Đang tải... (xem toàn văn)
BỘ đề THI CHUYÊN TOÁN vào lớp 10 BỘ đề THI CHUYÊN TOÁN vào lớp 10 BỘ đề THI CHUYÊN TOÁN vào lớp 10 BỘ đề THI CHUYÊN TOÁN vào lớp 10 BỘ đề THI CHUYÊN TOÁN vào lớp 10 BỘ đề THI CHUYÊN TOÁN vào lớp 10
SỞ GD&ĐT VĨNH PHÚC ĐỀ CHÍNH THỨC KỲ THI TUYỂN SINH LỚP 10 THPT CHUYÊN NĂM HỌC 2014–2015 ĐỀ THI MÔN: TOÁN Dành cho tất thí sinh Thời gian làm bài: 120 phút, không kể thời gian giao đề Câu (2,0 điểm) 1 x2 1 x 1 x 1 x a) Rút gọn biểu thức P b) Tìm giá trị nhỏ P Câu (2,0 điểm) 2 x y 11 a) Giải hệ phương trình: 5 x y Cho biểu thức P b) Giải phương trình: x x x x 12 Câu (2,0 điểm) Cho phương trình x 2(m 1) x m m (m tham số) a) Giải phương trình cho với m b) Tìm tất giá trị m để phương trình cho có hai nghiệm phân biệt x1 , x2 thoả mãn x1 x2 10 0 x2 x1 Câu (3,0 điểm) Cho tam giác ABC nhọn, nội tiếp đường tròn O Hai tiếp tuyến O B, C cắt P Gọi M trung điểm BC Gọi D, E theo thứ tự hình chiếu P đường thẳng AB, AC Chứng minh rằng: a) Các tứ giác PMBD PMCE nội tiếp b) M trực tâm tam giác ADE c) PAB MAC Câu (1,0 điểm) Cho phương trình ax bx c a có hai nghiệm thuộc đoạn 0; 2 Tìm giá trị lớn biểu thức P 8a 6ab b 4a 2ab ac ———— HẾT———— Cán coi thi không giải thích thêm! Họ tên thí sinh…………………………………… Số báo danh…………… SỞ GD&ĐT VĨNH PHÚC KỲ THI TUYỂN SINH LỚP 10 THPT CHUYÊN NĂM HỌC 2014-2015 ——————— HƯỚNG DẪN CHẤM MÔN: TOÁN (Hướng dẫn chấm có 03 trang) Dành cho tất thí sinh ————————— A LƯU Ý CHUNG - Hướng dẫn chấm trình bày cách giải với ý phải có Khi chấm học sinh làm theo cách khác đủ ý cho điểm tối đa - Điểm toàn tính đến 0,25 không làm tròn - Với hình học thí sinh không vẽ hình phần không cho điểm tương ứng với phần B ĐÁP ÁN VÀ THANG ĐIỂM Câu Ý a x Đk: x P b x 1 x x 1 x 1 x x x 1 x 1 x 1 x x 2 2 2x 2 2 1 x 1 x x x x 2 2 x x 1 Dấu “=” xảy x Vậy, Pmin 2 x Do x x x 0,25 4 2 a Điểm 2,0 0,25 1 x2 x x x x 1 x x 1 Nội dung trình bày 2 x y 11 8 x y 44 5 x y 5 x y 2 x y 11 x 13 x 52 y 0,25 0,25 0,5 0,5 2,0 0,5 0,5 Vậy hệ phương trình có nghiệm 4;3 b x x x x 12 Đặt x x t phương trình cho có dạng t 4t 12 0,5 t t 6 l x Với t x x x 2 Vậy, phương trình có hai nghiệm x x 2 0,5 2,0 a m phương trình có dạng x 1 x x x 0,5 x Giải nghiệm x 0,5 2 b Phương trình có hai nghiệm phân biệt x1 , x2 khác m / m 12 m m m 21 m m 0 m 1 m m m x x x1 x2 10 I x1 x2 10 0 1 x1 x2 x2 x1 0,25 0,25 x1 x2 2m Theo công thức Vi-ét ta có: II x1 x2 m m Thế (II) vào (I) ta m 1 m m 10 4m m m2 m m thoả mãn m KL 0,25 0,25 3,0 A O B M C E H D P a Do P giao điểm hai tiếp tuyến B, C (O) nên OP trung trực BC · · suy PMB PMC 900 (1) · · · · 900 (2) PDA 900 , PEC PEA Do PD AB, PE AC nên PDB Từ (1) (2) suy tứ giác PDBM, PECM nội tiếp 0,25 0,5 0,25 b Do tứ giác PDBM , PDAE nội tiếp nên · · · · PDM PBM BAC 1800 DPE suy DM P PE Mà PE AE nên DM AE (3) Tương tự, EM AD (4) Từ (3) (4) suy M trực tâm tam giác ADE c Kéo dài AM cắt DE H HAE HEP (hai góc phụ với góc AEH ) hay MAE DEP 0,25 0,25 0,25 0,25 0,5 Do tứ giác PDAE nội tiếp, suy DAP DEP 0,25 Suy PAB MAC 0,25 1,0 Gọi x1 , x2 x1 x2 hai nghiệm phương trình cho b x1 x2 a Theo định lí Vi-ét ta có: x x c a 0,25 b b 86 2 x1 x2 x1 x2 8a 6ab b a a Khi P b c 4a 2ab ac x1 x2 x1 x2 42 a a 2 Do x1 x2 x1 x1 x2 , x2 x12 x22 x1 x2 x1 x2 x1 x2 x1 x2 x1 x2 3 x1 x2 x1 x2 Đẳng thức xảy x1 x2 x1 0, x2 b b a b 2a c b 4a a c c c a Vậy P b 2a c Vậy, Pmax c b 4a -Hết 0,25 0,25 0,25 SỞ GD&ĐT VĨNH PHÚC ĐỀ CHÍNH THỨC KỲ THI TUYỂN SINH LỚP 10 THPT NĂM HỌC 2014 – 2015 ĐỀ THI MÔN: TOÁN Thời gian làm bài: 120 phút, không kể thời gian giao đề I PHẦN TRẮC NGHIỆM (2,0 điểm) Trong câu sau, câu có bốn lựa chọn, có lựa chọn Em ghi vào