NGUYỄN BẢO VƯƠNG CHƯƠNG V ĐẠO HÀM TẬP 2A VIẾT PHƯƠNG TRÌNH TIẾP TUYẾN CỦA ĐỒ THỊ HÀM SỐ KHI BIẾT TIẾP ĐIỂM Giáo viên muốn mua file word liên hệ 0946798489 để gặp thầy Vương Hoặc liên hệ qua: Facebook: https://web.facebook.com/phong.baovuong Page : https://web.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/ Email: baovuong7279@gmail.com Website: http://tailieutoanhoc.vn/ 0946798489 NGUYỄN BẢO VƯƠNG CHƯƠNG V ĐẠO HÀM TẬP 2A PHƯƠNG TRÌNH TIẾP TUYẾN MỤC LỤC PHƢƠNG TRÌNH TIẾP TUYẾN CỦA ĐỒ THỊ HÀM SỐ Vấn đề Viết phương trình tiếp tuyến đồ thị hàm số biết tiếp điểm CÁC BÀI TOÁN LUYỆN TẬP 13 LỜI TÂM SỰ Ở tài liệu tiếp tuyến này, tơi chia thành tập nhỏ, đảm bảo chất lượng bố cục, cơng tác trình bày, mong quý vị bạn đọc theo dõi cách thường xuyên để cập nhật tài liệu hay chất lượng Thân GIÁO VIÊN NÀO MUỐN MUA FILE WORD VUI LÒNG LIÊN HỆ 0946798489 ĐỂ ĐẶT MUA NHÉ THÂN ÁI GIÁO VIÊN MUỐN MUA FILE WORD LIÊN HỆ 0946798489 NGUYỄN BẢO VƯƠNG CHƯƠNG V ĐẠO HÀM TẬP 2A PHƯƠNG TRÌNH TIẾP TUYẾN PHƯƠNG TRÌNH TIẾP TUYẾN CỦA ĐỒ THỊ HÀM SỐ  Ý nghĩa hình học đạo hàm: Đạo hàm hàm số y  f(x) điểm x0 hệ số góc tiếp tuyến với đồ thị (C) hàm số điểm M0  x0 ; f(x0 )  Khi phƣơng trình tiếp tuyến (C) điểm M0  x0 ; f(x0 )  là:  y0  f(x0 )  Điều kiện cần đủ để hai đƣờng  C1  : y  f(x)  C2  : y  g(x) y – y0  f (x0 ).(x – x0 ) tiếp xúc  f( x0 )  g( x0 )  có nghiệm x0  f '( x0 )  g'( x0 ) điểm có hồnh độ x0 hệ phƣơng trình  Nghiệm hệ hồnh độ tiếp điểm hai đƣờng  Nếu (C1 ) : y  px  q  C2  : y  ax2  bx  c (C1 )  C2  iếp xúc  phƣơng trình ax2  bx  c  px  q có nghiệm kép Các dạng tiếp tuyến đồ thị hàm số thường gặp - Viết phƣơng trình tiếp tuyến biết tọa độ tiếp điểm M  x0 ; y0  , hoành độ x0 , tung độ y - Viết phƣơng trình tiếp tuyến biết tiếp tuyến qua điểm A  xA ; yA  cho trƣớc - Viết phƣơng trình tiếp tuyến biết hệ số góc Phương pháp: Cho hàm số y  f  x  có đồ thị  C  M  x0 ; y0  điểm  C  Tiếp tuyến với đồ thị  C  M  x0 ; y0  có: - Hệ số góc: k  f '  x0  - Phƣơng trình: y  y0  k  x  x0  , hay y  y0  f '  x0  x  x0  Vậy, để viết đƣợc phƣơng trình tiếp tuyến M  x0 ; y0  cần đủ ba yếu tố sau: - Hoành độ tiếp điểm: x0 - Tung độ tiếp điểm: y (Nếu đề chƣa cho, ta phải tính cách thay x0 vào hàm số y0  f  x0  ) - Hệ số góc k  f '  x0  Vấn đề Viết phương trình tiếp tuyến đồ thị hàm số biết tiếp điểm Phương pháp: Bài toán : Hai đƣờng cong  C  : y  f  x   C'  : y  g  x  tiếp xúc M  x0 ; y0  Khi điểm M   C    C'  tiếp tuyến M  C  trùng với tiếp tuyến M  C'  hệ phƣơng trình sau:  f  x   g  x  có nghiệm x0   f '  x0   g'  x0  GIÁO VIÊN MUỐN MUA FILE WORD LIÊN HỆ 0946798489 NGUYỄN BẢO VƯƠNG CHƯƠNG V ĐẠO HÀM TẬP 2A PHƯƠNG TRÌNH TIẾP TUYẾN Lưu ý : Mệnh đề sau không cho trƣờng hợp:  C  : y  f  x  tiếp xúc  f  x   ax  b  có nghiệm kép   d  : y  ax  b Hàm f  x  nhận x0 làm nghiệm bội k f  x0   f '  x0    f lớn nghiệm kép  k1 x  f k x  Nghiệm bội  0  0 Phép biến đổi tƣơng đƣơng phƣơng trình nói chung khơng bảo tồn số bội nghiệm Ví dụ Đƣờng cong y  x không tiếp xúc với trục hồnh , tức phƣơng trình x  không nhận làm nghiệm bội lớn Khi đồ thị  C  : y  x hàm số tiếp xúc với trục hoành x  nhƣng phƣơng trình x3  nhận làm nghiệm bội Ví dụ Đồ thị  C  : y  sin x hàm số tiếp xúc với đƣờng thẳng  d  : y  x x  nhƣng phƣơng trình sin x  x  khơng thể có nghiệm kép Nhƣ vậy, biến đổi tƣơng đƣơng phƣơng trình bảo tồn tập nghiệm, khơng bảo tồn số bội nghiệm Đây sai lầm dễ mắc phải giải toán tiếp tuyến Bài toán : * Đƣờng cong  C  : y  f  x  có tiếp tuyến điểm có hồnh độ x0 hàm số y  f  x  khả vi x0 Trong trƣờng hợp  C  có tiếp tuyến điểm có hồnh độ x0 tiếp tuyến có hệ số góc f '  x0    * Phƣơng trình tiếp tuyến đồ thị  C  : y  f  x  điểm M x0 ; f  x0  có dạng : y  f '  x0  x  x0   f  x0  Bài toán Viết phƣơng trình tiếp tuyến đồ thị hàm số y  f  x  điểm M(x0 ; f(x0 )) Giải Tiếp tuyến