NGUYỄN BẢO VƢƠNG CHƯƠNG III VECTO-QUAN HỆ VUÔNG GÓC TẬP GÓC GIỮA HAI ĐƯỜNG THẲNG HAI ĐƯỜNG THẲNG VUÔNG GÓC GIÁO VIÊN MUỐN MUA FILE WORD LIÊN HỆ 0946798489 Facebook: https://web.facebook.com/phong.baovuong Page: https://web.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/ Website: http://tailieutoanhoc.vn/ Email: baovuong7279@gmail.com tailieutoanhoc7279@gmail.com 0946798489 NGUYỄN BẢO VƯƠNG [CHƯƠNG III VECTO-QUAN HỆ VUÔNG GÓC] MỤC LỤC GÓC GIỮA HAI ĐƢỜNG THẲNG HAI ĐƢỜNG THẲNG VUÔNG GÓC A CHUẨN KIẾN THỨC B LUYỆN KĨ NĂNG GIẢI CÁC DẠNG BÀI TẬP Bài toán 01: TÍNH GÓC GIỮA HAI ĐƢỜNG THẲNG Bài toán 02: DÙNG TÍCH VÔ HƢỚNG ĐỂ CHỨNG MINH HAI ĐƢỜNG THẲNG VUÔNG GÓC CÁC BÀI TOÁN LUYỆN TẬP GIÁO VIÊN MUỐN MUA FILE WORD LIÊN HỆ 0946798489 GIÁO VIÊN MUỐN MUA FILE WORD LIÊN HỆ 0946798489 | NGUYỄN BẢO VƯƠNG [CHƯƠNG III VECTO-QUAN HỆ VUÔNG GÓC] GÓC GIỮA HAI ĐƯỜNG THẲNG HAI ĐƯỜNG THẲNG VUÔNG GÓC A CHUẨN KIẾN THỨC A.TÓM TẮT GIÁO KHOA Định nghĩa: Góc hai đường thẳng a b góc hai đường thẳng a’ b’ qua điểm song song trùng với a b B LUYỆN KĨ NĂNG GIẢI CÁC DẠNG BÀI TẬP Bài toán 01: TÍNH GÓC GIỮA HAI ĐƢỜNG THẲNG Phƣơng pháp: Để tính góc hai đường thẳng d1 , d2 không gian ta thực theo hai cách Cách Tìm góc hai đường thẳng d1 , d2 cách chọn điểm O d1 thích hợp ( O thường nằm hai đường thẳng) ' d'1 ' Từ O dựng đường thẳng d , d song song ( tròng O O nằm hai đường thẳng) với d1 d2 Góc hai đường ' d'2 ' thẳng d , d góc hai đường thẳng d1 , d2 d2 Lƣu ý 1: Để tính góc ta thường sử dụng định lí côsin tam giác cos A  b2  c  a2 2bc Cách Tìm hai vec tơ phương u1 , u2 hai đường thẳng d1 , d2 Khi góc hai đường thẳng d1 , d2 xác định cos  d1 , d2   u1 u2 u1 u2 Lƣu ý 2: Để tính u1 u2 , u1 , u2 ta chọn ba vec tơ a , b , c không đồng phẳng mà tính độ dài góc chúng,sau biểu thị vec tơ u1 , u2 qua vec tơ a , b , c thực tính toán Các ví dụ Ví dụ Cho tứ diện ABCD Gọi M , N trung điểm BC AD , biết AB  CD  a , MN  a Tính góc hai đường thẳng AB CD Lời giải Cách GIÁO VIÊN MUỐN MUA FILE WORD LIÊN HỆ 0946798489 | NGUYỄN BẢO VƯƠNG [CHƯƠNG III VECTO-QUAN HỆ VUÔNG GÓC] Gọi I trung điểm AC Ta có A  IM AB   AB, CD = IM , IN    IN CD N Đặt MIN   I B Xét tam giác IMN có IM  AB a CD a a  , IN   , MN  Theo định lí 2 2 D M 2 a a a 3        IM  IN  MN       côsin, ta có cos     0 a a IM.IN 2 2 C  MIN  1200 suy  AB, CD =060 Cách cos  AB, CD   cos  IM , IN  =  MN  IN  IM  MN  