làm chữ in hoa đứng trước lựa chọn (Ví dụ: Câu chọn A viết 1.A) Câu Điều kiện xác định biểu thức 2x 1 1 1 A x B x C x D x 2 2 Câu Các số 4 hai nghiệm phương trình A x x 12 B 12 x x C x x 12 D 12 x 12 x Câu Tam giác ABC vuông A, đường cao AH, AB 15 AH 12 Khi độ dài cạnh CA A B 25 C 16 D 20 Câu Tam giác ABC nội tiếp đường tròn tâm O có CAB ABC ABC BCA 20o Số đo góc AOB A 20o B 40o C 60o II PHẦN TỰ LUẬN (8,0 điểm) Câu (2,0 điểm) Cho hàm số y 2mx m (1) (m tham số) D 80o a) Tìm tất giá trị m để đồ thị hàm số (1) qua điểm A 1;1 Với giá trị m vừa tìm hàm số (1) đồng biến hay nghịch biến b) Tìm tất giá trị m để đồ thị hàm số (1) song song với đường thẳng y m 3 x 2m Câu (2,5 điểm) Cho phương trình x 2m 1 x 2m (m tham số) a) Giải phương trình cho m b) Tìm tất giá trị m để phương trình cho có hai nghiệm phân biệt x1 , x2 thỏa mãn x1 1 x2 1 Câu (2,5 điểm) Cho tam giác ABM nhọn, nội tiếp đường tròn O1 Trên tia đối tia MB lấy điểm C cho AM phân giác góc BAC Gọi O2 đường tròn ngoại tiếp tam giác AMC a) Chứng minh hai tam giác AO1O2 ABC đồng dạng b) Gọi O trung điểm O1O2 I trung điểm BC Chứng minh tam giác AOI cân c) Đường thẳng vuông góc với AM A tương ứng cắt đường tròn O1 , O2 D, E (D E khác A) Đường thẳng vuông góc với BC M ND AC NE AB cắt DE N Chứng minh Câu (1,0 điểm) Cho a, b, c, d số thực Chứng minh a b c d a b c d Dấu đẳng thức xảy nào? ———— HẾT———— Cán coi thi không giải thích thêm! Họ tên thí sinh…………………………………… Số báo danh…………… SỞ GD&ĐT VĨNH PHÚC ——————— (Hướng dẫn chấm có 02 trang) KỲ THI TUYỂN SINH LỚP 10 THPT NĂM HỌC 2014-2015 HƯỚNG DẪN CHẤM MÔN: TOÁN ————————— A LƯU Ý CHUNG - Hướng dẫn chấm trình bày cách giải với ý phải có Khi chấm học sinh làm theo cách khác đủ ý cho điểm tối đa - Điểm toàn tính đến 0,25 không làm tròn - Với hình học thí sinh không vẽ hình phần không cho điểm tương ứng với phần B ĐÁP ÁN VÀ THANG ĐIỂM I PHẦN TRẮC NGHIỆM (2,0 điểm) Câu Đáp án B C D D Điểm 0.75 0.75 0.25 0.25 II PHẦN TỰ LUẬN (8,0 điểm) Câu Ý Nội dung trình bày a Đồ thị hàm số qua điểm A 1;1 2m 1 m m m Khi m 2m nên hàm số (1) đồng biến b a Đường thẳng cho song song với đường thẳng y m 3 x 2m 0.25 m 2m m 1 Điều tương đương với m Kết luận m 1 0.25 Khi m phương trình trở thành x x 0.5 Phương trình có biệt thức 5 1 17 0.5 Suy phương trình có hai nghiệm phân biệt x b 0.5 0.5 0.5 2m m m 2m Điểm 17 17 x 4 1.0 Do 2m 1 3 2m 4m 12m 25 2m 3 16 m 2 nên phương trình cho có hai nghiệm phân biệt x1 , x2 với m 2m x1 x2 Theo định lý Vi-ét, x x 3 2m 2 0.25 Từ x1 1 x2 1 x1 x2 x1 x2 2m Suy ta có phương trình 2m m 0.25 E N A D O2 O O1 B M I C Nhận xét: Nếu BA BM không tồn điểm C Do để tồn điểm C thỏa mãn đề BA BM a Do đường thẳng O1O2 trung trực AM suy AO1O2 ABC ABM 0.25 AO1M 0.25 AO1M (góc nội tiếp góc tâm chắn cung) 0.5 AO1O2 ABC Tương tự BCA O1O2 A Suy AO1O2 b ABC (g.g) Từ kết phần a, O trung điểm O1O2 I trung điểm BC nên AO1O Suy 0.5 ABI 0.25 OA IA O1 A BA Hơn OAO1 IAB OAI O1 AB Suy OAI c O1 AB (c.g.c) Mà tam giác O1 AB cân O1 , nên tam giác OAI cân O Do DAM 900 tứ giác BMAD nội tiếp, nên DBM 900 hay DB BC Tương tự, có EC BC Từ suy BD CE hay tứ giác BCED hình thang 0.25 0.25 Mặt khác, MN BC nên MN BD, MN CE ND MB NE MC MB AB ND AB Mà nên Suy ND AC NE AB MC AC NE AC Theo định lý Ta-lét ta có a b2 c2 d a b c d a2 a2 a2 a2 ab b ac c ad d 0.25 0.5 a2 a a a b c d (luôn đúng) 2 2 2 a Dấu “=” xảy a abcd 0 b c d -Hết 0.25 0.25 SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO SÓC TRĂNG KỲ THI TUYỂN SINH LỚP 10 NĂM HỌC 2015 - 2016 Đề thức MÔN: TOÁN (Thời gian làm 120 phút, không kể thời gian phát đề) ——————— Đề thi có 01 trang Câu 1: (1,5 