ĐỀ THI THAM KHẢO KỲ THI THPT QUỐC GIA NĂM 2015 SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG THCS & THPT TÂY SƠN Môn : TOÁN Thời gian làm : 180 phút Câu ( 2,0 điểm): Cho hàm số y = 2x − (1) − 2x a/ Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị (C) hàm số (1) b/ Tìm tất giá trị tham số m để đường thẳng (d) : y = 2x − m cắt đồ thị (C) hai điểm phân biệt mà hai tiếp tuyến (C) hai điểm song song với Câu ( 1,0 điểm ) a/ Giải phương trình sin x.cos 3x + cos3 x.sin 3x = sin 4x b/ Cho số phức z thỏa mãn hệ thức : (3 − 2i)z − (1 − 4i)z = −14 − 8i Tính môđun z Câu ( 0,5 điểm ) Giải phương trình : log (x − 2).log (25x − 50) =  x + 91 = y − + y Câu ( 1,0 điểm ) Giải hệ phương trình :   y + 91 = x − + x 2 Câu ( 1,0 điểm ) Tính tích phân : I = ∫ [ x − + log x]dx Câu ( 1,0 điểm ) Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình vuông cạnh a, ∆SAB cân S; mặt phẳng (SAB) vuông góc với mặt phẳng (ABCD); góc đường thẳng SD mặt phẳng (ABCD) 450 Gọi M, N, E trung điểm cạnh CD, SC AD Gọi F hình chiếu E lên cạnh SD Tính thể tích khối chóp S.ABCD chứng minh mặt phẳng (AMN) vuông góc với mặt phẳng (CEF) Câu ( 1,0 điểm ) Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho hình chữ nhật ABCD với A(1; –7) điểm C thuộc đường thẳng 2x + y = Gọi M điểm đối xứng B qua A, H(5; –4) hình chiếu B lên DM Tìm tọa độ điểm C, D Câu ( 1,0 điểm ) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho hai điểm A ( 3;0; −2 ) , B ( 2; −4;0 ) Viết phương trình tham số đường thẳng qua hai điểm A, B phương trình mặt cầu (S) tâm O, tiếp xúc với đường thẳng AB Câu ( 0,5 điểm ) Một hộp chứa viên bi xanh, viên bi đỏ viên bi vàng Lấy ngẫu nhiên bi Tính xác suất để lấy viên bi khác màu Câu 10 ( 1,0 điểm ) Tìm giá trị nhỏ biểu thức P = 5+4 x 6+ x + 9−x HẾT ĐÁP ÁN Câu (2,0 đ) Đáp án Điểm a.(1,0 điểm) Tập xác định: D = R \ { 1} Giới hạn tiệm cận lim y = +∞ , lim− y = −∞ , lim y = lim y = −1 x →−∞ x →+∞ x →1 0,25 x →1+ Suy đồ thị hàm số có tiệm cận đứng đường thẳng x = tiệm cận ngang đường thẳng y = −1 Sự biến thiên −2 < 0; ∀x ∈ D (2 − 2x) Suy hàm số nghịch biến khoảng ( −∞;1) ( 1; +∞ ) Chiều biến thiên: y ' = 0,25 Cực trị: hàm số cho cực trị • Bảng biến thiên x y' -∞ +∞ - - -1 y • 0,25 +∞ -∞ -1 Đồ thị: - (C) cắt Ox điểm: ( ; 0) - (C) cắt Oy điểm:  0; − ÷ - Đồ thị   0,25 3 2 b.(1,0 điểm) Phương trình hoành độ giao điểm đồ thị (C) : y = 2x − đường thẳng − 2x 2x − = 2x − m ; x ≠ − 2x ⇔ g(x) = 4x − 2(m + 1)x + 2m − = (*) ; x ≠ d : y = 2x − m :  m − 6m + 13 > ∆ 'g( x) >   ycbt ⇔ g(1) ≠ ⇔  4.1 − 2(m + 1).1 + 2m − ≠   y' = y ' −2 −2 x2  x1  = (2 − 2x )  (2 − 2x1 ) x1 , x hai nghiệm phân biệt khác (*) ∀m ⇔  x1 + x = 2(m + 1) ⇔ =2 ⇔m=3 0,25 0,25 0,25 0,25 (1,0 đ) a) (0,5 điểm) Kí hiệu (1) phương trình cho ta có (1) ⇔ sin x(4cos x − 3cos x) + cos x(3sin x − 4sin x) = sin 4x ⇔ 3sin x cos x(cos x − sin x) = sin 4x ⇔ sin 4x = sin 4x ⇔ sin 4x(sin 4x − ) = kπ  x =  4x = kπ sin 4x =  ⇔ ⇔  ; ( k ∈ Z) π 8x = ± cos8x = − π kπ + k2π  x=± +    12 0,25 0,25 b) (0,5 điểm) Đặt z = a + bi(a, b ∈ R;i = −1) Khi z = a − bi Do đó, kí hiệu (*) hệ thức cho đề , ta có : (*) ⇔ (3 − 2i)(a + bi) − (1 − 4i)(a − bi) = −14 − 8i ⇔ (2a + 6b) + (2a + 4b)i = −14 − 8i 2a + 6b = −14 a = ⇔ ⇔ 2a + 4b = −8  b = −3 0,25 0,25 z = 22 + (−3) = 13 (0,5 đ) (1,0 đ) Điều kiện xác định: x > (1) Với điều kiện kí hiệu (2) phương trình cho, ta có : (2) ⇔ log (x − 2).