SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM ĐỀ TÀI: " GIẢI PHÁP GIẢNG DẠY PHƢƠNG TRÌNH LƢỢNG GIÁC KHƠNG MẪU MỰC" PHẦN I : MỞ ĐẦU Lý chọn đề tài Có thể khẳng định nhiệm vụ cao trƣờng THPT ngƣời giáo viên đào tạo xây dựng hệ trẻ có đầy đủ phẩm chất đạo đức trí tuệ để làm chủ tƣơng lai Trong trình giảng dạy chƣơng I đại số- Lớp 11: “ Hàm số lƣợng giác phƣơng trình lƣợng giác ” tơi nhận thấy phƣơng trình lƣợng giác kiến thức bản, thƣờng gặp đề thi đại học, cao đẳng thi học sinh giỏi Trong chƣơng học học sinh nắm đƣợc dạng phƣơng trình lƣợng giác phƣơng trình lƣợng giác thƣờng gặp Tuy nhiên phƣơng trình lƣợng giác không mẫu mực đa dạng có phƣơng pháp chung đề giải phƣơng trình lƣợng giác nên học sinh thƣờng thấy lúng túng việc phân tích, lựa chọn cách giải phù hợp, ngắn gọn Để giúp học sinh học tập môn Tốn nói chung phƣơng trình lƣợng giác nói riêng đạt kết tốt có nhiều tài liệu, sách báo đề cập đến, nhiên tài liệu riêng phƣơng trình lƣợng giác khơng mẫu mực cịn học sinh cịn bỡ ngỡ gặp khó khăn gặp phƣơng trình dạng Là ngƣời giáo viên trực tiếp giảng dạy cho em tơi thấy khơng nắm đƣợc kiến thức mà điều cần thiết vận dụng phƣơng pháp linh hoạt, hệ thống kiến thức cách sáng tạo, truyền thụ cho học sinh dễ hiểu Chính điều thơi thúc tơi suy nghĩ, thu thập tài liệu nhằm giúp học sinh khắc phục đƣợc nhƣợc điểm nêu từ đạt đƣợc kết cao giải phƣơng trình đạt kết cao kì thi tơi chọn đề tài: “PHƢƠNG TRÌNH LƢỢNG GIÁC KHƠNG MẪU MỰC ” 2- Mục đích nghiên cứu Nghiên cứu số vấn đề liên quan đến nội dung phƣơng trình lƣợng giác đƣợc trình bày số sách tham khảo đề thi đại học nhằm nâng cao nghiệp vụ chuyên môn rút kinh nghiệm trình giảng dạy Với mục đích giúp thầy giáo giảng dạy có hiệu em học sinh có đƣợc nhìn tổng quan, hiểu đƣợc chất vấn đề đặt ra, từ đƣa phƣơng pháp giải mạch lạc phù hợp với toán Đồng thời nhằm nâng cao chất lƣợng hiệu trình giảng dạy học tập học sinh lớp 11, mở rộng kiến thức cho học sinh, nhằm phát huy tinh thần tự giác học tập nhƣ khả sáng tạo học tập học sinh Sau đề tài đƣợc thực hiện, qua việc hƣớng dẫn phƣơng pháp chung giải số tập mẫu học sinh vận dụng giải tập sách giáo khoa, sách tập, tập nâng cao phần giúp học sinh thuận tiện trình học q trình ơn tập củng cố kiến thức chuẩn bị cho kỳ thi quan trọng 3- Đối tượng nghiên cứu Học sinh khối 11, học sinh ôn thi đại học 4- Giới hạn phạm vi nội dung nghiên cứu Phạm vi nghiên cứu: Nội dung chƣơng trình tốn THPT Tập trung nghiên cứu sở lý luận thực tiễn đúc rút kinh nghiệm phƣơng pháp dạy học sinh giải phƣơng trình lƣợng giác Có thể khẳng định phƣơng trình lƣợng giác đa dạng nhƣng nói có hai dạng riêng biệt là: Phƣơng trình lƣợng giác mẫu mực