MỆNH ĐỀ I MỆNH ĐỀ - MỆNH ĐỀ PHỦ ĐỊNH Mệnh đề Mệnh đề câu khẳng định câu khẳng định sai Một câu khẳng định gọi mệnh đề đúng, câu khẳng định sai gọi mệnh đề sai Mỗi mệnh đề phải hoặc sai Một mệnh đề vừa vừa sai Ví dụ 1: Trong câu sau câu mệnh đề? Nếu mệnh đề xác định hay sai a) + = 12 b) Chiến tranh giới lần thứ hai kết thúc năm 1946 c)  > 3,14 d) Không qua lối này! e) (210 - 1) chia hết cho 11 Mệnh đề phủ định Mệnh đề phủ định mệnh đề P không P, ký hiệu P P P sai, P sai P Ví dụ 2: Phát biểu mệnh đề phủ định mệnh đề sau: P : “Dơi loài chim” A : “2013 số nguyên tố” B : “2002 không chia hết cho 4” C :   3,14 Phép giao hai mệnh đề Mệnh đề có dạng “A B” gọi giao hai mệnh đề A, B Kí hiệu: A  B (đọc A B) Phép hợp hai mệnh đề Mệnh đề có dạng “A hay B” gọi hợp mệnh đề A, B Kí hiệu: A  B (đọc A hay B) Phủ định mệnh đề A  B , A  B A B  A B A B  A B Ví dụ 3: Phát biểu mệnh đề phủ định mệnh đề sau: A : “5   2” B :  < 3,14 hay  > 3,15 II MỆNH ĐỀ KÉO THEO - MỆNH ĐỀ TƯƠNG ĐƯƠNG Mệnh đề kéo theo Cho mệnh đề P Q Mệnh đề “Nếu P Q” gọi mệnh đề kéo theo P Q ký hiệu P  Q Ví dụ 4: Xét tính đúng, sai mệnh đề “Vì chia hết chia hết cho 2” “Nếu số vô tỉ 2 số vô tỉ” “Nếu ABCD hình chữ nhật ABCD hình bình hành” Mệnh đề đảo Mệnh đề Q  P mệnh đề đảo mệnh đề P  Q Mệnh đề đảo mệnh đề chưa mệnh đề Ví dụ 5: Phát biểu mệnh đề đảo xét tính sai mệnh đề sau: “Nếu ΔABC ΔABC cân” “Nếu ABCD hình bình hành có góc vuông ABCD hình chữ nhật” Mệnh đề tương đương Nếu mệnh đề P  Q Q  P đúng, ta nói P Q hai mệnh đề tương đương Kí hiệu: P  Q (đọc là: P tương đương Q; P Q; P Q) Ví dụ 6: Một số mệnh đề tương đương: “ABCD hình bình hành có góc vuông ABCD hình chữ nhật” “a.b = tương đương a = hay b = 0” “Tam giác có hai góc 600 tương đương tam giác đều” Điều kiện cần, điều kiện đủ Cho định lý P  Q : P giả thiết, Q kết luận, P điều kiện đủ để có Q, Q điều kiện cần để có P Cho P  Q : P điều kiện cần đủ để có Q, Q điều kiện cần đủ để có P III MỆNH ĐỀ CHỨA BIẾN Mệnh đề chứa biến câu mà thân chưa phải mệnh đề, ta thay biến phần tử thuộc tập xác định X trở thành mệnh đề Ví dụ 7: Xét mệnh đề chứa biến sau: P(n): “n số chia hết cho 3”, với n ∈ ℕ Q(x; y): “x – y > 3”; x, y ∈ ℝ P(4): “4 số chia hết cho 3” Q(4; -1): “4 + > 3” P(6): “6 số chia hết cho 3” Q(2; 1) : “2 – > 3” Ví dụ 8: Phủ định mệnh đề chứa biến A: “a = b = 0” C : “x  –1 hay x > 2” B : “x  hay x = 2” D :“1 < x < 3” (D : “x > x < 3”) IV KÍ HIỆU  VÀ  Ký hiệu  (với mọi, tất cả): x  A,P(x) Ví dụ 9: P(x): “x  , x2 – 2x +3 > 0” mệnh đề đúng, x, x2 – 2x + = (x – 1)2 + > Ký hiệu  (có một): x  A,P(x) Ví dụ 10: P(n): “(2n + 1) chia hết cho n”, n Mệnh đề: “n  , P(n)” đúng, có n = (23 + 1) = chia hết cho Ví dụ 11: “Có học sinh lớp em chưa biết sử dụng máy tính” Có mệnh đề phủ định là: “Mọi học sinh lớp em biết sử dụng máy tính” x  , x2  Có mệnh đề phủ định x  , x  Ví dụ 12: Cho mệnh đề chứa biến P(n): “(n2 – 1) chia hết cho 4” với n số nguyên Xác định tính sai mệnh đề: P(3); P(2);  n  , P(n);  n  , P(n) TẬP HỢP I TẬP HỢP Tập hợp phần tử Tập hợp khái niệm toán học,không định nghĩa Giả sử cho tập hợp X Nếu a phần tử tập hợp X, ta viết: a  X (đọc là: a thuộc X) Nếu a không phần tử tập X, ta viết a  X (đọc là: a không thuộc X) Tập hợp phần tử gọi tập rỗng , kí hiệu là:  