IN  IM IN.IM   IM.IN IM IN  IM  IN  2IN.IM IM  IN  MN a2  cos  AB, CD   cos  IM , IN  = IM.IN IM IN  Vậy  AB, CD =600 Ví dụ Cho tứ diện ABCD có tất cạnh m Các điểm M , N trung điểm AB CD Tính góc gữa đường thẳng MN với đường thẳng AB, BC CD Lời giải Đặt AD  a, AB  b, AC  c       Khi đó, ta có a  b  c  m a, b  b, c  c , a  600 Ta có a.b  b.c  c.a  A m M Vì M , N trung điểm AB CD nên MN     1 AD  BC  a  c  b 2  2 m2 MN   a  b  c  2ac  2ab  2b.c   4  B D N C GIÁO VIÊN MUỐN MUA FILE WORD LIÊN HỆ 0946798489 | HAI ĐƯỜNG THẲNG VUÔNG GÓC NGUYỄN BẢO VƯƠNG [CHƯƠNG III VECTO-QUAN HỆ VUÔNG GÓC] m  MN  MN AB  -   1 a  c  b b   ab  bc  b   2  Vậy góc hai đường thẳng MN AB 90 MNCD  -    1 a  c  b a  c   a  ac  ab  ac  c  bc   2  Vậy góc hai đường thẳng MN CD 90 m2 MNBC m 2  cos  MN , BC   MNBC  a  c  b b  c    2 m MN BC m  -   Vậy góc hai đường thẳng MN BC 450 Bài toán 02: DÙNG TÍCH VÔ HƢỚNG ĐỂ CHỨNG MINH HAI ĐƢỜNG THẲNG VUÔNG GÓC Phƣơng pháp: Để chứng minh d1  d2 ta có phần ta thực theo cách sau:  Chứng minh d1  d2 ta chứng minh u1 u2  u1 , u2 vec tơ phương d1 d2   b c Sử dụng tính chất   a  b a  c Sử dụng định lí Pitago xác định góc d1 , d2 tính trực tiếp góc Các ví dụ Ví dụ Cho tứ diện ABCD cạnh a Gọi O tâm đường tròn noại tiếp tam giác BCD Chứng minh AO  CD Lời giải A Ta có CD  OD  OC , ta lưu ý tam giác ABC ABAC  AB2  AC  BC 2 B suy  D  O AOCD  AO OD  OC  OAOD  OAOC OA2  OD2  CD OA2  OC  AC   0 2 C ( Vì AC  AD  a, OD  OC  R ) Vậy AO  CD GIÁO VIÊN MUỐN MUA FILE WORD LIÊN HỆ 0946798489 | HAI ĐƯỜNG THẲNG VUÔNG GÓC NGUYỄN BẢO VƯƠNG [CHƯƠNG III VECTO-QUAN HỆ VUÔNG GÓC] Ví dụ Cho tứ diện ABCD có CD  JK  AB Gọi I , J , K trung điểm BC , AC , BD Cho biết AB Tính góc đường thẳng CD với đường thẳng IJ AB Lời giải Ta có IJ  1 AB , IK  CD  AB 2 IJ  IK  25 AB2  AB2  AB2 36 Mà JK  25 AB  JK  AB2 36 A 1 2 J B Từ  1   suy IJ  IK  JK  JI  IK K D I Mặt khác ta có IJ AB, IK CD  AB  CD  IJ AB Tương tự   IJ  CD  AB  CD C Ví dụ Cho tứ diện ABCD có AB  AC  AD Gọi O điểm thỏa mãn OA  OB  OC  OD G trọng tâm tam giác ACD , gọi E trung điểm BG F trung điểm AE Chứng minh OF vuông góc với BG OD vuông góc với AC Lời giải Đặt OA  OB  OC  OD  R 1 OA  a, OB  b, OC  c , OD  d A Ta có AB  AC  AD nên AOB  AOC  AOD  c  c  c  suy AOB  AOC  AOD   , từ  1   suy a.b  a.c  a.d  3 F O Gọi M trung điểm CD AG  2GM nên B 3BG  BA  2BM  BA  BC  BD E G D  OA  OB  OC  OB  