ỨNG DỤNG CỦA PHÉP BIẾN ĐỔI LAPLACE GIẢI PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN, HỆ PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN, PHƯƠNG TRÌNH ĐẠO HÀM RIÊNG TS Lê Xuân Đại Trường Đại học Bách Khoa TP HCM Khoa Khoa học ứng dụng, môn Toán ứng dụng Email: ytkadai@hcmut.edu.vn TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) TP HCM — 2016 ỨNG DỤNG CỦA PHÉP BIẾN ĐỔI LAPLACE GIẢI PHƯƠNGTP TRÌNH HCM VI — PHÂN, 2016 HỆ 1PHƯƠN / 21 NỘI DUNG ĐẶT VẤN ĐỀ GIẢI PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN GIẢI PHƯƠNG TRÌNH ĐẠO HÀM RIÊNG TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) ỨNG DỤNG CỦA PHÉP BIẾN ĐỔI LAPLACE GIẢI PHƯƠNGTP TRÌNH HCM VI — PHÂN, 2016 HỆ 2PHƯƠN / 21 Đặt vấn đề ĐẶT VẤN ĐỀ Phép biến đổi Laplace phép biến đổi tích phân mà mục tiêu biến phép tính giải tích đạo hàm, tích phân thành phép tính đại số Như vậy, qua phép biến đổi Laplace ta chuyển phương trình vi phân, phương trình đạo hàm riêng, phương trình tích phân thành phương trình đại số TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) ỨNG DỤNG CỦA PHÉP BIẾN ĐỔI LAPLACE GIẢI PHƯƠNGTP TRÌNH HCM VI — PHÂN, 2016 HỆ 3PHƯƠN / 21 Giải phương trình vi phân Nội dung Xét phương trình vi phân với hàm phải tìm y(t) với điều kiện ban đầu Lấy phép biến đổi Laplace vế phương trình cho Phương trình chứa hàm cần tìm L{y(t)} = Y (s) phương trình vi phân Giải phương trình tìm Y (s), sau dùng phép biến đổi Laplace ngược tìm lại hàm y(t) TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) ỨNG DỤNG CỦA PHÉP BIẾN ĐỔI LAPLACE GIẢI PHƯƠNGTP TRÌNH HCM VI — PHÂN, 2016 HỆ 4PHƯƠN / 21 Giải phương trình vi phân Nội dung L{y(t)} = Y (s) (1) L{y (t)} = sY (s) − y(0) (2) L{y (t)} = s2Y (s) − sy(0) − y (0) (3) TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) ỨNG DỤNG CỦA PHÉP BIẾN ĐỔI LAPLACE GIẢI PHƯƠNGTP TRÌNH HCM VI — PHÂN, 2016 HỆ 5PHƯƠN / 21 Giải phương trình vi phân Nội dung VÍ DỤ 2.1 Giải phương trình y (t) + 2y(t) = với điều kiện ban đầu y(0) = Dùng phép biến đổi Laplace lên vế phương trình, ta L{y (t) + 2y(t)} = L{1} ⇒ [sY (s) − y(0)] + 2Y (s) = ⇒ Y (s) = s +4 s+2 TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) = s 4s + 1 = + s(s + 2) 2s 2(s + 2) ỨNG DỤNG CỦA PHÉP BIẾN ĐỔI LAPLACE GIẢI PHƯƠNGTP TRÌNH HCM VI — PHÂN, 2016 HỆ 6PHƯƠN / 21 Giải phương trình vi phân Nội dung Dùng phép biến đổi Laplace ngược tìm lại nghiệm y(t) y(t) = L−1 {Y (s)} = + e−2t 2 TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) ỨNG DỤNG CỦA PHÉP BIẾN ĐỔI LAPLACE GIẢI PHƯƠNGTP TRÌNH HCM VI — PHÂN, 2016 HỆ 7PHƯƠN / 21 Giải phương trình vi phân Nội dung VÍ DỤ 2.2 Giải phương trình y (t) + 4y(t) = 9t với điều kiện ban đầu y(0) = 0, y (0) = Dùng phép biến đổi Laplace lên vế phương trình, ta L{y (t) + 4y(t)} = L{9t} ⇒ [s2 Y (s) − sy(0) − y (0)] + 4Y (s) = s2 + 7s2 19 ⇒ Y (s) = 2 = 2+ s (s + 4) 4s 4(s + 22 ) TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) ỨNG DỤNG CỦA PHÉP BIẾN ĐỔI