PHN I T VN 1.Lý chn ti Trong chng trỡnh Sỏch giỏo khoa Toỏn THCS, Hc sinh ó c lm quen vi phng trỡnh bc hai: Cụng thc nghim ca phng trỡnh bc hai, c bit l nh lý Vi-ột v ng dng vic gii toỏn Song qua vic dy toỏn ti trng THCS c Thnh tụi nhn thy cỏc em dng h thc Vi-ột vo gii toỏn cha thc s linh hot, cha khai thỏc v s dng h thc Vi-ột vo gii nhiu loi toỏn, ú h thc Vi-ột cú tớnh ng dng rng rói vic gii toỏn Cui hc k lp 9, thi gian gp rỳt cho ụn thi hc k v cỏc k thi cui cp Cỏc bi toỏn cn ỏp dng h thc Vi-ột a dng cú mt nhiu k thi quan trng nh thi hc k 2, thi tuyn sinh vo lp 10, thi vo cỏc trng chuyờn, lp chn ng trc ú, tụi i sõu nghiờn cu ti Mt s ng dng ca nh lớ Vi-ột vic gii toỏn vi mong mun giỳp cho hc sinh nm vng v s dng thnh tho nh lớ Vi-ột, ng thi lm tng kh nng, nng lc hc toỏn v kớch thớch hng thỳ hc ca hc sinh 2.Mc ớch nghiờn cu: õy l mt ti rng v n cha nhiu thỳ v bt ng th hin rừ v p ca toỏn hc, c bit nú giỳp phỏt trin kh nng t sỏng to ca hc sinh, nu ny c quan tõm thng xuyờn dy hc ca cỏc thy cụ giỏo thỡ chc chn ti s l kinh nghim b ớch vic bi dng i ng hc sinh thi vo lp 10 THPT v cỏc trng chuyờn lp chn 3.i tng v phm vi ỏp dng Trong ti ny, tụi ch a nghiờn cu mt s ng dng ca nh lớ Vi-ột vic gii mt s bi toỏn thng gp cp THCS Do ú ch cp n mt s loi bi toỏn l: a, ng dng ca nh lớ Vi-ột gii toỏn tỡm iu kin ca tham s bi toỏn tho cỏc yờu cu t b, ng dng ca nh lớ Vi-ột gii bi toỏn lp phng trỡnh bc hai mt n, tỡm h s ca phng trỡnh bc hai mt n c, ng dng ca nh lớ Vi-ột gii toỏn chng minh d, p dng nh lớ Vi-ột gii phng trỡnh v h phng trỡnh e, nh lý Vi-ột vi bi toỏn cc tr phần ii Nội dung A Kin thc c bn: H thc Vi-ột: Nu x1 v x2 l hai nghim ca phng trỡnh ax + bx + c = (a 0) thỡ: b x1 + x = a c x x = a ng dng : (trng hp c bit) a) Nu phng trỡnh ax2 + bx + c = (a 0) cú a + b + c = thỡ phng trỡnh: x = 1, nghim l: x2 = c a b) Nu phng trỡnh ax2 + bx + c = (a 0) cú a - b + c = thỡ phng trỡnh: x = -1, nghim l: x2 = - c a * Nu cú hai s u v v thoó món: thỡ u v v l hai nghim ca phng trỡnh: u + v = S u.v = P x2 Sx + P = iu kin cú hai s u v v l: S2 4P B sung: a) Nu phng trỡnh ax2 + bx + c = (a 0) cú hai nghim x1 v x2 thỡ tam thc ax2 + bx + c phõn tớch c thnh nhõn t: ax2 + bx + c = a(x x1 )(x x2) b) Xột du cỏc nghim ca phng trỡnh ax2 + bx + c = (a 0) (1) iu kin phng trỡnh (1) - Cú hai nghim trỏi du l P < - Cú hai nghim cựng du l v P > * Cú hai nghim cựng dng l: , P > v S > * Cú hai nghim cựng õm l: , P > v S < B Ni dung I ứng dụng định lý Vi-ét giải toán tìm điều kiện tham số để toán thoã mãn yêu cầu đặt Cỏc vớ d: Vớ d 1: Tỡm giỏ tr ca tham s m cỏc nghim x1, x2 ca phng trỡnh