Các cách xác định tập hợp a Phương pháp liệt kê: Các phần tử tập hợp viết dấu { }, cách dấu phẩy (hay dấu chấm phẩy), phần tử viết lần Ví dụ 1: Tập gồm số nguyên tố là: A= {2; 3; 5; 7; 11; 13; 17; 19} Tập B gồm chữ số số 2013 là: B= {0; 1; 2; 3} b Phương pháp nêu đặc trưng: Nếu tập X chứa phần tử có tính chất đặc trưng P, ta ghi: X= { x x có tính chất P} Ví dụ 2: Tập A gồm số tự nhiên lớn nhỏ 10 là: A  x   x  10 Tập S gồm nghiệm phương trình x - 3x + = là:  S  x  x  3x   Ví dụ 3: Viết tập hợp sau cách liệt kê phần tử A  x  2  x  4 B  n  n  7 C  x    3x  5x   II TẬP HỢP CON VÀ TẬP HỢP BẰNG NHAU Tập hợp Tập A gọi tập tập B, phần tử thuộc A thuộc B, kí hiệu: A  B (A  B  x, x  A  x  B) Khi A  B ta nói B chứa A, kí hiệu: B  A Ví dụ 4: Hỏi A  B hay B  A: A = {2, 4, 5}, B = {1, 2, 3, 4, 5} A tập tam giác cân, B tập tam giác A ={ n  x chia hết cho 6}, B = { n  x chia hết cho 12} Ví dụ 6: Cho tập hợp X = {a; b; c; d} Hãy liệt kê tất tập X có: a) phần tử b) phần tử c) không phần tử Tập hợp Hai tập A B gọi phần tử thuộc A thuộc B phần tử thuộc B thuộc A Kí hiệu A = B Ta có: A = B  A  B B  A Ví dụ 7: Cho hai tập hợp: a) A = { n  B = {n x bội chung 6} x bội 12} b) A tập tất điểm cách hai đầu đoạn thẳng MN B tập hợp điểm nằm đường trung trực đoạn MN Biểu đồ Venn Để minh hoạ trực quan, ta dùng đường cong phẳng khép kínđể biểu diễn tập hợp Các điểm bên phần tử tập hợp III MỘT SỐ TẬP CON CỦA TẬP SỐ THỰC N*  N  Z  Q  R Khoảng: (a;b)  x  R a  x  b (a; )  x  R a  x (;b)  x  R x  b Đoạn: [a;b]  x  R a  x  b Nửa khoảng: [a;b)  x  R a  x  b (a;b]  x  R a  x  b [a; )  x  R a  x (;b]  x  R x  b IV CÁC PHÉP TOÁN TRÊN TẬP HỢP Giao hai tập hợp: A  B  x x  A x  B Hợp hai tập hợp: A  B  x x  A hay x  B Hiệu hai tập hợp: A \ B  x x  A x  B Ví dụ 9: Tìm hợp hai tập sau: 1) A = [-2; 1], B = (1; 3) 2) C = { 1, 2, 3, 4, 5, }, D = { 0, 2, 4, 6, } Ví dụ 10: Tìm giao hai tập sau: 1) C = { 1, 2, 3, 4, 5, }, D = { 0, 2, 4, 6, 8} 2) E = (0; 2], F = [1; 4] 3) G tập tam giác vuông.H tập tam giác cân Ví dụ 11: Cho A = (- ; 2] ; B = [1; 3) Tìm:1/ A \ B 2/ B \ A / C A / C B Ví dụ 12: Cho tập hợp: A = { a; b}; B = { a; b; c; d} Tìm tập hợp X cho A  X = B Ví dụ 14: Cho A= [ m - 4; m + 2) B= (1;3] Định m để: 1)  B 2) B  A 3) A  B =  4) A  B   ÔN TẬP CHƯƠNG I I MỆNH ĐỀ Mệnh đề câu khẳng định câu khẳng định sai Mỗi mệnh đề phải hoặc sai Một mệnh đề vừa vừa sai Mệnh đề phủ định mệnh đề P không P, ký hiệu P Mệnh đề kéo theo, ký hiệu A  B A  B sai A B sai Mệnh đề đảo A  B B  A Mệnh đề tương đương, ký hiệu A  B A  B A  B B  A Ví dụ 1: Nêu mệnh đề phủ định mệnh đề sau: a) A: “n  *, (n2 – 1) bội 3” b) B : “x  , x2 + x + > 0” Ví dụ 2: Nêu mệnh đề phủ định mệnh đề sau: a) C : “x  , x2 = 3” b) D : “n  , 22 + số nguyên tố” Ví dụ 3: Cho P: “Tứ giác ABCD hình vuông” Q: “ABCD hình chữ nhật có hai đường chéo vuông góc” a) Phát biểu mệnh đề P  Q Q  P đồng thời cho biết tính sai b) Cho biết mệnh đề P  Q hay sai Ví dụ 4: Cho mệnh đề kéo theo: a) Nếu a b chia hết cho c (a + b) chia hết cho c (với a, b, c số nguyên) b) Các số nguyên có tận chia hết cho Hãy phát biểu mệnh đề đảo xét tính sai? II TẬP HỢP Tập tập Tập A  B  x, x  A  x  B Tập hợp A = B  A  B B  A Biểu đồ Venn đường cong phẳng khép kín không tự cắt nó, để biểu