điểm) a) Cho biết: A = + B = - Hãy tính tổng, tích hai số so sánh hai kết vừa tính b) Tìm x biết x 27 Câu 2: (1,5 điểm) Giải phương trình, hệ phương trình sau: a) x x 3 x y b) 15 x y Câu 3: (1,5 điểm) Cho hàm số y = x2 hàm số y = x + a) Vẽ đồ thị hai hàm số hệ trục tọa độ b) Tìm tọa độ giao điểm hai đồ thị phương pháp đại số Câu 4: (2,0 điểm) Một mảnh vườn hình chữ nhật có chu vi 250 m Tìm chiều dài chiều rộng mảnh vườn biết chiều dài giảm ba lần chiều rộng tăng hai lần chu vi mảnh vườn không thay đổi Câu 5: (3,5 điểm) Cho hai đường tròn (O) (O’) cắt A B Các tiếp tuyến A đường tròn (O) (O’) cắt đường tròn (O’) (O) theo thứ tự C D Gọi P Q trung điểm dây AC AD Chứng minh rằng: a) Hai tam giác ABD CBA đồng dạng b) BQD = APB c) Tứ giác APBQ nội tiếp đường tròn (Yêu cầu vẽ hình chứng minh) -Hết Họ tên thí sinh: Số báo danh: Chữ ký Giám thị 1: Chữ ký Giám thị 2: SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO SÓC TRĂNG KỲ THI TUYỂN SINH LỚP 10 NĂM HỌC 2014 - 2015 Đề thức Môn: Toán (Chuyên) (Thời gian làm 120 phút, không kể thời gian phát đề) ——————— Đề thi có 01 trang Câu 1: (1,5 điểm) Cho phương trình x 2(m 1) x 4m a) Tìm hệ thức liên hệ hai nghiệm phương trình không phụ thuộc vào tham số b) Xác định m để A x12 x22 x1 x2 đạt giá trị nhỏ Câu 2: (1,5 điểm) Giải phương trình hệ phương trình sau: a) x x x 2( x x) y b) 3( x x) y Câu 3: (2 điểm) Cho hàm số y = ax2 (a 0) có đồ thị (P) hàm số y = x - có đồ thị (d) a) Tìm a biết (d) tiếp xúc với (P) Xác định tọa độ tiếp điểm M b) Vẽ (P) (d) hệ trục tọa độ Oxy c) N giao điểm đường thẳng (d) với trục Oy Tính diện tích MON Câu 4: (1,5 điểm) Hai máy bơm nước vào ruộng lúa Thời gian bơm xong lượng nước cần thiết 50 phút Nếu bơm riêng máy thứ bơm nhanh máy thứ hai Hỏi bơm riêng máy bơm để đủ lượng nước cần thiết cho ruộng lúa Câu 5: (3,5 điểm) Cho đường tròn (O) đường kính AB = a Các đường thẳng d1, d2 qua A, B vuông góc với AB Lấy điểm M, N thuộc d1, d2 cho MON =900 H chân đường vuông góc hạ từ O xuống đường thẳng MN a) Chứng minh MN tiếp tuyến (O) AB b) Chứng minh AM BN c) Gọi K giao điểm AN BM Tính diện tích KAB theo a biết HA 3.HB (Yêu cầu vẽ hình chứng minh) -Hết - Họ tên thí sinh: Số báo danh: Chữ ký Giám thị 1: Chữ ký Giám thị 2: SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO SÓC TRĂNG KỲ THI TUYỂN SINH LỚP 10 NĂM HỌC 2015 - 2016 Đề thức MÔN: TOÁN (Chuyên) (Thời gian làm 120 phút, không kể thời gian phát đề) ——————— Đề thi có 01 trang Câu 1: (1,5 điểm) x y Cho biểu thức A= y2 a) Rút gọn biểu thức A x2 y (với x y; y ) x xy y 2015 27 17 b) Tính giá trị A x y 7 Câu 2: (1,5 điểm) Xác định m để phương trình x 2mx (m 1)3 (m tham số) có hai nghiệm phân biệt, có nghiệm bình phương nghiệm lại Câu 3: (2 điểm) a) Giải phương trình x x x3 y y b) Cho x; y thỏa mãn 2 x x y 2y Tính Q= x y Câu 4: (1,5 điểm) Trong dịp nghỉ lễ 30/4, lãnh đạo nhà trường tổ chức cho 180 học sinh khối tham quan di tích lịch sử Ban tổ chức dự tính: Nếu dùng loại xe lớn để đưa rước lượt hết số học sinh ban tổ chức hợp đồng thuê xe dùng loại xe nhỏ Biết số chỗ ngồi xe lớn có nhiều xe nhỏ 15 chỗ ngồi Giả sử Ban tổ chức hợp đồng thuê xe lớn để đưa rước học sinh, tính số xe hợp đồng Câu 5: (3,5 điểm) Từ điểm M nằm đường tròn tâm O bán kinh R vẽ hai tiếp tuyến MA, MB(A, B tiếp điểm) đường thẳng qua M cắt đường tròn C D Gọi I trung điểm CD Gọi E, F, K giao điểm đường thẳng AB với đường thẳng MO, MD, OI Chứng minh rằng: a) R2 = OE.OM = OI.OK b) Năm điểm M, A, B, O, I thuộc đường tròn c) ME.MO = MC.MD (Yêu cầu vẽ hình chứng minh) -Hết Họ tên thí sinh: Số báo danh: Chữ ký Giám thị 1: Chữ ký