OD  OB  a  c  d  3b   M Gọi E, F theo thứ tự trung điểm AE, BG ta có    C  12OF  OA  OE  6OA  OB  OG  6OA  3OB  3OG  6OA  3OB  OA  2OM  7OA  3OB  OC  OD  a  3b  c  d   36BG.OF  a  3b  c  d a  3b  c  d 2  5 Từ     ta có  =7 a  9b  c  d  18ab  8ac  8ad  2cd GIÁO VIÊN MUỐN MUA FILE WORD LIÊN HỆ 0946798489 | HAI ĐƯỜNG THẲNG VUÔNG GÓC NGUYỄN BẢO VƯƠNG [CHƯƠNG III VECTO-QUAN HỆ VUÔNG GÓC]   Theo (3) ta có 36BG.OF  2d c  a  2OD.AC suy BG.OF   OD.AC  hay OF  BG  OD  AC CÁC BÀI TOÁN LUYỆN TẬP Câu 16 Cho tứ diện ABCD có hai mặt ABC ABD tam giác a) Khẳng định sau A AB CD chéo B AB CD vuông góc với C AB CD đồng phẳng D AB CD cắt b) Gọi M , N , P , Q trung điểm cạnh AC , BC , BD, DA Khẳng định sau nhất? Chứng minh MNPQ hình chữ nhật A MNPQ hình vuông B MNPQ hình bình hành C MNPQ hình chữ nhật D MNPQ hình thoi Bài làm 16 a) Đặt AB  AD  AC  a  C  Ta có CD.AB  AD  AC AB 1  AB AD cos 600  AB AC cos 600  a.a  a.a  2 N M Vậy AB  CD b) Ta có MN PQ AB MN  PQ  AB a  nên tứ giác 2 B P MNPQ hình bình hành D  MN AB  Lại có  NP CD  MN  NP , MNPQ hình chữ nhật  AB  CD  A Q Câu 17 Cho hình lập phương ABCD.A ' B ' C ' D ' cạnh a Trên cạnh DC BB ' lấy điểm M N cho MD  NB  x   x  a  Khẳng định sau đúng? a) Khẳng định sau đúng? A AC '  B ' D ' B AC’ cắt B’D’ C.AC’và B’D’ đồng phẳng D Cả A, B, C GIÁO VIÊN MUỐN MUA FILE WORD LIÊN HỆ 0946798489 | HAI ĐƯỜNG THẲNG VUÔNG GÓC NGUYỄN BẢO VƯƠNG [CHƯƠNG III VECTO-QUAN HỆ VUÔNG GÓC] b) khẳng định sau ? B A A AC '  MN B AC’ MN cắt C AC’ MN đồng phẳng M D C D Cả A, B, C N Bài làm 17 Đặt AA '  a, AB  b, AD  c a) Ta có AC '  a  b  c , B ' D '  c  b nên    AC '.B ' D '  a  b  c c  b   B' A' C' D'  a c  b  c  b  a2  a2   AC '  B ' D '      x   x  x  x b) MN  AN  AM  AB  BN  AD  DM   b  a  -  c  b   a   1-  b - c a   a  a   a    x   x  x  x Từ ta có AC '.MN  a  b  c [  b  a  -  c  b   a   1-  b - c] a a a      a  x  x 2  x a     b  c  x.a     a2  a2  a a a   Vậy AC '  MN Câu 18 Cho hình chóp S.ABC có SA  SB  SC  a BC  a Tính góc hai đường thẳng AB SC A  AB, SC   600 B  AB, SC   450 C  AB, SC   300 D  AB, SC   900 S Bài làm 18 Gọi M , N , P trung điểm SA, SB, AC , MN AB nên  AB, SC    MN , SC  M Đặt   NMP , tam giác MNP có cos   MN  MP  NP 2 MN.MP 1 a Ta có MN  MP  , AB2  AC  BC  ABC vuông A , PB2  AP  AC  N φ A B P 5a 3a , PS2  Trong tam giác PBS theo công 4 C thứ tính đường trung tuyến ta có GIÁO VIÊN MUỐN MUA FILE