diễn tập hợp Các phép toán tập hợp a Phép hợp A  B  x / x  A hay x  B b Phép giao A  B  x / x  A x  B c Phép lấy hiệu A \ B  x / x  A x  B Nếu B  A A \ B gọi phần bù B A, Phần bù ký hiệu C AB  A \ B Ví dụ 5: Tìm mối quan hệ (; =) tập hợp:  B  x   /   1 x  C  {x  / x  x –   0} * /3  n2  40} cách liệt kê phần tử Ví dụ 6: Viết tập hợp P  {n  Tìm tập P có chứa số không chứa số  Ví dụ 7: Cho T  x   /x k 1  k   Hãy xác định T cách liệt kê 3k   Ví dụ 8: Cho tập hợp A  x   / 3  x  3 , B  x   / x  4x  a) Xác định tập hợp A, B cách liệt kê phần tử b) Xác định tập hợp A  B, A  B, A \ B B \ A c) Có nhận xét tập hợp (A \ B)(B \ A) (A B)\(A  B)?  Ví dụ 9: Cho B  x   / x  , C  x  Xác định B  C, C\B,  Ví dụ 10: Cho A  x   /  x  2 \ B  C  biểu diễn kết trục số     / x – x 2x  7x   , B  x  Xác định: A  B, A  B, A \ B, B \ A, C B  / x2  Ví dụ 11: Cho A tập số tự nhiên có chữ số; B = {xA /x số nguyên tố} a) Liệt kê phần tử B, CAB b) Xác định tập A gồm phần tử số x, y thỏa mãn bất phương trình: x2 + y2 < 10 Ví dụ 12: Cho A = (1; 2] B = [m; m+2), (m tham số) Định m để B  CRA Ví dụ 13: Thu gọn m  a)  2  m  m   b)  m   m  28    x  1  c)   x   4  x  HÀM SỐ I KHÁI NIỆM HÀM SỐ Định nghĩa (D  ) Hàm số f xác định D quy tắc tương ứng số x  D Cho D  với số yR, kí hiệu y = f(x); số f(x) giá trị hàm số f x Kí hiệu f :D  x y  f(x) Hàm số cho biểu thức Ví dụ 1: Tìm tập xác định hàm số sau: a) y  b) y  2x x 4 x (x  3) x  1 xác định  f(x)  f(x) f(x) xác định  f(x)  f(x) xác định  f(x) > Đồ thị hàm số Cho hàm số y = f(x) xác định D Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, đồ thị hàm số f tập hợp (G) gồm điểm có tọa độ (x; f(x)) với x  D  x  D M(x ; y )  (G)     y  f(x ) Ví dụ 2: Trong điểm A(0; -2); B( 2; 10); C(1; 1); D(-1; 0) điểm thuộc, điểm không thuộc đồ thị hàm số y  x  x  x   x  Ví dụ 3: Cho hàm số f(x)     x 1   x  x  a) Tìm tập xác định hàm số b) Tính f(0), f(1), f(2) (1) II BÀI TẬP Bài tập 1: Trên mặt phẳng Oxy cho hai vectơ a = (1; 2), b = (–1; m) a) Tìm m để  a  =  b  b) Tìm m để a  b Bài tập 2: Trong mặt phẳng oxy cho tam giác ABC với A(–1; 1),B(1; 3) C(1; –1) a) Chứng minh tam giác ABC tam giác vuông cân A b) Tính diện tích tam giác ABC Bài tập 3: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho tam giác ABC có đỉnh A(–1; 0), B(4; 0), C(0; m) với m khác a) Tìm tọa độ trọng tâm tam giác ABC theo m b) Xác định m để tam giác GAB vuông G Bài tập 4: Cho ABC, biết A(1; 2), B(–1; 1), C(5; –1) a) Tìm toạ độ trọng tâm G ABC b) Tìm toạ độ trực tâm H ABC c) Tìm toạ độ tâm I đường tròn ngoại tiếp ABC, từ chứng minh I, H, G thẳng hàng Bài tập 5: Cho tam giác ABC có góc B = 600 , BC = 8, AB = a) Tính cạnh AC b) Tính độ dài trung tuyến CM c) Tính độ dài đường cao CC’ d) Tính độ dài đường phân giác BE tam giác ABC PHƢƠNG TRÌNH ĐƢỜNG THẲNG I VECTƠ CHỈ PHƢƠNG, VECTƠ PHÁP TUYẾN CỦA ĐƢỜNG THẲNG Vectơ phƣơng đƣờng thẳng Vectơ u  gọi vectơ phƣơng đường thẳng d giá song song trùng với d Nhận xét: Nếu u vectơ phương d ku (k  0) vectơ phương d Một đường thẳng hoàn toàn xác định biết điểm vectơ phương Vectơ pháp tuyến đƣờng thẳng Vectơ n  gọi vectơ pháp tuyến đường thẳng d giá vuông góc với d Nhận xét: Nếu n vectơ pháp tuyến d kn (k  0) vectơ pháp tuyến d Một đường thẳng hoàn toàn xác