Giám thị 2: SỞ GD&ĐT VĨNH PHÚC ĐỀ CHÍNH THỨC KỲ THI TUYỂN SINH LỚP 10 THPT CHUYÊN NĂM HỌC 2015–2016 ĐỀ THI MÔN: TOÁN Dành cho thí sinh thi vào lớp chuyên Toán chuyên Tin Thời gian làm bài: 150 phút, không kể thời gian giao đề Câu (3,0 điểm) a) Giải phương trình: x x x x x 10 x 2 x3 x3 y b) Giải hệ phương trình: xy x Câu (2,0 điểm) a) Tìm số nguyên tố p để p lập phương số tự nhiên b) Trong bảng 11 11 ô vuông ta đặt số tự nhiên từ đến 121 vào ô cách tùy ý (mỗi ô đặt số hai ô khác đặt hai số khác nhau) Chứng minh tồn hai ô vuông kề (tức hai ô vuông có chung cạnh) cho hiệu hai số đặt hai ô lớn Câu (3,0 điểm) Cho tam giác ABC nhọn, có trực tâm H nội tiếp đường tròn tâm O Gọi D, E , F tương ứng chân đường cao tam giác ABC kẻ từ A, B, C ; gọi M giao điểm tia AO cạnh BC; gọi N , P tương ứng hình chiếu vuông góc M cạnh CA, AB a) Chứng minh HE MN HF MP b) Chứng minh tứ giác EFPN nội tiếp BD BM AB c) Chứng minh CD CM AC Câu (1,0 điểm) Cho số thực dương a, b, c thỏa mãn điều kiện a b c Chứng minh rằng: 1 2 a b b c c2a Câu (1,0 điểm) Điểm M x; y mặt phẳng tọa độ gọi điểm nguyên, x y số nguyên Tìm số nguyên dương n bé cho từ n điểm nguyên, tìm ba điểm nguyên đỉnh tam giác có diện tích nguyên (trong trường hợp ba điểm thẳng hàng coi diện tích tam giác 0) ———— HẾT———— Cán coi thi không giải thích thêm! Họ tên thí sinh…………………………………… Số báo danh…………… SỞ GD&ĐT VĨNH PHÚC KỲ THI TUYỂN SINH LỚP 10 THPT CHUYÊN NĂM HỌC 2015-2016 ——————— HƯỚNG DẪN CHẤM MÔN: TOÁN (Hướng dẫn chấm có 04 trang) Dành cho thí sinh thi vào lớp chuyên Toán chuyên Tin ————————— A LƯU Ý CHUNG - Hướng dẫn chấm trình bày cách giải với ý phải có Khi chấm học sinh làm theo cách khác đủ ý cho điểm tối đa - Điểm toàn tính đến 0,25 không làm tròn - Với hình học thí sinh không vẽ hình phần không chấm điểm cho phần B ĐÁP ÁN VÀ THANG ĐIỂM Câu Ý Nội dung trình bày a x Đk: 4 x x x 4 x 10 x Điểm 3,0 0,25 Ta thấy x không nghiệm phương trình cho, suy x Khi đó, phương trình cho tương đương: Đặt x x 8 x 1 x 10 x 0,25 1 t (1) trở thành t t 2 x t t 9t t 0,5 Kết hợp với điều kiện t t 49 x x 2 Với t x 16 x 16 x 1 x x x 0,5 49 x 4 b Ta thấy x không thỏa mãn hệ cho, suy x Vậy, phương trình cho có nghiệm x 2 y x Hệ cho tương đương: y3 x Đặt a cho có dạng x 0,5 a y a y a ay y 3 y 3a a y y 3y2 2 a y a vô nghiệm a y y 2 y 1 Với a y y y y 1 y y y 0,25 0,25 +) y 1 a 1 x 2 hệ cho có nghiệm x; y 2; 1 +) y a x hệ cho có nghiệm x; y 1; 0,5 Vậy, hệ cho có nghiệm x; y là: 2; 1 1; 2,0 a Do p lập phương số tự nhiên, suy p z z lẻ z 2k 1, k 0,5 Khi đó, p 2k 1 p k 4k 6k 3 Vì p nguyên tố nên k p 33 p 13 Vậy, số nguyên tố p cần tìm 13 b Ta xét hàng có ô ghi số cột có ô ghi số 121, hiệu hai số ghi hai ô 120 Số ô vuông cách từ ô ghi số đến ô ghi số 121 nhiều 20 cặp ô vuông 0,5 0,25 (10 cặp theo hàng, 10 cặp theo cột) Ví dụ bảng ô ghi số ô ghi số 121 cách cặp ô vuông 1; a1 , a1 ; a2 a2 ; a3 , a3 ;121 a1 0,25 a2 a3 121 Nếu hiệu hai số hai ô kề qua 20 cặp ta có chênh lệch 20.5 100 Như 100 101 121 Do có hai ô kề cho hiệu hai số viết hai ô lớn 0,5 3,0 A E F P B H O N D M C a Ta có: EHF FAE 180o PMN PAN 180o FHE PMN 1 0,25 Do O tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác nhọn ABC nên MAC OAC 900 COA 900 ABC HAF 0,25 Lại có tứ giác AFHE APMN nội tiếp HAF HEF , MAC MPN 0,25 Suy HEF MPN Từ (1) (2) suy MNP HFE MP MN HE MN HF MP HE HF b Do AEF HEF 90o , APN MPN 90o kết hợp với (2) Suy AEF APN c Lại có NEF AEF 180o NEF APN 180o hay NEF EPN 180o Do tứ giác EFPN nội tiếp BD S AHB HF AB Ta có: CD S AHC HE AC BM S ABM AB MP CM S ACM AC MN Suy BD BM AB HF MP CD CM AC HE MN 0,25 0,5 0,5 0,5 0,25 BD BM AB Do HF MP HE MN , suy CD CM AC 0,25 1,0 Áp dụng bất đẳng thức AM-GM, a 2b 3 a 2b 3 ab a b b a 2b a 2b 1 1 a b 1 a ab a a 2b Suy 2 2a b 11 a b ab ta có 1 (a 2ab) (1) 2 a b 18 1 Tương tự, có: (2) (b 2bc) 2 b c 18 1 (3) (c 2ca ) 2 c a 18 Cộng (1), (2), (3) vế đối vế, thu 1 a b c Điều phải chứng minh 2 2 a b b c c a 18 Dấu đẳng thức xảy a b c Suy 0,25 0,25 0,25 0,25 1,0 + n không thỏa mãn, ta chọn bốn điểm nguyên đỉnh hình vuông đơn vị, đó, tam giác có đỉnh ba bốn điểm nguyên xét có diện tích số nguyên + Ta chứng minh n số nguyên bé thỏa mãn Ta chia điểm nguyên M ( x; y ) mặt phẳng thành loại: Loại 1: x chẵn, y chẵn; Loại 2: x chẵn, y lẻ; Loại 3: x lẻ, y lẻ; Loại 4: x lẻ, y chẵn Khi đó, điểm nguyên xét, có hai điểm loại, ta gọi hai điểm A, B Ta chứng minh, với điểm nguyên C, diện tích tam giác ABC số nguyên 0,25 0,25 Thật vậy: + Nếu A B có hoành độ a, A, B loại, nên độ dài AB số chẵn Gọi h khoảng cách d (C ; AB ), với C (c1 ; c2 ), S ABC AB h số nguyên Tương tự với A, B tung độ, ta có diện tích tam giác ABC số nguyên + Xét trường hợp A(a1 ; a2 ), B(b1 ; b2 ) thuộc loại, a1 b1 , a2 b2 Chọn điểm thứ tư D, chẳng hạn D(b1 ; a2 ) (Hình vẽ) Khi đó, theo lập luận trên, tam giác ABD, CAD, CBD có diện tích số nguyên, suy S ACBD số nguyên Nhưng S ACBD S ABC S ABD , nên S ABC số nguyên Điều phải chứng minh -Hết 0,25 0,25 SỞ GD&ĐT VĨNH PHÚC ĐỀ CHÍNH THỨC KỲ THI TUYỂN SINH LỚP 10 THPT CHUYÊN NĂM HỌC 2015–2016 ĐỀ THI MÔN: TOÁN Dành cho tất thí sinh Thời gian làm bài: 120 phút, không kể thời gian giao đề Câu (2,0 điểm) mx y Cho hệ phương trình: (với x, y ẩn; m tham số) x y a) Giải hệ phương trình cho với m b) Tìm tất giá trị tham số m để hệ phương trình cho có nghiệm x; y thỏa mãn điều kiện x y Câu (2,0 điểm) Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho đường thẳng d có phương trình y 3 x m (m tham số) Xác định tất giá trị tham số m để: 1 a) Đường thẳng d qua điểm A 1; 2 b) Đường thẳng d cắt trục toạ độ tạo thành tam giác có diện tích Câu (2,0 điểm) 15 x 11 x 2 x x x 1 x 3 x a) Rút gọn biểu thức P Cho biểu thức: P b) Tìm tất giá trị tham số m để phương trình x P m có nghiệm Câu (3,0 điểm) Cho BC dây cung (không phải đường kính) đường tròn tâm O, bán kính R Điểm A di động cung lớn BC cho O nằm tam giác ABC Các đường cao AD, BE, CF tam giác ABC đồng qui H (D, E, F chân đường cao) a) Chứng minh tam giác AEF đồng dạng với tam giác ABC b) Gọi A ' trung điểm BC , A1 trung điểm EF , K điểm đối xứng với B qua O Chứng minh tứ giác AHCK hình bình hành R AA1 OA ' AA ' c) Xác định vị trí A để DE EF FD đạt giá trị lớn Câu (1,0 điểm) Cho n số nguyên dương lớn kí hiệu n ! 1.2.3 n (tích n số nguyên dương đầu tiên) Chứng minh rằng: với số nguyên dương lớn không vượt n! phân tích thành tổng gồm không n số nguyên dương, cho hai số khác số ước số n! ———— HẾT———— Cán coi thi không giải thích thêm! Họ tên thí sinh……………………………………………… Số báo danh…………… SỞ GD&ĐT VĨNH PHÚC KỲ THI TUYỂN SINH LỚP 10 THPT CHUYÊN NĂM HỌC 2015-2016 ——————— HƯỚNG DẪN CHẤM MÔN: TOÁN (Hướng dẫn chấm có 03 trang) Dành cho tất thí sinh ————————— A LƯU Ý CHUNG - Hướng dẫn chấm trình bày cách giải với ý phải có Khi chấm học sinh làm theo cách khác đủ ý cho điểm tối đa - Điểm toàn tính đến 0,25 không làm tròn - Với hình học thí sinh không vẽ hình phần không cho điểm tương ứng với phần B ĐÁP ÁN VÀ THANG ĐIỂM Câu Ý Nội dung trình bày a x y Thay m vào hệ ta có: x y x y 1 x y 1 x y 1 y 1 y y y y y x 1 x y y 2 y 2 x y y 3 1 Vậy, hệ có nghiệm x; y ; 1; 2 2 b mx (3 x 1) (m 3) x Thay y x vào hệ có: 2 x 3x x x 1 (m 3) x m x 1 m 19 x 5 19 Vậy, m m Điểm 2,0 0,25 0,75 