Chuyên đề: Giới hạn dãy số- Chương IV: Đại số Giải tích 11 CHƯƠNG IV: GIỚI HẠN CHỦ ĐỀ : GIỚI HẠN CỦA DÃY SỐ Dạng 1: Tìm giới hạn của dãy số I Dãy số có giới hạn hữu hạn Định nghĩa: Ta nói dãy số (un) có giới hạn L hay (un) dần tới L n dần tới vô cực ( n   ), lim  un  L   Kí hiệu: n lim  un   L hay u n  L n  + n  Chú ý: lim  un   lim  u n  n  Một số định lý:  Định lí 1: Giả sử lim un  L , đó:  lim un  L ,lim un  L  Nếu un  0, n  L  lim un  L  Định    lí 2: Giả sử lim un  L, lim  M , c  const lim(un  )  L  M lim(un  )  L  M lim(un )  L.M , lim c.un  c.L u L  lim n  ( M  0) M  Định lí 3: Cho dãy số (un ), (vn ),( wn ) Nếu un   wn , n lim un  lim wn  L  lim  L  Định lí 4: Dãy số tăng bị chặn có giới hạn Dãy số giảm bị chặn có giới hạn Tổng cấp số nhân lùi vô hạn: S = u1 + u1q + u1q2 + … = u1 1 q  q  1 II DÃY SỐ CÓ GIỚI HẠN VÔ CỰC Dãy số có giới hạn  : lim un    số hạng dãy số lớn số dương tùy ý cho trước kể từ số hạng trở Dãy số có giới hạn  : lim un    số hạng dãy số nhỏ số âm tùy ý cho trước kể từ số hạng trở Nguyễn Quốc Tuấn (Tổng biên tập Xuctu.com)-090.567.1232 Trang số Chuyên đề: Giới hạn dãy số- Chương IV: Đại số Giải tích 11 Chú ý: lim un    lim(un )   Một vài qui tắc tìm giới hạn vô cực: o Qui tắc 1: lim un lim lim un       Dấu lim un o Qui tắc 2: lim un lim  L       o Qui tắc 3: lim un  L  Dấu L + - lim  0,  Dấu lim   lim un   Nguyễn Quốc Tuấn (Tổng biên tập Xuctu.com)-090.567.1232 Trang số Chuyên đề: Giới hạn dãy số- Chương IV: Đại số Giải tích 11 Loại 1: Giới hạn của dãy số hữu tỉ Phương pháp: Xem xét bậc cao nhất của tư và mẫu Sau đó, chia tử và mẫu cho bậc cao nhất của tử và mẫu Hoặc cũng có thể đặt nhân tử cao nhất của từ và mẫu để giới hạn bản Tính giới hạn này Bài tập mẫu 1: Tính giới hạn sau: lim a 5n3  3n  4n  3n3  7n b lim e lim lim 6n  2n  1  5n  3n4 4n  2017 2n2  n  c 3n2  2n  d lim 2n  3n  n2  n2   4n f lim 3n  2 4n   n Hướng dẫn giải a Ta có biến đổi: 6  n3     5n  3n  n n  lim  lim   4n  3n  n 4 n3     n  n  lim 0  n  lim   Vì n   thì  n lim   n  lim   n 3 5  n n  5  lim 3 n n b Ta có biến đổi:   n4     6  6n  2n  6n  2n  n n  n n =-2 lim  lim = lim  lim  4 5  5n  3n  5n  3n    3 n4     n n n n  4 Nguyễn Quốc Tuấn (Tổng biên tập Xuctu.com)-090.567.1232 Trang số Chuyên đề: Giới hạn dãy số- Chương IV: Đại số Giải tích 11  lim n2    Vì n   thì lim  n   lim n2   c Ta có biến đổi:     n2     2    n n2  n n2  2n  n  2n  n  lim  lim   lim   lim    3n2  2n  3n2  2n  2 n 3    3 n   n n2  n    2  lim n   lim   Vì n   thì  n lim   n  lim   n d Ta có biến đổi:   n  2    2n  3n  n n  lim  lim   n 1  n 1    n   n n  2 1 n 2   lim  lim n  Vì n   thì  lim   n2 e Ta có biến đổi: 2017 4n  2017 4n  2017 4n  2017 n lim  lim  lim  lim  1  4n   n  n 4 n  1 n2     n n n n   4 