mx2 - 2(m - 2)x + (m - 3) = thoó x12 + x 22 = Bi gii: iu kin phng trỡnh cú hai nghim: m ; ' ' = (m - 2)2 - m(m - 3) = - m + ' m Vi m 4, theo nh lý Vi-ột: x1 + x2 = Do ú: m3 2(m 2) ; x1.x2 = m m = x12 + x 22 = (x1 + x2)2 - 2x1x2 = 2(m 3) 4(m 2) 2 m m m2 = 4m2 - 16m + 16 - 2m2 + 6m m2 - 10m + 16 = m = hoc m = Giỏ tr m = khụng thoó m Vy, vi m = thỡ x12 + x 22 = Vớ du 2: Cho phng trỡnh: x2 - 2(m - 2)x + (m2 + 2m - 3) = Tỡm m 1 phng trỡnh cú hai nghim x1, x2 phõn bit thoó x + x = Bi gii: x1 + x2 ' = ( (m 2))2 (m + 2m 3) > (1) (2) Ta phi cú: x1 x 1 x1 + x (3) x + x = (1) ' = m2 - 4m + - m2 - 2m + = - 6m + > m < (2) m2 + 2m - (m - 1)(m + 3) m 1; m - x1 + x2 x1 + x2 (3) x x = ( x1 + x2 )(5 x1 x2 ) = Trng hp 1: x1 + x2 = x1 = - x2 m = khụng thoó pt(1) Trng hp 2: - x1.x2 = x1.x2 = Cho ta: m2 + 2m - = (m - 2)(m + 4) = m = (loại) m = (thoả mãn Đ K) x + x2 1 + = x1 x Vớ d 3: Cho phng trỡnh: mx - 2(m + 1)x + (m - 4) = (m l tham s) a) Xỏc nh m cỏc nghim x1; x2 thoó món: x1 + 4x2 = b) Tỡm mt h thc gia x1; x2 khụng ph thucvo m Vy vi m = - cú hai nghim x1, x2 thoó món: Bi gii: (1) 2( m +1) x + x = m (2) m x1.x2 = (3) m x + x = m (4) ' = ( ( m +1) m(m 4) a) Ta phi cú: T (1) v (3) ta tớnh c: x2 = Thay vo (2) m2 5m + ; x1 = 3m 3m (m 2)(5m + 8) m 2m2 - 17m + = = m 9m Gii phng trỡnh 2m2 - 17m + = ta c m = 8; m = u thoó (4) Vy vi m = hoc m = 1/2 thỡ cỏc nghim ca pt thoó x1 + 4x2 = b) Theo h thc Vi-ột, ta cú: Thay x1 + x2 = + m x1 + x2 = - m (*) = x1 + x2 - vo (*) ta c x1x2 = - 2(x1 + x2 - 2) m Vy x1.x2 = - 2(x1 + x2) Vớ d 4: Vi giỏ tr no ca tham s m thỡ hai phng trỡnh sau cú ớt nht mt nghim chung: x2 + 2x + m = (1) x2 + mx + = (2) Bi gii: Gi x0 l nghim chung ca hai phng trỡnh ó cho Lỳc ú: x02 + x0 + m = x02 + mx0 + = Tr v theo v, ta cú: (m - 2)x0 = m - Nu m = c hai phng trỡnh l x2 + 2x + = vụ nghim Nu m thỡ x0 = t ú m = -3 Vi m = - 3: thay vo (1) ta cú x2 + 2x = 0; cú nghim x1 = ; x2 = - Thay vo (2) ta cú x2 - 3x + = 0; cú nghim x3 = ; x4 = Vy, vi m = - thỡ c hai phng trỡnh cú nghim chung l x = Vớ d 5: Cho phng trỡnh x 2(m + 2) x + m = ( I ) Gi hai nghim ca phng trỡnh (I) l x v x2 Hóy xỏc nh giỏ tr ca m x1 x2 = x1 + x2 (K thi tuyn sinh vo lp 10 THPT-Ngh An - 2006-2007) Bi gii iu kin tn ti x1 v x2 : 4m + 13 m 13 (*) Lỳc ú, theo Vi-ột ta cú x1.x2 = m Ta cú ' ( m + 2) (m 9) x1 + x2 = 2(m + 2) x1 + x2 2(m + 2) x1 x2 = x1 + x2 m=3 2 m -9=0 ( x1 x2 ) = ( x1 + x2 ) Vy, m = thỡ x1 x2 = x1 + x2 Bi tp: Bi 1: Cho phng trỡnh x2 - (m + 3)x + 2(m + 1) = ( m l tham s) (1) Tỡm giỏ tr m phng trỡnh (1) cú cỏc nghim x1, x2 tho món: x1 = 2x2 Bi 2: Cho phng trỡnh mx2 - 