định biết điểm vectơ pháp tuyến Nếu u vectơ phương n vectơ pháp tuyến d u  n Mối liên hệ vectơ pháp tuyến, vectơ phƣơng đƣờng thẳng Nếu đường thẳng d có vectơ pháp tuyến n = (a;b) vectơ phương đường thẳng d u = (-b;a) u = (b;-a) Nếu đường thẳng d có vectơ phương u = (u1;u2) vectơ pháp tuyến đường thẳng d n = (-u2; u1) n = (u2;- u1) Nếu đường thẳng d có vectơ phương u = (u1; u2) với u1 khác hệ số góc d k  u2 u1 Nếu đường thẳng d có hệ số góc k vectơ phương d u = (1;k) II CÁC DẠNG PHƢƠNG TRÌNH CỦA ĐƢỜNG THẲNG Phƣơng trình tham số đƣờng thẳng Cho đường thẳng d qua M0 (x ; y ) có vectơ phương u  (u1 ;u2 ) Phương trình tham số d:  x  x  tu1 (1)   y  y  tu2 (t tham số) Ví dụ 1: Viết phương trình tham số đường thẳng d biết a) d qua A(-1; 1) nhận u   2;5  làm vectơ phương b) d qua M(2; 3) N(3; 1) c) d qua M(5; 1) có hệ số góc k = Ví dụ 2: Viết phương trình tham số đường thẳng d biết a) d qua A(3; 4) B(4; 2) b) d qua N(5;1) có hệ số góc k = -2 x = + t  y = - 2t Ví dụ 3: Cho đường thẳng d có phương trình tham số  a) Hãy vectơ phương d b) Tìm điểm d ứng với giá trị t = 0, t = - Phƣơng trình tổng quát đƣờng thẳng Phương trình ax  by  c  với a2  b2  gọi phƣơng trình tổng quát đường thẳng Nhận xét: Nếu  có phương trình ax  by  c   có: vectơ pháp tuyến n  (a;b) vectơ phương u  (b;a) u  (b; a) Nếu  qua M0 (x ; y ) có vectơ pháp tuyến n  (a;b) phương trình  là: a(x  x )  b(y  y0 )  Ví dụ 4: Đường thẳng d có phương trình tổng quát 2x - 5y - = Tìm vectơ pháp tuyến vectơ phương d? Ví dụ 5: Viết phương trình tổng quát đường thẳng d qua hai điểm a) A(2; -1) B(-1; 4) b) M (2; 2), N (4; 3) Các dạng đặc biệt phƣơng trình tổng quát Cho đường thẳng d có phương trình tổng quát ax + by + c = (1) Các hệ số Phƣơng trình đƣờng thẳng  c=0 ax  by   qua gốc toạ độ O a=0 by  c   // Ox   Ox b=0 ax  c   // Oy   Oy Tính chất đƣờng thẳng   qua hai điểm A(a; 0), B(0; b) (a, b  0): Phương trình : x y  1 a b (phương trình đường thẳng theo đoạn chắn)  qua điểm M0 (x ; y ) có hệ số góc k: Phương trình : y  y  k(x  x ) (phương trình đường thẳng theo hệ số góc) Ví dụ 6: Viết phương trình tổng quát đường thẳng qua A(-1; 0), B(0; 2) III VỊ TRÍ TƢƠNG ĐỐI CỦA HAI ĐƢỜNG THẲNG Cho hai đường thẳng 1: a1 x  b1y  c1  2: a2 x  b2 y  c2  Toạ độ giao điểm 1 2 nghiệm hệ phương trình: a1 x  b1 y  c1   a2 x  b2 y  c  1 cắt 2  hệ (1) có nghiệm  1 // 2  hệ (1) vô nghiệm  (1) a1 b1 (nếu a2 ,b2 ,c  )  a2 b2 a1 b1 c1 (nếu a2 ,b2 ,c  )   a2 b2 c 1  2  hệ (1) có vô số nghiệm  a1 b1 c1 (nếu a2 ,b2 ,c  )   a2 b2 c Ví dụ 7: Cho đường thẳng d có phương trình x – y + = 0, xét vị trí tương đối d với đường thẳng sau: 1: 2x + y – = 0; 2: x - y – = 0; 3: 2x - 2y + = Chú ý Nếu đường thẳng d1 song song d phương trình d1 có dạng: ax +by + c1 = (c1  c) Nếu đường thẳng d2 vuông góc d phương trình d2 có dạng: bx - ay + c2 = -bx + ay + c2 = IV GÓC GIỮA HAI ĐƢỜNG THẲNG Cho hai đường thẳng d1: a1 x  b1y  c1  (có vectơ pháp tuyến n1  (a1 ;b1 ) ) d2: a2 x  b2 y  c2  (có vectơ pháp tuyến n2  (a2 ;b2 ) ) cos(d1 ,d2 )  n1.n2 n1 n2  a1b1  a2b2 a12  b12 a22  b22 Chú ý: d1  d2  a1a2  b1b2  Ví dụ 8: Tính số đo góc hai đường thẳng d1 : 2x - y + = d2 : x - 3y +1 = V CÔNG THỨC TÍNH KHOẢNG CÁCH TỪ MỘT ĐIỂM ĐẾN MỘT ĐƢỜNG THẲNG Cho đường thẳng  : ax  