chơng Lấy mẫu tín hiệu 4.0 Nhập đề Các tín hiệu thời gian- rời rạc phát sinh nhiều cách, nhng hay gặp nhất, chúng xuất nh biểu diễn tín hiệu thời gian-liên tục đợc lấy mẫu Đáng ý rằng, dới điều kiện ràng buộc hợp lý, tín hiệu thời gian-liên tục hoàn toàn đợc biểu diễn cách xác mẫu đợc lấy điểm gián đoạn trục thời gian Trong chơng này, thảo luận chi tiết trình lấy mẫu tuần hoàn , bao gồm tợng chồng phổ xảy tín hiệu không bị giới hạn dải tốc độ lấy mẫu thấp Điều đặc biệt quan trọng việc xử lý tín hiệu thời gian-liên tục đợc thực thi qua trình lấy mẫu, qua xử lý thời gian-rời rạc khôi phục tín hiệu thời gian-liên tục 4.1.Sự lấy mẫu tuần hoàn Mặc dù khả khác tồn ( xem Steiglitz, 1965; Oppenheim Johnson, 1972), phơng pháp điển hình để thu đợc biểu diễn thời gian-rời rạc tín hiệu thời gian-liên tục qua lấy mẫu tuần hoàn, dãy mẫu x[n], thu đợc từ tín hiệu thời gian- liên tục xc(t) theo hệ thức x[n] = xc(nT), - < n < (4.1) Trong phơng trình (4.1), T chu kỳ lấy mẫu , nghịch đảo , f c = 1/T tần số lấy mẫu, số mẫu giây xc(t) =xc(nT) C/D x[n] T Hình 4.1 Biểu diễn giản đồ khối chuyển đổi liên tục- rời rạc (C/D) Chúng ta biểu diễn tần số lấy mẫu nh s = 2/T muốn sử dụng tần số radian giây Chúng ta coi hệ thống thực thi phép toấn đợc mô tả phơng trình (4.1) nh chuyển đổi liên tục- rời rạc lý tởng ta vẽ giản đồ khối nh hình 4.1 Nh ví dụ mối quan hệ xc(t) x[n], hình 2.2, minh họa dạng sóng tín hiệu tiếng nói thời gian-liên tục dãy mẫu tơng ứng Bộ chuyển đổi C/D s(t) xung thời gian xc(t) x[n]=xc(nT) 183 X Chuyển đổi dãy xs(t) tới dãy rời rạc (a) T=T1 T=2T1 xc(t) xc(t) xs(t) -2T T T 2T -2T -3 -2 -1 n (c) T 2T (b) x[n] x[n] -T xs(t) -2 -1 n Hình 4.2 Sự lấy mẫu với dãy xung tuần hoàn tiếp sau chuyển đổi thành thời gian-rời rạc (a) Hệ thống tổng thể (b) x s(t) với hai tốc độ lấy mẫu (c) Dãy lối cho hai tốc độ lấy mẫu khác Trong thực tế, phép lấy mẫu đợc thực thi chuyển đổi tơng tự-số (A/D) Các hệ thống nh đợc xem gần với (A/D) lý tởng Các khảo sát quan trọng việc thực thi lựa chọn chuyển đổi (A/D) bao gồm lợng tử hóa mẫu lối ra, tính chất tuyến tính bớc lấy mẫu, cần thiết cho mạch lấy mẫu trì ( sample- and-hold), hạn chế tốc độ lấy mẫu Hiệu ứng lợng tử hóa đợc thảo luận phần 4.8.2 4.8.3 Các xuất phát điểm thực tế khác chuyển đổi (A/D) liên quan đến mạch điện tử ; nội dung vợt phạm vi sách Phép lấy mẫu, nói chung không thuận nghịch, tức cho lối x[n], nói chung, khôi phục lại đợc xc(t), lối vào tới lấy mẫu , có nhiều tín hiệu thời gian-liên tục tạo dãy mẫu lối nh Sự mơ hồ việc lấy mẫu xuất phát điểm xử lý tín hiệu May mắn thay, làm tính không rõ ràng cách giới hạn lại tín hiệu lối vào, cách hữu hiệu nhất, điều đợc tiến hành lấy mẫu Để thuận tiện việc trình bầy, phơng diện toán học lấy mẫu đợc thực hai tầng nh đợc vẽ hình 4.2(a) Các tầng gồm điều chế dãy xung tiếp đến chuyển đổi dãy xung