2(m + 1)x + (m - 4) = ( m l tham s) a) Tỡm m phng trỡnh ó cho cú nghim b) Tỡm m phng trỡnh cú hai nghim trỏi du Khi ú hai nghim, nghim no cú giỏ tr tuyt i ln hn? c) Xỏc nh m cỏc nghim x1; x2 ca phng trỡnh thoó món: x1 + 4x2 = d) Tỡm mt h thc gia hai nghim x1, x2 khụng ph thuc vo m Bi 3: a) Vi giỏ tr no ca m thỡ hai phng trỡnh sau cú mt nghim chung Tỡm nghim chung ú? x2 - (m + 4)x + m + = (1) x2 - (m + 2)x + m + = (2) b) Tỡm giỏ tr ca m nghim ca phng trỡnh (1) l nghim ca phng trỡnh (2) v ngc li Bi 4: Cho phng trỡnh x 4mx + 2m = (1) ( m l tham s) Tỡm m pt(1) cú hai nghim x1; x2 thoó món: x12 + 4mx2 + 2m2 > (Thi vo lp 10 THPT Phan Bi Chõu-Ngh An-2007-2008-Vũng1) ii ứng dụng định lí vi-ét toán lập phơng trình bậc hai ẩn, tìm hệ số phơng trình bậc hai ẩn : 1.Cỏc vớ d: +1 Vớ d 1: Cho x1 = ; x2 = 1+ Hóy lp phng trỡnh bc hai cú ngim: x1; x2 Bi gii 1 3 +1 Ta cú x1 = ; x2 = = 1+ 1 +1 = 1+ 2 Nờn x1.x2 = x1 + x2 = +1 + = 1+ (1 + )(1 ) = 3 Vy phng trỡnh cú hai nghim x1; x2 l x2 - x + Hay 2x2 - x + = Vớ d 2: Cho phng trỡnh : x2 + 5x - = =0 (1) Khụng gii phng trỡnh (1), hóy lp mt phng trỡnh bc hai cú nghim l lu tha bc bn ca cỏc nghim ca phng trỡnh (1) Bi gii: Gi x1; x2 l cỏc nghim ca phng trỡnh ó cho, theo h thc Vi-ột ta cú: x1 + x2 = -5; x1.x2 = - Gi y1; y2 l cỏc nghim ca phng trỡnh phi lp, ta cú: y1 + y2 = x14 + x 24 y1.y2 = x14 x 24 Ta cú: x14 + x 24 = (x12 + x22)2 - 2x12.x22 = 729 = 727 x14 x 24 = (x1.x2)4 = (- 1)4 = Vy phng trỡnh cn lp l: y2 - 727y + = Vớ d 3: Tỡm cỏc h s p, q ca phng trỡnh: x + px + q = cho hai x1 x = 3 x x = 35 nghim x1; x2 thoó h thc : Bi gii: iu kin: = p2 - 4q (*) ta cú: x1 + x2 = -p; x1.x2 = q T iu kin: ( x x ) = 25 x1 x = 2 x x = 35 ( x x ) x1 + x1 x + x = 35 ( ) ( x + x ) 4x x = 25 p p = 25 2 p q =7 ( x + x ) x1 x2 + x1 x = 35 ( ) Gii h ny tỡm c: p = 1; q = - v p = - 1; q = - C hai giỏ tr ny u thoó (*) 2) Bi tp: Bi 1: Lp phng trỡnh bc hai cú hai nghim l: + v 3+ Bi 2: Lp phng trỡnh bc hai thoó iu kin: x1 x2 k2 Cú tớch hai nghim : x1.x2 = v x + x = k Bi 3: Xỏc nhm cỏc s m, n ca phng trỡnh: x2 + mx + n = Sao cho cỏc nghim ca ca phng trỡnh l m v n iii ứng dụng định lí vi-ét giải toán chứng minh Cỏc vớ d: Vớ d 1: Cho a, b l cỏc nghim ca phng trỡnh: x + px + = v b, c l nghim ca phng trỡnh: x2 + qx + = Chng minh: (b - a)(b - c) = pq - Hng dn hs: õy khụng phi l mt bi toỏn chng minh ng thc thụng thng, m õy l mt ng thc th hin s liờn quan gia cỏc nghim ca hai phng trỡnh v h s ca cỏc phng trỡnh ú Vỡ vy chỳng ta phi nm vng nh lý Vi-ột v dng nh lý ú vo quỏ trỡnh bin i hai v ca ng thc suy hai v bng Bi gii: Vỡ a,b l nghim ca phng