Đang tải... (xem toàn văn)
Trong thời đại ngày nay không một ai có thể nghi ngờ về vai trò quan trọng của toán học trong đời sống xã hội cũng như trong sự phát triển của khoa học, kinh tế và kỹ thuật, v.v.. Chính sự thâm nhập ngày càng sâu rộng của toán học vào hầu hết các lĩnh vực của khoa học hiện đại là bằng chứng sinh động nhất để khẳng định điều đó. Đặc biệt, khi loài người bước sang thế kỷ XXI, thì nền kinh tế tri thức đã bắt đầu phát triển và có ảnh hưởng mạnh mẽ trong phạm vi quốc tế.
1 VẤN ĐỀ NHẬN THỨC LUẬN QUAN SỰ PHÂN TÍCH ĐỐI TƯỢNG CỦA TỐN HỌC Trong thời đại ngày khơng nghi ngờ vai trị quan trọng tốn học đời sống xã hội phát triển khoa học, kinh tế kỹ thuật, v.v Chính thâm nhập ngày sâu rộng toán học vào hầu hết lĩnh vực khoa học đại chứng sinh động để khẳng định điều Đặc biệt, lồi người bước sang kỷ XXI, kinh tế tri thức bắt đầu phát triển có ảnh hưởng mạnh mẽ phạm vi quốc tế Đặc điểm bật kinh tế tri thức vai trò ngày to lớn đổi liên tục công nghệ sản xuất vị trí chủ đạo thơng tin tri thức với tư cách nguồn lực tạo nên tăng trưởng lực cạnh tranh kinh tế Do vậy, kinh tế đại luôn xuất yếu tố phi tuyến, có nghĩa mơ hình khơng thể giải vận dụng công cụ suy luận phân tích tính tốn định lượng tốn học truyền thống Ở đây, để toán học phát huy sức mạnh việc giải nhiệm vụ kinh tế - xã hội đại thiết q trình xây dựng mơ hình, tốn học phải có kết hợp với phương pháp khoa học khác (chẳng hạn phương pháp tin học) Nếu thực kết hợp đó, khó khăn nảy sinh xuất yếu tố phi tuyến khắc phục nhờ phương pháp mơ hình hóa mơ đồ họa máy tính Điều có nghĩa lực nhận thức người phát triển nhờ vào trực cảm suy luận định tính Thực trạng chứng tỏ rằng, tốn học có vai trị to lớn nhận thức khoa học Nhưng lý làm cho tốn học có sức mạnh đó? Theo chúng tôi, điểm mấu chốt chỗ, đối tượng tốn học có nét đặc thù khác biệt so với đối tượng khoa học khác Chính vậy, lúc hết, phải phân tích cách 2 đắn, nghiêm túc rõ ràng chất đối tượng toán học từ lập trường chủ nghĩa vật biện chứng Thực tế khẳng định rằng, với phát triển sản xuất xã hội, khoa học cơng nghệ trí tuệ người, thân đối tượng tốn học không ngừng phát triển từ đơn giản đến phức tạp, từ trừu tượng trình độ thấp đến trừu tượng trình độ cao Như vậy, vấn đề nhận thức đắn nguồn gốc chất đối tượng tốn học, tìm hiểu khía cạnh triết học tốn học sở phân tích đối tượng vấn đề có ý nghĩa lớn phát triển khoa học, mà thực tiễn xã hội Từ quan niệm Ph.Ăngghen: Đối tượng thực toán học quan hệ số lượng hình thức khơng gian giới thực, đến kết luận quan trọng, đối tượng tốn học dù có trừu tượng đến đâu có nguồn gốc từ thực khách quan tri thức tốn học kết phản ánh tích cực, đắn, sáng tạo thực khách quan Đồng thời, xuất phát từ thực tiễn phát triển tốn học, đối tượng trực tiếp lý thuyết toán học hệ thống khách thể lý tưởng trừu tượng, không tồn thực khách quan, mà trường phái triết học khác nhau, chí giới tốn học với diễn khơng tranh luận chất đối tượng toán học vai trị tốn học q trình nhận thức Vì vậy, vấn đề đặt luận án ln ln vấn đề mang tính thời khơng phải riêng toán học, mà tất lĩnh vực khoa học nói chung Từ đó, việc làm sáng tỏ vấn đề triết học phân tích đối tượng tốn học góp phần làm sáng tỏ chất, vai trị phát triển tốn học nói riêng khoa học nói chung, đáp ứng yêu cầu cách mạng khoa học công nghệ đại Đồng thời, việc làm sở thống biện chứng tri thức toán học 3 với thực khách quan, từ có để xác lập giá trị nhận thức tốn học thơng qua đối tượng Điều phù hợp với nhận xét Lênin: "Tất trừu tượng khoa học (đúng đắn, nghiêm túc, không tùy tiện) phản ánh giới tự nhiên sâu sắc hơn, đầy đủ hơn" [25, tr 179] I QUAN ĐIỂM DUY VẬT BIỆN CHỨNG VỀ ĐỐI TƯỢNG CỦA TOÁN HỌC 1.1 ĐỐI TƯỢNG HIỆN THỰC VÀ ĐỐI TƯỢNG TRỰC TIẾP CỦA TOÁN HỌC XÉT TỪ QUAN ĐIỂM DUY VẬT BIỆN CHỨNG 1.1.1 Khái lược lịch sử hình thành phát triển đối tượng toán học Toán học khoa học hình thành sớm Từ thời cổ đại đến nay, toán học trải qua nhiều thời kỳ phát triển khác Mỗi thời kỳ đánh dấu mức độ phát triển đối tượng toán học nói riêng khoa học nói chung Theo quan điểm vật biện chứng, đối tượng toán học hình thức khơng gian quan hệ số lượng giới thực Quan điểm