đồ thị hàm số y  f(x) M(x0 ; y0 ) là: y  f '(x0 )(x  x0 )  y0 Bài tốn Viết phƣơng trình tiếp tuyến đồ thị hàm số y  f  x  biết hồnh độ tiếp điểm x  x0 Giải: Tính y0  f(x0 ), y'(x0 )  phƣơng trình tiếp tuyến: y  f '(x0 )(x  x0 )  y0 Bài tốn Viết phƣơng trình tiếp tuyến đồ thị hàm số y  f  x  biết tung độ tiếp điểm y Giải Gọi M(x0 ; y0 ) tiếp điểm Giải phƣơng trình f(x)  y0 ta tìm đƣợc nghiệm x0 Tính y'(x0 ) thay vào phƣơng trình (1) Các ví dụ Ví dụ : Cho hàm số y  x3  3x2  có đồ thị (C) Viết phƣơng trình tiếp tuyến (C) : Tại điểm M  1;  ; Tại điểm có hồnh độ ; Tại điểm có tung độ ; Tại giao điểm (C) với trục tung ; GIÁO VIÊN MUỐN MUA FILE WORD LIÊN HỆ 0946798489 NGUYỄN BẢO VƯƠNG CHƯƠNG V ĐẠO HÀM TẬP 2A PHƯƠNG TRÌNH TIẾP TUYẾN Có hệ số góc ; Song song với đƣờng thẳng (d ): 27x  3y   ; Vng góc với đƣờng thẳng (d’ ) : x  9y  2013  Lời giải Hàm số cho xác định D  Ta có: y'  3x2  6x  t  M  1; 3 có phƣơng trình : Ta có: y'  1  3 , phƣơng trình  t  là: y  3x  Phƣơng trình tiếp tuyến y  y'  1 x  1  Chú ý:   Viết phƣơng trình tiếp tuyến đồ thị hàm số y  f  x  điểm M x0 ; f  x0  Tiếp tuyến đồ thị hàm số y  f  x  M  x0 ; y0  là: y  f '  x0  x  x0   y0 Thay x  vào đồ thị (C) ta đƣợc y  21 Tƣơng tự câu 1, phƣơng trình  t  là: y  24x  27 Chú ý: Viết phƣơng trình tiếp tuyến đồ thị hàm số y  f  x  biết hoành độ tiếp điểm x  x0 , y0  f  x0  , y'  x0   phƣơng trình tiếp tuyến: y  f '  x0  x  x0   y0 Thay y  vào đồ thị (C) ta đƣợc x2  x     x  x  3 Tƣơng tự câu 1, phƣơng trình  t  là: y  , y  9x  28 Chú ý: Viết phƣơng trình tiếp tuyến đồ thị hàm số y  f  x  biết tung độ tiếp điểm y Gọi M  x0 ; y0  tiếp điểm Giải phƣơng trình f  x   y0 ta tìm đƣợc nghiệm x0 Tính y'  x0   phƣơng trình tiếp tuyến: y  f '  x0  x  x0   y0 Trục tung Oy : x   y  Tƣơng tự câu 1, phƣơng trình  t  là: y  Gọi  x0 ; y0  tọa độ tiếp điểm đồ thị (C ) hàm số tiếp tuyến t Ta có : y'  x0   3x02  6x0 , theo giả thiết y'  x0   , tức 3x02  6x0   x0  3 x0  Tƣơng tự câu Gọi  x0 ; y0  tọa độ tiếp điểm đồ thị (C ) hàm số tiếp tuyến Theo toán:  t  t d  : y  9x  53  y'  x0   Tƣơng tự câu Gọi  x0 ; y0  tọa độ tiếp điểm đồ thị (C ) hàm số tiếp tuyến Theo toán:  t    d'  : y   x  t 2013  y'  x0   Tƣơng tự câu GIÁO VIÊN MUỐN MUA FILE WORD LIÊN HỆ 0946798489 NGUYỄN BẢO VƯƠNG CHƯƠNG V ĐẠO HÀM TẬP 2A PHƯƠNG TRÌNH TIẾP TUYẾN Ví dụ Cho hàm số: y  x3   m  1 x2   3m  1 x  m  Tìm m để tiếp tuyến đồ thị hàm số điểm có hồnh độ qua điểm A  2; 1 Gọi (Cm) đồ thị hàm số y  x3  (2m  1)x2  (m  3)x  (d) tiếp tuyến (C) điểm có hồnh độ x = Tìm m để khoảng cách từ gốc tọa độ O đến (d) 17 Lời giải Hàm số cho xác định với x  Ta có: y'  3x   m  1 x  3m  Với x   y  1  3m   y' 1  m  Phƣơng trình tiếp tuyến điểm có x  : y   m   x  1  3m  Tiếp tuyến qua A  2; 1 nên có: 1  m   3m   m  2 Vậy, m  2 giá trị cần tìm Hàm số cho xác định với x  Ta có: y'  3x2   2m  1 x  m  Phƣơng trình tiếp tuyến (d) : y  y'(2)(x  2)  y(2) y  11 – 7m  x –   – 6m  11 – 7m  x  8m – 15  (11  7m)x  y  8m  15  d(0,(d))  8m  15 (11  7m)   17  17(8m  15)2  49[(11  7m)2  1]  1313m2  3466m  2153   m  1, m  2153 1313 Ví dụ : Viết phƣơng trình tiếp tuyến đồ thị  C  : y  x4  x2  , biết tiếp tuyến vng góc với đƣờng thẳng y  x  x  x  có đồ thị (C) Tìm tr n đồ thị (C) điểm mà tiếp tuyến đồ thị 3 vng góc với đƣờng thẳng y   x  3 Cho hàm số y  Lời giải Hàm số cho xác định D  Gọi  t  tiếp tuyến đồ thị  C  hàm số  t  vng góc với đƣờng thẳng y  thẳng  t  có hệ số góc 6 x  , n n đƣờng GIÁO VIÊN MUỐN MUA FILE WORD LIÊN HỆ 0946798489 NGUYỄN BẢO VƯƠNG CHƯƠNG V ĐẠO HÀM TẬP 2A PHƯƠNG TRÌNH TIẾP TUYẾN Cách 1: Gọi M  x0 ; y0  tọa độ tiếp điểm tiếp tuyến  t  đồ thị  C  hàm số Khi đó, ta có phƣơng trình: y'  x0   6  4x03  2x0  6     x0  1 2x02  2x0    Vì 2x02  2x0   0, x0  n n phƣơng trình   x0   y0  y 1   M 1;  Phƣơng trình tiếp tuyến cần tìm là: y  6  x  1   6x  10 Cách 2: Phƣơng trình  t  có dạng y  6x  m  t  tiếp xúc  C  điểm M  x0 ; y0  hệ phƣơng trình sau có nghiệm x0  x  x0  x0   6x0  m có nghiệm x0    m  10  4x0  2x0  6 Hàm số cho xác định D  Ta có: y'  x2  1 Gọi M(x0 ; y0 )  (C)  y  x30  x  , 3 Tiếp tuyến điểm M có hệ số góc: y'(x0 )  x02  1 Đƣờng thẳng d: y   x  có hệ số góc k   3  x   y0   1   d  k1 k2  1  (x02  1)     1  x02      3 x    y   0  4 3 Vậy, có điểm M  2;  ,  2;  tọa độ cần tìm  Ví dụ 3x (1) Viết phƣơng trình tiếp tuyến (d) (C) biết (d) cách hai điểm x2 A  1;   B 1;  Cho hàm số y  Cho hàm số y  x3  6x2  9x  (1) Viết phƣơng trình tiếp tuyến (d) (C) biết (d) cách hai điểm A  2;7  B   2;7  Lời giải Cách Phƣơng trình tiếp tuyến (d) có dạng y  f '(x0 )(x  x0 )  f(x0 ) ( x0 hoành độ tiếp điểm (d) (C)) = (x0  2)2 (x  x0 )   x0 x0   (x0  2)2 x ( x02  6x0  6) (x0  2)2 GIÁO VIÊN MUỐN MUA FILE WORD LIÊN HỆ 0946798489 NGUYỄN BẢO VƯƠNG CHƯƠNG V ĐẠO HÀM TẬP 2A PHƯƠNG TRÌNH TIẾP TUYẾN  5x  (x0  2)2 y  x02  6x0   d(A,(d))  d(B,(d))  5  2(x0  2)2  x02  6x0   25  (x0  2)4  x02  6x0  25  (x0  2)4  x2  14x  19  x2  6x   x0  1 0   x0  1  x02  14x0  19  x02  6x0     x02  14x0  19  x02  6x0   x0  4x0   Vậy phƣơng trình  d  : y   5x – Cách Tiếp tuyến (d) cách hai điểm A, B suy (d) song song với đƣờng thẳng AB (d) qua trung điểm I(0; - 1) đoạn AB * Trƣờng hợp 1: (d) //AB y y B Hệ số góc đƣờng thẳng AB: kAB  A  xA  x B (d) // AB suy hệ số góc (d) : f’  x0      (*) Phƣơng trình (*) vơ nghiệm trƣờng (x0  2)2 hợp không xảy * Trƣờng hợp 2: (d) qua trung điểm I đoạn AB Phƣơng trình (d) có dạng y = kx –   x0  kx0  (2)   x0  (d) tiếp xúc (C) điểm có hồnh độ x0   có nghiệm x0   k (3)  (x  2)2  Thay k   (x0  2) vào (2) ta đƣơc  x0 x0   (x0  2)2 1   x0  2 x0  2    x0  1  x   (3  x )(x  2)    (x  2)    0  Thay x0  1 vào (2) ta đƣợc k  5 Vậy phƣơng trình  d  : y   5x – Phƣơng trình tiếp tuyến (D) có dạng : y  (3x02  12x0  9)(x  x0 )  x03  6x02  9x0   (3x02  12x0  9)x  2x03  6x02   (3x02  12x0  9)x  y  2x03  6x02   (*) GIÁO VIÊN MUỐN MUA FILE WORD LIÊN HỆ 0946798489 NGUYỄN BẢO VƯƠNG CHƯƠNG V ĐẠO HÀM TẬP 2A PHƯƠNG TRÌNH TIẾP TUYẾN d(A,(D))  d(B,(D))  2(3x02  12x0  9)   2x03  6x02  (3x02  12x0  9)2   2(3x02  12x0  9)   2x 03  6x 02  (3x02  12x0  9)2   2x3  12x2  24x  10  2x  24x  26 (1) 0 0  2x03  12x02  24x0  10  2x03  24x0  26   3  2x0  12x0  24x0  10  2x0  24x0  26 (2) 12x2  48x  36  x   x0  0    4x0  12x0  16   x0  1  x0  Lần lƣợt thay x0   x0   x0  1  x0  vào (*) ta đƣợc phƣơng trình tiếp tuyến (D) y   0, y   0, y  24x  7, y   3x  Ví dụ Viết phƣơng trình tiếp tuyến d với đồ thị  C  : y  x3  3x2  , biết d cắt trục Ox, Oy lần lƣợt A, B thỏa mãn: OB  9OA Viết phƣơng trình tiếp tuyến với đồ thị  C  : y  x3  6x2  9x  điểm M, biết M điểm cực trị  C  tạo thành tam giác có diện tích Lời giải   Gọi M x0 ; y  x0  toạ độ tiếp điểm Theo toán, đƣờng thẳng d đƣờng thẳng qua điểm phân biệt A, B Gọi  góc tạo d Ox , d có hệ số góc k   tan  Dễ thấy, tam giác AOB vuông O , suy tan   OB 9 OA  y'  x0    3x2  6x   0  y' x    3x0  6x0      Nói khác đƣờng thẳng d có hệ số góc 9 , nghĩa ta ln có:   x02  2x0    x0  1 x0  x02  2x0   0, x0  Với x0  1 suy phƣơng trình tiếp tuyến y  9x  Với x0  suy phƣơng trình tiếp tuyến y  9x  25 Vậy, có tiếp tuyến y  9x  , y  9x  25 thỏa đề Hàm số cho có điểm cực trị A 1;  , B  3; 2  đƣờng thẳng qua cực trị AB : 2x  y   Gọi M  x0 ; y0  tọa độ tiếp điểm đồ thị  C  hàm số tiếp tuyến  d  cần tìm Khi y0  x03  6x02  9x0  Ta có: AB  , d  M; AB   2x0  y0  Giả thiết SMAB   AB.d  M; AB    2x0  y0    2x0  y0  10 2x0  y0  2 GIÁO VIÊN MUỐN MUA FILE WORD LIÊN HỆ 0946798489 NGUYỄN BẢO VƯƠNG CHƯƠNG V ĐẠO HÀM TẬP 2A PHƯƠNG TRÌNH TIẾP TUYẾN  y0  2  2x0   y  2 2x0  y0  2   hay    x x  6x0  11     x0    y0  x0  6x0  9x0   0  TH1: Tọa độ M thỏa mãn hệ:  M  0; 2   Tiếp tuyến