Ngày soạn 10/10/2015 BUỔI : HẰNG ĐẲNG THỨC ĐÁNG NHỚ A MỤC TIÊU: * Củng cố nâng cao kiến thức phép nhân đa thức – đẳng thức * Tiếp tục rèn luyện kỹ giải tốn phép nhân đa thức – đẳng thức * Tạo hứng thú cho HS q trình học nâng cao mơn tốn B HOẠT ĐỘNG DẠY HỌC: I Nhắc lại nội dung học: Nhân đa thức với đa thức: A( B + C + D) = AB + AC + AD (A + B + C) (D + E) = AD + AE + BD + BE + CD + CE 2.Những đẳng thức đáng nhớ: Bình phương tổng: ( A + B)2 = A2 + 2AB + B2 (1) Bình phương hiệu: ( A - B)2 = A2 - 2AB + B2 (2) Hiệu hai bình phương: A2 – B2 = (A + B)(A – B) (3) II Bài tập áp dụng: Hoạt động GV Hoạt động HS Bài 1: Rút gọn biểu thức HS ghi đề, thực theo nhóm a) (x + 1) (x + 2x + 4) HS GV thực lời giải Thực phép nhân rút gọn a) (x + 1) (x2 + 2x + 4) =x3 + 2x2 + 4x + x2 + 2x + = x3 + 3x2 + 6x + b) (x2 + x + 1)(x5 – x4 + x2 – x + 1) b) (x2 + x + 1)(x5 – x4 + x2 – x + 1) = …= x7 + x2 + c) (3x + 1)2 – 2(3x + 1)(3x + 5) + (3x + 5)2 c) (3x + 1)2 – 2(3x + 1)(3x + 5) + (3x + 5)2 = [(3x + 1) – (3x + 5)]2 = (3x + – 3x – 5)2 = (- 4)2 = 16 Bài 2: Tìm x biết: 3(x + 2)2 + (2x – 1)2 – 7(x + 3)(x - 3) = 172 HS ghi đề giải theo nhóm phút áp dụng H.đẳng thức để giải áp dụng H.đẳng thức (1), (2), (3) Biến đổi, rút gọn vế trái 3(x + 2)2 + (2x – 1)2 – 7(x + 3)(x - 3) = 172 ⇔ 3(x2 + 4x + 4) + 4x2 – 4x + – 7(x2 – 9) = 172 ⇔ … ⇔ 8x = 96 ⇔ x = 12 Bài 3: Cho x + y = a; xy = b tính giá trị biểu HS ghi đề bài, tiến hành giải thức sau theo a b: Ta có x2 + y2 = (x + y)2 – 2xy = a2 – 2b x2 + y2; x4 + y4 x4 + y4 = (x2 + y2)2 – 2(xy)2 = (a2 – 2b)2 – 2b2 = a4 - 4a2b + 2b2 Bài 4: chứng minh a) (x + y)(x3 – x2y + xy2 – y3) = x4 – y4 HS ghi đề, tiến hành giải với GV a)VT = (x + y)(x3 – x2y + xy2 – y3) = x4 – x3y + x2y2 – xy3 +x3y - x2y2 + xy3- y4 b) Nếu: (a + b)2 = 2(a2 + b2) thì: a = b Từ (a + b)2 = 2(a2 + b2) suy điều gì? c) Nếu: x + y + z = xy + yz + zx = x = y = z Từ : x + y + z = ⇒ (x + y + z)2 =? Từ đo ta có điều gì? d) cho a + b + c = a2 + b2 + c2 = c/m: a4 + b4 + c4 = HD cách giải tương tự Bài 5: So sánh: a) A = 1997 1999 B = 19982 = x4 – y4 = VP (đpcm) b) Từ (a + b)2 = 2(a2 + b2) suy a2 + 2ab + b2 = 2a2 + 2b2 ⇒ a2 - 2ab + b2 = ⇒ (a – b)2 = ⇒ a – b = ⇒ a = b (đpcm) c) Từ : x + y + z = ⇒ (x + y + z)2 = ⇒ x2 + y2 + z2 + 2(xy + yz + zx) = ⇒ x2 + y2 + z2 = ( xy + yz + zx = 0) ⇒ x=y=z d) Từ a + b + c = ⇒ (a + b + c )2 = ⇒ a2 + b2 + c2 + 2(ab + bc + ca) = ⇒ ab + bc + ca = -1 (1) Ta lại có: (a2 + b2 + c2)2 = a4 + b4 + c4 + 2( a2b2 + b2c2 + c2a2) = (2) Từ (1) ⇒ (ab + bc + ca)2 = ⇒ a2b2 + b2c2 + c2a2 = (3) Từ (2) (3) suy a4 + b4 + c4 = a) A = 1997 1999 = (1998 – 1)(1998 + 1) = 19982 – < 19982 ⇒ A < B b) Vì = b)A = 4(32 + 1)(34 + 1)…(364 + 1) B = 3128 - Tính theo 32 – 1? Khi A = ? áp dụng đẳng thức liên tiếp để so sánh A B Bài 6: a) Cho a = 11…1( co n chữ số 1) b = 100…05( có n – chữ số 0) Cmr: ab + số phương b) Cho Un = 11…155…5 (có n chữ số 32 − nên A = 4(32 + 1)(34 + 1)(38 + 1)…(364 + 1) 32 − (3 + 1)(34 + 1)(38 + 1)…(364 + 1) = (3 - 1) (34 + 1)(38 + 1)…(364 + 1) = (38 - 1)(38 + 1)…(364 + 1) = (316 - 1)(316 + 1)(332 + 1)(364 + 1) 32 = (3 - 1)(332 + 1)(364 + 1) 64 1 = (3 - 1)(364 + 1) = (3128 - 1) = B 2 = Vậy: A < B Ta có: b = 10n + = 9….9 + = 9(1…1) + = 9a + ⇒ ab + = a(9a + 6) + = 9a2 + 6a +1 = (3a + 1)2 số phương Ta viết: Un = n chữ số 5) Cmr: Un + số phương n sè = n sè + n sè n sè n sè = 11…1.10n + 11…1 Đặt: a = 11…1 9a + = 10n Do : Un + = 9a2 + 6a +1 =(3a + 1)2 III Bài tập nhà: Bài 1: cho x + y = Tính giá trị biểu thức: x2 + y2 + 2xy – 4x – 4y + Bài 2: Chứng minh rằng: x4 + y4 + (x + y)4 = 2(x2 + xy + y2)2 Bài 3: Cho (a + b + c)2 = 3(a2 + b2 + c2) Cmr: a = b = c Bài 4: Chứng minh rằng: Nếu n tổng hai số phương 2n n2 củng tổng hai số phương Bài 5: So sánh: x−y x2 − y2 A= với B = (Với < y < x ) x+y x + y2 Ngày soạn 7/12/2014 BUỔI : HẰNG ĐẲNG THỨC ĐÁNG NHỚ A MỤC TIÊU: * Củng cố nâng cao kiến thức đẳng thức * Tiếp tục rèn luyện kỹ giải tốn đẳng thức * Tạo hứng thú cho HS q trình học nâng cao mơn tốn B HOẠT ĐỘNG DẠY HỌC: I Nhắc lại nội dung học: Những đẳng thức đáng nhớ: Bình phương tổng: ( A + B)2 = A2 + 2AB + B2 (1) Bình phương hiệu: ( A - B)2 = A2 - 2AB + B2 (2) Hiệu hai bình phương: A2 – B2 = (A + B)(A – B) (3) Lập phương