Đề tài nghiệp vụ sư phạm: cao Phương trình bậc PHẦN I ĐẶT VẤN ĐỀ 1- LÝ DO CHỌN ĐỀ TÀI : Toán học môn khoa học tự nhiên có từ lâu đời Nó tồn phát triển với tồn phát triển xã hội loài người Từ 2000 năm trước công nguyên người Cổ đại biết cách giải phương trình bậc nhất, người cổ Babilon biết giải phương trình bậc hai dùng bảng đặc biệt để giải phương trình bậc ba Nhưng để giải phương trình bậc cao phải đến đầu kỷ 19, nhà Toán học Nauy Abet ( 1802 – 1829) chứng minh phương trình tổng quát bậc lớn bậc không để giải phương tiện tuý đại số Sau nhà toán học Pháp Galoa ( 1811 – 1832) giải cách trọn vẹn vấn đề phương trình đại số Sau nhiều năm giảng dạy môn Toán bậc trung học sở nhận thấy mảng giải phương trình bậc cao đưa sách giáo khoa lớp 8, khiêm tốn, nội dung sơ lược, mang tính chất giới thiệu khái quát, quỹ thời gian giành cho ỏi Bên cạnh nội dung tập ứng dụng phong phú, đa dạng phức tạp Các phương trình bậc cao nội dung thường gặp kỳ thi Bậc THCS, THPT đặc biệt kỳ thi tuyển sinh vào Đại học cao đẳng Xuất phát từ tầm quan trọng nội dung, tính phức tạp hóa gây nên trở ngại cho học sinh trình tiếp cận với phương trình bậc cao Cùng với tích luỹ kinh nghiệm có thân qua nhiều năm giảng dạy Kết hợp với kiến thức mà lĩnh hội chương trình Đại học Toán mà đặc biệt hướng dẫn tận tình thầy cô giáo Tôi mạnh dạn chọn đề tài “Những phương pháp giải phương trình bậc cao.” Qua đề tài, mong thân tìm hiểu sâu vấn đề này, tự phân loại số dạng toán giải phương trình bậc cao, nêu lên số phương pháp giải cho dạng tập Từ giúp học sinh dễ dàng việc giải phương trình bậc cao Qua nội dung hy vọng học sinh phát Người thực hiện: Tô Ngọc Sơn Đề tài nghiệp vụ sư phạm: cao Phương trình bậc huy khả phân tích, tổng hợp, khái quát hoá qua cá tập nhỏ Từ hình thành cho học sinh khả tư sáng tạo học tập - NHIỆM VỤ NGHIÊN CỨU : - Kỹ giải phương trình dạng : phương trình bậc ẩn, phương trình bậc hai, phương trình tích, phương trình trùng phương, phương trình đối xứng - Kỹ giải phương trình bậc cao quy bậc nhất, bậc hai dạng mà học sinh học 3- ĐỐI TƢỢNG NGHIÊN CỨU : - Học sinh lớp 8, trường THCS Bạch Long - Các phương pháp giải phương trình bậc cao đưa bậc nhất, bậc hai chương trình toán lớp 8, 4- PHƢƠNG PHÁP NGHIÊN CỨU : Tham khảo tài liệu, thu thập tài liệu, đúc rút, tổng kết kinh nghiệm, kiểm tra kết Dự giờ, kiểm tra chất lượng học sinh, nghiên cứu hồ sơ giảng dạy, điều tra trực tiếp thông qua học, thể nhiều đối tượng học sinh khác : Học sinh khá, giỏi học sinh trung bình môn Toán 5- PHẠM VI NGHIÊN CỨU : Giới hạn vấn đề giảng dạy phần phương trình bậc cao chương trình lớp 8, THCS ( cụ thể trường THCS Bạch Long) Người thực hiện: Tô Ngọc Sơn Đề tài nghiệp vụ sư phạm: cao Phương trình bậc PHẦN II : NỘI DUNG ĐỀ TÀI NGHIÊN CỨU I - CƠ SỞ LÝ LUẬN VÀ THỰC TIỄN : Để giải toán đòi hỏi người giải phải biết phân tích để khai thác hết giả thiết, điều kiện yêu cầu đề bài, thể loại toán để từ định hướng cách giải Đại phận học sinh không hiểu rõ quan trọng cần thiết việc phân tích nhận định hướng giải, nhiều em không học lý thuyết vận dụng ngay, không giải chán nản, bỏ không giải giở sách giải chép v.v Trong trình giảng dạy, đặc biệt dạy chương phương trình ta thấy dạng phương trình đa dạng phong phú, mà ta phải vận dụng nhiều kỹ biến đổi đại số sử dụng đẳng thức đáng nhớ số đẳng thức mở rộng, dùng phép biến đổi tương đương phép biến đổi đại số, phân tích đa thức thành nhân tử Công cụ giải phương trình đòi hỏi không cao xa, với kiến thức toán cấp hai đủ Cái quan trọng yêu cầu học sinh phải nắm vững kiến thức, phải có lập luận chặt chẽ, phải biết xét đầy đủ khía cạnh, trường hợp cụ thể vấn đề Đặc biệt yêu cầu học sinh khá, giỏi phải sáng tạo, linh hoạt giải phương trình, biết đặc biệt hoá