M là: y  9x   2x0  y0  10   y0  x0  6x0  9x0  TH2: Tọa độ M thỏa mãn hệ:   y0  10  2x0   y  hay M  4;    x0   x0  6x0  11  x0         Tiếp tuyến M là: y  9x  34 Vậy, có tiếp tuyến thỏa đề bài: y  9x  y  9x  34 Ví dụ Gọi (C) đồ thị hàm số y  x 1 x3 Gọi M điểm thuộc (C) có khoảng cách đến trục hồnh độ Viết phƣơng trình tiếp tuyến (C) M Gọi (d) tiếp tuyến (C) , (d) cắt đƣờng tiệm cận đứng (C) A , cắt đƣờng tiệm cận ngang (C) B gọi I tâm đối xứng (C) Viết phƣơng trình tiếp tuyến (d) biết: i) IA = 4IB ii) IA + IB nhỏ Lời giải Khoảng cách từ M đến trục Ox  yM  5  yM  5   M  (C)  x   TH1:   xM    M   yM  5 5  x   y  5  M M   yM  M  (C)   x  4 TH2:   xM    M  yM     yM  5  x  M     Phƣơng trình tiếp tuyến (C) điểm M   ; 5  y  9x  16  Phƣơng trình tiếp tuyến (C) điểm M   4;  y  4x  21 i) Ta có ABI góc hình học hợp tiếp tuyến (d) với trục hồnh suy hệ số góc (d) k  tan ABI   IA  4 IB Phƣơng trình tiếp tuyến  d  : y  4x  y  4x  21 ii) Phƣơng trình tiếp tuyến (d) có dạng : y  (x0  3)2 (x  x0 )  x0  x0   (x0  3)2 x x02  2x0  (x0  3)2 GIÁO VIÊN MUỐN MUA FILE WORD LIÊN HỆ 0946798489 NGUYỄN BẢO VƯƠNG CHƯƠNG V ĐẠO HÀM TẬP 2A PHƯƠNG TRÌNH TIẾP TUYẾN 7  2 7 Bài làm y'  3x2  4x  m    x    m   m   y'  m   y'  m  x  Theo 3 3 3   toán ta có: y'  1  1   m   7 10   1  1  m  3 mx3   m  1 x2   3m   x  có điểm mà tiếp tuyến vng góc với đƣờng thẳng x  y  2013  Câu Tìm m để đồ thị : y  B  A m  1 m C  m1 D  m1 Bài làm Để tiếp tuyến đồ thị vng góc với đthẳng x  y  2012  y'.1  1 hay mx2   m  1 x  3m   có nghiệm  Đáp số:   m 1 Câu Cho hàm số y  x3  3x  có đồ thị  C  Giả sử  d  tiếp tuyến  C  điểm có hồnh độ x  , đồng thời  d  cắt đồ thị  C  N, tìm tọa độ N A N 1; 1 B N  2;  C N  4; 51 D N  3;19  Bài làm Tiếp tuyến  d  điểm M đồ thị  C  có hồnh độ x0   y0  Ta có y'(x)  3x2   y'(x0 )  y'(2)  Phƣơng trình tiếp tuyến  d  điểm M đồ thị  C  y  y'(x0 )(x  x0 )  y0  y  9(x  2)   y  9x  15   Xét phƣơng trình x3  3x   9x  15  x3  12x  16    x   x2  2x    x  4 x  ( không thỏa ) Vậy N  4; 51 điểm cần tìm Bài 11: Câu Cho hàm số y  x3  2x2  8x  có đồ thị  C  Khẳng định sau ? A Khơng có hai tiếp tuyến đồ thị hàm số lại vng góc với B Ln có hai tiếp tuyến đồ thị hàm số lại vng góc với C Hàm số qua điểm M 1;17  D Cả A, B, C sai Bài làm Ta có y'(x)  3x2  4x  Giả sử trái lại có hai tiếp tuyến với đồ thị  C  vng góc với Gọi x1 ,x2 tƣơng ứng hoành độ hai tiếp điểm hai tiếp tuyến GIÁO VIÊN MUỐN MUA FILE WORD LIÊN HỆ 0946798489 25 NGUYỄN BẢO VƯƠNG CHƯƠNG V ĐẠO HÀM TẬP 2A PHƯƠNG TRÌNH TIẾP TUYẾN Gọi k1 ,k2 lần lƣợt hệ số góc hai tiếp tuyến điểm  C  có hồnh độ x1 ,x2    Khi k1 ,k2  1  y'  x1  y'  x2   1  3x12  4x1  3x22  4x2   1 Tam thức f  t   3t  4t  có  '  nên f  t   0t   1 từ từ  1 suy mâu thuẫn Vậy, giả thiết phản chứng sai, suy (đpcm) Câu Cho hàm số y  x4  2x2  Tìm phƣơng trình tiếp tuyến hàm số có khoảng cách đến điểm M  0; 3  65 A y  2x  B y  3x   Bài làm Gọi A   C   A a;a  2a  C y  x  D.Đáp án khác  Ta có: y'  4x3  4x  y'  a   4a  4a Phƣơng trình tiếp tuyến   d M;  t   65 t :  4a   4a x  y  3a4  2a2   3a  2a hay  4a  4a   65 1  hay   a  1 a  1 117a6  193a  85a   Giải tìm a, sau vào phƣơng trình (t) suy phƣơng trình tiếp tuyến cần tìm Câu Tìm m để đồ thị y  x3  3mx  có tiếp tuyến tạo với đƣờng thẳng d : x  y   góc  cho cos  26 A m  B m  C m  1, m  D Đáp án khác Bài làm Gọi k hệ số góc tiếp tuyến  tiếp tuyến có vectơ pháp tuyến n1   k; 1 , d có vec tơ pháp tuyến n  1;1 Ta có cos   n1 n n1 n  26  k 1 2 k 1 k k  u cầu tốn  hai phƣơng trình y'  k1 y'  k2 có nghiệm x tức   3x    2m  x   m    3x2   2m x   m     có nghiêm Tìm điều kiện có nghiệm suy m Bạn tự giải tiếp, hí hí có nghiêm GIÁO VIÊN MUỐN MUA FILE WORD LIÊN HỆ 0946798489 26 NGUYỄN BẢO VƯƠNG CHƯƠNG V ĐẠO HÀM TẬP 2A PHƯƠNG TRÌNH TIẾP TUYẾN Câu Xác định m để hai tiếp tuyến đồ thị y  x4  2mx2  2m  A  1; 0 B  