Nguyễn Quốc Tuấn (Tổng biên tập Xuctu.com)-090.567.1232 Trang số Chuyên đề: Giới hạn dãy số- Chương IV: Đại số Giải tích 11 2017  lim n  Vì n   thì  lim   n2 f Ta có biến đổi: n   4n 1  n   4n 1 n n lim  lim  lim   3n  2 3n  3 3 n n  lim n2  Vì n   thì  lim   n Bài tập mẫu 2: Tính các giới hạn sau: a lim n  3n  n3  8n  3n  2n  lim b)  4n  2n c lim 2n  n2  3n3  2n  3n  2n  d lim 2n  Hướng dẫn giải a Ta có biến đổi: 2    n 1    n 1    n  3n  n n   n n    lim = lim  lim  2  n 2  1 n3 1   n  n  2  1     n n  1 Vì lim n   lim 1 n b) Ta có biến đổi: Nguyễn Quốc Tuấn (Tổng biên tập Xuctu.com)-090.567.1232 Trang số Chuyên đề: Giới hạn dãy số- Chương IV: Đại số Giải tích 11  8n 3n 2n  n     4 n n n  8n  3n  2n   lim  n lim 4n 2n  2 3  4n  2n n  2 2  n n  n  8    n n n  lim n    2  n2 n         8    Do lim n   lim  n n n   2  n2 n   8000  4   002   c Ta có biến đổi:     n2    n4     2n  n  2n  n  n n4  n n   lim    lim  lim lim     3n3  2n2  3n  2n  n3     3    n n  n n3    4 lim n      n2       n2 n4    2   lim   n n     Nên   Vì lim  3      n n3  3    n n    d Ta có biến đổi: 3n  2n  lim  lim 2n     n  3    3    n n   n n  lim n  4    2 n3     n n     3  n  n Do lim n   lim   2  n          3    0  20   Nguyễn Quốc Tuấn (Tổng biên tập Xuctu.com)-090.567.1232 Trang số Chuyên đề: Giới hạn dãy số- Chương IV: Đại số Giải tích 11 Bài tập mẫu 3: Tính giới hạn sau: a lim 2n  n  2n  b lim n5 3n3  Hướng dẫn giải a Ta có biến đổi: 2n   2 2n  n n n n  0 lim  lim  lim n 2n n  2n      n n2 n2 n2 n2  lim n    Vì n   thì lim  n   lim n   b Ta có biến đổi: n 5   3 n5 n n n n  0 lim  lim  lim 3n 3n  3  3 n n n  lim n    Do : Vì n   thì lim  n   lim n3   Trích dẫn: Qua bài toán dạng dãy số dạng hữu tỉ ta rút nhận xét sau + Nếu bậc của tử lớn bậc của mẫu thì giới hạn đó bằng  + Nếu bậc của tử bằng bậc của mẫu thì giới hạn đó bằng hệ số bậc cao nhất của tử hệ số bậc cao nhất của mẫu Nguyễn Quốc Tuấn (Tổng biên tập Xuctu.com)-090.567.1232 Trang số Chuyên đề: Giới hạn dãy số- Chương IV: Đại số Giải tích 11 + Nếu bậc của tử bé bậc của mẫu thì giới hạn đó bằng Điều này rất cần thiết cho tất chúng ta giải bài toán giới hạn dạng hữu tỉ giải trắc nghiệm Bởi vì một giới hạn hữu tỉ nhìn vào ta hoàn toàn có thể biết kết quả lập tức Thật vậy bài toán sau các em hoàn toàn biết kết quả một cách nhanh chóng và chính xác Thật vậy, sử dụng nhận xét đó ta thực hiện nhanh các bài tập trắc nghiệm sau: Bài tập trắc nghiệm tự luyện Bài tập 1: Giới hạn lim a 2n3  n  3n 1 bằng: 3n  c  b d Đáp án: C Vì bậc cao nhất của tử là bậc có hệ số dương và bậc cao nhất của mẫu là bậc nên giới hạn này bằng  Bài tập 2: Giới hạn lim a  b  n3  n  3n  bằng: 4n  c  d Đáp án: A Vì bậc cao nhất của tử là bậc có hệ số âm và bậc cao nhất của mẫu là