tổng quát hoá vấn đề cần thiết Là giáo viên trình giảng dạy việc cung cấp kiến thức cho học sinh phải thực quy trình bước biến đổi, phải đảm bảo lôgíc, có hệ thống, không tự tiện cắt bỏ kiến thức để rèn cho em học sinh thói quen cẩn thận, kỹ giải tập hợp lôgíc toán học Việc giải phương trình bậc cao quy bậc nằm chương trình bậc ẩn phần cuối chương, vấn đề khó với em học sinh trung bình học sinh đại trà, số tiết dạy cho phần lại * Đối với giáo viên : Phải hệ thống khái niệm định nghĩa dạng phương trình, tính chất cách giải phương trình từ đơn giản đến phức tạp Nghiên cứu, tìm tòi, khai thác để tìm ứng dụng đa dạng, phong phú phương trình Mặt khác phải lựa chọn phương pháp thích hợp đối tượng học sinh, đồng thời nâng cao nghiệp vụ giáo viên Người thực hiện: Tô Ngọc Sơn Đề tài nghiệp vụ sư phạm: cao Phương trình bậc * Đối với học sinh : Nắm cách có hệ thống khái niệm, định nghĩa, phép biến đổi tương đương, tính chất hệ Từ phát triển khả tư duy, lôgíc cho người học Giúp cho học sinh có khả độc lập, suy diễn vận dụng, rèn trí thông minh cho học sinh Đồng thời cho học sinh thấy thuận tiện nhiều giải phương trình II- NHỮNG KIẾN THỨC CƠ BẢN TRONG GIẢI PHƢƠNG TRÌNH : 1- Các định nghĩa : 1.1 Định nghĩa phương trình : Giả sử A(x) = B(x) hai biểu thức chứa biến x Khi nói A(x) = B(x) phương trình, ta hiểu phải tìm giá trị x để giá trị tương ứng hai biểu thức Biến x gọi ẩn Giá trị tìm ẩn gọi nghiệm Việc tìm nghiệm gọi giải phương trình Mỗi biểu thức gọi vế phương 1.2 Định nghĩa phương trình bậc ẩn : Phương trình có dạng ax + b = 0, với a, b số; a 0 gọi phương trình bậc ẩn số, b gọi hạng tử tự 1.3 Tập xác định phương trình : Là tập hợp giá trị ẩn làm cho biểu thức phương trình có nghĩa 1.4 Định nghĩa hai phương trình tương đương : Hai phương trình gọi tương đương chúng có tập hợp nghiệm 1.5 Các phép biến đổi tương đương : Khi giải phương trình ta phải biến đổi phương trình cho thành phương trình tương đương với ( đơn giải hơn) Phép biến đổi gọi phép biến đổi tương đương 1.6 Định nghĩa phương trình bậc hai ẩn : Phương trình bậc hai ẩn số phương trình có dạng ax2 + bx + c = 0; x ẩn số; a, b, c hệ số cho; a  1.7 Định nghĩa phương trình bậc cao : Người thực hiện: Tô Ngọc Sơn Đề tài nghiệp vụ sư phạm: cao Phương trình bậc Ta gọi phương trình đại số bậc n trường số thực dạng phương trình đưa dạng : anxn + an-1xn-1 + + a1 + a0 = Trong n nguyên dương; x ẩn; a1, a2, a3, , an số thực xác định ( an  0) 2- Các định lý biến đổi tƣơng đƣơng phƣơng trình : a) Định lý : Nếu cộng đa thức ẩn vào hai vế phương trình phương trình tương đương với phương trình cho Ví dụ : 2x = 2x + 5x = +5x * Chú ý : Nếu cộng biểu thức chứa ẩn mẫu vào hai vế phương trình phương trình không tương đương với phương trình cho Ví dụ : x – (1) Không tương đương với phương trình x2 1  x2 x2 Vì x = nghiệm (1) không nghiệm (2) * Hệ 1: Nếu chuyển hạng tử từ vế sang vế phương trình phương trình tương đương với phương trình cho Ví dụ : 8x – = 2x + 8x – 2x = + * Hệ : Nếu xoá hai hạng tử giống hai vế phương trình phương trình tương đương với phương trình cho Ví dụ : -9 – 7x = ( x +3) – 7x -9 = x ( x + 3) * Chú ý : Nếu nhân hai vế phương trình với đa thức ẩn phương trình không tương đương với phương trình cho Người thực hiện: Tô Ngọc Sơn Đề tài nghiệp vụ sư phạm: cao Phương trình bậc III- MỘT SỐ CÁCH GIẢI PHƢƠNG TRÌNH BẬC CAO : A- Phƣơng hƣớng : Ở phổ thông không học phép giải tổng quát cho phương trình bậc ba, bậc bốn phương trình bậc phép giải tổng quát Tuy nhiên số trường hợp đặc biệt đưa phương trình cần giải phương trình bậc 1, bậc Ta phải dựa vào đặc thù phương trình cần giải để có phương pháp thích hợp Giải giảng dạy toán giải phương trình bậc cao quy bậc ẩn bậc hai nằm trình giải phương trình