by  c  (a2  b2  0) điểm M0 (x ; y ) d(M0 ; )  | ax  by  c | a2  b2 Ví dụ 9: Tính khoảng cách từ điểm M(-2;1) đến đường thẳng : 3x – 2y + =  x = -1 + 2t t y = Ví dụ 10: Tính khoảng cách từ M(1;-2) đến  :  VI MỘT SỐ DẠNG TOÁN THƢỜNG GẶP Bài 1: Viết phương trình tổng quát đường thẳng d biết d song song với đường thẳng d’: 4x – 3y + = khoảng cách từ điểm M(-2;1) đến d Bài 2: Viết phương trình tổng quát đường thẳng d biết d song song với đường thẳng d’: 4x – 3y + = khoảng cách từ điểm M(0;2) đến d Bài 3: Cho tam giác ABC có A(3;5), B(4;-1) C(-5;2) a) Viết phương trình tổng quát BC b) Tính độ dài đường cao AH c) Tính diện tích tam giác ABC Bài 4: Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho điểm B(-2; 4) đường thẳng x 2t d:  (t  )  y   2t a) Tìm toạ độ điểm H hình chiếu điểm B đường thẳng d b) Tìm tọa độ điểm B’ điểm đối xứng điểm B qua đường thẳng d Bài 5: Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, đường thẳng d: x – y + = a) Tìm toạ độ điểm H hình chiếu điểm O đường thẳng d b) Tìm tọa độ điểm O’ điểm đối xứng điểm O qua đường thẳng d PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG TRÒN I PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG TRÒN Định nghĩa Phương trình (x  a)2  (y  b)2  R gọi phương trình đường tròn có tâm I(a; b) bán kính R Nhận xét: Ví dụ 1: Xác định tâm bán kính đường tròn có phương trình sau: a) x2 + y2 = b) (x + 3)2 + (y – 2)2 = Ví dụ 2: Cho điểm P(-2; 3) Q(2; 1) a) Viết phương trình đường tròn ( C1 ) tâm P qua Q b) Viết phương trình đường tròn ( C ) có đường kính PQ Ví dụ 3: Viết phương trình đường tròn (C) tâm I(-2;0) (C) tiếp xúc với đường thẳng : x +y – = II NHẬN DẠNG PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG TRÒN Phương trình x  y2  2ax  2by  c  , với a2  b2  c  , phương trình đường tròn tâm I(a; b), bán kính R = a2  b2  c Ví dụ 4: Trong phương trình sau, phương trình phương trình đường tròn? Khi tìm tâm bán kính a) x2 + 2y2 – 2x + 4y + = b) x2 + 2y2 – 2x - 6y + 20 = c) x2 + 2y2 + 4x - 2y - = Ví dụ 5: Viết phương trình đường tròn (C) qua ba điểm a) A(-3; 2), B(1; 2), C(-2; -1) b) A(1 ; 2), B(5 ; 2), C(1 ; -3) Ví dụ 6: Trong mặt phẳng Oxy, cho A (1 ; 2) , B ; 4), C (-5; -2) Viết phương trình đường tròn (C) qua điểm A, B tâm I thuộc đường thẳng d: 7x + 3y +1 =0 III PHƯƠNG TRÌNH TIẾP TUYẾN CỦA ĐƯỜNG TRÒN Cho đường tròn (C) có tâm I, bán kính R đường thẳng   tiếp xúc với (C)  d(I, ) = R Ví dụ 7: Viết phương trình tiếp tuyến (d) điểm M (1;3) thuộc đường tròn (C) : (x + 1)2 + (y – 2)2 = Ví dụ 8: Cho đường tròn (C): x2 + y2 - 2x + 4y - = a) Tìm tọa độ tâm I bán kính R (C) b) Viết phương trình tiếp tuyến (d) với (C) biết tiếp tuyến song song với đường thẳng (d’): 3x – 4y + = PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG ELIP I ĐỊNH NGHĨA ĐƯỜNG ELIP Cách vẽ elip Lấy ván phẳng Đóng đinh F1, F2 lên ván Dùng vòng dây kín không dãn, độ dài lớn F1F2 Quàng vòng dây qua hai đinh Lấy đầu bút kéo căng dây, di chuyển đầu bút cho dây căng Khi đầu bút vạch đường cong khép kín Đó đường elip Định nghĩa đường elip Cho hai điểm cố định F1 F2 độ dài không đổi 2a > F1F2 Đường elip (hay elip) tập hợp điểm M mặt phẳng cho MF1 + MF2 = 2a F1, F2: tiêu điểm, F1F2  2c : tiêu cự II PHƯƠNG TRÌNH CHÍNH TẮC CỦA