Lớp FB: http://www.facebook.com/VanLuc168 CHƯƠNG III TAM GIÁC ĐỒNG DẠNG § Định lý Talet tam giác § Định lý đảo hệ định lý Talet I.Lý thuyết: +Định nghĩa tỉ số hai đoạn thẳng - Tỉ số hai đoạn thẳng tỉ số độ dài chúng theo đơn vị đo +Định nghĩa tỉ số đoạn thẳng tỉ lê - Hai đoạn thẳng AB CD gọi tỉ lệ với hai đoạn thẳng A'B' C' D ' có tØ lÖ thøc AB A ' B' = CD C' D ' hay AB CD = A ' B' C ' D ' *Định lý Ta- lét đảo: +Nếu đ-ờng thẳng cắt hai cạnh tam giác định hai cạnh đoạn thẳng t-ơng ứng tỉ lệ đ-ờng thẳng song song với cạnh lại tam giác *Hệ định lý Ta-lét: +Nếu đ-ờng thẳng cắt hai cạnh tam giác song song với cạnh lại tạo thành tam giác có ba cạnh t-ơng ứng tỉ lệ với ba cạnh tam giác đà cho II.Bài tập: Bài 1: (sgk/58): a) AB   CD 15 b) EF 48   GH 160 10 A Bµi (sgk/59): C' B' a.Ta cã: B AB ' AC '  AB AC C AB ' AC '   AB  AB ' AC  AC '  Nguyễn Văn Lực c) AB ' AC '  BB ' CC ' PQ 120  5 MN 24 Lớp FB: http://www.facebook.com/VanLuc168 AB ' AC '  AB AC b Do :  AB  AB ' AC  AC ' BB ' CC '    AB AC AB AC Bài 5(sgk/59): Tính x tr-ờng hợp sau A D x 8,5 x M 10 ,5 24 Q P N B E C F Bài giải: a)Vì MN // BC nên theo đ/lí Ta let ta cã: AM AN AM AN   hay MB NC MB AC  AN 4.3,5 x  2,   x 8,5  5 b)V× PQ // EF nên theo đ/lí Ta let ta có: DP DQ  PE QF x  10,5 DF  DQ x 9.10,5  x  6,  10,5 24  15 hay Bµi tËp 4(SBT): E A M B N C D a.Kẻ DA BC kéo dài cắt E ta có *MN // AC nên theo đ/l Ta let tam giác EMN ta cã: EA EB EA MA    (1) MA NB EB NB * AB // MN nªn theo ®/l Ta let tam gi¸c EDC ta cã: EA EB EA AD    (2) AD BC EB BC Tõ(1)vµ(2)ta cã : MA AD MA NB   (3) NB BC AD BC b.Từ(3)và áp dụng t/c d·y tØ sè b»ng ta cã: MA NB MA NB    AD BC AD  MA BC  NB  MA NB  MD NC c Tõ(4)ta cã Nguyễn Văn Lực (4) Lớp FB: http://www.facebook.com/VanLuc168 MA NB MD NC    MD NC MA  MD NC  NB MD NC hay  DA CB  Bµi tËp (sgk/62): B'' A'' A P O M A' B' 21 B A B C N a)Ta cã 4,5 BN AM MN // AB (theo định lí đảo định lí Ta let) NC MC b)Vì AOB = AO"B" nên AB //AB(vì có góc so le b»ng nhau)vµ OA ' OB ' A ' B '// AB (Theo định lí đảo định lí Ta let) AA ' BB ' 3.4,5 Vậy A''B''//A'B'//AB Dạng 1: Sử dụng định lí talét để tính độ dài đoạn thẳng Bài 1: Cho hình thang ABCD(AB // CD) Một đ-ờng thẳng song song với hai đáy cắt cạnh bên AD, BC theo thứ tù ë E, F TÝnh FC biÕt AE=4cm, ED=2cm, BF=6cm B A F E K x C D Gọi giao điểm AC EF K Trong tam giác ACD ta có: EK // DC EK cắt AC K, cắt AD E Theo ®Þnh lÝ talÐt ta cã: AK AE  KC ED T-ơng tự tam giác ABC ta có: KF // AB, KF cắt cạnh AC K, cắt cạnh BC F Theo định lí talét ta có: Vậy ta cã : BF AE  FC ED Nguyễn Văn Lực BF AK  FC KC Lớp FB: http://www.facebook.com/VanLuc168 Thay sè ta tính đ-ợc: FC=6 : 4=3cm Dạng 2: Sử dụng định lí talét để chứng minh hệ thức Bài 1: Cho hình thang ABCD(AB // CD) Một đ-ờng thẳng song song với hai đáy cắt cạnh bên AD, BC theo thø tù ë E, F Chøng minh r»ng: AE CF  