bậc nhất, bậc Nói chung bao gồm nhiều dạng phong phú nhà toán học sư phạm quan tâm đề cập tới nhiều tài liệu, tập san toán học v.v Căn vào mục đích ý nghĩa kết điều tra thực tế giảng dạy chương phương trình Trong trình giảng dạy, thân nghiên cứu, áp dụng lý luận trình dạy học, phương pháp đặc trưng môn, áp dụng kiến thức học để đưa phương trình bậc cao bậc nhất, bậc hai nhiều cách Các dạng phương trình bậc cao thường gặp phương trình trùng phương, phương trình đối xứng, phương trình thuận nghịch B- Các toán phƣơng pháp giải : 1- Phƣơng pháp đƣa phƣơng trình tích : 1.1 Áp dụng phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử : Để giải phương trình dạng trước hết ta phải nắm vững phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử cách đưa phương trình cho dạng tích f(x).g(x) h(x) = f(x) =0 g(x) = =0 h(x) = Vì tích phần tử Nghiệm phương trình cho tập hợp nghiệm phương trình : f(x) = 0; g(x) = 0; ; h(x) = Người thực hiện: Tô Ngọc Sơn Đề tài nghiệp vụ sư phạm: cao Phương trình bậc * Bài toán : Giải phương trình (x-1)3 + x3 + ( x+1)3 = (x+2)3 (1) (x-1)3 + x3 + ( x+1)3 = (x+2)3 Giải : x3 – 3x2 +3x – 1+ x3 + x3 + 3x2 + 3x + = x3 + 6x2 + 12x + x3 - 3x2 - 3x – x3 – – 3x2 – 3x – = (x-1) ( x2 + x+ 1) – (x2 + x + 1) = ( x2 + x + 1) ( x – 4) = =0 (2) Với học sinh lớp ta làm sau: Do x2 + x +  nên phương trình có nghiệp x – = x = Với học sinh lớp : (2) x2 + x + = x–4 =0 (*) (**) Giải phương trình (*) :  = – = -3 < nên (*) vô nghiệm Giải (**) : x = Vậy phương trình cho có nghiệm x = 1.2 Nhẩm nghiệm dùng lược đồ Hoócne để đưa phương trình tích * Lược đồ Hoócne : Nếu f(x) có nghiệm x = x0 f(x) chứa nhân tử ( x – x0) tức : f(x) = ( x – x0).g(x) Trong : f(x) = anxn + an -1xn -1 + + a1x + a0 = g(x) = bnxn + bn - 2xn - + + b1x + b0 = với : bn – = an bn – = x0bn – + an – bi – = x0b1 + b0 = x0b1 + a1 Ta có bảng sau ( Lược đồ Hoócne) xi an an - a1 a0 x0bn-1 x0b1 x0b1 x = x0 bn-1=an bn-2 b0 Việc nhẩm nghiệm phương trình dựa sở sau : Người thực hiện: Tô Ngọc Sơn Đề tài nghiệp vụ sư phạm: cao Phương trình bậc 1.2.1 Nếu đa thức có tổng hệ số nghiệm đa thức, đa thức chứa thừa số x –1 1.2.2 Nếu đa thức có tổng hệ số số hạng bậc chẵn tổng hệ số số hạng bậc lẻ -1 nghiệm đa thức, đa thức chứa thừa số ( x + 1) 1.2.3 Mọi nghiệm nguyên đa thức ước số hệ số tự a0 1.2.4 Mọi nghiệm hữu tỉ đa thức với hệ số nguyên : xn + an-1 xn-1 + + a1x + a0 = số nguyên * Bài toán : Giải phương trình : x4 + x3 – x – = (2) Nhận thấy : a4 + a3 + a2 + a1 + a0 = + + + (-1) + (-1) = Và : a4 + a2 + a0 = + + (-1) = a3 + a1 = + (-1) áp dụng mục 1.2.1 1.2.2 ta có nghiệm phương trình (2) : x1 = 1; x2= -1 Áp dụng lược đồ Hoócne ta có : xi a4 =1 a3 =1 a2 =0 a1=-1 a0=-1 x =1 2 x=-1 1 Phương tình (2) có dạng phân tích sau : (x-1) (x+1) (x2 + x + ) = Ta dễ dàng nhận thấy phương trình(2) có nghiệm : x1 = 1; x2 = -1 * Bài toán : Giải phương trình : x3 – 5x2 + 8x – 16 = (3) Ở toán ta áp dụng việc nhẩm nghiệm theo nhận xét 1.2.1 1.2.2 áp dụng nhận xét mục 1.2.3 1.2.4 ta có: Ư (4) { 1;  2;  3;  4;  8;  16} Kiểm tra thấy x = nghiệm Áp dụng lược đồ Hoocne ta đưa phương trình (3) dạng (x – 4) ( x2 – x + 4) = x – = x2 – x + = (*) (**) (*) x – = x = Người thực hiện: Tô Ngọc Sơn Đề tài nghiệp vụ sư phạm: cao Phương trình bậc (**) x2 – x + = ∆ = – 4.4 = – 16 = - 15 < => (**) vô nghiệm Vậy nghiệm pt (3) x = * Bài toán 4: Giải pt: 2x3 – 5x2 + 8x – = ( 4) Việc áp dụng nhận xét mục 1.2.1; 1.2.2 ; 1.2.3 giải vấn đề ( phương trình nghiệm nguyên) Ta nghĩ đến hội cuối phương trình có nghiệm hữu tỉ áp dụng nhận xét mục 1.2.4 (4) 8x3 – 20x2 + 32x – 12 = (2x)3 – (2x)2 + 16(2x) – 12 = Đặt y= 2x ta có: y3 - 5y2 + 16y – 12 = ( 4’) Nhận thấy: a3 + a2 + a1 + a0 = + ( -5) +16 + ( -12) = Áp dụng 1.2.1 ta có y = Áp dụng