CÁC ĐỊNH LÝ TỔNG QUÁT ĐỘNG LỰC HỌC I ĐỊNH LÝ CHUYỂN ĐỘNG CỦA KHỐI TÂM (1) Định lý: I Định lý chuyển động khối tâm Khối tâm hệ chuyển động chất điểm mang khối lượng toàn hệ chịu tác dụng vector ngoại lực tác dụng lên hệ Khối tâm hệ chuyển động chất điểm mang khối lượng toàn hệ chịu tác dụng vector ngoại lực tác dụng lên hệ r MWC = II Định lý biến thiên động lượng Đạo hàm theo thời gian vector động lượng Q hệ vector ngoại lực tác dụng lên hệ III Định lý biến thiên moment động lượng Đạo hàm theo thời gian moment động lượng hệ tâm (trục) moment ngoại lực tác dụng lên hệ tâm (trục) IV Định lý động Đạo hàm động hệ tổng công suất ngoại nội lực đặt vào hệ • WC • M • F ke Trường hợp ∑ r Fke : Gia tốc khối tâm C hệ : Khối lượng toàn hệ : Ngoại lực thứ k tác dụng lên hệ ∑F e k = → W C = → V C = const Tổng ngoại lực tác dụng lên hệ khối tâm hệ đứng yên chuyển động thẳng 51 I ĐỊNH LÝ CHUYỂN ĐỘNG CỦA KHỐI TÂM (2) r Trường hợp ∑ Fkxe = MW C = ∑F e k → MW C x = ∑F e kx r = → VCx = M VD – ĐỊNH LÝ CHUYỂN ĐỘNG CỦA KHỐI TÂM (3) Định lý chuyển động khối tâm giúp giải thích số tượng: r m V = const k =1 k kx ∑ * Hiện tượng súng giật bắn * Hiện tượng bước mặt phẳng trơn láng N Theo phương x, khối tâm C hệ đứng yên chuyển động thẳng đều; ban đầu khối tâm đứng yên VCx(t = 0) = 0: ⇒ M ∑k =1 mk xk (t ) = const1 = M N ⇒ ∑k =1 mk ( xk (t ) − xk (0)) = N ∑ N k =1 mk xk (0) Bài toán: Bài toán 1: Biết dịch chuyển số vật rắn thuộc hệ, tìm dịch chuyển vật rắn lại Bài toán 2: Biết lực tác dụng lên hệ, tìm phương trình vi phân chuyển động khối tâm ∑k =1 mkξk = N hay 52 • xk(t), xk(0) tương ứng tọa độ x chất điểm (hoặc trọng tâm vật) thứ k thời điểm t thời điểm t = • ξk độ dịch chuyển tuyệt đối chất điểm (hoặc trọng tâm vật) thứ k theo trục x 53 Bài toán 3: Biết chuyển động khối tâm, xác định lực (phản lực) tác dụng lên hệ Bài toán 4: Bài toán tổng hợp 54 VD – ĐỊNH LÝ CHUYỂN ĐỘNG CỦA KHỐI TÂM (1) VD – ĐỊNH LÝ CHUYỂN ĐỘNG CỦA KHỐI TÂM (2) VD 1: Hai vật nặng A, B có khối lượng m1, m2 nối với dây mềm khối lượng không đáng kể không giãn hình vẽ Lăng trụ D tựa mặt sàn nằm ngang nhẵn Ban đầu hệ đứng yên Tìm di chuyển lăng trụ D vật A trượt xuống theo mặt nghiêng quãng đường s [1] Xét hệ gồm vật: m1, m2, m3 Ngoại lực tác dụng lên hệ: P1, P2, P3, N r s ∑ Fkxe = , ban đầu hệ đứng yên B xC hệ không đổi m1 : ξ1 x = s cos 600 + ξ x B m2 ξ3x m3 : ξ x m1 m3 D