Th.s Hµ Ngäc Toµn Chuyªn ®Ò luyÖn thi ®¹i häc NGUYÊN HÀM-TÍCH PHÂN-ỨNG DỤNG CỦA TÍCH PHÂN A NGUYÊN HÀM-TÍCH PHÂN I Nguyên hàm Định nghĩa - Hàm số F(x) gọi nguyên hàm hàm số f(x) khoảng (a,b) x  (a, b) ta có F’(x) = f(x) - Kí hiệu  f ( x) dx  F ( x)  C Tính chất   f ( x) dx   f ( x) ,  kf ( x) dx  k  f ( x) dx (k  0)   f ( x)  g ( x) dx   f ( x) dx   g ( x) dx Bảng nguyên hàm  dx  x  C  0dx   C  e dx  e  C  cosx dx  sin x  C x x n 1  x dx  n   C  x dx  ln x  C ax x  a dx  ln a  C (0  a  1) n x  sin x dx  cos x  C dx  cos x  tgx  C dx  s in x  cotgx  C II Tích phân b Định nghĩa: Ta có công thức Newtơn –laipnit  f ( x)dx  F ( x) a a  F (b)  F (a) b Tính chất a  f ( x) dx  a b a  f ( x) dx   f ( x) dx a b b c  f ( x) dx   f ( x) dx   f ( x) dx a b b a c b b a a   f ( x)  g ( x) dx   f ( x) dx   g ( x) dx a b b a a  kf ( x) dx  k  f ( x) dx k   B PHƢƠNG PHÁP TÍNH NGUYÊN HÀM - TÍCH PHÂN Dạng 1: Sử dụng bảng nguyên hàm Bài : Tính nguyên hàm sau 1  x  x 1     5x  dx  Group: Thủ thuật casio khối A    (2x  3)3 dx Th.s Hµ Ngäc Toµn sin x   4cos x dx   sin x dx   3 Chuyªn ®Ò luyÖn thi ®¹i häc 8    5   x x 2 ex  10 10  dx x dx x dx tan x  cos x dx  Bài 2: Tính tích phân sau x3 1   dx x 1 3  sin x  cos x  4sin x dx    x e 4 dx    9  sin dx (e  1) x    tan   tan x dx  2sin x 0  sin x dx  5  x3 ( x  1)5 dx Dạng 2: Phƣơng pháp đổi biến số b Phương pháp chung Tính    b f [u ( x)]dx I  a  f u( x) u '( x) dx a u (b ) Đặt u  u ( x)  du  u ( x)dx  I  ,  f (u ) du u(a) Loại 1: Tính   P( x)  Q( x) dx , P(x), Q(x) đa thức hữu tỉ - Trƣờng hợp 1: Nếu deg P( x)  deg Q( x) + Nếu Q( x)  ( x  a1 )( x  a2 ) ( x  an )( x  b)k ( x  px  q) Sử dụng phương pháp phân tích P( x) P( x)  Qx) ( x  a1 )( x  a2 ) ( x  an )( x  b) k ( x  px  q) An Bk A1 A2 B B2 CxD         2 k x  a1 x  a2 x  an x  b ( x  b) ( x  b) x  px  q Các hệ số A1 , A2 , , An , B1 , B2 , , Bk , C, D tìm việc thay giá trị a1 , a2 an , b1 , b2 bk + Nếu Q( x) không phân tích thành nhân tử ( mẫu số vô nghiệm ) ta sử dụng tích phân   dx Đặt x  a tan t  dx  a(1  tan t )dt t  (- , ) Tính    2 x a 2  + Xét mối quan hệ đạo hàm tử số mẫu số  Tính     2a x  b dx ta có (a x2  b x  c),  2a x  b bxc ax d (a x  b x  c) dx  ln a x  b x  c  C a x bxc - Trƣờng hợp 2: Nếu deg P( x)  deg Q( x) ta thực phép chia tử số cho mẫu số - Một số trƣờng hợp đặc biệt Group: Thủ thuật casio khối A Th.s Hµ Ngäc Toµn Chuyªn ®Ò luyÖn thi ®¹i häc dx với   b2  4ac  bxc b 1 Biến đổi     dt=dx  I=  dx dx Đặt t = x + b  2a a t  b a( x  )  2a 4a x  Tính    R(e ) dx đặt t=e x  dt=e x dx  