Đang tải... (xem toàn văn)
Chương 1 Giới hạn và hàm số liên tục 7 1.1 Số thực . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 1.1.1 Các khái niệm cơ bản về số hữu tỉ, số vô tỉ, số thực . . . 7 1.1.2 Các phép toán và tính thứ tự trên tập số thực . . . . . . 10 1.2 Giới hạn dãy số . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14 1.2.1 Các khái niệm và tính chất của dãy số hội tụ . . . . . . 14 1.2.2 Dãy đơn điệu, dãy bị chặn, dãy con, giới hạn riêng . . . 17 1.2.3 Các tiêu chuẩn và dấu hiệu hội tụ . . . . . . . . . . . . 21 1.2.4 Số e, Logarit tự nhiên, các giới hạn vô cùng . . . . . . . 23 1.3 Giới hạn của hàm số . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 1.3.1 Một số khái niệm về hàm số với biến số thực . . . . . . 27 1.3.2 Khái niệm và các tính chất cơ bản của giới hạn hàm số . 30 1.3.3 Giới hạn vô cùng, các đại lượng vô cùng lớn, vô cùng bé 35 1.3.4 Giới hạn một phía . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 1.4 Hàm số liên tục . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 1.4.1 Định nghĩa và tính chất . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 1.4.2 Tính chất của hàm số liên tục trên một đoạn, hàm số liên tục đều, định lý Cantor . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46 1.5 Bài tập chương I . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50 Chương 2 Phép tính vi phân của hàm số một biến số 57 2.1 Đạo hàm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57 3 4 Giải tích toán học 2.1.1 Các khái niệm cơ bản . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57 2.1.2 Các quy tắc tính đạo hàm. Đạo hàm của hàm số hợp, đạo hàm của hàm số ngược . . . . . . . . . . . . . . . . 60 2.2 Vi phân . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63 2.2.1 Định nghĩa vi phân, hàm số khả vi . . . . . . . . . . . . 63 2.2.2 Các quy tắc lấy vi phân, tính bất biến của vi phân cấp 1 64 2.2.3 Các định lý giá trị trung bình . . . . . . . . . . . . . . . 65 2.2.4 Đạo hàm và vi phân cấp cao, công thức Newton Leib nitz, khai triển Taylor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68 2.2.5 ứng dụng của phép tính vi phân . . . . . . . . . . . . . 72 2.3 Bài tập chương II . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79 Chương 3 Phép tính tích phân của hàm số một biến số 85 3.1 Tích phân không xác định . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85 3.1.1 Định nghĩa nguyên hàm và tích phân không xác định . . 85 3.1.2 Các tính chất cơ bản của tích phân không xác định . . . 86 3.1.3 Các phương pháp tính tích phân . . . . . . . . . . . . . 88 3.2 Tích phân xác định . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95 3.2.1 Định nghĩa tích phân xác điịnh, điều kiện khả tích . . . 95 3.2.2 Các lớp hàm khả tích và tính chất của tích phân xác định 96 3.2.3 Tích phân theo cận trên, công thức Newton Leibnitz . 101 3.2.4 Các phương pháp tính tích phân xác định. Tính gần đúng tích phân xác định . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103 3.2.5 ứng dụng tích phân xác định . . . . . . . . . . . . . . . 109 3.3 Tích phân suy rộng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113 3.3.1 Tích phân suy rộng loại 1 (Tích phân cận vô hạn) . . . . 113 3.3.2 Tích phân suy rộng loại 2 . . . . . . . . . . . . . . . . 119 3.4 Bài tập chương III . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 124
PHM QUANG TRèNH NGUYN NGC ANH NGUYN XUN HUY gIảI TíCH TOáN HọC TậP NH XUT BN I HC QUC GIA H NI ụ ụ ó số tụ ố tự ệ ề số ữ tỉ số tỉ số tự é t tí tứ tự tr t số tự số ệ tí t ủ số ộ tụ ệ ị r t ệ ộ tụ ố rt tự ù ủ số ột số ệ ề số ế số tự ệ tí t ủ số ù ợ ù ù é ột í số tụ ị ĩ tí t í t ủ số tụ tr ột số tụ ề ị ý tr t Pé tí ủ số ột ế số tí t ọ ệ q t tí ủ số ợ ủ số ợ ị ĩ số q t tí t ế ủ ị ý trị tr ì tứ t t trể r ứ ụ ủ é tí t Pé tí tí ủ số ột ế số ị ĩ tí ị tí t ủ tí ị tí tí í ị ị ĩ tí ị ề ệ tí tí tí t ủ tí ị í t tr tứ t t tí tí ị í ú í ị tí ị ứ ụ tí ị í s rộ í s rộ í í s rộ t ó ộ trì tí ọ t ợ s t tể t P rì s ễ s ễ ọ ự t trì tí ọ ợ ộ ộ ủ ộ ụ t t ị ù trờ ọ ứ t ợ ệ q t s trờ ệ ĩ tt ọ ộ trì ợ s t ị ọ ọ ù ợ tờ t ứ ọ ù ợ ố tợ s ệ ĩ tt t ột rõ ét ệ ụ ết q ý tết tờ ột tốt t tí ọ ủ ệ tố ế tứ tr trì ủ ộ trì ệ tố ế tứ ủ é tí é tí tí ủ số ột ế số ợ tệ tr số tụ Pé tí ủ số ột ế số Pé tí tí ủ số ột ế số t rt ố ợ ó ý qý ủ ệ ọ ể ộ s ợ tệ t tệ ộ s tớ ọ tí ọ số tụ ố tự ệ ề số ữ tỉ số tỉ số tự ợ ợ tử ủ t ợ ữ ệ ủ ọ ợ ị ĩ ợ t tr trì trờ ổ t í ụ t số tự N t số Z t ể ủ t ó ế t ợ t tờ q t ế q ệ tộ s P tử a tộ t ợ A ý ệ a A P tử b tộ t ợ A ý ệ b A b A ể t ột t ợ t tờ ù ột tr s ệt