luận chứng sở xem xét cách đọng có hệ thống thời kỳ phát triển khác lịch sử toán học Ở thời kỳ đầu, cịn gọi giai đoạn tốn học kinh nghiệm, thời cổ đại đến kỷ thứ VII - VI (Trước công nguyên), hiểu biết toán học gắn liền với yêu cầu sống kinh tế Có thể nói rằng, thời kỳ đầu phát triển xã hội, người sống thành bầy đàn, nhờ vào hái lượm, săn bắn để sinh tồn, đời sống vật chất đòi hỏi cân đối, đồng việc phân công, sử dụng công cụ lao động phân chia sản phẩm Phép đếm nảy sinh từ nhu cầu cần thiết xác định số lượng động vật bầy số lượng sản phẩm thu hoạch mùa 4 màng Khi người biết sản xuất nhu cầu cân đối, đồng ngày tăng, có đếm chưa đủ, cần phải cân, đong, đo đạc, so sánh xếp thứ tự Lúc đầu, nhu cầu xác thấp, số lượng việc đong, đo, ước lượng chưa nhiều, người ta đong đo trực tiếp ước lượng kinh nghiệm, chẳng hạn dùng nước hay cát để đong mà so sánh thể tích Chính đo lường đại lượng nguyên nhân xuất phân số Đồng thời nhu cầu đơn giản đo diện tích khu đất, đo thể tích vật thể khác nhau, đo chi tiết kiến trúc, mang lại tích lũy tài liệu thực tế to lớn hình học Có thể nói rằng, lượng tài liệu khổng lồ hình học tích lũy thời Ai Cập cổ đại Lịch sử ghi lại việc phải đo đạc lại đất đai sau vụ lụt sông Nin khiến cho lưu vực sông Nin nôi sinh mơn hình học Những tài liệu tốn học Babylon cổ đại chủ yếu phương pháp khác để giải toán số học, có phương pháp khơng liên quan trực tiếp đến nhu cầu kinh tế Do đó, có đầy đủ sở để khẳng định rằng, phần cơng việc hệ thống hóa tinh chế lý thuyết tư liệu thực tế số học hình học bắt đầu thực toán học tiền Hy Lạp, đặc biệt toán học Babylon Ai Cập Nói tóm lại, thời kỳ hình thành khái niệm toán học Các tri thức toán học thời kỳ gắn liền với nhu cầu đời sống kinh tế Các khái niệm số hình xuất phát trực tiếp từ khách thể thực, tức từ vật cụ thể, cảm tính Tốn học chưa xem khoa học lý thuyết trừu tượng, thời kỳ coi thời kỳ phơi thai đời tốn học, hay nói xác hơn, thời kỳ hình thành toán học khoa học Đối tượng toán học thời kỳ gắn liền với khách thể cụ thể Thời kỳ thứ hai phát triển toán học người cổ Hy Lạp kéo dài liên tục đầu kỷ XVII Thời kỳ 5 gọi thời kỳ phát triển toán học đại lượng không đổi Vào thời kỳ sức sản xuất phát triển mạnh mẽ, sản phẩm dư thừa tăng lên, nhu cầu trao đổi, lưu thơng hàng hóa trở nên cấp thiết Đồng thời, phương pháp cân, đong, đo, đếm trực tiếp khơng cịn thích hợp Trước thực trạng đó, người bắt đầu ý đến phụ thuộc lẫn đại lượng vấn đề từ rút kết luận việc cân, đong, đo, đếm, ta cần thực số công đoạn định dùng lập luận mà suy kết khác Chẳng hạn, lĩnh vực hình học xuất lý luận so sánh hình dựa so sánh số đoạn thẳng hay góc (ví dụ trường hợp hay đồng dạng tam giác) Trong đại số xuất cơng thức, phương trình để tìm số chưa biết theo số biết Nhưng phát triển tốn học lại nguyên nhân xuất mâu thuẫn mới, chẳng hạn, bế tắc việc tính xác độ dài đường chéo hình vng có cạnh đơn vị, bất lực việc tìm nghiệm phương trình x + = 0, v.v Mặt khác, kinh nghiệm sống cho thấy, có đại lượng tính theo hai chiều đường có ngược xi, chiều cao có dưới, tiền nong có lỗ, lãi, v.v Những mâu thuẫn nói địi hỏi phải bổ sung thêm vào số tự nhiên phân số loại số như: số âm, số vơ tỷ Chính khái niệm số thực từ mà sinh Thực tế sống thúc đẩy việc nghiên cứu số tự nhiên theo chiều sâu, đụng chạm đến vấn đề số nguyên tố, ước số, bội số, phương trình với nghiệm số ngun v.v Có thể nói rằng, từ loạt phương pháp khác để giải toán thực tế, nhà toán học thời kỳ xây dựng số học thành khoa học số phép tính số Hình học đạt trình độ cao hồn thiện mặt logic Điều thể rõ việc 6 lần người ta xây dựng phương pháp tiên đề Trong số tác phẩm lý luận toán học, tiêu biểu tác phẩm "Cơ sở" nhà toán học Hy Lạp cổ đại Ơclít Tác phẩm xuất vào kỷ thứ ba trước công nguyên, nguyên lý tiếng nguồn cung cấp tri thức tốn học cho hệ sau suốt thời gian dài Đồng thời, tác phẩm mẫu mực cách lập luận toán học cách sáng sủa Tóm lại, giai đoạn này, tốn học từ trình độ kinh nghiệm tiến lên trình độ lý luận Tuy vậy, lý luận dừng chỗ phát mối liên hệ có tính quy luật thể định lý, công thức, vật tượng tĩnh tại, riêng lẻ Do kìm hãm chế độ phong kiến, học vật lý chưa