WORD LIÊN HỆ 0946798489 | HAI ĐƯỜNG THẲNG VUÔNG GÓC NGUYỄN BẢO VƯƠNG [CHƯƠNG III VECTO-QUAN HỆ VUÔNG GÓC] 5a 3a  2 PB  PS SB  a  3a PN    4 4 2 Thay MN , MP, NP vào 1 ta cos      120 Vậy  AB, SC    MN , SC   600 Câu 19 Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình thoi, SA  AB SA  BC a) Tính góc hai đường thẳng SD BC A  BC , SD   300 B  BC , SD   450 C  BC , SD   600 D  BC , SD   500 b) Gọi I , J điểm thuộc SB SD cho IJ BD Chứng minh góc AC IJ không phụ thuộc vào vị trí I J A  IJ , AC   900 B  IJ , AC   600 Bài làm 19 a)  BC , SD   450 C  IJ , AC   300 D  IJ , AC   450 b)  IJ , AC   900 Câu 20 Cho hai tam giác cân ABC DBC có chung cạnh đáy BC nằm hai mặt phẳng khác a) Khẳng định sau nhất? A AD  BC B.AD cắt BC C AD BC chéo D Cả A, B, C b) Gọi M , N điểm thuộc đường thẳng AB DB cho MA  kMB, ND  kNB Tính góc hai đường thẳng MN BC A  MN , BC   900 B  MN , BC   800 C  MN , BC   600 D  MN , BC   450 Bài làm 20 a) Gọi P trung điểm BC , tam giác A  AP  BC ABC DBC cân nên   DP  BC   Ta có BC.AD  BC PD  PA  Vậy BC  AD M N B D P GIÁO VIÊN MUỐN MUA FILE WORD LIÊN HỆ 0946798489 | HAI C ĐƯỜNG THẲNG VUÔNG GÓC NGUYỄN BẢO VƯƠNG [CHƯƠNG III VECTO-QUAN HỆ VUÔNG GÓC] b) Ta có MA  kMB  MA ND  k , ND  kNB   k MB NB  MA ND  MB NB suy MN AD   MN , BC    AD, BC   900 ( Theo câu a) Câu 21 Cho hình hộp thoi ABCD.A ' B ' C ' D ' có tất cạnh a ABC  B ' BA  B ' BC  600 Tính góc hai đường thẳng AC B’D’ A  AC, B 'D'   900 B  AC, B 'D'   600 C  AC, B 'D'   450 D  AC, B 'D'   300 Bài làm 21 HS tự giải Câu 22 Cho tứ diện ABCD Gọi M , N trung điểm cạnh BC AD Cho biết AB  CD  2a MN  a Tính góc hai đường thẳng AB CD A  AB, CD   300 B  AB, CD   450 C  AB, CD   600 D  AB, CD   900 Bài làm 22 Gọi O trung điểm AC , ta có OM  ON  a OM AB   AB, CD   OM , ON   ON CD A Áp dụng định lí côsin cho tam giác OMN ta có cos MON  OM  ON  MN 2OM.ON N O    a2  a2  a 2.a.a  Vậy  AB, CD   60 B D M C Câu 23 Cho tứ diện ABCD có cạnh a Gọi M , N , P , Q, R trung điểm AB, CD, AD, BC AC a) Khẳng định sau nhất? A MN  RP, MN  RQ B MN  RP, MN cắt RQ C MN chéo RP; MN chéo RQ D Cả A, B, C sai b) Tính góc hai đường thẳng AB CD? GIÁO VIÊN MUỐN MUA FILE WORD LIÊN HỆ 0946798489 | HAI ĐƯỜNG THẲNG VUÔNG GÓC NGUYỄN BẢO VƯƠNG [CHƯƠNG III VECTO-QUAN HỆ VUÔNG GÓC] A  AB, CD   600 B  AB, CD   300 Bài làm23 a) Ta có MC  MD  C  AB, CD   450 D  AB, CD   900 a nên tam giác MCD cân A