Đang tải... (xem toàn văn)
Đề thi HSG Toán 8 có đáp án Cho hình bình hành ABCD có đường chéo AC lớn hơn đường chéo BD. Gọi E, F lần lượt là hình chiếu của B và D xuống đường thẳng AC. Gọi H và K lần lượt là hình chiếu của C xuống đường thẳng AB và AD. a) Tứ giác BEDF là hình gì ? Hãy chứng minh điều đó ? b) Chứng minh rằng : CH.CD = CB.CK c) Chứng minh rằng : AB.AH + AD.AK = AC2. Tìm các tam giác vuông có các cạnh là số nguyên dương và số đo diện tích bằng số đo chu vi
Đề số Câu (4,0 điểm) Phân tích đa thức sau thành nhân tử : a) 3x2 – 7x + 2; b) a(x2 + 1) – x(a2 + 1) Câu (5,0 điểm) Cho biểu thức : 2 x x2 2 x x 3x A( ):( ) x x2 x x x3 a) Tìm ĐKXĐ rút gọn biểu thức A ? b) Tìm giá trị x để A > 0? c) Tính giá trị A trường hợp : |x - 7| = Câu (5,0 điểm) a) Tìm x,y,z thỏa mãn phương trình sau : 9x2 + y2 + 2z2 – 18x + 4z - 6y + 20 = b) Cho a b c x2 y z x y z Chứng minh : x y z a b c a b c Câu (6,0 điểm) Cho hình bình hành ABCD có đường chéo AC lớn đường chéo BD Gọi E, F hình chiếu B D xuống đường thẳng AC Gọi H K hình chiếu C xuống đường thẳng AB AD a) Tứ giác BEDF hình ? Hãy chứng minh điều ? b) Chứng minh : CH.CD = CB.CK c) Chứng minh : AB.AH + AD.AK = AC2 Đáp án & Biểu điểm Nội dung đáp án Điểm Bài a 2,0 3x2 – 7x + = 3x2 – 6x – x + = 1,0 = 3x(x -2) – (x - 2) 0,5 = (x - 2)(3x - 1) 0,5 b 2,0 a(x2 + 1) – x(a2 + 1) = ax2 + a – a2x – x = 1,0 = ax(x - a) – (x - a) = 0,5 = (x - a)(ax - 1) 0,5 Bài 2: 5,0 a 3,0 2 x x x ĐKXĐ : 2 x x 2 x 3x x 2 x x A( 1,0 x 4x2 2 x x 3x (2 x) x (2 x) x (2 x) ):( 3) 1,0 x x x 2x x (2 x)(2 x) x( x 3) x2 8x x(2 x) (2 x)(2 x) x 0,5 x( x 2) x(2 x) 4x2 (2 x)(2 x)( x 3) x 0,25 4x Vậy với x 0, x 2, x A x 3 b 0,25 1,0 Với x 0, x 3, x 2 : A x2 0 x 3 0,25 x 3 0,25 x 3(TMDKXD) 0,25 Vậy với x > A > 0,25 c 1,0 x x7 x 4 0,5 x 11(TMDKXD) x 3( KTMDKXD) 0,25 121 0,25 Với x = 11 A = Bài 5,0 a 2,5 9x2 + y2 + 2z2 – 18x + 4z - 6y + 20 = (9x2 – 18x + 9) + (y2 – 6y + 9) + 2(z2 + 2z + 1) = 1,0 9(x - 1)2 + (y - 3)2 + (z + 1)2 = (*) 0,5 Do : ( x 1)2 0;( y 3)2 0;( z 1)2 0,5 Nên : (*) x = 1; y = 3; z = -1 0,25 Vậy (x,y,z) = (1,3,-1) 0,25 b 2,5 Từ : a b c ayz+bxz+cxy 0 0 x y z xyz 0,5 ayz + bxz + cxy = Ta có : 0,25 x y z x y z ( )2 a b c a b c 0,5 x2 y z xy xz yz 2( ) a b c ab ac bc 0,5 x2 y z cxy bxz ayz 2 1 a b c abc 0,5 x2 y z 1(dfcm) a b2 c 0,25 Bài 