lược đồ Hoócne (4’) dạng ( y – 1) ( y2 – 4y + 12) = y–1=0 (*) y2 – 4y + 12 = (**) (*) y – = y = => x = 1/2 (**) y2 – 4y + 12 = vô nghiệm ( y – 2)2 + >  y Vậy phương trình ( 4) có nghiệm x = 1/2 1.2.5 Việc nhẩm nghiệm gặp nhiều khó khăn số hạng tạ a0 lớn có nhiều ước số Trong trường hợp ta áp dụng nhận xét sau để loại trừ bớt ước không nghiệm phương trình cách nhanh chóng - Nếu x0 nghiệm nguyên đa thức f(x) f(1)  0; f(-1)  f (1) f (1) giá trị nguyên x0  x0  *Bài toán : Giải phương trình : 4x3 – 13x2 + 9x – 18 = (0) Người thực hiện: Tô Ngọc Sơn Đề tài nghiệp vụ sư phạm: cao Giải : Phương trình bậc U(18) { 1, 2, 3, 6, 9, 18} Hiển nhiên –1, không nghiệm (5) =>f(1) 0, f(-1) 0 Ta thấy : f (1)  18   9  Z 1 f (`1)  44   11  Z 1 => Phương trình (5) có khả có nhiệm x1 = Áp dụng lược đồ Hoócne ta đưa (5) dạng sau : (x-3) ( 4x2 – x + ) = x – = (*) 4x2 – x + = (**) (*) x = (**) 4x2 – x = =  = (-1)2 – 4.4.6 < => (**) vô nghiệm Nên phương trình (5) có nghiệm : x = * Chú ý : - Việc nhẩm nghiệm phương trình nhẩm miệng dùng thuật toán chia đa thức cho đa thức để hạ bậc đưa phương trình dạng tích - Có thể dùng lược đồ Hoócne để xác định ước số a0 nghiệm, ước số không nghiệm đưa dạng phân tích VD : Xét phương trình : x3 – 5x2 – 8x - = (*) Ư(4) 1, 2, 4} Áp dụng lược đồ Hoócne ta có : x0 x =1 x=-1 a3 =1 1 a2 =-5 -4 -6 a1 =8 14 a0=-4 -18 x=2 -3 x = -2 -7 22 -48 x=4 -1 12 x = -4 -9 44 172 10 Người thực hiện: Tô Ngọc Sơn Đề tài nghiệp vụ sư phạm: cao Phương trình bậc Với t = -14: x2 + 7x + 12 = (**) (vì x  0)  = 49 – 48 = > => (**) có nghiệm x1 = 3; x2 = Vậy phương trình (1) có nghiệm : x = ; x = * Dạng 7: Phương trình có dạng d( x + a) (x + b) ( x + c) = mx Trong đó: d  abc ; m = (d – a)(d – b)(d – c) * Cách giải: Đặt ẩn phụ y = x + d, nghiệm phương trình y = * Nhận xét: Một số thiếu sót thường mắc biến đổi phương trình: - Khi chia vế cho đa thức phương trình f1(x)g(x) = f2(x)g(x) (1) thành f1(x) = f2(x) - Khử luỹ thừa bậc chẵn vế phương trình f2n(x) = g2n(x) (2) thành f(x) = g(x) Hai phép biến đổi làm nghiệm - Đối với phương trình đầu nên chuyển vế để đưa phương trình tích giải phương trình f1(x) = f2(x) - Đối với phương trình (2) giải phương trình f(x) = g(x) f(x) = -g(x) * Dạng : x3 + ax2 + bx + c = (Phương pháp giải với phương trình nghiệm hữu tỉ) + Cách giải : - Bước : Quy dạng y3 + py + q = cách đặt y = a/3 + x - Bước : Đặt y = u + v ( u+v)3 + p( u+v) + q = u3 + v3 + ( u + v) ( 3uv + p ) + q = Nên u v thoả mãn hệ phương trình : u3 + v = - q 3uv = - p u3 + v3 = - q u3v3 = - p3/27 17 Người thực hiện: Tô Ngọc Sơn Đề tài nghiệp vụ sư phạm: cao Phương trình bậc Sau áp dụng hệ thức Viét để tìm nghiệm u, v *Bài toán 14 : Giải phương trình : x3 + 9x2 + 18x + 28 = (*) Đặt y = x + a/3 = x + => x = y – (*) y3 – 9y + 28 = ( **) Đặt y = u + v (**) (u + v )3 – ( u + v) + 28 u3 + v3 + ( u + v) ( 3uv – 9) + 28 = ( ***) Nếu u, v thoả mãn phương trình( ***) u,v nghiệm hệ u3 + v3 = - 28 uv = u3 + v3 = - 28 u3v3 = 27 => u3, v3 nghiệm phương trình: X2 + 28X + 27 = => u3 = - 1; v3 = - 27 => u = - 1; v = - => y = u + v = - – = - mà x = y – => x = -7 Vậy phương trình (*) có nghiệm x = – Phƣơng pháp đƣa hai luỹ thừa bậc * Cách giải: Ta thêm bớt hạng tử để xuất đẳng thức thích hợp từ đưa hai vế phương trình luỹ thừa bậc Sau vận dụng đẳng thức học để giải phương trình *Chú ý: A2n = B2n A =  B A2n – = B2n – A = B *Bài toán 15: Giải phương trình x4 = 24x + 32 Giải: (1) Thêm 4x2 + vào vế (1) x4 + 4x + = 4x4 = 24x + 36 (x2 + 2)2 = ( 2x + 6)2 x   2x    x   ( x  6) (2) (3) 18 Người thực hiện: Tô Ngọc Sơn Đề tài nghiệp vụ sư phạm: cao Giải (2): Phương trình bậc x2 + = 2x + x2 – 2x – = ’ = + = > => phương trình có nghiệm x1 =  1 ; Giải (3): x2 =  1 x2 + = - 2x – x2 + 2x + = ’ = – = -7 < => phương trình vô nghiệm Vậy phương trình (1) có nghiệm : x1 =  1 ; x2 =  1 *Bài toán 16: Giải phương trình x4 + 8x2 – 8x + 17 = Giải: (1) (1) x4 - 8x2 + 16 + 16x2– 8x + = ( x2 – 4)2 + ( 4x – 1)2 = (2) Vì ( x  4)   (4 x  1)  x   Nên (2)  4 x    x  2   x  Vậy phương trình (1) vô nghiệm *Bài toán 17: Giải phương trình: x3 – x2 – x = (1) Giải : Nhân vế (1) với (1) 3x3 – 3x2 – 3x = 4x3 = x3 + 3x2 + 3x + (3 4.x)  ( x  1) x  x  (3  1).x  x  1 19 Người thực hiện: Tô Ngọc Sơn Đề tài nghiệp vụ sư phạm: cao Phương trình bậc Vậy nghiệm phương trình (1) là: x  1 – Phƣơng pháp dùng bất đẳng thức: * Cách giải: Dùng tính chất đơn điệu hàm số khoảng * Bài toán 18: Giải phương trình: x 8  x 9 1 (1) Giải: Viết phương trình dạng x 8  x 9 1 (1) Dễ thấy x = ; x = nghiệm (1) Xét giá trị lại x +) Với x <  x 1  x 1 x 8  Nên vế trái (1) lớn 1, (1) vô nghiệm +) Với x > x    x   9 x  Nên vế trái (1) lớn 1, (1) vô nghiệm +) Với < x < < x – < => x   x  < – x < =>  x   x Nên vế trái (1) nhỏ : x – + – x = ; ( 1) vô nghiệm Vậy (1) có nghiệm : x = ; x = – Phƣơng pháp dùng điều kiện dấu “ =” bất đẳng thức không chặt: * Bài toán 19: Giải phương trình x2  x 1  x2  x   Giải: Ta có x2 – x +  nên (1) (1) x2 – x – = – ( x2 – x +1) x2 – x – = – ( x2 – x - 2) Áp dụng bất đẳng thức A  - A xảy dấu “ =” với A  tức 20 Người thực hiện: Tô Ngọc Sơn Đề tài nghiệp vụ sư phạm: cao x2 – x –  Phương trình bậc ( x + 1) ( x – 2)  -  x  – Phƣơng pháp dùng hệ số bất định: Giả sử phương trình bậc 4: x4 + ax3 + bx2 + cx + d = có phân tích thành (x2 + a1x + b1) ( x2 + a2x + b2) = lúc ta có: a1  a  a a a  b  b  b  2  a b  a b  c  b1b2  d Tiếp theo tiến hành nhẩm tìm hệ số a1; b1; a2 ; b2 Bắt đầu từ b1b2 = d thử với giá trị nguyên *Bài toán 20: Giải phương trình: x4 - 4x3 - 10x2 + 37x - 14 = (1) Giả sử phương trình phân tích thành dạng: (x2 + a1x + b1) ( x2 + a2x + b2) = a1  a  4 a a  b  b  10  2  b1  2; b2  7; a1  5; a  Ta có: a b  a b  37   b1b2  14 Phương trình (1) có dạng (x2 - 5x + 2) ( x2 + x - 7) = Tiếp tục giải phương trình bậc hai: x2 - 5x + = x2 + x – = ta có nghiệm phương trình (1) : x1   17 ; x2   17 ; x3    29 ; x4    29 * Chú ý: Với phương pháp giải với phương trình nghiệm hữu tỷ 21 Người thực hiện: Tô Ngọc Sơn Đề tài nghiệp vụ sư phạm: cao Phương trình bậc PHẦN III KẾT LUẬN CHUNG Phương pháp dạy học người thầy để học sinh nắm bắt nội dung cần thiết trình nghệ thuật Để giúp em học sinh nắm bài, hiểu yêu môn học, có hứng thú học, say mê với tập khó Thì trình tích luỹ phương pháp giảng người thầy, không sớm chiều có mà phải trình rèn rũa, tìm tòi, đúc rút kinh nghiệm, nghiên cứu đối tượng làm cho học sinh yêu quý môn học khao khát học Dạy cho học sinh phương pháp tìm lời giải cho tập có ý nghĩa vô quan trọng Đòi hỏi người giáo viên phải say mê với nghề nghiệp, kiên trì, tận tuỵ với học sinh, tạo cho học sinh có thói quen tư khả lập luận Phương pháp giảng môn Toán bậc THCS môn đại số phần chương trình Bản thân đúc rút trình giảng dạy chừng mực vấn đề dạy học Phương pháp tìm lời giải cho tập thực có tác dụng giúp học sinh làm quen với phương pháp tư duy, phương pháp làm Tìm cách giải xác định rõ bước cần tiến hành theo trình tự lôgíc để hoàn thành giải Một số cách giải phương trình bậc cao đưa phương trình bậc bậc hai chương trình lớp 8, mà thân đúc rút trình giảng dạy Trong chừng mực vấn đề dạy học phương pháp tìm lời giải tập thực có tác dụng cho dạng tập giúp học sinh làm quen với phương pháp suy nghĩ, tìm tòi Giáo viên cần có yêu cầu cụ thể đối tượng học sinh, tăng cường công tác kiểm tra cũ, có biện pháp khích lệ cách giải hay, hạn chế tối đa cho học sinh tâm lý chán môn học, ỉ nại chờ giáo viên chữa tập Bản thân lần nghiên cứu đề tài này, trao đổi tham khảo, bàn bạc, xin ý