1;  hợp với góc  cho cos   15 17 A m  0, m  2, m  , m 16 B m  0, m  2, m  15 17 , m 16 16 C m  0, m  2, m  15 , m 16 16 D m  0, m  2, m  , m 6 Bài làm Dễ thấy, A, B điểm thuộc đồ thị với m  Tiếp tuyến d1 A :  4m   x  y  4m   Tiếp tuyến d B :  4m   x  y  4m   Đáp số: m  0, m  2, m  Bài 12 Cho hàm số: y  15 17 , m 16 16 2x  có đồ thị  C  x 1 Viết phƣơng trình tiếp tuyến đồ thị (C) Câu a Tiếp tuyến có hệ số góc 1 A y  x  2, y  x  B y  x  5, y  x  C y  x  1, y  x  D y  x  1, y  x  Bài làm a Hàm số cho xác định với x  Ta có: y'  4  x  12 Gọi M  x0 ; y0  tọa độ tiếp điểm, suy phƣơng trình tiếp tuyến  C  : y 4  x0  1  x  x0   2x0  x0  với y'  x0   2x  4  x0  1 y0  x0  Tiếp tuyến có hệ số góc 1 Nên có: 4  x  12  1  x0  3, x0  1  Với x0  1  y0    : y  x   Với x0   y0    : y  x  Vậy, có tiếp tuyến thỏa mãn đề bài: y  x  1, y  x  Câu b Tiếp tuyến song song với đƣờng thẳng d : y  4x  A y  4x  3, y  4x  B y  4x  2, y  4x  44 C y  4x  2, y  4x  D y  4x  2, y  4x  14 GIÁO VIÊN MUỐN MUA FILE WORD LIÊN HỆ 0946798489 27 NGUYỄN BẢO VƯƠNG CHƯƠNG V ĐẠO HÀM TẬP 2A PHƯƠNG TRÌNH TIẾP TUYẾN Hàm số cho xác định với x  Ta có: y'  Bài làm b 4  x  12 Gọi M  x0 ; y0  tọa độ tiếp điểm, suy phƣơng trình tiếp tuyến  C  : y 4  x0  1  x  x0   2x0  x0  với y'  x0   2x  4  x0  1 y0  x0  Tiếp tuyến song song với đƣờng thẳng d : y  4x  Nên có: y'  x0   4  4  x0  1  4  x0  x0   Với x0   y0    : y  4x   Với x0   y0    : y  4x  14 Vậy, có tiếp tuyến thỏa mãn đề bài: y  4x  2, y  4x  14 Câu c Tiếp tuyến tạo với trục tọa độ lập thành tam giác cân A y  x  1, y  x  B y  x  y  x  C y  x  1, y  x  D y  x  1, y  x  Hàm số cho xác định với x  Ta có: y'  Bài làm c 4  x  12 Gọi M  x0 ; y0  tọa độ tiếp điểm, suy phƣơng trình tiếp tuyến  C  : y 4  x0  1  x  x0   2x0  x0  với y'  x0   2x  4 y0  x0   x0  1 Tiếp tuyến tạo với trục tọa độ lập thành tam giác cân nên hệ số góc tiếp tuyến 1 Mặt khác: y'  x0   , nên có: y'  x0   1 Tức 4  x0  12  1  x0  1 x0   Với x0  1  y0    : y  x   Với x0   y0    : y  x  Vậy, có tiếp tuyến thỏa mãn đề bài: y  x  1, y  x  Câu d Tiếp tuyến điểm thuộc đồ thị có khoảng cách đến trục Oy , y  4x  14 B y   x  , y  4x  D y   x  A y   x  C y   x  , y  4x  9 , y  4x  14 GIÁO VIÊN MUỐN MUA FILE WORD LIÊN HỆ 0946798489 28 NGUYỄN BẢO VƯƠNG CHƯƠNG V ĐẠO HÀM TẬP 2A PHƯƠNG TRÌNH TIẾP TUYẾN Bài làm d Hàm số cho xác định với x  Ta có: y'  4  x  12 Gọi M  x0 ; y0  tọa độ tiếp điểm, suy phƣơng trình tiếp tuyến  C  : y 4  x0  1  x  x0   2x0  x0  với y'  x0   2x  4  x0  1 y0  x0   2   Khoảng cách từ M  x0 ; y0  đến trục Oy suy x0  2 , hay M  2;  , M  2;   2 3 Phƣơng trình tiếp tuyến M  2;  là: y   x   Phƣơng trình tiếp tuyến M  2; 6 là: y  4x  14 Vậy, có tiếp tuyến thỏa đề bài: y   x  , y  4x  14 Bài 13 Viết phƣơng trình tiếp tuyến với đồ thị hàm số: y  2x , biết: x 1 Câu a Hệ số góc tiếp tuyến 2 A y  2x  1, y  2x B y  2x  2, y  2x  C y  2x  9, y  2x D y  2x  8, y  2x Ta có: y'  Bài làm a  x  1  2x  x  1  tiếp tuyến  x0 ; y0  y'  x0   Theo giải thiết, ta có: y'  x0   2  2  x  12 Gọi  x0 ; y0  tọa độ tiếp điểm, hệ số góc 2  x0  12 2  x0  12  2 x    x   y0    x0  1      x0   1 x0   y0  Vậy, có tiếp tuyến thỏa đề bài: y  2x  8, y  2x Câu b Tiếp tuyến song song với đƣờng thẳng  d  : x  2y  7 ,y   x  4 B y   x  2 ,y   x  4 D y   x  A y   x  C y   x  27 ,y   x  4 27 ,y   x  4 GIÁO VIÊN MUỐN MUA FILE WORD LIÊN HỆ 0946798489 29 NGUYỄN BẢO VƯƠNG CHƯƠNG V ĐẠO HÀM TẬP 2A PHƯƠNG TRÌNH TIẾP TUYẾN Ta có: y'  Bài làm b  x  1  2x  x  1  tiếp tuyến  x0 ; y0  y'  x0   Theo giải thiết, ta có: 2  x0  1  2  x  12 Gọi  x0 ; y0  tọa độ tiếp điểm, hệ số góc 2  x0  12 1   x0  1  Vậy, có tiếp tuyến thỏa đề bài: y   x  27 ,y   x  4 Câu c Tiếp tuyến vuông góc với đƣờng thẳng    : 9x  2y   2 ,y   x  9 B y   x  ,y   x  9 D y   x  A y   x  C y   x  Bài làm c Ta có: y'   x  1  2x  