ĐỂ LÀM NHANH BÀI TẬP NGUYÊN HÀM VÀ TÍCH PHÂN CÁC EM CẦN NHỚ: ∫ dx = C α ∫ x dx = ∫ dx = x + C α +1 x +C α +1 ∫ e dx = e x x dx ∫ x = ln x + C ( x ≠ ) ax x ∫ a dx = + C ( < a ≠ 1) ln a ∫ sin xdx = − cos x + C ( α ≠ -1) +C ∫ cos xdx = sin x + C dx = tan x + C ∫ cos x 10 dx ∫ sin x = − cot x + C Lưu ý: Với u biểu thức theo x, ta có : ∫ α α u ∫ u du = α +1 ví dụ : ∫ d ( x + x) = (x2 + 2x) + C du = u + C +1 + C , α ≠ -1 du ∫ u = ln u + C ( u ≠ ) ∫ e du = e + C u u sin x + C 2 ví dụ ∫ sin x cos xdx = ∫ sin x.d (sin x) = ví dụ ∫ cot xdx = ∫ cos x d (sin x ) dx = ∫ sin x sin x (dạng ∫ du ) = ln|sinx| + C u u x x ví dụ : ∫ xe dx = ∫ e d ( x ) (dạng ∫ e du ) = e x + C 2 au 3x u x x du x dx = d ( x ) ∫ a du = (dạng ∫ ) = +C + C ( < a ≠ 1) ví dụ : ∫ ∫ ln ln a x x x x ∫ cos udu = sin u + C ví dụ : ∫ e cos(e )dx = ∫ cos(e )d (e ) (dạng ∫ cos udu ) = sin(ex) + C 2 u ∫ du = tan u + C ∫ cos u sin udu = − cos u + C du ∫ sin u = − cot u + C 2 2 ví dụ : ∫ x sin x dx = ∫ sin x d ( x ) (dạng ∫ sin udu ) = - cosx2 + C ví dụ : ∫ dx d (ln x) =∫ x cos (ln x) cos (ln x) (dạng ví dụ : ∫ 3dx d (3 x ) =∫ 2 sin 3x sin x ∫ sin (dạng du ∫ cos du u u ) = tan(lnx) + C ) = - cot3x + C Ngoài em cần nhớ thêm công thức sau để làm nhanh Trắc nghiệm nguyên hàm ∫ tan xdx = - ln|cosx| + C ∫ cot xdx = ln|sinx| + C dx dx x−a = ln x + a + x + C = ln + C ∫ ∫ x − a 2a x + a 2 x +a dx dx x = ln x − a + x + C = ln tan +C ∫ ∫ sin x x2 − a2 dx xdx  x π = ln tan  + ÷ + C = ln x + a + C ∫ ∫ 2 cos x x +a 2 4 xdx xdx = x2 + a2 + C = ln x − a + C ∫ 10 ∫ x −a x2 + a2 xdx x a 2 = x2 − a2 + C 11 ∫ 12 ∫ x + a dx = x + a + ln x + x + a + C 2 2 x −a x a 2 13 ∫ x − a dx = x − a − ln x + x − a + C 2 Good luck! HCT-THPT Hoài Ân, Bình Định