PHÉP CHIẾU SONG SONG VÀ PHÉP CHIẾU VUÔNG GÓC LÊN ĐƯỜNG THẳNG 1.ĐẠI CƯƠNG VỀ PHÉP BIẾN HÌNH 1.1.Ví dụ mở đầu Trong mặt phẳng cho một đường thẳng ∆ cố định và một véc tơ → v ≠ 0 sao cho → v không là véc tơ chỉ phương của ∆ .Với mỗi điểm M , ta xác định M’ như sau: vẽ d đi qua M nhận → v làm véc tơ chỉ phương và M’ = d ∩ ∆ . Khi đó M’ duy nhất. 1.2.Định nghĩa 1 Phép biến hình trong mặt phẳng là qui tắc cho tương ứng mỗi điểm M xác định điểm M’ duy nhất thuộc mặt phẳng đó. Điểm M trong định nghĩa gọi là điểm tạo ảnh (Gọi tắt là: tạo ảnh) Điểm M’ trong định nghĩa gọi là điểm ảnh (Gọi tắt là: ảnh) của M. Ta còn nói phép biến hình biến M thành M’. Nếu ký hiệu phép biến hình là F thì ta viết: F(M) = M’ hoặc M’ = F(M) hoặc F: M  M’. Ví dụ 1: Trong ví dụ mở đầu, ta gọi phép biến hình đó là: phép chiếu theo phương → v lên đường thẳng ∆ .Ta có thể kí hiệu là: ∆ → v F (M) = M’. Ví dụ 2: Đặc biệt trong ví dụ mở đầu, nếu → v là véc tơ pháp tuyến của ∆ thì ta gọi phép biến hình này là: phép chiếu vuông góc lên đường thẳng ∆ ( Còn gọi là phép chiếu trực giao). Kí hiệu là: ∆⊥ F *Chú ý: Phép biến hình biến mỗi điểm M thành M gọi là phép đồng nhất. 1.3.Ảnh của một hình qua một phép biến hình 1 ∆ M M' Cho một hình H. Tập hợp các điểm {M’=F(M) với M ∈ H} gọi là ảnh của hình H qua phép biến hình F. Kí hiệu F(H) = H’. 1.4.Tích của hai phép biến hình *Định nghĩa 2 Tích (hay: hợp thành) của hai phép biến hình F và G là phép biến hình H có được bằng cách thực hiện liên tiếp hai phép biến hình G và F. Ký hiệu là: H = F  G. Như vậy, theo định nghĩa:H(M) = F  G(M) = F(G(M)). (Có thể mở rộng cho tích của một số phép biến hình). 2.PHÉP CHIẾU THEO PHƯƠNG → v LÊN ĐƯỜNG THẲNG (PHÉP CHIẾU SONG SONG) 2.1.Định nghĩa Trong mặt phẳng cho đường thẳng ∆ và véc tơ → v ≠ → 0 không là véc tơ chỉ phương của đường thẳng ∆ . Phép biến hình biến mỗi điểm M thành M’ sao cho:      ∆∈ = →→ ' ' M nkMM (I) gọi là phép chiếu theo phương → v lên đường thẳng ∆ . Kí hiệu là: ∆ → v F . KÝ HIỆU Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho ∆ : Ax + By + C = 0. Ký hiệu → n = (A; B) là véc tơ pháp tuyến của ∆ và → u = (B; -A) là véc tơ chỉ phương của ∆ . -Với mỗi điểm M(x M ; y M ), ta ký hiệu ∆ (M) = Ax M + By M + C là số thực khi thay tọa độ của M vào vế trái ∆ ; -Nếu M 0 (x 0 ;y 0 ) thì 0 ∆ = Ax 0 + By 0 + C; -Nếu M(x; y) bất kì thì ( ∆ ): = ∆ (M): = Ax + By + C . 