Bài Tập Giới hạn Tính giới hạn sau a) lim x →0 + mx − x x →0 + 2x − c) lim d) lim x −2 sin 7x e) lim x →π tan 3x arcsin x g) lim x →0 4x x →8 ⎛ ⎞ h) lim ⎜ − cot x ⎟ x → ⎝ sin x ⎠ − cos x − tan2 x x →0 x sin x j) lim 3x ⎛ x + 3⎞ l) lim ⎜ ⎟ x →∞ ⎝ x − ⎠ 2x +1 n) lim ( cos x ) sin x x →0 x →0 sin x ⎛ + tan x ⎞ sin3 x o) lim ⎜ ⎟ x → ⎝ + sin x ⎠ ⎛ sin x ⎞ x − sin x p) lim ⎜ ⎟ x →0 ⎝ x ⎠ + mx − có dạng vô định x → vaø x ′ −1 1 + mx + mx − 1 + mx )′ ( ) ( m m = = → x → Do x′ 3 (1 + mx ) ÑS: a) ) lim x →0 b) + mx − m = x x +1 −1 x +1 −1 ′ x +1 −1 coù dạng vô định )= ′ x + − 1) x +1 −1 lim x →0 x +1 −1 + 2x − c) ( x2 − 2x x →0 m) lim ( cos x ) x2 ( ( + x + x2 − + 2x − x f) lim x cot πx − cos2 x x → x sin 2x ( x +1 −1 x →2 i) lim ⎛ x ⎞ k) lim ⎜ ⎟ x →∞ ⎝ + x ⎠ x +1 −1 b) lim x −2 + 2x − ( x −2 )′ −1 ( x + 1) −1 x +1 ) 3( = = x → vaø 3 x → Do + → x ( ) 2 có dạng vô định )′ = x → vaø −1 ( + 2x ) ( + 2x )′ = ( + 2x ) x −1 x −2 −1 →3 25 −1 −2 =3 = 12 x → Do lim x →8 + 2x − x −2 12 = + x + x2 − + 2x − x d) có dạng vô định x − 2x ⎛ + x + x2 − + 2x − x ⎞′ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ = ′ x − 2x ( + 2x = 1+ x + x2 ( + x + x2 ) −1 x → vaø (1 + 2x ) − − 2x + 2x − x2 2x − → − ( + 2x − x2 ) ( − 2x ) −1 2x − ) − −2 = 7 = 7 = x → Do lim + x + x − + 2x − x2 x →2 x − 2x = sin 7x )′ ( cos7x sin 7x = → e) có dạng vô định x → π vaø tan 3x ( tan 3x )′ + tan 3x ( ) x → π Do sin 7x = lim x →π tan 3x x có dạng vô định x → tan πx x′ 1 x → Do = → π ′ π + tan πx π tan x ( ) f) x cot πx = ( lim x cot πx = x →0 ) π arcsin x )′ ( arcsin x g) = có dạng vô định x → vaø 4x ′ ( 4x ) x → Do arcsin x = lim x →0 4x 1 − cos x h) − cot x = có dạng vô định x → vaø sin x sin x (1 − cos x )′ = sin x → x → Do ( sin x )′ cos x ⎛ ⎞ − cot x ⎟ = lim ⎜ x → ⎝ sin x ⎠ − x2 → − cos2 x có dạng vô định x → vaø x sin 2x ′ − cos2 x −2 cos x ( cos x )′ sin 2x có dạng vô định = = sin 2x + 2x cos 2x sin 2x + 2x cos 2x ′ x sin 2x ( ) i) ( ) ( sin 2x )′ x → vaø ( sin 2x + 2x cos 2x )′ = cos 2x → = cos 2x + cos 2x − 4x sin 2x x → Do − cos2 x = x → x sin 2x lim Caùch khaùc : − cos2 x − cos x 11 = + cos x → = ( ) x sin 2x 22 2 sin2x2x x2 − cos x − tan2 x coù dạng vô định x → x sin x ′ − cos x − tan2 x sin x − tan x + tan2 x có dạng vô định = x → sin x + x cos x ′ x sin x ( ) j) ( ) ( ( sin x − tan x + tan2 x ) (sin x − tan x − tan x )′ sin x + x cos x vaø = ( ) ( sin x + x cos x )′ ) ( cos x − + tan x − tan2 x + tan x cos x + cos x − x sin x − cos x − tan2 x lim =− x →0 x sin x Caùch khaùc : ⎛ x ⎞ k) ⎜ ⎟ ⎝2+ x⎠ x → ∞ vaø − cos x − tan2 x − cos x sin x 1 = − → −1 = − x sin x 2 x sinx x x cos x 3x 3x ln =e x 2+ x ( ln 2+x x )′ = ( 3x1 )′ = et , với t = 3x ln +x x = x 2+ x ( 2+x x )′ − 3x2 ⎛ x ⎞ lim t = −6 vaø lim ⎜ ⎟ x →∞ x →∞ ⎝ + x ⎠ ⎛ x + 3⎞ l) ⎜ ⎟ ⎝ x − 2⎠ ) → −1 x → Do 2x +1 3x = x 2+ x − (2+ x) 3x2 =− ln +x x 3x có dạng vô định 6x → −6 x → ∞ Do 2+x = lim et = e−6 t →−6 ln xx +− 23 2x +1) ln x + ( t x+3 x −2 =e = e , với t = ( 2x + 1) ln x − = có dạng vô định 2x +1 ′ ( ln xx −+23 )′ = ( xx −+23 ) = ( 2x1+1 )′ − (2x +1) x → ∞ vaø −5 x+3 x−2 x+3 x−2 ( x − 2) − 3x2 = 15x → 15 ( x − 2)( x + 3) x → ∞ Do ⎛ x + 3⎞ lim t = 15 lim ⎜ ⎟ x →∞ x →∞ ⎝ x − ⎠ m) ( cos x ) =e x2 ( ln cos x )′ = ln cos x x2 cos x ( x )′ lim t = − x →0 2x +1 = lim et = e15 t →15 = et , với t = ( cos x )′ = 2x ln cos x x2 có dạng vô định x → − sin x → − x → Do 2x cos x 1 −1 vaø lim ( cos x ) x2 = lim et = e = x →0 t →− e n) ( cos x ) sin x ( ln cos x )′ = ( sin x )′ =e cos x ln cos x sin x = et , với t = ln cos x sin x có dạng vô định ( cos x )′ = − sin x → cos x x → x → Do cos2 x lim t = vaø lim ( cos x ) sin x = lim et = e0 = x →0 x →0 t →0 ⎛ + tan x ⎞ sin3 x =e o) ⎜ ⎟ ⎝ + sin x ⎠ x ( ln 11++tan sin x ) ′ ( vaø = = = sin x ) ′ = + tan x 1+ sin x ln + tan x 1+ sin x sin3 x ( + tan x + sin x = et , với t = ) ′ 3sin2 x cos x = − cos x x2 sin2 x x sin x coù dạng vô định x → 0 (1+ tan x )(1+ sin x ) −(1+ tan x ) cos x (1+ sin x ) 3sin x cos x 3sin2 x cos x 3sin2 x + sin x + tan x 1+ sin x 1+ sin x + tan2 x + sin x tan2 x − cos x − cos x tan x (1+ tan x )(1+ sin x ) − cos x ln 1+ tan x = + tan2 x + sin x tan2 x − cos x 3sin x cos x (1 + tan x )(1 + sin x ) (1 + sin x ) (1 + tan x )(1 + sin x ) 3sin2 x cos x (1 + tan x )(1 + sin x ) + (1 + tan x )(1 + sin x ) + tan x tan2 x x2 sin2 x x 1 → + = 3 cos x (1 + tan x ) x → Do ⎛ + tan x ⎞ sin3 x t = = = e2 lim e e lim t = vaø lim ⎜ ⎟ x →0 x → ⎝ + sin x ⎠ t→ 3 sin x sin x ⎛ sin x ⎞ x − sin x ln sin x p) ⎜ = e x −sin x x = et , với t = ⎟ ⎝ x ⎠ sin x x − sin x ln sinx x = ln sinx x x − sin x sin x có dạng vô định x → vaø 1 x cos x − sin x ( sinx x )′ ( ln sinx x )′ = x = (1− cos x ) sin x − ( x − sin x ) cos x (1− cos x ) sin x − ( x − sin x ) cos x − sin x ′ ( xsin x ) sin x sin x sin x x sin x x 2 = x cos x − sin x x sin x sin x − sin x cos x − x cos x + sin x cos x sin2 x = ( x cos x − sin x ) sin x = − sin x → −1 x x ( sin x − x cos x ) x → Do sin x ⎛ sin x ⎞ x − sin x lim t = −1 vaø lim ⎜ = lim et = e−1 = ⎟ x →0 x →0 ⎝ x ⎠ t →−1 e Dùng quy tắc L’Hospital, tính giới haïn sau a) (1 + x )(1 + 2x )(1 + 3x ) − lim x x →0 x + 13 − x + c) lim x −9 x→3 − 5x x →0 ÑS: a) b) x + x5 x →0 d) lim x →∞ ⎛ ⎞ e) lim ⎜ x + x + x − x ⎟ x →+∞ ⎝ ⎠ tan x − sin x g) lim x →0 x3 i) lim (1 + x ) − (1 + 5x ) lim ( x +1 − 3x ) − cos 5x x → − cos 3x f) lim h) lim x ⎡⎣ ln (1 + x ) − ln x ⎤⎦ x →+∞ x2 − x →1 x ln x j) lim − ex (1 + x )(1 + 2x )(1 + 3x ) − x có dạng vô định x → vaø ((1 + x )(1 + 2x )(1 + 3x ) − 1)′ = (1 + 2x )(1 + 