m ξ =0 k =1 k kx s N D ∑ P1 P3 60o ⇔ m1 ( s cos 60 + ξ x ) + m2 ( s + ξ x ) + m3ξ x = ⇔ ( m1 + m2 + m3 )ξ x = −( m1 cos 60o + m2 ) s ⇔ ξ3 x = − m1 cos 60o + m2 s m1 + m2 + m3 Trái dấu với s m3 dịch sang trái 55 [1] Vũ Duy Cường, Giáo trình Cơ học lý thuyết, ĐHQG Tp HCM, 2005 x o 60o VD – ĐỊNH LÝ CHUYỂN ĐỘNG CỦA KHỐI TÂM (3) VD 2: Sàn nằm ngang nhẵn, A, B có khối lượng m1, m2 OA = AB = r, vỏ động có khối lượng m3 Biết tay quay OA quay quanh O với vận tốc góc ω Biết ban đầu hệ đứng yên piston vị trí xa bên trái a) Xác định chuyển động ngang vỏ động áp lực thẳng đứng động lên sàn b)Nếu động bắt vít chặt xuống nền, tìm áp lực lực cắt ngang động lên bulong, bỏ qua lực căng ban đầu bulong c)Nếu động bắt chặt vào dầm đàn hồi khối lượng không đáng kể có độ cứng k , viết phương trình vi phân chuyển động động A A P2 m2 : ξ x = s + ξ x A s.cos60o 56 VD – ĐỊNH LÝ CHUYỂN ĐỘNG CỦA KHỐI TÂM (4) VD 2: Dạng toán (câu a), (câu b), (câu c) Các ngoại lực tác động lên hệ: P1, P2, P3, N Gọi x01, x02, x03, x0C vị trí khối tâm m1, m2, m3 hệ thời điểm t = Tại thời điểm t: φ = ωt A x1 = x01 + r (1 − cos φ ) + ( x3 − x03 ) 1424 ζ x3 ⇒ ζ = x1 − x01 = r (1 − cos φ ) + ζ x x2 = x02 + r (1 − cos φ ) + ( x3 − x03 ) 1424 ω O ζ x3 ϕ B ω O P1 P2 N P3 ⇒ ζ = x2 − x02 = r (1 − cos φ ) + ζ x B x3 = x03 + ζ x ⇒ ζ x = x3 − x03 I.V Meserxki, Tuyển tập tập Cơ học lý thuyết, (Người dịch: Đào Huy Bích, Nguyễn Xuân Bội, Ngô Thành Phong), ĐHQG Tp HCM, 2007 57 58 VD – ĐỊNH LÝ CHUYỂN ĐỘNG CỦA KHỐI TÂM (5) VD – ĐỊNH LÝ CHUYỂN ĐỘNG CỦA KHỐI TÂM (6) VD 2: Dạng toán (câu a), (câu b), (câu c) a)Xác định chuyển động ngang vỏ động VD 2: Dạng toán (câu a), (câu b), (câu c) a) Xác định áp lực thẳng đứng động lên sàn Tại thời điểm t: chọn góc tọa độ vị trí ban đầu khối tâm hệ (x0C=0 ) Tại thời điểm t: ∑ N k =1 mkξ k = x1 = x01 + r (1 − cos ϕ ) + ( x3 − x03 ) 1424 ⇒ m1 [ r (1 − cos ϕ ) + ζ x ] + m2 [ 2r (1 − cos ϕ ) + ζ x ] + m3ζ x = y1 = y01 + r sin ϕ + (y3 − y03 ) 424 ζ x3 ⇒ ζ x (m1 + m2 + m3 ) = r (cos ϕ − 1)( m1 + 2m2 ) ζ y3 x2 = x02 + 2r (1 − cos ϕ ) + ( x3 − x03 ) 1424 r (m1 + 2m2 ) ⇒ ζ x3 = (cos ϕ − 1) m1 + m2 + m3 y2 = y02 + (y3 − y03 ) 424 ζ x3 ζ y3 x3 = x03 + ζ x r ( m1 + 2m2 ) ( cos(ωt ) − 1) m1 + m2 + m3 y3 = y03 + ζ y Đây phương trình chuyển động ngang vỏ động (gốc tọa độ ζx3 vị trí khối tâm vỏ động lúc t = s) m1 ( x01 + r (1 − cos φ ) + ζ x ) + m2 ( x02 + 