Câu 2.1 Cho biến  kx f X ( x)   0 3 ngẫu nhiên X có hàm mật độ đ x  x  a) Tìm số k , hàm phân bố X P( X  2) b) Tìm hàm mật độ biến ngẫu nhiên Y  31X a) Ta có    1đ  f X  x  dx    kx 3dx   k  1  x 3  2u du   FX  x    1 x 0  1 P( X  2)   P( X  2)   F (2)   1     4 Hàm phân bố X x 1 x  b) Với y > ta có     FY  y   P Y  y   P   y  P X   3y   3X   y  1/ 3,      FX      y  1/  y  9 y Với y  ta có F  y   Do hàm mật độ Y 1đ Y Câu 2.2 Cho hai biến ngẫu nhiên thời X 18 y  y  1/ fY  y    0 y   0;1/ 3 Y có hàm phân bố đồng đ (1  e2 x )(1  e y ) x  0, y  F( x, y)   nÕu tr¸ i l¹ i 0 a) Tìm hàm phân bố X Y b) Chứng minh X Y độc lập Tính P( X  2, Y  2) a) 1  e2 x x  FX ( x)   nÕu tr¸ i l¹ i 0 b) X ,Y độc lập 1  e y y  FY ( y)   nÕu tr¸ i l¹ i 0 F ( x, y )  FX ( x).FY ( y ) , x, y 1đ 1đ P( X  2, Y  2)  F (2, 2)  (1  e 4 )(1  e 2 )  0.849 Câu 2.3 Cho biến ngẫu nhiên X có hàm mật độ 2đ    k cos2x   x  f X ( x)   4 0 nÕu tr¸ i l¹ i a) Tìm số k hàm phân bố X b) Tính kỳ vọng phương sai X a) Ta có   f ( x)dx   k    x   0     sin x  FX ( x)     x  4    x  1   b) EX  0, DX  EX  1đ  8 1đ 16 Câu 2.4 Cho hai biến ngẫu nhiên thời X Y có hàm mật độ đồng đ k(1  x) y  x  1,0  y  f ( x, y)   nÕu ng- î c l¹ i 0 a) Tìm số k hàm mật độ Y b) X Y có độc lập hay không? Tính EX a)   f ( x, y)dxdy   k  X   1đ   Ta có 2(1  x)  x  f X ( x)   nÕu ng- î cl¹ i 0 b) X ,Y  EX =  xf X  độc ( x)dx  lập y   y  fY ( y)   0 nÕu ng- î cl¹ i f ( x, y )  f X ( x ) fY ( y ) Câu 2.5 Cho biến ngẫu nhiên hai chiều  ,  , , có hàm mật độ x, y 1đ 2đ   x2  k   xy   x  1;0  y  f , ( x)      nÕu tr¸ i l¹ i 0 a) Tìm số k b) Tính xác suất P   ,    12 ; 12    12 ; 23    1 5k 12 a)  k    x2  xy  dxdy  12 k  0      1đ  b)  u2    11  1 1 3   P   ,     ;    ;    k     uv  dudv  k      2 2 2  96 64  80   1 1đ Câu 2.6 Cho biến ngẫu nhiên liên tục, có hàm mật độ đ  k(1  x)  x  2   x  f ( x)   nÕutr¸ i l¹ i 0 a) Tìm số k, tính P  4     b) Tính kỳ vọng, phương sai biến ngẫu nhiên     1đ a)  f  x  dx   k  92   20 P  4       1  x  x   dx  2 27 b)  E   (3  x) f  x  dx   D  E   E   Cách  20  , E  127  (3  x) f  x  dx  10 1đ  E   E    1 3 ; 2 D  D  20 Câu 2.7 Cho biến ngẫu nhiên  liên tục, có hàm mật độ  f  x    k x 0  2đ x  x  a) Tìm số k hàm phân bố F  x  b) Tìm hàm mật độ biến ngẫu nhiên   1 từ  tính xác suất  a)  f  x  dx   k   Hàm phân bố  1đ x F  x     b) Tìm F  y  Khi y>0, P  0,1    0,  0  f  t  dt  1    x2 x 1 x 1 1đ  1 1  1 F  y   P   y   P   y   P       F   y     y y 1 1   y 1  y Khi y < 0, F  y    y     y  1 0  f  y    y  2 Và  y 1 P  0,1    0,   0, 2  0,12  0.058 Câu 2.8 Cho biến ngẫu nhiên  liên tục, có hàm mật độ kx2  x  12  x  f  x   nÕu tr¸ i l¹ i 0 1  P     2  a) Tìm số k, tính 2đ b) Tính kỳ vọng, phương sai   a)  f  x  dx   k  30 ;  b)  E   xf  x  dx   1đ 1  P        30  x  x  1 dx  2   E   x f  x  dx   , ; D  E   E   1đ 28 Câu 2.9 Cho X biến ngẫu nhiên có hàm mật độ 2đ 20 x (1  x)  x  f ( x)   x  (0;1) 0 a) Tính kỳ vọng phương sai X b) Tìm hàm phân bố X, từ tính a) EX   20 x (1  x)dx  b) Vậy ; EX   20 x5 (1  x)dx  x  0  F ( x)  5 x  x  x  1 x   ; 10 21 ; P  0.2  X  0.5  63 DX  EX  ( EX )2  1đ 1đ P(0,  X  0,5)  F (0, 5)  F (0, 2)  0, 0181 Câu 2.10 Một thiết bị điện tử có tuổi thọ (năm) biến ngẫu đ nhiên X có hàm mật độ dạng k x3e  x x  f ( x)   x  0 a) Tìm k, tính tuổi thọ trung bình thiết bị xác suất thiết bị hỏng năm đầu làm việc b) Nếu biết sau năm đầu làm việc thấy thiết bị hoạt động tốt xác suất thiết bị bị hỏng năm ? 