dt=tdx  Tính   ax ad  bc (ax  b) m a xb  (cx  d )n dx đặt t= cx  d  dt  (cx  d )2 t b  P( x) x   Tính    dx (n  1) đặt t=a x  b   a (ax  b)n dt  adx  Tính   Tính nguyên hàm, tích phân sau 1 1  x 2   x 3 dx  3x  2)  ( x  1)( x 3  dx  4x   (x 4x dx  1) 2x  dx x3    x2  x   x  dx x  3x     dx x3 x  x  10 x  dx    x2  x  5  8   dx x  2x  x4 dx 9   ( x  1)3 10 10  1 x  x(1  x ) dx 19 19  x2 dx 11 11    x2 xdx 12 12   x  x2  ( x  1)dx  x2  1 dx 14 14   x 1 x 20  20  dx 3 2x x 1  ( x  2) dx 1  x2 dx 21  21    x4 1 22  22  x  (2 x  1) dx 23  23  x4  0 x6  dx  x5 1 x(1  x5 ) dx x  25   dx x 1 ( x  1)( x  x  1)  26   dx x  14 x3  x2  27   dx (1  x)100 x4  28   dx x  2x 1 24  24  25 26 27 Group: Thủ thuật casio khối A e 1 13 13  x3  x2  dx x4 dx 16 16   x  1 2x 1 17 17   dx x  2x  18 18   dx (2 x  1)(4 x  4x  5) 15 15  28 Th.s Hµ Ngäc Toµn Chuyªn ®Ò luyÖn thi ®¹i häc Loại : Nếu hàm số dấu tích phân chứa biểu thức dạng Trong nhiều trường hợp ta đặt t  Trƣờng hợp đặc biệt  Biểu thức dấu tích phân chứa n n f ( x) f ( x) a  x đặt x  a sint hay x  a cost với t  (-   , ) hay 2 t=x+ a  x  Biểu thức dấu tích phân chứa a  x đặt x  a tant với t  (-   , ) hay x  a cot t với 2 t  (0,  ) hay t=x+ a  x  Biểu thức dấu tích phân chứa x  a hay đặt x  a a    với t  - ,  \{0} hay x  với sint cost  2   t   0,   \   hay t= x  a 2  Biểu thức dấu tích phân chứa x(a  x) đặt x  a sin t hay x  a cos2 t với t  (-  Biểu thức dấu tích phân chứa ax  bx  c   , ) 2 at -c b+2at  Nếu a đặt (t-x) a = a x +bx+c  x= a x  bx  c  ( x  Đặt Cách 2: Đặt t  b )t   2a 2ax+b  Cách 3: Nếu a>0 đặt a x +bx+c  t  x a a x +bx+c  tx  c Nếu c>0 đặt a x +bx+c  ( x  a)( x  b) đặt a x +bx+c  t ( x  a) mx  n mx  n dx đặt t   Tính    px  q ( px  q) a x  bx  c Nếu   Tính   R(x, n t  (-   ax +b ax +b ax )dx đặt t = n dx đặt x  a cos t trường hơp đặc biết tức    bx +d bx +d ax , ) 2  Tính     Tính    m p f ( x)  n f ( x) dx đặt t  h f ( x) với h bội chung nhỏ m, n, p, q f ( x)  q f ( x) dx đặt t  x  a  x  a ( x  a)(x+b) Tính nguyên hàm-tích phân sau Group: Thủ thuật casio khối A Th.s Hµ Ngäc Toµn  1  x x2  dx 11 11     x  x dx 12 12  x dx x 1 1  1 5  x3 3 x 6  x 1  7  dx  ln x dx  ln x  x dx x2   x2  9  10 10  x2  x2  x 15 15   16 16   ( x  1) x x2   3 18 18  dx dx (9  x )3 19 19   1 x dx dx x2  x  1 x 4x3 1 x dx 1 x 5 x dx 5 x  dx x 1  x 1 dx dx  20  20  dx x2  x  1 dx x 2 8  1 17 17  1 x 14 14   1  3ln x ln x dx x 4   13 13  3   dx  x2 dx x2 e  x2 3  Chuyªn ®Ò luyÖn thi ®¹i häc Loại 3: Nếu hàm số dấu tích phân hàm lƣợng giác  Tính   R(sinx, cosx) dx