NGUYỄN BẢO VƯƠNG CHƯƠNG V ĐẠO HÀM – TẬP GIÁO VIÊN MUỐN MUA FILE WORD LIÊN HỆ 0946798489 Liên hệ qua Facebook: https://web.facebook.com/phong.baovuong Website: http://tailieutoanhoc.vn/ Email: baovuong7279@gmail.com Page Facebook: https://web.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/ ALBA – CHƯ SÊ- GIA LAI NGUYỄN BẢO VƯƠNG CHƯƠNG V ĐẠO HÀM – TẬP CHƯƠNG V ĐẠO HÀM TẬP KHÁI NIỆM ĐẠO HÀM VÀ CÁC PHƯƠNG PHÁP TÍNH ĐẠO HÀM NGUYỄN BẢO VƯƠNG Mục Lục KHÁI NIỆM ĐẠO HÀM Vấn đề Tính đạo hàm định nghĩa CÁC BÀI TOÁN LUYỆN TẬP CÁC QUY TẮC TÍNH ĐẠO HÀM Vấn đề Tính đạo hàm công thức CÁC BÀI TOÁN LUYỆN TẬP 11 Vấn đề Sử dụng đạo hàm để tìm giới hạn 24 CÁC BÀI TOÁN LUYỆN TẬP 25 Vấn đề Đạo hàm cấp vao vi phân 27 CÁC BÀI TOÁN LUYỆN TẬP 29 ĐẠO HÀM TỔNG HỢP 33 GIÁO VIÊN MUỐ N MUA FILE WORD LIÊN HỆ 0946798489 NGUYỄN BẢO VƯƠNG CHƯƠNG V ĐẠO HÀM – TẬP CHỦ ĐỀ: ĐẠO HÀM KHÁI NIỆM ĐẠO HÀM Đạo hàm điểm Hàm số y f ( x) liên tục ( a; b) , gọi có đạo hàm x0 hạn): lim x f ( x) f ( x0 ) x x0 x0 ( a; b) giới hạn sau tồn (hữu giá trị giới hạn gọi giá trị đạo hàm hàm số điểm x0 Ta kí hiệu f '( x0 ) Vậy f '( x0 ) lim x f ( x) f ( x0 ) x x0 x0 Đạo hàm bên trái, bên phải f ( x) f ( x0 ) f '( x0 ) lim x x0 x x0 f '( x0 ) Hệ : Hàm f ( x) có đạo hàm x0 lim x f ( x) x0 x f ( x0 ) x0 f ( x0 ) f '( x0 ) đồng thời f '( x0 ) f '( x0 ) Đạo hàm khoảng, đoạn Hàm số f ( x) có đạo hàm (hay hàm khả vi) ( a; b) có đạo hàm điểm thuộc ( a; b) Hàm số f ( x) có đạo hàm (hay hàm khả vi) [a; b] có đạo hàm điểm thuộc ( a; b) đồng thời tồn đạo hàm trái f '(b ) đạo hàm phải f '(a ) Mối liên hệ đạo hàm tính liên tục Định lí: Nếu hàm số f ( x) có đạo hàm x0 f ( x) liên tục x0 Chú ý: Định lí điều kiện cần, tức hàm liên tục điểm x0 hàm khơng có đạo hàm x0 x liên tục x Chẳng hạn: Xét hàm f ( x) Vì lim x f ( x) f (0) , lim x x f ( x) f (0) x khơng liên tục điểm Vấn đề Tính đạo hàm định nghĩa Phương pháp: f '( x0 ) f '( x0 ) f '( x0 ) f ( x) lim x x x0 lim x x0 lim x x0 f ( x) x f ( x) x f ( x0 ) x0 f ( x0 ) x0 f ( x0 ) x0 Hàm số y f ( x) có đạo hàm điểm x x0 f '( x0 ) f '( x0 ) Hàm số y f ( x) có đạo hàm điểm trước hết phải liên tục điểm GIÁO VIÊN MUỐ N MUA FILE WORD LIÊN HỆ 0946798489 NGUYỄN BẢO VƯƠNG CHƯƠNG V ĐẠO HÀM – TẬP Các ví dụ Ví dụ Tính đạo hàm hàm số sau điểm chỉ: f ( x) 2x x3 x x2 1 x x x f ( x) x2 f ( x) x x Lời giải Ta có lim x f ( x) f (2) x 2 Ta có : f '(1) lim x lim x x lim 2( x2 x ( x 1)( x2 x f ( x) 2) f (0) x 2x f ( x) f (1) x2 lim x x x ( x 1)( x 1) , đó: lim Ta có f (0) Vậy f '(0) x3 16 x lim lim 24 24 f '(2) x3 x2 x 4) x 1 x x lim x x 1 2x2 Ví dụ Chứng minh hàm số f ( x) x x liên tục x khơng có đạo hàm điểm Lời giải Vì hàm f ( x) xác định x f ( x) f ( 1) x 1 x f ( x) f ( 1) lim x 1 x Ta có: f '( ) lim f '( ) f '( ) nên liên tục f '( ) Lời giải Để hàm số có đạo hàm x x x2 1 x lim x x 2x x lim x f ( x) khơng có đạo hàm x Ví dụ Tìm a để hàm số f x Hay lim f ( x) lim x2 x có đạo hàm x x a x 1 trước hết f ( x) phải liên tục x f (1) a GIÁO VIÊN MUỐ N MUA FILE WORD LIÊN HỆ 0946798489 NGUYỄN BẢO VƯƠNG x2 lim x x x f ( x) f (1) x giá trị cần tìm Khi đó, ta có: lim x Vậy a CHƯƠNG V ĐẠO HÀM – TẬP 1 CÁC BÀI TỐN LUYỆN TẬP Bài Tính đạo hàm hàm số sau điểm Câu f ( x) 2x x0 A.2 Bài làm Ta có: f '( x0 ) Câu f ( x) x x0 x A Bài làm f '( x0 ) x2 Câu f ( x) B.2 C.3 D.4 x điểm x0 lim x x2 sin2 x x (x lim x (x x3 Câu f ( x) x 7) 2x2 x x C.2 1 x x B x 3) D.3 0 Bài làm lim D 41 2)( x 2)( x2 B.1 Bài làm f '( ) C x x A Vậy f '(1) D.5 B Bài làm f '(2) A C.4 A Câu f ( x) B.3 f ( x) f (1) x lim x 1 điểm x 1 x3 C x2 x 1 ( x 1)2 D x lim x x 2x x 1 Bài Tính đạo hàm hàm số sau điểm GIÁO VIÊN MUỐ N MUA FILE WORD LIÊN HỆ 0946798489 NGUYỄN BẢO VƯƠNG sin 2x x0 Câu f ( x) CHƯƠNG V ĐẠO HÀM – TẬP A B Bài làm Ta có: f ( x) f ( x) lim x x Vậy f ' f( ) x 2 sin x cos x 2 D sin