SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO LÂM ĐỒNG ĐỀ THI THỬ THPT QUỐC GIA NĂM 2015 TRƯỜNG THPT ĐẠ HUOAI Môn: TOÁN -Thời gian:180 phút, không kể thời gian phát đề Câu (2,0 điểm) Cho hàm số y = x + 2mx +(m+3)x + (C m ) a) Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị (C) hàm số m = b) Cho điểm I(1;3) Tìm m để đường thẳng d: y = x + cắt (C m ) điểm phân biệt A(0;4), B,C cho tam giác IBC có diện tích Câu (1,0 điểm) a) Giải bất phương trình log 2x +1 + log (2 x + 1) ≤ log b) Một ban văn nghệ chuẩn bị tiết mục múa, tiết mục đơn ca tiết mục hợp ca Nhưng thời gian buổi biểu diễn văn nghệ có giới hạn, ban tổ chức cho phép biểu diễn tiết mục múa, tiết mục đơn ca tiết mục hợp ca Hỏi có cách chọn tiết mục tham gia biểu diễn? Câu (1,0 điểm) Giải phương trình cot x = − tan x + tan x dx x x + 1 Câu (1,0 điểm) Tính tích phân I = ∫ uuur Câu (1,0 điểm) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm A(2;1; −1), AB = (1;0;3) Chứng minh ba điểm A, B, O không thẳng hàng Xác định tọa độ điểm M thuộc đường thẳng OA cho tam giác MAB vuông M Câu (1,0 điểm) Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình chữ nhật, hình chiếu vuông góc đỉnh S lên mp(ABCD) trùng với giao điểm O hai đường chéo AC BD Biết SA = a 2, AC = 2a, SM = a , với M trung điểm cạnh AB Tính theo a thể tích khối chóp S.ABCD khoảng cách hai đường thẳng SM AC Câu (1,0 điểm) Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho hình thang cân ABCD (AD // BC) có phương trình đường thẳng AB : x − y + = đường thẳng AC : y − = Gọi I giao điểm hai đường chéo AC BD Tìm tọa độ đỉnh hình thang cân ABCD, biết IB = IA , hoành độ điểm I: xI > −3 M ( −1;3) nằm đường thẳng BD (1 − y )( x − y + 3) − x = ( y − 1)3 x  ( x, y ∈ ¡ ) Câu (1,0 điểm) Giải hệ phương trình  3  x − y + x − = 2( y − 2) Câu (1,0 điểm) Cho x, y hai số thực dương thỏa mãn x + y ≤ Tìm giá trị nhỏ biểu thức P = xy + y + 5( x + y ) − 24 8( x + y ) − ( x + y + 3) Hết Câu 1.a ĐÁP ÁN Nội dung a) Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị (C) hàm số m = y = x +3x + Tập xác định : D = R *Sự biến thiên : - Chiều biến thiên : y’= 3x + ; y’> , ∀x ∈ R Điểm 1,00 0,25 -Hàm số đồng biến R hàm số cực trị 0,25 y = −∞ ; lim y = + ∞ - Giới hạn : xlim → −∞ x → +∞ - Bảng biến thiên : x -∞ y’ y -Đồ thị : +∞ + +∞ -∞ y 0,25 0,25 -1 x 1,00đ b)Phương trình hoành độ giao điểm (C m ) d :x + 2mx +(m+3)x + =x + 4(1) x = ⇔ x(x +2mx + m + 2) = ⇔   x + 2mx + m + = (2) 0,25 0,25 uuur uuur * OA = (2;1; −1), AB = (1; 0;3) không phương: O, A, B không thẳng hàng uuuur uuur Ta có OM = t OA = (2t ; t ; −t ) ⇒ M (2t; t ; −t ) 0.25 Tam giác MAB vuông M uuuur uuuur 0.25 uuuur uuuur AM (2t − 2; t − 1; −t + 1), BM (2t − 3; t − 1; −t − 2) AM BM = ⇔ (2t − 2)(2t − 3) + (t − 1)(t − 1) + (−t + 1))( −t − 2) = ⇔ 6t − 11t + = ⇔ t = 1, t = 5 5 • t = → M (2;1; −1) ≡ A (loại) t = → M ( ; ; − ) thỏa toán 6 0,25 Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình chữ nhật, hình chiếu vuông góc đỉnh S lên mp(ABCD) trùng với giao điểm O hai đường chéo AC BD Biết SA = a 2, AC = 2a, SM = a , với M trung điểm cạnh AB Tính theo a thể tích khối chóp S.ABCD khoảng cách hai đường thẳng SM AC 1,00 Từ giả thiết SO ⊥ ( ABCD) ⇒ SO ⊥ AC , OA = a , SO = SA2 − OA2 = a ∆OSM ⊥ O : OM = SM − SO = 0,25 a Ta có ∆ABC ⊥ B : BC = 2MO = a, AB = AC − BC = 3a 3 AB.BC.SO = a 3 Gọi N trung điểm BC ⇒ MN / / AC ⇒ d ( SM , AC ) = d ( AC , ( SMN )) = d (O,( SMN )) VS ABCD = : ∆OMN ⊥ O ∆OMN ⊥ O : OH ⊥ MN , SO ⊥ MN ⇒ MN ⊥ ( SOH ) 0,25 0,25 ∆SOH ⊥ O :OK ⊥ SH ⇒ OK ⊥ ( SMN ) ⇒ OK = d (O, ( SMN ) a a, OM = , OH ⊥ MN ⇒ OH = a 2 OS OH 57 ∆SOH ⊥ O : d ( SM , AC ) = OK = = a 2 19 OS + OH ∆OMN ⊥ O : ON = Cho hình thang cân ABCD (AD // BC) có phương trình đường thẳng AB : x − y + = đường thẳng AC : y − = Gọi I giao điểm hai đường chéo AC BD Tìm tọa độ đỉnh hình thang cân ABCD, biết IB = IA , hoành độ điểm I: xI > −3 M ( −1;3) nằm đường thẳng BD 0,25 1,00 Ta có A giao điểm AB AC nên A ( 1; ) 0,25 Lấy điểm E ( 0; ) ∈ AC Gọi F ( 2a − 3; a ) ∈ AB cho EF // BD EF AE EF BI = ⇔ = = ⇔ EF = AE BI AI AE AI a = 2 ⇔ ( 2a − 3) + ( a − ) = ⇔   a = 11  uuur Với a = EF = ( −1; −1) vtcp đường thẳng BD Nên chọn vtpt r BD n = ( 1; −1) Pt BD : x − y + = ⇒ BD ∩ AC = I ( −2; ) Khi 0,25 0,25 BD ∩ AB = B ( −5; −1) uur uur IB uur IB uur   ID = − ID = − ID ⇒ D  − 2; + ÷ ID IA   uur uu r uu r uu r IA IA IA = − IC = − IC = − IC ⇒ C −3 − 2; IC IB uuur   11 Với a = EF =  ; ÷ vtcp đường thẳng BD Nên chọn vtpt 5 5 r BD n = ( 1; −7 ) Do đó, BD : x − y + 22 = ⇒ I ( −8; ) (loại) Ta có IB = − ( ) 0,25 (1 − y )( x − y + 3) − x = ( y − 1)3 x (1)  ( x, y ∈ ¡ ) (I) Giải hệ phương trình   x − y + x3 − = 2( y − 2) (2) 2  x − y ≥  x ≥ y ⇔ ĐKXĐ:   x ≥ 0, y ≥  x ≥ 1, y ≥ Nhận xét x ≥ 1, y = không nghiệm hệ Xét y > pt (1) hệ (I) x + x( y − 1) − 3( y − 1) + ( y − 1) x( y − 1) = 1,00 0,25  x  x ⇔ −3+ ÷ + y −1  y −1  t= x =0 y −1 x , t > Khi đó, pt (1) trở thành y −1 t + t + t − = ⇔ ( t − 1) ( t + t + 2t + ) = ⇔ t = Với t = 1, x = ⇔ y = x + , vào pt(2), ta y −1 0,25 x − x − + x3 − = ( x − 1) ⇔ x − x − +  x − − ( x − 1)  =     x2 − x −1  =0 ⇔ x − x −1 +   2 3  ( x − ) + + ( x − 1) x − + ( x − 1)    ⇔ x − x − 1 +    ÷ =0 ÷ ÷ x − + ( x − 1)  x2 − x −1 (x − ) + + ( x − 1) 0,25 1+ 1+ 3+ Với x = ⇒y= 2 ⇔ x2 − x −1 = ⇔ x = ( x ≥ 1)  1+ +  ; ÷ ÷   Cho x, y hai số thực dương thỏa mãn x + y ≤ Tìm giá trị nhỏ 0,25 Đối chiếu ĐK, hệ phương có nghiệm ( x; y ) =  1,00 biểu thức P = xy + y + 5( x + y ) − 24 8( x + y ) − ( x + y + 3) 2x + + y +  Ta có 6( x + 1)( y + 1) = (2 x + 2)(3 y + 3) ≤  ÷ ≤ 36 ⇒ x + y + xy ≤   0,25 Ta có 5( x + y ) ≥ ( x + y ) ⇒ 5( x + y ) ≥ x + y ( x + y − 3) = x + y + + xy − x − y ≥ ⇔ 2( x + y + xy + 3) ≥ 8( x + y ) − ( x + y + 3) Suy P ≥ 2( xy + x + y ) − 24 2( x + y + xy + 3) 0,25 Đặt t = x + y + xy, t ∈ ( 0;5] , P ≥ f (t ) = 2t − 24 2t + / Ta có f (t ) = − 24.2 3 (2t + 6) =2 (2t + 6) − (2t + 6) < 0, ∀t ∈ ( 0;5] 0,25 Vậy hàm số f(t) nghịch biến khoảng ( 0;5] Suy f (t ) = f (5) = 10 − 48 x = y =1 Vậy P = 10 − 48 2,  0,25 Chú ý: Mọi cách giải khác cho điểm tối đa Hết [...]