Ôn tập toán 9 Đại số Trần Quốc Tộ Phơng trình một ẩn I. Phơng pháp thờng vận dụng 1. Đa về phơng trình tích. Giải các phơng trình sau: 2 x 10x 21 3 x 3 2 x 7 6+ + = + + + ( ) ( ) 3 3 2 6 x 3x 2 x 3x 2 + = ( ) ( ) ( ) 3 3 3 2 2 2 2x 3x 1 x 2 x 3x 1 0 + = ( ) ( ) ( ) 3 3 3 2 2 x 4x 1 x x 1 3x 2 + = ( ) ( ) ( ) 3 3 3 2 2 x 3x 2 x x 1 2x 3 0 + + + + + = ( ) 2 3 x x 5 2 x 5x 2 2+ = + 3 1 x x 2 1 + + = 5 4 3 2 x x x x x 2= + + + + ( ) ( ) x x 2 3 2 3 4+ + = ( ) ( ) 2 2 2 n n n x 1 3 x 1 2 x 1+ = với n N;n 2 ( ) ( ) 2 2 4x 1 x 1 2 x 1 2x 1 + = + + ( ) ( ) 4 2 2 2 2 4 x 2x 2 20x x 2x 2 64x 0 + + + = ( ) ( ) ( ) 4 3 x 4 2 2x 13 50 2x 13 + = + + + 1 1 1 1 x 3 x 2 x 2 x 1 x 1 x + + = + + + + + + + + x 1 x 3 2x.3 18x 27 0 + + = x x x 6 72 8.3 9.2+ = + 2 x x 2 2 x 2 2 x 1 + = + ( ) ( ) 3 3 3 64x x 2 3x 2= + + ( ) ( ) ( ) 3 3 3 2 2 x 1 3x 1 x 3x 2+ + + = + 2x 2 2 2x 3 2x 13 8 2x 3 7 + + + + = ( ) ( ) 2 2 2n n n x 1 4 x 1 3 x 1+ = 1 Ôn tập toán 9 Đại số Trần Quốc Tộ 2. áp dụng bất đẳng thức. Giải các phơng trình sau: 2 2 2 3x 6x 7 5x 10x 14 4 2x x+ + + + + = 2 2 2 x 6x 15 x 6x 18 x 6x 11 + = + + 2 2 2 4 x 6x 11 x 6x 13 x 4x 5 3 2+ + + + + = + 4 2 x 1 x 2 26 19 5 95 x 3x 2 3 + + + = ( ) ( ) 2 2 2 x 3x 3,5 x 2x 2 x 4x 5 + = + + x 3 4 x 1 x 8 6 x 1 1 + + + = ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 2 2 13 x 3x 6 x 2x 7 5x 12x 33 + + + = + ( ) ( ) ( ) 2 2 2 3 2 2 3 1 3x x 9x 7 x 2 x 3x 3 10 + + = + + + 2 2 4 2x 8x 12 3 3x 12x 13 + = + 2 3 2 x 1 5x 3x 3x 2 3x 2 2 + + = + 2 3 2 x 1 3x 5x 5x 2 x 2 2 + = x 3 4 x 1 x 8 6 x 1 1+ + + = 2 x 2 10 x x 12x 40 + = + 3. Đa về hệ phơng trình. Giải các phơng trình sau: 2x x 1 1 2x x 1 2 x 1 1+ + + + + = + + 4 4 x x + = 3 3 x 1 2 2x 1+ = ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) x x 2 2 2 3 3 3 3 3 2 x 1 2 x 1 1 x 4 4 7 48 7 48 14 3x 1 3x 1 9x 1 1 1 1 x x 1 2 2 x 34 x 3 1 8 2 18 2 1 2 2 2 2 2 1 x 1 1 x 1 2x x 97 x 5 + + = + + + = + + = + = + = + + + + + + = + = 2 Ôn tập toán 9 Đại số Trần Quốc Tộ 4. Chứng minh nghiệm duy nhất Giải các phơng trình sau: ( ) ( ) ( ) + + + + + + + + + = = + + + + + = + + + = + = ữ + + = + + = + + = = 2 2 2 4 2 4 2 4 2 4 2 4 2 4 2 4 2 x 3 x x x x 2 25 3 x 8x 17 x 8x 18 x 8x 16 1 x 4x 8 x 8x 14 x 8x 12 x 8x 16 2 2 x x 1 1 x 1 x x x x 3 x x x x x 2 3 9 x 10 x > 0 x 28 2 x 23 x 1 x 2 9 19 5 94 45 25 3 25 29 18.3 7 2 3 5 2 3 5 2 3 1 3 4 5 3 1 4 4 3 Ôn tập toán 9 Đại số Trần Quốc Tộ Phơng pháp đa về tổng các bình phơng Kiến thức cơ bản: 2 2 2 2 2 2 1 2 n 1 2 n A A . A 0 A A . A 0+ + + = = = = = Bài tập Bài 1. Chứng minh rằng nếu 2 2 2 a b c ab bc ca+ + = + + thì a b c= = Bài 2. Chứng minh rằng nếu 3 3 3 a b c 3abc+ + = thì a b c 0+ + = hoặc a b