thành dãy số Hình 4.2(b) tín hiệu thời gian-liên tục x c(t) kết lấy mẫu dãy xung với hai tốc độ lấy mẫu khác Hình 4.2(c) vẽ hai dãy lối tơng ứng Sự khác chủ yếu xs(t) x[n] chỗ xs(t) ý nghĩa tín hiệu thời gian-liên tục (đặc biệt đoàn xung) không ngoại trừ chỗ 184 số nguyên lần T Nói cách khác dãy x[n] đợc đánh số biến số nguyên n, mà hiệu chuẩn hóa thời gian; tức dãy số x[n] không chứa cách tờng minh thông tin tốc độ lấy mẫu Hơn nữa, mẫu xc(t) đợc biểu diễn số hữu hạn x[n] diện tích xung , nh với xs(t) Điều quan trọng cần nhấn mạnh hình 4.2(a) mô tả biểu diễn toán học chặt chẽ thuận lợi cho việc hiểu biết lấy mẫu lĩnh vực thời gian lẫn lĩnh vực tần số Đó biểu diễn đóng kín mạch hay hệ thống vật lý đợc thiết kế để thực thi phép lấy mẫu Có mẫu phần cứng đợc xây dựng để tiếp cận với giản đồ khối hình 4.2(a) xuất phát điểm thứ hai điểm Chúng ta đa vào biểu diễn phép lấy mẫu đa đợc kết then chốt cách đơn giản, cách tiếp cận đa đến nhiều kiến thức quan trọng mà kiến thức khó thu đợc từ dẫn xuất mang tính chất hình thức dựa việc vận hành công thức biến đổi Fourier 4.2 Biểu diễn lấy mẫu lĩnh vực tần số Để đa hệ thức lĩnh vực tần số tín hiệu lối vào lối chuyển đổi C/D, trớc tiên xét chuyển đổi từ x c(t) tới xs(t) qua điều chế dãy xung tuần hoàn s(t) = (t-nT) (4.2) n = (t) hàm xung đơn vị, hàm Đen-ta Dirac Chúng ta điều chế s(t) với xc(t), thu đợc xs(t) = xc(t)s(t) = xc(t) (t-nT) (4.3) n = Qua tính chất dịch chuyển hàm xung, xs(t) đợc biểu thị nh sau xs(t) = xc(n)() n = (4.4) Bây xét biến đổi Fourier x s(t) Vì , từ phơng trình 4.3, xs(t) tích xc(t) s(t), nên biến đổi Fourier x s(t) nhân chập cảc biến đổi Fourier X(j) S(j) Biến đổi Fourier dãy xung tuần hoàn dãy xung tuần hoàn( Oppenheim Willsky, 1997) Đặc biệt, S(j) = (4.5) ( k s ) T k = Ơ s = 2/ tần số lấy mẫu đo radian/s Vì Xs(j) = (1/2)Xc(j)*S(j) * ký hiệu phép nhân chập biến số liên tục, từ suy Xs(j) = (4.6) X c (j( k s )) T k = Phơng trình (4.6) cho ta biết mối quan hệ biến đổi-z lối vào lối điều chế dãy xung hình 4.2(a) Từ phơng trình (4.6) thấy biến đổi Fourier xs(t) biến đổi Fourier x c(t) đợc lặp lại cách tuần hoàn Các X c (j) bị dịch chuyễn số nguyên lần tần số lấy mẫu sau đợc cộng lại với để tạo nên biến đổi Fourier tuần hoàn dãy xung mẫu Hình 4.3 vẽ biểu diễn lĩnh vực tần số lấy mẫu dãy xung Hình 4.3(a) biểu diễn biến đổi Fourier bị 185 giới hạn dải có thành phần tần số khác không lớn X c (j) N Hình 4.3(b) dãy xung tuần hoàn S(j), hình 4.3(c) cho thấy Xs (j), kết nhân chập Xc (j) với S(j) Từ hình 4.3(c), thấy rõ s - N > N , S > N (4.7) phiên Xc(j) không bị chồng phủ, đó, chúng đợc cộng vào với phơng trình (4.6), giữ (trong phạm vi hệ số định mức t/T) phiên Xc (j) vị trí số nguyên lần s Vì thế, xc(t) đợc khôi phục lại từ xs(t) với mạch lọc thông thấp lý tởng Điều đợc vẽ hình 4.4(a), điều chế dãy xung nối tiếp sau