0,5 0,25 0,25 2,0 1 Đường thẳng d qua điểm A 1; 3 m 2 5 1 m Vậy, m d qua điểm A 1; 2 2 b m d cắt trục toạ độ điểm A 0; m B ;0 3 m S OAB OA.OB 18 m 18 m 54 m 3 a 0,5 1,0 0,25 0,25 a 2,0 0,5 Điều kiện: x 15 x 11 x 2 x P x x 1 x 3 x 15 x 11 x 2 x 3 x 1 x 3 x 1 x 3 3 x 2 x 3 x 3 x 1 15 x 11 x 1 x 3 x 1 x 3 b 15 x 11 0,25 5x x x 1 x 3 x 1 x 3 x 1 x x x 1 x 3 x x 3 P m x 3 x5 3x m Đối chiếu ĐK có: 0,25 0,25 0,25 x 2m x 2m 2m 3 m Vậy, 3 m 0,25 0,25 3,0 A K E C' F B a A1 H D B' O A' C Do BEC BFC 90o suy tứ giác BFEC nội tiếp 0,5 AEF ABC (cùng bù với góc CEF ) BAC FAE Từ suy AEF ABC (đpcm) 0,5 b Ta có BCK 90o , AH BC AH / / KC Lại có BAK 90o , CH AB CH / / AK tứ giác AHCK hình bình hành AE AA1 Ta có: AEF ABC (1) , đó: AA’ trung tuyến ABC , AA1 AB AA ' trung tuyến AEF AE AB AE AB AE OA ' Do BAC BKC ABE KBC 2 KC KB 2OA ' R AB R AA1 OA ' R AA1 OA ' AA ' AA ' R Gọi B’, C’ trung điểm AC, AB Ta có: OB ' AC , OC ' AB OA ', OB ', OC ' đường cao tam giác OBC, OCA, OAB Từ (1) (2) suy ra: c 0,5 0,25 0,25 0,25 (OA '.BC OB ' AC OC ' AB) S ABC OA '.BC OB ' AC OC ' AB (3) AA AA1 Theo phần b suy ra: OA ' R , mà tỷ số trung tuyến tam AA ' AA ' AA1 EF giác đồng dạng AEF ABC nên AA ' BC FD ED Tương tự có: OB ' R , ; OC ' R AC AB thay vào (3) ta được: S ABC R( EF FD DE ) Do AD AA ' AO OA ' AD R OA ' , dấu xảy A điểm cung lớn BC Mà R không đổi, nên EF FD DE lớn S ABC lớn AD lớn A điểm cung lớn BC S ABC S OBC S OCA S OAB 0,25 0,25 0,25 1,0 Với n n ! Ta có: 2; 3;5 3;6 khẳng định với n Giả sử khẳng định với n k k 3, k 0,25 Ta chứng minh khẳng định với n k Thật vật: Giả sử a số nguyên dương tuỳ ý a n 1 ! , chia a cho n với số dư r thương d Khi đó: a d n 1 r , r n 0,25 m Theo giả thiết, d n ! d di di 1 i m số tự nhiên khác i 1 đôi một, ước n! Đồng thời m n Khi đó: a d1 n 1 d m n 1 r tổng có không n số khác đôi ước n 1 ! (đpcm) -Hết 0,5 SỞ GD&ĐT VĨNH PHÚC ĐỀ CHÍNH THỨC KỲ THI TUYỂN SINH LỚP 10 THPT CHUYÊN NĂM HỌC 2014–2015 ĐỀ THI MÔN: TOÁN Dành cho thí sinh thi vào lớp chuyên Toán chuyên Tin Thời gian làm bài: 150 phút, không kể thời gian giao đề Câu (3,0 điểm) Cho phương trình x 3mx 2m 1 (m tham số) a) Giải phương trình (1) m b) Tìm tất giá trị m để phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt x1 , x2 cho biểu thức sau đạt giá trị nhỏ P x12 3mx2 6m m2 m2 x22 3mx1 6m Câu (1,5 điểm) Cho a, b, c số thực dương Chứng minh rằng: a3 b3 c3 abc 2 2 2 a ab b b bc c c ca a Câu (3,0 điểm) Cho tam giác ABC nhọn, không cân ( AB BC ) nội tiếp đường tròn O Các tiếp tuyến O A C cắt P Gọi D hình chiếu A BP; E giao điểm đường thẳng BP AC Đường tròn ngoại tiếp tam giác CDE cắt đường tròn O F (F khác C) a) Chứng minh điểm A, D, F , P nằm đường tròn b) Gọi M trung điểm AC Chứng minh FC FM c) Đường thẳng PF cắt lại đường tròn O N Chứng minh CA CF NC MF Câu (1,5 điểm) Tìm tất ba số nguyên tố p; q; r cho pqr p q r 200 Câu (1,0 điểm) Mỗi ô vuông đơn vị bảng hữu hạn m n (m, n số nguyên dương) ghi số thực Xét quy tắc biến đổi sau: Mỗi lần đổi dấu tất số hàng cột Chứng minh sau số hữu hạn bước thực quy tắc trên, ta thu bảng mà tổng số hàng cột không âm ———— HẾT———— Cán coi thi không giải thích thêm! Họ tên thí sinh…………………………………… Số báo danh…………… SỞ GD&ĐT VĨNH PHÚC KỲ THI TUYỂN SINH LỚP 10 THPT CHUYÊN NĂM HỌC 2014-2015 ——————— HƯỚNG DẪN CHẤM MÔN: TOÁN (Hướng dẫn chấm có 03 trang) Dành cho tất thí sinh ————————— A LƯU Ý CHUNG - Hướng dẫn chấm trình bày cách giải với ý phải có Khi chấm học sinh làm theo cách khác đủ ý cho điểm tối đa - Điểm toàn tính đến 0,25 không làm tròn - Với hình học thí sinh không vẽ hình phần không chấm điểm cho phần B ĐÁP ÁN