LAPLACE GIẢI PHƯƠNGTP TRÌNH HCM VI — PHÂN, 2016 HỆ 8PHƯƠN / 21 Giải phương trình vi phân Nội dung Dùng phép biến đổi Laplace ngược tìm lại nghiệm y(t) 19 y(t) = L−1 {Y (s)} = t + sin(2t) TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) ỨNG DỤNG CỦA PHÉP BIẾN ĐỔI LAPLACE GIẢI PHƯƠNGTP TRÌNH HCM VI — PHÂN, 2016 HỆ 9PHƯƠN / 21 Giải phương trình vi phân Nội dung GHW #6 BÀI TẬP 2.1 Giải phương trình vi phân sau phép biến đổi Laplace y (t) + 4y(t) = 0, y(0) = 2, y (0) = 2s + Đáp số Y (s) = ⇒ y(t) = sin(2t) + cos(2t) s +4 TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) ỨNG DỤNG CỦA PHÉP BIẾN ĐỔI LAPLACE GIẢI PHƯƠNG TP.TRÌNH HCM — VI2016 PHÂN, HỆ10PHƯƠN / 21 Giải phương trình vi phân Nội dung GHW #6 BÀI TẬP 2.2 Giải phương trình vi phân sau phép biến đổi Laplace y (t) − 3y (t) + 2y(t) = 4t + 12e−t , y(0) = 6, y (0) = −1 3 2 Đáp số Y (s) = + + + − s s s+1 s−1 s−2 −t ⇒ y(t) = + 2t + 2e + 3et − 2e2t TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) ỨNG DỤNG CỦA PHÉP BIẾN ĐỔI LAPLACE GIẢI PHƯƠNG TP.TRÌNH HCM — VI2016 PHÂN, HỆ11PHƯƠN / 21 Giải hệ phương trình vi phân VÍ DỤ 3.1 Giải hệ phương trình vi phân x (t) − 2x(t) + 3y(t) = y (t) + 2x(t) − y(t) = với điều kiện ban đầu x(0) = 8, y(0) = Dùng phép biến đổi Laplace lên vế phương trình, ta L{x (t) − 2x(t) + 3y(t)} = L{0} L{y (t) + 2x(t) − y(t)} = L{0} TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) ỨNG DỤNG CỦA PHÉP BIẾN ĐỔI LAPLACE GIẢI PHƯƠNG TP.TRÌNH HCM — VI2016 PHÂN, HỆ12PHƯƠN / 21 Giải hệ phương trình vi phân ⇒ (sX (s) − x(0)) − 2X (s) + 3Y (s) = (sY (s) − y(0)) + 2X (s) − Y (s) =  8s − 17   X (s) = = + s2 − 3s − s + s − ⇒ 3s − 22   Y (s) = = − s2 − 3s − s + s − ⇒ TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) x(t) = 5e−t + 3e4t y(t) = 5e−t − 2e4t ỨNG DỤNG CỦA PHÉP BIẾN ĐỔI LAPLACE GIẢI PHƯƠNG TP.TRÌNH HCM — VI2016 PHÂN, HỆ13PHƯƠN / 21 Giải hệ phương trình vi phân GHW #6 BÀI TẬP 3.1 Giải hệ phương trình vi phân x (t) − 2y(t) = y (t) + 2x(t) = t với điều kiện ban đầu x(0) = 0, y(0) = 1 t sin 2t + ⇒ x(t) = + , 2s2 2(s2 + 4) s cos 2t Y (s) = − + ⇒ y(t) = − + 4s 4(s + 4) 4 Đáp số X (s) = TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) ỨNG DỤNG CỦA PHÉP BIẾN ĐỔI LAPLACE GIẢI PHƯƠNG TP.TRÌNH HCM — VI2016 PHÂN, HỆ14PHƯƠN / 21 Giải phương trình đạo hàm riêng Công thức Nếu L{u(x, t)} = U(x, s) L ∂u = sU(x, s) − u(x, 0) ∂t (4) ∂2 u L = s2 U(x, s) − su(x, 0) − ut (x, 0) ∂t (5) ∂u dU(x, s) ∂n u dn U(x, s) L = ,L = ∂x dx ∂xn dxn (6) TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) ỨNG DỤNG CỦA PHÉP BIẾN ĐỔI LAPLACE GIẢI PHƯƠNG TP.TRÌNH HCM — VI2016 PHÂN, HỆ15PHƯƠN / 21 Giải phương trình đạo hàm riêng Công thức VÍ DỤ 4.1 Giải toán sau    utt = c uxx + f (t), < x < ∞, t > 0, u(x, 0) = 0, ut (x, 0) = 0,   u(0, t) = 0, ux (x, t) → 0, x → ∞ Cho L{u(x, t)} = U(x, s), L{f (t)} = F(s) Dùng phép biến đổi Laplace vế phương trình cho sử dụng điều kiện đầu, ta có s2 F(s) Uxx − U = − c c TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) ỨNG DỤNG CỦA PHÉP BIẾN ĐỔI LAPLACE GIẢI PHƯƠNG TP.TRÌNH HCM — VI2016 PHÂN, HỆ16PHƯƠN / 21 Giải phương trình đạo hàm riêng Công thức Đây phương trình vi phân cấp nên nghiệm U(x, s) = Aesx/c + Be−sx/c + [F(s)/s2 ] Sử dụng điều kiện biên ta U(0, s) = 0, lim Ux (x, s) = x→∞ Từ A = U(0, s) = B + [F(s)/s2] = Vậy U(x, s) = [F(s)/s2 ][1 − e−sx/c ] TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) ỨNG DỤNG CỦA PHÉP BIẾN ĐỔI LAPLACE GIẢI PHƯƠNG TP.TRÌNH HCM — VI2016 PHÂN, HỆ17PHƯƠN / 21 Giải phương trình đạo hàm riêng Công thức VÍ DỤ f (t) = f0 = const U(x, s) = f0 1 −sx/c − e s3 s3 Thực phép biến đổi Laplace ngược, ta nghiệm  f0 x    t − t− , t c u(x, t) = f0    t , t TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) x/c, x/c ỨNG DỤNG CỦA PHÉP BIẾN ĐỔI LAPLACE GIẢI PHƯƠNG TP.TRÌNH HCM — VI2016 PHÂN, HỆ18PHƯƠN / 21 Giải phương trình đạo hàm riêng Công thức VÍ DỤ f (t) = cos ωt, ω = const ∞ F(s) = e−st cos ωtdt = ⇒ U(x, s) = s s2 + ω2 1 − e−sx/c 2 s(s + ω Dùng phép biến đổi Laplace ngược, ta L−1 1 2 ωt = (1 − cos ωt) = sin s(s2 + ω2 ) ω2 ω2 TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) ỨNG DỤNG CỦA PHÉP BIẾN ĐỔI LAPLACE GIẢI PHƯƠNG TP.TRÌNH HCM — VI2016 PHÂN, HỆ19PHƯƠN / 21 Giải phương trình đạo hàm riêng Công thức Vậy  ω ωt   − sin2 (t − x/c) , t  sin2 ω 2 u(x, t) =  ωt  , t sin  ω2 TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) x/c, x/c ỨNG DỤNG CỦA PHÉP BIẾN ĐỔI LAPLACE GIẢI PHƯƠNG TP.TRÌNH HCM — VI2016 PHÂN, HỆ20PHƯƠN / 21 Giải phương trình đạo hàm riêng Công thức CÁM ƠN CÁC EM ĐÃ CHÚ Ý THEO DÕI TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) ỨNG DỤNG CỦA PHÉP BIẾN ĐỔI LAPLACE GIẢI PHƯƠNG TP.TRÌNH HCM — VI2016 PHÂN, HỆ21PHƯƠN / 21 [...]... Xuân Đại (BK TPHCM) ỨNG DỤNG CỦA PHÉP BIẾN ĐỔI LAPLACE GIẢI PHƯƠNG TP.TRÌNH HCM — VI2016 PHÂN, HỆ17PHƯƠN / 21 Giải phương trình đạo hàm riêng Công thức VÍ DỤ f (t) = f0 = const U(x, s) = f0 1 1 −sx/c − e s3 s3 Thực hiện phép biến đổi Laplace ngược, ta được nghiệm  f0 2 x 2    t − t− , khi t 2 c u(x, t) = f0 2    t , khi t 2 TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) x/c, x/c ỨNG DỤNG CỦA PHÉP BIẾN ĐỔI LAPLACE. .. đổi Laplace ngược, ta được L−1 1 1 2 2 ωt = (1 − cos ωt) = sin s(s2 + ω2 ) ω2 ω2 2 TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) ỨNG DỤNG CỦA PHÉP BIẾN ĐỔI LAPLACE GIẢI PHƯƠNG TP.TRÌNH HCM — VI2016 PHÂN, HỆ19PHƯƠN / 21 Giải phương trình đạo hàm riêng Công thức Vậy  ω ωt 2   − sin2 (t − x/c) , khi t  2 sin2 ω 2 2 u(x, t) = 2  2 ωt  , khi t sin  ω2 2 TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) x/c, x/c ỨNG DỤNG CỦA PHÉP BIẾN ĐỔI LAPLACE. .. = TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) ỨNG DỤNG CỦA PHÉP BIẾN ĐỔI LAPLACE GIẢI PHƯƠNG TP.TRÌNH HCM — VI2016 PHÂN, HỆ14PHƯƠN / 21 Giải phương trình đạo hàm riêng Công thức Nếu L{u(x, t)} = U(x, s) thì L ∂u = sU(x, s) − u(x, 0) ∂t (4) ∂2 u L = s2 U(x, s) − su(x, 0) − ut (x, 