1đ a) k  16 , EX  , P( X  2)  0.1429 c) P( X  | X  2)  P(2P(X X 2)4)  0.4237  0.4943 0.8571 Câu 2.11 Cho biến ngẫu nhiên hai chiều   f ( x, y )   4 0  ( X ,Y ) 1đ có hàm mật độ x  y  x  y  a) Tính R(X, Y) P  X  Y  1 b) X Y có độc lập không? a) Do tính đối xứng X Y nên ta có EX  EY   xf ( x, y )dxdy  4 R2 EXY   xyf ( x, y )dxdy  R 4 x   2đ 1đ xdxdy   x  y 1  xydxdy  Do  ( X ,Y )  Từ   y 1 suy X Y không tương quan Gọi D  ( x, y) : x  y  1 Ta có P  X  Y  1   f ( x, y)dxdy  4S  42  21 D y -2 D x -2 b) Do tính đối xứng x y nên hai biến ngẫu nhiên đ X Y có phân bố Hàm mật độ X   x2  nÕu   x  f X ( x)   f ( x, y)dy   2  0 nÕu ng- î c l¹i   Từ ta có f ( x, y)  f ( x) f ( y) Do X Y không độc lập Câu 2.12 Cho X Y hai biến ngẫu nhiên có hàm mật độ đồng thời đ X Y 6  ( x  y)  x, y  f ( x, y)   0 nÕu tr¸ i l¹ i a) Tìm hàm mật độ X Y kiểm tra tính độc lập X Y b) Tính P( X  Y  1) a) ví i x  (0;1) 0 0 ví i x  (0;1)   f X (x)    6 2   (x  y)dy ví i x  (0;1)  (x  ) ví i x  (0;1)  ví i y  (0;1) 0 0 ví i y  (0;1)   f Y (y)    6 (x  y)dx ví i y  (0;1)  5  (y  3) ví i y  (0;1)  Rõ ràng b) f (x,y)  f X (x).f Y (y) P(X  Y  1)   nên f (x,y)dxdy  {x  y1} X Y không độc lập 1x dx  (x  y)dxdy   50 10 Câu 2.13 Biết mật độ biến ngẫu nhiên X có dạng k x e f ( x)   0 x khi 2đ x0 x0 a) Tìm số k; Mod(X) b) Tính EX , EX , DX  a)     f ( x)dx   kxe x dx   k 1đ  k 1 Xét g ( x)  xe , x  g ( x)  e   x  1   x  , đổi dấu  Mod ( X )  b) E ( X )   xf ( x)dx  x e dx   2; E ( X )   x f ( x)dx  x e x x    x   x  dx   1đ  D( X )  E ( X )  ( E ( X ))2    Câu 2.14 Cho X biến ngẫu nhiên có mật độ k x e x f ( x)   0 khi x0 x0 a) Tìm số k tính P( X  e) b) Tìm hàm mật độ biến ngẫu nhiên X a) k  , P( X  e)  0.2454 b) y  : F ( y)  ; y > 0: F ( y)  P  X  y  P  X  y   F Y  fY ( y )  Y X ( y2 ) 1đ 1đ d d ( FY ( y ))  ( FX ( y ))  f ( y ).2 y  y 3e y dy dy Câu 2.15 Một cầu thủ ném bóng vào rổ với xác suất trúng 0.6; đ kết lần ném độc lập, chơi dừng lại ném bóng vào rổ a) Lập bảng phân bố xác suất số lần ném Tính xác suất phải ném lần b) Tính kỳ vọng số lần ném a) 1đ X … n … 0,42 P 0,6 0,4.0,6 … 0,4n-1 0,6 … 0,6 P=1- (0,6 + 0,24) = 0,16 b) E ( X )   n(0, 4) 0,  0, 6 n(0, 4) Chuỗi hàm f ( x)   x  1 x , đ    n 1 n 1 n 1 n n 1 n0 bán kính hội tụ r =   f ( x)   nx n 1  n 0  E ( x)  0,6 f (0, 4)  0,  1, 667 (0, 6)2 (1  x) Câu 2.16 Véc tơ ngẫu nhiên (X, Y) có mật độ ( x y) e f ( x, y)   0 x  0, y  0; nÕu tr¸ i l¹ i a) Tìm mật độ biên f ( x); biến ngẫu nhiên độc lập b) Tìm mật độ Z  X  Y X fY ( y ) đ ; suy X, Y  a )  x  0: f x ( x)  đ f ( x, y )dy      x  : f x ( x)   f ( x, y )dy   e  ( x  y ) dy   e  x   x0 0  f X ( x)    x e x0 Tương 0 fY ( x )    y e tự, f ( x, y )  f X ( x) fY ( y ) x, y  X Y  * x  0: f Z ( x)  y0 Do Vậy X, Y độc lập b) f ( x)  f ( x)  f ( x)   f Z y0 ;  đ X ( x  t ) fY (t ) dt   f X ( x  t ) f Y (t ) dt x x  : f Z ( x)   e  ( x t ) e t dt  xe  x 0, f Z ( x)    x  xe , x  0; x0 Câu 2.17 Cho X biến ngẫu nhiên có k x e x f ( x)   0 x0 x0 khi 2đ a) Tìm số k mật độ biến ngẫu nhiên X b) Tính P( X  1) 2 a) k 1 y  : FY ( y )  y > 0:  FY ( y )  P  X  y  P X   y  FX ( y ) d d ( FY ( y ))  ( FX ( y ))  f ( y )  ye  dy dy y y  0  fY ( y )    y y   e  fY ( y )  ; y 1  e y y b) P( X  1)  P( X  1)  0.264 Câu 2.18 Tầm bắn loại pháo biến ngẫu nhiên có phân đ bố chuẩn với trung bình 16.7km độ lệch chuẩn 0.3km a) Tính xác suất phát bắn đạt xa 16.7km b) Tính xác suất phát bắn đạt từ 15.8km đến 17.6km Cho (0)  0, 5000; (3)  0,9987; (1.96)  0,9750 Z X  16.7  N  0,1 0.3 1đ a) P( X  16.7)  P  Z    12  50% 1đ b) P 15.8  X  17.6  P  3  Z  3  0.997  99.7% Câu 2.19 Tuổi thọ X loại thiết bị điện tử biến ngẫu đ nhiên có phân bố với hàm mật độ 1 x  xe x  f  x   0 x  a) Tính P  X   P  X  X   b) Tính kỳ vọng phương sai X  a) P  X     4x e x 1đ dx  3e 2 P  X  X  2  P  X   3e 2 1   e P  X   2e 1 b) E (X)  4, EX  24, Var  X   Câu 2.20 Cho biến ngẫu nhiên X có hàm mật độ cx e2 x x  f  x   x  0 1  P x   2  1đ 2đ a Tìm c tính a) Tìm EX a) c  4; b) EX  1  P  X    0.0803 2  1đ 1đ Câu 2.21 Cho X biến ngẫu nhiên có hàm mật độ đ 4 x(1  x ) x  (0;1) f ( x)   x  (0;1) 0 a) Tính kỳ vọng độ lệch chuẩn X b) Tìm medX tính a) b) EX  4 x (1  x )dx  15 2 ; 1  P0  X   2  EX  4 x3 (1  x )dx  ; DX  11 225 ; X  11 15 với a nghiệm 2a  4a   Do 1/2 2 1   0.541 P   X     x(1  x )dx  2 16 medX  a  (0;1) medX    1đ 1đ Câu 2.22 Cho X biến ngẫu nhiên có hàm mật độ 2đ 12 x3 (1  x ) x  (0;1) f ( x)   x  (0;1) 0 a) Tính kỳ vọng phương sai X b) Tìm modX tính P   X  12    1 24 a) EX  12 x (1  x )dx  35 ; EX  12 x (1  x )dx   0.775 b) modX  ; ; DX  73 2450 1/ 1đ 1đ 1  P   X    12  x3 (1  x )dx   0.15625 2 32  Câu 2.23 Cho X biến ngẫu nhiên có hàm mật độ 2đ 12 x (1  x) x  (0;1) f ( x)   x  (0;1) 0 a) Tìm kỳ vọng độ lệch chuẩn X b) Tiến hành quan sát giá trị X Tính xác suất lần quan sát có hai lần X nhận giá trị nhỏ 12 a) EX  12 x (1  x)dx  35 ; EX  12 x (1  x )dx  0 1/2 b) P   X  12   12  x (1  x)dx  165 Do   ; DX   5 p  C52    16  Câu 2.24 Cho X biến ngẫu nhiên có hàm mật độ kx (1  x ) f ( x)   0 25 ; X   11     0.3173  16  1đ 1đ 2đ x  [0;1] x  [0;1] 10 1) Tìm số k, tính kỳ vọng phương sai X 2) Tìm hàm phân bố X tính P(0.5 < X< 1) 1đ k  20 EX   20 x (1  x)dx  F ( x)   x  DX  EX  ( EX )  63 P(0.5  X  1)  F (1)  F (0.5)  13 16 EX   20 x (1  x)dx  x  0  f (t )dt  5 x  x  x  1 x   10 21 1đ Câu 2.25 Qua nghiên cứu vùng trồng cam, người ta thấy đ số cam biến ngẫu nhiên có phân bố chuẩn Người ta đếm thử 600 thấy 15 có 20 quả, 30 có 25 a) Hãy ước lượng số cam trung bình b) Ước lượng tỷ lệ cam có từ 60 trở lên Biết rằng: u (0.05)  1.65; u (0.302)  0.52; u (0.025)  1.96; u (0.10)  1.28 a) Gọi X số cam Ta có X  N ( , ) đ  20    P( X  20)      0.025   (1.96)     25    P( X  25)      0.05   (1.65)    Do ta có hệ phương trình  20      1.96   25    1.65   Giải hệ ta có   51.61   16.13 Do trung bình cam có 51.61 b) P( X  60)     60     (0.52)  0.302 Do tỷ lệ có   1đ từ 60 trở lên chiếm khoảng 30.2% Câu 2.26 Một quan mua 15 máy tính, có 2đ máy không đạt chất lượng Phòng kinh doanh phân cho họ nhận cách ngẫu nhiên 11 đem Gọi  số máy tính đạt chất lượng mà phòng kinh doanh nhận a) Lập bảng phân phối xác suất  b) Tính xác suất