phƣơng trình khơng lƣợng giác khơng mẫu mực Những phƣơng trình lƣợng giác mẫu mực có cách giải cụ thể sách giáo khoa đề tài tơi nghiên cứu số phƣơng pháp giải phƣơng trình lƣợng giác không mẫu mực Áp dụng đề tài: Khối lớp 11 – Năm học 2011 - 2012 Khối lớp 11 – Năm học 2012 – 2013 Trƣờng THPT Trần Nhật Duật-Yên Bình- Yên Bái 5- Nhiệm vụ đề tài Trang bị cho học sinh kiến thức bản, vững vàng giải phƣơng trình lƣợng giác - Phân loại phƣơng trình lƣợng giác khơng mẫu mực - Chỉ phƣơng pháp giải dạng phƣơng trình lƣợng giác - Giúp cho học sinh có kỹ thao tác giải phƣơng trình lƣợng giác 6- Phương pháp nghiên cứu + Nghiên cứu lý thuyết qua sách giáo khoa + Nghiên cứu tài liệu tham khảo + Điều tra, khảo sát thực tế học sinh + Trao đổi đồng nghiệp tổ chun mơn + Tích lũy đúc rút kinh nghiệm qua trình giảng dạy * Xây dựng hệ thống tập hợp lý, phân loại dạng tập từ lựa chọn ví dụ cụ thể hƣớng dẫn cụ thể loại 7- Thời gian nghiên cứu Trong suốt q trình đƣợc phân cơng giảng dạy khối 11 bậc phổ thông trung học Từ năm 2009 PHẦN II: NỘI DUNG CỦA ĐỀ TÀI CHƢƠNG 1: CƠ SỞ LÝ LUẬN CỦA ĐỀ TÀI Cơ sở lí luận Định hƣớng đổi phƣơng pháp dạy học đƣợc thể chế hoá Luật giáo dục (2005), đƣợc cụ thể hoá thị Bộ giáo dục đào tạo Đất nƣớc ta bƣớc vào giai đoạn cơng nghiệp hố đại hoá với mục tiêu đến năm 2020 Việt Nam từ nƣớc nông nghiệp trở thành nƣớc công nghiệp, hội nhập với cộng đồng quốc tế Nhân tố định thắng lợi công CNH- HĐH hội nhập ngƣời, nguồn lực ngƣời Việt Nam đƣợc phát triển số lƣợng chất lƣợng sở mặt dân trí đƣợc nâng cao Vì ngƣời giáo viên phải xây dựng hình thành tảng kiến thức, kĩ đủ chắn Chúng ta biết năm học năm học tiếp tục phát động vận động “Mỗi thầy giáo, cô giáo gương đạo đức, tự học sáng tạo”, “Xây dựng trường học thân thiện, học sinh tích cực ”, thực tốt công tác “Đổi quản lý giáo dục thực đồng giải pháp để nâng cao chất lượng giáo dục, nhằm mục tiêu giáo dục toàn diện cho học sinh” Để hƣởng ứng vận động cá nhân tơi với việc làm cụ thể: làm đồ dùng học tập, sáng tạo phƣơng pháp dạy học để tạo niềm hứng thú say mê học toán cho học sinh Trong thực tế đề thi vào trƣờng đại học xuất phƣơng trình lƣợng giác học sinh nhận thức trung bình nhƣ đa số học sinh trƣờng khơng phải lúc em giải thành thạo.Trong học lí thuyết em học sinh đƣợc học phƣơng trình bản, mẫu mực tơi ln băn khoăn tìm cách đƣa đến cho học sinh phƣơng trình lƣợng giác khơng mẫu mực để học sinh làm quen Để giải thành thạo phƣơng trình lƣợng giác điều học sinh phải nắm vững áp dụng linh hoạt công thức biến đổi, học sinh dựa vào kiến thức cung góc lƣợng giác, giá trị lƣợng giác cung, giá trị lƣợng giác cung có liên quan đặc biệt đại số lớp 10, nắm vững phƣơng