x 2 Câu f ( x) tan x x A f ( x) Suy lim 4 x f tan x tan (1 f( ) tan x tan x tan x) tan x lim x x 4 D 31 4 x sin Câu f ( x) x x x x A B Bài làm Ta có: lim x Vậy f '(0) C B Bài làm Ta có f ( x) Vậy f ' 2 lim x x sin x sin cos x f( ) C f ( x) f (0) D C D.6 C lim x sin x 0 x x 0 Bài Tính đạo hàm hàm số sau điểm Câu f ( x) x3 x0 B A Bài làm Ta có: f ( x) Suy ra: lim x Vậy f '(1) f ( x) f (1) x f (1) lim x2 x x x ( x 1)( x x 1) GIÁO VIÊN MUỐ N MUA FILE WORD LIÊN HỆ 0946798489 NGUYỄN BẢO VƯƠNG 2x Câu f ( x) x CHƯƠNG V ĐẠO HÀM – TẬP 3 x 2x x x A lim f ( x) lim x x x3 x sin x x x x2 lim f ( x) lim x x x x f (0) x x lim x x2 x x0 sin x C.3 sin x x x2 x x x sin x sin x x 0 x2 x x0 x f ( x) f ( 1) x lim lim D.5 x A.2 B.0 Bài làm Ta có hàm số liên tục x0 1 nên hàm số khơng có đạo hàm x0 x2 x Câu f ( x) x 0 nên hàm số liên tục x lim x Nên lim 3x 4) lim f (0) Vậy f '(0) lim ( x2 x D Đáp án khác B.2 x f ( x) hàm số không liên tục x Bài làm Ta có lim f ( x) lim C x A.1 x Câu f ( x) x x0 x 2x2 x x lim f ( x) Dẫn tới lim f ( x) f ( x) lim 2x x lim x B Bài làm Ta có lim f ( x) x x x x( x 1) f ( x) f ( 1) x f ( x) f ( 1) x x x D.đáp án khác lim lim C.3 x2 x x( x 1) x2 x( x 1) f ( x) f ( 1) f ( x) f ( 1) lim x x 1 x x Vậy hàm số khơng có đạo hàm điểm x0 Do lim Nhận xét: Hàm số y f ( x) có đạo hàm x x0 phải liên tục điểm GIÁO VIÊN MUỐ N MUA FILE WORD LIÊN HỆ 0946798489 NGUYỄN BẢO VƯƠNG CHƯƠNG V ĐẠO HÀM – TẬP Bài Câu Tìm a , b để hàm số f ( x) a b A 23 B a b C 11 x) ; lim f ( x) hàm liên tục x lim x A a 10, b 11 Bài làm Ta thấy với x x Khi đó: f '(0 ) lim x f '(0 ) Vậy a 0, b f ( x) x2 2x a b (1) b x ax b x 0 a) có đạo hàm f ( x) liên tục x b a f (0) 0; f '(0 ) x lim x b f ( x) f (0) x a giá trị cần tìm Câu Tìm a , b để hàm số f ( x) A a a a b 0 f '(0 ) b) D B a 0, b C a 0, b D a 20, b 1 f ( x) ln có đạo hàm Do hàm số có đạo hàm hàm có đạo hàm x Ta có: lim f ( x) 1; lim f ( x) 33 31 Câu Tìm a,b để hàm số f ( x) x x x lim ( x 2) x x x ax b ax a lim lim a (Do b x x x x a Hàm có đạo hàm x b lim a b lim (ax x x Hàm có đạo hàm x f ( x) f (1) x x f ( x) f (1) lim x x x x có đạo hàm x b x lim ( x2 Bài làm Ta có: lim f ( x) x x2 ax 11, b 11 Bài làm Ta có lim f ( x) x x2 x x ax b x B a 10, b có đạo hàm điểm x 0 10 f (0); lim f ( x) x C a 12, b 12 D a 1, b b Hàm số liên tục x b f ( x) f (0) f ( x) f (0) x lim lim , lim x x x x x x 1 Hàm số có đạo hàm điểm x a 1, b giá trị cần tìm Vậy a lim a x a GIÁO VIÊN MUỐ N MUA FILE WORD LIÊN HỆ 0946798489 NGUYỄN BẢO VƯƠNG CHƯƠNG V ĐẠO HÀM – TẬP CÁC QUY TẮC TÍNH ĐẠO HÀM Quy tắc tính đạo hàm 1.1 Đạo hàm tổng, hiệu, tích, thương hàm số (u1 u2 (uvw)' u( x) v( x) ' u1' un )' u ' vw uv ' w u'2 un' uvw ' ( k.u( x))' (un ( x))' nun (x).u '(x) c ' u( x) c.u '( x) u '( x)v( x) v '( x)u( x) v ( x) 1.2 Đạo hàm hàm số hợp Cho hàm số y f (u( x)) f (u) với u k.u '(x) u2 ( x ) u( x) Khi y 'x y 'u u 'x Bảng công thức đạo hàm hàm sơ cấp Đạo hàm (c)' ( x)' ( x )' x ' n Hàm hợp x ' x u ' u ' x n n n u ' u u ' u' u u' n n x (sin x)' cos x n un (sin u)' u '.cos u (cos x)' (cos u)' (tan x)' (cot x)' sin x cos x sin x tan u ' cot u ' u 'sin u u' cos2 u u' sin u Vấn đề Tính đạo hàm cơng thức Phương pháp: Sử dụng quy tắc tính đạo hàm Các ví dụ Ví dụ Tính đạo hàm hàm số sau: y x3 3x 2x y y y x x2 2x x y y x3 3x x x2 x x x4 Lời giải GIÁO VIÊN MUỐ N MUA FILE WORD LIÊN HỆ 0946798489 NGUYỄN BẢO VƯƠNG Ta có: y ' x3 3x Ta có: y ' x3 3x x2 (2 x Ta có: y ' 3x ' x3 ' 8x3 2x (2 x 1) 1) ( x 2)( x (x 1) 2x f ( x) x2 x x2 2)( x 2) x2 b ta có: y ' d x 1)' 2x x ad bc (cx d) biết: Ví dụ Giải bất phương trình f '( x) x2 2x 2 ax cx Nhận xét: Với hàm số y ( x 3)2 1) ( x2 2)'( x 1) (x x 3x 1)'( x 3) ( x 3)'(2 x ( x2 f ( x) 2x ( x 3) Ta có: y ' 6x 3x x 2x4 Ta có: y ' ' ' x4 Ta có: y ' CHƯƠNG V ĐẠO HÀM – TẬP 1 f ( x) x x2 12 f ( x) x