0) 2 ∂t (5) ∂u dU(x, s) ∂n u dn U(x, s) L = ,L = ∂x dx ∂xn dxn (6) TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) ỨNG DỤNG CỦA PHÉP BIẾN ĐỔI LAPLACE GIẢI PHƯƠNG... u(x, 0) = 0, ut (x, 0) = 0,   u(0, t) = 0, ux (x, t) → 0, x → ∞ Cho L{u(x, t)} = U(x, s), L{f (t)} = F(s) Dùng phép biến đổi Laplace 2 vế của phương trình đã cho và sử dụng điều kiện đầu, ta có s2 F(s) Uxx − 2 U = − 2 c c TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) ỨNG DỤNG CỦA PHÉP BIẾN ĐỔI LAPLACE GIẢI PHƯƠNG TP.TRÌNH HCM — VI2016 PHÂN, HỆ16PHƯƠN / 21 Giải phương trình đạo hàm riêng Công thức Đây là phương trình vi... trình vi phân x (t) − 2x(t) + 3y(t) = 0 y (t) + 2x(t) − y(t) = 0 với điều kiện ban đầu x(0) = 8, y(0) = 3 Dùng phép biến đổi Laplace lên 2 vế của phương trình, ta được L{x (t) − 2x(t) + 3y(t)} = L{0} L{y (t) + 2x(t) − y(t)} = L{0} TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) ỨNG DỤNG CỦA PHÉP BIẾN ĐỔI LAPLACE GIẢI PHƯƠNG TP.TRÌNH HCM — VI2016 PHÂN, HỆ12PHƯƠN / 21 Giải hệ phương trình vi phân ⇒ (sX (s) − x(0)) − 2X (s) +... phương trình vi phân Nội dung GHW #6 BÀI TẬP 2.2 Giải phương trình vi phân sau bằng phép biến đổi Laplace y (t) − 3y (t) + 2y(t) = 4t + 12e−t , y(0) = 6, y (0) = −1 3 2 3 2 2 Đáp số Y (s) = + 2 + + − s s s+1 s−1 s−2 −t ⇒ y(t) = 3 + 2t + 2e + 3et − 2e2t TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) ỨNG DỤNG CỦA PHÉP BIẾN ĐỔI LAPLACE GIẢI PHƯƠNG TP.TRÌNH HCM — VI2016 PHÂN, HỆ11PHƯƠN / 21 Giải hệ phương trình vi phân VÍ DỤ... (sY (s) − y(0)) + 2X (s) − Y (s) = 0  8s − 17 5 3   X (s) = = + s2 − 3s − 4 s + 1 s − 4 ⇒ 3s − 22 5 2   Y (s) = = − s2 − 3s − 4 s + 1 s − 4 ⇒ TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) x(t) = 5e−t + 3e4t y(t) = 5e−t − 2e4t ỨNG DỤNG CỦA PHÉP BIẾN ĐỔI LAPLACE GIẢI PHƯƠNG TP.TRÌNH HCM — VI2016 PHÂN, HỆ13PHƯƠN / 21 Giải hệ phương trình vi phân GHW #6 BÀI TẬP 3.1 Giải hệ phương trình vi phân x (t) − 2y(t) = 1 y (t)... x/c ỨNG DỤNG CỦA PHÉP BIẾN ĐỔI LAPLACE GIẢI PHƯƠNG TP.TRÌNH HCM — VI2016 PHÂN, HỆ20PHƯƠN / 21 Giải phương trình đạo hàm riêng Công thức CÁM ƠN CÁC EM ĐÃ CHÚ Ý THEO DÕI TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) ỨNG DỤNG CỦA PHÉP BIẾN ĐỔI LAPLACE GIẢI PHƯƠNG TP.TRÌNH HCM — VI2016 PHÂN, HỆ21PHƯƠN / 21 ... ĐẠO HÀM RIÊNG TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) ỨNG DỤNG CỦA PHÉP BIẾN ĐỔI LAPLACE GIẢI PHƯƠNGTP TRÌNH HCM VI — PHÂN, 2016 HỆ 2PHƯƠN / 21 Đặt vấn đề ĐẶT VẤN ĐỀ Phép biến đổi Laplace phép biến đổi tích phân... phép biến đổi Laplace ta chuyển phương trình vi phân, phương trình đạo hàm riêng, phương trình tích phân thành phương trình đại số TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) ỨNG DỤNG CỦA PHÉP BIẾN ĐỔI LAPLACE GIẢI... phân sau phép biến đổi Laplace y (t) + 4y(t) = 0, y(0) = 2, y (0) = 2s + Đáp số Y (s) = ⇒ y(t) = sin(2t) + cos(2t) s +4 TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) ỨNG DỤNG CỦA PHÉP BIẾN ĐỔI LAPLACE GIẢI PHƯƠNG TP.TRÌNH