tt tử ủ t ợ ó ỉ rõ tí t tr ủ tt tử tộ t ợ ó í ụ A = {1, 2, 3, ã ã ã , 10}, B = {x|x N, x ết 2} số tụ t ợ A B ế ỗ tử ủ t ợ A ề tộ t ợ B tì t ó t A t ủ t B ý ệ A B ế A B tồ t tử a B a A tì t ó A t tự ủ B rỗ t ó tử ý ệ q t rỗ t ủ ọ t ợ í ệ ệ ề s r ệ ề ệ ề t ệ ề ý ệ C(t) = {x A|x ó tí t t} ó ế C(t) = A tì ọ tử ủ t A ề ó tí t t ó r ọ x A, x ó tí t t ết x A, t(x) ế C(t) = tì ó t ột tử ủ A ó tí t t ó r t tử x A, x ó tí t t ết x A, t(x) é t tr t ợ ủ t ợ A B = {x|x A x B} ợ ủ t ợ A B = {x|x A x B} P ù ủ t B tr t A CA B = {x|x A x B} í ủ t ợ A B t ợ A ì B = {(a, b)|a A, b B} ệ ủ ột trì ột t trì t tt trị ủ ế trì t trì ó trở t ệ ề ú t ợ E, F ột f từ t E ế t ợ F ý ệ f : E F ột q t t ứ ỗ tử tộ ố tự t E ột ỉ ột tử tộ t F E ợ ọ t F ọ t í P tử y F ứ tử x E ợ ọ ủ x q f ết y = f (x) f ọ ế ọ y F trì y = f (x) ó ề t ột ệ x E f ọ t ế ọ y F trì y = f (x) ó t ột ệ x E f ọ s ế ọ y F trì y = f (x) ó t ột ệ x E f tờ t í ụ f : N N n 2n ột f : {3, 2, 1, 0, 1, 2} {0, 1, 4, 9} n n2 ột t f : N N n n + ột s t A B ọ t ế tồ t ột s từ A ế B ọ t t t M = {1, 2, 3, ã ã ã , n} n ị ọ t ữ ọ t t t số tự N ọ t ế ợ ố ữ tỉ ết t số tự N é t tr ó r t số tự ét trì x + = x + = ễ t trì tứ t ó ệ x = ò trì tứ ệ ể ệ trì x + n = 0, n N t ổ s t N ể ợ t số Z = {0, 1, 2, 3, ã ã ã , } ó trì tứ ét ó ệ x = tr Z trì 3x + = tr Z ệ ó ể é trì t ax + b = t số tụ rộ Z t t số ữ tỉ Q = {x|x = m , m, n Z, n = 0, U CLN (m, n) = 1} n ú ý ễ t N Z Q r t ứ ợ r t ợ tr t t số t số ữ tỉ t ế ợ ố tỉ ét trì x2 = ó x = ỉ r số ữ tỉ m t sử ợ Q ó ó tể ết = n tr ó m, n N, n = 0, (m, n) = ó s r m2 = 2n2 m t m = 2p, p N t ợ nu = 2p2 n ó (m, n) = t ứ tỏ Q p ét ế m tể ể ễ ợ p, q q Z, q = tì m số ữ tỉ ọ ú số tỉ số tự ợ số ữ tỉ số tỉ ợ ọ t số tự ý ệ R é t tí tứ tự tr t số tự é t tr t số tự r R t é t ộ (+) (ì) Pé ộ + : R ì R R (a, b) a + b Pé ì : R ì R R (a, b) a ì b = a.b ó tí t s a, b, c R t ó Pé ộ é ó tí t a+b=b+a a.b = b.a ố tự Pé ộ é ó tí t ết ợ (a + b) + c = a + (b + c) (a.b).c = a.(b.c) Pé ó tí t ố ố é ộ a.