R(u, v) hàm hữu tỉ u v  Phƣơng pháp chung x x  dt  (1  tan )dx  (1  t )dx 2 2 2t 1 t 2t ,cos x  , tanx  Khi sin x  2 1 t 1 t 1 t2 2t  t  I   R( , ) (1  t )dt tích phân có dạng tích phân hữa tỉ 2 1 t 1 t Đặt t  tan Một số trƣờng hợp đặc biệt  Nếu R( s in x,  cosx)  R(s in x, cosx) Đặt t  tan x t  cot x  Nếu R(s in x,  cosx)   R(s in x, cosx) Đặt t  sin x  Nếu R( s in x, cosx)   R(s in x, cosx) Đặt t  cosx  Nếu R(s in x, cosx)   (s in x) cosx đặt t=cosx hay R(s in x, cosx)   (cos x)sin x đặt t=sinx  Nếu biểu thức dấu tích phân tích hàm số lượng giác ta sử dụng công thức sau sin a.sin b   cos(a  b)  cos(a  b)  Group: Thủ thuật casio khối A Th.s Hµ Ngäc Toµn Chuyªn ®Ò luyÖn thi ®¹i häc  sin(a  b)  sin(a  b)  cos a.cosb   cos(a  b)  cos(a  b)  sin a.cos b  - Dùng phép thay biến x=a-t với a cận tích phân thông thường tích phân thường có cận  ;  ;2  Tính 1   sin( x  a)sin( x  b) dx , 2   1 dx , 3   dx cos( x  a)cos( x  b) sin( x  a)cos( x  b) sin(a  b) sin  ( x  a)  ( x  b)  sin(a  b) sin(a  b) sin  ( x  a )  ( x  b)  1  dx sin(a  b)  sin( x  a) sin( x  b) sin( x  a)cos( x  b)  cos( x  a ) sin( x  b)  dx  sin(a  b) sin( x  a) sin( x  b) 1   cos( x  b cos( x  a )  d x    sin( x  a) dx  sin(a  b)   sin( x  b)   d (sin( x  b)) d (sin( x  a ))   dx    sin(a  b)  sin( x  b) sin( x  a )   ln sin( x  b)  ln sin( x  a)   C sin(a  b)   sin( x  b) ln C sin(a  b) sin( x  a) I tương tự I sử dụng  cos(a  b) co s(a  b)  Tính tích phân 1   dx   sin x cos  x   4  2   dx 2sin x  3   dx sin x  cos x 4sin x  3cos x 4   dx sin x  2cos x 16 16   17 17  (tan x  tan x) dx 18 18   6    sin x.cos3x dx Group: Thủ thuật casio khối A  sin x dx  19 19  cos x  sin x  sin x  cos x dx  5   (esin x  cos x) cos x dx  sin x dx cos5 x   20  20   cos x dx  sin x dx 21  21    cos x Th.s Hµ Ngäc Toµn Chuyªn ®Ò luyÖn thi ®¹i häc     cos x.cos5 x dx   8    cos x  cos x dx  2sin x  5cos x  dx 23  23   sin x  cos x dx 24  21  3  cos x dx   sin 26  26  sin x  cos6 x dx 27  27  sin x  cos4 x dx x cos x dx  28  28  ( sin x  cos x)2 dx   sin x dx  3cos x  cos x cos x cos3x dx   cos x sin x sin x dx 13 13  14 14 sin x  cos x dx x  cos x  sin 12 12  sin x dx x  cos x 25  25    sin 11 11   9   sin x dx 10 10  cos x   22  22  sin x  cos x dx sin x  cos x 29  29   30 30   cos x sin x dx  15 15   tan  x dx Dạng Phƣơng pháp tính tích phân phần ,  b b u  u ( x) du  u ( x)dx  Tính I   u ( x)v ( x) dx Đặt  Khi I  u v   v du  , , a v  v ( x ) dx dv  v ( x ) dx  a a    b , Chú ý sử dụng tớch phõn phần - Dễ dàng tính  v du - Hàm số u chọn lựa