TRƯỜNG THPT NGUYỄN VIẾT XN ĐỀ THAM KHẢO THI THPT QUỐC GIA 2015 TỔ TỐN- TIN Mơn: TỐN  Thời gian: 180 phút (khơng kể thời gian phát đề ) Câu 1:( 2,0 điểm) Cho hàm số: y = f ( x ) = x − x + Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị (C) hàm số Dùng đồ thị (C) để tìm tất số thực m cho phương trình − x + x + 3m − = có bốn nghiệm thực phân biệt Câu 2: (1,0 điểm) 1) Giải phương trình: cos x(2 cos x + 1) = 2) Giải phương trình sau tập số phức: z + z = + 4i Câu 3: (0,5 điểm) Giải phương trình sau: x +1 + x + − = Câu 4: (1 điểm) Tính tích phân sau: I= ∫ (6 x + x ) ln xdx Câu 5: (1 điểm) Giải bất phương trình sau: x −13 − x −9 ≤ x − 27 Câu 6: (1 điểm) Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC tam giác cạnh a ,tam giác SAB cân S thuộc mặt phẳng vng góc với mặt phẳng (ABC).Hai mặt phẳng (SCA) (SCB) hợp với góc 600 Tính thể tích khối chóp S.ABC theo a Câu 7: (1 điểm) Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho hình chữ nhật ABCD có đường phân giác góc ·ABC qua trung điểm cạnh AD có phương trình x − y + = ; đỉnh D nằm đường thẳng có phương trình x+y-9=0 Biết điểm E(-1;2) nằm đoạn thẳng AB đỉnh B có hồnh độ âm Tìm tọa độ đỉnh hình chữ nhật Câu 8: (1 điểm) Trong khơng gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng d1 : x − y + z +1 = = ; −1 x −1 y +1 z x y −1 z − = = ; d3 : = = Chứng minh d2 d3 chéo Viết phương trình đường −1 thẳng ∆ vng góc với d1, cắt d2 d3 hai điểm A, B cho AB = d2 : Câu 9: (0,5 điểm) Gọi S tập hợp tất số tự nhiên gồm ba chữ số phân biệt chọn từ số 1; 2; 3; 4; 5; 6; Xác định số phần tử S Chọn ngẫu nhiên số từ S, tính xác suất để số chọn số chẵn Câu 10 : (1 điểm) Cho số thực dương x,y,z thỏa mãn : y ≥ xz; z ≥ xy Tìm GTNN biểu thức: P = x y 2015.z + + x+ y y+z z+x -Hết TRƯỜNG THPT NGUYỄN VIẾT XN HƯỚNG DẪN CHẤM Mơn: TỐN TỔ TỐN- TIN THAM KHẢO THI THPT QUỐC GIA 2015  Thời gian: 180 phút (khơng kể thời gian phát đề ) Ghi chú: - Hướng dẫn chấm gồm trang - Thí sinh làm cách khác khơng hướng dẫn chấm, cho trọn điểm Câu Nội dung cần trình bày Điểm 1điểm Cho hàm số y = f ( x ) = x − x + (1) 1a) Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị (C) hàm số (1) +) Tập xác định D = ¡ 0.25 y′ = x − x y ′ = ⇔ x = ∨ x = ±1 +) giới hạn : lim y = +∞; lim y = +∞ ( Đồ thị khơng có tiệm cận) 0.25 +) Bảng biến thiên: 0.25 +) Đạo hàm : x →−∞ x −∞ − y′ y +∞ −1 + x →+∞ 0 − +∞ + +∞ 2 Hàm số đồng biến ( −1;0 ) ; ( 1; +∞ ) , nghịch biến ( −∞; −1) ; ( 0;1) Cực đại ( 0;3) , cực tiểu 0.25 +) Đồ thị : Dùng đồ thị (C) để tìm tất số thực m cho phương điểm trình − x + x + 3m − = có bốn nghiệm thực phân biệt 0.5 − x + x + 3m − = ⇔ x − x + = 3m − ( *) (*) phương trình hồnh độ giao điểm đồ thị (C) đường thẳng d : y = 3m − Số giao điểm đồ thị (C) đường thẳng d số nghiệm phương trình (*) +) Để (*) có bốn nghiệm phân biệt (C) cắt d điểm phân biệt 0.5 ⇔ < 3m − < ⇔ < m < 3 2a) Giải phương trình cos 3x(2 cos x + 