3x ) + (1 + x ) ⎡⎣(1 + 2x )(1 + 3x )⎤⎦′ ( x )′ = (1 + 2x )(1 + 3x ) + (1 + x ) ⎡⎣2 (1 + 3x ) + (1 + 2x ) ⎤⎦ → x → Do (1 + x )(1 + 2x )(1 + 3x ) − = lim x →0 x b) (1 + x ) − (1 + 5x ) x2 + x5 có dạng vô định x → vaø ⎛ + x − + 5x ⎞′ ) ( ) ⎟⎠ (1 + x )4 − ⎜( ⎝ = có dạng vô định x → vaø 2x + 5x ′ x +x ( ) ⎡ + x − ⎤′ ) ⎥⎦ 20 (1 + x )3 ⎢⎣ ( = → 10 x → Do 20x + ′ 2x + 5x ( ) (1 + x ) − (1 + 5x ) = 10 lim x + x5 x →0 x + 13 − x + c) ( x −9 x + 13 − x + (x lim x →∞ e) )′ x −9 x →3 −9 )′ = x + 13 − x + lim d) x +1 − 3x = ( x +1 − có dạng vô định x +13 x +1 − 2x =− ( x + 1) x) = x → vaø → − =− x → Do 16 16 3 + x +1 x + ( x) x+ x x+ x+ x − x = → x → ∞ Do 1+ = x+ x+ x + x 1+ x + x x3 → +1 x → +∞ Do ⎛ ⎞ lim ⎜ x + x + x − x ⎟ = x →+∞ ⎝ ⎠ − cos 5x )′ sin 5x ( − cos 5x = f) coù dạng vô định x → có − cos 3x ′ 3sin 3x − cos 3x ( ) sin 5x )′ 15 cos 5x ( 15 x → dạng vô định = → x → Do ñoù cos 3x ′ 3sin 3x ( ) − cos 5x 15 = x → − cos 3x lim g) tan x − sin x x x → vaø có dạng vô định ( tan x − sin x )′ = + tan2 x − cos x ( x )′ 3x có dạng vô định x → (1 + tan x − cos x )′ = tan x (1 + tan x ) + sin x → + = x → Do 6x 6 ( 3x )′ 2 lim tan x − sin x x3 x →0 = tan x − sin x Caùch khaùc : x h) x ⎡⎣ ln (1 + x ) − ln x ⎤⎦ = ′ ( ln 1+xx )′ = ( 1+xx ) = − x ( 1x )′ 1+ x x sin x = x ln 1+x x x −1 x2 1+ x x − x2 = cos x x −1 = sin x 1 − cos x 1 → 1⋅1⋅ = x cos x 2 x có dạng vô định 1+ x x = x → +∞ vaø x → x → +∞ Do ñoù 1+ x lim x ⎡⎣ ln (1 + x ) − ln x ⎤⎦ = x →+∞ i) − 5x 1−e x = − ex ln 1−e x có dạng vô định (1 − e )′ = − ( ln 5) e −e (1 − e )′ x ln x x lim − 5x x →0 − ex x → vaø x ln → − ln x → Do = − ln ( ) ′ x2 − x2 − 2x x → có dạng vô định = → x → j) x ln x ln x + ′ ( x ln x ) Do x2 − = x →1 x ln x Chứng minh hàm số f xác định lim ⎧⎪ x sin f ( x) = ⎨ ⎪⎩0 ( 1x ) x ≠ x = hàm có đạo hàm Đạo hàm có liên tục không ? ĐS: Tại x ≠ , ta coù ( )⎦⎤′ = ⎣⎡ x ⎦⎤′ sin ( ) + x ⎣⎡sin ( )⎦⎤′ = 2x sin ( ) + x = 2x sin ( ) + x cos ( ) ( − ) = 2x sin ( ) − cos ( ) f ′ ( x ) = ⎡ x2 sin ⎣ x x x x x x2 x x cos ( ) ⎣⎡ x ⎤′ x⎦ x Taïi x = , ta coù f ′ ( ) = lim f ( h ) − f ( 0) h h →0 Vì h sin = lim h2 sin h h→0 ( h1 ) = lim h sin h→0 ( h1 ) h sin ( h1 ) = ( h1 ) ≤ h → h → neân f ′ ( 0) = hlim →0 Tóm lại hàm f có đạo hàm điểm vaø ⎧⎪2x sin f ′ ( x) = ⎨ ⎪⎩0 ( 1x ) − cos ( 1x ) x ≠ x = Hiển nhiên f ′ liên tục x ≠ Tại x = Do 2x sin nhieân cos ( ) x ( ) ≤ 2x → x x → , ta suy lim 2x sin x →0 ( ) = Tuy x giới hạn x → Do lim f ′ ( x ) không tồn x →0 Vậy f ′ không liên tục x = Xét hàm số f cho ⎧⎪ x + − − x2 x f ( x) = ⎨ ⎪⎩1 x ≠ x = a) Tìm miền xác định f b) Tính giới hạn f x tiến 0; f có liên tục điểm không ? c) Tính f ′ ( x ) x ≠ tính giới hạn f ′ x tiến d) Chứng tỏ f có đạo hàm định nghóa tính giá trị f ′ ( 0) e) Hàm f ′ có liên tục không ? ĐS: a) Khi x ≠ 0, ta f ( x) = coù x + − − x2 x tồn − x2 ≥ ⇔ x2 ≤ ⇔ −2 ≤ x ≤ Vậy miền xác định f D = ⎡⎣ −2, 2⎤⎦ b) lim f ( x ) = x →0 lim x + − x − x x →0 = lim 2x + x → x + + − x2 =1 = lim ( x + 2) ( − − x2 ) x → x ⎛⎜ x + + − x2 ⎞⎟ ⎝ ⎠ Vì lim f ( x ) = f (1) , ta suy f liên tục taïi x →0 2x2 + 4x ⎛ x → x ⎜ x + + − x2 ⎞⎟ ⎝ ⎠ = lim c) Taïi x ≠ , ta coù f ′ ( x ) = ⎛⎜ x + − x − x ⎝ ⎛ x + − − x2 ⎞′ x − ⎛ x + − − x2 ⎞ x′ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ x2 ⎞′ = ⎟ ⎠ ( x − x2 + x2 − ( x + ) − x2 − − x2 = x2 − x2 lim f ′ ( x ) = lim x →0 2x2 − − x2 − x→0 x2 − x2 ⎛ ⎜ 1+ ⎝ = x − x2 ) = 2x ⎞ ⎛ 2⎞ ⎟ x −⎜ x + 2− − x ⎟ ⎠ ⎠ ⎝ x2 − − x2 − x2 − x2 = −∞ d) Do định nghóa, f ′ ( ) = lim f ( h ) − f ( 0) h h →0 = lim h + − − h2 h −1 h h→0 = lim − − h2 h2 h→0 ⎛ − − h2 ⎞′ h ⎜ ⎟ 1 ⎠ = lim − h2 = lim = lim ⎝ = h →0 h → 2h h→0 ′ − h2 h2 ( ) e) f ′ giới hạn x → nên f ′ không liên tục Chứng tỏ lim x →+∞ ax xr = +∞ a > vaø r > ĐS: Trước hết, ta chứng minh lim x →+∞ n = , ta coù ax x = ex ln a x ax x →+∞ x x → +∞ neân lim ax n x →+∞ x có dạng ax n +1 x →+∞ x = +∞ Xeùt lim ( e )′ (x ) = n +1 = ex ln a ⋅ ln a nxn xn = +∞ baèng quy nạp theo n ∈ ` Với x → +∞ vaø ( e )′ x ln a x′ = ex ln a ⋅ ln a → +∞ = +∞ Giả sử lim x ln a ∞ ∞ ax ax n xn Ta coù ax x n +1 = ex ln a x n +1 coù daïng ax n +1 x →+∞ x → +∞ x → +∞ Do đó, lim ∞ ∞ x → +∞ = +∞ Bây giờ, với r > , choïn n ∈ ` cho r ≤ n Do x r ≤ x n , ta suy ax n x →+∞ x lim ax r x →+∞ x = +∞ neân lim = +∞ Cho hàm số f ( x ) = + x xác định khoảng ( 0, +∞ ) a) Tính f ′ ( x ) , f ′′ ( x ) vaø f ( 3) x ( ) b) Kiểm chứng đẳng thức ax xr ≥ ax xn 1+ x =1+ với lim ε ( x ) = x x2 x3 − + + x 3ε ( x ) , 16 x →0 ÑS: f ( x ) = + x = (1 + x ) a) ( ) f ′ ( x) = cho (1 + x ) −1 = (1 + x ) −1 ; ( − 12 ) (1 + x ) = − 14 (1 + x ) ; − −1 − ′ ( 3) f ( x ) = ( f ′′ ( x ) ) = − 14 ( − 23 ) (1 + x ) = 83 (1 + x ) ′ f ′′ ( x ) = f ′ ( x ) = −3 − −1 2 b) Áp dụng công thức Taylor-Young, f ( a + x ) = f ( a ) + xf ′ ( a ) + x2 2! f ′′ ( a ) + x3 3! f ( ) a + x 3ε x ( ) ( ) với a = ; f ( x ) = + x ; f ( 0) = ; f ′ ( ) = 12 ; f ′′ ( ) = − 14 ; f ′′′ ( ) = 83 , ta x x2 x3 1+ x =1+ + + + x 3ε ( x ) 16 Dùng công thức Taylor-Young, chứng tỏ n n +1 x x2 x3 a) ln (1 + x ) = x − + + + ( −1) + xnε ( x ) , n b) sin x = x − n x x5 x2n +1 + + + ( −1) + x 2n +1ε ( x ) , 3! 5! 2n ! + ( ) 2n n x x2 x4 c) cos x = − + + + ( −1) + x2n ε ( x ) , 2! ! ( 2n ) ! với lim ε ( x ) = x →0 ĐS: a) Áp dụng công thức Taylor-Young với a = , f ( x ) = f ( ) + xf ′ ( ) + x2 2! f ′′ ( ) + x3 3! f ( 3) + + ( ) xn n! f (n ) + xnε x ( ) ( ) f ( x ) = ln (1 + x ) cho f ( ) = ; f ′ ( x ) = 1+ x −3 = (1 + x ) −1 cho f ′ ( ) = ; ( 3) x = + x ( ) ( ) cho f (3) ( 0) = ; Toång n +1 −n n +1 (n) quaùt f ( x ) = ( −1) ( n − 1) ! (1 + x ) cho