt = -dx Cho nên  2x 0 1  (t )2  x2 2x  x2 dx  J   dt  J  1   2 t 0 1  2x dx  2x 1 2x  x2  x2 I  J K  dx     x dx x x    0  1 * Ta tính :   x dx cách :     dx  costdt;1-x   sin t  cos 2t 12   I   cos tdt   1  cos2t  dt Đặt : x  sin t   x=0  t=;x=1  t=  20   1   Vậy : I   t  sin 2t   2   1 dx dx dx 1  e x  1 x2  1  1  e x  1 x2  1  0  e x  1 x2  1  J  K f  Tính : J   e 1 x dx Đặt : t = -x ,suy : dt = -dx Cho nên  1 x  1 Netschool.edu.vn Netschool.edu.vn dt et dt e x dx   0  et  1t  1 0  e x  1 x2  1 t  e  1 t  1 J   1  ex dx  Vậy : J  K    x  dx   x   e  1 x  1  x    e  1 x  1   dx  dt  dt dx cos t Tính :  Đặt : x  tan t   I  2 x 1  x   t  0; x   t   cos t 1  tan t        dt  t   4 0 Bài Tính tích phân sau :  sin x a  x dx   Vậy : I=  d   x2  1  2x dx 1 b c  4 1  s inxsin3xcos5x dx  ex e   x dx  1 x  1  sin x  cos x dx 6x   f  x s inx dx 1+2 x GIẢI   sin x sin x sin x dx  dx   3x   3x  0 3x  dx  J  K Nếu áp dụng toán dạng ( Như tập : 1-2 ) Thì ta viết gọn lại sau :    sin x 1   a  x dx   sin xdx   1  cos2x  dx   x  sin x   1 20 2 0  1 x2  1 1 b  dx  x  1 dx   x3  x      x  1 3 0 1 a 1 dx dx c  x   Đặt : x 1 1   1 x  1     dx  cos 2t dt dt x  tan t   I  2  x   t  0; x   t   cos t 1  tan t    d     s inxsin3xcos5x 1 1  dx  s inxsin3xcos5xdx=  cos3x+ cos7x- cosx- cos9x  dx x   1 e 4 4  0  1 1 1 146 1   I   sin 3x  sin x  s inx- sin x       28 36  12  12 28 36 369 Netschool.edu.vn  Vậy : I=  dt  t  0   Netschool.edu.vn     sin x  cos x 5  5  5  6 e  dx  sin x  c os x dx      cos4x  dx   x  sin x   x   1 8 32 32  8   0    f      x s inx   2 dx   x s inxdx=-  x d  cosx     x cosx   x cos xdx      K   K x 1+2 0   0     2   2      - Tính : K   x.cosxdx=  x.d (s inx)=x.sinx   s inxdx=  cosx   2 0 0   - Vậy : I  K    1    2  Bài Tính tích phân sau :  a   n cos x * 0 cosn x  sin n x dx  n  N  b  sin x 0 cos7 x  sin x dx c sin 2010 x d  2010 dx sin x  cos 2010 x s inx dx sinx  cosx   cos x e  dx sin x  cos x  sin x 0 sin x  cos6 x dx f GIẢI   dt  dx cos n x  * Đặt : dx n  N t  x  0 cosn x  sin n x  x   t   ; x    t   2      cos n   t   n n 2 sin t sin x      I    n dt   n dx  I   dx  x   I  n n sin t  cos t sin x  cos x      0 sin n   t   cos n   t  dt 0 2  2  a Tương tự cách làm phần a Các phần sau có kết    sin x  b  dx  I  dx  x  7  cos x  sin x 0  c   I  I   4 I  cos x  e  dx  I  dx  x   sin x  cos x 0   sin x  d  2010 dx  I  dx  x  2010  sin x  cos x 0 2010  s inx  dx  I   dx  x  sinx  cosx 0   I  Netschool.edu.vn  Netschool.edu.vn    sin x  f  dx  I  dx  x   sin x  cos x 0 Bài Tính tích phân sau :     x  cosx b  dx 4-sin x x.s inx a  dx 4-cos x  c  ln 1  t anx  dx  x.cos xdx e   s inx   ln  1+cosx  dx  2 d I f  x.sin GIẢI  a    dx  dt   t  sin   t  dt  Đặt : t    x    I   x   t   ; x    t    cos   t    s inx x.s inx   I  dx  dx   J  I  2I   J ;  I  J 2  4-cos x 4-cos x 0    s inx d (cosx)  d (cosx d (cosx  cosx-2  Tính : J        ln   ln 4-cos x 0 cos x  4 0  cosx-2 cosx+2  cosx+2  Vậy : I   b x.s inx  4-cos x dx    ln  ln 2 x  cosx dx ( Sai đề ) x  4-sin  c   s inx   ln  1+cosx  dx      sin   t    dx  dt      dt  I   ln  Đặt : t   x        x  0t  ;x  t   1+cos    t       2        1   cost    s inx   I   ln   dt   ln   dx   I  I  0; I   1+sint   1+cosx  0  d  ln 1  t anx  dx   dx  dt     I  ln 1  tan   t    dt  Đặt : t   x      x   t  ; x   t       4  Netschool.edu.vn xdx Netschool.edu.vn        t anx    I   ln 1  dx  ln dx  ln dx  ln 1  t anx  dx  ln  I        1+tanx    t anx  0 0  Vậy : I   2 e   4 ln  I   ln  x.cos xdx 0  dx  dt Đặt : t  2  x    I    2  t  cos3  2  t  dt    x   t  2 ; x  2  t  2 2 2 2  I  2  cos3 xdx   x.cos3 xdx  2   cos3x+3cosx  dx  I 0    Vậy : I   2  2 0  1  cos3x+3cosx  dx   sin 3x  3sin x   3    x.sin f xdx   dx  dt Đặt : t    x    I     t  sin   t  dt  x   t   ; x    t     I     x  sin xdx    sin xdx   x sin xdx      0 Vậy : I       0  3sin x  sin 3x  dx  I    3sin x  sin 3x  dx   3cos x  cos3x   8 8 0 Bài Tính tích phân sau :  xdx a   s inx  d  sin x.ln(1  t anx)dx  b x.s inx 0 2+cos2 x dx  c   x.s inx e  dx 9+4cos x x.s inx  1+cos x dx f  x.s inx.cos xdx GIẢI  a xdx   s inx 0  dx  dt   t  dt  Đặt : t    x   I  x   t   , x    t    sin   t     dx xdx 1  x      dx  I  I  tan       I   s inx  s inx 2 x  2 4 0 cos    2 4  x.s inx b  dx 2+cos x  Netschool.edu.vn Netschool.edu.vn  dx  dt   t  sin   t  dt  Đặt : t  2  x   I   cos   t  x   t   , x    t  2     d  cosx  s inx x sin x  I    dx   dx    I  I  ln   cos x   2  2-cosx  cos x  cos x 0    c x.s inx  1+cos x dx Giống cách giải câu b.(Học sinh tự giải )  d  sin x.ln(1  t anx)dx  dx  dt       I  sin   t  ln  tan   t    dt  Đặt : t   x      x   t  ; x   t         4     4 0  I   sin x  ln  ln(1  t anx  dx  ln  sin xdx  I  I   ln sin xdx 0  ln ln Vậy : I   cos4x  4   e x.s inx  9+4cos x dx    dx  dt   t  sin   t  dt  Đặt : t    x   I   4cos   t  x   t   ; x    t       s inxdx x.s inx d (cosx)   I   dx     I  I   ln   4cos x   2 9+4cos x 9+4cos x  4cos x 0   x.s inx.cos xdx f   dx  dt Đặt : t    x    I     t  sin   t  cos   t  dt  x   t   ; x    t        I    s inx.cos xdx   x.s inx.cos xdx    cos x.d  cosx   I 4 0    cos x   5  Bài Tính tích phân sau  a I   1   2 s inx 0 sinx-cosx dx b s inx 0 sinx+cosx dx  c  2sin x.sin xdx  d  cos x.sin xdx e ex 1 e x  e x dx Netschool.edu.vn e x 1 e x  e x dx f Netschool.edu.vn GIẢI  a s inx  sinx-cosx dx      2 cosx  s inx+cosx Chọn : J   dx I  J   dx  x  ; I  J   dx sinx-cosx s inx-cosx 0 0    d  s inx-cosx  IJ   ln s inx-cosx  s inx-cosx 0     I  J  Vậy :  I   I  J    2 s inx cosx dx Chọn : J   dx sinx+cosx sinx+cosx 0 b I        d  s inx+cosx  I  J   dx  x  ; J  I    ln cosx+sinx  s inx+cosx 0 0     I  J  Vậy :  I   J  I     2 c I   2sin x.sin xdx Chọn : J   