M , MN  CD Lại có RP CD  MN  RQ M b) Tương tự ta có QP  AD P R Trong tam giác vuông PDQ ta có  a   a 2 a2 Ta có : QP  QD2  DP            B Q a a RQ  RP        a2  QP 2 2 D N C Do tam giác RPQ vuông R , hay RP  RQ  AB RQ  Vì CD RP  AB  CD  RP  RQ  Câu 24 Cho tứ diện ABCD có AB  CD  a, AC  BD  b, AD  BC  c a)Khẳng định sau A đoạn nối trung điểm cặp cạnh đối vuông góc với hai cạnh B đoạn nối trung điểm cặp cạnh đối không vuông góc với hai cạnh C đoạn nối trung điểm cặp cạnh đối vuông góc không vuông góc với hai cạnh D A, B, C sai b) Tính góc hai đường thẳng AC BD A  AC , BD  a  arccos B  AC , BD   arccos C  AC , BD   arccos  c2 A  b2  a2  c b  M P  a2  c 3b  B D N C GIÁO VIÊN MUỐN MUA FILE WORD LIÊN HỆ 0946798489 | HAI ĐƯỜNG 10 THẲNG VUÔNG GÓC NGUYỄN BẢO VƯƠNG [CHƯƠNG III VECTO-QUAN HỆ VUÔNG GÓC] D  AC , BD   arccos  a2  c b  Bài làm 24 Gọi M , N , P trung điểm cạnh AB, CD, AD a) Do hai tam giác ACD BCD có CD chung AC  BD, AD  BC nên chúng nhau, suy MC  MD Vậy tam giác MCD cân M có trung tuyến MN nên MN  CD Tương tự MN  AB Chứng minh tương tự cho hai cặp cạnh đối lại  PM BD b) Ta có    BD, AC    PM , PN   PN AC Theo công thức tính đường trung tuyến ta có   2 CA2  CB2 AB2 b  c  a CM    4 Tương tự DM    b2  c  a2 , nên MN    2 MC  MD2 CD2 b  c  a a2 b2  c  a2     4 Áp dụng định lí cô sin cho tam giác PMN ta có 2  b   b  b2  c  a2      a2  c 2 PM  PN  MN     cos MPN    2.PM.PN  b  b  b2        Vậy  AC , BD   arccos  a2  c b   Câu 25 Cho hình chóp S.ABCD có đáy hình bình hành với AB  a, AD  2a Tam giác SAB vuông can A , M điểm cạnh AD ( M khác A D ) Mặt phẳng   qua M song sog với  SAB cắt BC , SC , SD N , P , Q a) MNPQ hình gi? A MNPQ hình thang vuông B MNPQ hình vuông C MNPQ hình chữ nhật D MNPQ hình bình hành b)Tính diện tích MNPQ theo a A SMNPQ  3a B SMNPQ  a2 C SMNPQ  3a D SMNPQ  a2 GIÁO VIÊN MUỐN MUA FILE WORD LIÊN HỆ 0946798489 | HAI ĐƯỜNG 11 THẲNG VUÔNG GÓC NGUYỄN BẢO VƯƠNG [CHƯƠNG III VECTO-QUAN HỆ VUÔNG GÓC]    SAB   Bài làm 25 a) Ta có  SAB    ABCD   AB  MN AB      ABCD   MN    SAB   Tương tự  SBC    SAB   SB  NP SB      SBC   NP    SAB     SAD    SAB   SA  MQ SA       SAD   MQ Dễ thấy MN PQ AB CD nên MNPQ hình bình hành  MN AB  Lại có  MQ SA  MN  MQ  AB  SA  S Vậy MNPQ hình thang vuông Q SA a CD a  , PQ   b) Ta có MN  AB  a , MQ  2 2 Vậy SMNPQ P   MN  PQ  MQ D A 1 a  a 3a  a   2 22 B N M C GIÁO VIÊN MUỐN MUA FILE WORD LIÊN HỆ 0946798489 | HAI ĐƯỜNG 12 THẲNG VUÔNG GÓC [...]