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Tổng hợp công thức toán cơ bản giải tích 1 đầy đủ. Dãy hội tụ và phân kỳ. Giới hạn là duy nhất Giới hạn vô cùng Tính chất đại số và tính chất thứ tự của dãy hội tụ Dãy bị chặn và sự tồn tại giới hạn
REFERENCE PAGES Algebra Geometry Arithmetic Operations Geometric Formulas a c ad ϩ bc ϩ b d bd a d ad a b ϫ c b c bc d a͑b ϩ c͒ ab ϩ ac aϩc a c ϩ b b b Formulas for area A, circumference C, and volume V: Triangle A 12 bh 12 ab sin a Exponents and Radicals Circle A r C 2 r Sector of Circle A 12 r 2 s r ͑ in radians͒ r h ¨ xm x mϪn xn xϪn n x x m x n x mϩn ͑x m͒n x m n ͩͪ x y ͑xy͒n x n y n n ͱ n n n xy s xs y s n ¨ b r Sphere V 43 r xn yn Cylinder V r 2h Cone V 13 r 2h A 4 r n n x m͞n s x m (s x )m n x 1͞n s x s r A rsr ϩ h r n x x s n y sy r Factoring Special Polynomials r x Ϫ y ͑x ϩ y͒͑x Ϫ y͒ 2 x ϩ y ͑x ϩ y͒͑x Ϫ xy ϩ y 2͒ x Ϫ y ͑x Ϫ y͒͑x ϩ xy ϩ y 2͒ Distance and Midpoint Formulas Binomial Theorem Distance between P1͑x1, y1͒ and P2͑x 2, y2͒: ͑x ϩ y͒2 x ϩ 2xy ϩ y ͑x Ϫ y͒2 x Ϫ 2xy ϩ y d s͑x Ϫ x1͒2 ϩ ͑ y2 Ϫ y1͒2 ͑x ϩ y͒3 x ϩ 3x y ϩ 3xy ϩ y ͑x Ϫ y͒3 x Ϫ 3x y ϩ 3xy Ϫ y ͑x ϩ y͒n x n ϩ nx nϪ1y ϩ ϩ иии ϩ ͩͪ n͑n Ϫ 1͒ nϪ2 x y Midpoint of P1 P2 : ͩͪ n nϪk k x y ϩ и и и ϩ nxy nϪ1 ϩ y n k ͩ x1 ϩ x y1 ϩ y2 , 2 ͪ Lines n n͑n Ϫ 1͒ и и и ͑n Ϫ k ϩ 1͒ where k ؒ ؒ ؒ иии ؒ k Slope of line through P1͑x1, y1͒ and P2͑x 2, y2͒: m Quadratic Formula If ax ϩ bx ϩ c 0, then x Ϫb Ϯ sb Ϫ 4ac 2a y2 Ϫ y1 x Ϫ x1 Point-slope equation of line through P1͑x1, y1͒ with slope m: y Ϫ y1 m͑x Ϫ x1͒ Inequalities and Absolute Value If a Ͻ b and b Ͻ c, then a Ͻ c Slope-intercept equation of line with slope m and y-intercept b: If a Ͻ b, then a ϩ c Ͻ b ϩ c y mx ϩ b If a Ͻ b and c Ͼ 0, then ca Ͻ cb If a Ͻ b and c Ͻ 0, then ca Ͼ cb If a Ͼ 0, then ԽxԽ a ԽxԽ Ͻ a ԽxԽ Ͼ a means xa or Circles x Ϫa Equation of the circle with center ͑h, k͒ and radius r: means Ϫa Ͻ x Ͻ a means h h xϾa or ͑x Ϫ h͒2 ϩ ͑ y Ϫ k͒2 r x Ͻ Ϫa ❙❙❙❙ ❙❙❙❙ REFERENCE PAGES Trigonometry Angle Measurement Fundamental Identities radians 180Њ 1Њ rad 180 rad s r 180Њ r ͑ in radians͒ Right Angle Trigonometry cos tan hyp csc opp adj hyp sec opp adj cot sin sec cos tan sin cos cot cos sin cot tan sin 2 ϩ cos 2 ¨ s r opp sin hyp csc hyp hyp adj opp ¨ adj adj opp ϩ tan 2 sec 2 ϩ cot 2 csc 2 sin͑Ϫ͒ Ϫsin cos͑Ϫ͒ cos tan͑Ϫ͒ Ϫtan sin Ϫ cos tan Ϫ cot cos ͩ ͪ ͩ ͪ ͩ ͪ Ϫ sin Trigonometric Functions y sin r r csc y cos x r sec r x tan y x cot x y sin A sin B sin C a b c (x, y) C c ¨ The Law of Cosines x b a ϩ c Ϫ 2ac cos B y A c a ϩ b Ϫ 2ab cos C y=tan x y=cos x 1 π b a b ϩ c Ϫ 2bc cos A y y=sin x a r Graphs of Trigonometric Functions y B The Law of Sines y 2π Addition and Subtraction Formulas 2π x _1 π 2π x sin͑x ϩ y͒ sin x cos y ϩ cos x sin y x π _1 sin͑x Ϫ y͒ sin x cos y Ϫ cos x sin y y cos͑x Ϫ y͒ cos x cos y ϩ sin x sin y cos͑x ϩ y͒ cos x cos y Ϫ sin x sin y y y=csc x y y=sec x y=cot x π 2π x _1 π 2π x 2π x π tan͑x ϩ y͒ tan x ϩ tan y Ϫ tan x tan y tan͑x Ϫ y͒ tan x Ϫ tan y ϩ tan x tan y _1 Double-Angle Formulas sin 2x sin x cos x Trigonometric Functions of Important Angles cos 2x cos 2x Ϫ sin 2x cos 2x Ϫ Ϫ sin 2x radians sin cos tan 0Њ 30Њ 45Њ 60Њ 90Њ ͞6 ͞4 ͞3 ͞2 1͞2 s2͞2 s3͞2 1 s3͞2 s2͞2 1͞2 0 s3͞3 s3 — tan 2x tan x Ϫ tan2x Half-Angle Formulas sin 2x ❙❙❙❙ ❙❙❙❙ Ϫ cos 2x cos 2x ϩ cos 2x REFERENCE PAGES Differentiation Rules General Formulas d ͑c͒ dx d ͓cf ͑x͔͒ c f Ј͑x͒ dx d ͓ f ͑x͒ ϩ t͑x͔͒ f Ј͑x͒ ϩ tЈ͑x͒ dx d ͓ f ͑x͒ Ϫ t͑x͔͒ f Ј͑x͒ Ϫ tЈ͑x͒ dx d ͓ f ͑x͒t͑x͔͒ f ͑x͒tЈ͑x͒ ϩ t͑x͒f Ј͑x͒ (Product Rule) dx d dx d f ͑ t͑x͒͒ f Ј͑ t͑x͒͒tЈ͑x͒ (Chain Rule) dx d ͑x n ͒ nx nϪ1 (Power Rule) dx ͫ ͬ f ͑x͒ t͑x͒ t͑x͒f Ј͑x͒ Ϫ f ͑x͒tЈ͑x͒ ͓ t͑x͔͒ (Quotient Rule) Exponential and Logarithmic