để phòng kinh doanh nhận máy không đạt chất lượng biết có máy không đạt chất lượng P(  2)  C112 C44  0.011 C156 11 a) P(  4)  CC.C 15 P(  3)  C113 C43  0.132 C156 P(  5)  C115 C41  0.369 C156  0.396 1đ C116 P(  6)   0.092 C15 0.011  P 0.132 0.396 0.369 0.092 b) P(  |   5)  P( P(3  5) 5)  0.132  0.145 0.908 1đ Câu 2.27 Cho X biến ngẫu nhiên liên tục có hàm mật độ kx  f ( x)  k 0  2đ  x   x  x  [1;2] a) Xác định giá trị k Tính 4 1 P  X   3 2 b) Tính kì vọng phương sai biến ngẫu nhiên Y  3X  a) k  23 , P  12  X  34   32 1đ b) 1đ   11 EX   EY  3EX   DX  0.228  DY  DX  2.052 Câu 2.28 Cho X biến ngẫu nhiên có hàm phân bố xác suất 0 0.25 x  0.5  F ( x)   0.5 x  0.25 1 a) Tính 2đ x  2   x   x  1.5 1.5  x P({X  1}  { X  1.6}) Tìm hàm mật độ X 12 b) Tính kì vọng, phương sai biến ngẫu nhiên Y | X | a) P( X  1  X  1, 6)  P( X  1)  P( X  1, 6)  F (1)   F (1.6)  0.25 1đ 0.25,   x   f ( x)  0.5,  x  1.5 0, x  [-2;1.5]  b) EY  0.875, DY  0.38 Câu 2.29 Cho biến ngẫu nhiên rời rạc X có bảng phân phối xác suất X 10 P 0.05 0.19 0.20 0.25 0.12 0.10 x 0.08 y 0.01 a) Tìm giá trị x, y Từ tính P( X  6) b) Quan sát biến ngẫu nhiên X 20 lần độc lập điều kiện Tính xác suất để 20 lần có 17 lần X  Trung bình có lần X 6 ? a) x  y  0, P( X  6)  0.09 b) Gọi Y số lần X  20 lần quan sát 1đ 2đ 1đ 1đ P( X  6)  0.91 175 P(Y  17)  C20 0.9117 0.093  0.167 ; EY  20  0.91  18.2 lần Câu 2.30 Một thiết bị gồm phận hoạt động độc lập với 2đ nhau, xác suất khoảng thời gian t phận bị hỏng tương ứng 0.2; 0.3 0.25 Gọi  số phận bị hỏng khoảng thời gian t a) Tìm bảng phân phối xác suất  b) Tính kì vọng, phương sai  xác suất để khoảng thời gian t có phận bị hỏng biết có phận bị hỏng a) Gọi Ai: phận thứ i bị hỏng, i = 1, 2, 1đ 13 P(  0)  P( A1 A2 A3 )  0.8  0.7  0.75  0.42 P(  1)  P( A1 A2 A3  A1 A2 A3  A1 A2 A3 )  0.2  0.7  0.75  0.8  0.3  0.75  0.8  0.7  0.25  0.425 P(  2)  P ( A1 A2 A3  A1 A2 A3  A1 A2 A3 )  0.2  0.3  0.75  0.2  0.7  0.25  0.8  0.3  0.25  0.14 P(  3)  P ( A1 A2 A3 )  0.2  0.3  0.25  0.015 Bảng phân phối xác suất   P 0.42 0.425 0.14 0.015 1đ b) E  0.75, D  0.5575 ; P(  |   1)  P( P(2  1)  1)  0.14  0.24 0.58 Câu 2.31 Cho hai biến ngẫu nhiên độc lập  , có bảng phân phối xác suất   -1 -1 P 0,2 0,3 0,1 0,4 P 0,1 0,1 0,2 0,4 0,2 a) Lập bảng phân phối xác suất đồng thời cho  , b) Cho X    2 Tính EX , DX P( X  2) a) Bảng phân phối xác suất đồng thời  ,  -1 2đ 1đ  -1 0.02 0.02 0.04 0.03 0.03 0.06 0.01 0.01 0.02 0.04 0.04 0.08  E  E  1.6    6.4 b) EX DX  D  D  4.44   5.8  27.64 0.04 0.12 0.04 1.6 0.02 0.06 0.02 0.08 1đ Câu 2.32 Câu hỏi: Cho X, Y biến ngẫu nhiên có hàm mật động 2đ  x  3, x  y  x  đồng thời f ( x, y)  c0( x  y) nÕu tr¸ i l¹ i  a) Tìm c Tính xác suất b) Tính EX , DX c a) P  X  1, Y   , P 1  X   , 24 1đ P( X  1, Y  2)    x x 2 ( x  y )dxdy  0.104; P(1  X  2)   24  x ( x  y )dxdy  0.33 24 14 x2 b) EX   x  x x2 EX    1đ ( x  y )dxdy  1.875 24 x2 x ( x  y )dxdy  4.125  DX EX  (EX)2  0.609 24 Câu 2.33 Cho X, Y biến ngẫu nhiên có hàm mật động đồng thời f ( x, y)  ce  x, x  y 2đ 2 x  y 0 nÕu tr¸ i l¹ i a) Tìm c Tính xác suất P  X  2, Y   , P Y  3 b) Tính kì vọng, phương sai X c  15 a) 1đ 2 P( X  2, Y  2)    15e 2 x 3 y dxdy   e 10  e6  0.994 2 x  P(Y  3)    