phát triển được, vận động lúc chưa thể vào tốn học được, mà từ tác phẩm "Cơ sở" Ơclít trở đến hết kỷ XVI, tốn học khơng tiến xa bao nhiêu, đến kỷ XVII toán học bắt đầu vượt xa thời kỳ cổ đại Giai đoạn thứ ba phát triển toán học kỷ thứ XVII Thời kỳ Phục hưng châu Âu giải phóng cho xã hội lồi người khỏi kìm hãm chế độ phong kiến, mở đường cho khoa học công nghệ phát triển Nhu cầu nghiên cứu dạng vận động học vật lý thúc đẩy toán học bước sang giai đoạn Những vấn đề vận tốc, gia tốc tức thời, thêm vào phương pháp tọa độ Đêcactơ làm nảy sinh phát triển mạnh mẽ phép tính vi phân, tích phân Có thể nói rằng, vào thời kỳ vận động thực vào toán học Trọng tâm toán học hướng vào việc nghiên cứu biến thiên hàm số theo biến số, nghiên cứu đạo hàm nguyên hàm tích phân Phương pháp tọa độ cho phép biểu diễn hàm số đồ thị, điều làm nảy sinh hình học giải tích hình học vi phân Những khái niệm đạo hàm, tích phân liên hệ chặt chẽ với 7 khái niệm tiếp tuyến, độ cong, độ dài, diện tích, thể tích, v.v Những tốn học, vật lý làm nảy sinh vấn đề tìm hàm số chưa biết vào mối liên hệ hàm số đạo hàm chúng định luật học, vật lý cung cấp Từ phương trình vi phân thường phương trình đạo hàm riêng đời Ăngghen viết: "Đại lượng khả biến Đêcactơ đánh dấu bước ngoặt tốn học Với đại lượng đó, vận động biện chứng vào toán học phép tính vi phân tích phân trở thành cần thiết" [30, tr 756] Sự sáng lập phép tính vi phân tích phân gắn liền với tên tuổi nhà bác học Niutơn Lepnitxơ, bước định phát triển toán học đại lượng biến thiên Nhờ đó, khoa học nhận cơng cụ mạnh cho việc nghiên cứu định lượng trình Trong mối liên hệ đó, vào thời kỳ cận đại, việc áp dụng tốn học vào tự nhiên học xác tăng lên nhiều Giải tích tốn học từ trở thành kênh chính, qua tốn học ảnh hưởng đến khoa học tự nhiên Tư tưởng biến thiên cịn ảnh hưởng đến hình học phương diện xem xét phép biến hình; điểm mấu chốt lợi dụng bất biến phép biến hình để biến tốn khó thành tốn dễ cách thay hình cho ảnh qua phép biến hình hợp lý để giữ nguyên quan hệ xem xét đem lại nhiều thuận lợi cho việc giải tốn thơng qua ảnh Mở đầu việc xem xét bất biến qua loại phép chiếu hội họa kiến trúc việc vẽ đồ, v.v., từ bất biến mà phân loại khái niệm, tính chất thành khái niệm, tính chất kèm theo tính từ Mêtric, afin, xạ ảnh, bảo giác, v.v Sự phân loại tạo nhiều thuận lợi tốn lý thuyết, tốn quỹ tích dựng hình Một điểm đáng lưu ý thời kỳ việc nghiên cứu phụ thuộc số lượng đại lượng khác chiếm vị trí hàng đầu 8 Chính thế, nhiều nhà bác học lúc xem tốn học khoa học đại lượng Chẳng hạn, nhà toán học Alembecxơ nhận xét rằng, toán học khoa học nghiên cứu tính chất đại lượng, chúng đếm đo Nhưng đồng thời thời gian đó, nhà bác học có tầm nhìn xa lại cho rằng, đối tượng tốn học khơng thể hạn chế việc nghiên cứu đại lượng Chẳng hạn, Đêcactơ, thừa nhận toán học khoa học đại lượng đo lường, đồng thời ông nhấn mạnh giá trị to lớn quan hệ thứ tự Nhìn chung, Đêcactơ, Lepnitxơ số nhà tốn học khác nhìn thấy chất tốn học phương pháp suy diễn nhiều nội dung Chính vậy, ơng cho rằng, tốn học áp dụng khơng đại lượng, mà cịn đối tượng mn hình muốn vẻ khác, bao gồm suy luận, song ý tưởng vượt xa thời đại mình, nên chúng không thừa nhận phổ biến Tóm lại, với phát triển học, thiên văn, vật lý, vận động vào toán học làm nảy sinh phép tính vi phân, tích phân làm tảng cho lý thuyết hàm số thực số phức, lý thuyết phương trình vi phân thường phương trình đạo hàm riêng, lý thuyết chuỗi, hình học giải tích hình học vi phân với phép biến đổi hình học Toán học phát triển rực rỡ kỷ XVII XVIII, đối tượng số hình theo nhận thức thơng thường Tốn học phục vụ chủ yếu cho học, thiên văn học, vật lý học cổ điển cho lĩnh vực kỹ thuật vận dụng ba lĩnh vực khoa học Ph.