(b + c) = a.b + a.c (a + b).c = a.c + b.c Pé ộ ó tử tr ò é ó tử tr ò a+0=0+a=a a.1 = 1.a = a ọ tử a R ề ó tử ố a ọ tử a R, a = ề ó tử ị a1 a + (a) = (a) + a = a.a1 = a1 a = ét tí t tr ó tể t R ù é t ộ t ột trờ ệ tứ tự tr t số tự r R t ự q ệ tứ tự tỏ tí t s P a a, a R P ố ứ a b, b a a = b, a, b R a b, b c a c, a, b, c R ó ó tể t a, b R r ột tr trờ ợ a b b a q ệ tr q ệ tứ tự t tr R é t ộ ó tí t tí q ệ tứ tự ét a b a + c b + c, a, b, c R a b a.c b.c, a, b, c R, c > a b a.c b.c, a, b, c R, c < ú ý ệ a b ũ ó tể ết b a rờ số tự R q ệ tứ tự tr t ột trờ s tứ tự trị tệt ố a R trị tệt ố ủ a ý ệ |a| í s rộ + |f (x)|dx f (x) số ị tr [a, +) sử ị í a + f (x)dx ũ ộ tụ ộ tụ tì a r trờ ợ t ó + f (x)dx ộ tụ tệt ố ế a + f (x)dx ộ tụ + + ộ tụ f (x)dx a a a ứ |f (x)|dx ỳ tì t ó t b F (b) = f (x)dx, b>a a ứ tồ t + lim F (b) t > b+ b |f (x)|dx ộ tụ t ó |f (x)|dx ộ tụ b a a tồ t M > s b1 , b2 > M + t b2 | |f (x)|dx| < b1 b2 | b2 |f (x)|dx| = b1 b2 |f (x)|dx | b1 t ó f (x)dx| b1 b2 | f (x)dx| < b1 ó b1 , b2 > M |F (b1 ) F (b2 )| < lim F (b) ị ý ợ ứ b+ ú ý tí b + f (x)dx, f (x)dx t ũ ó Pé tí tí ủ số ột ế số ị ý t tự í ụ ét ộ tụ ủ tí s + ex2 dx ó x2 ex < , x [1, +) x x t ết q í ụ trớ + ộ tụ t ị ý s s + x2 dx ó (1 x2 )5 1 dx ộ tụ tí x2 x2 dx + 1 x3 dx ộ tụ tí ộ tụ + 1 x2 dx = 10 (1 x ) x x3 + x2 dx ó x3 1 + x2 x3 x + dx ỳ tí ỳ x + ln x dx ù q t st t ễ ứ x2 ợ ln x lim = x+ x ln x ó tồ t M > ể x M tì < ó x + M ln x dx = x2 + ln x dx + x2 ln x dx x2 M í s rộ í tứ t tí ị ln x ét tí tứ t ó < x M x ln x < , x M x x2 tụ + M dx ộ tụ x2 + ln x x2 M dx ộ tụ tí ộ í s rộ sử f (x) ị tr [a, b] tết f (x) ị tí tr [a, b ] (0, b a) tí tr [b , b] lim f (x) = ể b ợ xb ọ ể ỳ ị t tờ ủ số f (x) ế tồ t ữ b lim f (x)dx a tì ợ ọ tí s rộ ủ f (x) tr [a, b] ó t ó b f (x)dx ộ tụ a b b f (x)dx = lim f (x)dx a a rờ ợ tí ộ tụ t ó ó ỳ tự ế f (x) ị tí tr ọ [a + , b] tí tr ọ [a, a + ] lim f (x) = xa+ t ị ĩ b b f (x)dx = lim a a+ f (x)dx Pé tí tí ủ số ột ế số rờ ợ f (x) ị t ể c (a, b) t ị ĩ b c f (x)dx = b f (x)dx + a a f (x)dx, c tí ế tr ộ tụ ỉ tí ế ộ tụ í ụ dx dx = lim = lim [arcsin(1 + )] = x2 1+ x2 1 ét tí ộ tụ ủ tí t a a x ế a tí ị rõ r ó ộ tụ ế a = t ó 1 = lim ln xa tr tồ t tí ỳ ế a = t ó 1 1a = lim xa a a > tí ỳ < a < tí ộ tụ tí ộ tụ a < ị í s s f (x), g(x) số tí tr (a, b] ó ể ỳ ị x = a sử f (x) g(x), x (a, b] ó b b g(x)dx ộ tụ tì ế a b f (x)dx ộ tụ a b f (x)dx ỳ tì ế a g(x)dx ỳ a ù í s rộ sử số f (x) g(x) tí tr (a, b] ù x = a tồ t ó ể ỳ ị lim+ xa f (x) = k, (0 < k < +) g(x) b b f (x)dx ó tí s rộ a g(x)dx ù ộ tụ ù a ỳ ứ ét r f (x) số tí tr (a, b] b ó ể ỳ ị f (x)dx tì