Functions d ͑e x ͒ e x dx 10 d ͑a x ͒ a x ln a dx 11 d ln x dx x 12 d ͑log a x͒ dx x ln a Խ Խ Trigonometric Functions 13 d ͑sin x͒ cos x dx 14 d ͑cos x͒ Ϫsin x dx 15 d ͑tan x͒ sec 2x dx 16 d ͑csc x͒ Ϫcsc x cot x dx 17 d ͑sec x͒ sec x tan x dx 18 d ͑cot x͒ Ϫcsc 2x dx Inverse Trigonometric Functions 19 d ͑sinϪ1x͒ dx s1 Ϫ x 20 d ͑cosϪ1x͒ Ϫ dx s1 Ϫ x 21 d ͑tanϪ1x͒ dx ϩ x2 22 d ͑cscϪ1x͒ Ϫ dx x sx Ϫ 23 d ͑secϪ1x͒ dx x sx Ϫ 24 d ͑cotϪ1x͒ Ϫ dx ϩ x2 Hyperbolic Functions 25 d ͑sinh x͒ cosh x dx 26 d ͑cosh x͒ sinh x dx 27 d ͑tanh x͒ sech 2x dx 28 d ͑csch x͒ Ϫcsch x coth x dx 29 d ͑sech x͒ Ϫsech x x dx 30 d ͑coth x͒ Ϫcsch 2x dx Inverse Hyperbolic Functions 31 d ͑sinhϪ1x͒ dx s1 ϩ x 32 d ͑coshϪ1x͒ dx sx Ϫ 33 d ͑tanhϪ1x͒ dx Ϫ x2 34 d ͑cschϪ1x͒ Ϫ dx x sx ϩ 35 d ͑sechϪ1x͒ Ϫ dx x s1 Ϫ x 36 d ͑cothϪ1x͒ dx Ϫ x2 Խ Խ ❙❙❙❙ ❙❙❙❙ REFERENCE PAGES Table of Integrals Basic Forms y u dv uv Ϫ y v du yu y ye u du e u ϩ C ya u du n du y csc u cot u du Ϫcsc u ϩ C 12 y tan u du ln Խ sec u Խ ϩ C 13 y cot u du ln Խ sin u Խ ϩ C 14 y sec u du ln Խ sec u ϩ tan u Խ ϩ C 15 y csc u du ln Խ csc u Ϫ cot u Խ ϩ C 11 u nϩ1 ϩ C, n nϩ1 Ϫ1 du ln u ϩ C u Խ Խ au ϩC ln a y sa 17 ya 18 y u su y sin u du Ϫcos u ϩ C y cos u du sin u ϩ C y sec u du tan u ϩ C y csc u du Ϫcot u ϩ C 19 ya y sec u tan u du sec u ϩ C 20 yu 10 2 Forms Involving sa ϩ u , a Ͼ u a2 ln(u ϩ sa ϩ u ) ϩ C sa ϩ u ϩ 2 y sa ϩ u du 22 y u sa ϩ u du 23 y a ϩ sa ϩ u sa ϩ u du sa ϩ u Ϫ a ln u u 24 y sa ϩ u sa ϩ u du Ϫ ϩ ln(u ϩ sa ϩ u ) ϩ C u u 25 y sa 21 u a4 ͑a ϩ 2u ͒ sa ϩ u Ϫ ln(u ϩ sa ϩ u ) ϩ C 8 Ϳ du ϩ u2 u du 26 y sa 27 y u sa 28 y u sa 29 y ͑a ϩ u2 ϩ u2 du 2 ϩC ln(u ϩ sa ϩ u ) ϩ C du Ϳ ϩ u2 u a2 ln(u ϩ sa ϩ u ) ϩ C sa ϩ u Ϫ 2 Ϫ Ϳ sa ϩ u ϩ a ln a u Ϫ Ϳ ϩC sa ϩ u ϩC a 2u du u ϩC ϩ u ͒3͞2 a sa ϩ u ❙❙❙❙ du 16 ❙❙❙❙ Ϫu sinϪ1 u ϩC a du u tanϪ1 ϩ C ϩ u2 a a du Ϫ a2 u secϪ1 ϩ C a a Ϳ Ϳ du uϩa ln Ϫ u2 2a uϪa du uϪa ln Ϫ a2 2a uϩa Ϳ Ϳ ϩC ϩC REFERENCE PAGES Table of Integrals Forms Involving sa Ϫ u 2, a Ͼ Ϫ u du u a2 u sinϪ1 ϩ C sa Ϫ u ϩ 2 a 30 y sa 31 y u sa 32 y a ϩ sa Ϫ u sa Ϫ u du sa Ϫ u Ϫ a ln u u 33 y u sa Ϫ u du Ϫ sa Ϫ u Ϫ sinϪ1 ϩ C u2 u a 2 u a4 u ͑2u Ϫ a ͒ sa Ϫ u ϩ sinϪ1 ϩ C 8 a Ϫ u du Ϳ u du 34 y sa 35 y u sa 36 y u sa 37 y ͑a 38 y ͑a Ϫ u2 Ϫ du du 2 Ϳ a ϩ sa Ϫ u ln a u Ϫ Ϫ u2 Ϳ ϩC sa Ϫ u ϩ C a 2u Ϫ u ͒3͞2 du Ϫ ϩC u a2 u sinϪ1 ϩ C sa Ϫ u ϩ 2 a Ϫ Ϫ u2 Ϳ u u 3a ͑2u Ϫ 5a ͒sa Ϫ u ϩ sinϪ1 ϩ C 8 a du u ϩC Ϫ u ͒3͞2 a sa Ϫ u 2 Forms Involving su Ϫ a 2, a Ͼ 39 y su Ϫ a du u a2 ln u ϩ su Ϫ a ϩ C su Ϫ a Ϫ 2 Խ Խ u a4 ͑2u Ϫ a ͒ su Ϫ a Ϫ ln u ϩ su Ϫ a ϩ C 8 Խ 40 y u 2su Ϫ a du 41 y a su Ϫ a du su Ϫ a Ϫ a cosϪ1 ϩC u u 42 y su Ϫ a su Ϫ a du Ϫ ϩ ln u ϩ su Ϫ a ϩ C u2 u 43 y su 44 y su Խ Խ 2 du Ϫ a2 u du Ϫ a2 Խ du 2 2 Խ Խ Խ ln u ϩ su Ϫ a ϩ C y u su Ϫ a du 46 y ͑u Ϫ a ͒ 45 Խ 2 3͞2 u a2 ln u ϩ su Ϫ a ϩ C su Ϫ a ϩ 2 Խ Խ su Ϫ a ϩC a 2u u ϩC Ϫ 2 Ϫ a2 su a ❙❙❙❙ ❙❙❙❙ REFERENCE PAGES Table of Integrals Forms Involving a ϩ bu u du (a ϩ bu Ϫ a ln Խ a ϩ bu Խ) ϩ C 47 y a ϩ bu b 48 u du y a ϩ bu 2b [͑a ϩ bu͒ 49 y u͑a ϩ bu͒ a ln 50 y u ͑a ϩ bu͒ Ϫ au ϩ a 51 y ͑a ϩ bu͒ 52 y u͑a ϩ bu͒ 53 y ͑a ϩ bu͒ 54 y u sa ϩ bu du 15b 55 y sa ϩ bu 3b 56 y sa ϩ bu 15b 57 y u sa ϩ bu sa ln 2 du Ϳ du b du u du 2 ϩC Ϳ ln Խ ϩC ͑3bu Ϫ 2a͒͑a ϩ bu͒3͞2 ϩ C 2 Ϳ Ϳ sa ϩ bu Ϫ sa ϩ C, if a Ͼ sa ϩ bu ϩ sa ͱ tanϪ1 sϪa a ϩ bu ϩ C, Ϫa 58 y sa ϩ bu du sa ϩ bu ϩ a u 59 y b sa ϩ bu sa ϩ bu du Ϫ ϩ u2 u 60 y u sa ϩ bu du b͑2n ϩ 3͒ 61 y sa ϩ bu 62 y u sa ϩ bu Ϫ a͑n Ϫ 1͒u if a Ͻ du y u sa ϩ bu ͫ du ͪ Խ ͑8a ϩ 3b 2u Ϫ 4abu͒ sa ϩ bu ϩ C ϩC ͑bu Ϫ 2a͒ sa ϩ bu ϩ C 2 du Ϳ a2 Ϫ 2a ln a ϩ bu a ϩ bu a ϩ bu Ϫ u du Խ Ϳ ͩ b3 u du n ϩC 1 a ϩ bu Ϫ ln a͑a ϩ bu͒ a u u n du Ϳ a ϩ bu u Խ n Խ] ϩ C a ϩ ln a ϩ bu ϩ C b 2͑a ϩ bu͒ b Ϳ u a ϩ bu u du Խ Ϫ 4a͑a ϩ bu͒ ϩ 2a ln a ϩ bu du y u sa ϩ bu u n͑a ϩ bu͒3͞2 Ϫ na 2u nsa ϩ bu 2na Ϫ b͑2n ϩ 1͒ b͑2n ϩ 1͒ sa ϩ bu nϪ1 Ϫ yu nϪ1 ͬ sa ϩ bu du u nϪ1 du y sa ϩ bu b͑2n Ϫ 3͒ 2a͑n Ϫ 1͒ yu du sa ϩ bu nϪ1 ❙❙❙❙ ❙❙❙❙ REFERENCE PAGES Table of Integrals Trigonometric Forms 63 y sin u du 64 y cos u du 65 y tan u du tan u Ϫ u ϩ C 2 u Ϫ sin 2u ϩ C Ϫ1 76 y cot u du n Ϫ cot 77 y sec u du n Ϫ tan u sec 78 y csc u du n Ϫ cot u csc 79 y sin au sin bu du u ϩ 14 sin 2u ϩ C n uϪ nϪ1 y cot nϪ2 nϪ1 y sec nϪ2 uϩ nϪ2 nϪ1 y csc nϪ2 nϪ2 Ϫ1 nϪ2 u du n 66 y cot u du Ϫcot u Ϫ u ϩ C 67 y sin u du Ϫ ͑2 ϩ sin u͒ cos u ϩ C 68 y cos u du ͑2 ϩ cos 2u͒ sin u ϩ C 80 y cos au cos bu du 69 y tan u du tan 2u ϩ ln cos u ϩ C Խ 81 y sin au cos bu du Ϫ 70 y cot u du Ϫ 82 y u sin u du sin u Ϫ u cos u ϩ C 71 y sec u du 83 y u cos u du cos u ϩ u sin u ϩ C 72 y csc u du Ϫ 84 yu n sin u du Ϫu n cos u ϩ n 85 yu n cos u du u n sin u Ϫ n 86 y sin u cos u du Ϫ 73 u du uϩ n nϪ2 3 3 3 Խ Խ cot 2u Ϫ ln sin u ϩ C Խ Խ 2 sin͑a Ϫ b͒u sin͑a ϩ b͒u ϩ ϩC 2͑a Ϫ b͒ 2͑a ϩ b͒ cos͑a Ϫ b͒u cos͑a ϩ b͒u Ϫ ϩC 2͑a Ϫ b͒ 2͑a ϩ b͒ Խ Խ csc u cot u ϩ ln csc u Ϫ cot u ϩ C nϪ1 sin nu du Ϫ sin nϪ1u cos u ϩ n n 74 y cos u du n cos 75 y tan u du n Ϫ tan n sin͑a ϩ b͒u sin͑a Ϫ b͒u Ϫ ϩC 2͑a Ϫ b͒ 2͑a ϩ b͒ sec u tan u ϩ ln sec u ϩ tan u ϩ C y Խ u du n u sin u ϩ nϪ1 uϪ nϪ1 nϪ1 n y tan y sin y cos yu nϪ1 cos u du nϪ2 u du nϪ2 u du n m nϪ2 u du yu nϪ1 sin u du sin nϪ1u cos mϩ1u nϪ1 ϩ nϩm nϩm sin nϩ1u cos mϪ1u mϪ1 ϩ nϩm nϩm y sin nϪ2 u cosmu du y sin u cos n mϪ2 u du Inverse Trigonometric Forms Ϫ1 u du u sinϪ1u ϩ s1 Ϫ u ϩ C 87 y sin 88 y cos 89 Ϫ1 92 y u tan 93 yu n 94 yu n 95 yu n u du u2 ϩ u tanϪ1u Ϫ ϩ C 2 sinϪ1u du nϩ1 ͫ cosϪ1u du nϩ1 ͫ u nϩ1 cosϪ1u ϩ y s1 Ϫ u tanϪ1u du nϩ1 ͫ u nϩ1 tanϪ1u Ϫ y 1ϩu Ϫ1 u du u cosϪ1u Ϫ s1 Ϫ u ϩ C Ϫ1 y tan Ϫ1 u du u tan u Ϫ ln͑1 ϩ u ͒ ϩ C 2 2u Ϫ u s1 Ϫ u sinϪ1u ϩ ϩC u sin u du 4 Ϫ1 90 y 91 y u cos Ϫ1 u du 2u Ϫ u s1 Ϫ u cosϪ1u Ϫ ϩC 4 ❙❙❙❙ ❙❙❙❙ u nϩ1 sinϪ1u Ϫ u nϩ1 du y s1 Ϫ u ͬ , n ͬ u nϩ1 du u nϩ1 du , n ͬ , n Ϫ1 Ϫ1 Ϫ1 REFERENCE PAGES Table of Integrals Exponential and Logarithmic Forms 96 y ue 97 yu e 98 ye au 99 ye au au du n au ͑au Ϫ 1͒e au ϩ C a2 n au n u e Ϫ a a du yu nϪ1 au e du sin bu du e au ͑a sin bu Ϫ b cos bu͒ ϩ C a ϩ b2 cos bu du e au ͑a cos bu ϩ b sin bu͒ ϩ C a ϩ b2 100 y ln u du u ln u Ϫ u ϩ C 101 yu 102 y u ln u du ln Խ ln u Խ ϩ C n ln u du u nϩ1 ͓͑n ϩ 1͒ ln u Ϫ 1͔ ϩ C ͑n ϩ 1͒2 Hyperbolic Forms y csch u du ln Խ u Խ ϩ C 109 y sech u du u ϩ C 110 y csch u du Ϫcoth u ϩ C 111 y sech u u du Ϫsech u ϩ C 112 y csch u coth u du Ϫcsch u ϩ C y sinh u du cosh u ϩ C 104 y cosh u du sinh u ϩ C 105 y u du ln cosh u ϩ C 106 y coth u du ln Խ sinh u Խ ϩ C 107 y sech u du tan Խ sinh u Խ ϩ C 103 2 Ϫ1 Forms Involving s2au Ϫ u , a Ͼ du ͩ ͪ uϪa a2 aϪu cosϪ1 s2au Ϫ u ϩ 2 a 113 y s2au Ϫ u 114 y u s2au Ϫ u 115 y aϪu s2au Ϫ u du s2au Ϫ u ϩ a cosϪ1 u a 116 y s2au Ϫ u aϪu s2au Ϫ u du Ϫ Ϫ cosϪ1 u2 u a 117 y s2au Ϫ u 118 y s2au Ϫ u 119 y s2au Ϫ u 120 y u s2au Ϫ u 2 du u du u du du ͩ ͪ aϪu a ͩ ͪ ͩ ͪ du ͩ ͪ ϩC ϩC ϩC ͩ ͪ Ϫs2au Ϫ u ϩ a cosϪ1 Ϫ ϩC 2u Ϫ au Ϫ 3a a3 aϪu cosϪ1 s2au Ϫ u ϩ a cosϪ1 aϪu a ϩC ͩ ͪ ͑u ϩ 3a͒ 3a aϪu cosϪ1 s2au Ϫ u ϩ 2 a Ϫ 108 ϩC s2au Ϫ u ϩC au ❙❙❙❙ ❙❙❙❙ ϩC ... aϪu cos 1 s2au Ϫ u ϩ 2 a 11 3 y s2au Ϫ u 11 4 y u s2au Ϫ u 11 5 y aϪu s2au Ϫ u du s2au Ϫ u ϩ a cos 1 u a 11 6 y s2au Ϫ u aϪu s2au Ϫ u du Ϫ Ϫ cos 1 u2 u a 11 7 y s2au Ϫ u 11 8 y s2au Ϫ u 11 9 y s2au... du n 1 ͫ u n 1 tanϪ1u Ϫ y 1 u 1 u du u cosϪ1u Ϫ s1 Ϫ u ϩ C 1 y tan 1 u du u tan u Ϫ ln 1 ϩ u ͒ ϩ C 2 2u Ϫ u s1 Ϫ u sinϪ1u ϩ ϩC u sin u du 4 1 90 y 91 y u cos 1 u du 2u Ϫ u s1 Ϫ u... Forms 1 u du u sinϪ1u ϩ s1 Ϫ u ϩ C 87 y sin 88 y cos 89 1 92 y u tan 93 yu n 94 yu n 95 yu n u du u2 ϩ u tanϪ1u Ϫ ϩ C 2 sinϪ1u du n 1 ͫ cosϪ1u du n 1 ͫ u n 1 cosϪ1u ϩ y s1 Ϫ u tanϪ1u du