x2 Lời giải TXĐ: D 2; Ta có: f '( x) x2 x2 Do đó: f '( x) x2 x2 x2 x2 x 12 2x 2 TXĐ: D Ta có: f '( x) x Suy ra: f '( x) Với x Với x x2 2x 12 x2 x 12 12 2x (1) (1) ln x 0 (1) x2 12 Vậy bất phương trình f '( x) x2 x có nghiệm x 2 TXĐ: D Ta có: f '( x) 2x x2 x 2x x2 x GIÁO VIÊN MUỐ N MUA FILE WORD LIÊN HỆ 0946798489 NGUYỄN BẢO VƯƠNG CHƯƠNG V ĐẠO HÀM- TẬP 2C PHƯƠNG TRÌNH TIẾP TUYẾN  tiếp tuyến (C)  hệ phương trình sau có nghiệm x:   x  3x   k( x  m)  (1)   3 x   k (*) (2) hay v o ta được: ( x  1) 2x2  (3m  2)x  3m    (3)  x  1 2x2  (3m  2)x  3m   (4) Theo toán  (*) có nghiệm , đồng thời (2) có giá trị k khác nhau, tức l phương trình (3) có nghiệm x phân biệt thỏa mãn giá trị k khác + TH1: (4) có nghiệm phân biệt, có nghiệm –1  m  1 + TH2: (4) có nghiệm kép khác –1  m   m    Vậy c c điểm cần tìm là: ( 1; 4) ;   ;  ; (2; 4)   Câu Cho hàm số y  x3  3x2  ìm đường thẳng (d): y = c c điểm mà từ kẻ tiếp tuyến phân biệt với đồ thị (C)  m  2  m  A M(m; 2)  (d) với  m   B M(m; 2)  (d) với m  7  m  3  m  C M(m; 2)  (d) với  m    m  1  m  D M(m; 2)  (d) với  m   Bài làm: Gọi M( m; 2)  (d) Phương trình đường thẳng  qua điểm M có dạng : y  k( x  m)   tiếp tuyến (C)  hệ phương trình sau có nghiệm x:   x  3x   k( x  m)    3x  x  k hay v (1) (2) (*) ta được: 2x3  3(m  1)x2  6mx    ( x  2) 2x2  (3m  1)x     x  f ( x)  2x2  (3m  1)x   (3) Từ M kẻ tiếp tuyến đến đồ thị (C)  hệ (*) có nghiệm x phân biệt đồng thời (2) có giá trị k khác  (3) có hai nghiệm phân biệt khác có giá trị x thỏa    m  1  m  phương trình có gi trị k khác     f (2)  m    m  1  m  Vậy ,M(m; 2)  (d) với  kẻ tiếp tuyến với (C) m     Câu Viết phương trình tiếp tuyến d tiếp xúc với đồ thị  H  : y  x2  hàm số đ ng điểm phân biệt A y  2x B y  C y  2x  D y  GIÁO VIÊN MUỐN MUA FILE WORD LIÊN HỆ 0946798489 15 NGUYỄN BẢO VƯƠNG CHƯƠNG V ĐẠO HÀM- TẬP 2C PHƯƠNG TRÌNH TIẾP TUYẾN    Bài làm: Giả sử d l đường thẳng tiếp xúc với  H  điểm M m; m2      phương trình y  2m m2   x  m   m2  Khi đường thẳng d có Đường thẳng d tiếp xúc với  H  điểm phân biệt hệ phương trình        x   m m2  x  m  m2     có đ ng nghiệm khác m tức hệ  x x   2m m2     x  m   x x  mx  m2  m3  2x     x  m    có đ ng nghiệm khác m hay  có nghiệm  x  mx  m2    x  m  x  mx  m2       x  1, m  1 x  1, m          Vậy y  thỏa đề Bài Cho hàm số y  x4  2x2  , có đồ thị  C  ìm đồ thị  C  điểm B mà tiếp tuyến với  C  điểm song song với tiếp tuyến với  C  điểm Câu a A 1;  A B  1;  B B  0;  C B  1;  D B  2;  Bài làm: B  0;  , y  Câu b ìm đường thẳng y  điểm m qua ta kẻ tiếp tuyến phân biệt với đồ thị  C  A M  0;  , M 1;  B M  0;  , M  3;  C M  5;  , M 1;  D Không tồn Bài làm: b Gọi M  m;  l điểm thuộc đường thẳng y  Phương trình đường thẳng qua M  m;  có hệ số   x0  x0   k  x0  m   1 góc k  d  : y  k  x  m   d  tiếp xúc  C  điểm có hồnh độ x0 hệ   4 x0  x0  k   x có nghiệm x0 suy phương trình    3x02  4ax0     có nghiệm x0 Qua M kẻ tiếp tuyến đến  C  phương trình   có nghiệm phân biệt v phương trình   có giá trị k khác Dễ thấy x02    k  1  k 1 , khơng thể tồn giá trị k kh c để thỏa tốn Tóm lại, khơng có tọa độ M thỏa toán Bài 10 Cho hàm số : y  x4  2x2 có đồ thị C  Câu a Viết phương trình tiếp tuyến  C  biết tiếp tuyến qua gốc tọa độ A  t1  : y  0;  t2  : y   6 x;  t  : y  x 9 4 C  t1  : y  0;  t2  : y   x;  t3  : y  x 9 B  t1  : y  0;  t2  : y   6 x;  t  : y  x 7 D  t1  : y  0;  t2  : y   6 x;  t  : y  x 9 Bài làm: a Gọi A  x0 ; y0   C  Phương trình tiếp tuyến  t   C  A là:    y  x04  2x02  4x03  4x0     x04  x02  x04  x0   x  x   t  qua O  0;  nên    x   3x  x02   x0  0, x0   GIÁO VIÊN MUỐN MUA FILE WORD LIÊN HỆ 0946798489 16 NGUYỄN BẢO VƯƠNG CHƯƠNG V ĐẠO HÀM- TẬP 2C PHƯƠNG TRÌNH TIẾP TUYẾN Thay giá trị x0 v o phương trình  t  ta tiếp tuyến  C  kẻ từ O  0;  là: t  : y  0; t  : y   6 x;  t  : y  x 9 Câu