trỡnh: x2 + px + = b,c l nghim ca phng trỡnh: x2 + qx + = Theo nh lý Vi-ột ta cú: a + b = - p b + c = - q v a.b = b.c = Do ú : (b a)(b c) = b2 + ac - pq = (- p)(- q) = (a + b)(b + c) = b2 + ac + Suy ra: pq - = b2 + ac +3 = b2 + ac - T (1) v (2) suy (b - a)(b - c) = pq - (pcm) Vớ d 2: Cho cỏc h s a, b, c tho món: a + b + c = - (1); a2 + b2 + c2 = Chng minh rng mi s a, b, c u thuc on ;0 (1) (2) (2) biu din trờn trc s: Bi gii: Bỡnh phng hai v ca (1) ta c: a2 + b2 + c2 + 2(ab + bc + ca) = Do (2) nờn: ab + bc + ca = (4 - 2): = bc = - a(b + c) = - a(- - a) = a2 + 2a + Ta li cú: b + c = - (a + 2), ú b, c l nghim ca phng trỡnh: x2 + (a + 2)x + (a2 + 2a + 1) = (*) (*) cú nghim thỡ ta phi cú: = (a+2)2 - 4(a2+2a+1) a(3a + 4) - a0 Chng minh tng t ta c: - 4 b 0; - c 3 Bi tp: Bi 1: Gi a, b l hai nghim ca phng trỡnh bc hai: x + px + = Gi c, d l hai nghim ca phng trỡnh: y2 + qy + = Chng minh h thc: (c-a)(a-b)(b-c)(b-d) = (p-q)2 Bi 2: Chng minh rng vit s x = ()200 di dng thp phõn, ta c ch s lin trc du phy l 1,ch s lin sau u phy l Bi 3: Gi s x1 v x2 l hai nghim ca phng trỡnh 2004 x (2004m 2005) x 2004 = ( m l tham s) x x2 Chng minh rng: ( x1 x2 ) + 2( + 1 ) 24 x1 x2 V xỏc nh giỏ tr ca m ng thc xy (K thi vo lp 10 THPT Phan bi Chõu-2004-2005) iV áp dụng định lý vi-ét giải phơng trình hệ phơng trình 1.Vớ d : Vớ d 1: Gii phng trỡnh: x x x x+ =6 x +1 x +1 nh hng: - Tỡm KX: - t 5x u = x x +1 5x = x + x +1 u + = ? u. = ? - Tớnh u, v ri suy x Bi gii: KX: t {x R x - 1} 5x u = x x +1 : x (*) = x + x +1 x x u + = x x + + x + x + u + = u. = x x . x + x u. = x +1 x +1 u, v l nghim ca phng trỡnh : x2 - 5x + = = 25 24 = +1 =3 x2 = =2 x1 = u = thỡ v = hoc u = thỡ v = u = thỡ (*) tr thnh : x2 - 2x + = = Nu: ' = = - < Phng trỡnh vụ nghim: u = thỡ (*) tr thnh : x2 - 3x + = = Nu: Suy ra: x1 = 1; x2 = Vy phng trỡnh cú hai nghim l: x1 = 1; x2 = ng dng nh lớ Vi-ột gii h phng trỡnh thng dựng gii h i f ( x, y ) = f ( y, x) = g ( x, y ) = g ( y, x) = xng loi 1: Tc l h cú dng: gii loi h ny ta tin hnh nh sau: - Biu din tng phng trỡnh qua x + y v xy - t S = x + y v P = xy, ta c mt h mi cha hai n S v P - Gii h mi tỡm S v P - Cỏc s cn tỡm l nghim ca phng trỡnh t St + P = Theo yờu cu ca bi m gii phng trỡnh tỡm t hoc bin lun phng trỡnh cha t rỳt kt lun m bi t Vớ d 2: Gii cỏc h phng trỡnh: x + y = 11 a) xy = 31 x + y + yx = b) 2 xy + x y = 12 Bi gii a) x,y l nghim ca phng trỡnh: x2 - 11x +31 = =(-11)2 - 4.1.31 = 121 124 = - < Phng trỡnh vụ nghim Vy h ó cho vụ nghim b) t x + y = S v xy = P S + P = Ta cú h phng trỡnh : S.P = 12 Khi ú S v P l hai nghim ca phng trỡnh : t2 7t + 12 = Gii