2 Bài toán: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho đường thẳng d: x = x 0 + at , y = y 0 + bt và đường thẳng ∆ : Ax + By +C = 0. Hãy xác định tọa độ giao điểm d và ∆ biết rằng Aa +Bb ≠ 0. Giải: Đặt → v = (a;b) là véc tơ chỉ phương của d, tacó → v . → n = Aa +Bb ≠ 0. Ta cần xác định giá trị t 0 thỏa mãn : A(x 0 + at 0 ) +B(y 0 + bt 0 ) + C = 0 ⇔ (Aa +Bb)t 0 + (Ax 0 + By 0 + C) = 0 ⇔ t 0 = - bBaA CByAx + ++ 00 = - →→ ∆ nv . 0 . Thay giá trị t 0 vào phương trình d ta xác định được tọa độ giao điểm: x’ 0 = x 0 + at 0 , y’ 0 = y 0 + bt 0 . 2.2.Biểu thức véc tơ của phép chiếu theo phương → v Bài toán trên cho phép ta chứng minh định lí sau *ĐỊNH LÍ 1 Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho ∆ : Ax + By +C = 0 và → v = (a;b) sao cho → v . → n = Aa +Bb ≠ 0. Khi đó ∆ → v F có biểu thức véc tơ là: vkMM =' (Ia) trong đó k = - →→ ∆ nv . )( , ( ∆ ) = Ax + By +C. *Chú ý: Ta xác định → n = (A; B) theo phương trình của ∆ và giữ nguyên nó trong mệnh đề 1. Chẳng hạn : ∆ : 6x – 9y +2 = 0 thì ta lấy → n =(6; - 9) mà không lấy → n =(2; - 3). Muốn lấy → n =(2; - 3) ta phải biến đổi về dạng ∆ : 0 3 2 32 =+− yx . 2.3.Biểu thức tọa độ của phép chiếu theo phương → v Từ biểu thức véc tơ ta suy ra biểu thức tọa độ sau *HỆ QUẢ : Nếu ∆ → v F biến M(x;y) thành M’(x’;y’) thì :    += += kbyy kaxx ' ' (Ib) trong đó k = - →→ ∆ nv . )( , ( ∆ ) = Ax + By +C và → v = (a;b). 3 Ví dụ 1: Hãy tìm tọa độ giao điểm của hai đường thẳng có phương trình : d: 2x + y - 1 = 0 và ∆ : 2x – y + 3 = 0. Giải Kí hiệu → v = → d u =(1;-2) và → n =(2; - 1) ta có: → v . → n =4 ≠ 0. Lấy M 0 (0;1) trên d ⇒ ∆ 0 = 2.0 -1.1 +3 = 2. Khi đó k 0 =- →→ ∆ nv . )( 0 = - 2 1 Vậy      =−−= −=−= 2)2( 2 1 1' 2 1 1. 2 1 0' 0 0 y x hay d ∆ = (- 2 1 ; 2). Ví dụ 2 Tìm giao điểm của hai đường thẳng : d: 2x +3 y +1 = 0 và ∆ : 4x+5y -6 = 0. Giải Xét → v = → d u =(3;-2) và → n =(4; 5) ⇒ → v . → n =2 ≠ 0. Lấy M 0 (1;-1) ∈ d ⇒ ∆ 0 = -7. Khi đó k 0 = - →→ ∆ nv . )( 0 = 2 7 .Vậy      −=−+−= =+= 8)2( 2 7 1' 2 23 3. 2 7 1' 0 0 y x hay d ∆ = ( 2 23 ;-8). 3.PHÉP CHIẾU VUÔNG GÓC LÊN ĐƯỜNG THẲNG 3.1.Định nghĩa Trong mặt phẳng cho đường thẳng ∆ và véc tơ pháp tuyến → n . Phép biến hình biến mỗi điểm M thành M’ sao cho:    ∆∈ = ' ' M nkMM (II) gọi là phép chiếu vuông góc lên đường thẳng ∆ . Kí hiệu là: ∆⊥ F . *Lưu ý : ta thường sử dụng H thay cho M’ trong phép chiếu vuông góc. 4 3.2.Biểu thức véc tơ của phép chiếu vuông góc *ĐỊNH LÍ 2 Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho ∆ : Ax + By +C = 0. Khi đó ∆⊥ F biến M(x;y) thành H có biểu thức véc tơ xác định bởi: → MH = → nk (IIa) trong đó k = - 2 )( → ∆ n , ( ∆ ) = Ax + By +C. Chứng minh Ta cần chứng minh hai ý: → MH cùng phương với → n (1), và H ∈ ∆ (2).Thật vậy: Xét hai trường hợp - Nếu M ∈ ∆ nghĩa là ∆ (M) = 0 suy ra k = 0. Khi đó từ (IIa) ⇒ H ≡ M. - Nếu M ∉ ∆ .Khi đó từ (IIa) suy ra (1). Từ k = - 2 )( → ∆ n ⇔ k 2 → n = - ( ∆ ) (3). Nhân vô hướng hai vế của (IIa) với → n và so sánh với (3) ta có : → MH . → n = - ( ∆ ) ⇔ A(x H - x) +B(y H - y) = - ( Ax + By +C) ⇔ Ax H + By H +C=0 ⇒ (2) đúng. *Chú ý : Trong định lí 1 chọn → v = → n ta có ngay định lí 2. 3.3.Biểu thức tọa độ của phép chiếu vuông góc *HỆ QUẢ 1: Nếu ∆⊥ F biến M(x;y) thành H(x H ;y H ) thì :    += += kByy kAxx H H (IIb) trong đó k = - 2 )( → ∆ n , ( ∆ ) = Ax + By +C. (Từ biểu thức véc tơ dễ dàng suy ra biểu thức tọa độ trên). Ví dụ 1: Cho điểm M(1;2) và ∆ : 3x + 4y -1 =0. Hãy tìm tọa độ hình chiếu vuông góc H của M trên ∆ . Giải: Tính giá trị k 0 =- 2 )( → ∆ n o =- 22 43 12.41.3 + −+ =- 5 2 . 5 ∆⊥ F biến M(x;y) thành H(x H ;y H ) ⇔      =−= −=−= 5 2 4. 5 2 2 5 1 3. 5 2 1 H H y x ⇔ H (- 5 1 ; 5 2 ). Ví dụ 2: Cho tam giác ABC có A(0;1), B(-2;5), C(4;9). Hãy xác định tọa độ chân đường cao AH của tam giác. Giải: Phương trình đường thẳng BC: 59 5 24 2 − − = + + yx ⇔ ∆ : 2x - 3y + 19 =0. M 0 ≡ A(0;1) suy ra k 0 =- 2 )( → ∆ n o =- ( ) 2 2 32 193 −+ +− =- 13 16 . Suy ra tọa độ của H :      =−−= −=−= 13 61 )3.( 13 16 1 13 32 2. 13 16 0 H H y x ⇔ H( 13 61 ; 13 32 − ). *Ý NGHĨA Từ nay ta có thêm một phương pháp mới để giải hệ hai phương trình bậc nhất hai ẩn. Ưu điểm của phép chiếu theo phương → v là: Ta có thể chọn điểm M 0 (x 0 ;y 0 ) bất kì ∈ d sao cho việc tính toán 0 ∆ = Ax 0 + By 0 + C là thuận tiện và dễ dàng nhất: Nếu → v . → n = Aa +Bb = 0 và 0 ∆ ≠ 0 thì hai đường thẳng song song tức là hệ vô nghiệm ; Nếu → v . → n = Aa +Bb = 0 và 0 ∆ = 0 thì hai đường thẳng trùng nhau, tức là hệ có vô số nghiệm. *NHẬN XÉT Từ phép chiếu theo phương → v lên đường thẳng ∆ , chúng ta có thể mở rộng nghiên cứu phép đối xứng trượt với trục đối xứng ∆ . 3.4.Các hệ quả khác *HỆ QUẢ 2 Hai điểm M 1 và M 2 cùng phía đối với đường thẳng ∆ : ⇔ ∆ (M 1 ). ∆ (M 2 ) > 0. 6 *HỆ QUẢ 3 Với mỗi điểm M(x; y) ta có : d(M, ∆ ) =MH = → ∆ n )( = 22 BA CByAx + ++ . *ĐỊNH LÍ 3 Cho một tam giác mà ba cạnh có phương trình : D 1 : A 1 x +B 1 y+C 1 =0; D 2 : A 2 x +B 2 y +C 2 =0; D 3 : A 3 x +B 3 y +C 3 =0. Gọi d 1 là đường phân giác trong của góc đối diện cạnh ∆ 1 . Khi đó a)Nếu T 1 = 2 1 n n . 3 1 n n < 0 thì phương trình d 1 là : ( ) ( ) 3 3 2 2 n D n D += ; b) Nếu T 1 = 2 1 n n . 