b Tìm điểm M trục Oy để từ M kẻ tiếp tuyến đến  C  A M  0; m  với  m  B M  0; m  với 1  m  C M  0; m  với  m  D M  0; m  với  m  3 Bài làm: b M  Oy  M  0; m ; B  C   B  x0 ; y0     Phương trình tiếp tuyến T   C  B y  x04  2x02  4x03  4x0  m  x  2x    4x  4x0    x   3x   x  x  T  qua M  0; m nên  2x  m   *  Do hệ số góc tiếp tuyến k  4x03  4x0 nên hai giá trị khác x0 cho hai giá trị khác k nên cho hai tiếp tuyến khác Vậy từ M  0; m  kẻ tiếp tuyến đến đồ thị  C  phương trình  *  có nghiệm phân biệt Đặt X  x02 ta có phương trình 3X  2X  m   * *  Phương trình  *  có nghiệm phân biệt  * *  có nghiệm phân biệt   ,   3m   m 1   P     m  Vậy từ điểm M  0; m  với  m  kẻ tiếp tuyến đến đồ thị 3   S   C  hàm số cho Câu c Tìm điểm N đường thẳng  d  : y  để từ N kẻ tiếp tuyến đến  C  A N  n;  , n  B N  n;  , n  C N  n;  , n  D N  n;  , n  13 Bài làm: c N   d  : y   N  n;  ; I  C   I  x0 ; y0     Phương trình tiếp tuyến     C  I là: y  x04  2x02  4x03  4x0     4x   x  1  4n  x  x  2x 4     x  x     qua N  n; 3 nên  4x0  n  x0   3x  4nx  2x  4nx0    x0  2x02   *  Do x0  nghiệm  *  Phương trình 2      4n  x0  x        * *    *    x  Đặt t  x0   x02  tx0   ln có hai nghiệm phân biệt với t x0  x02 a có phương trình  * *   3t  4nt    * * *  Do hệ số góc tiếp tuyến k  4x03  4x0 nên hai giá trị khác x0 cho hai giá trị khác k nên cho hai tiếp tuyến khác GIÁO VIÊN MUỐN MUA FILE WORD LIÊN HỆ 0946798489 17 NGUYỄN BẢO VƯƠNG CHƯƠNG V ĐẠO HÀM- TẬP 2C PHƯƠNG TRÌNH TIẾP TUYẾN Vậy từ N kẻ tiếp tuyến đến đồ thị  C  phương trình  *  có nghiệm phân biệt  * *  có nghiệm phân biệt phương trình  * * *  có nghiệm phân biệt   '  4n2  12   n2    n  Vậy từ điểm N đường thẳng y  với n  kẻ tiếp tuyến đến đồ thị  C  hàm số cho Bài 10: Câu Cho hàm số y   C  tồn d : x  2y   m mx3  ( m  1)x2  (4  3m)x  có đồ thị  Cm  Tìm giá trị m cho đồ thị điểm có ho nh độ âm mà tiếp tuyến vng góc với đường thẳng A m  12 m  B m  m  C m  m  D m  m  Bài làm:  d  có hệ số góc   tiếp tuyến có hệ số góc k  Gọi x l ho nh độ tiếp điểm thì: y '   mx2  2(m  1)x  (4  3m)   mx2  2(m  1)x   3m    Theo b i to n, phương trình   có đ ng nghiệm âm Nếu m     2x  2  x  (khơng thỏa) Nếu m  dễ thấy phương trình   có nghiệm x  hay x  Do để   có nghiệm âm Câu Cho hàm số y   C  tồn đ ng d : x  2y   m  3m m  3m   m  m  m mx3  ( m  1)x2  (4  3m)x  có đồ thị  Cm  Tìm giá trị m cho đồ thị hai điểm có ho nh độ dương  1  2 A m   0;    ;   3 2 3  1 1 5 B m   0;    ;   2 2 3 m tiếp tuyến vng góc với đường thẳng  1 1 8 C m   0;    ;   2 2 3  1 1 2 D m   0;    ;   2 2 3 Bài làm: Ta có: y  mx2  2(m  1)x   3m ; d : y   x  2 Theo u cầu tốn  phương trình y  có đ ng nghiệm dương phân biệt  mx2  2(m  1)x   3m  có đ ng nghiệm dương phân biệt m     0m         S    m  P    1 1 2 Vậy, với m   0;    ;  thỏa mãn toán  2  3 Câu Cho hàm số: y  C x2 có đồ thị  C  x 1 ho điểm A(0; a) Tìm a để từ A kẻ tiếp tuyến tới đồ thị cho tiếp điểm tương ứng nằm phía trục hồnh GIÁO VIÊN MUỐN MUA FILE WORD LIÊN HỆ 0946798489 18 NGUYỄN BẢO VƯƠNG A  a1 CHƯƠNG V ĐẠO HÀM- TẬP 2C PHƯƠNG TRÌNH TIẾP TUYẾN B  a2 C 1  a  D  a1 Bài làm: Phương trình đường thẳng  d  qua A(0; a) có hệ số góc k : y  kx  a x   x   kx  a tiếp xúc điểm có ho nh độ hệ: có nghiệm x C x   d    k  3 ( x  1)2   1  (1  a)x2  2(a  2)x  (a  2)  có nghiệm x  Để qua A có tiếp tuyến  1 phải có nghiệm phân biệt x1 , x2  a  a      3a   a  2  Khi ta có x1  x2  2 3 2( a  2) a2 , y2   y1   , x1 x2  x1  x2  a 1 a 1 Để tiếp điểm nằm phía trục hồnh y1 y2  x1 x2  2( x1  x2 )       3a    a    1    0  x x  ( x  x )  x  x  2    Đối chiếu với điều kiện   ta được:  Bài 11: Cho hàm số y    a  2x3  x2  x  , gọi đồ thị hàm số (C) Câu Viết phương trình tiếp tuyến (C) có hệ số góc lớn A y  25 x 12 B y  5x  25 12 C y  25 x 12 D y  x 12 Bài làm: Gọi (d) tiếp tuyến cần tìm