F () ệ ị x = a ế t F () = a+ b ế ĩ t F () ộ tụ ề ó ề ệ ủ ể f (x)dx a ị tr t tự ị ý t ó ết ủ ị ý tr ệ q số f (x) g(x) số (a, b] tí tr + + f (x) = ế g(x)dx ộ tụ tì f (x)dx ộ tụ xa g(x) a a + + f (x) = + ế ế lim g(x)dx ỳ tì f (x)dx ũ xa+ g(x) a a ế lim+ ỳ ứ ứ t tự ệ q í ụ ét ộ tụ ủ tí s dx I = ễ t x = ể ỳ ị ó x2 1 x 4 1x 1x d(1 x) ộ tụ I ộ tụ 1x J = Pé tí tí ủ số ột ế số + ln(1 + x) dx ết xn + ln(1 + x) dx + xn J= ét J1 = ln(1 + x) dx xn ln(1 + x) dx t ó xn ln(1 + x) ln(1 + x) =1 n1 ì lim n x0 x x x ó J1 ộ tụ ỉ n < n < + ln(1 + x) dx ét J2 = xn + ế n t ó dx ỳ t n x ln(1 + x) dx > n dx, x n x x J2 ỳ ế n > ó ết n = m + , m > 1, > ln(1 + x) q t st lim = tồ t M > x+ x ln(1 + x) ể x M t ó tí ộ tụ + M dx ộ tụ ó xm + ln(1 M + x) dx xn í s rộ ó J2 ộ tụ ỉ n > tí ộ tụ ỉ < n < Pé tí tí ủ số ột ế số t í t ị í tí s (2x + 1)100 (x 1)2 dx 3/4 )x dx x2 cos4 xdx (1 x(arctan x)2 dx xdx + x2 cos x + cos5 x 11 dx sin2 x + sin4 x dx 13 x + a2 15 x2 x2 + 1dx 17 19 12 14 16 dx x2 dx x + 4x2 + 18 x5 20 í tí s xn ln xdx arcsin xdx x2 10 ex + dx ex + e3x + dx ex + dx (x + a)2 (x + b)2 dx (x + 1)(x + 2)2 cos4 x dx sin3 x dx x dx x a2 dx (x 1) x2 dx x +1 x2 dx (1 x)100 xn eax dx x ln(x + + x2 ) + x2 xn lnk xdx dx (x + a2 )2 ù tứ tr tí tí s 1.In = sinn xdx 2.In = tan2n xdx t í (1 + x)2 dx x x dx x x + 3dx (3x + 1)2 dx x x + 8x + x2 2x + 5dx 2x x2 dx dx x x2 2x + 10 x3 (1 5x2 )10 dx 12 arctan xdx dx 14 1+x 41+x dx (x + 1) x2 11 (x2 + 1)e3x dx 13 x5 (2 5x3 )2/3 dx 15 x2 dx x6 + dx x+1+ x+1 16 e5x sin2 xdx 17 cos(ln x)dx 1+ 4x 19 dx x+1 dx 21 2x 2x x2 23 dx x2 + x + 18 20 22 24 ln(sin x)dx sin x x dx x+1 3x + dx x2 + 6x xdx + x x2 í ị ù ị ĩ tí tí ị s (3x + 1)dx x3 dx cos 2xdx sin xdx í e | ln x|dx 1/e 2 f (x)dx f (x) = x 0x1 x 1 0) n k=0 an + kb n1 k lim n k=0 n2 lim lim f (x) số tụ tr [a, b] f (a + b x) = f (x) ứ r b a+b xf (x)dx = a ụ tí I = b f (x)dx a x cos2 x sin3 xdx f (x) tr [a, a], (a > 0) ứ r a a f (x)dx = bx + a ụ tí I = /2 cos2 xdx 2x + số f (x) tụ tr R ứ r a2 a x3 f (x2 )dx = xf (x)dx, ụ tí I = x3 sin(x2 )dx (a > 0) (b > 0) /2 f (x)dx, í ộ s y = ln cos x, x a (0 < a < /2) 1 y = x2 ln x, (1 x e) 3 y = x , ( x ) 2 x2/3 + y 2/3 = a2/3 , (a > 0) Pé tí tí ủ số ột ế số x = et cos t, y = et sin t, ( t 1) í ệ tí ề x2 y 2 + = a b x2 = 2py, y = 