Ăngghen viết: Trước hết thiên văn học, ngành thời tiết mà tuyệt đối cần thiết cho dân tộc chăn ni làm ruộng Thiên văn học có dựa vào toán học phát triển Do 9 mà người ta phải nghiên cứu tốn học - Sau đó, đến giai đoạn phát triển định nông nghiệp khu vực định (đưa nước lên để tưới ruộng Ai Cập), với xuất thành phố, cơng trình xây dựng lớn, với phát triển thủ cơng nghiệp học phát triển theo Chẳng bao lâu, học lại trở nên cần thiết cho hàng hải chiến tranh Cơ học cần giúp đỡ tốn học thúc đẩy tốn học phát triển [30, tr 659] Thời kỳ thứ tư phát triển tốn học, cịn gọi giai đoạn toán học đại, kỷ XIX tiếp tục ngày Đây giai đoạn mà toán học coi khoa học nghiên cứu cấu trúc toán học trừu tượng Giai đoạn đầu thời kỳ gắn liền với phát minh nhà toán học người Nga vĩ đại Lơbasepxki nhà tốn học người Hunggari Bơliai hình học phi Ơclít Những phát minh xem bước ngoặt định tồn kiểu cách tư tốn học kỷ XIX Ý nghĩa có tính ngun tắc phát minh chỗ chúng mang lại khả mở rộng tổng quát hóa cách đối tượng nghiên cứu hình học Điều thể điểm sau đây: Thứ nhất, ta thay số tiên đề Ơclít tiên đề khác, ta nhận hệ thống hình học phi Ơclít khác Chẳng hạn, Lôbasepxki Bôliai thay tiên đề đường thẳng song song Ơclít tiên đề đối lập lại (qua điểm cho trước ta kẻ hai đường thẳng song song với đường thẳng cho trước mặt phẳng) ông xây dựng hệ tiên đề hình học phi Ơclít mà người ta thường gọi hình học Hypebơlic Cũng vậy, hình học Eliptic Rieman hồn tồn khơng tồn đường thẳng song song 10 10 Thứ hai, gắn cho khái niệm sở tiên đề hình học Ơclít giải thích khác đó, xem chúng cấu trúc trừu tượng Bản thân Ơclít cho giải thích tiên đề Ơng xem hình học lý thuyết mơ tả tính chất tốn học khơng gian xung quanh Việc từ bỏ quan điểm hẹp hòi thế, thừa nhận khả có giải thích khác hệ tiên đề có ý nghĩa to lớn cho tổng quát hóa đối tượng hình học Thứ ba, tổng qt hóa đối tượng hình học đạt theo đường tăng số chiều không gian Cùng với không gian ba chiều thơng thường, ta xây dựng loại khơng gian nhiều chiều khác nhau, chí vô hạn chiều trừu tượng Các không gian trừu tượng nhiều chiều vô hạn chiều áp dụng có hiệu nhiều vấn đề vật lý lý thuyết hóa lý Điều kiện chín muồi để xuất tư tưởng thay tiên đề đường thẳng song song Ơclít tiên đề phủ định nó, cịn có sở triết học sâu sắc Như biết, xét mặt triết học, vào thời kỳ quan niệm khơng gian có thay đổi Khơng gian khơng cịn quan niệm đơn giản lồng bao la nhốt chúng ta, mà hình thức tồn vật chất, nên tính chất khơng gian vùng tùy thuộc vào quy luật bố trí phần tử vật chất vùng đó; chẳng hạn, phần tử vật chất bố trí theo hình cầu ta có hình học cầu, cịn bố trí theo mặt phẳng ta có hình học phẳng Thời kỳ phát triển toán học làm thay đổi chất khoa đại số học Nếu trước đại số ưu tiên nghiên cứu vấn đề gắn liền với việc giải phương trình, trung tâm ý nghiên cứu phép toán đại số khác cho tập hợp với chất tùy ý Đương nhiên, trước đại số không nghiên 10 167 167 chuẩn chân lý thể hình thức đặc biệt, thời đại chúng ta, xem xét vấn đề tính chân lý hệ tiên đề toán học, nhận thấy rằng, hệ thống nhà khoa học quan tâm đến chúng phản ánh quan hệ giới thực tại, cho dù phản ánh gián tiếp Trên thực tế, trình xác lập tính chân lý kết luận lý thuyết tốn học gặp khơng khó khăn Đó điều dễ hiểu, theo cách lập luận tốn học tính chân lý định lý tốn học phụ thuộc trực tiếp vào tính chân lý tiên đề, nhìn vào hình thức, dễ tưởng rằng, để xác lập tính chân lý lý thuyết tốn học ta cần phải thử nghiệm tiên đề mà lý thuyết dựa vào đủ Nhưng có điều dễ thấy nhiều tiên đề toán học không cho phép thử nghiệm Chẳng hạn, thực tế khơng có thí nghiệm xác lập trực tiếp tính chân lý tiên đề đường thẳng song song hình học Ơclít Tiên đề khẳng định rằng, hai đường thẳng song song không cắt cho dù kéo dài chúng vơ tận Vì vậy, muốn thử nghiệm tiên đề này, phải thử lại tập hợp vô hạn điểm đường thẳng Trong đó, điều hiển nhiên thí nghiệm, có số hữu hạn đối tượng q trình Ngồi ra, biết, hệ thống tiên đề có tập hợp giải thích cụ thể khác nhau, mà thiếu chúng nói chung khơng có thử nghiệm làm Tất điều buộc phải quay phương pháp gián tiếp để thử nghiệm kết luận định lý tốn học Điều có nghĩa là, không thử nghiệm thân tiên đề, mà thử nghiệm số hệ lôgic chúng, tức thử nghiệm định lý Khi thực điều đó, giả sử cho hệ tiên đề xét với minh họa nó, tức thực chất ta chuyển từ lĩnh vực toán học túy sang lĩnh vực toán học ứng dụng Ở đây, tốn học 167 168 168 túy lôgic cho phép nhận hệ quả, có số hệ kiểm tra thực nghiệm Ý nghĩa to lớn hệ trình xác lập chân lý tốn học chỗ Nhưng việc làm khơng phải cốt yếu q