1 AD BC B A F E K C D Gọi giao điểm AC EF K Trong tam giác ACD ta có: EK // DC EK cắt AC K, cắt AD E Theo định lí talét ta có: AE AK AD AC (1) T-ơng tự tam giác ABC ta có: KF // AB, KF cắt cạnh AC K, cắt cạnh BC F CF CK (2) BC AC AE CF AK CK    1 AD BC AC AC Theo định lí talét ta có: Từ(1),(2)ta có: Bài 2: Cho hình bình hành ABCD Một đ-ờng thẳng qua D cắt cạnh AC, AB, CB theo thø tù ë M, N K Chøng minh r»ng: a/ DM2=MN.MK b/ DM DM  1 DN DK K N A B M C D DM MA  MK MC NM MA  DM MC a/ Ta cã AD // BC nªn AB // CD nªn Nguyễn Văn Lực Lớp FB: http://www.facebook.com/VanLuc168 DM MN  MK MD Suy hay DM2=MN.MK b/ Theo phÇn a ta cã DM MN  nªn MK MD DM MN  DM  MK MN  DM DM MN  DK DN DM DM DM MN    1 DN DK DN DN Do đó: BTVN: Bài 1: Cho tam giác ABC, điểm D thuộc cạnh BC Qua D kẻ đ-ờng thẳng song song với AC, AB, chúng cắt cạnh AB, AC theo thø tù ë E, F Chøng minh hÖ thøc: AE AF AB AC Bài 2: Cho hình thang ABCD(AB // CD)hai đ-ờng chéo cắt O Chøng minh r»ng OA OD=OB OC § Tính chất ng phõn giỏc ca tam giỏc I.Lý thuyết: *Định lý:Trong tam giác,đ-ờng phân giác góc chia cạnh đối diện thành hai đoạn thẳng tỉ lệ với hai cạnh kề hai đoạn II.Bài tập: Bài tập 18 (sgk/68): A B C E Xét  ABC có AE tia phân giác BAC EB AB    (t/c đường phân giác) EC AC  EB    (t/c tỉ lệ thức) EB  EC    EB     EB=3,18(cm)    EC=BC-EB=7-3,18=3,82(cm)  Nguyễn Văn Lực Lớp FB: http://www.facebook.com/VanLuc168 Bµi tËp 21 (sgk/68): A m A n D C M ABC; MB = MC BADDAC GT KL AB = m; AC = n (n > m) SABC = S a/ SADM = ? b/ SADM = ?% SABC n = cm, m = cm C/M: a/ Ta có AD phân giác BAC  Có DB AB m   (t/c tia phân DC AC n m < n (gt) ==> DB < DC  MB = MC = (gt)  giác)  D nằm B M SABM=SACM= SABC= S ba tam giác có chung đường cao hạ từ A xuống BC(là h), đáy BM=CM= BC 2 SACD= h.DC h.BD S ABD DB m     S ACD h.DC DC n S ABD  S ACD m  n  (t/c tỉ lệ thức)  S ACD n S mn hay  S ACD n S n  SACD= mn S n S S (2n  m  n)  = SADM= mn 2(m  n) Ta có: SABD= h.BD Nguyễn Văn Lực Lớp FB: http://www.facebook.com/VanLuc168 SADM= S ( n  m) 2( m  n) b/ có n=7 cm, m=3 cm S (n  m) S (7  3) 4S S   = 2( m  n) 2(7  3) 20 SADM= S=20% SABC SADM= hay Bài tập 17 (sgk/68): A gt E D B 23 ABC, BM  MC M  M  , M   M  kl C DE//BC Xét  AMB có MD phân giác AMB DB MB  (Tính chất đường phân giác) DA MA Xét  AMC có ME phân giác AMC EC MC   (Tính chất đường phân giác) EA MA  Có MB=MC(gt)  BD EC   DE // BC (ĐL DA EA Talột o) Bài Tam giác ABC vuông A, đ-ờng phân giác BD Tính AB, AC biết AD=4cm, DC=5cm A x D B y C Đặt AB=x, BC=y ta có: Và y2-x2=AC2=81 Do đó: x y  x y y  x 81     9 16 25 25  16 Nguyễn Văn Lực x  y Lớp FB: http://www.facebook.com/VanLuc168 x y  3 x  4.3  12 y  5.3  15 x=12 vµ y=15 VËy AB=12cm, BC=15cm Bµi Tam giác ABC có AB=30cm, AC=45cm, BC=50cm, đ-ờng phân giác BD a/ Tính độ dài BD, BC b/ Qua D vẽ DE // AB, DF // AC, E vµ F thuéc AC AB Tính cạnh tứ giác