pháp giải phƣơng trình lƣợng giác phƣơng trình lƣợng giác mẫu mực (Đại số giải tích lớp 11) Cơ sở thực tiễn - Dựa vào yêu cầu đề thi vào truờng Cao đẳng Đại học - Căn vào yêu cầu mục tiêu hệ thống giáo dục bậc THPT Với mục đích giúp nâng cao lực học tập, rèn luyện kiến thức , kĩ nhận dạng cách tập dƣợt làm nhanh Có đƣợc điều học sinh đạt đƣợc kết tốt kì thi quan trọng CHƢƠNG 2: THỰC TRẠNG CỦA ĐỀ TÀI Ngay từ năm học trƣớc thu thập tài liệu, tập phƣơng trình lƣợng giác khơng mẫu mực, tiếp thu ý kiến đồng nghiệp để xây dựng nội dung cho đề tài Với cách thức phát huy kiến thức phƣơng trình mà học sinh biết cách giải đƣa số phƣơng trình đặc biệt để học sinh khai thác, thấy học sinh thực say mê hứng thú Sau giảng dạy khảo sát bƣớc đầu thấy kết tốt Lúc đầu chƣa hƣớng dẫn hầu hết em làm đƣợc, làm đƣợc sau học xong em làm tốt dạng Khi khảo sát chất lƣợng học sinh kiểm tra 60 phút trình học phụ đạo, bồi dƣỡng nâng cao tơi có kết cụ thể nhƣ sau : Khối lớp 11 ( Ca học II) năm học 2011 – 2012 Kết đạt đƣợc Trƣớc bồi dƣỡng Sau bồi dƣỡng Số lƣợng Phần trăm Số ƣợng Phần trăm Giỏi 4,2 % 23 14,1 % Khá 24 14,7 % 51 31,2 % Tb 48 29,4 % 62 38 % Yếu 63 38,6 % 21 11,8 % Kém 21 13,1 % 4,9 % Khối lớp 11 ( Ca học I) năm học 2012 – 2013 Kết đạt đƣợc Trƣớc bồi dƣỡng Sau bồi dƣỡng Số lƣợng Phần trăm Số lƣợng Phần trăm Giỏi 5,2 % 25 16,2 % Khá 17 11 % 43 27,9 % Tb 49 Yếu 57 Kém 23 31,8 % 69 44,8 % 37 % 10 6,5 % 4,6 % 15 % Qua khảo sát thực tiễn thực tế giảng dạy chƣơng trình tốn học 11 tơi thấy học sinh bộc lộ nhiều yếu nhƣợc điểm: + Học sinh kỹ giải tập yếu + Không biết phân biệt dạng tập + Học sinh yếu việc vận dụng kiến thức toán để giải toán Qua khảo sát thực tế chất lƣợng tơi băn khoăn tìm ngun nhân chính: + Do giáo viên chƣa có phƣơng pháp tốt giúp học sinh nắm kiến thức, có kỹ để giải tập + Chƣa tạo hứng thú cho học sinh trình học tập Từ tơi thiết nghĩ cần phải giúp đỡ hƣớng dẫn em từ kiến thức Trên sở thấy học sinh yếu phần ta bổ sung kịp thời với hƣớng dẫn học sinh tham khảo tài liệu liên quan đến học Trong đề tài cố gắng đƣa phƣơng pháp giải phƣơng trình lƣợng giác khơng mẫu mực để từ giúp học sinh có nhìn tổng qt cụ thể CHƢƠNG 3: GIẢI QUYẾT VẤN ĐỀ A – Kiến thức Xuất phát từ thực tế học sinh ngại khó giải tập lạ, tơi thấy cần phải tạo cho em học sinh niềm say mê , ý thức học tập, tạo cho em biết đặt câu hỏi biết tự trả lời câu hỏi Khi gặp tốn khó phải có nghị lực tập trung tƣ tƣởng, tin vào khả học tập Chính nhiều năm học qua tơi áp dụng đƣợc tìm hiểu, đƣợc trao đổi với đồng nghiệp áp dụng vào việc giảng dạy Và nhận thấy hiệu chất lƣợng dạy học đƣợc nâng lên rõ rệt Để đề tài đƣợc thực có hiệu thực theo bƣớc: Giai đoạn 1: Thu thập tài liệu Đọc sách giáo khoa, sách tham khảo, đề thi tuyển sinh đại học, xem tài liệu mạng qua ý kiến đồng nghiệp nhờ tơi có hệ thống dạng tập, xếp thành hệ thống từ dễ đến khó Giai đoạn 2: Thực nội dung nghiên cứu Tơi đƣa hai dạng phƣơng trình khơng mẫu mực thƣờng gặp * Phƣơng trình lƣợng giác có sử dụng cơng thức hạ bậc * Phƣơng trình lƣợng giác biến đổi dạng tích B KIẾN THỨC CẦN NHỚ - Thơng thƣờng để giải phƣơng trình lƣợng giác ta phải thực bƣớc sau: * Nếu phƣơng trình chứa nhiều hàm lƣợng giác khác sử dụng phép biến đổi tƣơng đƣơng đƣa phƣơng trình chứa hàm lƣợng giác * Nếu phƣơng trình chứa hàm lƣợng giác cung khác sử dụng phép biến đổi tƣơng đƣơng đƣa phƣơng trình chứa hàm lƣợng giác cung - Biến đổi phƣơng trình cho phƣơng trình đơn giản quen thuộc Các phƣơng pháp biến đổi theo hƣớng gồm có + Phƣơng pháp đặt ẩn phụ : Đƣa phƣơng trình lƣợng giác việc giải phƣơng trình đại số + Phƣơng pháp hạ bậc : Nếu phƣơng trình cần giải có bậc cao dùng cơng thức hạ bậc để biến đổi bậc thấp + Phƣơng pháp biến đổi thành phƣơng trình tích + Phƣơng pháp đánh giá hai vế Dạng 1: Áp dụng phƣơng pháp hạ bậc Nếu phương trình cần giải có bậc cao dùng cơng thức hạ bậc để biến đổi bậc thấp Bƣớc 1: Đặt điều kiện để phƣơng trình có nghĩa (nếu cần) Bƣớc 2: Thực việc hạ bậc phƣơng trình cơng thức hạ bậc sau: sin x  sin x  1  cos x   3sin x  sin 3x  Ví dụ : Giải phƣơng trình sau Giải : Ta có (1)  cos x  cos3 x  1  cos x   3cos x  cos 3x  sin x  cos 2 x  sin x  (1) 1 1  cos2 x   1  cos4 x   1  cos6 x   2 2  cos2 x  cos6x  cos4 x   cos4 x   cos x.cos4 x  cos4 x   cos4 x  cos x  1     cos x   (2)  x    k  x  (3)  cos2 x   k (3)     x    k 2  x    k Phƣơng trình có nghiệm Ví dụ 2: Giải phƣơng trình Giải: (1) (2) x  k  ;x   (k  Z )   k (k  Z )   2cos 3x cos x  1  sin x   3cos  x   4       cos x  cos2 x  1  sin x   1  cos  x        cos4 x  sin x  cos2 x  sin x       sin  x    sin  x    6 6      2sin  3x   cos x  6        x    k  sin 3x    18        x    k cos x   k Z (1) Phƣơng trình có nghiệm x Ví dụ 3: Giải phƣơng trình:  18  k ; x sin x  cos x    k k Z      cot  x   cot   x  3 6   (1) Giải : Nhận xét x    x  nên             cot  x   cot   x   cot  x   cot     x    3 6 3     2     sin  x        sin    x       Giải: Điều kiện Với điều kiện (*) (*) (1)   sin 2 x   sin 2 x    cos4 x  Phƣơng trình có nghiệm x t  x   xt  12 k  k Z k Z   sin  x    2sin x 4  Ví dụ 4: Giải phƣơng trình Giải: Đặt     x  k 12 (1) Khi phƣơng trình (1) trở thành   sin t  sin  t    4  sin t  sin t  cost  sin t  (sin t  cost )(sin t  cos 2t )  cost ( sin t  sin tcost  cos 2t )   cost   sin 2t  (2)  t    k  x    k (k  Z ) 10 (2) (VN ) có * cos x   x  