Đang tải... (xem toàn văn)
Tài liệu nhằm giúp các bạn vượt qua vướng mắc đối với bài toán khoảng cách trong hình học không gian trong kì thi TSĐH..............................................................................................................................................................................................................................................................................................................................
BÀI TOÁN TÍNH KHOẢNG CÁCH TRONG HÌNH HỌC KHÔNG GIAN Trong kỳ thi TSĐH toán hình không gian gây không khó khăn cho học sinh đặc biệt câu hỏi liên quan đến tính khoảng cách Bài viết xin giới thiệu phương pháp giúp bạn học sinh giải vướng mắc thông qua việc quy toán - Để giải toán khoảng cách, học sinh cần nắm vững kết sau: * Bài toán bản: Cho hình chóp SABC có SA ( ABC ) Tính khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng SBC Ta tính khoảng cách từ A đến (SBC) cách dựng đường cao từ A đến (SBC) sau: AM BC Hạ AH ( SBC ) d[A;( SBC )] AH AH SM 1 AM AS Ta có: AH 2 AH AM AS AM AS S H C A M B *) Ngoài giải toán khoảng cách em học sinh cần nắm tính chất sau - Nếu đường thẳng a song song với mặt phẳng (P) khoảng cách từ điểm M thuộc a đến mặt phẳng (P) (1) - Nếu AM k BM d[A;( P )] k d[B;( P )] (P) mặt phẳng qua điểm M (2) Phần một: Tính khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng Phương pháp: Quy toán dùng tính chất (1) , (2) Ta xét ví dụ sau: ˆ 900 , BA=BC=a, ˆ BAD Ví dụ 1) Cho hình chóp SABCD có đáy ABCD hình thang ABC AD=2a Cạnh bên SA vuông góc với đáy SA= a , gọi H hình chiếu A lên SB Chứng minh tam giác SCD vuông tính theo a khoảng cách từ H đến mp(SCD) (TSĐH D 2007) Giải: Ta có AC a 2; SD SA2 AD a 6; SC SA2 AC 2a Ta dễ dàng tính CD a Ta có SD SC CD nên tam giác SCD vuông C 1 AB.AS a.a 2 AH a 2 AH AB AS AB2 AS2 a 2a 2 a SH 2 SH SA AH a SB a 3 S H A K E D B C Qua B kẻ BE song song với CD BE / /( SCD) E trung điểm CD 2 1 Ta có d[H;( SCD )] d[B;( SCD )] d[E;( SCD )] d[A;( SCD )] d[A;( SCD )] 3 3 Có AC CD , hạ AC AS a AK SC AK ( SCD ) d[A;( SCD )] AK a d[H;( SCD )] AC AS Ví dụ 2) Cho hình hộp chữ nhật ABCDA’B’C’D’ có AB a; AD 2a; AA ' a Gọi M điểm thuộc đoạn AD cho AM 3MD Tính khoảng cách từ M đến mặt phẳng ( A ' BC ) B' C' A' D' F H C B A E O M D Kí hiệu điểm hình vẽ: 3 Ta có MA DA d[M ;( AB 'C )] d[D;( AB 'C )] d[B;( AB ' C )] 4 BE AC Hạ BF ( AB ' C ) d[B;( AB 'C )] BF BF B ' E 1 1 1 Ta có 2 2 BF BE BB ' BA BC BB '2 2a a Tính BF suy d[M ;( AB 'C )] Phần Tính khoảng cách hai đường thẳng chéo nhau: Để tính khoảng cách hai đường thẳng chéo a, b ta làm theo phương pháp sau - Dựng mặt phẳng (P) chứa đường thẳng b thỏa mãn ( P ) / / a - Ta có tính chất: d[a;b ] d[a;( P )] d[M a;( P )] chất toán khoảng cách hai đường thẳng chéo tìm cách quy khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng Ta xét ví dụ sau: Ví dụ 1) Cho hình chóp SABC có đáy ABC tam giác vuông cân B, AB BC 2a, hai mặt phẳng (SAC) (SBC) vuông góc với đáy (ABC) Gọi M trung điểm AB, mặt phẳng qua SM song song với BC cắt AC N Biết góc tạo (SBC) (ABC) 600 Tính thể tích khối chóp SBCNM khoảng cách hai đường thẳng AB SN (TSĐH A 2011) Giải: ˆ 900 SBA ˆ 600 SA 2a - Ta có SA ( ABC ); ABC Mặt phẳng qua SM song song với BC cắt AC N suy N trung điểm AC Từ tính V 3a3 - Kẻ đường thẳng (d) qua N song song