VÀ THANG ĐIỂM Câu Ý Nội dung trình bày a Khi m phương trình (1) trở thành x x Điểm 3,0 0,5 Phương trình có biệt thức: 3 1 2 17 0,5 Suy phương trình cho có hai nghiệm phân biệt: 17 17 x x 2 0,5 b Phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt x1 , x2 m (*) m 8m m x1 x2 3m Theo Vi-ét ta có x1 x2 2m Ta có x1 3mx1 2m, x22 3mx2 2m 0,5 0,25 3m x1 x2 8m m2 m 8m m2 Suy P m2 3m x1 x2 8m m2 9m 8m 0,25 Từ (*) suy P 2, dấu “=” xảy m 1 (thỏa mãn) KL 0,5 1,5 Vì a, b a b a b nên a b3 ab a b 0,25 Bất đẳng thức tương đương với 3a 2a ab a b b3 2a 2a 2b 2ab a 2b ab b3 0,25 a ab b Suy 2a b a3 2a b 2 a ab b Tương tự, b3 2b c c3 2c a , 2 2 b bc c c ca a 0,25 0,25 Cộng ba bất đẳng thức chiều, thu 2a b 2b c 2c a a3 b3 c3 a ab b b bc c c ca a 3 3 a b c abc 2 a ab b b bc c c ca a 0,25 Dấu “=” a=b=c 0,25 3,0 A P M O B E D F C N a Do tứ giác CFDE nội tiếp nên FDP 1800 FDE FCE Mà FCE FCA FAP (do PA tiếp xúc với O ) 0,5 Suy FDP FAP Từ đó, A, D phía PF nên tứ giác APFD nội tiếp hay điểm A, D, F, P thuộc đường tròn 0,5 b Do tứ giác ADFP nội tiếp nên AFP ADP 900 c 0,25 Do tam giác PAC cân P M trung điểm AC nên AMP 900 suy ngũ giác AMDFP nội tiếp 0,25 Suy PFM 1800 PAM 1800 PAC 1800 ABC AFC 0,25 Suy MFC AFC AFM PFM AFM PFA 900 FC FM 0,25 Từ chứng minh suy AFM NFC 0,25 Mà FAM FNC (cùng chắn cung FC (O)) nên FAM NC CF Suy AM CF NC MF AM MF Do AC AM nên CA CF NC MF FNC 0,25 0,25 0,25 1,5 Không tính tổng quát, giả sử p q r Viết lại phương trình cho dạng rq 1 p 1 r 1 q 1 202 (1) Nếu p lẻ q, r lẻ, VT (1) 4, VP(1) không chia hết cho 4, vô lý Vậy p Với p (1) trở thành: 2rq r q 202 4rq 2r 2q 405 2q 1 2r 1 34 0,25 0,25 Do 2q 2r nên 2q 1 2q 1 2r 1 405 2q 20 Từ đó, 2q ước 34 nên 2q 1 3,5,9,15 Nếu Nếu Nếu Nếu 2q q r 68 không số nguyên tố, loại 2q q r 41 2q q r 23 2q 15 q không số nguyên tố, loại KL: Tất ba số nguyên tố phải tìm 2;5; 23 , 2;3; 41 hoán vị 0,25 0,25 0,25 0,25 1,0 Xét tổng số bảng thực phép đổi dấu Tổng tăng tổng số hàng (hoặc cột) trước đổi dấu âm; tổng không đổi khi tổng số hàng (hoặc cột) trước đổi dấu tổng giảm tổng số hàng (hoặc cột) trước đổi dấu dương Khi thực phép biến đổi số ô trùng với số ban đầu số đối số ban đầu, thực phép biến đổi nhận tối đa 2mn bảng khác nhau, tổng tất số bảng nhận hữu hạn giá trị khác Ta xét bảng ban đầu: Nếu hàng cột có tổng số âm toán chứng minh Ngược lại, ta chọn hàng cột có tổng số âm, ta thực phép biến đổi hàng cột Khi bảng vừa nhận có hàng cột có tổng số âm ta lại thực phép biến đổi hàng cột nhận bảng tiếp tục Như lần thực phép biến đổi tổng số bảng tăng lên Do tổng nhận hữu hạn giá trị nên bước thực ta nhận bảng cần tìm, nhận bảng có tổng đạt giá trị lớn Bảng có tổng đạt lớn thỏa mãn toán có vệt có tổng âm thực phép biến đổi vệt ta bảng có tổng tăng lên lớn tổng lớn đó, vô lý Vậy trường hợp ta có điều phải chứng minh -Hết 0,25 0,25 0,25 0,25 [...]...SỞ GD&ĐT VĨNH PHÚC ĐỀ CHÍNH THỨC KỲ THI TUYỂN SINH LỚP 10 THPT CHUYÊN NĂM HỌC 2015–2016 ĐỀ THI MÔN: TOÁN Dành cho thí sinh thi vào lớp chuyên Toán và chuyên Tin Thời gian làm bài: 150 phút, không kể thời gian giao đề Câu 1 (3,0 điểm) a) Giải phương trình: 4 x 3 x 1 4 x 8 x 7 4 x 10 x 7 2 x3 3 x3 y 8 b) Giải hệ phương trình: 3 xy ... cả x và y đều là các số nguyên Tìm số nguyên dương n bé nhất sao cho từ mỗi bộ n điểm nguyên, đều tìm được bộ ba điểm nguyên là đỉnh của một tam giác có diện tích nguyên (trong trường hợp ba điểm thẳng hàng thì coi diện tích tam giác bằng 0) ———— HẾT———— Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm! Họ và tên thí sinh…………………………………… Số báo danh…………… SỞ GD&ĐT VĨNH PHÚC KỲ THI TUYỂN SINH LỚP 10 THPT CHUYÊN NĂM... lớn hơn 2 và không vượt quá n! đều phân tích được thành tổng gồm không quá n số nguyên dương, sao cho hai số bất kỳ đều khác nhau và mỗi số này đều là ước số của n! ———— HẾT———— Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm! Họ và tên thí sinh……………………………………………… Số báo danh…………… SỞ GD&ĐT VĨNH PHÚC KỲ THI TUYỂN SINH LỚP 10 THPT CHUYÊN NĂM HỌC 2015-2016 ——————— HƯỚNG DẪN CHẤM MÔN: TOÁN (Hướng dẫn chấm có 03 trang)... 