c= = Bài 3. Cho ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 2 2 x y y z z x x y 2z y z 2x z x 2y 0 + + = + + + + + = Chứng minh rằng x y x= = Bài 4. Tìm các số nguyên x,y,z thỏa mãn: ( ) 1 x y 1 z 2 x y z 2 + + = + + Bài 5. Giải các phơng trình sau: a/ 2 2x 2x 1 4x 1+ + = + b/ x y z 4 2 x 2 4 y 3 6 z 5+ + + = + + c/ ( ) ( ) 3 2 3 4 y 1 y 1 4 x 1 10 x y 1 + + + = d/ 2 2 4y x 4y x x 2 + = + Bài 6. Cho a,b,c thỏa mãn a b c 0 ab bc ca 0 + + = + + = Tính giá trị biểu thức ( ) ( ) 2006 2008 2007 A a 1 b c 1 = + + + Bài 7. Tìm GTNN của ca s biểu thức sau: 2 2 2 2 A x 2y 2xy 2x 10y B x xy y 3x 3y 2008 = + + = + + + Bài 8. Tìm GTLN của các biểu thức sau: 2 2 2 2 C 5x 2xy 2y 14x 10y 1 D x y xy 2x 2y = + + = + + + Bài 9. Cho x y z 3+ + = , tìm GTLN của xy yz zx+ + Bài 10. Cho x y z 6+ + = , tìm GTLN của xy 2yz 3zx+ + Bài 11. Tìm x,y biết 2 2 5x 5y 8xy 2y 2x 2 0+ + + + = Bài 12. Chứng tỏ không có số x,y nào thỏa mãn ( ) 2 2 x 3y 20 2x y 1 10y+ + = + + Bài 13. Giải hệ phơng trình 2 2 2 2 x 6y xy 2x 11y 3 x y 5 + = + = Bài 14. Tìm cặp số ( ) x;y với y nhỏ nhất thỏa mãn 2 2 x 5y 2y 4xy 3 0+ + = Bài 15. Cho ( ) 2 2 x 2xy 7 x y 2y 10 0+ + + + + = . Hãy tìm GTLN và GTNN của S x y 1= + + 4 Ôn tập toán 9 Đại số Trần Quốc Tộ Phơng trình nhiều ẩn *** Phơng pháp thờng vận dụng I. Đa về phơng trình tích Giải các phơng trình sau: 1. Tìm nghiệm nguyên của phơng trình: 2 2 x 91 y+ = 2. Tìm ngiệm tự nhiên của phơng trình: xy 4x 35 5y = 3. Tìm tất cả các cặp số nguyên ( ) x; y thỏa mãn hệ thức: 2 2 x 656xy 657y 1983 = 4. Tìm nghiệm nguyên của phơng trình: ( ) 2 x 25 y y 6 = + 5. Tìm nghiệm nguyên của phơng trình: 2 2 x x 6 y+ + = 6. Tìm nghiệm nguyên của phơng trình: 2 2 3 x 6y x 332 2 = + 7. Tìm nghiệm nguyên dơng của phơng trình: x y z 2 2 2 2336+ + = với x y z< < 8. Tìm nghiệm nguyên của phơng trình: ( ) 4 2 2 x y y x= 9. Tìm nghiệm tự nhiên của phơng trình: ( ) ( ) 2 2 x x 2y y y 2x 1991+ + = II. Đa về phơng trình tổng ***Biến đổi về các dạng sau: Dạng 1: ( ) ( ) ( ) k k k k k k 1 2 n 1 2 n f x; y; . f x; y; . . f x;y; . a a . a+ + + = + + + Với ( ) ( ) ( ) 1 2 n 1 2 n k;a ;a ; .;a ;f x; y . ;f x; y . ; .f x; y . ; Z Rồi xét mọi trờng hợp có thể xảy ra từ đó tìm đợc nghiệm thích hợp Dạng 2: ( ) ( ) f x; y; . a g x; y; . b = với a;b Z;b 0 > Vận dụng điều đã đợc chứng minh sau: Mọi số hữu tỉ đều biểu diễn đợc một cách duy nhất dới dạng một liên phân số bậc n 0 1 2 n a 1 q 1 b q 1 q q = + + + +K Trong đó 0 q nguyên, 1 2 n q ,q , q nguyên dơng, n q 1> Viết hai vế dới dạng liên phân số hữu hạn, từ đó tìm đợc nghiệm nguyên dơng thích hợp Giải các phơng trình sau: 1. Tìm các nghiệm nguyên dơng của phơng trình: 2 2 x 4xy 5y 169 + = 