3 1 n n > 0 thì phương trình d 1 là : ( ) ( ) 3 3 2 2 n D n D −= . KÝ HIỆU: Với → a = (a 1 , a 2 ) và → b = (b 1 , b 2 ) ta ký hiệu T = b a = 21 21 bb aa = a 1 b 2 - a 2 b 1 là định thức cấp hai tạo bởi → a và → b . Chẳng hạn ta xét ví dụ 3 sau đây: Cho D 1 : 3x + 4y – 6 = 0 ; D 2 : 4x +3y – 1 = 0 ; D 3 : y = 0 . Gọi A = D 1  D 2 ; B = D 2  D 3 ; C = D 3  D 1 . Hãy viết phương trình đường phân giác trong của góc A. (Đề 16 – Bộ đề thi tuyển sinh) Ta sẽ giải ví dụ 3 trước và chứng minh định lí 3 sau: Giải : Do A đối diện với D 3 nên ta xét T 3 = 2 3 n n . 1 3 n n = 43 10 . 34 10 = 12 > 0. Do đó phương trình đường phân giác trong của góc A là d 3 : 2222 43 643 34 134 + −+ −= + −+ yxyx ⇔ d 3 : x + y – 1 = 0. (Ta có thể giải tìm tọa độ của B, C rồi viết phương trình d 3 theo phương pháp cũ). 7  Bây giờ ta chứng minh định lí 3 Gọi A, B, C lần lượt là các đỉnh của tam giác đối diện với các cạnh D 1 , D 2 , D 3 và d 1 là đường phân giác trong của góc A. - Phép chiếu theo phương );( 333 ABu −= lên D 2 biến B thành A, ta có:        −−= −= )( . )( . )( 3 23 2 3 23 2 A nu BD yy B nu BD xx BA BA nhân các vế lần lượt với A 1 , B 1 cộng lại và cộng thêm C 1 , và do B thuộc D 1 ta có: D 1 (A) = - )( . 2 23 1331 BD nu BABA − = - )( . . 2 32 31 BD un un (a) - Tương tự (đối với C): D 1 (A) = - )( . . 3 23 21 CD un un (b) - Với chú ý rằng 2332 unun −= thì khi nhân các vế (a) và (b) ta có: (D 1 (A)) 2 = - )()( ).( ).).(.( 32 2 32 2131 CDBD un unun > 0 ⇔ T 1 .D 2 (B)D 3 (C) < 0. (c) - Ta giả thiết M thuộc d 1 và khác A (M trùng A thì hiển nhiên mệnh đề đúng), khi đó: d(M, D 2 ) = d(M, D 3 ) (d) đồng thời    > > 0)().( 0)().( 33 22 CDMD BDMD hoặc    < < 0)().( 0)().( 33 22 CDMD BDMD ⇒ D 2 (M)D 3 (M)D 2 (B)D 3 (C) > 0 (e) - Nhân hai vế của (c) và (e) suy ra T 1 .(D 2 (M).D 3 (M)) < 0 (f) Cuối cùng tùy theo dấu của T 1 mà từ (f) và (d) ⇒ khẳng định của định lí 3. (Dựa vào định thức cấp ba và việc tìm tọa độ giao điểm của các đường thẳng , ta cũng có thể chứng minh được định lí 5)(Xem: Phan Đức Chính- Vũ Dương 8 Thụy- Tạ Mân- Đào Tam- Lê Thống Nhất (1998), "CÁC BÀI GIẢNG LUYỆN THI MÔN TOÁN TẬP 3". NHÀ XUẤT BẢN GIÁO DỤC.). 9 . PHÉP CHIẾU SONG SONG VÀ PHÉP CHIẾU VUÔNG GÓC LÊN ĐƯỜNG THẳNG 1.ĐẠI CƯƠNG VỀ PHÉP BIẾN HÌNH 1.1.Ví dụ mở đầu Trong mặt phẳng cho một đường thẳng ∆. phép biến hình). 2.PHÉP CHIẾU THEO PHƯƠNG → v LÊN ĐƯỜNG THẲNG (PHÉP CHIẾU SONG SONG) 2.1.Định nghĩa Trong mặt phẳng cho đường thẳng ∆ và véc tơ → v ≠ →