cos x sin xdx 0    2     I  J    sin x  cos x  sin xdx   sin xdx  cos2x  0    J  I    cos x  sin x  sin xdx   cos2x.sin2xdx=  sin xdx   cos4x  0 0 Vậy : I=1 2 2  d  cos x.sin xdx Giải giống 6-c Ta có kết : I = 1 ex e x e  x  x dx Chọn : J    x  x dx e e e e 1 1 1 x d  e x  e x  e  e x x x I  J   dx  x  I  J   x  x dx    ln e  e 0 1 1 e e e x  e x 1 1 1   Vậy : I=1 Netschool.edu.vn Netschool.edu.vn e x  e x  e x dx ( Cách giải giống câu e ) 1 BÀI TẬP ÔN TỔNG HỢP VỀ TÍCH PHÂN f Bài Tính tích phân sau a x 3 x7 b  dx  x8  x  x dx  x 1  d    dx x2 1  GIẢI 2 a x dx e  x  2x  1 c x  x  dx x3  x  x  f  dx x2   x dx Bằng cách xét dấu ta thấy : f ( x)  x3  x  0, x  1;2 ; f ( x)  0x  0;1  1 2 1 Vậy : I    x  x3  dx    x3  x  dx   x  x    x  x   0 4 1 2 3 x7 x x3dx x d  x  b  dx      x8  x 4  x  12 2  x  1 81 81 81 t  x  dt  x3dx tdt  dt dt  I    Đặt :    16  t  1 16 t  16  t  12   x   t  16, x   t  81 1  81  1 I  ln t     ln 80  ln15     4 t  1 16  80 15    c  d x  x  dx    x  1 dx   x 1    x   3  x  1  3 dx 1   x 1    Nhận xét : f ( x)     1    1 x   x  2  x2  x2   39  Vậy : I   x  6ln x    6ln   x   1  0 dx dx e   x  x  1  x  12  1         dt  dx  dt 36 cos t  I  3  dt Đặt : x   tan t   cos 2t.3(1  tan t ) 0    x  1  t  0, x   t     Vậy : I  18 Netschool.edu.vn Netschool.edu.vn x3  x  x    dx    x    dx 0 x 4 x 4 0 f   2 dx 16 1 2 I   x  2x     J 2  0 x 4    4  dx  cos 2t dt dt Đặt : x  tan t    J  2  0 dt 2  x   t  0, x   t   cos t.2 1  tan t     16  Vậy : J  t  ;  I   4 Bài Tính tích phân sau :    x   x   dx a 1 1 xdx   x  1 d dx b  2 x  5x  e x3 c  dx x 1 xdx   x  1 f GIẢI a   x   x   dx Bằng cách xét dấu : f ( x)  xx   1;2; f ( x)  4x  2;5 1 1 - Vậy : I   xdx   4dx  x 2  x    20   15 1   x dx  1   ln b     dx  ln  x  5x  2  x  x   x2 2   1 x3 x d x  c  dx   x  x  0  tdt   Đặt : t  x  x   t  0; x   t   I     1   dt t 1  t 1   Vậy : I   t  ln t     ln 1   1  1 1   dx       0  x  1 0   x  1  x  1   x   x  12       1  xdx 1  1  e    dx  ln x    ln   2   x  1   x  1   x   x  1  1 xdx d 1  x  1 f    ln  x  ln   2  1 x 1 x d xdx Netschool.edu.vn xdx  1 x Netschool.edu.vn Bài Tính tích phân sau : a x 1 x  x  dx d  x  2x  x3  x dx c x2  b dx e  1 x  xdx 2dx x5 4 f  x4 x5  dx GIẢI a  x x dx x 1 1  dx  2tdt t 1  1 Đặt : t  x   x  t    I  2tdt  2  t   dt t 1  t  x   t  0, x   t  0 1 1 Vậy : I   t  ln t  1 2 0   b  x3  x dx  x  x xdx  xdx  tdt Đặt : t   x  x  t     I    t  1 t dt  x   t  1, x   t  2  58 1 Vậy : I    t  t  dt   t  t    15 5   2 c x  xdx 2  dx  2tdt Đặt : t   x  x   t    I   1  t  t  2tdt   x   t  0, x   t  2 0  112 1 Vậy : I    t  t  dt 2  t  t    2 15 3 2    d   e  1   x5  x3 x2  dx   x  x   xdx x2  2 t  1 t  1 t.2tdt  x  t  1; xdx  tdt  I   2  t  1 tdt Đặt : t  x    t  x   t  1, x   t  1  59 1 Vậy : I   t  t   1 5 2dx x5 4 3  x  t  5, dx  2tdt 2.2tdt   Đặt : t  x    I    1  dt  t4 t4   x  1  t  2, x   t  2 Vậy : I   t  4ln t      ln  ln    4ln Netschool.edu.vn Netschool.edu.vn 2 d  x  1 dx    x 1  5 x5  x5  x4  f   33  Bài Tính tích phân sau : x a d  x dx 1  x x3dx c 0 xdx 2 x  2 x   b x e x  x dx x x  3dx 1  xdx 1 f GIẢI a x  x dx   x  x xdx 0  x   t ; xdx  tdt Đặt : t   x    I   1  t  t  tdt    t  t  2t  1 dt  x   t  1, x   t  1  1 Vậy : I   t  t  t    105 7   b   x x3dx  x  x xdx 2  x  t  1; xdx  tdt Đặt : t   x    I    t  1 t.tdt    t  t  dt  x   t  1, x   t  1  58 1 Vậy : I   t  t    15 5   c x  x dx     dx  2costdt;  x  cost 2  I  4sin t cos t cos tdt  4sin 2tdt Đặt : x  2sin t      0  x=0  t=0.x=2  t=   d      Vậy : I   1  cos4t  dt   t  sin 4t     2 xdx   2 x  2 x - Vậy : I   1 1  x   x dx      x     x   dx 1   3 2  22  2  x  x         3 e x  xdx 1  1  x  t  1; dx  2tdt Đặt : t   x    I    t  1 t.2tdt  2  t  t  dt  x  1  t  0, x   t  0 Netschool.edu.vn Netschool.edu.vn 1 1 1 1 Vậy : I   t  t        0 15 5 5 3  1 0 2  x x  3dx   x x  3.xdx f    x  t  3; xdx  tdt Đặt : t  x    I  x   t  3, x   t  2  t  1 t.tdt   t  t  dt  56  12 1 Vậy : I   t  t    15 5 Bài Tính tích phân sau : x 3 a  dx 1 x   x  d  x2  x  x  1 7/3 b  x 1 dx 3x  c x3  1x3dx f 10 dx e  GIẢI Netschool.edu.vn dx x 1  x2 x  x dx [...]... dx PHƯƠNG PHÁP TÍCH PHÂN TỪNG PHẦN I CÔNG THỨC : I   udv  uv   vdu Chứng minh : Giả sử hai hàm số : u=u(x) và v=v(x) liên tục và có đạo hàm Cho nên : d(u.v)=v.du+u.dv Suy ra : u.dv=d(u.v)-v.du , và  u.dv   d  u.v    v.du  u.v   v.du  dpcm  Lý do sử dụng phương pháp tích phân từng phần : Đôi khi ta gặp phải những tích phân mà không thể sử dụng hai phương phương pháp : Phân tích và. .. 12 4 9 5 4  Ta biến đổi : f ( x)  PHƯƠNG PHÁP TÌM NGUYÊN HÀM BẰNG PHƯƠNG PHÁP ĐỔI BIẾN SỐ Phương pháp đổi biến số được sử dụng khá phổ biến trong việc tính các tích phân bất định Phương pháp đổi biến số để xác định nguyên hàm có hai dạng dựa trên định lý sau : a/ Nếu :  f ( x)  F ( x)  C và với u=  (x) là hàm số có đạo hàm thì :  f (u)du  F (u)  C b/ Nếu hàm số f(x) liên tục thì đặt x=  ... dụ 6 và 7 ta thấy số lần lấy tích phân từng phần bằng với số bậc của đa thức P(x) Nghĩa là : số bậc của P(x) càng cao thì số lần lấy tích phân từng phần càng nhiều Bài toán 5: Tính tích phân bất định : I   P( x) ln xdx PHƯƠNG PHÁP CHUNG Ta lấy tích phân từng phần , theo các bước sau : dx  u  ln x du  x   Bước 1: Đặt :  dv  P( x)dx v  P( x)dx    Bước 2: Thay vào công thức tích phân. .. tích và đối biến số , để tìm họ nguyên hàm trực tiếp được Vì thế ta phải thông qua việc tìm họ nguyên hàm trực tiếp bằng một hàm số khác ( mà có thể sử dụng hai phương pháp đã biết để tìm ) II CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP Bài toán 1: Sử dụng công thức tích phân từng phàn để tính I   f ( x)dx PHƯƠNG PHÁP CHUNG Ta thực hiện theo các bước sau :  Bước 1: Ta biến đổi tích phân ban đầu về dạng : I   f... BÀI TẬP CHO HAI PHƯƠNG PHÁP : PHÂN TÍCH VÀ ĐỔI BIẾN SỐ Bài 1 : Tìm họ nguyên hàm của các hàm số sau 2 x3  6 x 2  9 x  9  x2  3x  2 dx x2  x dx d/  3  x  2 a/  x 2 1  x  dx 9 c/ x2   3x  1 3 b/ dx Bài 2: Tìm họ nguyên hàm của các hàm số sau: a/  x c/  2x x2 1 cos5 x dx 3 s inx x2 1 b/  4 dx x 1 dx d/  s inx+cosx dx s inx-cosx 3 Bài 3: Tìm họ nguyên hàm của các hàm số sau: 1... 1  1    x3  x 2  ln x    x 2 dx   xdx  3  3  BÀI TẬP VỀ : PHƯƠNG PHÁP TÍCH PHÂN TỪNG PHẦN Bài 1 Tính các tích phân bất định sau : a/   x 2  1 e2 x dx b/  x 2 sinxdx c/  x cos xdx Bài 2 Tính các tích phân bất định sau : d/  e x 1  t anx+tan 2 x  dx 2 a/  e dx x c/  e2 x cos3xdx Bài 3 Tính các tích phân bất định sau : 2 a/   x  1 cos2 xdx c/  x3 ln xdx ln x  b/  ... Bài toán 3: Tính tích phân bất định :  ( Với a, b  0 )  I  eax cosbxdx   PHƯƠNG PHÁP CHUNG Sử dụng phương pháp tích phân từng phần , theo các bước sau :  du  b sin bxdx   u  cosbx   v= 1 eax  ax   a dv=e dx   Bước 1: Đặt  u  sin bx  du  b cos bxdx   ax 1 ax  dv  e dx    v  e a  Netschool.edu.vn Netschool.edu.vn  Bước 2: Thay vào công thức tích phân từng... 4 2 4 4  2  Bài toán 4: Tính tích phân bất định : I   P( x)eax dx PHƯƠNG PHÁP CHUNG Sử dụng phương pháp tích phân từng phần Ta tiến hành theo các bước sau du  P '( x)dx u  P( x)    Bước 1: Đặt  1 ax ax dv  e dx v  e a  1 a  Bước 2: Khi đó :  I  eax P( x)  1 P '( x)eax dx  a  Bước 3: Tiếp tục thủ tục như trên ta sẽ khử được đa thức Ví dụ 6: Tính tích phân bất định : I   xe3x... cost;sint=tant.cost= x   2 2  1  x2 2 Phương pháp trên áp dụng để giải bài toán tổng quát :  dx a 2 x  2 2 k 1 k  Z  Bài toán 2: Sử dụng phương pháp đổi biến số dạng 2 để tính tích phân : I   f ( x)dx PHƯƠNG PHÁP CHUNG Ta thực hiện theo các bước sau :  Bước 1: Chọn t=   x  Trong đó   x  là hàm số mà ta chọn thích hợp  Bước 2: Tính vi phân hai vế : dt   '  t  dt  Bước 3:... đạo hàm của nó (  '  t  là những hàm số liên tục ) thì ta được :  f ( x)dx   f   t   '  t  dt   g (t )dt  G(t )  C Từ đó ta trình bày hai bài toán về phương pháp đổi biến số như sau : Bài toán 1: Sử dụng phương pháp đổi biến số dạng 1 tính tích phân bất định : I   f ( x)dx PHƯƠNG PHÁP CHUNG Ta thực hiện theo các bước sau :  Bước 1: chọn x=   t  , trong đó   t  là hàm số ... nguyên hàm Phương pháp đổi biến Phương pháp tích phân phần A SỬ DỤNG CÁC DẠNG NGUYÊN HÀM CƠ BẢN BÀI TOÁN Xác định nguyên hàm hàm số lượng giác việc sử dụng nguyên hàm Dạng 1.: Tính tích phân bất... : f ( x)  PHƯƠNG PHÁP TÌM NGUYÊN HÀM BẰNG PHƯƠNG PHÁP ĐỔI BIẾN SỐ Phương pháp đổi biến số sử dụng phổ biến việc tính tích phân bất định Phương pháp đổi biến số để xác định nguyên hàm có hai... dụng phương pháp tích phân phần : Đôi ta gặp phải tích phân mà sử dụng hai phương phương pháp : Phân tích đối biến số , để tìm họ nguyên hàm trực tiếp Vì ta phải thông qua việc tìm họ nguyên hàm