2px, (p > 0) y = x + 1, y = cos x, y = 0, (0 x ) y = x2 , x + y = 27 x2 y = , y= x +9 D ề y = 2px : x 2p í tể tí t tể trò ợ t t q q q q í tể tí t tể s r ề D y = 2x x2 ; y = q ề D y = sin x; y = 0; x q í tể tí ủ s x2 y z + + a2 b c í tể tí q ì E : x2 + y2 í s rộ í tí s rộ s + dx + ( > 1) x + dx e x ln x + xdx x3 + + dx x + + xdx x +8 e 0 + (1 + 2x e3x dx cos xdx + 2x)dx + 1) x2 (x t b a ét ộ tụ ủ tí s dx (b x)2 ln xdx x dx x e cos x + x3 ex dx 1 + x +1 dx x 1 ex dx x3 + sin xdx x x dx sin x e ứ r tí s ộ tụ ộ tụ tệt ố ộ tụ + sin xdx x + cos xdx x Pé tí tí ủ số ột ế số ệ t ễ ì rí ĩ ễ ỳ ọ t ụ ễ ì rí ĩ ễ ỳ ọ P ọ t ụ ễ ì rí ĩ ễ ỳ ọ t ụ í t ọ ố ộ P ọ í t ọ ố ộ ễ t ọ ố ộ ễ í trì ý tết t í trì ý tết t t ọ ố ộ ễ tí ọ t ọ ộ ễ tí ọ t ọ ộ [...]... ố ù ú ì 1 n 1+ = n n n(n 1) 1 n(n 1) (n 2) ã ã ã (n n + 1) 1 = 1+ + 2 + ããã + n n 2! n n! n 1 1 1 1 2 n1 = 1 + 1 + (1 ) + ã ã ã + (1 ) (1 ) ã ã ã (1 ) 2! n n! n n n 1 1 1 1 < 1 + 1 + + ã ã ã + n1 < 1 + 1 + + ããã + 2! n! 2 2 1 1 1 < 1 + 1 + + ã ã ã + n1 + ã ã ã = 1 + = 3 1 2 2 1 2 (1 + ớ số tụ ét tí ộ tụ ủ số {xn }n =1 s 1 1 1 xn = 1 + 2 + 2 + ã ã ã + 2 2 3 n 1 1 1 xn = 1 + + + ã... 1 + + + ããã + 2 3 2n 2 3 n 1 1 1 = + + ããã + n +1 n+2 2n 1 1 1 + + ããã 2n 2n 2n 1 = 2 |x2n xn | = 1 + số tr tỏ t ó ộ tụ ó ỳ rớ ết t t ớ ọ n N 1+ n ln 1 + 1 1 ln e (n + 1) 1 + n n 1 n n e 1+ 1 n n +1 1 1 1 ln (1 + ) n +1 n n ớ ủ số ừ ó số {xn }n =1 xn +1 xn = 1 1 1 ln(n + 1) + ln n = ln (1 + ) 0 n +1 n +1 n ữ {xn }n =1 ị ớ ì 1 1 1 + + ã ã ã + ln n 2 3 n 1 1 1 ln (1. .. 3 n 1 1 1 xn = 1 + + + ã ã ã + ln n 2 3 n sẽ sử ụ ệ ể ét tí ộ tụ ủ số t s ớ m, n tù ý m n t ó |xm xn | = = = = 1 1 1 1 1 1 + 2 + ããã + 2 1 + 2 + 2 + ããã + 2 2 2 3 m 2 3 n 1 1 1 + + ããã + 2 (n + 1) 2 (n + 2)2 m 1 1 1 + + ããã + n(n + 1) (n + 1) (n + 2) (m 1) m 1 1 1 1 1 1 + + ããã n n +1 n +1 n+2 m1 m 1 1 1 1 < < n > n0 = n m n 1+ t số tr ộ tụ ét m, n N, m = 2n t ó 1 1 1 1 1 1 +... 1 (1 + ) 1 n 1 n (1 + ) + 1 1 n +1 n (1 + )n n +1 n xn +1 xn ữ sử ụ trể ị tứ t t ó 1 1 1 + Cn2 1n2 ( )2 + ã ã ã + Cnn ( )n n n n 1 1 = 2 + Cn2 1n2 ( )2 + ã ã ã + Cnn ( )n n n xn = Cn0 1n + Cn1 1n1 ó xn 2, n 1 ể ứ {xn } ị tr ở 3 trớ ết t ỉ r 1 1 k1 , k 2 k n 2 t ế tr ủ t tứ tr ợ ế ổ s Cnk Cnk 1 nk n! k!