kiến thầy cô trước thầy cô giáo dạy môn Toán nhà trường Song vấn đề mà toán có cách giải khác Bản thân kính mong thầy cô trước tạo điều kiện giúp đỡ tôi, đóng góp cho nhiều ý kiến hay bổ ích để tiếp tục giảng dạy cho em học sinh đạt kết cao suốt trình dạy học Xin chân thành cảm ơn! 22 Người thực hiện: Tô Ngọc Sơn Đề tài nghiệp vụ sư phạm: cao Phương trình bậc Tài liệu tham khảo – Sách giáo khoa đại số – Nhà xuất giáo dục – Sách giáo khoa đại số – Nhà xuất giáo dục – Chuyên đề bồi dưỡng học sinh giỏi toán – Võ Đại Mau, Võ Đại Hoài Đức – Một số phương pháp chọn lọc giải toán sơ cấp – Nhóm tác giả ( Phan Đức Chính, Phạm Văn Điều, Đỗ Văn Hà, Nguyễn Đình Trí) – Toán phát triển đại số – Vũ Hữu Bình – Toán phát triển đại số – Vũ Hữu Bình – Cách tìm lời giải cho toán THCS – Lê Hải Châu, Nguyễn Xuân Quỳ – Giáo trình thực hành giải toán – Đặng Đình Lăng, Nguyễn Hữu Túc - Ôn tập kiểm tra đại số – Vũ Hữu Bình, Tôn Thân 10 - Ôn tập kiểm tra đại số – Vũ Hữu Bình, Tôn Thân 23 Người thực hiện: Tô Ngọc Sơn Đề tài nghiệp vụ sư phạm: cao Phương trình bậc PHỤ LỤC PHẦN I : ĐẶT VẤN ĐỀ Lý chọn đề tài Nhiệm vụ nghiên cứu Đối tượng nghiên cứu Phương pháp nghiên cứu Phạm vi nghiên cứu PHẦN II : NỘI DUNG ĐỀ TÀI NGHIÊN CỨU I – Cơ sở lý luận thực tiễn II – Những kiến thức giải phƣơng trình III – Một số phƣơng pháp giải phƣơng trình bậc cao A – Phương hướng B – Các toán phương pháp giải * Tài liệu tham khảo 24 Người thực hiện: Tô Ngọc Sơn Đề tài nghiệp vụ sư phạm: cao Phương trình bậc THỂ NGHIỆM SƢ PHẠM Tiết 45: PHƢƠNG TRÌNH TÍCH A - Mục tiêu: + Học sinh cần nắm vững khái niệm phương pháp giải phương trình tích ( có hai hay ba nhân tử bậc nhất) + Ôn tập phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử, vận dụng giải phương trình tích B - Đồ dùng dạy học: SGK, SGV, SBT, thước thẳng, phấn màu C - Các hoạt động lớp I - Ổn định tổ chức ( 1’) II - Kiểm tra cũ ( 10’) Giáo viên nêu yêu cầu kiểm tra Hai HS lên bảng kiểm tra HS1: Chữa 24 (c) trang SBT HS1: Tìm giá trị x cho biểu thức Rút gọn : A = (x – 1) (x2 + x + 1) – 2x A B cho sau có giá trị A = x3 – – 2x A = ( x – 1) ( x2 + x + 1) – 2x B = x( x – 1) (x +1) B = x ( x – 1)( x + 1) B = x3 – x Giải phương trình : A = B x3 – – 2x = x3 – x x3 – – 2x - x3 + x = - x = x=-1 Với x = -1 A = B HS2: Chữa 25 9c) trang SBT 25 Người thực hiện: Tô Ngọc Sơn Đề tài nghiệp vụ sư phạm: cao Phương trình bậc Giải phương trình: HS2: Giải phương trình 2 x 1 x x 1   2001 2002 2003 2 x  1 x   x  1    1    1 2001  2002   2003   x  2001  x  2002  x  2003   2001 2002 2003 2003  x 2003  x 2003  x   2001 2002 2003 2003  x 2003  x 2003  x   0 2001 2002 2003 (2003  x). 1    0  2001 2002 2003  2003 – x = x = 2003 Tập nghiệm phương trình S = 2003 Giáo viên yêu cầu HS2 giải thích Từ phương trình: 1   (2003  x).   0  2001 2002 2003  lại có 2003 – x = 0? HS2 giải thích : Vì tích tích có thừa số có: 1      0  2001 2002 2003  nên thừa số 2003 –x = Giáo viên khẳng định giải thích đúng, tính chất phép nhân sở để giải phương trình tích HS lớp chữa 26 Người thực hiện: Tô Ngọc Sơn Đề tài nghiệp vụ sư phạm: cao Phương trình bậc II - Bài ( 30’) GV: Viết ví dụ lên bảng 1) Phương trình tích cách giải GV (hỏi): Một tích nào? VD1: Giải phương trình HS: Suy nghĩ, trả lời (2x – 3) (x + 1) =  x  2 x    GV ghi: ab = a = b =  x      x  1 với a b hai số GV yêu cầu HS thực ? SGK GV: Tương tự phương trình Vậy phương trình cho có hai nghiệm ( 2x – ) ( x + 1) = nào? x = 3/2 x = -1 HS: Suy nghĩ, trả lời GV ( hỏi): Phương trình cho có nghiệm? HS: Suy nghĩ, trả lời GV giới thiệu: Phương trình ta vừa xét phương trình tích GV (hỏi): Em hiểu phương trình tích? HS: Suy nghĩ, trả lời GV lưu ý HS: Trong này, ta xét phương trình mà hai vế hai biểu thức hữu tỉ không chứa ẩn mẫu Ta có: A(x) B(x) = A(x) = B(x) = Vậy muốn giải phương trình A(x) B(x) = ta phải giải phương trình A(x) = B(x) = lấy tất nghiệm chúng GV: Viết ví dụ lên bảng GV(hỏi): làm để đưa phương 27 Người thực hiện: Tô Ngọc Sơn Đề tài nghiệp vụ sư phạm: cao Phương trình bậc trình dạng tích? HS : Suy nghĩ trả lời GV: Hướng dẫn HS biến đổi phương trình - áp dụng Ví dụ 2: Giải phương trình (x +1)(x+4) = ( – x)( x+2) (x +1)(x+4) - ( – x)( x+2) = x2 + x + 4x + – 22 + x2 = 2x2 + 5x = x ( 2x + 5) = x = 2x + = x = x = -2,5 tập hợp nghiệm phương trình cho S = 0;2,5 GV cho HS đọc “ Nhận xét” trang 16 SGK HS đọc “ Nhận xét” trang 16 SGK GV yêu cầu HS làm ?3 ?3 Giải phương trình ( x – 1)( x2 + 3x – 2) – (x3 – 1) = HS lên bảng trình bày ( x – 1)( x2 + 3x – 2) – (x – 1)( x2 + x + GV: phát đẳng thức 1) = phương trình phân tích vế trái ( x – 1)( x2 + 3x – - x2 - x – 1) = thành nhân tử ( x – 1)( 2x – 3) = ( x – 1) = hoÆc 2x – = x = hoÆc x = 1,5 GV yêu cầu HS làm ví dụ Tập nghiệm phương trình S = 1;1,5 Giải phương trình VD3: Trình bày trang 16 SGK 2x = x + 2x – ?4 (x3 + x2) + (x2 + x) = ?4 HS lớp giải phương trình (x3 + x2) + (x2 + x) = 28 Người thực hiện: Tô Ngọc Sơn Đề tài nghiệp vụ sư phạm: cao 2HS lên bảng trình bày Phương trình bậc x2( x + 1) + x( x + 1) = x (x + 1) (x + 1) = x ( x + 1)2 = x = x + = x = x = -1 Tập nghiệm phương trình S = 0;1 GV nhận xét làm HS, nhắc nhở cách trình bày cho xác lưu ý học sinh : vế trài phương trình tích nhiều hai nhân tử, ta giải tương tự, cho nhân tử 0, lấy tất nghiệm chúng HS nhận xét, chữa GV : Gọi học sinh lên bảng HS1: Làm 21 (b,c) trang 17 SGK - Luyện tập: Giải phương trình Bài 21 ( b, c) b) ( 2,3x – 6,9)( 0,1x + 2) = Giải phương trình b) ( 2,3x – 6,9)( 0,1x + 2) = 2,3x  6,9   0,1x   x    x  20 c) ( 4x + 2) (x2 + 1) = S = 3;20 c) ( 4x + 2) (x2 + 1) = 4 x    x   x = - 0,5 HS2 : Làm 26(c) trang SBT S =  0,5 Giải phương trình Bài 26(c) SBT 29 Người thực hiện: Tô Ngọc Sơn Đề tài nghiệp vụ sư phạm: cao  2( x  3) x   (3x  2).  0   Phương trình bậc  2( x  3) x   (3x  2).  0   3x    2( x  3) x    0   x     x  17  GV nhận xét: 17  S=   ;  3  IV - Củng cố ( 3’) + Khi gặp phương trình f(x) g(x) h(x) = (1) ta phải giải phương trình sau: f(x) = g(x) = h(x) = Tất nghiệm phương trình f(x) = 0; g(x) = 0; ; h(x) = nghiệm phương trình (1) + Khi giải phương trình chứa ẩn mẫu, đưa đến việc giải phải xét xem giá trị tìm x có thuộc TXĐ không? V – Hướng dẫn nhà (1’) + Học theo SGK kết hợp ghi + Bài tập nhà số 21 (a, d); 22; 23 trang 17 SGK Bài số 26; 27; 28 trang SBT + Hỏi thêm: Khi phương trình tích f(x) g(x) h(x) = vô nghiệm ? Bạch Long, ngày tháng năm 200 XÁC NHẬN CỦA TỔ CHUYÊN MÔN T/M BAN GIÁM HIỆU 30 Người thực hiện: Tô Ngọc Sơn Đề tài nghiệp vụ sư phạm: cao Phương trình bậc 31 Người thực hiện: Tô Ngọc Sơn [...]... phạm: cao Phương trình bậc Nhận thấy x= 1 và x = 2 là nghiệm của phương trình (*) lúc đó (*) viết dưới dạng phương trình tích như sau : ( x – 1 ) ( x – 2) ( x – 2 ) = 0 2- Phƣơng pháp đặt ẩn phụ : - Phương pháp này thường được sử dụng với các dạng phương trình * Dạng 1 : Phương trình có dạng ax4 + bx2 + c = 0 ( a0) gọi là phương trình trùng phương + Cách giải : Đặt ẩn phụ y = x2 ( y 0) đưa về phương trình. .. phạm: cao x1  Phương trình bậc  5  3 1  4 2 ; x2  53  2 4 Vậy phương trình (1) có 2 nghiệm : x1 = -1/2 ; x2 = -2 * Dạng 5: Phương trình đối xứng bậc lẻ có dạng: a0x2n-1 + an-1x2n + + anxn -1 + anxn + .+ a1x + a0 = 0 Cách giải: Phương trình này bao giờ cũng có nghiệm x0 = -1 và khi chia 2 vế của phương trình cho ( x +1) ta được phương trình đối xứng bậc chẵn 2n * Bài toán 11: Giải phương trình. .. biến đổi phương trình: - Khi chia 2 vế cho một đa thức của phương trình f1(x)g(x) = f2(x)g(x) (1) thành f1(x) = f2(x) - Khử luỹ thừa bậc chẵn ở 2 vế của phương trình f2n(x) = g2n(x) (2) thành f(x) = g(x) Hai phép biến đổi này có thể làm mất nghiệm - Đối với phương trình đầu nên chuyển vế để đưa về phương trình tích hoặc giải phương trình f1(x) = f2(x) - Đối với phương trình (2) giải 2 phương trình f(x)... tượng nghiên cứu 4 Phương pháp nghiên cứu 5 Phạm vi nghiên cứu PHẦN II : NỘI DUNG ĐỀ TÀI NGHIÊN CỨU I – Cơ sở lý luận và thực tiễn II – Những kiến thức cơ bản trong giải phƣơng trình III – Một số phƣơng pháp giải phƣơng trình bậc cao A – Phương hướng B – Các bài toán và phương pháp giải * Tài liệu tham khảo 24 Người thực hiện: Tô Ngọc Sơn Đề tài nghiệp vụ sư phạm: cao Phương trình bậc THỂ NGHIỆM SƢ... trình tự lôgíc để hoàn thành bài giải Một số cách giải phương trình bậc cao đưa về phương trình bậc nhất và bậc hai trong chương trình lớp 8, 9 hiện nay mà bản thân tôi đã đúc rút trong quá trình giảng dạy Trong một chừng mực nào đó vấn đề dạy và học các phương pháp tìm lời giải các bài tập thực sự có tác dụng cho các dạng bài tập giúp học sinh làm quen với phương pháp suy nghĩ, tìm tòi Giáo viên cần... 0 Vậy muốn giải phương trình A(x) B(x) = 0 ta phải giải 2 phương trình A(x) = 0 và B(x) = 0 rồi lấy tất cả các nghiệm của chúng GV: Viết ví dụ 2 lên bảng GV(hỏi): làm thế nào để đưa phương 27 Người thực hiện: Tô Ngọc Sơn Đề tài nghiệp vụ sư phạm: cao Phương trình bậc trình trên về dạng tích? HS : Suy nghĩ và trả lời GV: Hướng dẫn HS biến đổi phương trình 2 - áp dụng Ví dụ 2: Giải phương trình (x +1)(x+4)... 0 ( Phương trình trùng phương) Đặt m = y ( m0) ta được phương trình m2 + 6m – 7 = 0 (8) Dùng phương pháp nhẩm nghiệm ( a+b+c = 0) (*) m1 = 1 (thoả mãn); m2 = -7 (loại) y2 = 1 => y1 = 1; y2 = -1 x+2=1 => x = -1 12 Người thực hiện: Tô Ngọc Sơn Đề tài nghiệp vụ sư phạm: cao x + 2 = -1 Phương trình bậc => x = -3 Vậy phương trình (1) có 2 nghiệm là : x = - 1; x = -3 Dạng 4: Phương trình đối xứng bậc. .. x2 + 4x + 4 = 0 x3,4 = - 2 Vậy phương trình ( 1) có 3 nghiệm : x1 =  2  10 ; x2 =  2  10 ; x3 = -2 * Dạng 3 : Phương trình dạng ( x + a)4 + ( x + b)4 = c + Cách giải :Ta đưa phương trình trên về dạng phương trình trùng phương bằng cách đặt y = x + ( a+b)/2 * Bài toán 9 : Giải phương trình : ( x + 1)4 + ( x +3)4 = 16 Giải : Đặt y = x + 2 ta được phương trình ( y-1)4 + ( y+1)4 = 16 2y4... khả năng lập luận Phương pháp giảng môn Toán của bậc THCS về môn đại số trong phần chương trình Bản thân tôi đã đúc rút được trong quá trình giảng dạy ở một chừng mực nào đó vấn đề dạy và học Phương pháp tìm lời giải cho các bài tập thực sự có tác dụng giúp học sinh làm quen với phương pháp tư duy, phương pháp làm bài Tìm cách giải trong đó xác định rõ các bước cần tiến hành theo một trình tự lôgíc để... đối với phương trình thì Vậy phương trình đã cho có hai nghiệm ( 2x – 3 ) ( x + 1) = 0 khi nào? x = 3/2 và x = -1 HS: Suy nghĩ, trả lời GV ( hỏi): Phương trình đã cho có mấy nghiệm? HS: Suy nghĩ, trả lời GV giới thiệu: Phương trình ta vừa xét là một phương trình tích GV (hỏi): Em hiểu thế nào là một phương trình tích? HS: Suy nghĩ, trả lời GV lưu ý HS: Trong bài này, ta chỉ xét các phương trình mà ... giải phương trình bậc 1, bậc Ta phải dựa vào đặc thù phương trình cần giải để có phương pháp thích hợp Giải giảng dạy toán giải phương trình bậc cao quy bậc ẩn bậc hai nằm trình giải phương trình. .. trình dạng : phương trình bậc ẩn, phương trình bậc hai, phương trình tích, phương trình trùng phương, phương trình đối xứng - Kỹ giải phương trình bậc cao quy bậc nhất, bậc hai dạng mà học sinh... quen với phương pháp tư duy, phương pháp làm Tìm cách giải xác định rõ bước cần tiến hành theo trình tự lôgíc để hoàn thành giải Một số cách giải phương trình bậc cao đưa phương trình bậc bậc hai