... (loại) và t = → M ( ; ; − ) thỏa bài toán 6 3 6 6 0,25 6 Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật, hình chiếu vuông góc của đỉnh S lên mp(ABCD) trùng với giao điểm O của hai đường chéo AC và BD Biết SA = a 2, AC = 2a, SM = 5 a , với M là trung điểm cạnh AB Tính 2 theo a thể tích khối chóp S.ABCD và khoảng cách giữa hai đường thẳng SM và AC 1,00 Từ giả thi t SO ⊥ ( ABCD) ⇒ SO ⊥ AC , OA = a...  − ;1 0,25 Một ban văn nghệ đã chuẩn bị được 3 tiết mục múa, 5 tiết mục đơn ca và 4 tiết mục hợp ca Nhưng thời gian buổi biểu diễn văn nghệ có giới hạn, ban tổ chức chỉ cho phép biểu diễn 2 tiết mục múa, 2 tiết mục đơn ca và 3 tiết mục hợp ca Hỏi có bao nhiêu cách chọn các tiết mục tham gia biểu diễn? Mỗi cách chọn 2 tiết mục múa trong 3 tiết mục múa là một tổ hợp chập 2 của 0,50 1  2  3, suy ra... cân ABCD (AD // BC) có phương trình đường thẳng AB : x − 2 y + 3 = 0 và đường thẳng AC : y − 2 = 0 Gọi I là giao điểm của hai đường chéo AC và BD Tìm tọa độ các đỉnh của hình thang cân ABCD, biết IB = 2 IA , hoành độ điểm I: xI > −3 và M ( −1;3) nằm trên đường thẳng BD 0,25 1,00 Ta có A là giao điểm của AB và AC nên A ( 1; 2 ) 0,25 Lấy điểm E ( 0; 2 ) ∈ AC Gọi F ( 2a − 3; a ) ∈ AB sao cho EF //... mục đơn ca: C52 = 10 Mỗi cách chọn 3 tiết mục hợp ca trong 4 tiết mục hợp ca là một tổ hợp chập 3 của 4, suy ra số cách chọn 3 tiết mục hợp ca: C43 = 4 Theo quy tắc nhân, số cách chọn các tiết mục tham gia biểu diễn: 3.10.4 = 120 Giải phương trình cot 2 x = 1 − tan x 1 + tan x 0,25 0,25 1,00 π  sin 2 x ≠ 0 x≠ k    2 ĐK: cos x ≠ 0 ⇔   tan x ≠ −1  x ≠ − π + kπ    4 π  π  Với ĐK pt ⇔ tan... 6) 2 < 0, ∀t ∈ ( 0;5] 0,25 Vậy hàm số f(t) nghịch biến trên nữa khoảng ( 0;5] Suy ra min f (t ) = f (5) = 10 − 48 3 2 x = 2 y =1 3 Vậy min P = 10 − 48 2, khi  0,25 Chú ý: Mọi cách giải khác đúng đều cho điểm tối đa Hết ... dung a) Khảo sát biến thi n vẽ đồ thị (C) hàm số m = y = x +3x + Tập xác định : D = R *Sự biến thi n : - Chiều biến thi n : y’= 3x + ; y’> , ∀x ∈ R Điểm 1,00 0,25 -Hàm số đồng biến R hàm số cực... mục hợp ca Nhưng thời gian buổi biểu diễn văn nghệ có giới hạn, ban tổ chức cho phép biểu diễn tiết mục múa, tiết mục đơn ca tiết mục hợp ca Hỏi có cách chọn tiết mục tham gia biểu diễn? Câu (1,0... lim y = + ∞ - Giới hạn : xlim → −∞ x → +∞ - Bảng biến thi n : x -∞ y’ y -Đồ thị : +∞ + +∞ -∞ y 0,25 0,25 -1 x 1,00đ b)Phương trình hoành độ giao điểm (C m ) d :x + 2mx +(m+3)x + =x + 4(1) x =