ELIP x2 y2   (a  b  0, b2  a2  c2 ) a2 b2 Toạ độ tiêu điểm: F1 (c;0), F2 (c;0) Với M(x; y)  (E), MF1 ,MF2 gọi bán kính qua tiêu điểm M MF1  a  c c x, MF2  a  x a a Các ví dụ Ví dụ 1: Tìm tọa độ tiêu điểm elip (E): x2 y2  1 25 Ví dụ 2: Viết phương trình tắc elip (E) qua I(0; 3) có tiêu điểm   F1  5;0 III HÌNH DẠNG CỦA ELIP Tính đối xứng elip (E) nhận trục toạ độ làm trục đối xứng gốc toạ độ làm tâm đối xứng Đỉnh – Trục lớn – Trục nhỏ Toạ độ đỉnh: A1 (a;0), A (a;0), B1(0; b), B 2(0;b) Độ dài trục: trục lớn: A1 A2  2a , trục nhỏ: B1B2  2b Ví dụ 3: Xác định độ dài trục, tọa độ tiêu điểm, tọa độ đỉnh elip (E): x2 y2  1 25 Ví dụ 4: Xác định độ dài trục lớn, trục nhỏ, toạ độ tiêu điểm, đỉnh elip sau: 4x2+ 9y2 = 36 (1) Ví dụ 5: a) Viết phương trình tắc elip (E) biết độ dài trục lớn 20 tiêu cự 12 b) Viết phương trình tắc elip (E) biết độ dài trục lớn 10 tiêu cự 12   c) Elip qua hai điểm M(0; 3) N  3;-    IV LIÊN HỆ GIỮA ĐƯỜNG TRÒN VÀ ĐƯỜNG ELIP Mối liên hệ trục lớn, trục nhỏ hình dạng elip Nếu tiêu cự elip nhỏ b gần a, tức trục nhỏ elip gần trục lớn Lúc elip có dạng gần đường tròn Nếu tiêu cự elip lớn (c gần a) b nhỏ, tức trục nhỏ elip ngắn Lúc elip “dẹt” Elip phép co đường tròn Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho đường tròn (C): x2 + y2 = a2 x ' = x  Với M(x; y)  (C), xét điểm M’(x’; y’) cho:  b (0  b  a) tập hợp y ' = y a  điểm M’ có tọa độ thỏa mãn phương trình x '2 + y '2 a2 b2 Khi ta nói đường tròn (C) co thành elip (E) = elip (E) ÔN TẬP CHƯƠNG I PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG Phương trình tham số đường thẳng d qua M(x0; y0) có vectơ phương   x = x + t.u1 u = (u1; u2) là:    y = y + t.u2 Phương trình tổng quát đường thẳng d qua M(x0; y0) có vectơ pháp tuyến n = (a; b) là: a(x - x ) +b( y - y ) = Khoảng cách từ điểm M0 (x0; y0) đến đường thẳng d: ax + by + c = | ax + by + c | d(M0 ,d) = a2 + b2 Bài tập 1: Trong mặt phẳng Oxy cho ABC có A(1;-1); B(-3;0); C(2;3) Viết phương trình đường cao AH Bài tập 2: Trong mặt phẳng Oxy, cho A( 1;2), B(3;4), C(-5;-2) a) Viết phương trình đường trung tuyến AM tam giác ABC b) Viết phương trình đường trung tuyến BN tam giác ABC Bài tập 3: Cho tam giác ABC có A(4;3), B(2;7), C(-3,-8) a) Viết phương trình tham số phương trình tổng quát đường thẳng chứa cạnh BC Tính diện tích tam giác ABC b) Tìm toạ độ trọng tâm G, trực tâm H tam giác ABC c) Viết phương trình tổng quát đường trung trực cạnh BC, cạnh AC Từ đó, tìm toạ độ tâm I đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC d) Viết phương trình tổng quát đường thẳng HI Từ đó, chứng minh điểm G, H, I thẳng hàng II PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG TRÒN Phương trình đường tròn Dạng 1: (x - a)2 + (y - b)2 = R tâm I(a;b), bán kính R Dạng 2: x + y2 - 2ax - 2by + c = tâm I(a;b), bán kính R = a2 + b2 - c ;(a2 + b2 - c  0) Phương trình tiếp tuyến đường tròn Tiếp tuyến  với đường tròn (C) tâm I(a;b) điểm M(x0 ; y0) thuộc (C)  qua M(x ; y )   có vectơ pháp tuyến IM = (x - a; y - b) có phương trình (x - a)(x - x ) + (y - b)(y - y ) = Bài tập 4: Cho đường tròn (C) qua điểm A(-1;2), B(-2;3) có tâm thuộc đường thẳng d: 3x – y +10 = a) Viết phương trình đường tròn (C) b) Viết phương trình tiếp tuyến d1 (C) điểm A c) Viết