AEDF A E F B D C a/ Vì AD đ-ờng phân giác tam giác ABC nên ta có: DB AB 30    DC AC 45 DB DC Mà DB+DC=50 áp dơng tÝnh chÊt cđa d·y c¸c tØ sè b»ng ta cã: DB DC DB  DC 50     10 23 DB  20cm DC 30cm b/ Ta có AEDF hình thoi vµ DE DC DE 30    AB BC 30 50 DE 18cm Vậy cạnh hình thoi 18cm Bài Cho tam giác ABC có BC=24cm, AB=2AC Tia phân giác góc A cắt đ-ờng thẳng BC E Tính độ dài EB Nguyễn Văn Lực Lớp FB: http://www.facebook.com/VanLuc168 A 24 B E C Vì AE đ-ờng phân giác góc góc A tam giác ABC nên ta có: EB AB EB EC     EC AC 2 Mà EC-EB=24cm áp dụng tính chất d·y c¸c tØ sè b»ng ta cã: EB EC EC  EB 24    2 1 EB 24cm Bài Tam giác ABC có AB=AC=3cm, BC=2cm, đ-ờng phân giác BD Đ-ờng vuông góc với BD cắt AC E Tính độ dài CE A D B C E Ta cã BE lµ tia phân giác B tam giác ABC nên §Ỉt EC=x, ta cã: EB BC   EC BA x  x6 x3 VËy EC=6cm BTVN: Cho tam giác cân ABC có AB =AC=10cm, BC=12cm Gọi I giao điểm đ-ờng phân giác tam giác Tính độ dài BI Nguyn Vn Lc Lp FB: http://www.facebook.com/VanLuc168 § Khái niệm hai tam giác đồng dng Bài Cho tam giác ABC đồng dạng với tam giác A'B'C' theo tỉ số đồng dạng 2/3, tam giác A'B'C' đồng dạng với tam giác A"B"C" theo tỉ số đồng dạng 3/4 a/ Vì tam giác ABC đồng dạng với tam giác A"B"C"? b/ Tìm tỉ số đồng dạng hai tam giác a/ V× : ABC A ' B ' C ' A ' B ' C ' A " B " C " Nªn ABC A " B " C " b/ V× ABC A ' B ' C ' theo tØ số đồng dạng 2/3 nên ta có: AB  A' B ' V× A ' B ' C ' A " B " C " theo tØ số đồng dạng 3/4 nên ta có: A' B '  A" B " Mµ ABC A " B " C " Khi ®ã ta cã: AB AB A ' B '    A" B " A ' B ' A" B " VËy tØ sè ®ång dạng hai tam giác ABC A"B"C" 1/2 Bài 2: Cho tam giác với độ dài 12m, 16m, 18m Tính chu vi cạnh tam giác đồng dạng với tam giác đà cho, cạnh bé tam giác cạnh lớn tam giác đà cho Vì tam giác có cạnh nhỏ cạnh lớn tam giác ban đầu nên ta có cạnh nhỏ tam giác la 18m Gọi hai cạnh lại tam giác a b Vì hai tam giác đồng dạng nªn ta cã: 12 16 18   18 a b Khi ®ã: a= 24m b=27m Chu vi cđa tam giác 24+18+27=69m Nguyn Vn Lc Lp FB: http://www.facebook.com/VanLuc168 BTVN: Cho tam gi¸c ABC cã AB=16,2cm ; BC=24,3cm ; AC=32,7cm Tính đọ dài cạnh tam giác A'B'C' đồng dạng với tam giác ABC biết cạnh A'B' t-ơng ứng với cạnh AB a/ Lớn cạnh 10,8cm b/ Bé cạnh 5,4cm Đ Trng hp ng dng th nht I Lý thuyết: *Định nghĩa khái niệm hai tam giác đồng dạng + Tam giác A ' B'C ' gọi đồng dạng với tam gi¸c ABC nÕu: A '  A; B '  B; C '  C A ' B' B' C ' C' A ' = = BC BC CA *Định lí khái niệm hai tam giác đồng dạng Nếu đ-ờng thẳng cắt hai cạnh tam giác song song với cạnh lại tạo thành tam giác đồng dạng với tam giác đà cho II Bµi tËp: Bµi tËp 26 (sgk/72): A A' M B N C C' B' - Dùng M trªn AB cho AM = AB vÏ MN //AB - Ta cã  AMN   ABC theo tû sè k= - Dùng  A'B’C’=  AMN(c.c.c)  A'B’C’ tam giác cần vẽ Bài tập 28 (sgk/72): A'B'C' ABC theo tỉ số đồng dạng A' B ' B 'C ' C ' A' P '     AB