trình thử nghiệm lý thuyết tốn học Ở hồn tồn khơng có biến khẳng định toán học túy thành khẳng định khoa học thực nghiệm Chẳng hạn, vật lý khơng thể có thử nghiệm lý thuyết tốn học trừu tượng Thơng thường, để kiểm tra người ta chọn hệ tiên đề biến chúng thành giả thuyết thí nghiệm, mà giả thuyết cho phép ta kiểm tra thực nghiệm Ví dụ, hình học người ta thường dùng định lý tổng góc tam giác để kiểm tra thực nghiệm Phương pháp thử nghiệm gián tiếp khái niệm xuất phát tiên đề tốn học khơng phải đặc điểm riêng biệt tri thức toán học Trong khoa học khác, nguyên lý xuất phát kiểm tra trực tiếp thực nghiệm Chẳng hạn học cổ điển Niu tơn, gặp nguyên lý định luật qn tính Định luật nói rằng, vật thể khơng có ngoại lực tác động lên giữ ngun trạng thái đứng n hay chuyển động Điều hiển nhiên thí nghiệm nào, khơng thể loại trừ hoàn toàn ảnh hưởng ngoại lực khơng thể kiểm tra tính đắn định luật thứ chuyển động Nhưng nhận hệ từ định luật học, số chúng kiểm tra thực nghiệm Phương pháp kiểm tra gián tiếp chẳng qua áp dụng cụ thể phương pháp giả thuyết suy diễn, đóng vai trị quan trọng vật lý khoa học phát triển khác Ở đây, số giả thuyết sử dụng 168 169 169 với tư cách tiên đề kết luận Trên sở xác nhận hệ giả thuyết mà phán đốn tính chân lý thân giả thuyết Phương pháp thử nghiệm sử dụng rộng rãi khoa học đại Nhà khoa học tiếng Anhxtanh rằng, hệ thống hoàn thiện vật lý lý thuyết gồm khái niệm, nguyên lý liên quan đến khái niệm hệ rút từ chúng đường suy diễn lơgic Chính hệ phải phù hợp với thí nghiệm Có thể nói rằng, để kiểm nghiệm tính chân lý mệnh đề toán học thực nghiệm, trước hết phải đưa vào giải thích tương ứng để biến tiên đề tốn học thành giả thuyết trung gian, mà tính chất sai chúng xác lập thực nghiệm Ví dụ, với cách giải thích vật lý, tiên đề toán học trở thành giả thuyết vật lý, từ xác lập tính sai giả thuyết thực nghiệm Để làm điều đó, thông thường người ta kiểm tra thực nghiệm số hệ giả thuyết Nhưng cần nhớ rằng, xác nhận phủ định hệ chứng tỏ xác nhận phủ nhận cách trực tiếp giả thuyết, xác nhận phủ định thân tiên đề tốn học Chính xác nhận thực nghiệm hệ tiên đề mang lại cho chứng gián tiếp phù hợp hệ thống toán học việc nghiên cứu tính chất quan hệ thực Như vậy, toán học đường từ thực nghiệm đến lý thuyết tỏ phức tạp, phải trải qua lý thuyết trung gian có tính chất tự nhiên học, lý thuyết đứng "gần" thực so với tốn học Khi nói xác nhận thực nghiệm hệ rút cách lơgic từ hệ tiên đề đó, từ nguyên lý khoa học hay khoa học khác, khơng thể coi xác nhận xong hẳn mà không cần phải xem xét lại, sửa chữa làm xác thêm 169 170 170 Xét từ góc độ lơgic rõ ràng khơng có thí dụ đưa để minh họa giả thuyết (thậm chí tổng thí dụ) mà lại xác nhận giả thuyết cách hồn tồn được, cho dù cần thí dụ mâu thuẫn với gây nên xáo trộn lớn, chí dẫn tới khủng hoảng khoa học Chẳng hạn, nghịch lý xuất quan niệm đại lượng vô bé nghịch lý xuất lý thuyết tập hợp Cantor Đương nhiên, nhiều thí dụ xác nhận giả thuyết thể chắn chắn chân lý Nhưng hiển nhiên khẳng định rằng, giả thuyết bắt buộc phải chân lý thực Một tổng quát hóa thực nghiệm, giả thuyết không hệ lôgic tiên đề chúng Sự thực, chúng ln ln bao hàm nhiều hơn, kết luận rút khơng có tính chất chắn hồn tồn Cùng với thời gian, điều xảy kết thí nghiệm quan sát làm giảm bớt mức độ xác nhận giả thuyết chí hồn tồn phủ nhận Như vậy, xác nhận hệ giả thuyết xem chứng tỏ giả thuyết có nhiều phần đúng, coi chứng tỏ tính xác thực giả thuyết Điều có ý nghĩa phương pháp luận quan trọng, tính tương đối xác nhận giả thuyết khoa học Điều phù hợp với luận điểm Lênin tính tương đối tiêu chuẩn thực tiễn với tính cách tiêu chuẩn chân lý Chẳng hạn học cổ điển khối lượng m vật thể coi đại lượng bất biến trường hợp, từ thuyết tương đối Anhxtanh đời, kết luận quan trọng rút khối lượng vật đại lượng bất biến, mà thay đổi theo tốc độ vận tốc theo cơng thức 170 171 171 m= m0 v2 1− c Trong đó: - m: khối lượng vật chuyển động với vận tốc v - m0: khối lượng vật đứng yên Chúng ta hoàn toàn nhận thấy điều vừa nêu áp dụng cho tất khẳng định, có tiên đề tốn học, thơng qua giải thích xác định, chúng biến thành giả thuyết khẳng định Nhưng đây, khơng