phng trỡnh ny ta c t = v t = + Nu S = thỡ P = ú x, y l nghim ca phng trỡnh: u2 - 4u + = u = v u = Suy (x = 1; y = 3) v (x = 3; y = 1) + Nu S = thỡ P = ú x, y l nghim ca phng trỡnh: v2 3v + = Phng trỡnh ny vụ nghim vỡ = - 16 = - < Vy h ó cho cú hai nghim l: (x = 1; y = 3) v (x = 3; y =1) Vớ d 3: Bi tp: Bi 1: Gii phng trỡnh: x3 + 9x2 + 18 + 28 = Bi 2: Gii cỏc h phng trỡnh sau: x+y =9 a) 2 x + y = b) x+y =3 4 x + y = 17 Bi x + y + x + y = 18 Gii h phng trỡnh: x ( x + 1) y ( y + 1) = 72 ( Thi HSG lp huyn Nghi lc-Ngh An-2003-2004 chn i tuyn d thi HSG Tnh-Yờn Thnh-Ngh An-2009-2010) V Định lý vi-ét với toán cực trị: Cỏc vớ d: Vớ d 1: Gi x1, x2 l cỏc nghim ca phng trỡnh: x2 - (2m - 1)x + m = Tỡm m x12 + x22 cú giỏ tr nh nht Bi gii: Xột: = 4m2 - 4m + - 4m + = 4m2 - 8m + = 4(m - 1)2 + > Nờn phng trỡnh ó cho luụn cú hai nghim phõn bit vi mi m Theo nh lớ Vi-ột, ta cú: x1 + x2 = 2m - 1; x1.x2 = m - 2 x1 + x2 = (x1 + x2)2 - 2x1x2 = (2m - 1)2 - 2(m - 2) =4m2 - 6m + = (2m - 11 11 ) + 4 10 Du = xy m = Vy Min(x12 + x22) = 11 m = 4 Vớ d 2: Gi x1; x2 l nghim ca phng trỡnh: 2x2 + 2(m + 1)x + m2 + 4m + = Tỡm giỏ tr ln nht ca biu thc: A =x1x2 - 2x1 - 2x2 Bi gii: phng trỡnh ó cho cú nghim thỡ: ' = (m + 1)2 - 2(m2 + 4m + 3) = - (m + 1)(m + 5) - m - (*) Khi ú, theo h thc Vi-ột ta cú: x1 + x2 = - m - m + 4m + x1 x2 = Do ú: A = m + 8m + Ta cú: m2 + 8m + = (m + 1)(m + 7) vi iu kin (*) thỡ: (m + 1)(m + 7) Suy ra: A = m + 8m (m + 4) = 2 Du = xy (m + 4)2 = hay m = - Vy, A t giỏ tr ln nht l m = - 4, giỏ tr ny thoó iu kin (*) Vớ d 3: Tỡm giỏ tr nh nht, ln nht ca biu thc A=(x4 + 1) (y4 + 1), bit x, y 0; x + y = Bi gii: A = (x4 + 1)(y4 + 1) = x4 + y4 + y4x4 + Ta cú: x + y = x2 + y2 = 10 - 2xy x4 + y4 + 2y2x2 = 100 - 40xy + 4x2y2 x4 + y4 = 100 - 40xy + 2x2y2 t : xy = t thỡ x4 + y4 = 100 - 40t + 2t2 Do ú A = 100 - 40t + 2t2 + t4 + = t4 + 2t2 40t + 101 a)Tỡm giỏ tr nh nht: A = t4 - 8t2 + 16 + 10t2 - 40t + 40 + 45 = (t2 - 4)2 + 10(t - 2)2 + 45 45 Min(A) = 45 t = 2, ú xy = 2; x + y = nờn x v y l nghim ca phng trỡnh X2 - X + = Tc l: x = 10 + ;y= 10 hoc x = 10 ;y= 10 + 2 11 b) Tỡm giỏ tr ln nht: 2 5 x + y 10 Ta cú: xy = = t (1) Vit A di dng : A = t(t3 + 2t - 40) + 101 Do (1) nờn t3 125 125 ; 2t t3 + 2t - 40 + - 40 < cũn t nờn 8 A 101 Max(A) = 101 v ch t = tc l x = 0; y = hoc x = ; y = Bi tp: Bi 1: Gi x1, x2 l nghim ca phng trỡnh x2 + 2(m - 2)x - 2m + = 2 Tỡm m x1 + x2 cú giỏ tr nh nht Bi 2: Cho phng trỡnh: x2 - mx+ (m - 2)2 = Tỡm giỏ tr ln nht v nh nht ca biu thc A = x1x2 + 2x1 + 2x2 Bi 3: Gi s x1; x2 l hai nghim ca phng trỡnh: x2 x = 3x + m (m l tham s) x Tỡm m x1 x2 giỏ tr nh (Thi vo lp 10 THPT- i hc Vinh-2004-2005) Bi 4: Cho phng trỡnh: x + 2(m + 3) x + m2 + 6m + = (1) 1) Tỡm m pt(1) cú nghim Khi no thỡ pt(1) cú hai nghim trỏi du? 2) Gi x1; x2 l hai nghim ca pt(1) Tỡm giỏ tr ln nht, nh nht ca biu thc: A = x12 + x22 + x1 x2 (Thi vo lp 10 Phan Bi Chõu 2000-2001-Vũng1) Phần iii Kết luận Kt qu t c: Sau thc hin ti thy kh nng dng cỏc phng phỏp ca hc sinh ó cú nhiu tin b, th hin ch a s hc sinh bit cỏch gii toỏn linh hot, sỏng to v bc u ch ng tỡm tũi kin thc mi gúp phn nõng cao cht lng dy v hc nh trng Vi i tng l hc sinh trng trung hc c s c thnh huyn Yờn Thnh tụi ó chn cỏc lp 9B (lm lp thc nghim ), lp 9A(lm lp i chng), ỏp dng ti vo ging dy cho hc sinh lp thc nghim cho thy: phng phỏp t duy, k nng gii bi v nng lc sỏng to ca hc sinh tt hn Trong cỏc bi kim tra chng 4, phn kin thc liờn quan n h thc Vi-ột v ng dng thỡ lp 9B ,s hc sinh t im khỏ tr lờn t 95%, lp 9A s hc sinh t im khỏ tr lờn ch t 40% 12 Kt lun: ng dng ca nh lớ Vi-ột vic gii toỏn l mt ln, ũi hi ngi hc phi cú tớnh sỏng to, cú t tt v k nng dng lý thuyt mt cỏch linh hot Chớnh vỡ l ú, quỏ trỡnh ging dy, ngi giỏo viờn cn chun b chu ỏo, t m, rừ rngtng th loi bi c th hc sinh hiu sõu bn cht v cỏch dng Xõy dng cho cỏc em nim am mờ, hng thỳ hc tp, tụn trng nhng suy ngh, ý kin sỏng to ca cỏc em Cn thng xuyờn kim tra, ỏnh giỏ kt qu hc tp, b sung thiu sút kp thi, dy sõu, dy chc v kt hp nhn nhuyn, logic gia cỏc bi toỏn khỏc Nghiờn cu ti ng dng ca nh lớ Vi-ột vic gii toỏn khụng ch giỳp cho hc sinh yờu thớch hc b mụn Toỏn, m cũn l c s giỳp cho bn thõn cú thờm kinh nghim ging dy Bi hc rỳt ra: i mi dy hc l quỏ trỡnh, song mi giỏo viờn cn cú ý thc tỡm tũi nhng phng phỏp dy hc phự hp vi tng loi bi v tng i tng hc sinh theo phng phỏp dy hc mi l ly hc sinh lm trung tõm, tớch cc húa cỏc hot ng ca hc sinh quỏ trỡnh hc Cui cựng xin túm li iu quan trng nht Trong cuc sng cng nh dy hc toỏn khụng cú cỏi tm thng v cng khụng cú bi toỏn no tm thng c, trc mi bi toỏn hóy dnh thi gian nm bt cỏc yu t v nh hng suy ngh, ch ng cm nhn quỏ nhiu Mc dự ó rt c gng thc hin ti, song khụng th trỏnh nhng thiu sút v cu trỳc ngụn ng v kin thc khoa hc Vỡ vy, tụi mong s quan tõm ca cỏc ng chớ, ng nghip gúp ý kin chõn thnh ti ny c hon thin hn Mi ý kin úng gúp xin c gi v email: TuLoi78@gmail.com Tụi xin chõn thnh cm n! Yờn thnh, ngy 25 thỏng 04 nm 2011 Giỏo viờn: Mc Tun Tỳ Ti liu tham kho Sỏch Giỏo khoa v sỏch giỏo viờn lp ca B Giỏo Dc Bi nõng cao v mt s chuyờn toỏn ca Bựi Vn Tuyờn Bỏo toỏn hc v tui th ca B Giỏo Dc Cỏc thi tuyn sinh v thi chuyờn chn cỏc trng tnh 13 Bi nõng cao i s ca V Hu Bỡnh