Do   k (k  Z ) 14  0,5  k   x   0;14 , k  Z    k  14     k  0;1; 2;3  k Z    3 5 7  x ; ; ;  2 2  Vậy nghiệm phƣơng trình Ví dụ 2: Giải phƣơng trình (1  cos x)  (1  cos x)  tan x sin x  (1  sin x)  tan x 4(1  sin x) (1) Giải: Điều kiện  sin x   cos x  Với điều kiện phƣơng trình (1)  2(1  cos x) sin x sin x   (1  sin x )  4(1  sin x)  sin x  sin x  (1  cos2 x)(1  sin x)  2sin x  (1  sin x)(1  sin x)  2sin x  (1  cos2 x)(1  sin x)  (1  sin x)cos x  2sin x(1  sin x)  (1  sin x)(1  2sin x)   cos2 x  x ( Vì cosx  )  k  ; k Z Ví dụ 3: Giải phƣơng trình  cos x  cos2x  cos3x  (1) Giải: (1)  (1  cos2 x)  (cos x  cos3x)   2cos2 x  2cos x.cos x   2cos x(cos x  cos2 x)   cos 3x x cos cos x  2 x  cos 0      cos x   x   k  x   k   cos x      cos 3x  x   x    k    k  3x    3 2 cos   18 (k  Z ) Vậy phƣơng trình có nghiệm Ví dụ 4: Giải phƣơng trình x   k ; x    k (k  Z ) cos x  cos3x  sin x  cos x  sin x  cos x Giải: Điều kiện : cos x  sinx  (*) Với điều kiện (*) phƣơng trình tƣơng đƣơng với cos3x  cos x  cos2 x   cos2 x(2cos x  1)   (cos x  sin x)(cos x  sin x)(2cos x  1)  cos x  sin x  (1)  cos x  sin x  (l )  cos x   (2) (1)  tan x   x  (2)  x     k 2  k 2 Nghiệm phƣơng trình : x   k ; x   2  k 2 , k Z Ví dụ 5: Giải phƣơng trình sin x(cos x  3)  3.cos3 x  3.cos x  8( 3.cos x  sin x)  3  (1) Giải: (1  2sin x.cos2 x  6sin x.cos x  3.cos3 x  cos2 x  3  8( 3.cos x  sin x)  3   2 cos2 x( cos x  sin x)  6.cos x( cos x  sin x)  8( cos x  sin x)   ( cos x  sin x)(2cos2 x  6cos x  8)   tan x   cos x  sin x     cos x  cos x  3cos x   cos x   (VN )   x   k   ,k     x  k 2 19 Nghiệm phƣơng trình   k ; x  k 2 k Z  s in2x  cos x  2.sin x.s in2x  cot x Ví dụ 6: Giải phƣơng trình Giải: Điều kiện x sin x   x  k (1) k Z Với điều kiện phƣơng trình (1)  sin x(1  sin2x  cos x)  2 sin x cos x   sin x  cos x  2 cos x  cos x  2sin x cos x  2 cos x  cos x    cos x(cos x  sin x  2)    cos x  sin x  * * cos x   x   (2)  k    (2)  sin  x     x   k 2 4  Phƣơng trình có nghiệm x Ví dụ 7: Giải phƣơng trình   k ; x    k 2 k Z 9sinx  6cosx  3sin2x  cos2x  (1) Giải: (1)  9sinx  6cosx  6sinxcosx   2sin x    6cosx  6sinxcosx    2sin x  9sinx     6cosx 1  sinx    sinx  1 2sinx     1  sinx  6cosx  2sinx    1  sinx  (2)  6cosx  sinx  VN  (2)  sinx   x    k 2 Phƣơng trình có nghiệm x   k 2 k Z Ví dụ 8: Giải phƣơng trình cos x  cos3x  sin x  cos x  sin x (*) 20 Giải: (*)  (cos x  cos x)  sin x  (cos3x  sin 3x cos3x)   (2 sin x sin 3x  sin x)  (2 sin 3x cos3x  cos3x)   (2 sin 3x  1)(sin x  cos3x)   sin 3x  (1)   2sin x     sin x  cos3x  cos 3x  cos    x     2  (2) 5 2   x  18  k (1)    x   k      x  k (2)    x     k  Ví dụ : Giải phƣơng trình Giải : Điều kiện