15e 2 x 3 y dxdy  0.00012   EX  b)   x15e 2 x  y dxdy  x   EX    x 15e 2 x  y 1đ  0.2 dxdy  x  0.08  DX=EX  (EX)2  0.04 25 Câu 2.34 Tuổi thọ (năm) bóng đèn biến ngẫu nhiên X 2đ có hàm mật độ kx (4  x) x  [0; 4] f ( x)   x  [0; 4]  a) Tìm số k tính tuổi thọ trung bình bóng đèn b) Tính xác suất tuổi thọ bóng đèn không năm a) Do  f ( x)dx  nên   kx (4  x)dx  k 643  k  643 Tuổi thọ 1đ   trung bình bóng đèn 12 EX   xf ( x)dx  643  x (4  x)dx  643 256  =2,4 (năm) 5   b) Xác suất tuổi thọ bóng đèn không năm 1đ 13  0, 051 P(0  X  1)   f ( x)dx  643  x (4  x)dx  256 1 0 Câu 2.35 ý 15 Một thùng hàng có sản phẩm cũ 10 sản phẩm 2đ Lấy ngẫu nhiên đồng thời sản phẩm Gọi X số sản phẩm sản phẩm lấy a) Lập bảng phân bố xác suất X b) Tính giá trị trung bình X xác suất có sản phẩm lấy a) Ta có bảng phân bố 1đ X 10 50 45 P 105 105 105 10 50 45 140 95 19 1đ b) EX   x p  0.105      ; P( X  1)  105 105 105 105 21 i i i 0 Câu 2.36 Tuổi thọ (năm) thiết bị biến ngẫu nhiên X có 2đ hàm mật độ kx (4  x) x  [0; 4] f ( x)   x  [0; 4]  a) Tìm k Tính tuổi thọ trung bình thiết bị b) Nhà sản xuất bảo hành thiết bị vòng năm Tính tỷ lệ số thiết bị bị hỏng thời gian bảo hành 15 a) Do  f ( x)dx  nên   kx (4  x)  1024 Tuổi thọ k  k  15 1024  1đ  trung bình thiết bị  15 16  2, 286 EX   xf ( x)dx  x (4  x)2   1024  (năm) b) Thiết bị bị hỏng thời gian bảo hành 1đ nghĩa tuổi thọ không năm Ta có 15 77 P( X  1)   f ( x)dx  x (4  x) dx   0, 0376  3, 76%  1024 2048 1 Câu 2.37 Độ bền (vạn km) loại lốp ô tô biến ngẫu nhiên X có hàm mật độ kx (6  x ) x  [0;6] f ( x)   x  [0; 6] 2đ  16 a) Tìm k Tính tỷ lệ số lốp có độ bền vạn km b) Tính độ bền trung bình loại lốp a) Do  f ( x)dx  nên   kx (6  x) dx  3888 Tỷ lệ k  k  3888  1đ  lốp có độ bền vạn km 6 P( X  4)   f ( x)dx  233 x (6  x)2 dx   0,3196  31,96%  3888 729 b) Độ bền trung bình lốp  EX   xf ( x)dx  3888  x  (6  x) dx  1đ 24  3, 43 (vạn km) Câu 2.38 Hàm mật độ biến ngẫu nhiên X có dạng ax (2  x) x  [0; 2] f ( x)   x  [0; 2] 2đ  a) Tìm số a tính P(0  X  1) b) Tính kỳ vọng phương sai X a) Do  f ( x)dx  nên   ax (2  x)dx  85 a  a  85  1đ  1 P(0  X  1)   f ( x)dx  b)  3 x (2  x)dx   80 16 EX   xf ( x)dx   x (2  x)dx  80  40   VX  EX  ( EX )     21   63 2  40 EX   x f ( x)dx   x (2  x)dx  80 21  2 1đ Câu 2.39 Khả chịu tải phân bố (tấn/m) loại dầm bê 2đ tông đúc sẵn biến ngẫu nhiên X có hàm mật độ  k( x  4)(8  x) x  [4;8] f ( x)   x  [4;8] 0 a) Tìm số k tính khả chịu tải phân bố trung bình loại dầm bê tông kể b) Tính tỷ lệ số dầm bê tông có khả chịu tải phân bố lớn tấn/m Người ta mua dầm bê tông thuộc loại Tính xác suất 17 có khả chịu tải phân bố lớn tấn/m   1đ a) Do  f ( x)dx  nên   k( x  4)(8  x)dx  k 32  k  32 Khả chịu tải phân bố trung bình loại dầm bê tông EX   xf ( x)dx   x( x  4)(8  x)dx  (tấn/m)   32 b) Tỷ lệ dầm bê tông có khả chịu tải phân bố lớn 1đ tấn/m 27 P( X  5)   f ( x)dx   ( x  4)(8  x)dx   84.375%  32 32 Xác suất dầm có khả chịu tải phân bố lớn tấn/m 3  27    27    27   0.9344  32   32   32  Câu 2.40 Tuổi thọ X loại đèn điện tử nhà máy sản xuất đại lượng ngẫu nhiên có phân bố chuẩn với đ trung bình   1500   150 Nếu thời gian sử dụng thực tế đạt 1200 nhà máy phải bảo hành miễn phí a) Tính tỷ lệ sản phẩm phải bảo hành miễn phí b) Nếu muốn tỷ lệ bảo hành miễn phí 1% nhà máy phải quy định thời gian bảo hành Cho biết: a) 0    0, 4772; 0  2,33  0,49; 0     0,5 1đ  1200  1500  P ( X  1200)               0,5  0, 4772  0,5  0,0228 150   b)Gọi t thời gian quy định bảo hành để tỷ lệ bảo hành 1% đ  t  1500   t  1500  P ( X  t )  0,01           0,01      0, 49  150   150  18  1500  t  2,33  t  1150,5 150 Câu 2.41 Thời gian hoạt động tốt X (không phải sửa chữa) loại tivi đại lượng ngẫu nhiên có phân bố chuẩn đ với trung bình 4000 độ lệch chuẩn 350 Giả thiết ngày người ta sử dụng trung bình 10 thời gian bảo hành năm (365 ngày) a) Tính tỷ lệ tivi phải bảo hành thời hạn b)Phải nâng chất lượng tivi cách tăng thời gian hoạt động tốt trung bình lên để tỷ lệ tivi phải bảo hành song thời gian bảo hành năm Cho biết: 0 11,42   0,3413; 0     0,5;  1  0,3413 a) Thời gian X  10 x365  3650 hoạt động (giờ) bảo hành là: đ Tỷ lệ phải bảo hành loại tivi là:  3650  4000  P ( X  3650)             1  0,5  0,3413  0,5  0,1587 350   b)Thời gian hoạt động trung bình a  7300  a   7300  a  P ( X  7300)               0,5  0,1587  350   350  7300  a  7300  a   0   1  a  7650   0,3413   (1)  350  350  đ Câu 2.42 Đường kính loại chi tiết máy sản xuất có phân phối chuẩn, kỳ vọng 20mm, phương sai (0,2 đ mm)2 Lấy ngẫu nhiên chi tiết máy Tính xác suất để: a) Có đường kính khoảng từ 19,9mm đến 19 20,3mm b) Có đường kính sai khác kỳ vọng không 0,3mm Cho biết: 0 (1,5)  0, 4332;  (0,5)  0,1915 a) Gọi X đường kính chi tiết lấy X  N(20; 0, 22 ) đ Ta có  19,  20 X  20 20,  20  P  P(19,  X  20, 3)  P    0, 0,   0, 20,  20 19,  20  0 ( )  0 ( )   (1,5)   ( 0,5)  0, 4332  0,1915  0, 6247 0, 0, 2 b) P  P  X  20  0,3  P 0,3  X  20  0,3  0,3 X  20 0,3   P      (1,5)   (1,5)  2 (1,5)  2.0, 4332  0,8664 0, 0,   0, Câu 2.43 Một nữ công nhân phụ trách máy dệt tự động Xác suất để máy 1, 2, cần đến điều chỉnh chị khoảng thời gian T tương ứng 0,1; 0,2; 0,2 Gọi X số máy cần điều chỉnh khoảng thời gian T Tìm phân bố xác suất X Đặt Ai biến cố máy thứ i cần điều chỉnh khoảng thời gian T, i = 1, 2, X số máy cần điều chỉnh khoảng thời gian T, X BNN rời rạc nhận giá trị 0, 1, 2, đ đ đ P(X  0)  P(A1 A A3 )  P(A1 )P(A )P(A3 )  0,9.0,8.0,8  0,576 P(X  1)  P(A1 A A3  A1A A3  A1 A A3 )  0,352 P(X  2)  P(A1A A3  A1 A 2A  A1A A3 )  0,068 P(X  3)  P(A1A A3 )  0,004 Bảng phân bố xác suất X X P 0,576 0,352 0.068 0,004 Câu 2.44 Cho véc tơ ngẫu nhiên (X,Y) có hàm mật độ 2đ 20 k  x  xy  , f  x, y    0,  x, y   D   0,3   0,1  x, y   D   0,3   0,1 a) Tính hàm phân bố đồng thời (X,Y) b) Hỏi X Y có độc lập hay không   a) Ta có   f  x, y  dxdy k     x  xy  dy  dx  dẫn đến R2 x 0  k 1đ y Hàm phân bố F  x, y     f  u, v  dudv - Nếu x  y  F  x, y   0  x  - Nếu    - y 1 x 1 x   x2 F  x, y       u  2uv  dv  du   1  2v  dv  udu  00 90  Nếu  x  0  y  F  x, y   - b) Nếu y y   1 u  uv dv du   v dv      udu   y  y       00 90  x   y 1 F  x, y   Hàm mật độ thành phần Nếu  x  , f  x     x  xy  dy  x  1  y  dy  x X 90 9 Nếu x  x  , fX  x   Nếu  y  1, fY  y   1 1 2y  x  xy  dx  1  y   xdx   90 Nếu y   y  , fY  y    Do X, Y độc lập 3 Câu 2.45 Cho véc tơ ngẫu nhiên (X,Y) có hàm mật độ   k x  3xy ,  f  x, y    0, 1đ 2đ  x, y   D   0,2    0,1  x, y   D   0,2    0,1 Tìm hệ số tương quan X, Y 21 - Tính k 2đ   14  k     x  3xy dy dx  k   x  x dx  k 00  - dẫn đến k 14 Tính EX 2   3 20 10 2 EX      x  3x y dy dx    x3  x dx   14  14 14  - Tính EX 2   3 52 78 EX      x  3x y dy dx    x  x3 dx   14  14 14 35  - Tính EY EY  - Tính 2    x 3x  17 17 x y  xy dy dx       dx     14  14   14 28  EX 2    x 3x  43 129 2 EX      x y  3xy dy dx     dx   14  14   14 18 252  - - Tính EXY 2    x3 3x  3 3 EY      x y  3x y dy dx     dx   14  14   14  10 17  28  X ,Y   0,667 2 78  10  129  17      35   252  28  Câu 2.46 Véc tơ ngẫu nhiên (X,Y) có hàm mật độ đồng thời   k x  y ,  f  x, y    0,   x, y   D   x, y  | 2đ   x, y   D   x, y  | x  1,  y   x  x  1,0  y   x 2 a) Xác định số k Tính kỳ X b) Tính xác suất P   X    - 2 Tính k 1đ  1 x  2   k     x  y dy dx  k   x 1  x   1  x  dx  k    1  1   dẫn đến k 22 Tính kỳ vọng -   EX     1 x   f  x, y dxdy     x  x  y dy dx  1     x2     dx   x 1  x   x  1    dẫn đến EX=0 (hàm lẻ) 2  1 x 1  P0  X     2 0      2 x  y dy dx    x  x   x  0       1đ 2 dx  79    x dx  20 256   Câu 2.47 Cho biến ngẫu nhiên liên tục X có hàm mật độ 2đ     a cos x, x    ,     f  x      0, x ,    2 a) Tìm hệ số a , tính xác suất để phép thử độc lập, có lần X nhận giá trị khoảng  0;    4 b) Tìm hàm phân bố F  x  X  a) Tính hệ số a:1   a cos  xdx  a dẫn đến  a 1đ  H: “X nhận giá trị    0;  ”  4 ,  PH   cos  xdx   2 4 Xác suất phép thử độc lập, có lần H xảy 23   2 PC    4  2   2     3  1    3  4    4  4 x b) 1đ Hàm phân bố F  x    f  t  dt  - Nếu x  , Nếu   x  : 2 x x 2  cos 2t 1   F  x    cos tdt   dt   x   sin x       2    - F  x  ; Nếu x  2 , F  x  Câu 2.48 Cho đại lượng ngẫu nhiên X có phân bố chuẩn với kỳ 2đ vọng   10 độ lệch tiểu chuẩn   a) Tính kỳ vọng, phương sai đại lượng ngẫu nhiên Y  X  10 b) Tính xác suất P   Z   với Z   X  1 21   23 Cho biết   0, 25  0, 0987 1đ EY  EX  10  10 , DY  DX  16 b)  1  1  23    21 P  Z    P     P  X 1    23  X  1 21  21    23    21  19  21   19  21  19  P  X    P  X     P  X   2 2 2     X  10    P     2  0, 25   0,1974 4  1đ Câu 2.49 Trong hộp có 10 sản phẩm có phẩm Lấy ngẫu nhiên từ hộp sản phẩm Gọi X đ số phẩm sản phẩm lấy a) Lập bảng phân bố xác suất X b) Tìm phân bố xác suất tính kỳ vọng X 24 a) X P C24 C10 b) 0 2 /  F(X)   10 / 1  15 C16C14 C10  15 C62 C10  15 x   x   x  x  Kỳ vọng EX  1đ    15 15 15 đ 25 [...]...  20 X  20 20 , 3  20  P  P(19, 9  X  20 , 3)  P    0, 2 0, 2   0, 2 20, 3  20 19, 9  20  0 ( )  0 ( )   0 (1,5)   0 ( 0,5)  0, 43 32  0,1915  0, 624 7 0, 2 0, 2 2 b) P  P  X  20  0,3  P 0,3  X  20  0,3  0,3 X  20 0,3   P      0 (1,5)   0 (1,5)  2 0 (1,5)  2. 0, 43 32  0,8664 0, 2 0, 2   0, 2 Câu 2. 43 Một nữ công nhân phụ trách 3 máy dệt tự động Xác. .. 1 1  23   1  21 P  Z    P     P  X 1    23 2  X  1 21  21  2   23  2   21  19  21   19  21  19  P  X    P  X     P  X   2 2 2  2  2  2  1 X  10 1   0  P     2 0  0, 25   0,1974 2 4  4 1đ Câu 2. 49 Trong một hộp có 10 sản phẩm trong đó có 6 chính 2 phẩm Lấy ngẫu nhiên từ hộp ra 2 sản phẩm Gọi X là đ số chính phẩm trong 2 sản...  2 a) Tính hệ số a:1   a cos  2 xdx  a dẫn đến  a 2 1đ  2 H: “X nhận giá trị trong    0;  ”  4 ,  PH   2 4 cos  0 2 xdx   2 4 Xác suất trong 3 phép thử độc lập, có 2 lần H xảy ra là 23   2 PC    4  2 2 3 2   2    2  3  2 1    3  4    4  4 x b) 1đ Hàm phân bố F  x    f  t  dt  - Nếu x  , 2 Nếu   x  : 2 2 x x 2 2 1  cos 2t 1... Tính EX 2 2 1 2  3  3 3 52 78 4 3 2 EX      x  3x y dy dx    x 4  x3 dx   14 0  0 14 0 14 5 35  2 - Tính EY EY  - Tính 2 1 2  3  3  x 2 3x  3 17 17 2 3 x y  3 xy dy dx       dx     14 0  0 14 0  2 4  14 6 28  EX 2 2 1 2  3  3  x 2 3x  3 43 129 2 2 3 EX      x y  3xy dy dx     dx   14 0  0 14 0  3 4  14 18 25 2  2 - - Tính EXY 2 1 2  3... y 2 2 x  3 y 0 nÕu tr¸ i l¹ i a) Tìm c Tính các xác suất P  X  2, Y  2  , P Y  3 b) Tính kì vọng, phương sai của X c  15 a) 1đ 2 2 3 5 P( X  2, Y  2)    15e 2 x 3 y dxdy  1  e 10  e6  0.994 2 2 0 x 2  P(Y  3)    15e 2 x 3 y dxdy  0.000 12 1 3   EX  b)   x15e 2 x  3 y dxdy  x 0   EX 2  2   x 15e 0 2 x  3 y 1đ 1  0 .2 5 dxdy  x 2  0.08  DX=EX 2. .. nÕu tr¸ i l¹ i  a) Tìm c Tính các xác suất b) Tính EX , DX c a) P  X  1, Y  2  , P 1  X  2  1 , 24 1đ 1 2 P( X  1, Y  2)    0 x 2 x 2 1 ( x  y )dxdy  0.104; P(1  X  2)   24 1  x 1 ( x  y )dxdy  0.33 24 14 3 x 2 b) EX   x  x 0 3 x 2 EX 2   0  1đ 1 ( x  y )dxdy  1.875 24 x2 x 1 ( x  y )dxdy  4. 125  DX EX 2  (EX )2  0.609 24 Câu 2. 33 Cho X, Y là các biến ngẫu nhiên... 1 5  P0  X     2 4 0    1  0 1 2  5 2 1 x 2  y dy dx    x 2 1  x 2  1  x 2  4 0 2       1đ 2 dx  5 1 79   1  x 4 dx  4 20 25 6   Câu 2. 47 Cho biến ngẫu nhiên liên tục X có hàm mật độ 2     2 a cos x, x    2 , 2     f  x      0, x ,    2 2 a) Tìm hệ số a , và tính xác suất để trong 3 phép thử độc lập, có 2 lần X nhận giá trị trong... A1 A2 A3 )  0 .2  0.3  0 .25  0.015 Bảng phân phối xác suất của   0 1 2 3 P 0. 42 0. 425 0.14 0.015 1đ b) E  0.75, D  0.5575 ; P(  2 |   1)  P( P( 2  1)  1)  0.14  0 .24 0.58 Câu 2. 31 Cho hai biến ngẫu nhiên độc lập  , có bảng phân phối xác suất   -1 0 2 4 -1 1 3 5 7 P 0 ,2 0,3 0,1 0,4 P 0,1 0,1 0 ,2 0,4 0 ,2 a) Lập bảng phân phối xác suất đồng thời cho  , b) Cho X    2 Tính... X b) Tính xác suất P  0  X  1   - 2 Tính k 1đ 2 1  1 x 2  2 1 4  1  k     x  y dy dx  k   x 2 1  x 2   1  x 2  dx  k   2 5  1  0 1   1 dẫn đến k 5 4 22 Tính kỳ vọng -   EX     2 1 1 x  5  f  x, y dxdy     x  x 2  y dy dx  4 1  0  2  1  x2    5  3 2 dx   x 1  x   x  4 1  2   1 dẫn đến EX=0 (hàm lẻ) 1 2 2  1 x 1... x    cos 2 tdt   dt   x   sin 2 x      2  2 2    2 - F  x  0 ; Nếu x  2 2 , F  x  1 Câu 2. 48 Cho đại lượng ngẫu nhiên X có phân bố chuẩn với kỳ 2 vọng   10 và độ lệch tiểu chuẩn   2 a) Tính kỳ vọng, phương sai của đại lượng ngẫu nhiên Y  2 X  10 b) Tính xác suất P  1  Z  1  với Z  1 2  X  1 21   23 Cho biết   0, 25   0, 0987 1đ EY  2 EX  10  10 ... 0. 42 P(  1)  P( A1 A2 A3  A1 A2 A3  A1 A2 A3 )  0 .2  0.7  0.75  0.8  0.3  0.75  0.8  0.7  0 .25  0. 425 P(  2)  P ( A1 A2 A3  A1 A2 A3  A1 A2 A3 )  0 .2  0.3  0.75  0 .2 ... EX   EY  3EX   DX  0 .22 8  DY  DX  2. 0 52 Câu 2. 28 Cho X biến ngẫu nhiên có hàm phân bố xác suất 0 0 .25 x  0.5  F ( x)   0.5 x  0 .25 1 a) Tính 2 x  2   x   x  1.5 1.5 ... (1,5)  0, 43 32;  (0,5)  0,1915 a) Gọi X đường kính chi tiết lấy X  N (20 ; 0, 22 ) đ Ta có  19,  20 X  20 20 ,  20  P  P(19,  X  20 , 3)  P    0, 0,   0, 20 ,  20 19,  20  0 (