tổng: (A + B)3 = A3 + 3A2B + 3AB2 + B3 (4) Lập phương hiệu: (A - B)3 = A3 - 3A2B + 3AB2 - B3 (5) Tổng hai lập phương: A3 + B3 = ( A + B )( A2 – AB + B2 ) (6) Hiệu hai lập phương: A3 – B3 = ( A – B )( A2 + AB + B2 ) (7) Bình phương tổng ba hạng tử: (A + B + C)2 = A2 + B2 + C2 + 2(AB + AC + BC) II Bài tập áp dụng: Hoạt động GV Hoạt động HS Bài 1: Rút gọn biểu thức: a) (x - 2)3 - x(x + 1)(x - 1) + 6x(x - 3) HS ghi đề, tiến hành giải Cho HS ghi đề, tiến hành giải 1HS lên giải Ta thực phép tính nào? a) (x - 2)3 - x(x + 1)(x - 1) + 6x(x - 3) = = 5x - HS thực hiện, 1HS lên giải 2 b) (x - 2)(x - 2x + 4)(x + 2)(x + 2x + 4) b) (x - 2)(x2 - 2x + 4)(x + 2)(x2 + 2x + 4) Ta nên thực phép tính nào? = (x - 2)(x2 + 2x + 4)(x + 2)(x2 - 2x + 4) = (x3 - 8)(x3 + 8) = x6 - 64 Bài 2: Tìm x biết (x - 3)(x2 + 3x + 9) + x(x + 2)(2 - x) = Để tìm x ta làm nào? HS ghi đề, tiến hành giải Thực phép tính, rút gọn vế trái 1HS lên bảng giải (x - 3)(x2 + 3x + 9) + x(x + 2)(2 - x) = ⇔ x3 - 27 - x(x + 2)(x - 2) = ⇔ x3 - 27 - x(x2 - 4) = ⇔ x3 - 27 - x3 + 4x = ⇔ 4x = 28 ⇔ x = Bài 3: Viết biểu thức sau dạng tổng ba bình phương: A = (a + b + c)2 + a2 + b2 + c2 Cho HS suy nghĩ, tìm cách giải Nếu HS chưa giải gợi ý: HS ghi đề, tìm cách giải Đại diện HS lên trình bày( Nếu khơng giải theo Hd GV) A = a2+ b2+ c2 +2ab+2bc+ ca+ a2+ b2+ c2 Hãy triển khai, tách tổng thành ba tổng có dạng: A2 + 2AB + B2 Bài 4: Tính giá trị Bt biết giá tri Bt khác a) Cho x + y = 2; x2 + y2 = 10 Tính giá trị Bt A = x3 + y3 Cho HS giải Viết A thành tích Để tính giá trị A ta cần tính xy Tính xy nào? Từ : x + y = 2; x2 + y2 = 10 Hãy tìm cách tính xy b) Cho a + b + c = ; a2 + b2 + c2 = Tính giá trị Bt: B = a4 + b4 + c4 ? Để có a4 + b4 + c4 ta làm nào? Nhiệm vụ làm gì? Để có (a2b2 + b2c2 + c2a2) ta phải làm gì? Khi ab + bc + ca = ? a2b2 + b2c2 + c2a2 = ? Từ đây, làm để tính giá trị Bt B Bài 5: { ; b = 1 { c = 6 { Cho a = 1 2n n +1 n Chứng minh rằng: A = a + b + c + số phương Để chứng minh tổng số phương, ta cần c/m gì? A=a+b+c+8=? 9 Ta có: 11 { = (11 1) { Viết thành luỹ n thừa 10? n = (a2+ 2ab+ b2) + (a2 +2ac+ c2) + (b2+ 2bc+ c2) = (a + b)2 + (a + c)2 + (b + c)2 HS giải A = (x + y)(x2 + y2 - xy) = 2( 10 - xy) (1) HS suy nghĩ, tìm cách tính xy Từ x + y = ⇒ x2 + y2 + 2xy = ⇒ xy = - (2) Thay (2) vào (1) ta có : A = 2(10 + 3) = 26 HS ghi đề Bình phương Bt: a2 + b2 + c2 = 1, ta có a4 + b4 + c4 + 2(a2b2 + b2c2 + c2a2) = ⇒ a4 + b4 + c4 = - 2(a2b2 + b2c2 + c2a2) (1) Tính: 2(a2b2 + b2c2 + c2a2) ta phải bình phương Bt: (ab + bc + ca) Ta bình phương Bt: a + b + c = 0, ta có: (a + b + c)2 = a2 + b2 + c2 + 2(ab + bc + ca) = 1 ⇒ (ab + bc + ca)2 = ⇔ a2b2 + b2c2 + c2a2 + 2(a + b + c) abc = ⇒ a2b2 + b2c2 + c2a2 = (2) ⇒ ab + bc + ca = − Thay (2) vào (1) ta có: B = - 1 =1- = 2 HS ghi đề, tìm cách giải Để chứng minh tổng số phương, ta cần c/m bình phương số { + 1 { + 6 { +8 A = 1 2n n +1 n = 1 1 { )+8 ({ ) + ({ ) + 6( 1 2n n + n 9 102n − 10n +1 − 10n − = + + +8 9 102n + 10n +1 + 10 n + 64 102n + 16.10n + 64 = = 9 2   10n +   100 08   = ÷ ÷ = ÷ =  33 36 3   n −1     Bài 6: Tồn hay khơng số x, y, z thỗ mãn đẳng thức: x2 + 4y2 + z2 - 4x + 4y - 8z + 23 = Hãy biến đổi vế trái đẳng thức thành dạng x2 + 4y2 + z2 - 4x + 4y - 8z + 23 = ⇔ (x2- 4x+ 4)+(4y2+4y+1)+(z2- 8z +16)+ = tổng bình phương? ⇔ (x - 2)2 + (2y + 1)2 + (z - 4)2 + = Có nhận xét hai vế đẳng thức? Rõ ràng, vế trái đẳng thức số dương với x, y, z; vế phải Ta có kết luận gì? Vậy khơng tồn số x, y, z thỗ mãn đẳng thức: x2 + 4y2 + z2 - 4x + 4y - 8z + 23 = Ta nói : Biểu thức A = x2 + 4y2 + z2 - 4x + 4y - 8z + 23 có giá trị nhỏ x = ; y = − z=4 Bài tập nhà Bài 1: Rút gọn biểu thức: a) (y - 2)(y + 2)(y2 + 4) - (y + 3)(y - 3)(y2 + 9) b) 2(x2 - xy + y2)(x - y)(x2 + xy + y2)(x + y) - 2(x6 - y6) Bài 2: a) Cho x - y = Tính giá trị Bt: A = x3 - y3 - 3xy b) Cho x + y = a + b; x2 + y2 = a2 + b2 Tính x3 + y3 theo a b Bài 3: Chứng minh Nếu a + b + c = a3 + b3 + c3 = abc III Bài tập nhà: Bài 1: µ = 900); AB = CD = AB Cho hình thang vng ABCD (AB // CD, A kẻ CH ⊥ AB, Gọi giao điểm AC DH E, giao điểm BD CH F a) Tứ giác ADCH hình gì? b) C/m : AC ⊥ BC c) EF = 1 DC = AB Bài 2: Chứng minh rằng: Đoạn thẳng nối trung điểm hai đường chéo hình thang