BC CA P p' = víi P-P'=40 p k= a) b) Nguyễn Văn Lực Lớp FB: http://www.facebook.com/VanLuc168 p ' p p  p ' 40     20 53  P=20.5=1000 dm P'=20.3=60 dm Bài 24 (sgk/72): ABC đồng dạng A B C theo tỉ số k=k1 A B C đồng dạng ABC theo tỉ số k=k2 Thì ABC đồng dạng ABC theo tØ sè k=k1.k2 a Ta cã : b.Ta cã : c Ta cã: 40 50 60   => Hai tam giác đồng dạng 10 12 => Hai tam giác không đồng d¹ng 18 15 2   => Hai tam giác đồng dạng 0,5 1 Bài 30/72 - ABC vuông A, AB=6cm,AC=8cm ABCvuông A,AB=9cm, BC=15cm ABC, ABCcó đồng dạng?vì - Biết độ dài cạnh lại - ABC vuông A, AB=6cm,AC=8cm=> BC=10cm ABC vuông A,AB=9cm, B’C’=15cm=>A’C’=12cm Ta cã: 10   =>  ABC 12 15  A’B’C’ Chøng minh tam giác đồng dạng A K H M B N C - Xét AHB có MK đ-ờng trung bình=> KN  AC MN  BC Nguyễn Văn Lực - T-¬ng tù : KM  AB Lớp FB: http://www.facebook.com/VanLuc168 XÐt  KMN vµ  ABC cã: =>  KMN TØ sè ®ång KM KN MN    AB AC BC  ABC(c.c.c) dạng : k= Đ 6, Trng hợp đồng dạng thứ hai, thứ ba Bµi 35/72 SBT Tính độ dài đoạn thẳng A N M B C - XÐt  ABC vµ  AMN cã 12 15 AB AC  =>  vµ  ABC  AMN(c.g.c) BC AB 18    MN AM MN  MN  12cm chung Bµi  ABC cã AB=12cm, AC=18cm,BC=27cm, D thuéc c¹nh BC cho CD=12cm TÝnh AD? A B D C  DCA  ACB(c.g.c)=> AD=8cm Bµi 36/72 SBT Nguyễn Văn Lực Lớp FB: http://www.facebook.com/VanLuc168 A B D C 16 XÐt  ABD vµ  BDC cã AB BD  ( ) vµ FD BD FA BA Vì BE phân giác cđa tam gi¸c ABC Nguyễn Văn Lực Lớp => FB: http://www.facebook.com/VanLuc168 EA BA  EC BC Bµi Chøng minh tỷ số hai phân giác t-ơng ứng hai tam giác đồng dạng tỉ số đồng dạng DBA ABC VËy : DB BA  AB BC => DB BA  AB BC A A' B' D' B D ABD C' C A ' B ' D ' => AD BA  k A' D ' B ' A' Nguyễn Văn Lực www.facebook.com/VanLuc168 Toán Tuyển Sinh www.toantuyensinh.com Nguyễn Văn Lực Lớp FB: http://www.facebook.com/VanLuc168 § Các trường hợp đồng dạng ca tam giỏc vuụng Bài Tam giác ABC vuông A, đ-ờng cao AH Ch.minh a/ Tam giác AHC đồng dạng với tam giác BHA b/ AH2=BH.CH c/BH=4, CH=9 TÝnh SABC A B C H a/XÐt  AHC BHA hai tam giác vuông có AH2=BH.CH c/ V× AH2=BH.CH=> AH2=4.9=36  AH=6cm BC= BH+HC=4+9=13 cm => SABC=(AH.BC):2=6.13:2=39cm2 Bài Tam giác ABC có AD, BE đ-ờng cao Chứng minh tam giác DEC đồng dạng với tam giác ABC C D E A B XÐt  CAD ,  CBE vu«ng cã gãc C chung =>  CAD  CBE V×  CAD  CBE => CA CD  CB CE XÐt  DEC vµ  ABC cã Nguyễn Văn Lực CA CD  CB CE vµ gãc C chung =>  DEC  ABC(c.g.c) Lớp FB: http://www.facebook.com/VanLuc168 Bµi 49 tr.84 SGK a)Trong hình vẽ có ba tam giác vuông đồng dạng với đôi một: ABC HBA(B chung) ABC HAC(C chung) HBA HAC(cùng đồng dạng với ABC) b)Trong tam giác vuông ABC: BC2=AB2+AC2(®/l Pytago) BC= AB  AC = 12,452  20,502  23,98 (cm) - ABC HBA(c/m trªn) AB AC BC   HB HA BA 12,45 20,50 23,98   hay HB HA 12,45  12,452  6,46 (cm)  HB= 23,98 20,50.12,45  10,64 (cm) HA= 23,98 HC=HB-BH =23,98-6,46=17,52(cm) Bµi 51 tr.84 SGK + HBA vµ HAC cã: