ĐỊNH LÝ VI-ET VỚI PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI Chuyên đề: ĐỊNH LÝ VI-ET VỚI PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI TÓM TĂT ĐỊNH LÝ VI-ET Định lý thuận Phương trình bậc hai ax  bx  c  có nghiệm : b  S  x1  x2   a   P  x x  c  a Định lí đảo x  y  S x, y :   x,y nghiệm X  SX  P  xy  P  (Với điều kiện S  P  ) II.VẤN ĐỀ 1: Tính biểu thức đối xứng hai nghiệm(Phương pháp dùng định lí Viét thuận): Biểu thức f(x1;x2) gọi đối xứng đói với x1, x2 f(x1;x2) = f(x2;x1) Tính chất : Mọi biểu thức đối xứng với hai biến phân tích thành biểu thức chứa hạng tử nhân tử tổng S tích P hai biến Phương pháp chung : + Xét đ/k có nghiệm phương trình :   + Tính S, P + Biểu diễn biểu thức cần tính qua S, P Ví dụ: Cho phương trình x  x   Không tính nghiệm phương trình tính giá trị biểu thức: a) A  x17  x 27 b) B  x1  x GIẢI: Phương trình có nghiệm x1 , x2 ac  a) Ta có: A  x13  x 23 x14  x 24   x13 x 23 x1  x   x12  x 22  x1  x 2  x1 x  S  P  x13  x 23  x1  x x12  x1 x  x 22   x1  x ( x1  x )  x1 x   S (S  3P)      x14  x 24  x12  x12 x 22  x 22  ( S  P)  P 2   x12 x 22  x12  x 22   x12 x 22  S = 2, P = -1 Suy ra: x17  x 27  S ( S  3P)((S  P)  P )  P S  2(4  3)((4  2)  2)   866 Giáo viên: Nguyễn Văn Tính Trường phổ thông DTNT tỉnh ĐỊNH LÝ VI-ET VỚI PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI Chuyên đề: b) Ta có: B  x1  x  ( x1  x ) 2 2  x1  x   x1  x1 x  x  ( x1  x )  x1 x  S  4P  Suy B  Ví dụ : Tìm tất giá trị tham số m để nghiệm x1, x2 phương trình x2 + mx + = thỏa mãn : x12 x22  7 x22 x12 Ví dụ : Gọi x1, x2 nghiệm phương trình : 2x2 + 2(m + 1)x + m2 + 4m + = Tìm GTLN biểu thức A  x1 x2  x1  x2 Ví dụ : Tìm m để phương trình : 3x2 + 4(m - 1)x + m2 - 4m + = có hai nghiệm x1, x2 thỏa mãn : 1   ( x1  x2 ) x1 x2 III VẤN ĐỀ 2: Tìm tham số biết hai nghiệm x1, x2 thỏa mãn hệ thức F(x1,x2)=0 Phương pháp (dùng định lí Viét ): - Tìm đ/k để phương trình có nghiệm x1 , x2 - Lập hệ điều kiện chứa nghiệm x1 , x2 m: b   x1  x2   a  c   x1 x2  a   F ( x1 , x2 )    (1) (2) (3) - Tìm m từ hệ - Thử lại điều kiện   để kết luận tham số Ví dụ 1: Cho phương trình x  2(m  4) x  m   Tìm m để phương trình có nghiệm x1 , x2 thỏa mãn: a) x 12  x 22  50 b) x12  x 22  x1  x đạt giá trị nhỏ Tìm nghiệm GIẢI Điều kiện: '  8m    m  3 (*)  x1  x  2m   x1  x  2m    2 a) Ta có:  x1 x  m    x1 x  m   x  x  50  x  x 2  x x  50 2   (1) ( 2) (3) Thay (1), (2) vào (3) ta nhận m  1  m  15 Giáo viên: Nguyễn Văn Tính Trường phổ thông DTNT tỉnh ĐỊNH LÝ VI-ET VỚI PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI Chuyên đề: - Với m = -1 phương trình trở thành x  x   có nghiệm x1  1, x  Với m  15, '  8m  24  ( m=-15 bị loại) Vậy m = -1 thỏa mãn toán lúc phương trình có nghiệm x1  1, x   x1  x  2m   b) Ta có  x1 x  m   x  x  x  x 2  (1) ( 2) (3) Từ (1) (2) : x12  x 22  x1  x  y với y  m  15m  36 (*) Do (*) toán trở thành : Tìm y với m  3 Vì parabol y quay lõm phía có hoành độ đỉnh nhỏ -3 nên: Min y = y(-3) = 0, Vậy m = -3; GTNN = x1  x2  Ví dụ 2: Cho phương trình x  x  a  Tìm a để phương trình có nghiệm lớn hai lần nghiệm đơn vị GIẢI Biến đổi phương trình thành x  x  a   Giả sử x  x  ta có:  2  x   x  x   3   a 1  1    x2   x1 x  3   x  x  1   30   a  27  Thử lại a  30  30  thỏa toán    a  27 27 Ví dụ 3: Tìm