1) = (1) PT ⇔ cos 3x(4 cos x − 1) = ⇔ cos 3x(3 − sin x) = Nhận xét x = kπ , k ∈ Z khơng nghiệm phương trình ta có: cos 3x (3 − sin x) = ⇔ cos x(3 sin x − sin x) = sin x 0.5điểm 0.25đ 0.25đ ⇔ cos x sin 3x = sin x ⇔ sin x = sin x 2mπ  x=  x = x + m π  ⇔ ⇔ ;m∈Z 6 x = π − x + m2π  x = π + 2mπ  7 2mπ = kπ ⇔ 2m=5k ⇔ m = 5t , t ∈ Z Xét π 2mπ + Xét = kπ ⇔ 1+2m=7k ⇔ k=2(m-3k)+1 hay k=2l+1& m=7l+3, 7 l∈Z 2mπ π 2mπ Vậy phương trình có nghiệm: x = ( m ≠ 5t ); x = + ( m ≠ 7l + ) 7 m, t , l ∈ Z 2b) Giải phương trình sau tập số phức: z + z = + 4i Đặt z = a + bi ( a, b ∈ ¡ ) ⇒ z = a − bi Phương trình trở thành 3a − bi = + 4i 3a = a = ⇔ ⇔ −b = b = −4 Vậy z = − 4i Giải phương trình x +1 + x + − = PT ⇔ 4.4 x + 4.2 x − = ⇔ 4.22 x + 4.2 x − = (1) Đặt t=2x (t>0)  t = ( n)  2 (1) ⇒ 4t + 4t − = ⇒  −  t = (l )  1 Với t = ⇔ x = ⇔ x = −1 2 Tính tích phân I = ∫ (6 x + x) ln xdx 0.25đ 0.25đ 0.5 0.25 0,25đ 0,5 điểm 0,25 0.25 điểm   du = dx   x u = ln x   ⇒ Đặt    dv = (6 x +2x)dx v =  x + x ÷      x   x I =  x + ÷ln x  − ∫ (x + )dx 2  1 0,25 0.25  x6 x2  I = 66 ln −  +   1 45 I = 66 ln − Giải bất phương trình sau: Điều kiện: 0.25 0.25 x −13 − x −9 ≤ x −27 1điểm 27 x ≥ Bất phương trình cho tương đương với: 27  x ≥   x −13 ≤ x − 27 + x −  27  x ≥ ⇔ 7 x − 13 ≤ x − 36 +  ( 3x − ) ( x − 27 ) 27  x ≥ ⇔ 2 ( 3x − ) ( x − 27 ) ≥ 23 − x   27 229 + 6576  ≤ x ≤ 23 ⇔ ⇔ ≤ x ≤ 23 59 59 x − 458 x + 443 ≥  0,25 0.25 0.25 0.25 Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC tam giác cạnh a ,tam giác SAB cân S thuộc mặt phẳng vng góc với mặt phẳng (ABC).Hai mặt phẳng điểm (SCA) (SCB) hợp với góc 600 Tính thể tích khối chóp S.ABC theo a Gọi H trung điểm AB ⇒ SH ⊥ AB ⇒ SH ⊥ ( ABC ) Kẻ AK ⊥ SC ⇒ SC ⊥ ( AKB ) ⇒ SC ⊥ KB 0.25 0.25 ⇒ ( SAC ) ; ( SBC )  = ( KA; KB ) = 600 ⇒ ∠AKB = 600 ∨ ∠AKB = 1200 Nếu ⇒ ∠AKB = 600 dễ thấy ∆KAB ⇒ KA = KB = AB = AC (vơ lí) Vậy ∠AKB = 1200 ∆ΚΑΒ cân K ⇒ ∠AKH = 600 ⇒ KH = AH a = tan 60 0.25 Trong ∆SHC vng H,đường cao a 1 a KH = = + HC = vào ta 2 thay KH HC HS a SH = 1 a a2 a3 VS.ABC = SH.dt ∆ABC = = 3 32 KH có Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho hình chữ nhật ABCD có đường phân giác góc ·ABC qua trung điểm cạnh AD có phương trình x − y + = ; đỉnh D nằm đường thẳng có phương trình x+y-9=0 Biết điểm E(-1;2) nằm đoạn thẳng AB đỉnh B có hồnh độ âm Tìm tọa độ đỉnh hình chữ nhật A E 0.25 điểm D M B E' O C Gọi E '( x0 ; y0 ) điểm đối xứng E qua phân giác ta có hệ  ( x0 + 1) + ( y0 − ) =  x + y0 = x =0  ⇔ ⇔ , E '(0;1)  x − y0 + x − y = − y = − − + = 0 0     2 Gọi B(t; t+2), t < 0,do ABCD hình chữ nhật E nằm đoạn AB nên E' nằm đoạn BC ⇒ BE ⊥ BE' ⇒ ( t + 1) t + t ( t + 1) = ⇒ t = −1 t 1 ≥ c > 1 2015 ⇒ + + P =  1+ a 1+ b 1+ c  a.b.c = a.b = Ta có : 1 2 c + ≥ ≥ + a + b + ab + c Suy ra: P = c 2015 c 2015 + ≥ + 1+ c 1+ c 1+ c 1+ c 0.25 F(t) hàm nghịch biến (0;1]; f (t ) = ⇒ minP = 2t + 2015 2017 ⇒ f (t ) = f (1) = t +1 2017 0.25 0.25