2r (1 − cos φ ) + ζ x ) + m3 ( x03 + ζ x )   xC = m1 + m2 + m3  ⇒  y = m1 ( y01 + r sin ϕ + ζ y ) + m2 ( y02 + ζ y ) + m3 (y03 + ζ y )  C m1 + m2 + m3  59 60 ⇒ ζ x3 = VD – ĐỊNH LÝ CHUYỂN ĐỘNG CỦA KHỐI TÂM (6) VD – ĐỊNH LÝ CHUYỂN ĐỘNG CỦA KHỐI TÂM (6) VD 2: Dạng toán (câu a), (câu b), (câu c) a) Xác định áp lực thẳng đứng động lên sàn VD 2: Dạng toán (câu a), (câu b), (câu c) m x 01 + m x 02 + m x 03 m1 + m  r (1 − c o s φ ) + ζ +  xC = m1 + m + m m1 + m + m 4 42 4 43  x0 C  ⇒   y C = m y + m y + m y + m r sin ϕ + ζ y3  m1 + m + m m1 + m + m 4 42 4 43  y0 C  x3 x1 = x01 + r (1 − cos φ ) + ( x3 − x03 ) 1424 ζ x3 MWCy = ∑ Fkye ⇒ My&&C = N − P1 − P2 − P3 ⇒ −m1rω2 sin(ωt ) = N − g (m1 + m2 + m3 ) ∃N : ω < A φ = ωt Tồn phản lực nên vỏ động không rời khỏi ⇒ ζ y = d (ζ y ) m1r d2 m1r t ω ω2 sin(ωt ) + (sin ) ⇒ &&yC = + =− 2 m1 + m2 + m3 dt dt m1 + m2 + m3  m rω sin(ωt )  ⇒ N = ( m1 + m2 + m3 )  g −  m1 + m2 + m3   b) Khi vỏ động cố định: ζ3 = Tại thời điểm t: ( m1 + m2 + m3 ) g m1r 61 P1 T x2 = x02 + r (1 − cos φ ) + ( x3 − x03 ) 1424 ζ x3 x3 = x03 + ζ x ⇒ x3 = x03 ω O Nbl B P2 N P3 ⇒ xC = m1 ( x01 + r (1 − cos φ ) ) + m2 ( x02 + r (1 − cos φ ) ) + m3 x03 m1 + m2 + m3 ⇒ xC = m1 x01 + m2 x02 + m3 x03 m1 + 2m2 r (1 − cos φ ) + m1 + m2 + m3 m1 + m2 + m3 x 62 VD – ĐỊNH LÝ CHUYỂN ĐỘNG CỦA KHỐI TÂM (7) VD – ĐỊNH LÝ CHUYỂN ĐỘNG CỦA KHỐI TÂM (6) VD 2: Dạng toán (câu a), (câu b), (câu c) VD 2: Dạng toán (câu a), (câu b), (câu c) b) Khi vỏ động cố định: ζ3 = Tại thời điểm t: c) Khi động cố định vào dầm đàn hồi ⇒ &x&C = m1 + 2m2 rω cos(ωt ) m1 + m2 + m3 ⇒ &x&C = m1 + 2m2 d2 r (1 − cos ωt ) m1 + m2 + m3 dt MWCx = ∑F e kx ⇒ M&x&C = T ⇒ ( m1 + m2 + m3 ) ⇒ &&yC = Chọn gốc tọa độ vị trí cân tĩnh tâm vỏ động y03=0 ω y d2 m1 + 2m2 r (1 − cos ωt ) ⇒ &x&C = m1 + m2 + m3 dt d (ζ y ) m1r d2 m1r (sin ωt ) + ω2 sin(ωt ) + &&y3 =− 2 m1 + m2 + m3 dt dt m1 + m2 + m3 r m1 + 2m2 rω cos(ωt ) = T m1 + m2 + m3 ⇒ T = ( m1 + 2m2 ) rω cos(ωt ) Để tìm áp lực lên bu long ta làm tương tự với: MWCy = ∑ Fkye ⇒ My&&C = P + F y3 = ( m1 + m2 + m3 ) g − k ( ∆ + y3 ) ⇒ − m1rω sin(ωt ) + ( m1 + m2 + m3 ) && ⇒ && y3 + ∑ Fkye = M&y&C r Các lực ngoài: Trọng lực P = (rm1 + m2 + m3 ) gr Lực đàn hồi: F = −k ( ∆ + y3 ) j with k ∆ = (m1 + m2 + m3 ) g k y3 = m1rω sin(ωt ) m1 + m2 + m3 63 VD – ĐỊNH LÝ CHUYỂN ĐỘNG CỦA KHỐI TÂM (8) II ĐỊNH LÝ BIẾN THIÊN ĐỘNG LƯỢNG (1) Một số