1 ! (đpcm) -Hết 3 0,5 SỞ GD&ĐT VĨNH PHÚC ĐỀ CHÍNH THỨC KỲ THI TUYỂN SINH LỚP 10 THPT CHUYÊN NĂM HỌC 2014–2015 ĐỀ THI MÔN: TOÁN Dành cho thí sinh thi vào lớp chuyên Toán và chuyên Tin Thời gian làm bài: 150 phút, không kể thời gian giao đề Câu 1 (3,0 điểm) Cho phương trình x 2 3mx 2m 0 1 (m là tham số) a) Giải phương trình (1) khi m 1 b) Tìm tất cả các giá trị của... S ABD , nên S ABC là số nguyên Điều phải chứng minh -Hết 4 0,25 0,25 SỞ GD&ĐT VĨNH PHÚC ĐỀ CHÍNH THỨC KỲ THI TUYỂN SINH LỚP 10 THPT CHUYÊN NĂM HỌC 2015–2016 ĐỀ THI MÔN: TOÁN Dành cho tất cả các thí sinh Thời gian làm bài: 120 phút, không kể thời gian giao đề Câu 1 (2,0 điểm) mx y 1 Cho hệ phương trình: 2 1 (với x, y là ẩn; m là tham số) x y 2 2 a) Giải hệ... 0,25 m Theo giả thi t, do d n ! d di trong đó di 1 i m là các số tự nhiên khác i 1 nhau từng đôi một, và là ước của n! Đồng thời m n Khi đó: a d1 n 1 d m n 1 r và tổng này có không quá n 1 số khác nhau từng đôi một và đều là ước của n 1 ! (đpcm) -Hết 3 0,5 SỞ GD&ĐT VĨNH PHÚC ĐỀ CHÍNH THỨC KỲ THI TUYỂN SINH LỚP 10 THPT CHUYÊN NĂM HỌC... gì thêm! Họ và tên thí sinh…………………………………… Số báo danh…………… SỞ GD&ĐT VĨNH PHÚC KỲ THI TUYỂN SINH LỚP 10 THPT CHUYÊN NĂM HỌC 2015-2016 ——————— HƯỚNG DẪN CHẤM MÔN: TOÁN (Hướng dẫn chấm có 04 trang) Dành cho thí sinh thi vào lớp chuyên Toán và chuyên Tin ————————— A LƯU Ý CHUNG - Hướng dẫn chấm chỉ trình bày một cách giải với những ý cơ bản phải có Khi chấm bài học sinh làm theo cách khác nếu đúng và đủ... quy tắc trên, ta thu được một bảng mà tổng các số trong mọi hàng và mọi cột đều không âm ———— HẾT———— Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm! Họ và tên thí sinh…………………………………… Số báo danh…………… SỞ GD&ĐT VĨNH PHÚC KỲ THI TUYỂN SINH LỚP 10 THPT CHUYÊN NĂM HỌC 2014-2015 ——————— HƯỚNG DẪN CHẤM MÔN: TOÁN (Hướng dẫn chấm có 03 trang) Dành cho tất cả các thí sinh ————————— A LƯU Ý CHUNG - Hướng dẫn chấm chỉ... ghi số 121 nhiều nhất là 20 cặp ô vuông 0,5 0,25 (10 cặp theo hàng, 10 cặp theo cột) Ví dụ trong bảng trên ô ghi số 1 và ô ghi số 121 cách nhau 4 cặp ô vuông 1; a1 , a1 ; a2 a2 ; a3 , a3 ;121 1 a1 0,25 a2 a3 121 Nếu hiệu của hai số trong hai ô kề nhau nào đó cũng chỉ là 5 thì qua 20 cặp ta có sự chênh lệch là 20.5 100 Như vậy 1 100 101 121 Do đó ắt có hai ô kề nhau nào đó sao... Thay m 1 vào hệ ta có: 2 1 x 2 y 2 x y 1 x y 1 x y 1 2 3 2 3 1 2 y 1 2 y 2 y 2 y 1 0 y 2 y 1 0 x 1 x y 1 y 2 y 2 x 3 2 y 1 2 1 y 2 3 1 Vậy, hệ có nghiệm x; y là ; và 1; 2 2 2 b mx (3 x 1) 1 (m 3) x 2 2 Thay y 3 x 1 vào hệ có: ... Giám thị 2: SỞ GD&ĐT VĨNH PHÚC ĐỀ CHÍNH THỨC KỲ THI TUYỂN SINH LỚP 10 THPT CHUYÊN NĂM HỌC 2015–2016 ĐỀ THI MÔN: TOÁN Dành cho thí sinh thi vào lớp chuyên Toán chuyên Tin Thời gian làm bài: 150... 0,5 SỞ GD&ĐT VĨNH PHÚC ĐỀ CHÍNH THỨC KỲ THI TUYỂN SINH LỚP 10 THPT CHUYÊN NĂM HỌC 2014–2015 ĐỀ THI MÔN: TOÁN Dành cho thí sinh thi vào lớp chuyên Toán chuyên Tin Thời gian làm bài: 150... GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO SÓC TRĂNG KỲ THI TUYỂN SINH LỚP 10 NĂM HỌC 2014 - 2015 Đề thức Môn: Toán (Chuyên) (Thời gian làm 120 phút, không kể thời gian phát đề) ——————— Đề thi có 01 trang Câu 1: (1,5 điểm)