Mc Lc Ni dung Phn 1: t Vn Lý chn ti Mc ớch nghiờn cu i tng v phm vi ỏp dng Phn 2: Ni dung A Kin thc c bn H thc Vi-ột ng dng B sung B Ni dung ng dng ca nh lý Vi-ột gii toỏn tỡm iu kin ca tham s bi toỏn thoó yờu cu t ng dng ca nh lý Vi-ột bi toỏn lp phng trỡnh bc hai mt n, tỡm h s ca pt bc hai mt n ng dng ca nh lý Vi-ột gii toỏn chng minh ng dng ca nh lý Vi-ột gioi phng trỡnh v h phng trỡnh nh lý Vi-ột vi bi toỏn cc tr Phn 3: Kt lun Kt qu t c Kt lun Bi hc rỳt Ti liu tham kho Trang 1 1 2 2 2 10 12 12 13 13 14 14 [...]... phạm vi áp dụng Phần 2: Nội dung A Kiến thức cơ bản 1 Hệ thức Vi- ét 2 Ứng dụng 3 Bổ sung B Nội dung 1 Ứng dụng của định lý Vi- ét trong giải toán tìm điều kiện của tham số để bài toán thoã mãn yêu cầu đặt ra 2 Ứng dụng của định lý Vi- ét trong bài toán lập phương trình bậc hai một ẩn, tìm hệ số của pt bậc hai một ẩn 3 Ứng dụng của định lý Vi- ét trong giải toán chứng minh 4 Ứng dụng của định lý Vi- ét trong. .. quan đến hệ thức Vi- ét và ứng dụng thì ở lớp 9B ,số học sinh đạt điểm khá trở lên đạt 95%, lớp 9A số học sinh đạt điểm khá trở lên chỉ đạt 40% 12 2 Kết luận: Ứng dụng của định lí Vi- ét trong vi c giải toán là một vấn đề lớn, đòi hỏi người học phải có tính sáng tạo, có tư duy tốt và kỹ năng vận dụng lý thuyết một cách linh hoạt Chính vì lẽ đó, trong quá trình giảng dạy, người giáo vi n cần chuẩn bị... kinh nghiệm trong giảng dạy 3 Bài học rút ra: Đổi mới dạy học là 1 quá trình, song mỗi giáo vi n cần có ý thức tìm tòi những phương pháp dạy học phù hợp với từng loại bài tập và từng đối tượng học sinh theo phương pháp dạy học mới là lấy học sinh làm trung tâm, tích cực hóa các hoạt động của học sinh trong quá trình học tập Cuối cùng xin tóm lại điều quan trọng nhất Trong cuộc sống cũng như trong dạy... chất và cách vận dụng Xây dựng cho các em niềm đam mê, hứng thú trong học tập, tôn trọng những suy nghĩ, ý kiến sáng tạo của các em Cần thường xuyên kiểm tra, đánh giá kết quả học tập, bổ sung thiếu sót kịp thời, dạy sâu, dạy chắc và kết hợp nhần nhuyễn, logic giữa các bài toán khác nhau Nghiên cứu đề tài “Ứng dụng của định lí Vi- ét trong vi c giải toán” không chỉ giúp cho học sinh yêu thích học bộ môn... Tôi xin chân thành cảm ơn! Yên thành, ngày 25 tháng 04 năm 2011 Giáo vi n: Mạc Tuấn Tú Tài liệu tham khảo 1 2 3 4 Sách Giáo khoa và sách giáo vi n lớp 9 của Bộ Giáo Dục “ Bài tập nâng cao và một số chuyên đề toán 9” của Bùi Văn Tuyên “Báo toán học và tuổi thơ 2” của Bộ Giáo Dục Các đề thi tuyển sinh và thi chuyên chọn các trường trong tỉnh 13 5 “Bài tập nâng cao Đại số 9” của Vũ Hữu Bình Mục Lục Nội... phần