tan x  tan 3x  2sin x 1 cos x  0, cos3x   x   k  k Z (*) Với điều kiện (*) phƣơng trình sin  2 x   2sin x cos x.cos3 x ( 1)    sin x  2sin x.cos x.cos3x (2)  sin x   sin x  cos x.cos3x  1     cos x.cos3x   (3) (2)  sin x   2sin x.cos x   sin x  Do cos x   x  k  k  Z  (3)   cos4 x  cos2 x   cos2 x   cos x  cos2 x    cos2 x    2 cos2 x   x  cos2 x    k     x  k 21 Phƣơng trình có nghiệm x  k ; x   k  ;x    k  k Z Chú ý :Qua ột ố ví d vừa x t ta thấy hi giải ph ng tr nh cần phải đặt điều iện cần phải i tra lại điều iện giá trị t đ ợc đ loại ớt nghiệ ngoại lai (nếu có) Ví dụ 10: Giải phƣơng trình Giải: Điều kiện cot x   sin x   x  k  cos x sin x (1) k Z Với điều kiện (1)  4cos x  2sin x   cos x  (cos x  sin x)  3(cos x  sin x)   (cos x  sin x)(cos x  sin x)  (1  cos x  sin x)(cos x  sin x  3)   x  k 2 (L) sin x  cos x  1    x  3  k 2 sin x  cos x  VN   Vậy phƣơng trình cho có nghiệm x 3  k 2 k Z Ví dụ 11: Giải phƣơng trình sin 3x  3sin 2x  cos x  3sin x  3cos x   (1) Giải: (1)  sin 3x  3sin x  cos x  3sin x  3cos x    (sin 3x  sin x)  2sin x  3sin x  (cos x   3cos x)   2sin x.cos x  2sin x  6.sin.cos x  (2cos x  3cos x  1)   2sin x.cos x  2sin x  6.sin.cos x  (2cos x  3cos x  1)    sin x    (2sin x  1)(2 cos x  3cos x  1)    cos x   cos x   *   x   k 2  sin x    , (k  Z )  x    k 2  22   x    k 2 * cos x  * cos x   x  k 2 , (k  Z ) (k  Z ) Ví dụ 12: Giải phƣơng trình      5cos  x    3cos  x    6   10  (1) Giải:     (1)  5cos  3x    3cos  x    2 2    5sin 3x  3sin x  2sin 3x  3(sin x  sin 3x) sin x   2sin x( 3cos x  4sin x  3)    3cos x  cos x    x  k   x   arccos( )  k  Ví dụ 13: Giải phƣơng trình Giải: Điều kiện cos x   x    cos x  cos x tan x     k , k Z ( k Z ) (1) (*) Với điều kiện (*) phƣơng trình (1)  (2cos x  1)  cos x[2( cos x  1)  1]   2cos3 x  3cos x  3cos x    (cos x  1)(2cos x  5cos x  2)   cos x  1    cos x   cos x    x    k 2    x     k 2  (VN ) k  Z  Ví dụ 14: Giải phƣơng trình cos x  cos3x  sin x  cos x  sin x (1) 23 Giải: (1)  (cos x  cos x)  sin x  (cos3x  sin 3x cos3x)   (2 sin x sin 3x  sin x)  (2 sin 3x cos3x  cos3x)   sin x   (2 sin 3x  1)(sin x  cos3x)    cos x  cos    x     2  *  2  x  k  18 sin 3x     x  5  k 2  18 *    x  k    cos 3x  cos   x    2   x     k  Ví dụ 15: Giải phƣơng trình ( k  ) 4sin x  3cos 3x   4sin x  1 (1) Giải: (1)  4sin x  12sin x  3  3cos x  8sin x.cos x  12sin x  6sin x  2sin x  4cos x  3sin x    sin x  (2)    cos x  3sin x   (VN ) (2)  x  k k Z Nghiệm phƣơng trình x  k Ví dụ 16: Giải phƣơng trình cos x  cos x tan x   kZ  Giải Điều kiện cos x   x    k k Z (*) Với điều kiện (*) (1)  (2cos x  1)  cos x[2( cos x  1)  1]  24  (1)  2cos3 x  3cos x  3cos x    (cos