x  12  tiếp tuyến  x0 ; y0  y'  x0   Theo giải thiết, ta có: 2  x0  12  2  x  12 32 ,y   x  9 9 32 ,y   x  9 Gọi  x0 ; y0  tọa độ tiếp điểm, hệ số góc 2  x0  12 2   x0  1  9 Vậy, có tiếp tuyến thỏa đề bài: y   x  32 ,y   x  9 Câu d Tạo với đƣờng thẳng  d'  : 4x  3y  2012  góc 450 A y  2x  Bài làm d Ta có: y'  B y   x  1  2x  x  1  x3 2  x  12 tiếp tuyến  x0 ; y0  y'  x0   Tiếp tuyến cần tìm có phƣơng trình: C y  x3 D Đáp án khác Gọi  x0 ; y0  tọa độ tiếp điểm, hệ số góc 2  x0  12 y  k  x  x0   y  x0  với k  y'  x0   , có vectơ pháp tuyến n   k; 1 ,  d'  có vectơ pháp tuyến m   4;  GIÁO VIÊN MUỐN MUA FILE WORD LIÊN HỆ 0946798489 30 NGUYỄN BẢO VƯƠNG CHƯƠNG V ĐẠO HÀM TẬP 2A PHƯƠNG TRÌNH TIẾP TUYẾN n.m cos 450  4k   k  1.5 n m  k thỏa đề Câu e Tạo với chiều dƣơng trục hồnh góc  cho cos    x A y  B y   x  1  2x Bài làm e Ta có: y'   x  1  x 2  x  12 tiếp tuyến  x0 ; y0  y'  x0   C y  13 x D Đáp án khác Gọi  x0 ; y0  tọa độ tiếp điểm, hệ số góc 2  x0  12 Tiếp tuyến tạo với chiều dƣơng trục hồnh ,khi tồn   0;  để tan   tan   2  x0  1 2  x0  1  Ta có: tan   cos  1 1  tan    , nên có: 2   x0  1  Câu f Tại điểm M thuộc đồ thị vng góc với IM ( I giao điểm tiệm cận ) A y  x Bài làm f Ta có: y'  B y   x  1  2x  x  12  x 2  x  12 tiếp tuyến  x0 ; y0  y'  x0   kIM   x0  1 C y  13 x D Đáp án khác Gọi  x0 ; y0  tọa độ tiếp điểm, hệ số góc 2  x0  12 , theo tốn nên có: kIM y'  x0   1   x0  1  2 Bài 14: Cho hàm số y  x4 x2   có đồ thị (C) Câu Viết phƣơng trình tiếp tuyến (C) song song với đƣờng thẳng : y  2x  A y  x  B y  x  C y  x  D y  2x  Bài làm y'(x0 )  (trong x0 hồnh độ tiếp điểm (t) với (C))  x03  x0   x03  x0    x0  GIÁO VIÊN MUỐN MUA FILE WORD LIÊN HỆ 0946798489 31 NGUYỄN BẢO VƯƠNG CHƯƠNG V ĐẠO HÀM TẬP 2A PHƯƠNG TRÌNH TIẾP TUYẾN Phƣơng trình (t): y  y'(1)(x  1)  y(1)  2(x  1)  11  2x  4 Câu Viết phƣơng trình tiếp tuyến (d) (C) biết khoảng cách từ điểm A(0;3) đến (d) A y  2x  , y  2x  4 B y  2x  3 , y  2x  14 C y  2x  3 , y  2x  4 D y  2x  3 , y  2x  14 Bài làm Phƣơng trình tiếp tuyến (d) có dạng : y  y'(x0 )(x  x0  y(x0 ) (trong x0 hồnh độ tiếp điểm (d) với (C)) 4 x x Phƣơng trình (d): y  (x03  x0 )(x  x0 )     (x03  x0 )x  x04  x02   (x03  x0 )x  y  x04  x02   d(A;(d))    x04  x02  4 (x03  x0 )2    3x04  2x02   x02 (x02  1)2   5(3x04  2x02  4)2  81[x02 (x02  1)2  1] Đặt t  x02 , t  Phƣơng trình (1) trở thành: 5(3t  2t  4)2  81[t(t  1)2  1]  5(9t  4t  16  12t  24t  16t)  81t  162t  81t  81  45t  21t  22t  t    (t  1)(45t  24t  2t  1)   t  (do t  nên 45t  24t  2t   0) Với t  ,ta có x02   x0  1 Suy phƣơng trình tiếp tuyến (d): y  2x  3 , y  2x  4 Bài 15: ax  b , có đồ thị  C  Tìm a, b biết tiếp tuyến đồ thị  C  giao điểm x2  C  trục Ox có phƣơng trình y   21 x  Câu Cho hàm số y  A a   1, b  B a   1, b  C a   1, b  D a   1, b  GIÁO VIÊN MUỐN MUA FILE WORD LIÊN HỆ 0946798489 32 NGUYỄN BẢO VƯƠNG CHƯƠNG V ĐẠO HÀM TẬP 2A PHƯƠNG TRÌNH TIẾP TUYẾN 1 Bài làm Giao điểm tiếp tuyến d : y   x  với trục Ox A  4;  , hệ số góc d : k   2 4a  b A  4;  ,  (C)    4a  b  Ta có: y'  2a  b (x  2)  y  4  Theo tốn thì: k   4a  b  Giải hệ  2a  b  2a  b 1 2a  b  y'(4)       2a  b  2 ta đƣợc a   1, b  Câu Cho hàm số y  ax4  bx2  c (a  0) , có đồ thị  C  Tìm a, b,c biết  C  có ba điểm cực trị , điểm cực tiểu  C  có tọa độ  0;  tiếp tuyến d  C  giao điểm  C  với trục Ox có phƣơng trình y  8 3x  24 A a  1, b  2, c  B a  1, b  21, c  C a  1, b  21, c  13 D a  12, b  22, c  a  , b  Bài làm  C  có ba điểm cực trị , điểm cực tiểu  C  có tọa độ  0;    c  Giao điểm tiếp tuyến d trục Ox B   3; hệ số góc d 8 9a  3b  c   9a  3b  c   B  (C)     6a  b  4 4a  2b  8   y'  8        c   Giải hệ 9a  3b  c  ta đƣợc a  1, b  2, c   y  x4  2x2  6a  b  4  Bài 16: Cho hàm số y  2x4  4x2  có đồ thị (C) Câu Viết phƣơng trình tiếp tuyến (C), biết tiếp tuyến vng góc với đƣờng