CHƯƠNG V ĐƯỜNG – MẶT – KHỐI TRONG KHÔNG GIAN ƠCLIT I KHÁI NIỆM HÌNH 1.1 Khái niệm Hình trường hợp điểm mặt phẳng không gian có tính chất 1.2 Sự xác định hình Hình H = {M/ M có t/c P} Xác định hình H thực chất toán quỹ tích bao gồm hai phần: - Phần thuận: M có tính chất P chứng minh M thuộc hình H - Phần đảo: M thuộc hình H chứng minh M có tính chất P Ví dụ.Cho góc xOy vuông; gọi M,N hai điểm chuyển động hai tia Ox, Oy cho độ dài MN = a (a cho trước) Tìm tập hợp trung điểm MN Chứng minh Cần chứng minh: y a   H  I / IM  IN  ;xOy  1v M  Ox, N  Oy    - Phần thuận: điểm I có tính chất IM  IN  N1 a N I M  Ox; N  Oy, góc xOy vuông - Nếu M  O  N  M1  Ox cho OM1 = a x O a Khi đó, trung điểm I MN  I2 cho OI  Ta chứng tỏ tập hợp điểm 𝐼 ∈ 𝐼̂ 𝐼2 , tâm O, bán kính M M1 a Thật vậy: Lấy M, N  Ox, Oy cho MN = a; IM = IN Xét MON có OI trung tuyến nên a OI  IN  IM  MN   I có tâm O, bán kính 2 a a Suy I  cung I1, I2, tâm O, bán kính 2 Đảo: Xác định Ox, Oy điểm I1, I2 cho a OI1  OI  Lấy 𝐼 ∈ 𝐼̂ 𝐼2 thẳng MN = a IM = IN= y I1 N I chứng minh tồn đường a Với M  Ox; N  Oy x O I2 M Thật nối OI vẽ đường tròn tâm I, bán kính IO cắt Ox M, cắt Oy N Dễ thấy MON vuông IO = IM = IN  I trung điểm MN Vậy tập hợp điểm I trung điểm 𝐼̂ 𝐼2 , tâm O, bán kính 𝑎⁄2 II ĐA GIÁC 2.1 Đường gấp khúc Trong mặt phẳng không gian cho n điểm A1, A2, A2 A3, …, An Tập hợp đường thẳng A1A2, A2A3, …, An-1An A3 xếp theo thứ tự định, xác định hướng gọi đường gấp khúc (n – 1) đoạn A1 An - Các điểm: đỉnh - Các đường thẳng: cạnh A A2 A5 - A1A2 + A2A3 + … + An-1 độ dài đường gấp khúc - Nếu An  A1  đường gấp khúc A1A2… An: đường gấp khúc khép kín + Đường gấp khúc mà điểm điểm thuộc cạnh A4 A1 + Đường gấp khúc không đơn: kép A3 An 2.2 Đa giác Đa giác đường gấp khúc đơn, khép kín mặt phẳng - Đa giác phân mặt phẳng thành hai miền: miền miền B Trong: Không chứa hoàn toàn đường thẳng A Ngoài: Có thể chứa hoàn toàn đường thẳng Đa giác với miền nó: hình đa giác Ví dụ: Tam giác, tứ giác  III HÌNH ĐA DIỆN 3.1 Góc đa diện y + Góc nhị diện: hai nửa mặt phẳng chung bờ tạo thành góc nhị diện - Hai mặt phẳng: mặt góc nhị diện O x  - Đường thẳng bờ: cạnh góc Trong mặt phẳng () lấy tia Ox  bờ a Trong mặt phẳng () lấy tia Oy  bờ a Suy góc xOy góc phẳng nhị diện + Góc đa diện: Trong không gian, tập hợp x góc S phẳng đỉnh S x1Sx2, x2Sx3,… xnSx1 xếp theo thứ tự cạnh cuối góc cạnh đầu góc kề sau Cạnh cuối góc cuối cạnh đầu góc Tạo thành góc đa diện đỉnh S Các góc phẳng gọi mặt góc đa diện x5 x1 Cạnh góc phẳng gọi cạnh góc đa diện x4 + Góc đa diện đường thẳng đơn điểm (trừ đỉnh S) thuộc cạnh thuộc x5 A2 A1 mặt A3 An A4 3.2 Mặt đa diện đơn thành đa giác phẳng cho điểm A6 A5 - Mặt đa diện đơn hình không gian tạo A8 A7 thuộc ba loại sau: + Thuộc đa giác phẳng + Thuộc cạnh chung hai hai đa giác phẳng + Nếu đỉnh chung đa giác đa giác tạo thành góc nhị diện góc đa diện đơn + Trong mặt đa diện đơn có hai loại cạnh: Cạnh chung hai mặt: cạnh trong; Cạnh chung mặt: cạnh bên 3.3 Hình đa diện đơn Mặt đa diện đơn tất cạnh cạnh  hình đa diện đơn - Hình đa diện phân hoạch không gian thành hai miền - Hình đa diện với khối trong: khối đa diện  - Khối đa diện n mặt: khối n đa diện Ví dụ: Khối tứ diện, khối lục diện, … * Khối lăng trụ khối có hai mặt đáy hai đa giác nằm hai mặt phẳng song song mặt bên hình thang, hình bình hành,… * Khối lăng trụ: Khối lăng trụ tứ giác hình chữ nhật  hai mặt đáy hai tứ giác * Khối chóp * Khối chóp cụt III KHỐI TRÒN XOAY 4.1 Khối cầu Hình cầu tập hợp đỉnh M không gian cách điểm O cho trước, khoảng cách r không đổi.Kí hiệu: (0, r) Hình cầu miền gọi khối cầu O 4.2 Khối trụ Hình trụ tập hợp điểm không gian cách đường thẳng OO’ cho trước khoảng cách điểm r không đổi O Hình trụ + miền = khối trụ r 4.3 Khối nón Trong không gian cho mf() M O’ ... - Khối đa diện n mặt: khối n đa diện Ví dụ: Khối tứ diện, khối lục diện, … * Khối lăng trụ khối có hai mặt đáy hai đa giác nằm hai mặt phẳng song song mặt bên hình thang, hình bình hành,… * Khối. .. hành,… * Khối lăng trụ: Khối lăng trụ tứ giác hình chữ nhật  hai mặt đáy hai tứ giác * Khối chóp * Khối chóp cụt III KHỐI TRÒN XOAY 4.1 Khối cầu Hình cầu tập hợp đỉnh M không gian cách điểm O cho... cách r không đổi.Kí hiệu: (0, r) Hình cầu miền gọi khối cầu O 4.2 Khối trụ Hình trụ tập hợp điểm không gian cách đường thẳng OO’ cho trước khoảng cách điểm r không đổi O Hình trụ + miền = khối