hệ thống tuyến tính bất biến với thời gian có đáp ứng tần số Hr(j) Với Xc(j) nh hình 4.4(b), Xs(j) phải có dạng nh hình 4.4(c), giả thiết s > 2N (t nT ) s(t)= n = Vì Xr(j) = Hr(j)Xs(j) (4.8) Nên suy Hr(j) mạch lọc thông thấp lý tởng với hệ số khuyếch đại T tần số cắt c thỏa mãn N < c < ( s - N) (4.9) Xr (j) = XC (j) (4.10) Nh đợc vẽ hình 4.4(e) XC(j) N (a) S(j) -N 2/ -2s -2s -s - s s (b) Xs(j) 1/T -N N (c) 186 s 2s 2s Xs(j) 1/T s-N s (d) 2s Hình Hệ lĩnh vực tần số lấy mẫu vực thời gian (a) Phổ tín hiệu gốc,(b) Phổ hàm lấy mẫu,(c) Phổ tín hiệu đợc lấy mẫu với s>2N , (d) Phổ tín hiệu đợc lấy mẫu với s < 2N lĩnh s(t)= (t nT) n = xc(t) x xs(t) Hr (j) xr(t) (a) (b) X(j) C N -N Xc(j) (c) -s N -N s Hr(j) -c c Xr(j) -N 187 N (d) (e) Hình 4.4 Sự khôi phục xác tín hiệu thời gian-liên tục từ mẫu mạch lọc thông thấp lý tởng Nếu bất phơng trình (4.7) không đợc trì ; tức s 2N, Xc(j) chồng phủ lên nhau, có nghĩa chúng bị cộng vào với nhau, Xc(j) khôi phục lại đợc mạch lọc thông thấp Điều đợc minh họa hình 4.3(d) Trong trờng hợp này, tín hiệu lối đợc Xc(j) a) -0 < Xs(j) = T T b) T -s s s Xs(j) > T s = T T s Xr(j) chồng phổ < T Xr(j) có chồng phổ 188 > -(0) cosin T (0) Hình 4.5 Tác động chồng phổ lấy mẫu tín hiệu khôi phục lại xr(t) hình 4.4(a) để trở tín hiệu lối vào thời gian liên tục gốc bị biến dạng, tợng gọi biến dạng chồng phổ , hay đơn giản gọi chồng phổ Hình 4.5 minh họa chồng phổ lĩnh vực tần số trờng hợp đơn giản tín hiệu cosine Hình 4.5(a) biến đỏi Fourier tín hiệu xc(t) = cosot (4.11) Hình 4.5(b) biến đổi Fourier xs(t) với o < s/2, hình 4.5(c) biến đổi Fourier xs(t) với o > s/2 Hình 4.5)d) (e) tơng ứng với biến đổi Fourier lối mạch lọc thông thấp đối vói o < s /2 = / o > / T , tơng ứng , với c = s/ Hình 4.5(c) (e) tơng ứng với trờng hợp chồng phổ Nếu chồng phổ, tín hiệu lối đợc khôi phục lại xr(t) = cosot, (4.12) Với chồng phổ, tín hiệu lối đợc xây dựng lại xr(t) = cos(s - 0t) (4.13) Tức là, tín hiệu tần số cao cosot nhận dạng ( chồng phổ) tín hiệu tần số thấp cos(s - o)t nh hệ lấy mẫu khôi phục lại Thảo luận sở cho định lý lấy mẫu Nyquist ( Nyquist 1928; Shannon, 1949 ), phát biểu nh sau: Định lý lấy mẫu Nyquist : Giả sử xc(t) tín hiệu bị giới hạn giải với Xc(j) = với || N (4.14a) xc(t) đợc xác định cách mẫu x[n] = x c(nT), n = 0, 1, 2, , s = 2N (4.14b) T Tần số N thờng đợc gọi tần số Nyquist , tần số 2N phải vợt tần số lấy mmẫu đợc gọi tốc độ Nyquist Đến đây, xét điều chế dãy xung hình 4.2(a) Đối tợng lúc biểu thị X(e j), biến đổi Fourier dãy x[n], theo số hạng Xs(ej) Xc(ej) Để kết thúc phần này, xét biểu diễn khác Xs(j) áp dụng biến đổi Fourier thời gian- liên tục cho phơng trình (4.4), thu đợc: Xs(ej) = Vì x n = c ( nT )e jTn x[n] = xc(nT) 189 (4.15) (4.16) X(ej) = x[ n]e jn (4.17) suy Xs(j) = X(ej)|= = X(ej) (4.18) Do đó, từ phơng trình (4.6) (4.18) ta đợc: X(ej) = X c ( j( k s )), (4.19) T hay tơng đơng với k X c ( j ) X(ej) = (4.20) T k = T T Từ phơng trình (4.18)- (4.20), thấy X(ej) đơn phiên định mức tần số Xs(j) với chia thang tần số đợc xác định = Việc chia thang xem nh chuẩn hóa trục tần số để cho tần số = s biểu thức Xs(j) đợc chuẩn hóa thành = biểu thức X(ej) Thực tế có việc chia thang chuẩn hóa tần số phép biến đổi từ Xs(j) đến X(ej) liên quan trực tiếp với thực tế có chuẩn hóa thời gian phép biến đổi từ x s(t) đến x[n] Đặc biệt, nh thấy hình 4.2, xs(t) giữ lại khoảng không mẫu chu kỳ lấy mẫu T Trái lại "khoảng cách" giá trị dãy x[n] lại luôn đơn vị Có nghĩa trục thời gian đợc chuẩn hóa thừa số T Tơng ứng nh vậy, lĩnh vực tần số, trục tần số đợc chuẩn hóa hệ số fs= 1/ T Ví dụ 4.1 Lấy mẫu khôi phục lại tín hiệu hình sin Nếu lấy mẫu tín hiệu thời gian - rời rạc x c(t) = cos(4000t) với chu kỳ lấy mẫu T = 1/ 6000, thu đợc x[n] = xc(nT) = cos(4000Tn) = cos(0n), = 400T = 2/3 Trong trờng hợp này, s = 2/ = 12000, tần số cao tín hiệu = 4000, nh điều kiện định lý lấy mẫu Nyquist đợc thỏa mãn chồng phổ Biến đổi Fourier xc(t) Xc (j) = (400) + ( + 4000), hình 4.6(a) Xs(j) = X c ( j( s )) T (4.21) với s = 12 000 Chú ý Xc (j) cặp xung = 4000, thấy bị dịch chuyển biến đổi Fourier có tâm s , 2, Đồ thị X(ej) = Xs(j/T) hàm số tần số chuẩn hóa = cho hình 4.6(b), sử dụng thực tế chia thang biến độc lập xung thang chia diện tích chúng, có nghĩa (/) = () Chú ý tần gốc = 4000 tơng ứng với tần số chuẩn hóa = 4000 = 2/3, thỏa mãn bất đẳng thức < , tơng ứng với thực tế 190 = 4000 < / = 6000 Hình 4.6(a) cho thấy đáp ứng tần số mạch lọc khôi phục lý tởng Hr(j) tốc độ lấy mẫu cho s = 12.000 Từ hình vẽ cho thấy tín hiệu cần đợc khôi phục lại phải có tần số = 4000; Đó tần số tín hiệu gốc xc(t) Xs(j) T /T -16000 8000 4000 4000 8000 (a) 16000 X(ej)= Xs(j/) -8/3 4/3 2/3 (b) 2/3 4/3 8/3 Hình 4.6 Các biến đổi Fourier thời gián - liên tục a), thời gian - rời rạc (b) tín hiệu đợc lấy mẫu với tần số 0=4000 chu kỳ lấy mẫu T=1/6000 Ví dụ 4.2 Sự chồng phổ khôi phục lại tín hiệu đợc lấy mẫu dới mức Bây giả thiết tín hiệu thời gian - liên tục x c(t) = cos(16.000t), nhng chu kỳ lấy mẫu T = 1/ 6000, nh ví dụ 4.1 Chu kỳ lấy mẫu không thỏa mãn tiêu chuẩn Nyquist, s = 2/ = 12.000 < 20 = 32.000 Do đó, hy vọng nhìn thấy chồng phổ Bây thấy kết lý thú Biến đổi Fourier Xs(j) trờng hợp hoàn toàn giống nh hình 4.6(a) Tuy nhiên, xung định xứ = 4000 xuất phát từ Xc(j( s)) (4.21) không phảitừ Xc(j) xung = 4000 từ Xc(j( + s)) Nếu vẽ đồ thị X(ej) = Xs(j / ) hàm số thu đợc kết nh vẽ hình 4.6(b), chuẩn hóa chu kỳ lấy mẫu Lý điều dãy mẫu hai trờng hợp nh nhau; Tức là: cos(16.000n / 6000) = cos( 2n + 4000n / 6000) = cos( 2n/ 3) 191 ( Chú ý cộng thêm số nguyên lần vào đối số hàm cos không làm thay đổi giá trị ) Vì thu đợc dãy mẫu, x[n] = cos(2/ 3), cách lấy mẫu hai tín hiệu