bậc nên giới hạn này bằng  Bài tập 3: Giới hạn lim a b  3n  n 1 bằng: 2n3  c  d Đáp án: D Nguyễn Quốc Tuấn (Tổng biên tập Xuctu.com)-090.567.1232 Trang số Chuyên đề: Giới hạn dãy số- Chương IV: Đại số Giải tích 11 Vì bậc cao nhất của tử là bậc hai và bậc cao nhất của mẫu là bậc ba Nên giới hạn này có giới hạn bằng Bài tập 4: Giới hạn lim a b  3n  5n  bằng: 2n  n  d  c Đáp án: B Bậc cao nhất của tử là bậc hai có hệ số bằng -3 và bậc cao nhất của mẫu cũng là bậc hai có hệ số bằng Nên giới hạn này bằng  Bài tập 5: Giới hạn lim a b n4  n2  bằng: 2n3  n c  d  Đáp án: C 5    n 1    n 1    n n 5 n n   n n    Ta có: lim = lim  lim  7 2n  n  2 n3    n n  5  1     n n  Vì lim n   lim 2 n Bài tập 6: Giới hạn lim a b 2n  n  3n2  2n  bằng: c  d Đáp án: A Nguyễn Quốc Tuấn (Tổng biên tập Xuctu.com)-090.567.1232 Trang số Chuyên đề: Giới hạn dãy số- Chương IV: Đại số Giải tích 11 Bậc cao nhất của tử là bậc hai có hệ số bằng và bậc cao nhất của mẫu cũng là bậc hai có hệ số bằng Nên giới hạn này bằng 2n  Bài tập 7: Giới hạn lim a  n  4n2  b bằng: c d Đáp án: B Bậc cao nhất của tử là bậc và bậc cao nhất của mẫu là bậc ba có hệ số bằng Nên giới hạn này bằng Bài tập 8: Giới hạn lim a b 3n3  2n2  n n3  bằng: c  d Đáp án: D Bậc cao nhất của tử là bậc ba có hệ số bằng và bậc cao nhất của mẫu cũng là bậc ba có hệ số bằng Nên giới hạn này bằng Bài tập 9: Giới hạn lim a b n4 (n  1)(2  n)(n2  1) bằng: c 1 d  Đáp án: C Bậc cao nhất của tử là bậc bốn có hệ số bằng và bậc cao nhất của mẫu cũng là bậc bốn có hệ số bằng Nên giới hạn này bằng Bài tập 10: Giới hạn lim n2  2n  n  bằng: Nguyễn Quốc Tuấn (Tổng biên tập Xuctu.com)-090.567.1232 Trang số 10 Chuyên đề: Giới hạn dãy số- Chương IV: Đại số Giải tích 11  lim  n  2n   n   lim n  2n   n  lim n  2n   n n  2n   n  n2  2n   n  n  2n   n 2n   lim n  2n   n 2 2n  n  lim  lim  1   11 3 1  1 n     1 n n n n   n2  2n   n biểu thức liên hợp n2  2n   n c Ta có biến đổi: lim  3  n   n  lim   lim 3 n   n   n    n  n  n     n2  n  2      n  n  2  n  2  n  n  n2 n2n  lim  n  n  n2  lim  n  2  n  n  n2 0 3  n  n  n d Ta có biến đổi: lim  lim  lim 3n   2n  3n   2n   3n   2n   lim 3n   2n  3n   2n    3n   2n    3n   2n    e Ta có biến đổi: Nguyễn Quốc Tuấn (Tổng biên tập Xuctu.com)-090.567.1232 Trang số 17 Chuyên đề: Giới hạn dãy số- Chương IV: Đại số Giải tích 11  lim n   n  2n   n  1  lim   n 1  lim   n  2n    lim n   n  2n  2 n   lim  1 n   n  2n  n  2n  n   n  2n   n   n  2n  n  n  2n  n   n  2n  f Ta có biến đổi: lim   n3  3n   n  4n  lim  lim   lim  n3  3n   n  n  n  4n   n3  3n   n  n  n  4n     n3  3n   n  lim n  n  4n    L  lim n3  3n   n  Đặt:   L2  lim n  n  4n      Với L1 ta sử dụng nhân lượng liên hiệp bậc ba   n  3n   n    n  3n  1  n n  3n   n   lim  n  3n  1  n n  3n   n L1  lim  3 n3  3n   n 3  lim  lim 3 2 3 3 2 n3  3n   n3   n3  3n   n n3  3n   n 3n    n3  3n   n n3  3n   n Với L1 ta sử dụng nhân lượng liên hiệp bậc hai Nguyễn Quốc Tuấn (Tổng biên tập Xuctu.com)-090.567.1232 Trang số 18 Chuyên đề: Giới hạn dãy số- Chương IV: Đại số Giải tích 11  L2  lim n  n  4n n  n  4n  lim Vậy: lim  n  n  4n  n   lim  lim  n  4n n  n  4n  n  n  4n 4 n n  n  4n  2  n3  3n   n  4n  L1  L2    2   1 Bài tập mẫu 2: Tính các giới hạn sau: n 1  n  a) lim( n2  3n   n 1) b) lim c) lim( n2  3n 1  n 1) d) lim    4n  n   n    n    Hướng dẫn giải a) Ta có biến đổi:  lim  n  3n   n 1  lim   lim  n2  3n  n 1 n2  3n   n 1 5n 1  lim  n2  3n   n 1  n2  3n  n 1  lim  n2  3n   n 1 n2  3n   n 1 n2  3n   n2  2n 1 n2  3n   n 1 b)Ta có biến đổi: lim  lim n 1  n   lim  n 1  n  n 1  n   n 1  n   n 1  n  n 1  n   lim   n  1 n  2 c) Ta có biến đổi: Nguyễn Quốc Tuấn (Tổng biên tập Xuctu.com)-090.567.1232 Trang số 19 Chuyên đề: Giới hạn dãy số- Chương IV: Đại số Giải tích 11 lim  n2  3n 1   lim  n 1  lim n2  3n 1 n 1 n2  3n 1  n 1  n2  3n 1  n 1  n2  3n 1  n 1 n2  3n 1  n 1 n2  3n   lim n2  3n 1  n 1   d) Ta có biến đổi:  4n2  n   n     lim lim    2n    lim  4n  n   n  4n  n   n 2n 1 4n  n   n  4n  n   n 2n 1 4n  n   n   lim 4n  2n 1 4n  n   n   1 Bài tập trắc nghiệm tự luyện Bài tập 1: Giới hạn lim a 1 b n  3n 1  n bằng: n 1 c  d Đáp án: D Ta có biến đổi: n  3n 1  n lim  lim n 1  lim  n  3n 1 n n  3n   n n 1 n2  3n 1  n  n  3n 1  n n 1 n2  3n 1  n  lim 3n 1  n 1 n2  3n 1  n 0 Vì bậc của tử là bậc nhất và bậc lớn nhất của mẫu là bậc hai Nên giới hạn này bằng 3n  2n  n Bài tập 2: Giới hạn lim bằng: 3n  a   32 b   1 c 3 d Nguyễn Quốc Tuấn (Tổng biên tập Xuctu.com)-090.567.1232 Trang số 20 Chuyên đề: Giới hạn dãy số- Chương IV: Đại số Giải tích 11 Đáp án: B Ta có biến đổi: 3n  2n  n lim  lim 3n   lim  3n  2n  n  3n  2n  n 3n  2 3n2  2n  n 2n  n 3n  2 3n2  2n  n     1 2 Bài tập 3: Giới hạn lim( 2n 1  2n 1) bằng: b c  a 1 d Đáp án: D Ta có biến đổi: lim   lim  2n 1  lim 2n 1  2 2n2 1 2n2 1 2n2 1  2n2 1  lim  2n2 1  2n2 1  2n2 1  2n2 1 2n2 1  2n2 1 2n2 1  2n2 1 0 Bậc lớn nhất của tử là bậc và bậc lớn nhất của mẫu là bậc nhất Do đó, giới hạn này bằng Bài tập 4: Giới hạn lim( 3n   3n  2) bằng: b  a c d Đáp án: C Ta có biến đổi: lim   lim  3n   3n   lim  3n   3n   3n   3n   3n   3n  3n   3n   lim 0 3n   3n  3n   3n  Nguyễn Quốc Tuấn (Tổng biên tập Xuctu.com)-090.567.1232 Trang số 21 Chuyên đề: Giới hạn dãy số- Chương IV: Đại số Giải tích 11 Bài tập 5: Giới hạn lim n( n   n  2) bằng: a  b c d Đáp án: A Ta có biến đổi: lim n   lim  n   n   lim n n   n  2 n 3  n   lim Bài tập 6: Giới hạn lim a  n  n 3  n   n 3  n   n 3  n  n   n 3  n  n 2n   n  n  4n  3n b c bằng: d   1 Đáp án: D Ta có biến đổi: lim n 2n   n  n    lim  lim 4n  3n  lim 2n  n  n  n  4n3  3n   2n3  n  n  n  4n3  3n 2n  n  n  n  2n3  n  n3  n  2n3  n  n  n  4n  3n  2n  n  n  n     n3   lim 4n  3n  2n  n  n  n   Bậc cao nhất của tử là bậc ba có hệ số bằng và bậc cao nhất của mẫu sau nhân phân phối ta bậc ba hệ số bằng    Nên giới hạn này có giới hạn bằng   1 Nguyễn Quốc Tuấn (Tổng biên tập Xuctu.com)-090.567.1232 Trang số 22 Chuyên đề: Giới hạn dãy số- Chương IV: Đại số Giải tích 11 Bài tập 7: Giới hạn lim a n  2n   n bằng: n 1 b d  c Đáp án: A Ta có biến đổi:  3  n  n   n n  n   n n3  2n   n  3  n  2n   n   lim  lim n 1  3   n  1  n  2n   n n3  2n   n2    3 n  2n   n  lim  n  1  n3  2n   n n3  2n   n2    2n   lim 0  3 3 2  n  1  n  2n   n n  2n   n             Nguyễn Quốc Tuấn (Tổng biên tập Xuctu.com)-090.567.1232 Trang số 23 Chuyên đề: Giới hạn dãy số- Chương IV: Đại số Giải tích 11 Dạng 3: Dãy số chứa lũy thừa – Mũ Phương pháp: Tương tự dãy hữu tỉ, ta tiến hành chia tử và mẫu cho mũ với số lớn nhất Một số công thức lưu ý: an  a  + n   b b n + n  an a + n a a n + 1n  Giới hạn của lũy thừa: lim a n  với  a  Bài tập mẫu 1: Tính giới hạn sau: 2n  5n a lim n 2.3  3.5n 3n1  2n 1 b lim n 5.3  4.2n 1 3n1  2n 1  5n c lim n 5.5  3.2n  3n 1 10n  d lim n n 5 e lim 9n  3n  Hướng dẫn giải a Ta có biến đổi: Chia tử và mẫu cho 5n ta n 2 n 5n  n   1 n 5 lim  lim   n  n n 3   n  n    5 5   n  lim    0    5   n Vì 0   nên ta có     lim     b Ta có biến đổi: lim 3n1  2n 1 3n.3  2n.2 3.3n  2.2n  lim  lim 2n 5.3n  4.2n 1 5.3n  2.2n n 5.3  Ta có biến đổi: Chia tử và mẫu cho 3n ta Nguyễn Quốc Tuấn (Tổng biên tập Xuctu.com)-090.567.1232 Trang số 24 Chuyên đề: Giới hạn dãy số- Chương IV: Đại số Giải tích 11 n 2 3n 2n    n  n 3  3  lim lim 3n n n 2 n  n    3 3 n Vì  2  nên lim    3 c Ta có biến đổi: lim 3n1  2n1  5n 3n.3  2n.2  5n 3.3n  2.2n  5n  lim  lim 5.5n  3.2n  3n 1 5.5n  3.2n  3n.3 5.5n  3.2n  3.3n Chia tử và mẫu cho 5n ta được: n n  3 2 3n 2n 5n       n  n  n 5 5  lim   lim 5n  n n n n 5 2  3 n  n  n       5 5 5   n  lim    0    5   n Vì 0   nên ta có    lim       d Ta có biến đổi: chia tử và mẫu cho 10n ta n 1 10n 1    n n n 10   10    lim n n  lim 10n 10n  lim n n 5 1          10n 10n 5  2   n  lim    0  10    10   n    1   lim     0 Vì  nên ta có    n   1    lim         e Chia tử và mẫu cho 3n ta được: Nguyễn Quốc Tuấn (Tổng biên tập Xuctu.com)-090.567.1232 Trang số 25 Chuyên đề: Giới hạn dãy số- Chương IV: Đại số Giải tích 11 n 1 9n 1    n n n 1 9 lim n  lim 9n  lim 1 n 3 1    1   3n 3n 3 n  1  lim    0     9   n Vì 0   nên ta có    lim       n Lưu ý: Khi chia cho vào bậc hai nghĩa là chia cho 9n Trích dẫn: Cũng tương tự giới hạn của dãy số hữu tỉ Ta cũng hoàn toàn có thể tự nhẩm kết quả của giới hạn dãy