nâng cao chất lượng dạy và học trong nhà trường Với đối tượng là học sinh khối 9 trường trung học cơ sở Đức thành huyện Yên Thành tôi đã chọn ra các lớp 9B (làm lớp thực nghiệm ), lớp 9A(làm lớp đối chứng), khi áp dụng đề tài vào giảng dạy cho học sinh lớp thực nghiệm cho thấy: phương pháp tư duy, kỹ năng giải bài tập và năng lực sáng tạo của học sinh tốt hơn Trong các bài kiểm tra chương 4, phần... Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: A =x1x2 - 2x1 - 2x2 Bài giải: Để phương trình đã cho có nghiệm thì: ∆' = (m + 1)2 - 2(m2 + 4m + 3) = - (m + 1)(m + 5) ≥ 0 ⇒ - 5 ≤ m ≤ - 1 (*) Khi đó, theo hệ thức Vi- ét ta có: x1 + x2 = - m - 1 m 2 + 4m + 3 x1 x2 = 2 Do đó: A =  m 2 + 8m + 7  2 Ta có: m2 + 8m + 7 = (m + 1)(m + 7) với điều kiện (*) thì: (m + 1)(m + 7) ≤ 0 Suy ra: A = 9 − m 2 + 8m − 7 9 − (m + 4)... + 2 = 0 Tức là: x = 10 + 2 ;y= 2 10 − 2 hoặc x = 2 10 − 2 ;y= 2 10 + 2 2 11 b) Tìm giá trị lớn nhất: 2 2 5 5  x + y   10  Ta có: 0 ≤ xy ≤   = = 2 ⇒ 0 ≤ t ≤ 2       2   2  (1) Vi t A dưới dạng : A = t(t3 + 2t - 40) + 101 Do (1) nên t3 ≤ 125 125 ; 2t ≤ 5 ⇒ t3 + 2t - 40 ≤ + 5 - 40 < 0 còn t ≥ 0 nên 8 8 A ≤ 101 Max(A) = 101 khi và chỉ khi t = 0 tức là x = 0; y = hoặc x = ; y =... và nhỏ nhất của biểu thức A = x1x2 + 2x1 + 2x2 Bài tập 3: Giả sử x1; x2 là hai nghiệm của phương trình: x2 − 4 x = 3x + m (m là tham số) 1− x Tìm m để x1 − x2 giá trị nhỏ (Thi vào lớp 10 THPT- Đại học Vinh-2004-2005) Bài tập 4: Cho phương trình: 2 x 2 + 2(m + 3) x + m2 + 6m + 7 = 0 (1) 1) Tìm m để pt(1) có nghiệm Khi nào thì pt(1) có hai nghiệm trái dấu? 2) Gọi x1; x2 là hai nghiệm của pt(1) Tìm giá... phương trình bậc hai một ẩn, tìm hệ số của pt bậc hai một ẩn 3 Ứng dụng của định lý Vi- ét trong giải toán chứng minh 4 Ứng dụng của định lý Vi- ét trong gioải phương trình và hệ phương trình 5 Định lý Vi- ét với bài toán cực trị Phần 3: Kết luận 1 Kết quả đạt được 2 Kết luận 3 Bài học rút ra Tài liệu tham khảo Trang 1 1 1 1 2 2 2 2 2 2 2 5 7 8 10 12 12 13 13 14 14 ... i tng v phm vi ỏp dng Phn 2: Ni dung A Kin thc c bn H thc Vi- ột ng dng B sung B Ni dung ng dng ca nh lý Vi- ột gii toỏn tỡm iu kin ca tham s bi toỏn thoó yờu cu t ng dng ca nh lý Vi- ột bi toỏn... hai mt n, tỡm h s ca pt bc hai mt n ng dng ca nh lý Vi- ột gii toỏn chng minh ng dng ca nh lý Vi- ột gioi phng trỡnh v h phng trỡnh nh lý Vi- ột vi bi toỏn cc tr Phn 3: Kt lun Kt qu t c Kt lun Bi... hn Trong cỏc bi kim tra chng 4, phn kin thc liờn quan n h thc Vi- ột v ng dng thỡ lp 9B ,s hc sinh t im khỏ tr lờn t 95%, lp 9A s hc sinh t im khỏ tr lờn ch t 40% 12 Kt lun: ng dng ca nh lớ Vi- ột