[2 + log (x − 2)] = log (x − 2) = ⇔ log (x − 2) = −3 x = ⇔ (thỏa (1))  x = 251 125   x + 91 = y − + y (1) Xét hệ   y + 91 = x − + x (2) x ≥ Điều kiện  y ≥ Lấy (1) trừ (2)vế theo vế ta 0,25 0,25 0,25 x + 91 − y + 91 = y − − x − + y − x ⇔ x − y2 x + 91 + y + 91 ⇔x=y Thay x = y vào (1) ta có = y−x + y2 − x y−2 + x−2 x + 91 = x − + x ⇔ x + 91 − 10 = x − − + x − ⇔ x −3= ⇔ x = 0,25 0,25 Vậy hệ phương trình có nghiệm ( x; y ) = ( 3;3) (1,0 đ) 2 1 I = ∫ x − 1dx + ∫ log xdx I1 = ∫ 0,25 0,25 2 x − 1dx = ∫ ( x − 1) dx = ( x − 1) = 3 1 2 2  1  I = ∫ log xdx = ln xdx =  x.ln x − ∫ dx ÷ = − ∫ 1  ln ln  ln I= − ln 0,25 0,25 0,25 (1,0 đ) Tính thể tích khối chóp S.ABCD (SAB) ∩ (ABCD) = AB (SAB) ⊥ (ABCD) ⇒ SH ⊥ (ABCD) Trong (SAB), có: SH ⊥ AB Hình chiếu SD lên mặt phẳng (ABCD) HD (· 0,25 ) · ⇒ SD, ( ABCD ) = (·SD, HD ) = SDH = 450 ∆AHD vuông A, cho: HD = AH + AD = ∆SHD cân nên HD = SH = a a a3 SABCD = a ⇒ VS.ABCD = SH.SABCD = (đvtt) Chứng minh: ( CEF ) ⊥ ( AMN ) Gọi I = CE ∩ HD · · ∆DAH = ∆CDE ⇒ ADH = ECD · · · · Ta có : ADH + HDC = 900 ⇒ ECD + HDC = 900 ⇒ ∆DIC vuông I Có: HD ⊥ EC, CE ⊥ SH ⇒ CE ⊥ (SHD) ⇒ CE ⊥ SD SD ⊥ EF ⇒ SD ⊥ (CEF), mà MN // SD ⇒ MN ⊥ (CEF) ⇒ (AMN) ⊥ (CEF) (1,0 đ) 0,25 0,25 0,25 Gọi I giao điểm AC BD Có C ( c; −2c ) ∈ d ⇒ I   c + −7 − 2c  ; ÷   ∆BHD vuông H ⇒ IH = BD = IA 0,25 5c − 22c + 82 5c − 30c + 50 ;IA = 2  1 ⇒ c = –4, C = ( −4;8 ) , I  − ; ÷  2 0,25 IH = (BH): x – 3y – 17 = 0, (AC) : 3x + y + = 1 2 Gọi E = BH ∩ AC ⇒ E  ; − (1,0 đ) 0,25 11  ÷ 2 Có AE đường trung bình ∆BHM ⇒ E trung điểm BH ⇒ B ( −4; −7 ) , D ( 1;8 ) 0,25 Đường thẳng AB qua điểm A(3;0; −2) uuur nhận AB = (−1; −4;2) làm vectơ phương 0,25 x = − t  Đường thẳng AB có phương trình tham số :  y = −4t ; (t ∈ R) z = −2 + 2t  uuur uuur Ta có OA, AB = ( −8; −4; −12 ) uuur uuur OA, AB (−8) + (−4) + (−12)   d(O, AB) = = = uuur AB (−1) + (−4) + 22 Mặt cầu (S) có tâm O(0;0;0) bán kính r = d(O, AB) = 32 có phương trình : x + y + z = (0,5 đ) 0,25 0,25 0,25 2 Số phần tử không gian mẫu: n ( Ω ) = C9 = 36 Gọi A biến cố lấy bi khác màu: n(A) = C14 C13 + C13 C12 + C12 C14 = 26 0,25 0,25 n(A) 13 = Xác suất biến cố A là: P(A) = n ( Ω ) 18 10 (1,0 đ) Điều kiện xác định: ≤ x ≤ + 12sin t  π Đặt x = 9sin t , t ∈  0;  P = (1) + 3sin t + 3cos t  2 (1) ⇔ ( 3P − 12 ) sin t + 3P cos t = − 6P (2) (2) có nghiệm ⇔ ( 3P − 12 ) + (3P) ≥ ( − 6P ) Vậy Pmin ⇔ 18P + 12P − 119 ≤ −2 − 11 −2 + 11 ⇔ ≤P≤ 6 −2 − 11 = 0,25 0,25 0,25 0,25 ... thẳng y = −1 Sự biến thi n −2 < 0; ∀x ∈ D (2 − 2x) Suy hàm số nghịch biến khoảng ( −∞;1) ( 1; +∞ ) Chiều biến thi n: y ' = 0,25 Cực trị: hàm số cho cực trị • Bảng biến thi n x y' -∞ +∞ - -... điểm: ( ; 0) - (C) cắt Oy điểm:  0; − ÷ - Đồ thị   0,25 3 2 b.(1,0 điểm) Phương trình hoành độ giao điểm đồ thị (C) : y = 2x − đường thẳng − 2x 2x − = 2x − m ; x ≠ − 2x ⇔ g(x) = 4x − 2(m + 1)x... 0,25 b) (0,5 điểm) Đặt z = a + bi(a, b ∈ R;i = −1) Khi z = a − bi Do đó, kí hiệu (*) hệ thức cho đề , ta có : (*) ⇔ (3 − 2i)(a + bi) − (1 − 4i)(a − bi) = −14 − 8i ⇔ (2a + 6b) + (2a + 4b)i = −14