số dạng này Bằng cách quan sát hệ số của số mũ với số lớn nhất tử và mẫu Từ đó ta hoàn toàn có thể tính nhanh để thực hiện bài toán giới hạn dạng trắc nghiệm Bài tập trắc nghiệm tự luyện Bài tập 1: Giới hạn lim a  3n  3n bằng: b  c d Đáp án: C Vì hệ số của sơ số cao nhất của tử là và hệ số của số cao nhất mẫu là nên giới hạn đó bằng Bài tập 2: Giới hạn lim a b 4.3n  7n1 2.5n  7n bằng: c d Đáp án: B Thật vậy trước nhận xét ta có biến đối 4.3n  7n1 4.3n  7n.7 lim  lim 2.5n  7n 2.5n  7n Nguyễn Quốc Tuấn (Tổng biên tập Xuctu.com)-090.567.1232 Trang số 26 Chuyên đề: Giới hạn dãy số- Chương IV: Đại số Giải tích 11 Vì hệ số của sơ số cao nhất của tử là và hệ số của số cao nhất mẫu là nên giới hạn đó bằng 4n 1  n2 Bài tập 3: Giới hạn lim a b bằng: 5n  8n c  d Đáp án: A Thật vậy trước nhận xét ta có biến đối 4n1  6n2 4n.4  6n.62 4.4n  36.6q n lim  lim  lim 5n  8n 5n  8n 5n  8n Nhận xét: Cơ số cao nhất của tử là và số cao nhất của mẫu là Nên giới hạn đó bằng Bài tập 4: Giới hạn lim a b 2n  5n1 bằng:  5n c d 5 Đáp án: D Ta có biến đổi: lim 2n  5n1  5n  lim 2n  5.5n  5n Vì hệ số của sơ số cao nhất của tử là và hệ số của số cao nhất mẫu là nên giới hạn đó bằng Bài tập 5: Giới hạn lim a b  2.3n  7n 5n  2.7n bằng: c  d Đáp án: C Nguyễn Quốc Tuấn (Tổng biên tập Xuctu.com)-090.567.1232 Trang số 27 Chuyên đề: Giới hạn dãy số- Chương IV: Đại số Giải tích 11 Vì hệ số của sơ số cao nhất của tử là -1 và hệ số của số cao nhất mẫu là nên giới hạn đó bằng  Bài tập 6: Giới hạn lim a  b  2.3n  6n 2n (3n1  5) bằng: c.1 d Đáp án: D Ta có biến đổi: lim  2.3n  n  lim  2.3n  n  lim  2.3n  6n n (3n1  5) n (3.3n  5) 3.6n  5.2n Vì hệ số của sơ số cao nhất của tử là và hệ số của số cao nhất mẫu là nên giới hạn đó bằng Dạng 2: Tìm giới hạn bằng chứng minh hoặc theo định nghĩa Phương pháp 1: Dùng định lí kẹp Phát biểu: Cho dãy số (un ), (vn ),( wn ) Nếu un   wn , n lim un  lim wn  L  lim  L Một số kiến thức cũ:    sin u  + 1  cos u  Bài tập mẫu 1: Tính các giới hạn lim sin(3n) n Hướng dẫn giải Ta có nhận xét: Nguyễn Quốc Tuấn (Tổng biên tập Xuctu.com)-090.567.1232 Trang số 28 Chuyên đề: Giới hạn dãy số- Chương IV: Đại số Giải tích 11 1  sin  3n    sin(3n)   n n n   1 lim   n      lim   n Ta có: nên lim sin(3n) 0 n  cos 3n  Bài tập mẫu 2: Chứng minh rằng: lim  2    2 n   Hướng dẫn giải   Ta có: lim  2  cos 3n   cos 3n   cos 3n    lim  2   lim    2  lim   n   n   n  Thực hiện tương tự bài tập mẫu ta được: 1  cos  3n    cos(3n)   n2 n2 n Ta có: Do đó:    lim   n      lim   n2 nên lim cos(3n) 0 n cos 3n   lim  2    2 n2    ( 1) n   1   n 1  Bài tập mẫu 3: Chứng minh rằng: lim  Hướng dẫn giải n n  ( 1)  ( 1) ( 1) n  1  lim  lim1  lim 1 n 1 n 1  n 1  Ta có: lim  Ta có nhận xét : Nguyễn Quốc Tuấn (Tổng biên tập