phương trình tiếp tuyến d2 (C) biết tiếp tuyến vuông góc với đường thẳng d’: 2x – y + =0 III PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG ELIP Định nghĩa Cho F1, F2 cố định với F1F2  2c (c > 0) M  (E)  MF1  MF2  2a (a > c > 0) F1, F2: tiêu điểm, F1F2  2c : tiêu cự Phương trình tắc elip x2 a2  y2 b2 1 (a  b  0, b2  a2  c2 ) Các yếu tố elip (E) nhận trục toạ độ làm trục đối xứng gốc toạ độ làm tâm đối xứng Toạ độ đỉnh: A1 (a;0), A2 (a;0), B1 (0; b), B2 (0;b) Độ dài trục: trục lớn: A1 A2  2a , trục nhỏ: B1B2  2b Tiêu điểm F1(-c; 0); F2(c; 0) Tiêu cự F1F2 = 2c Bài tập 5: Viết phương trình tắc Elip (E) trường hợp sau: a) Độ dài trục lớn 24 tỉ số b) Một tiêu điểm c = a  3 F1 (- 3;0) qua điểm M 1;     ÔN TẬP HỌC KÌ I TÓM TẮT LÝ THUYẾT Định lí côsin a Định lí côsin a2  b2  c2  2bc.cos A b2  c2  a2  2ca.cosB c2  a2  b2  2ab.cos C b Công thức trung tuyến m2a  2(b2  c2 )  a2 mb2  2(a2  c2 )  b2 m2c  2(a2  b2 )  c2 Định lí sin a b c    2R sin A sinB sinC Công thức tính diện tích tam giác S= S= S= 1 aha  bhb  chc 2 1 bc sin A  ca sinB  ab sinC 2 abc 4R S = pr S= p(p  a)(p  b)(p  c) ( công thức Hê-rông) Phương trình đường thẳng Phương trình tham số đường thẳng d qua M(x0; y0) có vectơ phương   x = x + t.u1 u = (u1; u2) là:    y = y + t.u2 Phương trình tổng quát đường thẳng d qua M(x0; y0) có vectơ pháp tuyến n = (a; b) là: a(x – x0) + b(y – y0) = Khoảng cách từ điểm M0 (x0; y0) đến đường thẳng d: ax + by + c = | ax + by + c | d(M0 ,d) = a2 + b2 Phương trình đường tròn Dạng 1: (x – a)2 + (y – b)2 = R2 tâm I(a; b), bán kính R Dạng 2: x2 + y2 – 2ax – 2by + c = tâm I(a;b), bán kính R = a2 + b2 - c (a2 + b2 - c  0) Phương trình tiếp tuyến Tiếp tuyến  với đường tròn (C) tâm I(a; b) điểm M(x0 ; y0) thuộc (C), qua M(x0 ; y0) có vectơ pháp tuyến IM = (x0 – a; y0 – b) có phương trình là: (x0 – a) (x – x0) + (y0 – b) (y – y0) = Phương trình đường elip Định nghĩa: Cho F1, F2 cố định, F1F2 = 2c , cho a > c > (E) = {M | MF1 + MF2 = 2a} Phương trình tắc: x2 a + y2 b = (a  b  0) với b2 = a2 – c2 Các yếu tố elip:  Trục đối xứng: Ox, Oy Tâm đối xứng: gốc tọa độ O  Các đỉnh A1(–a; 0); A2(a; 0) ; B1(0; –b); B2(0; b)  Trục lớn A1A2 = 2a Trục nhỏ B1B2 = 2b  Tiêu điểm F1(–c; 0); F2(c; 0) Tiêu cự F1F2 = 2c II BÀI TẬP Bài tập 1: Trong mặt phẳ –1; –5); B(2; 1); C(5; –3) a) Viết phương trình tổng quát đường thẳng AB b) Viết phương trình đường cao AH c) Tìm tọa độ điểm C’ đối xứng với điểm C qua đường thẳng AB d) Viết phương trình đường thẳng d vuông góc với BC cách A khoảng Bài tập 2: Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho ba đường thẳng: d1: 2x + y – = 0; d2: 3x + 4y + = 0; d3: 4x + 3y + = Viết phương trình đường tròn có tâm thuộc d1 tiếp xúc với d2 d3 Bài tập 3: Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho đường thẳng d: x – 3y – = điểm N(3, 4) Tìm tọa độ điểm M thuộc đường thẳng d cho OMN 15 (O gốc tọa độ) có diện tích Bài tập 4: Cho tam giác ABC có góc C = 600 , AC = 5, AB = a) Tính cạnh BC b) Tính độ dài trung tuyến CM c) Tính độ dài đường cao AA’ d) Tính độ dài đường phân giác CE tam giác ABC [...]