2. Tìm các nghiệm nguyên của phơng trình: 2 2 x 13y 100 6xy+ = + 3. Tìm các nghiệm nguyên của phơng trình: 2 2 x x 6 y = 4. Tìm các nghiệm tự nhiên của phơng trình:: 2 3 2 x y 3y 65 3y+ = 5 Ôn tập toán 9 Đại số Trần Quốc Tộ 5. Tìm các nghiệm nguyên dơng của phơng trình: 1 10 x 1 7 y z + = + 6. Tìm các nghiệm tự nhiên của phơng trình: ( ) ( ) 31 xyzt xy xt zt 1 40 yzt y t+ + + + = + + 7. Tìm các nghiệm tự nhiên của phơng trình: ( ) ( ) 3 3 2 2 3 55 x y x y 229 xy 1+ + = + 8. Tìm các nghiệm nguyên dơng của phơng trình: ( ) 2 2 7 x y x xy 2y 38xy 38+ + + = + 9. Tìm các nghiệm tự nhiên của phơng trình: ( ) 3 6 3 2 2 2 2 x x 15x z 3x y z y 5+ = + 10.Tìm các nghiệm tự nhiên của phơng trình: ( ) ( ) 2 2 2 4 4 2 x 4y 28 17 x y 14y 49 + + = + + + III. Nhận xét về ẩn số * Trớc khi bắt tay vào giải toán, nên nhận xét vai trò của các ẩn số, cấu trúc của các ẩn số. Để có cách giải phù hợp. + Nếu các ẩn x; y; có vai trò bình đẳng nh nhau, ta có thể giả sử x y . hoặc x y . để thu hẹp miền xác định của bài toán. + Nếu ẩn có cấu trúc giống nhau, nh lũy thừa cùng bậc của các số nguyên liên tiếp hoặc tích các số nguyên liên tiếpthì ta khử ẩn để đa phơng trình về dạng quen thuộc hơn hoặc ít ẩn hơn. Giải các phơng trình sau: 1. Tìm nghiệm nguyên dơng của phơng trình: x y z xyz+ + = 2. Tìm nghiệm nguyên dơng của phơng trình: 1 1 1 2 x y z + + = 3. Tìm nghiệm nguyên dơng của phơng trình: 2 2 2 2 1 1 1 1 1 x y z t + + + = 4. Tìm nghiệm nguyên của phơng trình: xy xz yz 3 z y x + + = 5. Tìm nghiệm nguyên của phơng trình: 3 3 y x 3x = 6. Tìm nghiệm nguyên của phơng trình: 2 3 3 1 x x x y+ + + = 7. Tìm nghiệm nguyên của phơng trình: 4 2 2 x x 1 y+ + = 8. Tìm nghiệm nguyên dơng của phơng trình: ( ) 4 4 3 x 2 x y+ = 9. Tìm nghiệm nguyên dơng của phơng trình: 4 2 2 x x 4 y y+ + = 10.Tìm nghiệm nguyên dơng của phơng trình: 4 2 2 x x y y 10 0+ + + = 6 Ôn tập toán 9 Đại số Trần Quốc Tộ Phơng trình bậc hai một ẩn Bài 1. Chứng minh rằng phơng trình ( ) 2 2 2 2 2 2 a x a b c x b 0+ + + = vô nghiệm nếu a, b, c là độ dài 3 cạnh của một tam giác. Bài 2. Chứng minh rằng phơng trình ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) x a x b x b x c x c x a 0 + + = luôn có nghiệm. Bài 3. Chứng minh rằng nếu hai phơng trình 2 1 1 x p x q 0+ + = và 2 2 2 x p x q 0+ + = có nghiệm chung thì ( ) ( ) ( ) 2 1 2 1 2 1 2 2 1 q q p p p q p q 0 + = Bài 4. 7 . sau: 2 2 2 2 A x 2y 2xy 2x 10y B x xy y 3x 3y 2008 = + + = + + + Bài 8. Tìm GTLN của các biểu thức sau: 2 2 2 2 C 5x 2xy 2y 14x 10y 1 D x y xy 2x 2y =. nguyên dơng của phơng trình: 4 2 2 x x 4 y y+ + = 10. Tìm nghiệm nguyên dơng của phơng trình: 4 2 2 x x y y 10 0+ + + = 6 Ôn tập toán 9 Đại số Trần Quốc