Xuctu.com)-090.567.1232 Trang số 29 Chuyên đề: Giới hạn dãy số- Chương IV: Đại số Giải tích 11 n 1   1  n  1  1   n 1 n 1 n 1    lim   n    (1)n    lim 0 Mà:  n 1 lim    nên   n    ( 1) n  lim   1   n 1  Do đó: Bài tập trắc nghiệm tương tự Bài tập 1: Giới hạn lim a b n  sin 3n bằng : 2n  c d  Đáp án: A Ta có biến đổi: n  sin 3n n sin 3n  lim  lim 2n  2n  2n  n  lim 2n   Mà n dần  thì ta có :  lim sin 3n  2n   lim Nên: lim n  sin 3n  2n  Bài tập 2: Giới hạn un  a  b sin n bằng n c d Đáp án: D Thực hiện tương tự bài tập áp dụng định lí kẹp Nguyễn Quốc Tuấn (Tổng biên tập Xuctu.com)-090.567.1232 Trang số 30 Chuyên đề: Giới hạn dãy số- Chương IV: Đại số Giải tích 11 Bài tập 3: Giới hạn un  a b 2n  cos n bằng : 3n  d  c Đáp án: A Thực hiện tương tự bài tập áp dụng định lí kẹp Bài tập 4: Giới hạn lim a  b (1)n 1  2n bằng : 5n  cos n c  d  Đáp án: C Thực hiện tương tự bài tập áp dụng định lí kẹp Bài tập 5: Giới hạn un  a b 2n  (1)n 1 bằng cos n  3n c  d Đáp án: A Thực hiện tương tự bài tập áp dụng định lí kẹp Bài tập 6: Giới hạn un  a b sin n  cos n bằng n sin 2n c d  Đáp án: C Thực hiện tương tự bài tập áp dụng định lí kẹp Nguyễn Quốc Tuấn (Tổng biên tập Xuctu.com)-090.567.1232 Trang số 31 [...]... 1 nên giới hạn đó bằng 5 Bài tập 5: Giới hạn lim a 2 b 1  2.3n  7n 1 5 5n  2.7n bằng: c  1 2 d 0 Đáp án: C Nguyễn Quốc Tuấn (Tổng biên tập của Xuctu.com)-090.567.1232 Trang số 27 Chuyên đề: Giới hạn dãy số- Chương IV: Đại số và Giải tích 11 Vì hệ số của sơ số cao nhất của tử là -1 và hệ số của cơ số cao nhất ở mẫu là 2 1 nên giới hạn đó bằng  2 Bài tập 6: Giới hạn... bằng 1 và bậc cao nhất của mẫu sau khi nhân phân phối ta được bậc ba hệ số bằng 2   2  1 Nên giới hạn này có giới hạn bằng 1 2   2 1 Nguyễn Quốc Tuấn (Tổng biên tập của Xuctu.com)-090.567.1232 Trang số 22 Chuyên đề: Giới hạn dãy số- Chương IV: Đại số và Giải tích 11 3 Bài tập 7: Giới hạn lim a 0 n 3  2n  4  n bằng: n 1 b 1 d  c 2 Đáp án: A Ta có biến đổi: 2  3 3  3 n ... Bài tập 25: Giới hạn lim a 1 n n b  bằng: c -1 d 1 2 Đáp án: A Thực hiện tương tự như những bài trên 3 8n 3  4 n  2 Bài tập 26: Giới hạn lim bằng: 5n  1 Nguyễn Quốc Tuấn (Tổng biên tập của Xuctu.com)-090.567.1232 Trang số 14 Chuyên đề: Giới hạn dãy số- Chương IV: Đại số và Giải tích 11 a 8 5 b  c 2 5 d 4 5 Đáp án: C Thực hiện tương tự như những bài trên Bài tập 27: Giới hạn lim... bằng: Nguyễn Quốc Tuấn (Tổng biên tập của Xuctu.com)-090.567.1232 Trang số 13 Chuyên đề: Giới hạn dãy số- Chương IV: Đại số và Giải tích 11 a 3 2 b 3 4 c d  1 2 Đáp án: D Thực hiện tương tự như những bài trên 4n  1 Bài tập 23: Giới hạn lim a 4 3 b 3n  2n 1  2n 2 bằng: c 0 4 32 d 2 Đáp án: B Thực hiện tương tự như những bài trên 3n 4  n3  4n 2  n bằng: 3n 2  2 Bài tập 24: Giới hạn... của cơ số cao nhất ở mẫu là 1 nên giới hạn đó bằng 1 Bài tập 2: Giới hạn lim a 1 b 7 4.3n  7n1 2.5n  7n bằng: c 3 5 d 7 5 Đáp án: B Thật vậy trước khi nhận xét ta có biến đối 4.3n  7n1 4.3n  7n.7 lim  lim 2.5n  7n 2.5n  7n Nguyễn Quốc Tuấn (Tổng biên tập của Xuctu.com)-090.567.1232 Trang số 26 Chuyên đề: Giới hạn dãy số- Chương IV: Đại số và Giải tích 11 Vì hệ số của... Do đó, giới hạn này bằng 0 Bài tập 4: Giới hạn lim( 3n  2  3n  2) bằng: b  a 9 c 0 d 6 Đáp án: C Ta có biến đổi: lim   lim  3n  2  3n  2  lim  3n  2  3n  2  3n  2  3n  2  3n  2  3n  2 3n  2  3n  2 4  lim 0 3n  2  3n  2 3n  2  3n  2 Nguyễn Quốc Tuấn (Tổng biên tập của Xuctu.com)-090.567.1232 Trang số 21 Chuyên đề: Giới hạn dãy số- Chương IV: Đại số và Giải... 3n  0 2n  1  lim Nên: lim n  sin 3n 1  2n  1 2 Bài tập 2: Giới hạn un  a  b 1 sin n 3 bằng n c 3 d 0 Đáp án: D Thực hiện tương tự như những bài tập trên áp dụng định lí kẹp Nguyễn Quốc Tuấn (Tổng biên tập của Xuctu.com)-090.567.1232 Trang số 30 Chuyên đề: Giới hạn dãy số- Chương IV: Đại số và Giải tích 11 Bài tập 3: Giới hạn un  a 2 3 b 2n  cos n bằng : 3n  2 d  c 0 1 3 Đáp... hiệp bậc hai Nguyễn Quốc Tuấn (Tổng biên tập của Xuctu.com)-090.567.1232 Trang số 18 Chuyên đề: Giới hạn dãy số- Chương IV: Đại số và Giải tích 11  L2  lim n  n 2  4n n 2  n 2  4n  lim Vậy: lim  3 n  n 2  4n  n   lim  lim  n 2  4n n  n 2  4n  n  n 2  4n 4 n n  n 2  4n  2  n3  3n 2  1  n 2  4n  L1  L2  1   2   1 Bài tập mẫu 2: Tính các giới hạn sau:... a 3  2  32 b 3  2  3 1 c 3 3 d Nguyễn Quốc Tuấn (Tổng biên tập của Xuctu.com)-090.567.1232 1 2 Trang số 20 Chuyên đề: Giới hạn dãy số- Chương IV: Đại số và Giải tích 11 Đáp án: B Ta có biến đổi: 3n 2  2n  n lim  lim 3n  2  lim  3n 2  2n  n  3n 2  2n  n 3n  2 3n2  2n  n 2n 2  2 n 3n  2 3n2  2n  n  3  2   3 1 2 2 Bài tập 3: Giới hạn lim( 2n 1  2n 1) bằng:... Ta có nhận xét : Nguyễn Quốc Tuấn (Tổng biên tập của Xuctu.com)-090.567.1232 Trang số 29 Chuyên đề: Giới hạn dãy số- Chương IV: Đại số và Giải tích 11 n 1   1  1 n  1  1 1   n 1 n 1 n 1   1  lim   n  1   0 (1)n    lim 0 Mà:  n 1 lim  1   0 nên   n  1   ( 1) n  lim   1  1  n 1  Do đó: Bài tập trắc nghiệm tương tự Bài tập 1: Giới hạn lim a 1 ... xét giới hạn dãy hữu tỉ ta có giới hạn này bằng Nguyễn Quốc Tuấn (Tổng biên tập Xuctu.com)-090.567.1232 Trang số 15 Chuyên đề: Giới hạn dãy số- Chương IV: Đại số Giải tích 11 Loại 2: Giới. .. Nên giới hạn này có giới hạn bằng   1 Nguyễn Quốc Tuấn (Tổng biên tập Xuctu.com)-090.567.1232 Trang số 22 Chuyên đề: Giới hạn dãy số- Chương IV: Đại số Giải tích 11 Bài tập 7: Giới hạn...    0  20   Nguyễn Quốc Tuấn (Tổng biên tập Xuctu.com)-090.567.1232 Trang số Chuyên đề: Giới hạn dãy số- Chương IV: Đại số Giải tích 11 Bài tập mẫu 3: Tính giới hạn sau: a lim 2n  n