cho việc tớnh  v du đơn giản ( đạo hàm không làm khó thêm tích phân) - Thứ tự ưu tiên việc đặt u log, đa thức, lượng giác, mũ sin ax    Loại 1:Tính    P( x) cos ax  dx a e a x  b Trong P(x) đa thức theo biến x Phương pháp chung Group: Thủ thuật casio khối A Th.s Hµ Ngäc Toµn Chuyªn ®Ò luyÖn thi ®¹i häc u  P ( x)     sin ax dx    Đặt   cos ax dx  v       ax     e dx  x2 Chú ý phương pháp tính tích phân dạng  (a x n  a1 x n1   ak x nk  an1 x  an )e axb dx x1 n1 nk - Nếu ta đặt u  a0 x  a1 x   ak x  an1x  an ta phải tớch phõn phần n lần - Sử dụng phương pháp sau để sử dụng tích phân phần lần n n n 1 nk  u  b0 x  b1 x   bk x  bn1 x  bn Đặt  a x b dx  v   e du  (b0 nx n1  b1 (n  1) x n2   bk (n  k ) x nk 1  bn1 )dx   a x b v  e a   I  uv   v du  Ta quan tâm tới  v du ta có v du   e a x b (b0 nx n1  b1 (n  1) x n2   bk (n  k ) x nk 1  bn1 ) a n 1  b1 (n  1) x n2   bk (n  k ) x nk 1  bn1  a x b  b0 nx e   a   Phân tích a0 x n  a1 x n 1   ak x n k  an 1 x  an b0 nx n 1  b1 (n  1) x n    bk (n  k ) x n k 1  bn1  b0 x  b1 x   bk x  bn1 x  bn  a bn b (n  k  1) n k b  b0 x n  (b1  ) x n 1   (bk  k 1 ) x  bn  n1 a a a b0  a0  b1  a1  b0 n  a    bk 1 (n  k  1) bk  ak  a  n n 1 nk Group: Thủ thuật casio khối A Th.s Hµ Ngäc Toµn Chuyªn ®Ò luyÖn thi ®¹i häc  Tính tích phân sau 1 I1   I  e sin xdx  xe dx x  I  cos x dx x  e x dx  I   8 I  e 2  x s in xdx dx  I  (1  x) e  x sin 2x dx xdx  10 I10  e  I  x 1 2 I  2 I  x  x.sin x cos xdx x 1 dx x 2e x 11 I11   dx ( x  2) b  Loại 2:Tính I  P( x)ln a x dx a u  ln ax v   P( x) dx Đặt  Tính tích phân sau I1  I  e  I  x(2  ln x) dx x ln( x  1)dx   x ln xdx  I  cos x.ln(1  cos x) dx    I  ln(1  tgx)dx  I  x ln(1  I  ln(1  x) dx x   I  1 2 1 x  x ln  x dx b  sin bx   dx  cos bx  Loại 3: Tính   e x  a u  e  u  sin bx    Đặt  v   sin bx dx hay  u  cosbx  v  e ax dx     v   cos bx dx ax  Tính tích phân sau 2x x 1   e sin e dx Group: Thủ thuật casio khối A 2    e x cos x dx ) dx x Th.s Hµ Ngäc Toµn Chuyªn ®Ò luyÖn thi ®¹i häc Dạng 4: Dựa vào cận tích phân Loại 1: Phép thay biến x= -t Thích hợp dạng toán sau a  Khi biểu thức dấu tích phân hàm chẵn lẻ tích phân cần tính có dạng  f ( x) dx ta sử dung kết a sau a - f(x) hàm số lẻ có tích phân [a,b]  f ( x) dx  a a - f(x) hàm số chẵn có tích phân [a,b]  a a  Khi tích phân có dạng a f ( x) dx  2 f ( x) dx f ( x) dx đặt x=-t x 1 a a Tính tích phân sau 1  I1  ln( x  x  1) dx x4  x  dx 1 I  1   I    I  x  cos x dx  sin x sin x  3x  dx  Loại 2: Phép thay biến x= a-t Dạng 5: Tích phân hàm trị tuyệt đối b Tính    f ( x) dx