song song với hai đáy nửa hiệu hai đáy Ngày soạn 22/12/2014 BUỔI PHÂN TÍCH ĐA THỨC THÀNH NHÂN TỬ A MỤC TIÊU: * Củng cố, khắc sâu nâng cao kiến thức phân tích đa thức thành nhân tử * HS sử dụng thành thạo phương pháp để phân tích đa thức thành nhân tử * Vận dụng việc phân tích đa thức thành nhân tử vào tốn chứng minh, tìm giá trị biểu thức, biến B HOẠT ĐỘNG DẠY HỌC: I Nhắc lại kiến thức học: Các phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử: * Phương pháp đặt nhân tử chung: AB + AC + AD = A(B + C + D) * Phương pháp dùng đẳng thức: Sử dụng Hđt để viết đa thức thành tích * Phương pháp nhóm hạng tử: Nhóm hạng tử với để làm xuất nhân tử chung xuất đẳng thức * Phương pháp tách hạng tử : Với đa thức dạng: a x2 + bx + c ta làm sau: Viết tích ac = b1b2 = b3b4 = sau chọn thừa số có tổng b Tách bx = (b1x + b2x) b = b1 + b2 Khi a x2 + bx + c = (b1 x2 + b1x) + ( b2x + b2) = * Phương pháp đặt ẩn phụ: Đặt ẩn phụ để đưa biểu thức cần phân tích thành biểu thức dễ phân tích * Phương pháp Thêm bớt hạng tử : Thêm bớt hạng tử để làm xuất nhân tử chung đẳng thức * Phối hợp nhiều phương pháp: sử dụng đồng thời nhiều phương pháp để phân tích II Bài tập vận dụng: Hoạt động Giáo viên Hoạt động học sinh Bài 1: Phân tích thành nhân tử: HS: áp dụng PP dùng Hđt 2 a) 25x – 10x y + y 25x4 – 10x2y + y2 = (5x2)2 – 5x2.y + y2 áp dụng phương pháp để phân tích đa thức b) 8m3 + 36m2n + 54mn2 + 27n3 c) (4x2 – 3x -18)2 – (4x2 + 3x)2 Bài 2: Phân tích thành nhân tử a) x4 + 2x3 – 4x - Ta áp dụng phương pháp để phân tích b) x3 +2x2y – x – 2y c) ac2x – adx – bc2x + cdx +bdx – c3x Bài 3: Phân tích thành nhân tử a) x2 – 6x + áp dụng phương pháp để phân tích? Phân tích cách tách hạng tử nào? tách nào? Có thể tách khác để xuất đẳng thức tiếp tục phân tích Tương tự, GV HS tìm cách phân tích khác phương pháp tách hạng tử b) a4 + a2 + Hãy tách a2 thành hạng tử để phân tích c) x3 – 19x – 30 Hãy tách hạng tử -19x để phân tích = (5x2 – y)2 b) 8m3 + 36m2n + 54mn2 + 27n3 = (2m)3 + 3.(2m)2.3n + 3.2m.(3n)2 + (3n)3 = (2m + 3n)3 c) (4x2 – 3x -18)2 – (4x2 + 3x)2 = [(4x2 – 3x -18) – (4x2 + 3x)][(4x2 – 3x -18) + (4x2 + 3x)] = (8x2 – 18) (- 6x – 18) = 2(4x2 – 9)[- 6(x + 3)] = -12(2x + 3)(2x – 3)(x + 3) áp dụng phương pháp nhóm hạng tử a) x4 + 2x3 – 4x – = (x4 – ) + (2x3 – 4x) = (x2 + 2)(x2 – 2) + 2x(x2 – 2) = (x2 – 2)(x2 + 2x + 2) b) x3 +2x2y – x – 2y = x2 (x + 2y) – (x + 2y) = (x + 2y)(x2 – 1) = (x + 2y)(x – 1)(x + 1) c) ac2x – adx – bc2x + cdx + bdx – c3x = (– adx + bdx + cdx) + (ac2x – bc2x – c3x) = dx( -a + b + c) + c2x(a – b – c) = x[(b + c – a)d – c2(b + c – a)] = x(b + c – a) (d - c2) HS ghi đề Cách 1: Vì 1.8 = 2.4 = (-4)(-2); -6 = (-2) + (-4) nên ta có: x2 – 6x + = (x2 - 2x) – (4x – 8) = x(x – 2) – 4(x – 2) = (x – 2)(x - 4) Cách 2: x2 – 6x + = (x2 – 6x + 9) – = …? Cách 3: x2 – 6x + = (x2 – 4) – 6x + 12 =…? Cách 4: x2 – 6x + = (x2 – 16) – 6x + 24 = ? HS nhà tìm thêm cách khác b) a4 + a2 + = (a4 + 2a2 + ) – a2 = (a2 + 1)2 – a2 = (a2 – a + 1)(a2 + a + 1) c) x3 – 19x – 30 = (x3 – 9x) – (10x + 30) = x(x2 – 9) – 10 (x + 3) = (x + 3)[x(x – 3) – 10] = (x + 3)(x2 – 3x – 10) = (x + 3) [(x2 – 5x) + (2x – 10)] = (x + 3)[x(x – 5) + 2(x – 5)] = (x + 3)(x – 5)(x + 2) Bài 4: Phân tích thành nhân tử a) a4 + 64 Dạng a2 + b2 nên ta thêm bớt hạng tử để xuất đẳng thức b) x5 – x4 - c) a3 + b3 + c3 - 3abc Ta có a3 + b3, nên thêm bớt hạng tử để xuất đẳng thức Hãy phân tích đa thức thành nhân tử Bài 5: Phân tích thành nhân tử a) (x2 + x )2 + 4x2 + 4x - 12 Ta sử dụng phương pháp để phân tích b) (x2 + 8x + 7)(x2 + 8x + 15) + 15 Yc HS làm tương tự câu a Bài 6: a) Cho a + b + c = c/m rằng: a4 + b4 + c4 = 2(a2b2 + b2c2 + c2a2) Từ a + b + c = ⇒ ? b) cho xy ≠ 0; (a2+b2)(x2+y2) = (ax + by)2 thêm bớt 2ab ta có; a4 + 64 = (a2)2 + 2.8a2 + 64 – 2.8a2 = (a2 + 8)2 – (4a)2 = (a2 + 4a + 8)(a2 - 4a + 8) b) x5 – x4 – = (x5 - x4 + x3) - (x3- x2 + x) - (x2 - x + 1) = x3 (x2 - x + 1) - x (x2 - x + 1) - (x2 - x + 1) = (x2 - x + 1)(x3 - x - 1) HS suy nghĩ, trả lời c) a3 + b3 + c3 - 3abc = (a3+ b3+ 3a2b+ 3ab2)+ c3- (3a2b+ 3ab2+3abc) = (a + b)3+ c3- 3ab(a+ b+ c) = (a+ b+ c)[(a+ b)2- (a+ b)c + c2] - 3ab(a+b+c) = (a+ b+ c)(a2+ b2+ c2 - ab - ac - bc) a) (x2 + x )2 + 4x2 + 4x - 12 = (x2 + x )2 + 4(x2 + x ) – 12 (*) Đặt (x2 + x ) = y ta có (*) = y2 + 4y – 12 = (y2 + 4y + 4) – 16 = (y + 2)2 – 42 = (y + 6)(y – 2) = (x2 + x +6 )(x2 + x - 2) = (x2 + x +6 )[(x2 – x) + (2x – 2)] = (x2 + x +6 )[x(x – 1) + 2(x – 1)] = (x2 + x +6 )(x – 1)(x + 2) b) Đặt y = x2 + 8x + x2 + 8x + 15 = y + ta có: (x2 + 8x + 7)(x2 + 8x + 15) + 15 = y(y + 8) + 15 = y2 + 8y + 15 = y2 + 8y +16 – = (y + 4)2 – = (y + 3)(y + 5) =(x2 + 8x + 10)(x2 + 8x + 12) a) Từ a + b + c = ⇒ (a + b + c )2 = ⇒ a2 + b2 + c2 + 2(ab + bc + ca) = ⇒ (a2 + b2 + c2)2 = [ - 2(ab + bc + ca)]2 ⇒ a4 + b4 + c4 + 2( a2b2 + b2c2 + c2a2) = 4[a2b2 + b2c2 + c2a2 + 2abc(a + b + c) ⇒ a4 + b4 + c4 + 2( a2b2 + b2c2 + c2a2) = 4(a2b2 + b2c2 + c2a2) Vì a + b + c = ⇒ a4 + b4 + c4 = 2( a2b2 + b2c2 + c2a2) b) Từ (a2 + b2)(x2 + y2) = (ax + by)2 ⇒ (a2 + b2)(x2 + y2) - (ax + by)2 = ⇒ a2x2 + a2y2 + b2x2 + b2y2 - a2x2 - 2abxy - b2y2 = ⇒ a2y2 - 2abxy + b2x2 = ⇒ (ay – bx)2 = ⇒ ay – bx = a b C/m: x = y ⇒ ay = bx ⇒ a b = (đpcm) x y III Bài tập nhà: Bài 1: Phân tích thành nhân tử a) 25x2 – 20xy + 4y2 b) x3 – 4x2 – 9x + 36 c) x2 – 7xy + 10y2 d) (x2 + x + 1)(x2 + x + 2) – 12 Bài 2: Chứng minh a) Hiệu bình phương hai số lẻ liên tiếp chia hết cho b) A = (n + 1)4 + n4 + chia hết cho số phương khác với ∀n ∈ N Ngày soạn 22/12/2014 bi 5: h×nh b×nh hµnh – h×nh ch÷ nhËt A MỤC TIÊU: * Củng cố nâng cao kiến thức hình bình hành hình chữ nhật * Vận dụng thành thạo kiến thức vào tập Hbh hcn * HS có hứng thú nghiêm túc học tập B HOẠT ĐỘNG DẠY HỌC: I Nhắc lại kiến thức học: Kiến Hình bình hành Hình chữ nhật thức µ =B µ =C µ =D µ = 900 AB // CD Đònh ABCD Hcn ⇔ A ⇔ ABCD Hbh AD // BC  nghóa Tính ABCD Hbh , AC ∩ BD = O ABCD Hcn , AC ∩ BD = O AB = CD, AD = BC AB = CD, AD = BC chất µ µ µ µ ⇒ A =C,B=D OA = OC, OD = OB  µ µ µ µ A = C , B = D ⇒ OA = OC, OD = OB AC = BD  AB // CD, AD // BC  + Dấu hiệ u ABAB = CD, AD = BC  + ABCD có // CD  nhậ ABCD µ =B µ ,C µ =D µ A ⇒ ABCD Và n biế t Hbh = OC, + ABCD làOA Hbh có:OB = OD Là hcn - AC = BD ( O = AC ∩ BD) ⇒   II Bài tập vận dụng: Hoạt động GV Hoạt động HS VÝ dơ 3: Gi¶i c¸c ph¬ng tr×nh : a) (x-1)3 + x3 + ( x + )3 = ( x + )3 Ta biÕn ®ỉi Pt nh thÕ nµo? Thu gän pt ⇔ (x2 + x +1) ( x – ) = nµo? b) ( x + ) (x – ) ( x2 – 11 ) + = H·y biÕn ®ỉi Pt trªn Ta nªn gi¶i Pt theo ph¬ng ph¸p nµo? §Ỉt : x2 – = y ; th× (1) ⇔ ? 1   ⇔ (x - 1098)  + + ÷ = 0⇔ x =  99 101 103  1098 a) (x-1)3 + x3 + ( x + )3 = ( x + )3 ⇔ x3 – 3x2 + 3x – + x3 + x3 + 3x2 + 3x + = x3 + 6x2 + 12x + ⇔ x3 – 3x2 – 3x – = ⇔ x3 - - 3x2 -3x - = ⇔ ( x – )( x2 + x +1) - 3(x2 + x +1) = ⇔ (x2 + x +1) ( x – ) = ⇔ x – = ⇔ x = (v× x2 + x +1 = (x + ∀x ∈ R ) ) + > víi b) ( x + ) (x – ) ( x2 – 11 ) + = ⇔ (x2 – ) (x2 – 11 ) +1 = (1) c) 2x + 7x +7x + = §Ỉt : x2 – = y ; th× (1) ⇔ y ( y – ) + = Ph©n tÝch vÕ tr¸i thµnh nh©n tư nh thÕ nµo? ⇔ y2 – 2y + = ⇔ ( y + 1)2 = d) ( x +3)4 + ( x + )4 = (2) ⇔ y + = ⇔ y = - ⇒ x2 – = §Ỉt x + = y ; th× pt (2) ⇔ ? ⇔ x2 = 10 ⇔ x = ± 10 BiÕn ®ỉi Pt thµnh Pt tÝch c) 2x3 + 7x2 +7x + = ⇔ 2x3 + 2x2 + 5x2 + 5x + 2x + = ⇔ … ⇔ (x+1)(x+2)(2x+1) = ⇔ … d) ( x +3)4 + ( x + )4 = (2) §Ỉt : x + = y ; th× (2) ⇔ (y – 1)4 + ( y + )4 – = 2 2 ⇔ ( y −1)  + ( y + 1)  − =     2 ⇔ ( y − 1) + ( y + 1)  − ( y − 1) ( y + 1) − =   2 ⇔  ( y − + y + 1) − ( y − 1) ( y + 1)  − ( y − 1) − =   e) x – 3x + 4x – 3x + = (*) x = cã ph lµ nghiƯm cđa Pt (*) ? Chia vÕ cho x2 ta ®ỵc pt nµo? Gi¶i Pt (**) nh thÕ nµo? 1 §Ỉt : x + = y ⇒ x + = y − x x Th× Pt (2) trë thµnh Pt nµo? ⇔ … ⇔ y + 12 y = ⇔ y ( y + 6) = ⇔ y = (V× y + ≠ ) Víi : y = th× x = - e) x4 – 3x3 + 4x2 – 3x + = (*) NhËn xÐt : x = kh«ng ph lµ nghiƯm cđa Pt , Nªn chia c¶ vÕ Pt (*) cho x2 ta cã : (*)   1  ⇔  x + ÷−  x + ÷+ = (**) x   x  HS tr¶ lêi §Ỉt : x + VÝ dơ 4: Gi¶i c¸c Pt sau : a) x3 – (a +b +c) x2 + (ab +ac+bc) x = abc H·y biÕn ®ỉi vỊ d¹ng Pt tÝch? x2 x x2 x x2 x b) x + + + + + + + =0 a ac b bc c ab abc BiÕn ®ỉi Pt nµy b»ng c¸ch nµo? 1 = y ⇒ x + = y − Th× x x y =1 y = 2 (**) ⇔ y − y + = ⇔ ( y − 1) ( y − ) = ⇔  + Víi y =1 th× ta cã Pt : x2 – x + = 1  ⇔  x − ÷ + = , Pt v« nghiƯm 2  + Víi y = , ta cã : x2 – 2x + = ⇔ ( x − 1) = ⇔ x = a) x3 – ( a + b + c ) x2 + ( ab + ac + bc ) x = abc ⇔ x3 – ax2 – bx2 – cx2 + abx + acx + bcx – abc = ⇔ ⇔ (x – a) (x2 – bx – cx – bc ) = ⇔ (x – a) [x(x – b) – c(x – b)] = ⇔ (x – a)(x – b)(x – c) = ⇔ ⇔ b) x3 + x2 x x2 x x2 x + + + + + + =0 a ac b bc c ab abc  x   x x   x2 x   x  ⇔  x3 + ÷+  + ÷+  + ÷+  + ÷= a   c ac   b ab   bc abc   1 x 1 x 1  1  ⇔ x  x + ÷ +  x + ÷+  x + ÷+  x + ÷ = a c a b a  bc  a  c) x7 + x5 + x4 + x3 + x2 +1 = Ph©n tÝch vÕ tr¸i cđa Pt thµnh nh©n tư b»ng  x x   ⇔  x + ÷ x + + + ÷ = ph¬ng ph¸p nµo? a  b c bc   1  1 1   ⇔  x + ÷ x  x + ÷+  x + ÷ = a  b c b     1  ⇔  x + ÷ x + ÷ x + ÷ = ⇔ ⇔ a  b  c  d) x10 + x8 + x6 + x4 + x2 + = h·y gi¶i t¬ng tù nh c©u trªn c) x7 + x5 + x4 + x3 + x2 +1 = ⇔ (x7 + x5 + x3 ) +( x4 + x2 +1) = ⇔ x3 (x4 + x2 + x ) +( x4 + x2 +1) = ⇔ ( x4 + x2 +1) (x3 + 1) =  x3 + = ⇔ ⇔ x + = ⇔ x = −1  x + x + = 1  V× x + x +1 =  x + ÷ + > Víi ∀ x 2  10 d) x + x + x + x + x + = ⇔ x6 (x4 + x2 + 1) + (x4 + x2 + 1) = ⇔ (x6 + 1)( x4 + x2 + 1) = ⇔ (x6 + 1) [( x + )2 + ] =  x6 + =  ⇔  1 x + + =0  2÷   VÝ dơ 5: Cho Pt x3 – (m2 – m + 7)x – 3(m2 – m – 2) = (1) a) X¸c ®Þnh m ®Ĩ Pt cã nghiƯm b»ng b) Gi¶i Pt t¬ng øng víi gi¸ trÞ m võa t×m V× : x6 + ≥ víi mäi x ∈ R; Nªn Pt : x6 + = v« nghiƯm b) Thay : m2 – m = Vµo Pt (1) ta cã (1) trë thµnh Pt nµo? VËy Pt ®· cho v« nghiƯm 3 ) + ≥ víi mäi x ∈ R nªn Pt : 4 ( x + ) + = v« nghiƯm (x+ a)V× x = lµ nghiƯm cđa Pt (1) , nªn ta cã : – (m2 – m + 7) – 3m2 +3m + = m = ⇔ - 4m + 4m = ⇔  m = b) Thay : m2 – m = Vµo Pt (1) ta cã : ( 1) ⇔ x3 - 7x + = ⇔ (x − x ) - ( 6x - ) = ⇔ (x - 1) ( x + x - ) =  x −1 = x = ⇔ ( x − 1)( x − 2)( x + 3) =  x − = ⇔  x =  x + =  x = −3 Bµi tËp vỊ nhµ 1) Gi¶i Pt : a) (x - 2)(x + 2) - (2x + 1)2 = x(2 - 3x) x +1 x + x + x + x - 3x - 2x - 7x + + -x = + = + c) 10 65 63 61 59 x - 29 x - 27 x - 25 x - 23 x - 1970 x - 1972 x - 1974 x - 1976 + + + + + + + d) -8=0 1970 1972 1974 1976 29 27 25 23 b) 2) Gi¶i c¸c Pt sau : a) x3 + 3x2 + 4x + = c)(x – 2)4+ (x – 3)4 = b) 6x4 – x3 – 7x2+ x + = d) x6 – x3 + = e) (x2 + 10x + 16)( x2 + 10x + 24) +16 = 3) Cho Pt : x3 + (m2 – 2)x2 – (m – 1)x – = a) X¸c ®Þnh m , biÕt Pt cã mét nghiƯm : x = - b) T×m nghiƯm cßn l¹i cđa Pt víi m võa x¸c ®Þnh Ngµy so¹n : 12/2/2016 Tn 24 ®Þnh lý talÐt thn vµ ®¶o, tÝnh chÊt ®êng ph©n gi¸c a.mơc tiªu: - HƯ thèng, cđng cè vµ n©ng cao kiÕn thøc vỊ c¸c ®Þnh lÝ TalÐt ¸p dơng vµo tam gi¸c ,tÝnh chÊt ®êngph©n gi¸c - Lµm c¸c bµi tËp cđng cè vµ n©ng cao vỊ ®Þnh lÝ TalÐt , tÝnh chÊt ®êng ph©n gi¸c - HS vËn dơng thµnh th¹o kiÕn thøc vµo c¸c bµi tËp thĨ A b kiÕn thøc, bµi tËp: A I KiÕn thøc: M N ABC MN // BC BB D CC §Þnh lÝ Ta – lÐt: HƯ qu¶: ABC MN // BC TÝnh chÊt ®êng ph©n gi¸c cđa tam gi¸c ABC AD lµ ph©n gi¸c 1.VÝ dơ Cho tia Ox , Oy , Oz t¹o thµnh · · xOy = yOz = 600 Cmr : NÕu ®iĨn A , B , C th¼ng hµng trªn Ox, Oy, Oz th×: HS tiÕp cËn ®Ị bµi HS vÏ h×nh 1 = + OB OA OC 1 = + OB OA OC ta cÇn c/m g× NÕu kỴ BD // Oz ( D ∈ Ox ) th× ta cã ®iỊu g× nÕu ¸p dơng hƯ qu¶ cđa ®Þnh lÝ TalÐt vµo ∆ AOC Tõ ®ã ta suy diỊu g×? C B O Gi¶i: §Ĩ C/m y z D A x HS tr¶ lêi KỴ BD // Oz ( D ∈ Ox ) ¸p dơng hƯ qu¶ cđa §L TalÐt vµo ∆ AOC víi BD//OC ta cã: AD BD AO − OD BD = ⇒ = (1) AO CO AO OC Ta l¹i cã : OB = BD = OD (do ∆ BOD®Ịu ) Nªn tõ (1) suy : 2.VÝ dơ : Cho ∆ ABC cã gãc nhän , c¸c ®êng cao AD, BE, CF c¾t t¹i H C¸c ®iĨm I, J, K ®èi xøng víi H qua BC , AC , AB Cmr : OD OD OD OD   = ⇔1 = + ⇔ = OD  + ÷ OA OC OC OA  OA OC   1  ⇔ = OB  + = + ÷⇔ OB OA OC  OA OC  1− AI BJ CK + + kh«ng ®ỉi AD BE CF Gi¶i: §Ĩ C/m AI BJ CK + + kh«ng ®ỉi ta cÇn AD BE CF C/m g×? AI H·y tÝnh theo AD vµ DI? AD HD tÝnh theo tØ sè hai diƯn tÝch cđa hai AD tam gi¸c nµo? HS ph¸t biĨu AI AD+DI DI HD = = 1+ = 1+ AD AD AD AD (v× DI = HD I ®èi xøng víi H qua BC ) Ta cã : Ta l¹i cã : A K J E F H T¬ng tù h·y tÝnh Tõ ®ã ta cã BJ CK vµ CE CF AI BJ CK + + =? AD BE CF VÝ dơ : Gäi d a , d b , d c lµ®é dµi c¸c ®êng ph©n gi¸c thc c¸c c¹nh a , b , c cđa ∆ABC 1 1 1 + + > + + Chøng minh : da db dc a b c §Ỉt AB = c , AC = b , BC = a , AD = da Qua C kỴ ®êng th¼ng song song víi AD , c¾t tia BA ë E Theo §L TalÐt ta cã ®¨ng thøc nµo? Tõ ®ã ta suy ®iỊu g×? B C D I BC.HD S S HD AI = = BHC ⇒ = + BHC AD AD SABC BC.AD SABC (1) T¬ng tù , ta cã : S CK S BJ = + CHA (2) vµ = + BHA CE SABC CF SABC (3) Céng tõng vÕ ®¼ng thøc (1) , (2) , (3) ta cã : AI BJ CK + + AD BE CF = 3+ SCHA SCHB SBHA + + SABC SABC SABC = 3+ SABC = + = Kh«ng ®ỉi (®pcm) SABC b A c V× CE < AC + AE = 2b nªn ta cã da = AD < ? T¬ng tù nh trªn th× ta cã c¸c bÊt ®¼ng thøc nµo? 1 VËy d + d + d > ? a b c b D C §Ỉt AB = c , AC = b , B a BC = a , AD = da Qua C kỴ ®êng th¼ng song song víi AD , c¾t tia BA ë E AD BA = suy CE BE BA.CE c.CE c AD = = = CE BE BA + AE b + c 2bc Do CE < AC + AE = 2b nªn: d a < b+c b+c 11 1 11 1 ⇒ > =  + ÷⇔ >  + ÷ da 2bc  b c  da  b c  Theo §L TalÐt ta cã: Chøng minh t¬ng tù ta cã : 11 1 >  + ÷ Vµ db  a c  11 1 >  + ÷ dc  a b  VÝ dơ 4: Nªn: Cho tam gi¸c ABC cã ba ®êng ph©n gi¸c AD , BE , CF C¸c ®iĨm G , I , K theo thø + + >  +  +  +  +  +   ÷  ÷  ÷ tù ®èi xøng víi B , A , C qua AD , BE , d a d b d c  b c   a c   a b   E AD H lµ ®iĨm ®èi xøng víi A qua CF Chøng minh : GI // HK Tõ GT suy BC , GK cã quan hƯ g×? Theo tÝnh chÊt ®êng ph©n gi¸c ta cã ®iỊu g×? ID TØ sè tÝnh nh thÕ nµo? HD GD T¬ng tù: =? KD Tõ ®ã ta suy ®iỊu g×? VÝ dơ Cho tam gi¸c ABC, ®êng ph©n gi¸c AD Gäi DE, DF lµ ph©n gi¸c cđa tam gi¸c ADB vµ ADC Chøng minh : a) AF DC BE =1 BD FC AE b)Víi §K nµo th× EF // BC , ®ã EF ⊥ BC hay kh«ng ? v× ? Gi¶i: ¸p dơng t/c ®êng ph©n gi¸c vµo c¸c tam gi¸c ∆ ABD vµ ∆ ADC ta cã tØ sè nµo? Tõ ®ã, ®Ĩ cã AF DC BE ta lµm thÕ BD FC AE nµo? Khi nµo th× EF // BC ? 1 1 1 1 + + >  + + ÷ da db dc  a b c  1 1 1 ⇔ + + > + + ( ®pcm ) da db dc a b c ⇔ K HS ghi ®Ị bµi vµ vÏ h×nh H B D F I C A E G Tõ GT suy : BC ®èi xøng víi GK qua AD nªn chóng c¾t t¹i D (V× D ∈ BC ) Theo t/c ®êng ph©n gi¸c AD ta cã: AB DB = AC DC XÐt tØ sè : ID IB - DB AB - DB AB = = = (1) HD HC - DC AC - DC AC GD AB = T¬ng tù ta cã : (2) KD AC (Hc sư dơng t/c ®êng ph©n gi¸c AD ∆ GAK : GD GA AB = = ) KD KA AC Tõ (1) vµ (2) suy : ID GD ⇒ GI // HK (§L TalÐt ®¶o ) = HD DK HS ghi ®Ị bµi vµ vÏ h×nh T×m c¸ch c/m A E F B D a)¸p dơng t/c ®êng ph©n gi¸c vµo c¸c tam gi¸c ∆ ABD vµ ∆ ADC ta cã : BE BD AF AD = (1); = (2) AE AD FC DC Nh©n tõng vÕ (1) víi (2) ta cã: C BE AF BD AD = AE FC AD DC AF DC BE BD AD DC ⇒ = =1 BD FC AE AD DC BD BE CF BD CD = ⇔ = b) EF // BC ⇔ AE AF AD AD ⇔ BD = CD ⇔ AD lµ trung tun , mµ AD cđng lµ ph©n gi¸c (GT) ⇔ ∆ ABC c©n t¹i A AD cđng lµ ®êng cao ⇒ AD ⊥ BC mµ EF // BC nªn EF ⊥ AD Bµi tËp vỊ nhµ: Bµi 1: Cho tam gi¸c ABC c©n t¹i A (AB = AC = a , BC = b ) vµ ®iĨm P n»m trªn phÇn kÐo dµi cđa c¹nh BC vỊ phÝa C Qua P kỴ ®gth d c¾t c¸c c¹nh AB vµ AC ë D vµ E a) Chøng minh r»ng : BP CP − BD CE kh«ng phơ thc vÞ trÝ cđa d vµ P b) KỴ DM//AC , EN//AB ( M , N thc BC ) Chøng minh r»ng: PM PN kh«ng phơ thc vµo vÞ trÝ cđa ®êng th¼ng d Bµi : Cho h×nh thang ABCD ( AB // CD ) Hai ®êng chÐo AC vµ BD c¾t t¹i O §êng th¼ng qua O vµ song song víi hai ®¸y c¾t hai c¹nh AD vµ BC theo thø tù t¹i E vµ F Chøng minh r»ng : a) EO = FO b)  1  1 − + ÷ = Tõ ®ã suy r»ng : FE = AB + CD OE  AB CD  Ngµy so¹n : 18/2/2016 Tn 25 ph¬ng tr×nh chøa Èn ë mÈu thøc A Mơc tiªu : * Cđng cè, kh¾c s©u kiÕn thøc vỊ PT chøa Èn ë mÈu * TiÕp tơc rÌn lun vµ n©ng cao kü n¨ng vµ ph¬ng ph¸p gi¶i Pt chøa Èn ë mÈu * Kh¬i dËy høng thó cho HS viƯc gi¶i PT B Nh¾c l¹i kiÕn thøc bµi häc : A(x) C(x) = B(x) D(x) TËp x¸c ®Þnh : { x ∈ R / B(x) ≠ 0; D(x) ≠ 0} D¹ng tỉng qu¸t : C¸ch gi¶i : a) T×m §kx® cđa Pt : nh÷ng gi¸ trÞ cđa biÕn ®Ĩ mÈu thøc kh¸c b) Quy ®ång vµ khư mÈu c) gi¶i Pt sau ®¶ khư mÈu d) §èi chiÕu §kx® ®Ĩ t×m tËp nghiƯm cđa Pt c C¸c vÝ dơ: VÝ dơ : Gi¶i c¸c pt : a) x + x − 2x + 23x + 61 + = (1) x −5 x +6 x + x − 30 x − ≠ x ≠ ⇔ x + ≠  x ≠ −6 Ta cã : x2 + x – 30 = (x - 5)(x + 6) ⇒ §kx® :  (x + 6) + (x − 5) 2x + 23x + 61 = ⇔ (x + 6) + (x − 5) = 2x + 23x + 61 (1) ⇔ (x − 5)(x + 6) (x − 5)(x + 6) 2 ⇔ x + 12x + 36 + x + 10x + 25 = 2x + 23x + 61 ⇔ x = (Tm®k) 5−x x −1 + = + b) (2) 4x − 8x 2x(x − 2) 8x − 16 Ta cã : 4x − 8x = 4x(x − 2) ; 8x −16 = 8(x − 2) x − ≠ x ≠ ⇔ §kx® :  x ≠ x ≠ 5− x x −1 2(5 − x) + 7x(x − 2) 4(x − 1) + x + = + ⇔ = (2) ⇔ 4x(x − 2) 2x(x − 2) 8(x − 2) 8x(x − 2) 8x(x − 2) ⇒ 2(5 − x) + 7x(x − 2) = 4(x − 1) + x ⇔ 10 − 2x + 7x − 14x = 4x − + x ⇔ 7x − 21x + 14 = x − =  x = (loai) ⇔ 7(x − 3x + 2) = ⇔ x − 3x + = ⇔ (x − 2)(x − 1) = ⇔  ⇔ x −1 =  x = 1(nhan) c) x+2 x−2 − = (3) x + 2x + x − 2x + x(x + 4x + 16) V× : (x2 + 2x + 4)(x2 – 2x + 4) = x4+ 4x2 +16 §kx® : x ( x4+ 4x2 +16 ) ≠ ⇔ x ≠ Do : x4+ 4x2 +16 ≠ víi mäi x x(x + 2)(x + 2x + 4) − x(x − 2)(x − 2x + 4) = (3) ⇔ 4 x(x + 4x + 16) x(x + 4x + 16) ⇒ x(x + 2)(x + 2x + 4) − x(x − 2)(x − 2x + 4) = 3 ⇔ x + 8x − x + 8x = ⇔ 16x = ⇔ 8x = ⇔ x = (Tm) VËy : S =   8  x+4 x +1 2x + x+4 x+4 ⇔ − =0 + = d) 2x − 5x + 2x − 7x + 2x − 5x + 2x − 7x + 2x − 7x + 1 (x + 4)(1 − 2x)   ⇔ (x + 4)  − = ⇔ (x + 4)(1 − 2x) = ÷= ⇔ (2x − 5x + 2)(2x − 7x + 3)  x − 5x + x − 7x +  1 Th× : 2x2 - 5x + = Nªn x = kh«ng tho· m·n 2 2 * Víi x = - Th× : (2x - 5x + ) (2x - 7x + ) ≠ *Víi x = VËy Pt cã nghiƯm lµ : x = - e) 4x + x ≠ 1 + 4y + = (6) §kx® :  x y y≠0  1  (6) ⇔  4x − 2.2x + x x  1   ÷+  4y − 2.2y + y y    1    2x − ÷ = 2x − = x = ±  x  x   2x =  ⇔ ⇔ ⇔ ⇔ 2y = 1  2y − = y = ±  y  2y − y ÷ =       VËy : nghiƯm cđa Pt (6) lµ :( x = (x=- ;y= 2 f) + x + x −1 ) hc :( x = =2 2  1  1  ÷ = ⇔  2x − ÷ +  2y − ÷ = x  y   2 1 1 ;y= ) hc : ( x = ; y = - ) hc 2 2 1 ;y=) 2 (7) §kx® : x ≠ ±1 1 x2 −1 ⇔ =1⇔ =1⇔ =1⇔ = ⇔ x − = 3x − (7) 2(x − 1) + (x + 1) 2x − + x + 3x − 3x − 2 x −1 x −1 x −1 x = ⇔ x − 3x = ⇔ x(x − 3) = ⇔  (tho· m·n §kx® ) x = VÝ dơ : Gi¶i vµ biƯn ln c¸c Pt : 1+ a = − a (a) §kx® : x ≠ (a) ⇔ + a = (1 − a)(1 − x) ⇔ (a − 1)x = 2a a) 1− x *NÕu a ≠ ⇒ x = 2a 2a ≠ ⇔ 2a ≠ a − ⇔ a ≠ −1 ; mµ x ≠ ⇒ a −1 a −1 *NÕu a = th× Pt v« nghiƯm VËy : + Víi a ≠ ±1 th× Pt (a) cã nghiƯm nhÊt : x = + C¸c ttrênghỵp cßn l¹i ®Ịu v« nghiƯm b) 2a a −1 x 2a + x 8a (b) + = 2a + x 2a − x x − 4a §kx® : x ≠ ±2a (b) ⇔ x ( 2a − x ) + ( 2a + x ) x − 4a 2 = 8a ⇒ 2ax − x + 4a + 4ax + x = 8a 2 x − 4a ⇔ 6ax = −12a ⇔ ax = −2a *NÕu a ≠ ⇒ x = 2a : kh«ng tho· m·n §kx® *NÕu a = th× pt trë thµnh : 0x = ⇒ Pt cã v« sè nghiƯm c) 1 1 + + = (c) a b x a+b+x §k ®Ĩ Pt cã nghÜa : a ≠ 0; b ≠ §kx® : x ≠ − ( a + b ) (c) ⇔ 1 a+b a+b a+b − = ⇔ = a+b+x x ab −x ( a + b + x ) ab *NÕu a + b = thi (c) cã v« sè nghiƯm : x ∈ R; x ≠  x = −a  x = −b *NÕu a + b ≠ th× : - x(a + b + x) = ab ⇔ ab + ax + bx + x = ⇔ ( x + a ) ( x + b ) = ⇔   −a ≠ a ≠ ⇔ (§k nµy ®· cã )  − a ≠ −a − b b ≠ +§Ĩ : – a tho· m·n th× :   −b ≠ b ≠ ⇔ (§k nµy ®· cã )  − b ≠ −a − b a ≠ + §Ĩ : - b tho· m·n th× :  VËy : *NÕu : a ≠ 0; b ≠ 0; a + b = th× Pt (c) cã v« sè nghiƯm : x ∈ R; x ≠ *NÕu : a ≠ 0; b ≠ 0;a + b ≠ Th× Pt (c) cã nghiƯm x = - a vµ x = - b Bµi tËp vỊ nhµ : bµi : Gi¶i c¸c Pt x2 − x x2 7x − 3x a) − = x +3 x −3 − x2 bµi : Gi¶i vµ biƯn ln Pt : y+b y+3 + =2 a) y−3 y−b b) b) =1 1 x + + x+2 x−2 x −4 x + a + x + 11 10 − = x+a x + 10 (x + a)(x + 10) Ngày soạn: 25/2/2016 TUẦN 26 GIẢI BÀI TỐN VỀ BẤT ĐẲNG THỨC PhÇn I : c¸c kiÕn thøc cÇn lu ý A ≥ B ⇔ A − B ≥ A ≤ B ⇔ A − B ≤ 1-§inhnghÜa:  2-tÝnh chÊt + A>B ⇔ B < A + A > B > ⇒ An > B n + A>B vµ B >C ⇔ A > C +A>B ⇒ An > Bn víi n lỴ + A>B ⇒ A + C >B + C + A > B ⇒ An > Bn víi n ch½n + A>B vµ C > D ⇒ A +C > B + D + m > n > vµ A > ⇒ A m > A n + A>B vµ C > ⇒ A.C > B.C + A>B vµ C < ⇒ A.C < B.C + < A < B vµ < C < D ⇒ < A.C < B.D ∀n + m > n > vµ A B ⇒ +A < B vµ A.B > - mét sè h»ng bÊt ®¼ng thøc + A ≥ víi ∀ A ( dÊu = x¶y A = ) + An ≥ víi ∀ A ( dÊu = x¶y A = ) + A ≥ víi ∀A (dÊu = x¶y A = ) + -A 0) + A− B ≤ A − B ( dÊu = x¶y A.B < 0) PhÇn II : mét sè ph¬ng ph¸p chøng minh bÊt ®¼ng thøc 1) Ph¬ng ph¸p 1: dïng ®Þnh nghÜa KiÕn thøc : §Ĩ chøng minh A > B Ta chøng minh A – B > Lu ý dïng h»ng bÊt ®¼ng thøc M ≥ víi ∀ M VÝ dơ ∀ x, y, z chøng minh r»ng : H a) x + y + z ≥ xy+ yz + zx A b) x + y + z ≥ 2xy – 2xz + 2yz 2 A Gi¶i: a) Ta xÐt hiƯu : x + y + z - xy – yz – zx = 2 A ( A HH E G A F D M DB K B N D M D O M G O B BB N N C N M EF K CCC NĂM HỌC 2014 - 2012 Thanh Long, ngày tháng năm 2015 DUYỆT CỦA TỔ TRƯỞNG CHUN MƠN NHĨM TRƯỞNG TT 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 Chủ đề Tên dạy Hằng đẳng thức đáng nhớ Hằng đẳng thức đáng nhớ Đường trung bình tam giác , hình thang Phân tích đa thức thành nhân tử Hình bình hành – Hình chữ nhật Phép chia đa thức Các tốn hình vng hình thoi Rút gọn phân thức Các phép tốn phân thức 10 Các tốn diện tích 11 Biến đổi biểu thức hữu tỉ - Giá trị phân thức 12 Phương trình đưa dạng ax + b = – Phương trình tích 13 Định lí Ta lét thuận đảo – Tính chất đường phân giác 14 Phương trình chứa ẩn mẫu thức 15 Giá trị nhỏ – Giá trị lớn 16 Giá trị nhỏ – Giá trị lớn 