thẳng x  48y   A  : y  48x  81 B  : y  48x  81 C  : y  48x  D  : y  48x  Bài làm Ta có y'  8x3  8x Gọi M(x0 ; y0 ) Tiếp tuyến  M có phƣơng trình: y  (8x03  8x0 )(x  x0 )  2x04  4x02  Vì tiếp tuyến vng góc với đƣờng thẳng x  48y   Nên ta có: y'(x0 )  1  y'(x0 )  48 48 x03  x0    x0  2  y0  15 Phƣơng trình  : y  48(x  2)  15  48x  81 GIÁO VIÊN MUỐN MUA FILE WORD LIÊN HỆ 0946798489 33 NGUYỄN BẢO VƯƠNG CHƯƠNG V ĐẠO HÀM TẬP 2A PHƯƠNG TRÌNH TIẾP TUYẾN Câu Viết phƣơng trình tiếp tuyến (C), biết tiếp tuyến qua A(1; 3) A  : y  3 hay  : y   64 x 27 81 B  : y  3 hay  : y   64 x 27 C  : y  3 hay  : y   64 51 x 27 D  : y  3 hay  : y   64 51 x 27 81 Bài làm Ta có y'  8x3  8x Gọi M(x0 ; y0 ) Tiếp tuyến  M có phƣơng trình: y  (8x03  8x0 )(x  x0 )  2x04  4x02  Vì tiếp tuyến  qua A(1; 3) nên ta có 3  (8x03  8x0 )(1  x0 )  2x04  4x02   3x04  4x03  2x02  4x0    (x0  1)2 (x0  1)(3x0  1)   x0  1   : y  3  x0  64 51 :y x 27 81 Câu Viết phƣơng trình tiếp tuyến (C), biết tiếp tuyến tiếp xúc với (C) hai điểm phân biệt A  : y  3 B  : y  C  : y  D  : y  4 Bài làm Ta có y'  8x3  8x Gọi M(x0 ; y0 ) Tiếp tuyến  M có phƣơng trình: y  (8x03  8x0 )(x  x0 )  2x04  4x02  Giả sử  tiếp xúc với (C) điểm thứ hai N(n; 2n4  4n2  1) Suy ra:  : y  (8n3  8n)(x  n)  2n  4n  3  8x0  8x0  8n  8n 2  x  nx0  n    4 2   6x0  4x0   6n  4n  (x0  n)(3x0  3n  2)  Nên ta có:  2 2    x  x0 n  n    x  x0 n  n    (I)   (II) 2 3x  3n      x0  n    2 x0  n  x0  n Ta có (I)   ; (II)   vô nghiệm Vậy  : y  3 n  1 x n   Bài 17: Gọi (C) đồ thị hàm số y  x3  x2  2x  Câu Viết phƣơng trình tiếp tuyến (C) giao điểm (C) với trục tung A y  2x  B y  22x  C y  2x  D y  2x  GIÁO VIÊN MUỐN MUA FILE WORD LIÊN HỆ 0946798489 34 NGUYỄN BẢO VƯƠNG CHƯƠNG V ĐẠO HÀM TẬP 2A PHƯƠNG TRÌNH TIẾP TUYẾN Câu Viết phƣơng trình tiếp tuyến (C) vng góc với đƣờng thẳng y   x  A y = 5x + y = 5x – B y = 5x + y = 5x – C y = 5x + y = 5x – D y = 5x + y = 5x – x Bài làm Cách Tiếp tuyến (d) (C) vng góc với đƣờng thẳng y    ,suy phƣơng trình (d) có dạng : y = 5x + m  x3   x  2x   5x  m (1) (d) tiếp xúc với (C)   có nghiệm x2  2x   (2)  Giải hệ trên, (2)  x = -1  x = Thay x = - vào (1) ta đƣợc m = Thay x = vào (1) ta đƣợc m = - Vậy phƣơng trình tiếp tuyến cần tìm y = 5x + y = 5x – Cách Tiếp tuyến (d) vng góc với đƣờng thẳng y   x  suy hệ số góc (d) : k = 5 Gọi x0 hoành độ tiếp điểm (d) với (C) ,ta có : k  f '(x0 )   x02  2x0   x0  1,x0   y  5(x  1)  f(1)  5x   Suy phƣơng trình (d):  y  5(x  3)  f(3)  5x   Câu 3.Viết phƣơng trình tiếp tuyến (C) biết tiếp tuyến cắt trục hồnh , trục tung lần lƣợt A, B cho tam giác OAB vuông cân (O gốc tọa độ ) A y = x + B y = x + C y = x + 13 D y = x - Bài làm Vì tam giác OAB tam giác vng O nên vng cân O , góc tiếp tuyến (D) trục Ox 450 ,suy hệ số góc (D) k D  1 Trƣờng hợp k D  ,khi phƣơng trình (D) : y = x + a (a  0)  x3   x  2x   x  a (3) (D) tiếp xúc (C)   có nghiệm x2  2x   (4)  (4)  x2  2x    x  GIÁO VIÊN MUỐN MUA FILE WORD LIÊN HỆ 0946798489 35 NGUYỄN BẢO VƯƠNG CHƯƠNG V ĐẠO HÀM TẬP 2A PHƯƠNG TRÌNH TIẾP TUYẾN Thay x = v phƣơng trình (3) ta đƣợc a = Vậy trƣờng hợp ,phƣơng trình (D): y = x  Trƣờng hợp k D  1 , phƣơng trình (D): y = - x + a  x3   x  2x   x  a (5) (D) tiếp xúc với (C)   có nghiệm x2  2x   1 (6)  (6)  x2  2x   P/t vô nghiệm nên hệ (5), (6) vô nghiệm ,suy (D) : y = - x + a khơng tiếp xúc với (C) Vậy phƣơng trình tiếp tuyến cần tìm y = x + Bài 18: Cho hàm số y  x3  2x2  (m  1)x  2m có đồ thị (Cm ) Câu Tìm m để tiếp tuyến đồ thị (Cm ) điểm có hồnh độ x  song song với đƣờng thẳng y  3x  10 A m  B m  C m  D.Không tồn m Bài làm Ta có: y'  3x2  4x  m  Tiếp tuyến (Cm ) điểm có hồnh độ x  có phƣơng trình y  (m  2)(x  1)  3m   (m  2)x  2m m   Yêu cầu toán   2m  10 vô nghiệm Vậy không tồn m thỏa u cầu tốn Câu Tìm m để tiếp tuyến có hệ số góc nhỏ đồ thị (Cm ) vng góc với