thời gian - rời rạc khác với tần số lấy mẫu Trong trờng hợp thỏa mãn tiêu chuẩn Nyquist, trờng hợp khác không Cũng nh trớc đây, hình 4.6(a) đáp ứng tần số mạch lọc khôi phục lý tởng Hr(j) tốc độ lấy mẫu cho s = 12.000 Từ hình vẽ thấy rõ tín hiệu đợc khôi phục lại phải có tần số = 4000, tần số tín hiệu gốc xc(t) Xs(j) T / -4000 2000 1000 1000 2000 4000 (a) X(ej)=Xs(j/) 8/3 4/3 2/3 2/3 4/3 8/3 (b) Hình 4.7 Tín hiệu cos tần số 0=4000 đợc lấy mẫu với chu kỳ lấy mẫu T=1/1500 (a) thời gian-liên tục, (b) thời gian-rời rạc Ví dụ 4.3 Ví dụ thứ hai chồng phổ Đây ví dụ cuối cùng, giả thiết tín hiệu x c(t) = cos(4000t), nh lấy ví dụ 4.1; có nghĩa tần số lại = 4000 Tuy nhiên, chu kỳ lấy mẫu đợc tăng lên tới T = 1/ 1500 Hơn nữa, chu kỳ lấy mẫu không thỏa mãn tiêu chuẩn Nyquist, s = 2/ = 3000 < 20 = 8000 Do đó, hy vọng lại thấy chồng phổ Hình 4.7(a) đồ thị Xs(j) cho trờng hợp Lần xung định xứ = 1000 từ XC(j( s)), xung = 1000là từ XC(j( + s)) Vẽ X(ej) = Xs(j / ) nh hàm số thu đợc đồ thị 192 gắn với hệ thống phức tạp hệ thống nhận dạng, nói chung, tiến hành phần tích lĩnh vực tần số Nếu hệ thống phi tuyến thay đổi với thời gian, thờng khó thu đợc hệ thức tổng quát biến đổi Fourier lối vào lối hệ thống ( Trong toán 4.33, xét ví dụ hệ thống cho hình 4.11 hệ thống thời gian-rời rạc phi tuyến) Tuy nhiên, trờng hợp tuyến tính bất biến với thời gian đa đến kết đơn giản hơn, nhng lại hữu ích 4.4.1 Các hệ thống thời gian-rời rạc tuyến tính bất biến với thời gian Nếu hệ thống thời gian-rời rạc hình 4.11 tuyến tính bất biến với thời gian, có: Y(ej) = H(ej)X(ej) (4.33) H(ej) đáp ứng tần số hệ thống hoặc, tơng đơng, biến đổi Fourier đáp ứng mẫu đơn vị, X(e j) Y(ej) biến đổi Fourier lối vào lối ra, tơng ứng Phối hợp phơng trình (4.32) (4.33), nhận đợc Yr(j) = r(j)H(ej)X(ej) (4.34) Tiếp theo, sử dụng phơng trình (4.30) với = , ta có Yr ( j) = H r ( j)H(e jT ) T X c j( k = k ) T (4.35) Nếu Xc(j) = với || /T, mạch lọc khôi phục thông thấp lý tởng Hr(j) làm thừa số 1/ T lựa chọn số hạng phơng trình (4.35) với k = 0; tức : H(e jT )X c ( j), Yr ( j) = 0, | |< / T | | / T (4.36) Vì thế, Xc(j) bị giới hạn dải tốc độ lấy mẫu lớn tốc độ Nyquist, lối liên hệ với lối vào qua phơng trình dạng: Yr(j) = Heff(j)Xc(j) (3.37) H(e jT ), | |< / T Heff(j) = | | / T 0, (4.38) Có nghĩa hệ thống thời gian- liên tục tổng thể tơng đơng với hệ thống tuyến tính bất biến với thời gian mà đáp ứng tần số hiệu dụng đợc cho phơng trình (4.38) 199 Điều quan trọng cần nhấn mạnh tính chất tuyến tính bất biến với thời gian hệ thống cho hình 4.11 phụ thuộc vào hai nhân tố Thứ là, hệ thống thời gian-rời rạc phải tuyến tính bất biến với thời gian Thứ hai là, tín hiệu lối vào phải đợc giới hạn dải, tốc độ lấy mẫu phải đủ cao để cho thành phần bị chồng phổ bị loại bỏ hệ thống thời gian- rời rạc Nh minh họa đơn giản cho điều kiện thứ hai bị vi phạm , xét trờng hợp xc(t) xung đơn biên độ đơn vị có chiều dài nhỏ chu kỳ lấy mẫu Nếu xung đơn vị t = 0, x[n] = [n] Tuy nhiên, rõ ràng dịch chuyển xung cho không thẳng hàng với thời gian lấy mẫu ; tức x[n] = với n Hiển nhiên, xung nh vậy, bị giới hạn phơng diện thời gian, nhng lại không bị giới hạn dải Thậm chí hệ thống thời gian-rời rạc hệ thống đồng , nghĩa y[n] = x[n] , hệ thống tổng thể không bất biến với thời gian Trong trờng hợp tổng quát, hệ thống thời gian-rời rạc hình 4.11 tuyến tính bất biến với thời gian, tần số lấy mẫu lớn tần số Nyquist liên quan với độ rộng dải lối vào x c(t), hệ thống tổng thể tơng đơng với hệ thống thời gian-liên tục tuyến tính bất biến với thời gian có đáp ứng tần số hiệu dụng cho phơng trình (4.38) Hơn nữa, phơng trình (4.38) giá trị có số chồng phổ xảy chuyển đổi C/D, chừng mà H(ej) không cho qua thành phần bị chồng phổ Ví dụ 4.4 minh họa đơn giản cho điều Ví dụ 4.4 Sự lọc thông thấp thời gian-liên tục lý tởng cách sử dụng mạch lọc thông thấp thời gian-rời rạc Xét hình 4.11, với hệ thống thời gian-rời rạc tuyến tính bất biến với thời gian có đáp ứng tần số 1, | |< c H ( e j ) = 0, c c | | > c / T (4.40) Nh hình 4.12(b), đáp ứng tần số hiệu dụng đáp ứng tần số mạch lọc thông thấp lý tởng với tần số cắt c = c/ T Khi giải thích kết này, khảo sát minh họa đồ thị cho hình 4.13 Hình 4.13(a) thị biến đổi Fourier tín hiệu giới hạn dải Hình 4.13(b) cho thấy biến đổi Fourier dãy xung bị điều chế trung gian, đồng với X(ej), biến đổi Fourier thời gian-rời rạc dãy mẫu đợc đánh giá = Trong hình 4.13(c) biến đổi Fourier thời gian-rời rạc dãy mẫu đáp ứng tần số hệ thống thời gian-rời rạc , hai đợc vẽ nh hàm số biến số tần số thời gian -rời rạc đợc chuẩn hóa Hình 4.13(d) Y(ej) = H(ej)X(ej), biến đổi Fourier lối hệ thống thời gian-rời rạc Hình 4.13(e) minh họa biến đổi Fourier lối hệ thống thời gian-rời rạc nh hàm số tần số thời gian-liên tục , với đáp ứng tần số mạch lọc khoi phục lý tởng Hr(j)của chuyển đổi D/ C Cuối , hình 4.13(f) biến đổi Fourier kết lối chuyển đổi C/D So sánh hình 4.13(a) với hình 4.13(f) , thấy hệ thống có tính chất nh hệ thống tuyến tính bất biến với thời gian với đáp ứng tần số đợc cho phơng trình (4.40) đợc vẽ hình 4.12(b) Nhiều điểm quan trọng đợc minh họa ví dụ 4.4 Thứ nhất, lu ý mạch lọc thông thấp thời gian -rời rạc với tần số cắt thời gian- rời rạc c có hiệu ứng mạch lọc thông thấp lý tởng với tần số cắt c = c/T sử dụng cấu hình hình 4.11 Tần số cắt phụ thuộc vào c lẫn T Đặc biệt, việc sử dụng mạch lọc thông thấp thời gian - rời rạc cố định, nhng lại thay đổi chu kỳ lấy mẫu T, mạch lọc thông thấp thời gian - liên tục vói tần số cắt biến đổi đợc thực Chẳng hạn, T chọn cho < c, lối hệ thống hình 4.11 y r(t) = xc(t) Cũng nh vậy, nh đợc minh họa toán 4.25, phơng trình (4.40) có giá trị có chồng phổ đợc biểu