khái niệm định nghĩa: Động lượng chất điểm: VD 3: Một đồng chất ABD có hình dạng tam giác vuông cân (cạnh AB = 12 cm) đặt thẳng đứng tựa đỉnh A mặt ngang nhẵn không ma sát Người ta thả cho phẳng đổ xuống tác dụng trọng lực Hãy xác định quỹ đạo điểm M nằm cạnh bên BC Chú ý, suốt thời gian chuyển động, điểm A tựa mặt ngang 64 B r r q = mV M Động lượng hệ: B D r Q= r V r q m r m V k k k =1 ∑ N Sử dụng vận tốc khối tâm C (VC) r r Q = MVC = A I.V Meserxki, Tuyển tập tập Cơ học lý thuyết, (Người dịch: Đào Huy Bích, Nguyễn Xuân Bội, Ngô Thành Phong), ĐHQG Tp HCM, 2007 ∑ N k =1 r mkVk • M: Khối lượng hệ • VC: Vận tốc khối tâm hệ 65 66 II ĐỊNH LÝ BIẾN THIÊN ĐỘNG LƯỢNG (2) II ĐỊNH LÝ BIẾN THIÊN ĐỘNG LƯỢNG (2) Định lý: Đạo hàm theo thời gian vector động lượng Q hệ vector ngoại lực tác dụng lên hệ: r r r r r dQ Chứng minh: = ∑ Fke MWC = ∑ mkWk = ∑ Fke dt r r d Hay (dạng hữu hạn): ⇔ ∑ mkVk = ∑ Fke r r dt t1 r Q1 − Q0 = ∑ ∫ Fke dt re t0 d r Q F ⇔ = ∑ k Trong đó: dt Q0, Q1: Tương ứng động lượng hệ thời điểm t0 t1 r Fke dt : Xung lực Fke t0 ur e Trường hợp ∑ F k = → Q = const ∫ ur e ∑ F kx = → Qx = const Hình chiếu vector lực lên trục (trục x) không hình chiếu động lượng lên trục (trục x) bảo toàn: Định luật bảo toàn động lượng giúp giải thích số tượng: * Tàu thủy máy bay chuyển động nhờ chân vịt cánh quạt máy bay * Chuyển động phản lực máy bay tên lửa chân không theo phương ngang Bài toán: Bài toán 1: Tính động lượng hệ t1 Bài toán 2: Tính vận tốc sau va chạm : Động lượng bảo toàn Bài toán 3: Tính phản lực tổng hợp dòng chảy lỏng, khí 67 VD - ĐỊNH LÝ BIẾN THIÊN ĐỘNG LƯỢNG (2) 68 VD - ĐỊNH LÝ BIẾN THIÊN ĐỘNG LƯỢNG (3) VD1: Hai người A B đứng hai góc bè, khối lượng người mA = 85 kg mB = 55 kg Ban đầu tất đứng yên Khi họ nhận thấy bè bị đứt neo, người A phía người B với vận tốc 0.6 m/s so với bè Biết khối lượng bè 140 kg, xác định: a) Vận tốc bè người B đứng yên; b) Vận tốc người B phải phía người A để bè đứng yên (Bỏ qua sức cản nước) VD1: mA = 85 kg; mB = 55 kg; VA/b = 0.6 m/s a) VB/b = 0, Vb = ?; mA N VA/b b) Vb = 0, VB = ? Ngoại lực tác dụng: PA PA, PB, Pb, N re ∑F kx r =0 Pb mB PB Động lượng theo phương x bảo toàn o Ban đầu hệ đứng yên: Q0 x = ∑ mkVkx = o Khi chuyển động: Q1x = ∑ mkVkx = m AV Ax + mBVBx + mbVbx = Q0 x = a) V = V + V ; V = V + V ⇒ m (V + V ) + m V + m V = Ax A/ b bx Bx B/b bx A A/ b bx B bx b bx ⇒ ( m A + mB + mb )Vbx = −m AV A / b ⇒ Vbx = − F Beer, E R Johnston Jr., D Mazurek, Vector of Mechanics for Engineers, Statics & Dynamics, McGraw-Hill, 2013 69 mA VA/ b ( m A + mB + mb ) 70 VD - ĐỊNH LÝ BIẾN THIÊN ĐỘNG LƯỢNG (4) VD - ĐỊNH LÝ BIẾN THIÊN ĐỘNG LƯỢNG (3) VD1: mA = 85 kg; mB = 55 kg; VA/b = 0.6 m/s b) Vb = 0, VB = ? VD2: Một viên đạn nặng 30 gam bay theo phương ngang với vận tốc 450 m/s găm vào khối B có khối lượng kg Sau va chạm, khối B trượt xe trượt C đến chạm vào vách cuối xe Biết va chạm B C va chạm mềm, hệ số ma sát động B C 0.2 Giả thiết thời gian va chạm A B ngắn bỏ qua xung lực ma sát B C giai đoạn va chạm Bỏ qua ma sát xe sàn Xác định: m AV Ax + mBVBx + mbVbx = ⇒ m A (V A / b + Vbx ) + mB (VB / b + Vbx ) + mbVbx = ⇒ m AV A / b + mBVB / b = VB / b = − mA 85 V A / b = − 0.6 = −0.927m / s mB 55 Dấu (-) hướng chuyển động người B ngược với người A 71 VD - ĐỊNH LÝ BIẾN THIÊN ĐỘNG LƯỢNG (6) m AV0 + = ( m A + m B )V1 ⇒ V1 = mA 0.03 V0 = 450 = 4.46m / s m A + mB 0.03 + b) Vận tốc cuối hệ: ⇒ V2 == 450 m/s 30 kg F Beer, E R Johnston Jr., D Mazurek, Vector of Mechanics for Engineers, Statics & Dynamics, McGraw-Hill, 2013 30 g 72 VD3: Cho hệ gồm vật có trọng lượng P1 đặt mặt phẳng nghiêng lăng trụ có trọng lượng P2 Góc nghiêng mặt lăng trụ với mặt ngang α Ban đầu vật P1 nằm yên tương đối mặt lăng trụ, lăng trụ trượt sang phải với vận tốc V0 Bất vật P1 trượt xuống với vận tốc u = at so với lăng trụ Xác định vận tốc V lăng trụ Bỏ qua ma sát lăng trụ mặt ngang re r F Qx bảo toàn ∑ kx = u • Qx = ( P1 + P2 ) / gV0 ; V P1 N P P α • Qx1 = V1 x + V2 x g g { V P2 r r r o V1 = u + V ⇒ V1 x = −u cos α + V P1 Qx = Q1 x ⇒ V = V0 + u cos α P1 P2 P1 + P2 ⇒ Q1 x = ( −u cos α + V ) + V g g m AV0 ( m A + m B )V1 = ( m A + mB + mC )V2 ⇒ V2 = kg VD - ĐỊNH LÝ BIẾN THIÊN ĐỘNG LƯỢNG (4) a) Vận tốc A&B sau va chạm: ( m A + m B )V1 a) Vận tốc A&B sau va chạm lần b) Xác định vận tốc vật A, B, C m A + mB V1 m A + mB + mC 0.03 + 4.46 = 0.41m / s 0.03 + + 30 73 74 III ĐỊNH LÝ BIẾN THIÊN MOMENT ĐỘNG LƯỢNG (1) III ĐỊNH LÝ BIẾN THIÊN MOMENT ĐỘNG LƯỢNG (2) Một số khái niệm định nghĩa: Một số khái niệm định nghĩa (cont’d): Moment động lượng hệ đối tâm r Vk r qk Xét chất điểm Mk có: mk r Khối lượng : mk rk Vị trí : rk O Vận tốc : Vk Moment động lượng chất điểm tâm (tâm O) r r r r r r LkO ( qk ) = rk × qk = mk rk × Vk r LO = r ∑L kO r ( qk ) Moment