đƣờng thẳng  : y  2x  A m  B m  C m  11 D m  11 Bài làm Ta có: y'  3x2  4x  m  Ta có:  4  2 y'   x2  x    m    x    m   y'  m  9 3 3   Tiếp tuyến điểm có hồnh độ x   có hệ số góc nhỏ hệ số góc có giá trị : k  m  3 Yêu cầu toán  k.2  1   m   7 11   1  m  3 Câu Tìm m để từ điểm M(1; 2) vẽ đến (Cm ) hai tiếp tuyến GIÁO VIÊN MUỐN MUA FILE WORD LIÊN HỆ 0946798489 36 NGUYỄN BẢO VƯƠNG CHƯƠNG V ĐẠO HÀM TẬP 2A PHƯƠNG TRÌNH TIẾP TUYẾN  m  3 m  m  A  B   m  10  81  m  3 C  D   m  10  81  m  100  81  m  100  81 Bài làm Ta có: y'  3x2  4x  m  Gọi A(x0 ; y0 ) tọa độ tiếp điểm Phƣơng trình tiếp tuyến  A:   y  3x02  4x0  m  (x  x0 )  x03  2x02  (m  1)x0  2m   M     3x02  4x0  m  (1  x0 )  x03  2x02  (m  1)x0  2m  2x03  5x02  4x0  3m   (*) Yêu cầu tốn  (*) có hai nghiệm phân biệt (1) Xét hàm số: h(t)  2t  5t  4t, t  Ta có: h'(t)  6t  10t   h'(t)   t  ,t  2 Bảng biến thiên x   y' 2     12 y   19 27  m  3   3m  12   Dựa vào bảng biến thiên, suy (1)  giá trị cần tìm  m  100   3m   19   81 27 Bài 19: Tìm m để đồ thị : mx3   m  1 x2    3m  x  tồn điểm có hồnh độ dƣơng mà tiếp tuyến vng góc với đƣờng thẳng x  2y   Câu y   1 4 1 2 2 3 B m   0;    ;   1 2 1 8 2 3 D m   0;    ;  A m   0;    ;      C m   0;    ;   Bài làm Hàm số cho xác định  1 4 1 7 2 3 1 2 1 2 2 3 Ta có: y'  mx2   m  1 x   3m GIÁO VIÊN MUỐN MUA FILE WORD LIÊN HỆ 0946798489 37 NGUYỄN BẢO VƯƠNG CHƯƠNG V ĐẠO HÀM TẬP 2A PHƯƠNG TRÌNH TIẾP TUYẾN  1  2 Từ yêu cầu bái toán dẫn đến phƣơng trình y     1 có nghiệm dƣơng phân biệt, tức m   m  m     '  2 hay mx   m  1 x   3m  có dƣơng phân biệt    0  m  S   P   0  m    1 1 2 m   0;    ;   2 2 3 x2  2mx  2m  cắt trục hoành hai điểm phân biệt tiếp tuyến với x 1 điểm vng góc với Câu y  A m  C m  B m  1 Bài làm Hàm số cho xác định , m  1  Cm  hai D m  \1 Xét phƣơng trình hồnh độ giao điểm  Cm  trục hoành: x2  2mx  2m    x2  2mx  2m   0,  x  1  1 x 1 Để  Cm  cắt trục hoành hai điểm phân biệt A, B phƣơng trình  1 phải có hai nghiệm phân biệt 2   '  m  2m   khác Tức ta phải có:   1  2m  2m    1  m  1  m 1  m   tức  2 m  2m m        hay  Gọi x1 ; x2 hai nghiệm  1 Theo định lý Vi – ét , ta có: x1  x2  2m, x1 x2  2m  Giả sử I  x0 ;  giao điểm  Cm  trục hoành Tiếp tuyến  Cm  điểm I có hệ số góc y'  x0    2x0  2m  x0  1   x02  2mx0  2m  1  x0  1  2x0  2m x0  Nhƣ vậy, tiếp tuyến A, B lần lƣợt có hệ số góc y'  x1   2x  2m 2x1  2m , y'  x2   x2  x1  Tiếp tuyến A, B vng góc y'  x1  y'  x2   1 hay  2x1  2m  2x2  2m  2    x    1  5x1 x2   4m  1 x1  x2   4m   tức 3m  m    m  1 x     2 m  Đối chiếu điều kiện có m  thỏa mãn 3 GIÁO VIÊN MUỐN MUA FILE WORD LIÊN HỆ 0946798489 38 NGUYỄN BẢO VƯƠNG CHƯƠNG V ĐẠO HÀM TẬP 2A PHƯƠNG TRÌNH TIẾP TUYẾN Bài 20: Tìm điểm M tr n đồ thị  C  : y  x  3y   đạt giá trị nhỏ A M  2;1 2x  cho khoảng cách từ M đến đƣờng thẳng  : x 1 B M  2;   1 2  C M  1;   7 2 D M  3;    2m   Bài làm: Gọi M  m;  tọa độ điểm cần tìm  m  1 m 1   Khoảng cách từ M đến đƣờng thẳng  là: d   2m   m  3 3  m 1  12  32 hay d  m  2m  m 1 10  m  2m  m   m  2m     m  1 Xét hàm số: f  m    m 1  m  2m  m    m 1 Ta có: f '  m    m  2 thỏa m  m  thỏa m  Lập bảng biến thiên suy d  Tiếp tuyến M y   x  10 m  2 tức M  2;1 , tiếp tuyến song song với  GIÁO VIÊN MUỐN MUA FILE WORD LIÊN HỆ 0946798489 39 ... dạng tiếp tuyến đồ thị hàm số thường gặp - Viết phƣơng trình tiếp tuyến biết tọa độ tiếp đi? ??m M  x0 ; y0  , hoành độ x0 , tung độ y - Viết phƣơng trình tiếp tuyến biết tiếp tuyến qua đi? ??m. .. CHƯƠNG V ĐẠO HÀM TẬP 2A PHƯƠNG TRÌNH TIẾP TUYẾN MỤC LỤC PHƢƠNG TRÌNH TIẾP TUYẾN CỦA ĐỒ THỊ HÀM SỐ Vấn đề Viết phương trình tiếp tuyến đồ thị hàm số biết tiếp đi? ??m CÁC BÀI TOÁN... đề Viết phương trình tiếp tuyến đồ thị hàm số biết tiếp đi? ??m Phương pháp: Bài toán : Hai đƣờng cong  C  : y  f  x   C''  : y  g  x  tiếp xúc M  x0 ; y0  Khi đi? ??m M   C    C''  tiếp