diễn hình 4.13(b) (c), mà thành phần biến dạng ( chồng phổ) bị loại bỏ mạch lọc H(e j) Đặc biệt, từ hình 4.13(c) , thấy để chồng phổ biểu thị lối , phải có điều kiện ( NT) > c (4.41) ( NT) > NT (4.42) so sánh với yêu cầu Nyquist 202 Nh ví dụ khác xử lý thời gian-liên tục sử dụng hệ thống thời gian-rời rạc, xét thực thi vi phân lý tởng cho tín hiệu giới hạn dải Ví dụ 4.5 Sự thực thi thời gian- rời rạc vi phân lý tởng thời gian-liên tục bị giới hạn dải Hệ thống vi phân thời gian-liên tục lý tởng đợc định nghĩa d [x c (t )] dt yc(t) = (4.43) với đáp ứng tần số tơng ứng (4.44) Hc(j) = j Bởi xét thực hệ thống dới dạng nh hình 4.11, nên lối bị giới hạn dải Để xử lý tín hiệu giới hạn dải, cần phải có: j, | | < / T Heff (j) = 0, | | / T (4.45) nh vẽ hình 4.14(a) Hệ thống thời gian-rời rạc tơng ứng có đáp ứng tần số H(ej) = j , ||< T (4.46) tuần hoàn với chu kỳ Đáp ứng tần số đợc vẽ hình 4.14(b) Đáp ứng xung tơng ứng đợc là: h[n] = n cos n sin n n T , [...]... rời rạc các tín hiệu th i gian -li n tục 197 Cần chú ý rằng hệ th ng tổng th tơng đơng với một hệ th ng th i gian- li n tục, bởi vì nó chuyển đổi một tín hiệu lối vào th i gian - li n tục x c(t) th nh tín hiệu lối ra th i gian - li n tục y r(t) Các tính chất của hệ th ng tổng th phụ thuộc vào sự lựa chọn của hệ th ng th i gian-rời rạc và tốc độ lấy mẫu Chúng ta giả thiết trong hình 4.11 rằng các bộ... có th dịch chuyển xung này sao cho nó không th ng hàng với bất kỳ th i gian lấy mẫu nào ; tức là x[n] = 0 với mọi n Hiển nhiên, một xung nh vậy, là bị giới hạn về phơng diện th i gian, nhng lại không bị giới hạn dải Th m chí nếu hệ th ng th i gian-rời rạc là hệ th ng đồng nhất , nghĩa là y[n] = x[n] , th hệ th ng tổng th sẽ không bất biến với th i gian Trong trờng hợp tổng quát, nếu hệ th ng th i... đáp ứng xung th i gian- li n tục h c(t) và đáp ứng xung th i gian- rời rạc h[n] Đặc biệt , nh chúng ta sẽ kiểm tra ngắn gọn nh sau h[n] = Thc(nT); (4.51) tức là đáp ứng xung của hệ th ng th i gian- rời rạc là một phiên bản đã đợc lấy mẫu và định mức của hc(t) Khi h[n] và hc(t) đợc li n hệ với nhau qua phơng trình (4.51), th hệ th ng đợc gọi là một phiên bản bất biến xung của hệ th ng th i gian -li n... biến xung Giả thiết rằng chúng ta muốn thu đợc một mạch lọc th ng th p th i gianrời rạc lý tởng với tần số cắt c < Chúng ta có th th c hiện đợc điều này bằng cách lấy mẫu một mạch lọc th ng th p th i gian -li n tục lý tởng với tần số cắt c = c / < / đợc định nghĩa bởi 1, | | < H c ( j _) = 0, | | Đáp ứng xung của hệ th ng th i gian- li n tục này là h c (t ) = sin( c t ) t Vì th chúng ta định... th c Nhiều hệ th ng th i gian - li n tục có các đáp ứng xung chứa tổng các dãy hàm mũ dạng hc(t) = Aesotu(t) Hàm th i gian này có biến đổi Laplace H c (s) = A s s0 Nếu chúng ta áp dụng khái niệm bất biến xung một hệ th ng th i gian -li