với AB AB song song với mặt phẳng (P) chứa SN (d) nên khoảng cách từ AB đến SN khoảng cách từ A đến (P) Dựng AD vuông góc với (d) AB / /( SND ) , dựng AH vuông góc với SD AH (SND ) d AB / SN d A/( SND ) AH SA AD SA2 AD 2a 39 13 S H D N C A M B Ví dụ 2) Cho lăng trụ đứng ABCA’B’C’ có đáy ABC tam giác vuông A, AB a, AC 2a, AA ' a Tính khoảng cách hai đường thẳng AB’ BC Giải: Ta có BC song song với mặt phẳng (AB’C’) chứa AB’ nên d BC / AB ' d BC /( AB ' C ') d B /( AB 'C ') d A '/( AB ' C ') (vì A ' B, AB ' cắt trung điểm đường) Từ A’ hạ A’K vuông góc với B’C’, Hạ A’H vuông góc với AK A ' K A ' A 2a A ' H ( AB ' C ') d A '/( AB 'C ') A ' H A ' K A ' A2 K C' A' B' H B C A (Rõ ràng việc quy toán có vai trò đặc biệt quan trọng tính khoảng cách, em học sinh cần ý điều này) Ví dụ 5) Cho hình chóp SABCD có đáy ABCD hình vuông cạnh a SA vuông góc với đáy góc tạo SC (SAB) 300 Gọi E , F trung điểm BC SD Tính khoảng cách hai đường thẳng chéo DE CF Giải: S F R A B H I D K E C CB AB ˆ 300 SB BC.cot 30 a SA a Vì CB (SAB ) CSB CB SA a Từ C dựng CI song song với DE ta có CI DE Ta có mặt phẳng (CFI) chứa CF song song với DE Ta có d DE / CF d DE /(CFI ) d D / (CFI ) d H / (CFI ) với H chân đường cao hạ từ F lên AD HK CI HK HF Dựng HR ( FCI ) d H /(CFI ) HR HK HF HR FK a a 1 CD.HI 3a Ta có HK CI CD.HI HK 2 CI 13 3 a2 a 2 a 3a 13 a 31 HR a 2 31 a 3a 13 Trong toán ta tạo khối chóp FHCI để quy toán : Tính khoảng cách từ chân đường cao H đến mặt bên (FCI) Việc làm giúp toán trở nên đơn giản nhiều Cuối số tập tự luyện cho học sinh: AD 1) Hình chóp SABCD có đáy ABCD hình thang vuông A, B biết AB BC a, SA vuông góc với (ABCD), góc tạo (SCD) (ABCD) 450.Gọi M, N, P trung điểm AB, BC, SD Tính khoảng cách Ta có FH a) BD CP b) DN CP c) SC DN 2) Cho hình chóp SABCD có đáy ABCD hình chữ nhật với AB=a, AD= a , SA=a SA vuông góc với mặt phẳng (ABCD) Gọi M N trung điểm AD BC, I giao điểm BM AC Tính khoảng cách a) BM SC b) SI ND c) SN AC 3) Cho hình chóp SABCD có SA vuông góc với (ABCD), SA=a, ABCD hình vuông cạnh a Gọi M, N trung điểm AB, AD Tính khoảng cách đường thẳng a) BN SC b) SN MC c) SN AC 4) Cho hình chóp SABCD có ABCD hình vuông cạnh a, SA a , Gọi M, N điểm thuộc đoạn thẳng AB, AD cho AM MB; DN AN ,Biết SMC tam giác cân S SM vuông góc với MN Tính thể tích khối chóp SAMDN khoảng cách SA với CM 5) Cho hình chóp SABCD có đáy ABCD hình thoi tâm O cạnh 5a , AC 4a SO 2a SO vuông góc với đáy Gọi M trung điểm SC Tính thể tích khối chóp SMDB khoảng cách hai đường thẳng SA BM 6) Cho hình chóp SABCD có đáy ABCD hình chữ nhật tâm O biết AB a; BC a , Tam giác SAO cân S, mặt bên SAD vuông góc với đáy ABCD Biết SD hợp với đáy ABCD góc 600.Tính thể tích khối chóp SABCD khoảng cách SB AC NGUYỄN TRUNG KIÊN ... / / a - Ta có tính chất: d[a;b ] d[a;( P )] d[M a;( P )] chất toán khoảng cách hai đường thẳng chéo tìm cách quy khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng Ta xét ví dụ sau: Ví dụ 1) Cho hình chóp... 31 a 3a 13 Trong toán ta tạo khối chóp FHCI để quy toán : Tính khoảng cách từ chân đường cao H đến mặt bên (FCI) Việc làm giúp toán trở nên đơn giản nhiều Cuối số tập tự... thẳng (d) qua N song song với AB AB song song với mặt phẳng (P) chứa SN (d) nên khoảng cách từ AB đến SN khoảng cách từ A đến (P) Dựng AD vuông góc với (d) AB / /( SND ) , dựng AH vuông góc với