6,0 H C B 0,25 F O E A D a K 2,0 Ta có : BE AC (gt); DF AC (gt) => BE // DF 0,5 Chứng minh : BEO DFO( g c g ) 0,5 => BE = DF 0,25 Suy : Tứ giác : BEDF hình bình hành 0,25 b 2,0 Ta có: ABC ADC HBC KDC 0,5 Chứng minh : CBH 1,0 CDK ( g g ) CH CK CH CD CK CB CB CD 0,5 b, 1,75 Chứng minh : AFD AKC( g g ) 0,25 AF AK AD AK AF AC AD AC Chứng minh : CFD 0,25 AHC ( g g ) 0,25 CF AH CD AC Mà : CD = AB 0,25 CF AH AB AH CF AC AB AC Suy : AB.AH + AB.AH = CF.AC + AF.AC = (CF + AF)AC = AC2 (đfcm) 0,5 0,25 Đề số Câu Phân tích đa thức sau thừa số: a) x 4 b) x x 3 x x 24 Câu a) Giải phương trình: x 30x 31x 30 a b c a2 b2 c2 b) Cho 0 Chứng minh rằng: bc ca ab bc ca ab Câu Cho biểu thức: 10 x x A :x x2 x 4 2x x2 a) Rút gọn biểu thức A b) Tính giá trị A , Biết x = c) Tìm giá trị x để A < d) Tìm giá trị ngun x để A có giá trị ngun Câu Cho hình vng ABCD, M điểm tuỳ ý đường chéo BD Kẻ ME AB, MF AD a) Chứng minh: DE CF b) Chứng minh ba đường thẳng: DE, BF, CM đồng quy c) Xác định vị trí điểm M để diện tích tứ giác AEMF lớn Câu a) Cho số dương a, b, c có tổng Chứng minh rằng: 1 9 a b c b) Cho a, b dương a2000 + b2000 = a2001 + b2001 = a2002 + b2002 c) Tính: a2011 + b2011 Đáp án & Biểu điểm Câu Đáp án Điểm a x4 + = x4 + 4x2 + - 4x2 Câu = (x4 + 4x2 + 4) - (2x)2 = (x2 + + 2x)(x2 + - 2x) (6 điểm) (2 điểm) ( x + 2)( x + 3)( x + 4)( x + 5) - 24 Đáp án Câu Điểm = (x2 + 7x + 11 - 1)( x2 + 7x + 11 + 1) - 24 = [(x2 + 7x + 11)2 - 1] - 24= (x2 + 7x + 11)2 - 52 = (x2 + 7x + 6)( x2 + 7x + 16) = (x + 1)(x + 6) )( x2 + 7x + 16) b x 30x x 2 31x 30 x x x (*) Vì x2 - x + = (x - ) + >0 x (*) (x - 5)(x + 6) = x x x x (2 điểm) a b c 1 bc ca ab với a + b + c; rút gọn đpcm c Nhân vế của: (2 điểm) Biểu thức: 10 x x A :x x2 x 4 2x x2 a Rút gọn kq: A Câu (6 điểm) 1 x2 (1.5 điểm) b x 1 1 x x 2 A 4 A (1.5 điểm) c A x d A Z (1.5 điểm) 1 Z x 1;3 x2 (1.5 điểm) HV + GT + KL A E B (1 điểm) Câu F M (6 điểm) D C Đáp án Câu a Chứng minh: Điểm AE FM DF AED DFC đpcm b DE, BF, CM ba đường cao EFC đpcm (2 điểm) (2 điểm) c Có Chu vi hình chữ nhật AEMF = 2a khơng đổi ME MF a khơng đổi S AEMF ME.MF lớn ME MF (AEMF hình vng) M trung điểm BD (1 điểm) b c 1 a a a a c 1 a Từ: a + b + c = b b b a b 1 c c c Câu 4: (2 điểm) 1 a b a c b c a b c b a c a c b 32229 Dấu xảy a = b = c = (1 điểm) b (a2001 + b2001).(a+ b) - (a2000 + b2000).ab = a2002 + b2002 (a+ b) – ab = (a – 1).(b – 1) = a = hc b = (1 điểm) Víi a = => b2000 = b2001 => b = hc b = (lo¹i) Víi b = => a2000 = a2001 => a = hc a = (lo¹i) VËy a = 1; b = => a2011 + b2011 = Đề số Câu (2 ®iĨm)Cho P= a 4a a a 7a 14a a) Rót gän P b) T×m gi¸ trÞ nguyªn cđa a ®Ĩ P nhËn gi¸ trÞ nguyªn Câu (2 ®iĨm) a) Chøng minh r»ng nÕu tỉng cđa hai sè nguyªn chia hÕt cho th× tỉng c¸c lËp ph-¬ng cđa chóng chia hÕt cho b) T×m c¸c gi¸ trÞ cđa x ®Ĩ biĨu thøc P=(x-1)(x+2)(x+3)(x+6) cã gi¸ trÞ nhá nhÊt T×m gi¸ trÞ nhá nhÊt ®ã Câu (2 ®iĨm) a) Gi¶i ph-¬ng tr×nh : 1 1 x x 20 x 11x 30 x 13x 42 18 b) Cho a , b , c lµ c¹nh cđa mét tam gi¸c Chøng minh r»ng : a b c 3 bca a cb a bc c) A = Câu (3 ®iĨm) Cho tam gi¸c ®Ịu ABC , gäi M lµ trung ®iĨm cđa BC Mét gãc xMy b»ng 600 quay quanh ®iĨm M cho c¹nh Mx , My lu«n c¾t c¹nh AB vµ AC lÇn l-ỵt t¹i D vµ E Chøng minh : a) BD.CE= BC b) DM,EM lÇn l-ỵt lµ tia ph©n gi¸c cđa c¸c gãc BDE vµ CED c) Chu vi tam gi¸c ADE kh«ng ®ỉi Câu (1 ®iĨm)T×m tÊt c¶ c¸c tam gi¸c vu«ng cã sè ®o c¸c c¹nh lµ c¸c sè nguyªn d-¬ng vµ sè ®o diƯn tÝch b»ng sè ®o chu vi Đáp án & Biểu điểm C©u : (2 ®) a) (1,5) a3 - 4a2 - a + = a( a2 - ) - 4(a2 - ) =( a2 - 1)(a-4) =(a-1)(a+1)(a-4) 3 0,5 a -7a + 14a - =( a -8 ) - 7a( a-2 ) =( a -2 )(a + 2a + 4) - 7a( a-2 ) =( a -2 )(a2 - 5a + 4) = (a-2)(a-1)(a-4) Nªu §KX§ : a 1; a 2; a Rót gän P= 0,5 0,25 a 1 a2 0,25 b) (0,5®) P= a23 ; ta thÊy P nguyªn a-2 lµ -íc cđa 3, 1 a2 a2 mµ ¦(3)= 1;1;3;3 0,25 Tõ ®ã t×m ®-ỵc a 1;3;5 0,25 C©u : (2®) a)(1®) Gäi sè ph¶i t×m lµ a vµ b , ta cã a+b chia hÕt cho 0,25 Ta cã a3+b3=(a+b)(a2-ab+b2)=(a+b) (a 2ab b ) 3ab = =(a+b) (a b) 3ab 0,5 V× a+b chia hÕt cho nªn (a+b)2-3ab chia hÕt cho ; Do vËy (a+b) (a b) 3ab chia hÕt cho b) (1®) P=(x-1)(x+6)(x+2)(x+3)=(x2+5x-6)(x2+5x+6)=(x2+5x)2-36 Ta thÊy (x2+5x)2 nªn P=(x2+5x)2-36 -36 0,25 0,5 0,25 Do ®ã Min P=-36 (x2+5x)2=0 Tõ ®ã ta t×m ®-ỵc x=0 hc x=-5 th× Min P=-36 0,25 C©u : (2®) a) (1®) x2+9x+20 =(x+4)(x+5) ; x2+11x+30 =(x+6)(x+5) ; x2+13x+42 =(x+6)(x+7) ; 0,25 §KX§ : x 4; x 5; x 6; x 7 0,25 Ph-¬ng tr×nh trë thµnh : 1 1 ( x 4)( x 5) ( x 5)( x 6) ( x 6)( x 7) 18 1 1 1 x x x x x x 18 1 x x 18 0,25 18(x+7)-18(x+4)=(x+7)(x+4) (x+13)(x-2)=0 Tõ ®ã t×m ®-ỵc x=-13; x=2; 0,25 b) (1®) §Ỉt b+c-a=x >0; c+a-b=y >0; a+b-c=z >0 Tõ ®ã suy a= yz xz x y ;b ;c ; 2 Thay vµo ta ®-ỵc A= 0,5 yz xz x y 1 y x x z y z ( ) ( ) ( ) 0,25 2x 2y 2z 2 x y z x z y Tõ ®ã suy A (2 2) hay A 0,25 C©u : (3 ®) a) (1®) Trong tam gi¸c BDM ta cã : Dˆ 120 Mˆ V× Mˆ =600 nªn ta cã : Mˆ 120 Mˆ Suy Dˆ Mˆ x Chøng minh BMD ∾ CEM (1) Suy E D BD CM , tõ ®ã BD.CE=BM.CM BM CE V× BM=CM= BC , nªn ta cã b) (1®) Tõ (1) suy y A BD.CE= BC B M 0,5 C 0,5 BD MD mµ BM=CM nªn ta cã CM EM BD MD BM EM Chøng minh BMD ∾ MED 0,5 Tõ ®ã suy Dˆ Dˆ , ®ã DM lµ tia ph©n gi¸c cđa gãc BDE Chøng minh t-¬ng tù ta cã EM lµ tia ph©n gi¸c cđa gãc CED 0,5 c) (1®) Gäi H, I, K lµ h×nh chiÕu cđa M trªn AB, DE, AC Chøng minh DH = DI, EI = EK 0,5 TÝnh chu vi tam gi¸c b»ng 2AH; KÕt ln 0,5 C©u : (1®) Gäi c¸c c¹nh cđa tam gi¸c vu«ng lµ x , y , z ; ®ã c¹nh hun lµ z (x, y, z lµ c¸c sè nguyªn d-¬ng ) Ta cã xy = 2(x+y+z) (1) vµ x2 + y2 = z2 (2) 0,25 Tõ (2) suy z = (x+y) -2xy , thay (1) vµo ta cã : z2 = (x+y)2 - 4(x+y+z) z2 +4z =(x+y)2 - 4(x+y) z2 +4z +4=(x+y)2 - 4(x+y)+4 (z+2)2=(x+y-2)2 , suy z+2 = x+y-2 0,25 z=x+y-4 ; thay vµo (1) ta ®-ỵc : xy=2(x+y+x+y-4) xy-4x-4y=-8 (x-4)(y-4)=8=1.8=2.4 0,25 Tõ ®ã ta t×m ®-ỵc c¸c gi¸ trÞ cđa x , y , z lµ : 10 (x=5,y=12,z=13) ; (x=12,y=5,z=13) ; (x=6,y=8,z=10) ; (x=8,y=6,z=10) 0,25 Đề số Câu Phân tích đa thức sau thành nhân tử A a 1 a 3 a 5 a 15 Câu Với giá trò a b đa thức x a x 10 phân tích thành tích đa thức bậc có hệ số nguyên Câu Tìm số nguyên a b để đa thức A(x) = x4 3x3 ax b chia hết cho đa thức B( x) x 3x Câu Cho tam giác ABC, đường cao AH,vẽ phân giác Hx góc AHB phân giác Hy góc AHC Kẻ AD vuông góc với Hx, AE vuông góc Hy Chứng minh rằngtứ giác ADHE hình vuông Câu Chứng minh P 1 1 1 2 1002 Đáp án & Biểu điểm Câu Đáp án Biểu điểm A a 1 a 3 a a 15 2đ a 8a a 8a 15 15 a a a 0,5 đ 8a 22 a 8a 120 8a 12 a a a a 0,5 đ 0,5 đ 8a 11 2 8a 10 0,5 đ 8a 10 Giả sử: x a x 10 x m x n ;(m, n Z ) 0,25 đ 2đ x a 10 x 10a x m n x mn 0,25 đ 0,25 đ m n a 10 m.n 10 a 1 Khử a ta có : mn = 10( m + n – 10) + 11 mn 10m 10n 100 m(n 10) 10n 10) m,n nguyên ta có: m 10 1 n 101 0,25 đ 0,25 đ v m 10 1 n 101 0,25 đ 0,25 đ suy a = 12 a =8 0,25 đ Ta có: 1đ A(x) =B(x).(x2-1) + ( a – 3)x + b + Để A( x) B( x) a 3 b 40 0,5 đ 0,5 đ a 3 b 4 3đ 0,25 đ Tứ giác ADHE hình vuông Hx phân giác góc AHB ; Hy phân giác góc AHC mà AHB AHC hai góc kề bù nên Hx Hy vuông góc Hay DHE = 90 mặt khác ADH AEH = 90 Nên tứ giác ADHE hình chữ nhật ( 1) AHD AHB 90 450 2 Do AHE AHC 900 450 2 0,25 đ 0,25 đ 0,25 đ 0,25 đ 0,5 đ AHD AHE 0,5 đ Hay HA phân giác DHE (2) Từ (1) (2) ta có tứ giác ADHE hình vuông 0,25 đ 0,25 đ 0,25 đ 12 2đ 0,5 đ 1 1 2 1002 1 1 2.2 3.3 4.4 100.100 1 1 1.2 2.3 3.4 99.100 1 1 2 99 100 99 1 1 100 100 P 0,5 đ 0,5 đ 0,5 đ 13 [...]... vuông Câu 5 Chứng minh rằng P 1 1 1 1 2 4 1 2 2 3 4 1002 Đáp án & Biểu điểm Câu Đáp án Biểu điểm 1 A a 1 a 3 a 5 a 7 15 2đ a 2 8a 7 a 2 8a 15 15 a a a 2 2 0,5 đ 8a 22 a 2 8a 120 8a 12 a a 2 a 6 a 2 0,5 đ 0,5 đ 2 8a 11 1 2 2 2 8a 10 0,5 đ 8a 10 2 Giả sử: x a x 10 1 x... (x=12,y=5,z=13) ; (x=6,y =8, z=10) ; (x =8, y=6,z=10) 0,25 Đề số 4 Câu 1 Phân tích đa thức sau thành nhân tử A a 1 a 3 a 5 a 7 15 Câu 2 Với giá trò nào của a và b thì đa thức x a x 10 1 phân tích thành tích của một đa thức bậc nhất có các hệ số nguyên Câu 3 Tìm các số nguyên a và b để đa thức A(x) = x4 3x3 ax b chia hết cho đa thức B( x) x 2 3x 4 Câu 4 Cho tam giác... =8 0,25 đ 3 Ta có: 1đ A(x) =B(x).(x2-1) + ( a – 3)x + b + 4 Để A( x) B( x) thì a 3 0 b 4 0 0,5 đ 0,5 đ a 3 b 4 4 3đ 0,25 đ Tứ giác ADHE là hình vuông Hx là phân giác của góc AHB ; Hy phân giác của góc AHC mà AHB và AHC là hai góc kề bù nên Hx và Hy vuông góc 0 Hay DHE = 90 mặt khác ADH AEH = 90 0 Nên tứ giác ADHE là hình chữ nhật ( 1) 0 AHD AHB 90 45 0 2 2 Do AHE AHC 900 45 0... đ 0,25 đ 0,5 đ AHD AHE 0,5 đ Hay HA là phân giác DHE (2) Từ (1) và (2) ta có tứ giác ADHE là hình vuông 0,25 đ 0,25 đ 0,25 đ 12 5 2đ 0,5 đ 1 1 1 1 2 4 2 2 3 4 1002 1 1 1 1 2.2 3.3 4. 4 100.100 1 1 1 1 1.2 2.3 3 .4 99.100 1 1 1 1 1 1 2 2 3 99 100 1 99 1 1 100 100 P 0,5 đ 0,5 đ 0,5 đ 13 ... (x+y)2 - 4( x+y+z) z2 +4z =(x+y)2 - 4( x+y) z2 +4z +4= (x+y)2 - 4( x+y) +4 (z+2)2=(x+y-2)2 , suy z+2 = x+y-2 0,25 z=x+y -4 ; thay vµo (1) ta ®-ỵc : xy=2(x+y+x+y -4) xy-4x-4y= -8 (x -4) (y -4) =8= 1 .8= 2 .4 0,25... a3 - 4a2 - a + = a( a2 - ) - 4( a2 - ) =( a2 - 1)(a -4) =(a-1)(a+1)(a -4) 3 0,5 a -7a + 14a - =( a -8 ) - 7a( a-2 ) =( a -2 )(a + 2a + 4) - 7a( a-2 ) =( a -2 )(a2 - 5a + 4) = (a-2)(a-1)(a -4) Nªu... & Biểu điểm Câu Đáp án Điểm a x4 + = x4 + 4x2 + - 4x2 Câu = (x4 + 4x2 + 4) - (2x)2 = (x2 + + 2x)(x2 + - 2x) (6 điểm) (2 điểm) ( x + 2)( x + 3)( x + 4) ( x + 5) - 24 Đáp án Câu Điểm = (x2 + 7x +