f (n) ( 0) = ( −1) ( n − 1) ! Ta suy f ′′ ( x ) = − (1 + x ) ln (1 + x ) = x − −2 cho f ′′ ( ) = −1 ; f n n +1 x x2 x3 + + + ( −1) + xnε ( x ) n b) AÙp dụng công thức Taylor-Young với a = , f ( x ) = f ( 0) + xf ′ ( ) + x2 2! f ′′ ( ) + x3 3! f ( 3) + + ( ) 10 x2n +1 f ( 2n +1) ( 2n +1) ! ( 0) + x2n +1ε ( x ) ∫x sin 2xdx = − 12 x cos 2x + x sin 2x + 14 cos 2x + C ⎧du = dx ⎧ u = ln x ⎪ x c) Với ⎨ , ta ⎨ ⎩dv = xdx ⎪⎩ v = x2 ∫ x ln xdx = x2 x x2 x2 dx = ln x − + C 2 ln x − ∫ ⎧du = dx ⎧u = arctan x ⎪ 1+ x , ta ⎨ d) Với ⎨ ⎩ dv = xdx ⎪⎩ v = x2 x2 ∫ x arctan xdx = x2 x2 dx ∫ + x2 arctan x − ⎛ dx ⎞ Maø ∫ + x2 dx = ∫ ⎜⎝ − + x2 ⎟⎠ dx = ∫ dx − ∫ + x2 neân ∫ x arctan xdx = = x − arctan x + C x2 arctan x − ( x − arctan x ) + C 2 Dùng công thức đổi biến, tính tích phân sau a) xdx ∫0 (x +1 b) L ( a ) = c) a ∫0 xe ∫1 ( ln x ) ∫ Suy (x ∫0 xdx +1 ) +1 ∫ xe − x2 = +1 ) 2 ⎞ du ⎛⎜ −1 ⎞⎟ 1⎛1 = ∫ = = − − ⎜ ⎟= u ⎜ 3u ⎟ 6⎝8 48 ⎠ ⎝ ⎠ −2 u −3 1 u du = =− +C=− ∫ 2 −3 6u x2 + ( ) b) Caùch : L ( a ) = Caùch : a →+∞ (x xdx (x dx (với u = x ) Tìm lim L ( a ) dx (với u = ln x ) xdx ∫0 − x2 ĐS: a) Cách : Cách : ) (với u = x2 + ) =− a ∫0 dx = ( x2 +1 ) xe− x dx = ) +C ⎞ 1⎛1 = − ⎜ − 1⎟ = 6⎝8 ⎠ 48 ( ) a2 − t ⎛ −t a ⎞ − a2 e dt e e = − = − ⎜ ⎟ ∫ ⎟ 2 ⎜⎝ ⎠ ( ) −t 1 e dt = − e− t = − e− t + C = − e− x + C ∫ 2 2 15 a Suy L ( a ) = ∫0 xe − x2 a2 dx = − e− x = ( 1 − e− a ) ) ( 1 − e− a = a →+∞ 2 Vaäy lim L ( a ) = lim a →+∞ ∫1 ( ln x ) c) Cách : Với t = ln x ⇔ x = et , ta dx = etdt ∫ ( ln x ) Cách : Với t = ln x ⇔ x = et , ta dx = etdt ⎧⎪ u = t ⎧⎪du = 2tdt Với ⎨ ⎨ t t ⎪⎩ v = e ⎪⎩dv = e dt t ⎧⎪ u = t ⎧⎪du = dt Mà với ⎨ ⎨ t t ⎪⎩dv = e dt ⎪⎩ v = e Suy t t ∫ t e dt = t e Caùch : ∫1 ( ln x ) ( t ∫ t e dt = t e t dx = ln 2 t t e dt ∫ dx = ∫ t 2et dt − 2∫ tet dt t t ∫ te dt = te − ∫ e dt = te ) 2 ( t − et + C ) − tet − et + C = t − 2t + et + C dx = ln 2 t t e dt ∫ ( ) = t − 2t + et ( ln ) = ln2 − ln + eln − = ln2 − ln + Caùch : ∫ ( ln x ) ( ) ( ) dx = ∫ t 2et dt = t − 2t + et + C = ln2 x − ln x + eln x + C ( ) = x ln2 x − ln x + + C Suy ∫1 ( ln x ) ( dx = x ln2 x − ln x + ) ( ) = ln2 − ln + − = ln2 − ln + Dùng công thức tích phân phần, tính tích phân sau a) I ( a ) = b) I = a ∫0 xe π −x ∫0 e c) K = ∫1 −x dx , vaø J ( a ) = a −x ∫0 x e dx sin xdx ln x dx (cũng đổi biến u = ln x ) x ⎪⎧ u = x ⎪⎧ du = dx ĐS: a) Với ⎨ ⎨ −x −x ⎪⎩dv = e dx ⎪⎩ v = −e I (a) = a ∫0 xe− xdx = − xe− x a a a 0 + ∫ e− xdx = − xe− x ⎧⎪ u = x2 ⎧⎪du = 2xdx Với ⎨ ⎨ −x −x ⎪⎩ v = −e ⎪⎩dv = e dx 16 ( + − e− x ) a ( ) = −ae− a + − e− a J (a) = a ∫0 x2e− xdx = − x2e− x −a = −a e ( + −ae −a a a + 2∫ xe− xdx = −a 2e− a + 2I ( a ) +1−e ) = ( −a −a ) − 2a − e− a + ⎧⎪ u = sin x ⎧⎪du = cos xdx b) Với ⎨ ⎨ −x −x ⎪⎩dv = e dx ⎪⎩ v = −e I= π −x ∫0 e π π 0 sin xdx = −e− x sin x + ∫ e− x cos xdx = π −x ∫0 e cos xdx ⎪⎧ u = cos x ⎪⎧du = − sin xdx Với ⎨ ⎨ −x −x ⎪⎩dv = e dx ⎪⎩ v = −e I= π −x e ∫ π π 0 cos xdx = −e− x cos x − ∫ e− x sin xdx = + e−π − I Suy 2I = + e−π I = + e− π ⎧⎪ du = dx ⎧⎪u = ln x x ⎨ c) Với ⎨ dx dv = ⎪⎩ x ⎩⎪ v = ln x K= ∫1 2 ln x 2 ln x dx = ( ln x ) − ∫ dx = ( ln ) − K x x Suy K = ln2 Cách khác : Đổi biến t = ln x , dt = K= ∫1 ln x dx = x ln ∫0 tdt = ln t2 = dx x , ta ln2 Xác định a b cho a b = + x ( x + 1) x x + Tính I = dx ∫1 x ( x + 1) ĐS: Đẳng thức ( a + b) x + a với x a b = + ⇔ = x ( x + 1) x x + x ( x + 1) x ( x + 1) ⎧a + b = ⎧ a =1 ⇔⎨ ⎨ = ⎩a ⎩ b = −1 Vaäy 1 = − Suy x ( x + 1) x x + 17 I= ∫1 dx = x ( x + 1) dx ∫1 x −∫ 3⎞ dx ⎛ = ln x − ⎜ ln ( x + 1) ⎟ = ln − ( ln − ln 2) 1⎠ x +1 ⎝ = ln − ln + ln = ln 46 = ln 23 Tính tích phân sau ∫1 a) c) e1/ x x2 dx dx e4 ∫e x ln x dx ∫1 e1/ x x2 ∫0 xe− x dx 1/ ∫0 d) sin −1 x 1−x dx , dt = − dx2 , ta x ĐS: a) Với t = b) x dx = − ∫ et dt = 1 t 1 2 ∫ e dt = et = e2 − e = e − e b) Với t = x2 , dt = 2xdx , ta ∫0 xe− x dx = ( 1 −t ⎛ −t ⎞ −1 = e dt ⎜ −e ⎟ = − e ∫0 2⎝ ⎠ c) Với t = ln x , dt = e4 ∫e dx x ln x = dx x , ta ln e4 − ∫ln e ) t dt = 2t =2 ( ) −1 = Xét hàm số f từ \ vào \ cho ⎧x x ∈ ⎡⎣ 0,1⎤⎦ ⎪⎪ f ( x ) = ⎨2 − x x ∈ (1, 2⎤⎦ ⎪ x ∉ ⎡⎣ 0, 2⎤⎦ ⎪⎩0 Vẽ đồ thị hàm f Kiểm chứng ∫−∞ f ( x ) dx = (f gọi hàm phân phối xác suất) +∞ Tính E = ∫0 xf ( x ) dx (E gọi kỳ vọng hay trung bình hàm phân phối xác suất f) 18 ĐS: Đồ thị ∫−∞ f ( x ) dx = ∫−∞ f ( x ) dx + ∫0 f ( x ) dx + ∫1 f ( x ) dx + ∫2 f ( x ) dx +∞ E= = = ∫0 = ⎡ + 4− ⎢⎣ xf ( x ) dx = ∫0 ⎡ + 4− ⎣ ( ( − x ) dx = x2 + ( 2x − x2 ) 1 xdx + ∫ ( ∫0 +∞ 22 2 2 ) − ( − )⎤⎥⎦ = 1 2 x 2dx + ∫ x ( − x ) dx = 1 x3 ( + 2x − x3 ) ) − ( − )⎤⎦ = Tính tích phân suy rộng a) I = ∞ ∫ xe x2 dx ∞ ∫ b) I = c) I = ∞ dx ∫ −∞ e) I = d) I = x + 4x + ∞ ∫ x ln3 x f) I = e g) I = ∫e −2x h) I = cos xdx k) I = j) I = − x2 e dx ∫ x2 + 2x + ∞ ∫ dx x + 6x + 11 e dx ∫x ln x dx ∫ ∞ −∞ i) I = x x2 − −1 dx +∞ dx dx ∫ x2 + x4 dx ∫ x ln3 x l) I = 2/ ∫ 1/ dx x 9x − ĐS: a) Với t = x , dt = 2xdx , ta coù Suy t x ∫ xe dx = 1 ex t = ( x ∫ xe dx = ) t2 e − e vaø 19 t t x2 = + = e dt e C e + C 2∫ 2 I= ∞ t x2 ∫ xe dx = lim t →+∞ ) ( t2 e − e = +∞ t →+∞ 2 x ∫ xe dx = lim 1 − cos2 t sin t , , dx = − x − = − = = tan2 t , ta coù 2 cos t cos t cos t cos t sin tdt − dx = ∫ ∫ costant t = ∫ −dt = −t + C = − arccos 1x + C x x −1 cos t b) Với x = Suy t dx ∫ I= ∞ ∫ 2 x x −1 dx x x −1 t = − arccos 1x = lim t →+∞ t ∫ 2 dx x x −1 ⎡ c) x + 4x + = ( x + ) + = ⎢ ⎣ Với t = x+2 , dt = dx ∫ x2 + 4x + = t dx = arccos = lim ( π t →+∞ ( ) x+2 2 − arccos 1t = ) − arccos 1t = ⎤ + 1⎥ cho ⎦ π π dx t ∫ −∞ ( dx x + 4x + t dx = lim t →+∞ ∫ x + 4x + t →+∞ = lim s →−∞ s s →−∞ ⎡ d) x + 2x + = ( x + 1) + = ⎢ ⎣ Với t = x +1 dx , dt = dx dt = +1 ( ) x +1 2 ⎤ + 1⎥ cho ⎦ ) ) ( π arctan t + − arctan s + = 5 5 dx ∫ x2 + 2x + = ∫ 1 ∫ x2 + 2x + = arctan x2+1 = arctan t +21 − arctan −1 −1 Vaäy I = x+2 dx ( ) x +1 2 +1 1 arctan t + C = arctan x2+1 + C vaø 2 t dx ∞ ( ) , ta suy ∫ x2 + 2x + = ∫ + t2 t dx dt 5 arctan t + C = arctan x + + C vaø = ∫ 5 1+ t 5 5 ∫ x2 + 4x + = arctan x +52 = arctan t +52 − arctan s +52 s s Vaäy I = ∫ x2 + 4x + = ∫ , ta suy dx ∞ − arccos 1t vaø ( t dx dx ) π = lim arctan t +21 = ∫ x2 + 2x + = tlim →+∞ ∫ x + 2x + t →+∞ −1 e) Với t = ln x , dt = −1 dx x , ta coù dx dt ∫ x ln3 x ∫ t3 = 20 = t −3+1 1 +C= − +C= − + C vaø −3 + 2t ln2 x t dx ∫ x ln3 x =− e Suy I = t ln2 x e ∞ = dx ∫ x ln3 x ln2 e − ln2 t t dx dx ∫ x2 + 6x + 11 = t dx dt = − ln2 t e ⎡ f) x + 6x + 11 = ( x + 3) + = ⎢ ⎣ x+3 , 2 = lim ( 12 − ∫ ln t →+∞ x ln x t →+∞ = lim e Với t = = ( ) x+3 2 ⎤ + 1⎥ cho ⎦ t ) = 12 dx t ∫ dx −∞ x + 6x + 11 ⎪⎧u = e−2x ⇒ g) Với ⎨ ⎪⎩dv = cos xdx ∫e −2x −2x +1 ( t dx = lim t →+∞ ∫ x + 6x + 11 t →+∞ = lim s →−∞ s s →−∞ ) ) ( π arctan t + − arctan s + = 2 2 ⎪⎧du = −2e−2xdx , ta coù ⎨ ⎪⎩ v = sin x cos xdx = e−2x sin x + 2∫ e−2x sin xdx ⎧⎪u = e−2x Với ⎨ ⇒ ⎩⎪dv = sin xdx ∫e ( ) x+3 2 dt 1 = arctan t + C = arctan x + + C vaø ∫ 2 1+ t 2 2 ∫ x2 + 6x + 11 = arctan x +23 = arctan t +23 − arctan s +23 s s Vaäy I = dx , ta suy dx ∞ ∫ x2 + 6x + 11 = ∫ ⎧⎪du = −2e−2xdx , ta coù ⎨ ⎩⎪ v = − cos x sin xdx = −e−2x cos x − 2∫ e−2x cos xdx Suy ∫e −2x cos xdx = e−2x sin x + ⎡ −e−2x cos x − 2∫ e−2x cos xdx ⎤ neân ⎣ ⎦ 5∫ e−2x cos xdx = e−2x sin x − 2e−2x cos x + C , nghóa ∫e −2x Vaäy cos xdx = t ∫e I= +∞ ∫ −2x ( ) −2x e sin x − 2e−2x cos x + C ( −2x cos xdx = e sin x − 2e−2x cos x ) t = ( ) −2t e sin t − 2e−2t cos t + vaø 5 t ⎡1 2⎤ e−2x cos xdx = lim ∫ e−2x cos xdx = lim ⎢ e−2t sin t − 2e−2t cos t + ⎥ t →+∞ t →+∞ ⎣ 5⎦ ( ( ) ) Vì e−2t sin t − 2e−2t cos t ≤ e−2t sin t + cos t ≤ 3e−2t → t → +∞ , ta suy 21 ( ) lim e−2t sin t − 2e−2t cos t = vaø ñoù t →+∞ I= +∞ ∫e −2x cos xdx = dx x h) Với t = ln x , dt = ∫x dx ln x = dt ∫ t1/ Với t > , ta coù −1 = t2 +1 −1 +1 e ∫x Suy I = ∫x ln x t ∫ dx ∫ i) Ta coù dx − x2 ln x t ↓1 1− x x +x dx t dx ∫ = = lim ∫ t ↑1 ( x2 + x2 dx dx ) = 1−x x − ∫ x2 + x4 = lim ∫ t↓0 t t ↑1 1 + x2 Suy ra, với < t < e , I= π = − 2π , ta suy ( π ) − ⎛⎜⎝ − 1t − arctan t ⎞⎟⎠ = 1t + arctan t − − π vaø dx dx x , ta coù e dx ∫ x ln3 x = ∫ dx ∫ x ln3 x = − ln2 x dx ⎛ e t t −3+1 1 = +C= − +C= − + C −3 + t 2t ln2 x dt 1⎛ 1 ⎞ 1 vaø =− ⎜ − ⎟= − ⎝ ln e ln t ⎠ ln2 t 1⎞ = lim ⎜ − ⎟ = +∞ ∫ x ln3 x = lim t ↓1 ∫ x ln x t ↓1 ⎝ ln t 2⎠ ) = arccos1 − − arctan x + C Do đó, với < t < , x t e π π ⎛1 π⎞ = + − − = +∞ lim arctan t ⎜ 4⎟ t↓0 ⎝ t x2 + x4 ⎠ k) Với t = ln x , dt = dx ( = lim arccos t − ∫ x2 + x4 = − x − arctan x = −1 − t t e ) ( t ↓1 dx =− dx dx ) ln e − ln t = − ln t = arccos x + C Với < t < , ta coù ∫ x2 + x4 = ∫ x2 − ∫ + x2 ) ( ( I= =2 = lim − ln t = x ln x t t = arccos x = arccos t − arccos = arccos t − Suy I = dx = lim ∫ e t 1− x j) Do = ln x e dx + C = t + C = ln x + C dx t e , ta có t 22 l) Với x = ∫ cos t dx x 9x − 2/ ∫ t I= = dx ∫ sin tdt cos2 t tan t cos t − = tan2 t , dx = sin tdt cos2 t , ta suy = ∫ dt = t + C = arccos 3x + C vaø với , ta Vaäy lim u n = u = n →∞ Tìm tổng riêng tổng (nếu có ) chuỗi số: a ∑ n =1 n ( n + ) ∞ ∞ n =1 n ÑS: a) Do n ∑ b ( n + 1) ∞ 3n + 2n n =1 6n ∑ d n 3n n =1 2n + c ∑ + ( −1) ∞ 1 = − , ta n ( n + 1) n n + 1 1 ∑ k ( k + 1) = ⋅ + ⋅ + + n ( n + 1) = (1 − 12 ) + ( 12 − 13 ) + + ( n1 − n1+1 ) k =1 =1− n +1 n = →1 n + 1 + n1 = ∞ ∑ n ( n + 1) = n → ∞ , ta suy n =1 ∞ b) ∑ + ( −1) n = 3n n =1 n ∑ n ( n + 1) k =1 k ( k + 1) + n =1 2n + = n ( n + 1) ⋅2 ( n + 1) ∑ n =1 n ∞ 3n 22 = − + n =1 n 32 ( n + 1) + n =1 = ∞ n =1 n2 1+ = n ( n + 1) 2n n ( n + 1) ) + + ⎛⎜⎝ ∞ ( 1+ − n n ) 2 ⎞ ⎟ ( n + 1) ⎠ →1 = ∑ 6n ∑ 6n ∑ ( ) n =1 ∞ ( ) ∑ (− ) n , ta n2 + 2n ∞ ∑ n =1 = n =1 + + 2 ⋅3 )+( 22 + n → ∞ , ta suy − 2 =1− 3n + 2n ∞ = 2∑ 3n n =1 ( ∞ n ( ) = 1− d) ( −1) 15 + = + = 4 − 13 − − = ∞ ∑ 3n ∑ =2 c) Do ∞ n 28 + ∞ ∑ ( 13 ) n =1 n = 1 + = 2+ = 1 2 1− 1− Khảo sát hội tụ chuỗi số ∞ n2 + n =1 3n ∞ 2n + ∑ a) b) d) n =1 n +1 ∞ ∑ n3 + e) ∑ (1 + n1 ) n n =1 ∑ n2 + c) ∞ f) n =1 n3 ∞ ∑ + 2n n =1 ∞ n3 + 2n2 n =1 + 2n ∑ ( n + 1) a n +1 = an ĐS: a) Dùng tiêu chuẩn d’Alembert, +1 ( n + 1) + 1 = → < n +1 n +1 n2 +1 3n Chuỗi hội tụ ( b) lim + n →∞ n ) n = e ≠ neân ∞ ∑ (1 + n1 ) n phân kỳ n =1 c) Dùng tiêu chuẩn so sánh Do n → ∞ nên hai chuỗi 2n + ∑ n2 + vaø 2n + n2 + 1 ∑n = 2+ n1+ n n2 , ta suy 2n +1 n2 +1 n → chất chuỗi phân kỳ d) Dùng tiêu chuẩn D'Alembert lim a n +1 an n →∞ neân ∞ ∑ n =0 ( n + 1) = n +1 lim 1+ 23 n →∞ n + 2n n3 + 2n = lim n →∞ (1 + ) = lim (1 + ) ( + 1) = < +2 (1 + ) ( n + 1) n3 n n n +1 n →∞ 2n 2n hội tụ 1 1+ n , ta suy e) Dùng tiêu chuẩn so saùnh Do = n + n2 + n13 n +1 n → ∞ nên hai chuỗi f) Do n3 + 2n2 + 2n3 n+1 ∑ n3 + ∑ n2 → chất chuỗi hội tụ → ≠ kh n → ∞ , ta suy 29 n +1 n3 +1 n2 ∞ n3 + 2n2 n =1 + 2n ∑ chuỗi phân kyø ... + ( n1 − n1 +1 ) k =1 =1? ?? n +1 n = ? ?1 n + 1 + n1 = ∞ ∑ n ( n + 1) = n → ∞ , ta suy n =1 ∞ b) ∑ + ( ? ?1) n = 3n n =1 n ∑ n ( n + 1) k =1 k ( k + 1) + n =1 2n + = n ( n + 1) ⋅2 ( n + 1) ∑ n =1 n... =1 n ( n + ) ∞ ∞ n =1 n ÑS: a) Do n ∑ b ( n + 1) ∞ 3n + 2n n =1 6n ∑ d n 3n n =1 2n + c ∑ + ( ? ?1) ∞ 1 = − , ta n ( n + 1) n n + 1 1 ∑ k ( k + 1) = ⋅ + ⋅ + + n ( n + 1) = (1 − 12 ) + ( 12 − 13 ... =1 n +1 ∞ ∑ n3 + e) ∑ (1 + n1 ) n n =1 ∑ n2 + c) ∞ f) n =1 n3 ∞ ∑ + 2n n =1 ∞ n3 + 2n2 n =1 + 2n ∑ ( n + 1) a n +1 = an ĐS: a) Dùng tiêu chuẩn d’Alembert, +1 ( n + 1) + 1 = → < n +1 n +1 n2 +1