a Bƣớc 1: Xét dấu f(x) để phá dấu trị tuyệt đối Bƣớc 2: Chuyển tích phân cần tính thành tổng hiệu tích phân mà không dấu trị tuyệt đối Chú ý :+ Đa thức có n nghiệm ta xét n+1 khoảng + Đa thức bậc n có n nghiệm đan dấu khoảng, khác n nghiệm không đan dấu Bài 1: Tính tích phân sau 1   x  x dx       sin 2x dx   3     9x  6x  dx 0    x3  x dx cos3 x  cos x dx 1 Dạng 6: Các phƣơng pháp khác Loại 1: Sử dụng nguyên hàm phụ b Tính    b f ( x) dx ta tìm nguyên hàm phụ J   g ( x) dx cho việc tính I  J I  J đơn giản a a Bài tập: Tính nguyên hàm , tích phân sau 1   s in x dx sin x  cos x Group: Thủ thuật casio khối A ex 3   x  x dx e e Th.s Hµ Ngäc Toµn 2   Chuyªn ®Ò luyÖn thi ®¹i häc s in x dx sin x  cos x 4 1   4s in x dx (sin x  cos x)3 Một phương pháp học toán sau toán cần tìm “điểm nhấn “ để hiểu vấn đề cách “ thông thái “ Vậy để làm điều đó, người học toán cần điều gì? Suy nghĩ thật kỹ, thật thấu đáo vấn đề đặt Tìm mối liên hệ kiến thức xung quanh vấn đề Tự đặt câu hỏi xung quanh vấn đề nhỏ để tìm cách tổng quát thích hợp Chúc bạn thành công ! ! Xin phân tích qua toán nhỏ sau:  Bài toán : Tính tích phân I = sin x  sin x  cos x dx Nhận xét 1: Quan sát thấy hàm số dấu tích phân có dạng phân thức Vậy kiến thức sử dụng cho hàm phân thức gì? Chắc chắn nghĩ đến nguyên hàm  dx  ln | x | C x Vậy để sử dụng công thức cần phải tìm cách biến đổi dạng ! Nhận xét 2: Ở xuất hàm số lượng giác sinx cosx Vậy có cách biểu diễn thông qua yếu tố không ? Ta tìm kiếm kiến thức để giải - Hướng 1: Chia tử mẫu cho cosx ta f ( x)  sinx tgx tgx   1 từ    1 sinx  cos x tgx  tgx  tgx  đặt t= tgx Bt  C   A   dx   dt   dt )  t   t 1 2t 1- t x ; cosx= - Hướng 2: Đặt t  tan sin x  1 t2 1 t2   I = dx  tdt  (1  t )(1  t b Với hướng ta tính tích phân có dạng tổng quát sau: I  a1 sin x  b1 cos x  c1 dx sin x  b2 cos x  c2 a a Các bạn làm toán tự nghĩ đề giải nhé! Nhận xét 3: Xuất phát từ quan hệ sinx cosx Điều đặc biệt cận tích phân ?  dx   dt     - Hướng 3: Đặt x=  t   x  : t  ( cách đặt ẩn phụ mà không làm thay đổi cận tích phân có 2     x  : t  dịp trao đổi bạn) Khi : I    2  sin x co s t co s x dx  dt  0 sin x  cos x 0 sin t  cos t 0 sin x  cos x dx    2 sin x co s x   dx   dx   dx   I   2I   sin x  cos x sin x  cos x 0 Thật đáng kinh ngạc !!!!! Group: Thủ thuật casio khối A Th.s Hµ Ngäc Toµn Chuyªn ®Ò luyÖn thi ®¹i häc  Với hướng ta tính tích phân tổng quát sau: I  n  n sin m x sin m x  n co s m x Các bạn làm toán tự nghĩ đề giải nhé! Nhận xét 4: Nếu dùng biến đổi lượng giác ?    