n tục nh vậy, chúng ta sẽ thu đợc đáp ứng xung h[n] = Thc(nT) = AesoTnu[n] Biến đổi-z của hàm hệ là H(z) = AT 1 e soT z 1 và đáp ứng tần số H(ej) = AT 1 e soT e j Trong... (4 .38 ) ở đây Có nghĩa là hệ th ng th i gian- li n tục tổng th tơng đơng với một hệ th ng tuyến tính bất biến với th i gian mà đáp ứng tần số hiệu dụng đợc cho bởi phơng trình (4 .38 ) 199 Điều quan trọng cần nhấn mạnh là tính chất tuyến tính và bất biến với th i gian của hệ th ng cho trên hình 4.11 phụ thuộc vào hai nhân tố Th nhất là, hệ th ng th i gian-rời rạc phải tuyến tính và bất biến với th i... của các tín hiệu th i gian -li n tục và th i gian- rời rạc, bởi vì khái niệm then chốt của sự chồng phổ dễ hiểu nhất ở trong lĩnh vực tần số Cũng giống nh vậy , khi 198 chúng ta gắn với các hệ th ng phức tạp hơn hệ th ng nhận dạng, th nói chung, chúng ta tiến hành phần tích trong lĩnh vực tần số Nếu hệ th ng là phi tuyến hoặc thay đổi với th i gian, th th ng là khó thu đợc một hệ th c tổng quát giữa... C/D So sánh hình 4. 13( a) với hình 4. 13( f) , chúng ta th y rằng hệ th ng có tính chất nh một hệ th ng tuyến tính bất biến với th i gian với đáp ứng tần số đợc cho bởi phơng trình (4.40) và đợc vẽ trên hình 4.12(b) Nhiều điểm quan trọng đã đợc minh họa trong ví dụ 4.4 Th nhất, lu ý rằng mạch lọc th ng th p th i gian -rời rạc với tần số cắt th i gian- rời rạc c có hiệu ứng của một mạch lọc th ng th p... khi sử dụng cấu hình của hình 4.11 Tần số cắt này phụ thuộc cả vào c lẫn T Đặc biệt, bằng việc sử dụng một mạch lọc th ng th p th i gian - rời rạc cố định, nhng lại thay đổi chu kỳ lấy mẫu T, th một mạch lọc th ng th p th i gian - li n tục vói tần số cắt biến đổi có th đợc th c hiện Chẳng hạn, nếu T đã chọn sao cho < c, th khi đó lối ra của hệ th ng ở trên hình 4.11 sẽ là y r(t) = xc(t) Cũng nh... hình 4. 13( b) và (c), cho đến khi mà các th nh phần biến dạng ( chồng phổ) đó bị loại bỏ bởi mạch lọc H(e j) Đặc biệt, từ hình 4. 13( c) , chúng ta th y rằng để không có sự chồng phổ biểu th ở lối ra , th phải có điều kiện ( 2 NT) > c (4.41) ( 2 NT) > NT (4.42) so sánh với yêu cầu Nyquist là 202 Nh một ví dụ khác của sự xử lý th i gian -li n tục sử dụng hệ th ng th i gian-rời rạc, hãy xét sự th c thi một ... số Nếu hệ th ng phi tuyến thay đổi với th i gian, th ng khó thu đợc hệ th c tổng quát biến đổi Fourier lối vào lối hệ th ng ( Trong toán 4 .33 , xét ví dụ hệ th ng cho hình 4.11 hệ th ng th i gian-rời... hiệu th i gian -li n tục 197 Cần ý hệ th ng tổng th tơng đơng với hệ th ng th i gian- li n tục, chuyển đổi tín hiệu lối vào th i gian - li n tục x c(t) th nh tín hiệu lối th i gian - li n tục y r(t)... X(ej)=Xs(j/) 8 /3 4 /3 2 /3 2 /3 4 /3 8 /3 (b) Hình 4.7 Tín hiệu cos tần số 0=4000 đợc lấy mẫu với chu kỳ lấy mẫu T=1/1500 (a) th i gian -li n tục, (b) th i gian-rời rạc Ví dụ 4 .3 Ví dụ th hai chồng