...NGUYỄN BẢO VƯƠNG [CHƯƠNG III VECTO -QUAN HỆ VUÔNG GÓC] A  AB, CD   600 B  AB, CD   30 0 Bài làm 23 a) Ta có MC  MD  C  AB, CD   450 D  AB, CD   900 a 3 nên tam giác MCD cân tại 2 A M , do đó MN  CD Lại có RP CD  MN  RQ M b) Tương tự ta có QP  AD P R Trong tam giác vuông PDQ ta có 2  a 3   a 2 a2 Ta có : QP 2  QD2  DP 2       2   2 ... thang vuông B MNPQ là hình vuông C MNPQ là hình chữ nhật D MNPQ là hình bình hành b)Tính diện tích của MNPQ theo a A SMNPQ  3a 2 8 B SMNPQ  a2 8 C SMNPQ  3a 2 4 D SMNPQ  a2 4 GIÁO VIÊN MUỐN MUA FILE WORD LIÊN HỆ 0946798489 | HAI ĐƯỜNG 11 THẲNG VUÔNG GÓC NGUYỄN BẢO VƯƠNG [CHƯƠNG III VECTO -QUAN HỆ VUÔNG GÓC]    SAB   Bài làm 25 a) Ta có  SAB    ABCD   AB  MN AB      ABCD... thẳng AC và BD A  AC , BD  a  arccos B  AC , BD   arccos C  AC , BD   arccos 2  c2 A  b2  2 a2  c 2 b  M P 2  2 a2  c 2 3b 2  B D N C GIÁO VIÊN MUỐN MUA FILE WORD LIÊN HỆ 0946798489 | HAI ĐƯỜNG 10 THẲNG VUÔNG GÓC NGUYỄN BẢO VƯƠNG [CHƯƠNG III VECTO -QUAN HỆ VUÔNG GÓC] D  AC , BD   arccos  2 a2  c 2 b  2 Bài làm 24 Gọi M , N , P lần lượt là trung điểm của các cạnh AB, CD, AD a)... nhau, suy ra MC  MD Vậy tam giác MCD cân tại M và có trung tuyến MN nên MN  CD Tương tự MN  AB Chứng minh tương tự cho hai cặp cạnh đối còn lại  PM BD b) Ta có    BD, AC    PM , PN   PN AC Theo công thức tính đường trung tuyến ta có   2 2 2 CA2  CB2 AB2 2 b  c  a CM    2 4 4 2 Tương tự DM 2    2 b2  c 2  a2 4 , nên MN 2    2 2 2 MC 2  MD2 CD2 2 b  c  a a2 b2  c 2  a2... hình bình hành  MN AB  Lại có  MQ SA  MN  MQ  AB  SA  S Vậy MNPQ là hình thang vuông Q SA a CD a  , PQ   b) Ta có MN  AB  a , MQ  2 2 2 2 Vậy SMNPQ P 1   MN  PQ  MQ 2 D A 1 a  a 3a 2  a   2 22 8 B N M C GIÁO VIÊN MUỐN MUA FILE WORD LIÊN HỆ 0946798489 | HAI ĐƯỜNG 12 THẲNG VUÔNG GÓC ... C  12OF  OA  OE  6OA  OB  OG  6OA  3OB  3OG  6OA  3OB  OA  2OM  7OA  3OB  OC  OD  a  3b  c  d   36 BG.OF  a  3b  c  d a  3b  c  d 2  5 Từ     ta có  =7 a ... GÓC NGUYỄN BẢO VƯƠNG [CHƯƠNG III VECTO -QUAN HỆ VUÔNG GÓC]   Theo (3) ta có 36 BG.OF  2d c  a  2OD.AC suy BG.OF   OD.AC  hay OF  BG  OD  AC CÁC BÀI TO N LUYỆN TẬP Câu 16 Cho tứ diện... tích MNPQ theo a A SMNPQ  3a B SMNPQ  a2 C SMNPQ  3a D SMNPQ  a2 GIÁO VIÊN MUỐN MUA FILE WORD LIÊN HỆ 0946798489 | HAI ĐƯỜNG 11 THẲNG VUÔNG GÓC NGUYỄN BẢO VƯƠNG [CHƯƠNG III VECTO -QUAN HỆ VUÔNG