phương trình v x0 l ho nh độ tiếp điểm (d) với (C) hệ số góc (d): k  y '( x0 )  2 x02  x0   Vậy maxk  9  1   x    k   x0  2  2 đạt x0  2 Suy phương trình tiếp tuyến (d) : y  9 1 1 25 x    y   x  2 2 2 12   Câu Viết phương trình tiếp tuyến qua điểm A(2;9) A y = - x + B y = - 8x + C y = x + 25 D y = - 8x + 25 Bài làm: Phương trình đường thẳng D qua điểm A(2;9) có hệ số góc k y  k( x  2)  (D) tiếp xúc với (C) điểm có ho nh độ x0 Thay v o ta :   x03  x02  x0   k( x0  2)  (1)  hệ  có nghiệm x0 2 x  x   k (2) 0  x03  x02  x0   (2 x02  x0  4)( x0  2)   4x03  15x02  12x0    x0  Thay x0 = v o ta k = - GIÁO VIÊN MUỐN MUA FILE WORD LIÊN HỆ 0946798489 19 NGUYỄN BẢO VƯƠNG CHƯƠNG V ĐẠO HÀM- TẬP 2C PHƯƠNG TRÌNH TIẾP TUYẾN Vậy phương trình tiếp tuyến (D) y = - 8x + 25 Bài 12: Gọi x2 2x l đồ thị hàm số y  Câu Viết phương trình tiếp tuyến (C) vng góc với đường thẳng y  x 1 3 A  d  : y   x  , y   x  4 3 B  d  : y   x, y   x  4 C  d  : y  D  d  : y   x  , y   x  4 x ,y  x 4 Bài làm: Tiếp tuyến (d) vuông góc đường thẳng y  x  suy phương trình d có dạng : 3 y   xm  x02   x0  m   x  (d) tiếp xúc (C) điểm có ho nh độ x0 hệ  có nghiệm x0   x0  x0    (2  x )2   x0   x0  2   d  : y   x  , y   x  4 Câu Viết phương trình tiếp tuyến   x02  x0 (2  x0 )2  qua điểm A(2; - 2) A y   x  B y   x  C y   x  D y   x  Bài làm: Phương trình tiếp tuyến (d) qua ; - 2) có dạng : y = k(x – 2) –  x  k( x0  2)  (1)    x0 (d) tiếp xúc (C) điểm có ho nh độ x0 hệ  có nghiệm   x0  x0  k  (2  x )2  x02  x02  x0 x0   ( x0  2)   x0  2  y   x  2  x0 (2  x0 )2 Câu Gọi M điểm thuộc (C) có khoảng cách từ đến trục hồnh hai lần khoảng cách từ tung, M khơng trùng với gốc tọa độ O Viết phương trình tiếp tuyến (C) M A y  9 B y  64 C y  12 đến trục D y  8 2   xM xM  M  (C )  yM   yM   xM   Bài làm:    xM d( M , Ox)  2d( M , Oy) y 2 x  y  2 x M M  M  M    y M  xM xM  xM   y  x  x   yM      M M M (*)      xM   xM  yM   y   xM  xM   y  2x  xM   x  M M  M    M 4 8 Vì M khơng trùng với gốc tọa độ O nên nhận M  ;  3 3 GIÁO VIÊN MUỐN MUA FILE WORD LIÊN HỆ 0946798489 20 NGUYỄN BẢO VƯƠNG CHƯƠNG V ĐẠO HÀM- TẬP 2C PHƯƠNG TRÌNH TIẾP TUYẾN Phương trình tiếp tuyến (C) M y = 8x –   yM  2 xM xM  x  y   M   y  2 xM  (do M  O)   2M  M (*)   xM   xM   xM  xM   yM  8  y  2 x 2 xM   x  M M  M  Phương trình tiếp tuyến (C) M y  8 Bài 13: Gọi m l đồ thị hàm số y = 2x3  3(m  1)x2  mx  m  (d) tiếp tuyến (Cm) điểm có ho nh độ x = - ìm m để Câu d qua điểm A(0;8) A m  B m  C m  D m  Bài làm: Ta có y '  6x2  6(m  1)x  m , suy phương trình tiếp tuyến (d) y  y '(1)( x  1)  y(1)  (12+7m)(x+1) – 3m –  y  (12+7m)x +4m+8 A(0; 8)  (d)  = 4m +8  m  Câu (d) tạo với hai trục tọa độ tam giác có diện tích  m   m   A   9  73 m    m   m  B   19  73 m    m   m   C   9  m    m   m   D   19  73 m   Bài làm: Ta có y '  6x2  6(m  1)x  m , suy phương trình tiếp tuyến (d) y  y '(1)( x  1)  y(1)  (12+7m)(x+1) – 3m –  y  (12+7m)x +4m+8  4m   ;  , Q(0; 4m+8) Gọi P,Q l giao điểm (d) với trục Ox Oy P    12  m  8m2  32  32m 1 4m  Diện tích: OPQ: S  OP.OQ   4m   2 12  m 12  m S 8  8m2  32m  32  12  m 3    m   m   8m  32m  32  (12  m) m  m      19  73 8m2  32m  32   (12  m)  3m2  19m  24   m    Bài 14: Cho hàm số y  x4  x2  , có đồ thị ( C ) Câu Tìm tham số m để đồ thị (C) tiếp xúc với parabol  P  : y  x2  m A m  4; m  20 B m  124; m  C m  14; m  20 D m  4; m  Bài làm: (C) tiếp xúc (P) điểm có ho nh độ x0 hệ sau có nghiệm x0  x4 x     x02   x02  m  x    4  m   m  20 x3  4x  2x 0  Câu Gọi (d) tiếp tuyến (C) điểm có ho nh độ v trung điểm I đoạn E, F nằm parabol P’ = a ìm a để (d) cắt lại (C) hai điểm E, F khác M y  x2  GIÁO VIÊN MUỐN MUA FILE WORD LIÊN HỆ 0946798489 21 NGUYỄN BẢO VƯƠNG A a = CHƯƠNG V ĐẠO HÀM- TẬP 2C PHƯƠNG TRÌNH TIẾP TUYẾN B a = -1 C a = D a = Bài làm:.Phương trình tiếp tuyến (d): y  y '( a)( x  a)  3a a4 a4  2a2   ( a3  4a)( x  a)   2a2   ( a3  4a)x   2a  4 4 Phương trình ho nh độ giao điểm (C) (d): x4 3a4  x2   ( a3  4a)x   2a2   x4  x2  4( a3  4a)x  3a4  8a2  4 x  a  ( x  a)2 ( x2  2ax  3a2  8)    2  x  2ax  3a   (3) (d) cắt (C) hai điểm E,F khác M 2  a  2    '  a  3a      (*) a    a      Phương trình có hai nghiệm phân biệt khác a Tọa độ trung điểm I E,F :  x  xF  x  a xI  E  a    I    a4  6a2   y  ( a3  4a)( a)  3a  2a  (do I  (d))  yI      I I  ( P) : y   x    a  a2 a4  6a2   a2   a2 (1  )    4  a  2 So với điều kiện (*) nhận a = Bài 15: Câu ìm m để đồ thị hàm số y  A m  2 x2  x  tiếp xúc với Parabol y  x2  m x 1 B m  C m  1 D m  Bài làm: Hai đường cong cho tiếp xúc điểm có ho nh độ x0  hệ phương trình  x02  x0   x02  m  x    x   x0  x  ( x  1)2  (1) có nghiệm x0 (2) Ta có: (2)  x0 (2x02  5x0  4)   x  thay v o ta m  1 Vậy m  1 giá trị cần tìm Câu ìm m để đồ thị hai hàm số sau tiếp xúc với (C1 ) : y  mx3  (1  2m)x2  2mx (C2 ) : y  3mx3  3(1  2m)x  4m  A m  3 ,m  2 B m  8 ,m  12 C m  3 ,m  12 D m  3 ,m  12 Bài làm: (C1 ) (C2 ) tiếp xúc điểm có ho nh độ x0  hệ phương trình sau có nghiệm 3  mx  (1  2m)x0  2mx0  3mx0  3(1  2m)x0  4m  x0 :  2  3mx0  2(1  2m)x0  2m  9mx0  3(1  2m) GIÁO VIÊN MUỐN MUA FILE WORD LIÊN HỆ 0946798489 22 NGUYỄN BẢO VƯƠNG CHƯƠNG V ĐẠO HÀM- TẬP 2C PHƯƠNG TRÌNH TIẾP TUYẾN  2mx0  (1  2m)x0  (3  8m)x0  4m   (1) có nghiệm x0  (2)  6mx0  2(1  2m)x0   8m  Ta có : (1)  ( x0  1)(2mx02  (1  4m)x0  4m  2)  x    2mx0  (1  4m)x0  4m    Với x0  thay vào (2), ta có: m   Với 2mx02  (1  4m)x0  4m   (*) ta có :  x0  (2)  4mx  x0   4m     x   4m  4m Thay x0  ( m  m  hệ vơ nghiệm)  4m v o * ta được: 4m (1  4m)2 (1  4m)2    4m  8m 4m  48m2  24m    m  Vậy m  3 12 3 ,m  giá trị cần tìm 12 Câu Tìm tham số m để đồ thị (Cm) hàm số y  x3  4mx2  mx  3m tiếp xúc với parabol  P  y  A m  2; 7;1   B m  5;  ; 78      C m  2;  ;1   – 1   D  2;  ;1   2   x  4mx0  mx0  3m  x0  x0  (1) ( A) có Bài làm: (Cm) tiếp xúc với (P) điểm có ho nh độ x0 hệ   3x0  8mx0  m  x0  nghiệm x0 Giải hệ (A), (1)  x03  (4m  1)x02  (7 m  1)x0  3m   x   ( x0  1)( x02  4mx0  3m  1)    02  x0  4mx0  3m    x    x  4mx0  3m    Vậy (A)   3x0  2(4m  1)x0  m   (2)   3x0  2(4m  1)x0  m   (2) Thay x0 = v o ta m = 2   3x  2(4m  1)x0  m   (2) 3x  2(4 m  1) x0  m   (2)   02 Hệ   x0  4mx0  3m   (3)   3x0  12mx0  9m   (4) Trừ hai phương trình v ,vế với vế ta 4m x0 – x0 – 2m – =  (2m  1)x0  m  (5) Khi m = m1 (5) trở th nh = 3/2 sai  x0  2m  GIÁO VIÊN MUỐN MUA FILE WORD LIÊN HỆ 0946798489 23 NGUYỄN BẢO VƯƠNG Thay x0 = CHƯƠNG V ĐẠO HÀM- TẬP 2C PHƯƠNG TRÌNH TIẾP TUYẾN m1 v o phương trình ,ta 2m   m1   m1     4m    3m   m     2m    4m3  11m2  5m    m   m    m    Vậy giá trị m cần tìm m  2;  ;1   Bài 16: ho h m số y  Câu x2  x  có đồ thị x 1 iết phương trình tiếp tuyến , biết tiếp tuyến song song với đường thẳng  : 3x  y   A y  3 3 x  ; y  x  B y  x  ; y  x  4 4 4 C y  3 x9 ; y  x7 4 Ta có y '  D y  3 x ;y  x 4 4 x2  2x ( x  1)2 Gọi M( x0 ; y0 ) tọa độ tiếp điểm tiếp tuyến d với (C) d:y  x02  x0 ( x0  1) ( x  x0 )  x02  x0  x0  Bài làm: Vì d song song với đường thẳng  : y  x02  x0 ( x0  1)   x02  x0    x0  1, x0   x0  1 phương trình tiếp tuyến: y  3 x 4  x0   phương trình tiếp tuyến: y  Câu x  , nên ta có: 4 iết phương trình tiếp tuyến A y  3x  ; y  3x Bài làm: Ta có y '  x 4 uất ph t từ M(1; 3) B y  13 ; y  3x C y  ; y  3x  D y  ; y  3x x2  2x ( x  1)2 Gọi M( x0 ; y0 ) tọa độ tiếp điểm tiếp tuyến d với (C) d:y  x02  x0 ( x0  1) ( x  x0 )  Cách 1: M  d   x02  x0  x0  x02  x0 ( x0  1) ( 1  x0 )  x02  x0  x0   3( x0  1)2  ( x02  2x0 )(x0  1)  ( x0  1)( x02  x0  1) GIÁO VIÊN MUỐN MUA FILE WORD LIÊN HỆ 0946798489 24 NGUYỄN BẢO VƯƠNG  x02  5x0    x0  2, x0  CHƯƠNG V ĐẠO HÀM- TẬP 2C PHƯƠNG TRÌNH TIẾP TUYẾN  Với x0   Phương trình tiếp tuyến y   Với x0   Phương trình tiếp tuyến y  3x Cách 2: Gọi d l đường thẳng qua M(1; 3) , có hệ số góc k, phương trình d có dạng: y  k( x  1)   x02  x0   k( x0  1)  (1)   x0  c đồ thị điểm có ho nh độ x0 hệ phương trình sau có nghiệm x0 :   x0  x0  k (2)  ( x  1)2  d tiếp Thế v o ta được: x02  x0  x02  2x0  ( x0  1)  x0  ( x0  1)2  x02  5x0    x0  2, x0   Với x0   k   Phương trình tiếp tuyến y   Với x0  Câu  k  3  Phương trình tiếp tuyến y  3x iết phương trình tiếp tuyến A y  2x  qua giao điểm hai đường tiệm cận (C) B y  3x  Bài làm: Ta có y '  C y  4x  D.Không tồn x2  2x ( x  1)2 Gọi M( x0 ; y0 ) tọa độ tiếp điểm tiếp tuyến d với (C) d:y  x02  x0 ( x0  1) ( x  x0 )  Cách 1: I  d   x02  x0  Đồ thị có hai tiệm cận x  y  x suy giao điểm hai tiệm cận I (1;1) x0  x02  x0 ( x0  1) (1  x0 )  x02  x0  x0   x0   x02  2x0  x02  x0    vơ nghiệm Vậy khơng có tiếp tuyến n o qua I Cách 2: Gọi d l đường thẳng qua I, có hệ số góc k  d : y  k( x  1)   x02  x0   k( x0  1)    x0  d tiếp xúc với đồ thị điểm có ho nh độ x0 hệ  có nghiệm x0  x0  x0  k  ( x  1)2  Thế k v o phương trình thứ hai ta được: x02  x0  x02  2x0  1 x0  x0   x02  x0   x02  2x0  x0  phương trình vơ nghiệm Vậy qua I khơng có tiếp tuyến kẻ đến (C) Bài 17: GIÁO VIÊN MUỐN MUA FILE WORD LIÊN HỆ 0946798489 25 NGUYỄN BẢO VƯƠNG CHƯƠNG V ĐẠO HÀM- TẬP 2C PHƯƠNG TRÌNH TIẾP TUYẾN x2 có đồ thị l v điểm A  0; m  X c định m để từ A kẻ tiếp tuyến đến (C) x 1 cho hai tiếp điểm tương ứng nằm hai phía trục Ox Câu Cho hàm số: y  m   A  m    m   B  m    Bài làm: Cách 1: Gọi điểm M( x0 ; y0 )  (C) Tiếp tuyến  M y m   D  m    m  C  m  1 có phương trình x 2 3 ( x  x0 )  x0  ( x0  1) A  m  3x0 ( x0  1)  x0  x0   m( x0  1)2  3x0  ( x0  2)( x0  1)  (với x0  )  (m  1)x02  2(m  2)x0  m   (*) Yêu cầu toán  (*) có hai nghiệm a , b khác cho  '  3( m  2)  m  ( a  2)(b  2) ab  2( a  b)      hay là: m    ( a  1)(b  1) ab  ( a  b)  3m   m     m   Vậy  giá trị cần tìm m    Cách 2: Đường thẳng d qua , hệ số góc k có phương trình y  kx  m  x0   kx0  m   x0  d tiếp c đồ thị điểm có ho nh độ x0 hệ  có nghiệm x0 Thế k v o phương trình thứ  3  k  ( x0  1)2  nhất, ta đươc x0  x0   3x0 ( x0  1)2  m  ( m  1)x02  2( m  2)x0  m   (*) Để từ A kẻ hai tiếp tuyến (*) có hai nghiệm phân biệt khác  '  3( m  2)  m  2   m   (i) m  m   2( m  2)  m    Khi tọa độ hai tiếp điểm là: M1 ( x1 ; y1 ), M2 ( x2 ; y2 ) với x1,x2 nghiệm (*) y1  Để M1, M2 nằm hai phía Ox y1 y2   Áp dụng định lí Viet: x1  x2   (1)  x1  x 2 ; y2  x1  x2  x1 x2  2( x1  x2 )   (1) x1 x2  ( x1  x2 )  2( m  2) m2 ; x1 x2  m1 m1 9m  0m 3  m   Kết hợp với (i) ta có  giá trị cần tìm m   GIÁO VIÊN MUỐN MUA FILE WORD LIÊN HỆ 0946798489 26 NGUYỄN BẢO VƯƠNG CHƯƠNG V ĐẠO HÀM- TẬP 2C PHƯƠNG TRÌNH TIẾP TUYẾN Câu Tìm tham số m để đồ thị (C) : y  x3  2(m  1)x2  5mx  2m hàm số tiếp xúc với trục hoành  4 A m  0;1;  3  B m  0;1; 2  4 C m  1; 2;  3   4 D m  0;1; 2;  3   x3  2( m  1)x02  5mx0  2m   Bài làm: (C) tiếp xúc với trục hoành điểm có ho nh độ x0 hệ  (A) có  3x0  4( m  1)x0  5m  nghiệm x0 Giải hệ (A) ( x  2)( x02  2mx0  m)    x  ( A)   02  02 3x0  4( m  1)x0  5m  (1)   3x0  4( m  1)x0  5m    x  2mx0  m  Hoặc  Thay x0 = v o ta m  3 x  4( m  1) x  m     x2  2mx0  m  (2) 3x  6mx0  3m  (3)   Hệ    02   3x0  4( m  1)x0  5m  3x0  4( m  1)x0  5m  (1) Trừ hai phương trình v ( m  2)x0  m  x0   Thay x0   , vế với vế ta m m2 m2 m2 m  m0 vào (1), ta : m2 ( m  2) m   4  m3  3m2  2m   m   m   m  Vậy m  0;1; 2;  3  Câu Gọi  Cm  l đồ thị hàm số y = x4  (m  1)x2  4m Tìm tham số m để  Cm  tiếp xúc với đường thẳng (d): y = hai điểm phân biệt A m =  m = B m =  m = 16 C m =  m = 13 D m =  m = 13   x  ( m  1)x0  4m  (1) (A) có nghiệm x0 Bài làm:  Cm  tiếp xúc với (d) điểm có ho nh độ x0 hệ   4 x0  2( m  1)x0  (2) Giải hệ (A), (2)  x0  x02  Thay x0 = vào ta m = m1 m1  m   ( m  1)2  4m  Thay x  v o ta    2    m2  14m  13   m   m  13 Khi m  3  Cm  tiếp xúc với (d) điểm (0;3) nên m  không thỏa mãn yêu cầu toán 4 Khi m= x02   x0  1 ,suy  Cm  tiếp xúc với (d) hai điểm ( 1; ) Khi m = 13 x02   x0   ,suy  Cm  tiếp xúc với (d) hai điểm (  ; 3) Vậy giá trị m cần tìm m =  m = 13 GIÁO VIÊN MUỐN MUA FILE WORD LIÊN HỆ 0946798489 27 NGUYỄN BẢO VƯƠNG CHƯƠNG V ĐẠO HÀM- TẬP 2C PHƯƠNG TRÌNH TIẾP TUYẾN Bài 18: Tìm tất c c điểm Oy cho từ ta vẽ tiếp tuyến đến đồ thị hàm số y  x  4x2  2x  B M(0;m) với  A M(0;m) với 2  m  C M(0;m) với   m  D M(0;m) với 1  m  Bài làm:: Xét M(0; m)  Oy Đường thẳng d qua d tiếp m5 , hệ số góc k có phương trình y  kx  m  x  x  x   kx  m 0  c đồ thị điểm có ho nh đồ x0 hệ  có nghiệm x0 x0  k 1  x02  x0   hay k v o phương trình thứ ta được: x0  x02  x0   x0  x02  x0 x02  x0   m  4x02  2x0   4x02  x0  m 4x02  2x0   m  x0  x02  x0   f ( x0 ) (*) Để từ M kẻ tiếp tuyến đến đồ thị  (*) có nghiệm Xét hàm số f( x0 ), ta có: f '( x0 )  Mặt khác: lim f ( x0 )  x  3x0 ( x  x0  1)3  f '( x0 )   x0  1 ; lim f ( x0 )   x  2 Bảng biến thiên:  x0  f '( x0 )  0  f ( x0 )  (*) có nghiệm   Vậy M(0;m) với  2  m   m  điểm cần tìm Bài 19: Cho hàm số: y  4x3  3x  , có đồ thị  C  Câu Tìm a để phương trình 4x3  3x  2a2  3a  có hai nghiệm âm nghiệm dương; A  a   a  B  a   a  C  a   a  2 D  a   a  89 Bài làm: Phương trình 4x3  3x  2a2  3a  tương đương với phương trình 4x3  3x   2a2  3a  Phương trình cho có hai nghiệm âm nghiệm dương v đường thẳng y  2a2  3a  cắt đồ thị y  4x3  3x  ba điểm có hai điểm có ho nh độ âm điểm có ho nh độ dương đồ thị suy 0  2a  3a  ra:  2a2  3a   tức ta có hệ:  hay  a   a  2 2a  3a  GIÁO VIÊN MUỐN MUA FILE WORD LIÊN HỆ 0946798489 28 NGUYỄN BẢO VƯƠNG CHƯƠNG V ĐẠO HÀM- TẬP 2C PHƯƠNG TRÌNH TIẾP TUYẾN Câu Tìm điểm đường thẳng y  để từ vẽ ba đường thẳng tiếp xúc với đồ thị  C  A m  1 1  m  B m  1  m  3 C m  2 1 m D m  3  m  Bài làm: Giả sử M  m;  l điểm cần tìm d l đường thẳng qua M có hệ số góc k , phương trình có dạng: y  k  x  m  Đường thẳng d tiếp xúc với đồ thị  C  điểm N  x0 ; y0  hệ :  4 x0  3x0   k  x0  m   có nghiệm x0 , từ hệ suy  4 x03  3x0  '   k  x0  m    '      2x  1  4x02   3m  1 x0  3m  1   1 có nghiệm x0 Qua M kẻ đường thẳng tiếp xúc với  C  phương trình trình 4x02   3m  1 x0  3m     có hai nghiệm phân biệt khác  1 có nghiệm x0 , tức phương 1 hay m  1  m  Bài 20: x2  x  m với m  cắt trục hoành điểm phân biệt A, B x 1 cho tiếp tuyến điểm A, B vng góc với Câu Tìm tham số m để đồ thị hàm số  Cm  : y  A m   B m   C m  D m   Bài làm: Hàm số cắt trục hoành thại hai điểm phân biệt A, B có hệ số góc k  Ta có: y '  x2  2x  m   x  1 2x  x1 , đặt g  x   x2  2x  m  Theo tốn, g  x   có hai nghiệm phân biệt khác 1 heo đề, tiếp tuyến A B vng góc tức kA kB  1 , tìm m   Câu Cho hàm số y  2x2 có đồ thị  C  x2 ìm đường thẳng y  x điểm mà từ kẻ tiếp tuyến đến  C  , đồng thời tiếp tuyến vng góc với A m  5  B m  5  53 C m  6  23 D m  5  23 Bài làm: Đường thẳng  d  qua điểm M  m; m  có hệ số góc k , phương trình có dạng: y  k  x  m  m d tiếp xúc  C   x02  k  x0  m   m   x0  điểm có ho nh độ x0 hệ :  có nghiệm x0 , từ ta tìm  x0  x0  k   x  2  m  5  23 GIÁO VIÊN MUỐN MUA FILE WORD LIÊN HỆ 0946798489 29 ...NGUYỄN BẢO VƯƠNG CHƯƠNG V ĐẠO HÀM – TẬP CHƯƠNG V ĐẠO HÀM TẬP KHÁI NIỆM ĐẠO HÀM VÀ CÁC PHƯƠNG PHÁP TÍNH ĐẠO HÀM NGUYỄN BẢO VƯƠNG Mục Lục KHÁI NIỆM ĐẠO HÀM Vấn đề Tính đạo hàm. .. có đạo hàm f '' Nếu f '' có đạo hàm đạo hàm gọi đạo hàm cấp hai f kí hiệu là: f '''' , tức là: f '''' Đạo hàm cấp n : Cho hàm số f có đạo hàm cấp n (với n ( f '')'' ,n ) f ( n 1) Nếu f ( n đạo hàm đạo. .. b 1 hàm số ln có đạo hàm GIÁO VIÊN MUỐ N MUA FILE WORD LIÊN HỆ 0946798489 19 NGUYỄN BẢO VƯƠNG CHƯƠNG V ĐẠO HÀM – TẬP Do hàm số có đạo hàm Ta có lim f ( x) 1; lim f ( x) a x hàm số có đạo hàm