(n k)!nk nk+1nk+2 n1 n = ããã 2n 3n kn 1. n 11 1 ã ã ã 1 22 2 1 = k1 2 = ớ số... = 1 sử a > 1 ó n a > 1 a = [1 + ( n a 1) ]n = 1 + n( n a 1) + ã ã ã + ( n a 1) n > n( n a 1) a ừ ó s r 0 < n a 1 < ó n a 1 n n 1 1 ế 0 < a < 1 tì > 1 t ứ tr n 1 a a n ó 1 1 lim n a = lim = =1 n n n 1 n 1 lim n a a 1 lim = 0 n n n! n n rớ ết t ứ r n! > 3 t ớ n = 1 t tứ ú sử t tứ ú ớ n tì ớ n + 1 t ó (n + 1) ! = n!(n + 1) > = n +1 3 n +1 3 n 3 > n (n + 1) n +1 3 n +1 1 n... 1) + ã ã ã + (xn 1) x1 x1 = lim [1 + (x + 1) + ã ã ã + (xn1 + xn2 + ã ã ã + 1) ] = lim x1 = 1 + 2 + 3 + ããã + n = m n(n 1) 2 x + 1 n x + 1 í lim , (m, n N {0}) x0 x 0 ớ ó 0 rớ ết ét m x + 1 1 I = lim x0 x ớ ủ số t y = m yn 1 y1 = I = lim n y1 y 1 n x + 1 t ó x = ét ớ m ( m x + 1 1) ( n x + 1 1) x + 1 n x + 1 lim = lim x0 x0 x x m n x + 1 1 x + 1 1 = lim x0 x x ... , 0., 1 , 00 , 0 ọ ú 0 ị ể tì ớ ó ử ợ ị ột số é ế ổ số é ế ổ ớ s ệt ì ớ s 2 lim ( n + n n) ó ột số í ụ n ( n2 + n n)( n2 + n + n) lim n n2 + n + n n = lim 2 n n +n+n 1 1 = lim = n 2 1 1+ +1 n lim ( n2 + n n) = n ớ số tụ 1 1 1 + + ããã + 1. 2 2.3 n.(n + 1) lim n ễ t 1 1 1 = n.(n + 1) n n +1 ó 1 1 1 + + ããã + n 1. 2 2.3 n.(n + 1) 1 1 1 1 1 1 = lim + + ããã + n 1 2 2... 2 3 n n +1 1 = 1 = lim 1 n n +1 n lim ( 2 4 2 8 2 ã ã ã 2 2) lim n ó 4 8 2n lim ( 2 2 2 ã ã ã 2) n = = 1 1 1 1 lim 2 2 + 4 + 8 +ããã+ 2n n 1 lim 21 2n = 2 n nk , (a > 1) n an sử m số m k ó lim 0< nm nk = an an ó 0< = < n m an m = n bn m , (b = m a > 1) n n = n b (1 + (b 1) )n n n(n 1) 1 + n(b 1) + (b 1) 2 + ã ã ã + (b 1) n 2 2n 2 = 0, n 2 n(n 1) (b 1) (n 1) (b 1) 2 ớ... 1 x) ớ x ể tứ ợ lim ( 3 x3 + x2 1 x) x ( 3 x3 + x2 1 x) ( 3 x3 + x2 1) 2 + x 3 x3 + x2 1 + x2 = lim x ( 3 x3 + x2 1) 2 + x 3 x3 + x2 1 + x2 x2 1 = lim x ( 3 x3 + x2 1) 2 + x 3 x3 + x2 1 + x2 1 1 2 x = lim x 2 1 1 1 1 3 1+ 2 + 3 1+ 2 +1 x x x x 1 = 3 sin x lim = 1 x0 x t ớ x ( , + ) t ó 0 < | sin x| < |x| < | tan x| ừ 2 2 ó s r x 1 1< < sin x cos x sin x cos x < < 1. .. x = 1 t ị ý x0 x sin x lim = 1 x0 x ớ số tụ 12 + 32 + ã ã ã + (2n 1) 2 n 22 + 42 + ã ã ã + (2n)2 í lim ử ụ tứ 12 + 22 + ã ã ã + n2 = n(n + 1) (2n + 1) t ó 6 22 + 42 + ã ã ã + (2n)2 = 4 (12 + 22 + ã ã ã + n2 ) = 12 + 22 + ã ã ã + (2n)2 = 2n(n + 1) (2n + 1) 3 n(2n + 1) (4n + 1) 3 rừ tứ t ó 12 + 32 + ã ã ã + (2n 1) 2 = n(4n2 1) 3 n(4n2 1) 12 + 32 + ã ã ã + (2n 1) 2 = lim = 1 lim n 2n(n + 1) (2n