x  1)(2cos x  5cos x  2)  cos x  1  x    k 2   cos x  1/    x     k 2 cos x  2(VN )  Ví dụ 17: Giải phƣơng trình cos3x  cos2x  cosx 1  Giải: Ta có cos3x  cos2x  cosx 1   4cos3 x  3cos x  2cos x 1  cosx 1   cos2 x(2cosx  1)  (2cos x  1)   cos x    (2cos x  1)(cos x  1)     cos x   (1)  x   2  k 2 (1) (2) (k  Z ) (2)  sin x   x  k Vậy phƣơng trình có nghiệm x  k ; Ví dụ 18: Giải phƣơng trình Giải: Ta có 3  sin  x    sin x x 2  k 2 (k  Z )  7   4sin   x 3     sin  x            sin    2   x    cosx          7    sin   x   sin  2   x      sin  x     (sin x  cosx)  4      Khi    sin x  7   4sin   x 3     sin  x     1 1   4 (sin x  cosx) sin x cosx Điều kiện sin x  cosx  2 2(sin x  cosx) sin xcosx  (sin x  cosx)(1  sin x)  25 sin x   x  k  (k  Z )  sin x  cosx   1  sin x  (1) (2) (1)  tan x  1  x     k    x    k (2)  sin x     x  5  k  Phƣơng trình có nghiệm x Ví dụ 19: Giải phƣơng trình   k ; x     k ; x  5  k k  Z 2cos6 x  2cos x  3cos x  sin2 x  (1) Giải: (1)  4cos5xcosx  2sinxcosx  3cos x    2cosx 2cos5 x  sinx  3cosx  cosx    2cos5 x  sinx  3cosx   x   k ; k  Z      x   k ; k  Z  x   k ; k  Z  k    x     24 cos5 x  cos  x         cos5 x  sinx  cosx 6   x    k 2 42    Ví dụ 20: Giải phƣơng trình sinx  sin2 x  sin3 x  sin4 x  cosx  cos x  cos3 x  cos x (1) Giải: (1)   sinx  cosx    sin x  cos x    sin3 x  cos x    sin x  cos x     sinx  cosx    sin x  cos x    sinx  cosx 1  sinxcosx    sin x  cos x     sinx  cosx     sinx  cosx   sinxcosx    sinx  cosx      sinx  cosx   sinxcosx  26 * sinx  cosx  * x   k ; k  Z   sinx  cosx   sinxcosx  1 Đặt t  sinx  cosx với t    2,  t  1 (1)  t  4t     t  3 sinxcosx  t 1   Với t  1  sinx  cosx  1  3   cos  x      cos 4   x    k 2  ;k Z  x     k 2  Phƣơng trình có nghiệm Ví dụ 21 :Giải phƣơng trình Giải: (1)  cos x  cos x  x   k ; x    k 2 ; x     k 2 k Z   2cos3xcosx  1  sin2 x   3cos  x   4      1  sin2 x   1  cos  x        cos x  3sin4 x  cos x  3sin2 x       sin  x    sin  x    6 6     cosx  x   k      2sin  3x   cosx       sin 3x    6   x     k   6 18  Ví dụ 22 : Giải phƣơng trình:     2  sin   x   4sin x   sin x   2sin x   Giải: Điều kiện: sin x  (*) Với điều kiện (*) ta có: 27 (1)     2  sin   x   4sin x   sin x   2sin x       4sin x   sin   x   8sin x  2sin x  6  1   2(2sin x  1)  cos x  sin x   (2sin x  1)(4sin x  1) 2     (2sin x  1) cos x  sin x  4sin x   2sin x   (1)   cos x  sin x  4sin x  (2)   x   k 2  (1)  sin x    (k  Z )  x  5  k 2  2)  cos x  sin x  4sin x   4sin x  2sin x  sin x cos x   sin x  cos x  2 (Vì sin x  )  7   cos  x    1  x   k 2 (k  Z ) 6  Vậy x phƣơng trình có nghiệm: x  7  k 2 , k  Z 28   k 2 , k  Z ; x 5  k 2 , k  Z ; Bài tập tự rèn