thể nói trực tiếp thân tiên đề tốn học mà khơng xem xét theo giải thích Quá trình thử nghiệm lý thuyết tốn học, lý thuyết có nội dung phong phú, cịn mang tính chất phức tạp nhiều Như biết, lý thuyết tốn học có nội dung phong phú hệ thống suy diễn mệnh đề Một số mệnh đề cho phép kiểm tra thực nghiệm, chúng khẳng định với mức độ trừu tượng thấp so với khẳng định mà từ chúng rút Về nguyên tắc, thành phần lý thuyết hoàn tồn có khẳng định mà mức độ trừu tượng chúng vượt xa khẳng định kiểm tra thực nghiệm Đồng thời, khẳng định có mức độ trừu tượng cao đóng vai trị phụ, tiên đề kết luận có mức độ tổng quát thấp Như vậy, rõ ràng khơng phải tất lý thuyết tốn học phải có ứng dụng thực tế Khi nói thử nghiệm lý thuyết người ta không ý tới phận riêng biệt nó, mà người ta xét tồn thể, người ta nắm lấy phần cốt lõi chúng Để đảm bảo tính hài hịa 171 172 172 lơgic thân lý thuyết, có cần phải đưa vào khâu khơng cho phép kiểm tra thực nghiệm Trong thực tế, thân tính chất thử nghiệm tri thức tốn học khơng phải bất biến trình phát triển khoa học thực tiễn xã hội Nếu giai đoạn trước phát triển xã hội, toán học liên hệ chặt chẽ với sản xuất, sau mối liên hệ trở nên phức tạp nhiều Nền sản xuất xã hội ngày ảnh hưởng vào toán học qua nhu cầu khoa học tự nhiên khoa học kỹ thuật Phép tính vi phân tích phân trao cho nhà khoa học cơng cụ có hiệu lực để giải nhiều toán quan trọng học thiên thể vật thể tồn trái đất Đến lượt mình, việc nghiên cứu định luật chuyển động học kỷ thứ XVII XVIII vấn đề cấp bách phát triển sản xuất kỹ thuật thúc đẩy Cùng với thay đổi tính chất mối liên hệ toán học với sản xuất, kiểm tra tính chân lý lý thuyết tốn học thực thông qua hầu hết khoa học tự nhiên kỹ thuật Như biết, thời kỳ đầu phát triển giải tích tốn học, mà ngun lý chưa hiểu thấu cách tường tận, người ta nhìn thấy tính đắn kết luận nhận phù hợp chúng với thí nghiệm thực tế Các kết luận phù hợp với kết học khoa học tự nhiên xác nói chung Cùng với thời gian, mối liên hệ toán học với tự nhiên học kỹ thuật không bị suy giảm, mà trái lại ngày tăng cường Mối liên hệ gắn bó đến mức ta nói rằng, đến thời kỳ toán học phát triển thử nghiệm tài liệu khoa học mà trước hết khoa học tự nhiên kỹ thuật, thực tế Nhưng mối liên hệ lại chứng minh phụ thuộc trình phát triển tốn học với địi hỏi thực tiễn xã 172 173 173 hội vật chất loài người Nhưng sai sót, cố quy tồn phát triển tốn học việc phục vụ vấn đề sản xuất khoa học gần với toán học Về vấn đề này, chủ nghĩa vật biện chứng, khẳng định thực tiễn sở định nhận thức hồn tồn khơng phủ nhận tính độc lập tương đối phát triển lý thuyết Trong nói thực tiễn tiêu chuẩn chân lý, lại khẳng định lý thuyết tốn học thực tiễn xác nhận lập tức, nhận thức khơng Thực tiễn có nói lên chậm tiếng nói định mình, thân thực tiễn tự phát triển có mà hơm khơng thể làm ngày mai khắc phục Khi Lơbasepxki phát triển hình học Hybecbơlic thực tiễn thời đại khơng thể khẳng định tính chân thực Hơn nữa, thực tiễn xác nhận tính chân thực hình học Ơclít Đó lý làm cho nhà toán học vĩ đại cuối kỷ XIX có thái độ thận trọng phản đối rõ rệt hình học Hypecbơlíc Nhưng chẳng sau Lơbasepxki từ trần nhà toán học Bentrami phát rằng, khơng gian Ơclít, với mẩu mặt có độ cong âm khơng đổi, hình học Lơbasepxki thực hiện, "đường thẳng" "đường trắc địa" Sau ơng xây dựng mẫu hồn chỉnh hình học khơng gian ba chiều Lơbasepxki từ đối tượng hình học Ơclít chứng minh mệnh đề hình học Hypecbolic khách quan chân lý khách quan hình học Ơclít Ngồi ra, sau tính chân thực giá trị thực tiễn hình học phi Ơclít khơng tốn học xác nhận mà cịn vật lý học xác nhận (như thuyết tương đối; học thuyết cấu tạo vật chất v.v.) 173 174 174 Như vậy, xem thực tiễn tiêu chuẩn cao chân lý, tuyệt đối hóa điều cách siêu hình để đến chỗ phủ nhận tiêu chuẩn lôgic chân lý tốn học Luận điểm tính tương đối tiêu chuẩn thực tiễn với tính cách tiêu chuẩn chân lý Lênin trình bày cách sinh động tác phẩm tiếng "Chủ nghĩa vật chủ nghĩa kinh nghiệm phê phán" Trong khẳng định quan điểm đời sống, thực tiễn phải quan điểm thứ lý luận nhận thức, Lênin nhấn mạnh: Dĩ nhiên không nên quên tiêu chuẩn thực tiễn, xét thực chất, khơng