sin  x      4 1   - Hướng 4: Biến đổi f(x) =  1  cot g  x   ta tính bình thường   2    sin  x   4  - Hướng 5: Biến đổi   cos x  sin x    sin x(cos x  sin x) 2     tg x   1 f(x) =    2 cos x  sin x cos x 2 cos x  ta tính với tích phân bình thường hàm lượng giác Nhận xét 6: Vì tích phân có dạng hàm phân thức nên ta biến đổi tử thức để tìm cách viết qua mẫu số đạo hàm mẫu hay ! - Hướng 6: Biến đổi f ( x)  sinx sinx  cos x  sinx  cos x cos x  sinx    sinx  cos x 2( sinx  cos x) 2( sinx  cos x) Nhận xét 7: Quan sát ticsh phân cần tìm ta thấy sai khác tử số mẫu số, ta tìm tích phân  khác có “họ hàng” với ? Trả lời câu hỏi ta xét tích phân J  tích phân I) I  J  tìm I I  J  Từ hai tích phân ta giải hệ :  Group: Thủ thuật casio khối A co s x  sin x  cos x dx ( gọi tích phân liên kết Th.s Hµ Ngäc Toµn Chuyªn ®Ò luyÖn thi ®¹i häc Bài tập nguyên hàm- tích phân tổng hợp   x(1  sin x) dx ln (D-12) 16  ln( x  1) dx (A-12) x2  4x 1 dx (D-11) 2x   4   x sin x 0 cos2 x dx (B-11)   e x sin x  ( x  1) cos x dx (A-11) x sin x  cosx  (2 x  ) ln x dx (D-10) x   18 20 21  x dx (D-03) 10   3ln x ln x dx (B-04) x  11 ln( x  x) dx (D-04) x x2  dx (A-03) tan x 0 cos x dx (A-08)  1 x dx (A-04) x 1  sin x  sin x dx (A-05)  3cos x 25    26 (cos x  1)cos x dx (A-09) sin x 27  28 x  e x  x 2e x 0  e x dx (A-10)  cos x  4sin x dx (A-06) sin x  cos x) cosx dx (D-05) 14 ( x  2) e dx (D-06) 2x  x 29 xe dx (Y-97) 0   sin x cos x 0 1+cos x dx (B-05)  dx (D-09) 1 2  dx (B-10)  13 (e x  12  e e 24 dx (B-09) ln x 22  x(2  ln x) x  ln x  ( x  1) e  2sin x dx (B-03) 1+sin x  ln x dx (D-08) x  19 23 dx (B-06)  e x  17 x3 ln x dx (D-06)  x ln e x  dx (B-12) x  x2  e  sin( x  ) dx (B-08) 15  sin2 x +2(1+sin x  cos x) Group: Thủ thuật casio khối A   30 cos x ln(1  cos x) dx (A-99) Th.s Hµ Ngäc Toµn Chuyªn ®Ò luyÖn thi ®¹i häc A ỨNG DỤNG CỦA TÍCH PHÂN B MỘT SỐ ỨNG DỤNG CỦA TÍCH PHÂN I Tính diện tích hình thang cong  y  f ( x) (C1 )  y  g ( x) (C ) b  Diện tích hình phẳng giới hạn hai đường cong  S   f ( x)  g ( x) dx a x  a  x  b (a  b)  y  f ( x) (C1 )  y  (ox) b  Trường hợp g(x) trục ox  S   f ( x) dx a x  a  x  b (a  b) Trường hợp khuyết cận b  y  f ( x) (C1 ) S   f ( x)  g ( x) dx với a, b (a ... du u(a) Loại 1: Tính   P( x)  Q( x) dx , P(x), Q(x) đa thức hữu tỉ - Trƣờng hợp 1: Nếu deg P( x)  deg Q( x) + Nếu Q( x)  ( x  a1 )( x  a2 ) ( x  an )( x  b)k ( x  px  q) Sử dụng phương... x  b bxc ax d (a x  b x  c) dx  ln a x  b x  c  C a x bxc - Trƣờng hợp 2: Nếu deg P( x)  deg Q( x) ta thực phép chia tử số cho mẫu số - Một số trƣờng hợp đặc biệt Group: Thủ thuật