... thể bình phương 2 vế để đưa về phương trình hệ quả Giải xong nhớ thử lại Phương pháp đặt ẩn phụ Ví dụ 10: Giải phương trình: a) |2x – 5| = x – 1 b) x  1  x2  x  7 b) 3x + 7 - x + 1 = 2 Ví dụ 11: Giải phương trình sau: a) 3x  1  x  1 Ví dụ 12: Giải phương trình sau: a) 4x 2 -12x + 2 4x 2 -12x +10 + 7  0 b) 3x 2 - 2x + 15 + 3x 2 - 2x + 8 = 7 PHƢƠNG TRÌNH VÀ HỆ PHƢƠNG TRÌNH BẬC NHẤT NHIỀU ẨN I... điểm A(xA; yA) và điểm B(xB; yB) với xA  xB Phương trình đường thẳng d có dạng: (d): y = ax + b  y  ax A  b  A  (d)  Ta có:   A  B  (d) yB  axB  b Giải hệ phương trình tìm được a, b Ví dụ 10: Viết phương trình đường thẳng (d) biết (d) đi qua M(2; 1) và hợp với trục hoành một góc bằng 450 Ví dụ 11: Tìm m sao cho 3 đường thẳng (d1): y = 2x, (d2): y = x – 3 và (d3): y = mx + 3 phân biệt và... nghiệm (tập nghiệm là ) 2 Điều kiện của phƣơng trình Điều kiện xác định của phương trình (hay gọi tắt là điều kiện của phương trình) là điều kiện của ẩn số x để f(x) và g(x) cùng có nghĩa Chú ý: Khi phép toán ở hai vế của một phương trình đều thực hiện được với mọi x, thì ta có thể không ghi điều kiện của phương trình Tìm điều kiện của phương trình, đôi khi ta có thể biết được nghiệm của phương trình hoặc... tọa độ đỉnh, trục đối xứng của đồ thị (P) Xét sự biến thiên của hàm số trên Vẽ đồ thị (P) Xác định giá trị nhỏ nhất của hàm số và giá trị tương ứng của x Tìm tập hợp các giá trị x sao cho y < 0 Ví dụ 10: Cho hàm số y = - x2 + bx + c (P) a) Tính b, c biết rằng hàm số đạt GTLN bằng 1 khi x = 1 b) Vẽ đồ thị (P) với b, c vừa tìm được ở câu trên ÔN TẬP CHƯƠNG 2 I TẬP XÁC ĐỊNH Nhắc lại cách tìm tập xác định:... 1)x + m - 3 = 0 (1) Định m để phương trình (1) có hai nghiệm dương phân biệt Ví dụ 9: Cho phương trình (m  1)x 4 - 2(m +1)x 2 + m - 3 = 0 (1) Định m để phương trình (1) có bốn nghiệm phân biệt Ví dụ 10: Giải phương trình: x 2 - 4x + 4 2 x - 2x + 1 + 2x - 4 =3 x -1 Ví dụ 11: Giải và biện luận phương trình: |mx – 2| = |x + 4| Ví dụ 12: Giải phương trình: 2x x2 - 4 = 2x 2 - 5 II HỆ PHƯƠNG TRÌNH mx +... f(x) = x + 4 x-3 2 Đối với ba số không âm Cho a, b, c  0, ta có: 3 abc  a+b  c 3 Dấu “=” xảy ra  a = b = c 1 1 1 Ví dụ 9: Cho a, b, c > 0 Chứng minh rằng:  a + b + c   + +   9 a b c Ví dụ 10: Cho a > b > 0 Chứng minh rằng: a + 1 3 b a - b IV BẤT ĐẲNG THỨC CHỨA DẤU GIÁ TRỊ TUYỆT ĐỐI | a| |b| | a  b| | a| |b| | a +b |=| a| +| b | a.b  0 | a + b |= | a | - | b |  a.b  0 Ví dụ 11:... bất phương trình thì miền không tô màu chính là miền nghiệm của hệ 3x + y  6   x +y  4 Ví dụ 4: Biểu diễn miền nghiệm của hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn  x  0  y  0 IV ÁP DỤNG VÀO BÀI TOÁN KINH TẾ Một phân xưởng có hai máy đặc chủng M1, M2 sản xuất hai loại sản phẩm, kí hiệu là I và II Một tấn sản phẩm loại I lãi 2 triệu đồng, một tấn sản phẩm loại II lãi 1,6 triệu đồng Muốn sản xuất ... đặc trưng P, ta ghi: X= { x x có tính chất P} Ví dụ 2: Tập A gồm số tự nhiên lớn nhỏ 10 là: A  x   x  10 Tập S gồm nghiệm phương trình x - 3x + = là:  S  x  x  3x   Ví dụ 3: Viết... phụ Ví dụ 10: Giải phương trình: a) |2x – 5| = x – b) x   x2  x  b) 3x + - x + = Ví dụ 11: Giải phương trình sau: a) 3x   x  Ví dụ 12: Giải phương trình sau: a) 4x -12x + 4x -12x +10 + ... – 2x +3 > 0” mệnh đề đúng, x, x2 – 2x + = (x – 1)2 + > Ký hiệu  (có một): x  A,P(x) Ví dụ 10: P(n): “(2n + 1) chia hết cho n”, n Mệnh đề: “n  , P(n)” đúng, có n = (23 + 1) = chia hết