xác nhận bác bỏ cách hoàn toàn biểu tượng người, dù biểu tượng Tiêu chuẩn "không xác định" phép hiểu biết người trở thành "tuyệt đối"; đồng thời xác định để tiến hành đấu tranh liệt chống tất thứ chủ nghĩa tâm bất khả tri [24, tr 167] Đó bổ sung quan trọng vào lý luận mácxít vai trị thực tiễn với tính cách tiêu chuẩn chân lý Từ lập trường nhận thấy rằng, khoa học trừu tượng toán học, đặc điểm nêu phát triển lý thuyết rõ nét Sự phát triển độc lập tương đối lý thuyết diễn theo quy luật định đối tượng nghiên cứu biểu thị cụ thể lôgic vận động khái niệm Xuất phát từ tài liệu khoa học sẵn có, nhà khoa học tổng quát hóa hạn chế số nguyên lý kết luận lý thuyết, đồng thời nêu giả thuyết nguyên lý thay cho chúng Nếu nguyên lý đúng, lý thuyết dựa chúng phù hợp với thực tiễn, suy từ tiên đề quy luật quy tắc suy luận lơgíc Nhưng ta nói, 174 175 175 nhiều lý thuyết tốn học khơng thể dễ dàng công nhận ngay, mà sau nhiều năm, chí hàng trăm năm xác nhận có ứng dụng cụ thể Điều khẳng định phát triển tốn học trước ứng dụng thực tế thời gian dài Như vậy, dù khoa học tốn học trừu tượng xa rời thực tại, song tính chân lý hồn toàn khẳng định luận điểm tiếng chủ nghĩa Mác: Thực tiễn tiêu chuẩn chung chân lý tri thức Mác viết: Vấn đề tìm hiểu xem tư người đạt tới chân lý khách quan hay không, hồn tồn khơng phải vấn đề lý luận mà vấn đề thực tiễn Chính thực tiễn mà người phải chứng minh chân lý, nghĩa chứng minh tính thực sức mạnh, tính trần tục tư Sự tranh cãi tính thực hay tính khơng thực tư tách rời thực tiễn, vấn đề kinh viện túy [3, tr 9-10] DANH MỤC TÀI LIỆU THAM KHẢO Tạ Quang Bửu (1961), Về cấu trúc Bourbaki, Nxb Khoa học, Hà Nội Nguyễn Trọng Chuẩn (1995), Triết học Tây Âu kỷ XVII - XVIII R Đêcactơ, Nxb Khoa học xã hội, Hà Nội Nguyễn Trọng Chuẩn (chủ biên) (2000), Sức sống tác phẩm triết học, Nxb Chính trị quốc gia, Hà Nội 175 176 176 Nguyễn Trọng Chuẩn - Nguyễn Văn Nghĩa - Lê Hữu Tầng (1973), C.Mác, Ph.Ăngghen, V.I.Lênin mối quan hệ triết học khoa học tự nhiên, Nxb Khoa học xã hội, Hà Nội Nguyễn Trọng Chuẩn (chủ biên) (1997), I.Cantơ - Người sáng lập triết học cổ điển Đức, Nxb Khoa học xã hội, Hà Nội Phan Đình Diệu (2000), "Cơng nghệ thơng tin ứng dụng tốn học", Kỷ yếu hội nghị ứng dụng tốn học tồn quốc lần thứ nhất, tập 1, tr 41-52 Vương Tất Đạt (1999), Lơgíc học (Sách bồi dưỡng giáo viên phổ thông Trung học), Nxb Giáo dục, Hà Nội Nguyễn Bá Đô - Hồ Châu (2001), Các câu chuyện toán học, tập 1, "Tất nhiên ngẫu nhiên", Nxb Giáo dục, Hà Nội Nguyễn Bá Đô - Hồ Châu (2001), Các câu chuyện toán học, tập 2, "Cái biết chưa biết", Nxb Giáo dục, Hà Nội 10.Nguyễn Bá Đô - Nguyễn Mạnh Hùng - Nguyễn Văn Túc (2003), Các câu chuyện toán học, tập 3, "Khẳng định phủ định", Nxb Giáo dục, Hà Nội 11 Nguyễn Bá Đô (chủ biên) (2001), Các câu chuyện tốn học, tập 4, "Hữu hạn vơ hạn", Nxb Giáo dục, Hà Nội 12.Nguyễn Bá Đô (chủ biên) (2002), Các câu chuyện tốn học, tập 5, "Đại lượng khơng đổi đại lượng biến đổi", Nxb Giáo dục, Hà Nội 13.S.L.EDENMAN (1981), Lơgic Tốn, Người dịch: Nguyễn Mạnh Q, Nxb Giáo dục, Hà Nội 14.Đinh Văn Gắng (2003), Lý thuyết xác suất thống kê, Nxb Giáo dục, Hà Nội 15.Lê Văn Giạng (2000), Khoa học kỷ XX số vấn đề lớn Triết học, Nxb Chính trị quốc gia, Hà Nội 176 177 177 16.Trần Diên Hiển (2000), Các toán suy luận lôgic, Nxb Giáo dục, Hà Nội 17.Nguyễn Cảnh Hồ (2000), Một số vấn đề triết học vật lý học, Nxb Khoa học xã hội, Hà Nội 18.Nguyễn Văn Hộ (2001), Xác suất thống kê, Nxb Giáo dục, Hà Nội 19.Hội tốn học Việt Nam - Bộ Cơng nghiệp (2000), Kỷ yếu hội nghị ứng dụng toán học toàn quốc lần thứ nhất, tập 1, Nxb Đại học quốc gia Hà Nội 20.Tô Duy Hợp (chủ biên) (1985), C.Mác, Ph.Ăngghen, V.I.Lênin bàn lôgic biện chứng, Nxb Thông tin lý luận, Hà Nội 21.Tô Duy Hợp - Nguyễn Anh Tuấn (1997), Lơgíc học, Nxb Đồng Nai 22.Tơ Duy Hợp - Lê Doãn Tá - Vũ Trọng Dung (2004), Giáo trình Lơgíc học, Nxb Chính trị quốc gia, Hà Nội 23.Nguyễn Văn Khuê - Lê Mậu Hải (2001), Hàm biến phức, Nxb Đại học Quốc gia, Hà Nội 24.V.I.Lênin (1980), Toàn tập, tập 18, Nxb Tiến bộ, Matxcơva 25.V.I.Lênin (1980), Toàn tập, tập 29, Nxb Tiến bộ, Matxcơva 26.V.I.Lênin (1980), Toàn tập, tập 45, Nxb Tiến bộ, Matxcơva 27.C.Mác Ph.Ăngghen (1995), Tồn tập, tập 2, Nxb Chính trị quốc gia, Hà Nội 28.C.Mác Ph.Ăngghen (1995), Toàn tập, tập 3, Nxb Chính trị quốc gia, Hà Nội 29.C.Mác Ph.Ăngghen (1995), Tồn tập, tập 19, Nxb Chính trị quốc gia, Hà Nội 30.C.Mác Ph.Ăngghen (1995), Toàn tập, tập 20, Nxb Chính trị quốc gia, Hà Nội 31.C.Mác Ph.Ăngghen (1995), Tồn tập, tập 21, Nxb Chính trị quốc gia, Hà Nội 177 178 178 32.C.Mác Ph.Ăngghen (1995), Tồn tập, tập 22, Nxb Chính trị quốc gia, Hà Nội 33.C.Mác Ph.Ăngghen (1995), Toàn tập, tập 23, Nxb Chính trị quốc gia, Hà Nội 34.C.Mác Ph.Ăngghen (1995), Tồn tập, tập 25, Nxb Chính trị quốc gia, Hà Nội 35.C.Mác Ph.Ăngghen (1995), Toàn tập, tập 32, Nxb Chính trị quốc gia, Hà Nội 36.C.Mác Ph.Ăngghen (1995), Tồn tập, tập 45, Nxb Chính trị quốc gia, Hà Nội 37.V.N Mơlôtsi (1962), Một số vấn đề triết học sở toán học, Người dịch: Nguyễn Văn Bàng - Nguyễn Văn Thành - Hoàng Chúng, Nxb Giáo dục, Hà Nội 38.Nguyễn Đức Nghĩa (1999), Tối ưu hóa (quy hoạch tuyến tính rời rạc), Nxb Giáo dục, Hà Nội 39.K.M Pha-ta-li-ep (1961), Chủ nghĩa vật biện chứng khoa học tự nhiên, Người dịch: Nguyễn Gia Lộc, Nxb Sự thật, Hà Nội 40.Nguyễn Hoàng Phương (1995), Tích hợp đa văn hóa Đơng Tây cho chiến lược giáo dục lâu dài, Nxb Giáo dục, Hà Nội 41.Trần Đức Quang (2002), Lý thuyết automat ngôn ngữ hình thức, Nxb Đại học quốc gia Thành phố Hồ Chí Minh 42.Trần Đức Quang (2003), Tốn rời rạc sở tốn cho máy tính, Nxb Đại học quốc gia Thành phố Hồ Chí Minh 43.K.A.Rúp-ni-cốp (1967), Lịch sử toán học, tập I, Người dịch: Vũ Tuấn Phạm Gia Đức - Hoàng Chúng, Nxb Giáo dục, Hà Nội 44.K.A.Rúp-ni-cốp (1967), Lịch sử toán học, tập II, Nxb Giáo dục, Hà Nội 45.W.W SAWYEK (1979), Đường vào toán học đại, Người dịch: Phan Văn Cự - Trần Trung, Nxb Khoa học Kỹ thuật 178 179 179 46.Phương Kỳ Sơn (2001), Phương pháp nghiên cứu khoa học, Nxb Chính trị quốc gia, Hà Nội 47.Hà Văn Sơn (Chủ biên) (2004), Giáo trình lý thuyết thống kê ứng dụng quản trị kinh tế, Nxb Thống kê, Hà Nội 48.A.N.STEWART (1986), Những khái niệm toán học đại, tập 1, Người dịch: Phan Văn Cự, Nxb Khoa học Kỹ thuật, Hà Nội 49.Đinh Ngọc Thanh - Nguyễn Đình Phủ - Nguyễn Cơng Tâm - Đặng Đức Trọng (2002), Giải tích Hàm biến, Nxb Giáo dục, Hà Nội 50.Nguyễn Duy Thơng (chủ biên) (1977), Vai trị phương pháp luận Triết học Mác - Lênin phát triển khoa học tự nhiên, Nxb Khoa học xã hội, Hà Nội 51.Nguyễn Cảnh Toàn (1962), Cơ sở Hình học, Nxb Giáo dục, Hà Nội 52.Nguyễn Cảnh Toàn (1997), Phương pháp luận vật biện chứng với việc học, dạy, nghiên cứu toán, tập I, Nxb Đại học Quốc gia, Hà Nội 53.Nguyễn Cảnh Toàn (1997), Phương pháp luận vật biện chứng với việc học, dạy, nghiên cứu toán, tập II, Nxb Đại học Quốc gia, Hà Nội 54.Từ điển Bách khoa Việt Nam (1995), Nxb Từ điển Bách khoa, Hà Nội 55.Từ điển Bách khoa Việt Nam (2002), Nxb Từ điển Bách khoa, Hà Nội 56.Từ điển Bách khoa Việt Nam (2003), Nxb Từ điển Bách khoa, Hà Nội 57.Từ điển toán học thông dụng (2002), Nxb Giáo dục, Hà Nội 58.Từ điển Triết học (1986), Nxb Tiến Matxcơva 59.Vũ Văn Viên (1990), "Khủng hoảng nghịch lý số học nhận thức khoa học", Triết học, (3) 60.Vũ Văn Viên (2002), "Quan điểm vật biện chứng đối tượng toán học", Triết học, (3) 179 180 180 61.Vũ Văn Viên (2002), "Lơgíc hình thức phương pháp toán học", Triết học, (9) 62.Viện Triết học (1972), Triết học khoa học cụ thể, tập I, Triết học khoa học tự nhiên, Nxb Khoa học, Hà Nội TIẾNG NGA 63. , 64. " " 65. 66. " " 67. 68. "" 180 181 181 69. " " 70. " " 71. , " " 72. , , 73. 74. , 75. 76. , 77. 181 ... Từ quan niệm vật mácxít đối tượng tốn học, luận án trình bày cách rõ nét đặc trưng đối tượng toán học đặc điểm trừu tượng hóa tốn học Đó vấn đề then chốt để khác biệt đối tượng toán học với đối. .. người trình nhận thức giới khách quan Xuất phát từ phân tích đối tượng toán học, nhận thấy rằng, nét đặc thù đối tượng toán học định nhiều đặc điểm quan trọng trừu tượng hóa tốn học Ở đây, cần... từ trừu tượng trình độ thấp đến trừu tượng trình độ cao Như vậy, vấn đề nhận thức đắn nguồn gốc chất đối tượng tốn học, tìm hiểu khía cạnh triết học tốn học sở phân tích đối tượng vấn đề có ý