m để đồ thị hàm số y = x2 – 4x + m cắt trục hoành hai điểm phân biệt A, B cho OA =3OB Ví dụ 4: Tìm m cho phương trình x2 – (m + 2)x + m2 + = có hai nghiệm x1 ,x2 thỏa mãn hệ thức : x12  x22  3x1 x2 IV.VẤN ĐỀ 3: Tìm tham số để hai phương trình bậc hai tương đương Tóm tắt: Cho hai phương trình bậc hai a1 x  b1 x  c1  a x  b2 x  c  (1) (2)  (1) (2) tương đương hai tập nghiệm chúng trùng ( kể Ø); Phương pháp: Xét trường hợp: Giáo viên: Nguyễn Văn Tính Trường phổ thông DTNT tỉnh ĐỊNH LÝ VI-ET VỚI PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI Chuyên đề:  Trường hợp hai phương trình vô nghiệm:   Giải hệ:     Trường hợp hai phương trình có nghiệm:  1    Giải hệ:  S  S  P1  P2  i , S i , Pi tương ứng với phương trình (i) Ví dụ 1: Cho hai phương trình: x  2x  m  x  mx   (1) (2) Định m để (1) (2) tương đương GIẢI    Trường hợp phương trình vô nghiệm     m  1     m  1 m   Trường hợp phương trình có nghiệm: m  1   1     m    m   Điều kiện:  (vô nghiệm) m4 S  S   m  P1  P2   Kết luận: Với  m  1 hai phương trình tương đương Ví dụ 2: Tìm tham số a b để hai phương trình sau tương đương: x  2(a  b) x  2a  b  x  2(a  b) x  a  2b  (1) (2) GIẢI  Trường hợp (1) (2) vô nghiệm:   '  (a  b)2  (2a  b )  a  2ab  2b  (*)    2 2  '2  (a  b)  (a  2b )  b  2ab  Do b=0 không nghiệm (*)  b  Ta có:  a  a a a  1    1         b b b (*)   b   1  a  a    b b Giáo viên: Nguyễn Văn Tính Trường phổ thông DTNT tỉnh Chuyên đề: ĐỊNH LÝ VI-ET VỚI PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI a   1  b  Trường hợp (1) (2) có nghiệm  a  2ab  2b    b  2ab  Điều kiện:  ab0  2(a  b)  2(a  b) 2a  b  a  2b a = b = hai phương trình có nghiệm kép  Kết luận: a  1  a = b = 0, (1) (2) tương đương b Vấn đề 4: Tìm tham số để phương trình bậc hai có nghiệm cho x = a Tìm nghiệm Ví dụ: Cho phương trinh bậc hai: (m  1) x  (m  1) x  m   Tìm m để phương trình có nghiệm x = -2 Tính nghiệm lại GIẢI: Đặt f ( x )  (m  1) x  (m  1) x  m   Phương trình bậc hai  m  1   m  1  m = -2 nghiệm phương trình  f (2)     m  (2)  m  1(2)  m    m    m  (loại)  Với m   , phương trình:  x  x  36  c 36  18  Ta có:  x1 x  a   (định lý Viets)  x   x1  2 Chú ý: Có thể tìm nghiệm lại sau: b  18  x1  x2   a  x2   (2)   7  x1  2 VI.VẤN ĐỀ 5: Tìm hệ thức nghiệm độc lập với tham số Phương pháp: + Tìm điều kiện để phương trình bậc có nghiệm:   + Tính S,P + Khử tham số S P để hệ thức S P Thay S  x1  x2 , P  x1 x2 ta hệ thức độc lập với tham số Ví dụ: Cho phương trình bậc m  12 x  (m  1)(m  2) x  m  Khi phương trình có nghiệm tìm hệ thức nghiệm độc lập với tham số Giáo viên: Nguyễn Văn Tính Trường phổ thông DTNT tỉnh ĐỊNH LÝ VI-ET VỚI PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI Chuyên đề: GIẢI Ta có: m  12   m  (do phương trình bậc 2)   m  1 (m  4)  0, m  m2  (1) S  m   m (2) P   m  12 Từ (1): S  (m  1)  S S 1 1   m 1 m 1 m 1 Từ (2) (3): P  (3) (m  1)  1 S 1  S 1      2 m  (m  1) (m  1)   2 x  x   x1  x  1 x1 x   Hệ thức: 2  x1  x  x1  x  x1 x   VII.VẤN ĐỀ 6: Tìm hai số biết tổng tích chúng Lập phương trình bậc hai biết hai nghiệm Phương pháp: (Sử dụng định lí Viét) 1) Tìm hai số x,y x + y = S xy = P x, y nghiệm phương trình bậc hai: X  SX  P  2) Lập phương trình biết hai nghiệm x1 , x nó: + Tính S, P + Phương trình: X  SX  P  Ví dụ 1: Tìm hai số biết hiệu tích chúng tương ứng : 9, 90 GIẢI Gọi hai số phải tìm x,y: x  y   x  ( y )     xy  90  x( y )  90 Đặt z   y ( y   z ) , toán trở thành: Tìm hai số x, z biết x  z    xz  90 x, z nghiệm phương trình: X  X  90  Giải phương trình :   212  X  6, X  15 Ta có cặp giá trị x = 15, x = -6  x = 15, y = Hoặc x = -6 , z = 15  x = - 6, y = -15 Vậy hai số phải tìm x = 15, y = x = - 6, y = -15 Ví dụ 2: Lập phương trình bậc hai có hai nghiệm x1 , x2 thỏa Giáo viên: Nguyễn Văn Tính Trường phổ thông DTNT tỉnh Chuyên đề: ĐỊNH LÝ VI-ET VỚI PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI 4 x1 x2  5( x1  x2 )    (*)  ( x1  1)( x2  1)  m  (m  1) GIẢI Ta tìm S  x1  x2 , P  x1 x2 4 x1 x  5( x1  x )    P  5S    Hệ (*)     x1 x  ( x1  x )  m   P  S  m  (1) (2) Nhân vế (2) với -4 cộng vào (1) ta có: 4m   m 2 S  4 P m 1  m 1  m 2 4m  Phương trình cần lập: X  4 0 X  m 1  m 1  (m  1) Hay m  1X  4(m  2) X  4m   BÀI TẬP ỨNG DỤNG Bài : Cho phương trình có ẩn số x : x2 – 2(m – 1)x – – m = 1) Chứng tỏ phương trình có nghiệm với m 2) Tìm m cho nghiệm số x1, x2 phương trình thỏa mãn điều kiện : x12  x22  10 Bài : Cho phương trình có ẩn số x : x2 – 2(m – 1)x – – m = 1) Chứng tỏ phương trình có nghiệm với m  2  2) Đặt A  x1  x2  x1 x2 a) Chứng minh A = 8m2 – 18m + b) Tìm m cho A = 27 3) Tìm m cho phương trình có nghiệm hai lần nghiệm Bài : Cho phương trình có ẩn số x : 2x2 + 2(m + 2)x + m2 +4m + = 1) A  x1  x2  3x1 x2 đạt giá trị lớn 2 2) A  x1  x2  x1 x2 đạt giá trị nhỏ 3) Tìm hệ thức x1, x2 không phụ thuộc m Bài : Cho phương trình có ẩn số x : x2 – 2(m + 4)x + m2 – = 1) Xác định m để phương trình có nghiệm x1, x2 2) Chứng minh nghiệm x1, x2 thỏa mãn bất đẳng thức : 3m  10m   2     2   Bài : Cho phương trình có ẩn số x : x – mx + m – = Gọi x1, x2 nghiệm phương trình Với giá trị m, biểu thức Giáo viên: Nguyễn Văn Tính Trường phổ thông DTNT tỉnh Chuyên đề: R ĐỊNH LÝ VI-ET VỚI PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI x1 x2  x12  x22  2(1  x1 x2 ) đạt giá trị lớn Tìm giá trị lớn Bài : Cho phương trình : x2 – 4x – (m2 + 3m) = 1) Chứng tỏ phương trình có nghiệm với m 2) Tìm m cho nghiệm số x1, x2 phương trình thỏa mãn : x22  x22  4( x1  x2 ) 3) Lập phương trình bậc hai ẩn y có hai nghiệm y1, y2 thỏa mãn :  y1  y2  x1  x2  y2  y1 1  y   y   Bài : Cho phương trình : (m + 2)x2 – 2(m – 1)x + – m = 1) Xác định m để phương trình có hai nghiệm x1, x2 thỏa mãn hệ thức: x12  x22  x1  x2 2)Lập hệ thức x1 x2 không phụ thuộc m 3) Viết phương trình bậc hai ẩn y có nghiệm : y1  x1  x2  y2  x1  x2  Bài : Cho m số thực khác –1 Hãy lập phương trình bậc hai có hai nghiệm x1, x2 thỏa mãn hệ thức : 4x1x2 +4 = 5(x1 + x2) (x1 – 1)(x2 – 1) = m 1 ===================== Giáo viên: Nguyễn Văn Tính Trường phổ thông DTNT tỉnh ... tương ứng : 9, 90 GIẢI Gọi hai số phải tìm x,y: x  y   x  ( y )     xy  90  x( y )  90 Đặt z   y ( y   z ) , toán trở thành: Tìm hai số x, z biết x  z    xz  90 x, z nghiệm... tỉnh ĐỊNH LÝ VI-ET VỚI PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI Chuyên đề: - Với m = -1 phương trình trở thành x  x   có nghiệm x1  1, x  Với m  15, '  8m  24  ( m=-15 bị loại) Vậy m = -1 thỏa mãn toán. ..ĐỊNH LÝ VI-ET VỚI PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI Chuyên đề: b) Ta có: B  x1  x  ( x1  x ) 2 2  x1  x