động lượng hệ trục LkO tùy thuộc vào vị trí tâm O r L∆ = Moment động lượng chất điểm trục r r r r r Lkx ( qk ) = ± M O ( qkyz ) , qkyz = hc yz ( qk ) r r r r r Lky ( qk ) = ± M O ( qkzx ) , qkzx = hc zx ( qk ) r r r r r Lkz ( qk ) = ± M O ( qkxy ) , qkxy = hc xy ( qk ) r ∑L k∆ r ( qk ) hay r Lx = r Ly = r Lz = r r ( qk ) r ky ( qk ) r kz ( qk ) ∑ Lr ∑ Lr ∑L kx Vật rắn quay quanh trục cố định: r r L∆ = J ∆ω 75 76 III ĐỊNH LÝ BIẾN THIÊN MOMENT ĐỘNG LƯỢNG (3) VD – ĐỊNH LÝ BIẾN THIÊN MOMENT ĐỘNG LƯỢNG (1) Định lý: Đạo hàm theo thời gian moment động lượng hệ tâm (trục) moment ngoại lực tác dụng lên hệ tâm (trục) VD 1: Một đĩa tròn phẳng, đặc, đồng chất có khối lượng m1 bán kính r Tại tâm đĩa có chất điểm có khối lượng m2 Ban đầu hệ quay với vận tốc góc ω0 quanh trục (Δ) qua tâm O đĩa vuông góc với mặt đĩa Sau đó, chất điểm m2 di chuyển theo phương bán kính đĩa dừng lại trung điểm bán kính Xác định vận tốc góc hệ thời điểm Dạng vi phân: r dLO = dt ∑ r dL∆ = dt r M O ( Fke ) ∑M k∆ r ( Fke ) r r r r dL∆ dω = J∆ L∆ = J ∆ω → dt dt r dω → J∆ = dt Hệ gồm đĩa chất điểm Ngoại lực: trọng lực // trục (∆) (Δ ) ω0 Vật rắn quay quanh trục cố định ∑ r M k∆ ( Fke ) Phương trình vi phân chuyển động quay vật rắn quanh trục cố định 77 r r r r dL∆ = ∑ M k ∆ ( Fke ) = ⇒ L∆ = const dt  L∆ = m1r 2ω0 +  4m1ω0  1 r  r   ⇒ ω = 4m + m L∆1 = m1r ω + m2  ω  2 2    78 VD – ĐỊNH LÝ BIẾN THIÊN MOMENT ĐỘNG LƯỢNG (4) VD 2: đĩa tròn bán kính r khối lượng m, quay quanh trục ∆ qua đường kính Một chất điểm có khối lượng m0 có vận tốc u tới đính chặt vào đĩa theo phương vuông góc với mặt phẳng đĩa ,cách trục đĩa đoạn b = s F < Fth ⇒ < µs mg cos β N r + ρ2 r2 + ρ F Beer, E R Johnston Jr., D Mazurek, Vector of Mechanics for Engineers, Statics & Dynamics, McGraw-Hill, 2013 80 ... m1 cos 60o + m2 s m1 + m2 + m3 Trái dấu với s m3 dịch sang trái 55 [1] Vũ Duy Cường, Giáo trình Cơ học lý thuyết, ĐHQG Tp HCM, 2005 x o 60o VD – ĐỊNH LÝ CHUYỂN ĐỘNG CỦA KHỐI TÂM (3) VD 2: Sàn... = x2 − x02 = r (1 − cos φ ) + ζ x B x3 = x03 + ζ x ⇒ ζ x = x3 − x03 I.V Meserxki, Tuyển tập tập Cơ học lý thuyết, (Người dịch: Đào Huy Bích, Nguyễn Xuân Bội, Ngô Thành Phong), ĐHQG Tp HCM, 2007... r m V k k k =1 ∑ N Sử dụng vận tốc khối tâm C (VC) r r Q = MVC = A I.V Meserxki, Tuyển tập tập Cơ học lý thuyết, (Người dịch: Đào Huy Bích, Nguyễn Xuân Bội, Ngô Thành Phong), ĐHQG Tp HCM, 2007