luyện: Giải phương trình sau 1, (1  2sin x) cos x  (1  2sin x)(1  sin x) 2, 2sin x (1  cos x)  sin x   2cos x 3, 3sin x  cos x  sin x  4sin x cos 4, sin x  sin x  5, sin x cos x   tan x  cot x cos x sin x 6, cot x   7, cot x  tan x  4sin x  8,  tan x  tan x  2sin x   6cos x  9, sin x cos x  cos x (tan x  1)  2sin x  10, x 1   cot x 2sin x sin x cos x  sin x  sin x  tan x 2 sin x sin x  cos x 1  cot x  5sin x 8sin x 29 Phần III : KẾT LUẬN VÀ KHUYẾN NGHỊ 1, Kết luận Phƣơng trình lƣợng giác khơng mẫu mực vấn đề khó, phức tạp học sinh, nhiên đƣợc học cách cẩn thận vấn đề trở nên bình thƣờng đễ dàng làm đƣợc Qua trình tham khảo, học hỏi đồng nghiệp trƣớc sử dụng dạng toán để dạy cho học sinh nhận thấy có hiệu cao học sinh Chính ngƣời giáo viên cần phải trang bị cho hiểu biết cách nhìn khái qt tổng hợp Điều giúp cho ngƣời giáo viên giảng dạy vấn đề có đƣợc phƣơng pháp truyền tải tốt giúp học sinh tiếp thu có hiệu em học sinh có nhìn nhận đắn, đầy đủ, chắn tốn có liên quan Thơng qua q trình giảng dạy học sinh khối 11 tơi áp dụng đề tài kết cho thấy: + Học sinh biết nhìn nhận đắn hiểu rõ chất toán biết cách trình bày giải Học sinh giỏi hứng thú với phƣơng trình lƣợng giác tập em làm thành thạo + Học sinh biết chọn lựa phƣơng pháp phù hợp cho toán cụ thể Trên phƣơng pháp giải phƣơng trình lƣợng giác khơng mẫu mực q trình giải tốn tơi gặp phải vận dụng,vì tơi đƣa số ví dụ để bạn đồng nghiệp tham khảo Các vấn đề đƣa cịn có thiếu sót định, mong đƣợc góp ý đồng nghiệp để sáng kiến đƣợc hoàn chỉnh mang tính khả thi Tơi muốn mƣợn lời nhà khoa học để kết thúc viết “ Giải tốn ột nghệ thuật thực hành giống nh i lội tr ợt tuyết hay ch i đàn Có th học đ ợc nghệ thuật cần ch ớc theo ẫu ực đắn th ờng xuyên thực hành h ng có ch a hoá thần đ ọi c a ngõ h ng có hịn đá thần đ iến ọi i loại thành vàng” 2- Một số khuyến nghị: Sáng kiến kinh nghiệm hay nên phổ biến rộng rãi cho giáo viên trƣờng THPT 30 Sở giáo dục nên đƣa số đề tài xuất sắc cụ thể năm để giáo viên toàn tỉnh trao đổi, thảo luận nghiên cứu kết chắn hiệu nhiều Xin chân thành cảm ơn ! 31 32 ... Phƣơng trình lƣợng giác mẫu mực phƣơng trình khơng lƣợng giác khơng mẫu mực Những phƣơng trình lƣợng giác mẫu mực có cách giải cụ thể sách giáo khoa đề tài tơi nghiên cứu số phƣơng pháp giải phƣơng... dạng phƣơng trình lƣợng giác phƣơng trình lƣợng giác thƣờng gặp Tuy nhiên phƣơng trình lƣợng giác khơng mẫu mực đa dạng khơng thể có phƣơng pháp chung đề giải phƣơng trình lƣợng giác nên học... Trang bị cho học sinh kiến thức bản, vững vàng giải phƣơng trình lƣợng giác - Phân loại phƣơng trình lƣợng giác khơng mẫu mực - Chỉ phƣơng pháp giải dạng phƣơng trình lƣợng giác - Giúp cho học