17 Tính chất chia hết số ngun 18 Các tốn biểu thức có điều kiện 19 Giải tốn BĐT 20 Các trường hợp đồng dạng tam giác Lê Hữu Từ Nguyễn Thị Hằng TRƯỜNG THCS THANH LONG TỔ KHOA HỌC TỰ NHIÊN PHÂN PHỐI CHƯƠNG TRÌNH BỒI DƯỠNG HỌC SINH GIỎI TỐN NĂM HỌC 2015 – 2016 Thanh Long, ngày tháng năm 2015 DUYỆT CỦA TỔ TRƯỞNG CHUN MƠN NHĨM TRƯỞNG TT 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 Chủ đề 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 Tên dạy Hằng đẳng thức đáng nhớ Hằng đẳng thức đáng nhớ Đường trung bình tam giác , hình thang Phân tích đa thức thành nhân tử Hình bình hành – Hình chữ nhật Phép chia đa thức Các tốn hình vng hình thoi Rút gọn phân thức Các phép tốn phân thức Các tốn diện tích Biến đổi biểu thức hữu tỉ - Giá trị phân thức Phương trình đưa dạng ax + b = – Phương trình tích Định lí Ta lét thuận đảo – Tính chất đường phân giác Phương trình chứa ẩn mẫu thức Giá trị nhỏ – Giá trị lớn Giá trị nhỏ – Giá trị lớn Tính chất chia hết số ngun Các tốn biểu thức có điều kiện Giải tốn BĐT Các trường hợp đồng dạng tam giác Lê Hữu Từ Nguyễn thị Hằng [...]... 3 8a 7  a +b+a−b   2a + 4 + 8 8 = 2 2 + 2 + 4 + 8 8 = ÷+ 2 2 2 2 4 2 ÷ 4  a −b  a +b a +b a +b  a −b a +b  a +b a +b  2a (a 2 + b 2 ) + 2a ( a 2 − b 2 )   4a 3 4a 3 8a 7 4a 3  8a 7 =  + a 4 + b 4 + a 8 + b8 =  a 4 − b 4 + a 4 + b 4 ÷+ a 8 + b8 a 4 − b4     4a 3 ( a 4 + b 4 ) + 4a 3 ( a 4 − b 4 8a 7 8a 7 8a 7 8a 7 ( a 8 + b 8 ) + 8a 7 ( a 8 − b 8 ) + = + = a 8 − b8 a 8 + b8 a 8 −... 4a 3 8a 7 + + + + d) a − b a + b a 2 + b 2 a 4 + b 4 a 8 + b8 Có nên phân tích mỗi mẫu thành nhân tử hay không? Vì sao? Ta thực hiện phép cộng hai phân thức đầu rồi tiếp tục cộng với phân thức tiếp theo HS suy nghó, phát biểu HS thực hiện d) Ta có: 1  2a 4a 3 8a 7 1 1 2a 4a 3 8a 7  1 + + + + + + 2 + + =  ÷ 2 2 4 4 8 8  a−b a+b a +b a +b a +b a − b a + b a + b 2 a 4 + b 4 a 8 + b8 2a 4a 3 8a 7... 4 − b 4 + a 4 + b 4 ÷+ a 8 + b8 a 4 − b4     4a 3 ( a 4 + b 4 ) + 4a 3 ( a 4 − b 4 8a 7 8a 7 8a 7 8a 7 ( a 8 + b 8 ) + 8a 7 ( a 8 − b 8 ) + = + = a 8 − b8 a 8 + b8 a 8 − b 8 a 8 + b 8 a16 − b16 8a15 − 8a 7 b8 + 8a15 − 8a 7b8 16a15 = = a16 − b16 a16 − b16 = Bài 2: Tính A + (- B) biết HS ghi đề bài Tiến hành giải 1 1 1 1 A = 1.2.3 + 2.3.4 + 3.4.5 + + n(n + 1)(n + 2) n(n + 3) và B = 4(n + 1)(n + 2)... 6 ⇔ x = 5 2 c) x(x + 3) - 3x = (x + 2)3 + 1 ⇔ x(x2 + 6x + 9) - 3x = x3 + 6x2 +12x + 8 + 1 ⇔ x3 + 6x2 + 9x - 3x = x3 + 6x2 +12x + 9 ⇔ 6x = 12x + 9 ⇔ - 6x = 9 ⇔ x = d) x − 4 3x + 1 9x − 2 3x − 1 − = + 3 4 8 12 −3 2 ⇔ 8( x - 4) - 6(3x + 1) = 3(9x - 2) + 2(3x - 1) ⇔ 8x - 32 - 18x - 6 = 27x - 6 + 6x - 2 ⇔ -10x - 38 = 33x - 8 ⇔ - 43x = 30 −30 ⇔x = 43 HS ghi ®Ị bµi, t×m c¸ch gi¶i HS tr¶ lêi 1909 − x 1907 −... − x 1903 − x + + + +4=0 91 93 95 97 1  1 1 1 ⇔ (2000 - x)  + + + ÷ = 0  91 93 95 97  ⇔ 2000 - x = 0 ⇔ x = 2000 x − 999 x − 89 6 x − 789 + + =6 b) 99 101 103  x − 999   x − 89 6   x − 789  ⇔ − 1 ÷+  − 2 ÷+  − 3÷= 0  99   101   103  x − 10 98 x − 10 98 x − 10 98 ⇔ + + =0 99 101 103 a) 3 VÝ dơ 3: Gi¶i c¸c ph¬ng tr×nh : a) (x-1)3 + x3 + ( x + 1 )3 = ( x + 2 )3 Ta biÕn ®ỉi Pt nh thÕ nµo? Thu... hiện phép toán moat cách liên tục Một số HS đại diện trả lời câu hỏi và cùng giải với GV 8 x 2y − x b) 2 y 2 − xy + x 2 − 4 y 2 + 2 y 2 + xy = 2 y 2 − xy + 4 y 2 − x 2 + 2 y 2 + xy 2y + x 8 x 2y − x (2y + x)(2y + x) − 8xy + (2y − x)(2y − x) y(2y − x)(2y + x) 2 2 2 2 2 2 4 y + 4 xy + x − 8 xy + 4 y − 4 xy + x 8 y − 8 xy + 2 x 2(4 y 2 − 4 xy + x 2 ) = = = y (2 y − x )(2 y + x) y (2 y − x)(2 y + x) y (2... rằng với ∀n ∈ Z 15n 2 + 8n + 6 thì phân số: a) tối 30n 2 + 21n + 13 Để C/m 1 phân số tối giản ta C/m ƯCLN của tử và mẫu bằng 1 Gọi ƯCLN của tử và mẫu là d (d ≥ 1) ta C/m d = 1 (15n2 + 8n + 6) M d và (30n2 + 21n + 13) M d hay [2 (15n2 + 8n + 6 ) + 5n + 1] M d ⇒ 5n + 1 M d Mà 15n2 + 8n + 6 = [(3n + 1)(5n + 1) + 5] M d ⇒ 5 M d ⇒ 5n M d mà 5n + 1 M d ⇒ 1 M d ⇒ d = 1 Hay 15n2 + 8n + 6; 30n2 + 21n + 13 nguyên... (x 2 + 2)(x 2 − 2) 4x 2 − 8 − 3x2 − 6 + 12 x2 − 2 1 = = 2 = 2 2 2 2 (x + 2)(x − 2) (x + 2)(x − 2) x + 2 2y + x 2y − x 8x b) 2 y 2 − xy + x 2 − 4 y 2 + 2 y 2 + xy Phân tích mỗi mẫu thành nhân tử Cần đổi dấu không? Vì sao? HS phân tích mẫu thành nhân tử, đổi dấu 8x Tìm MTC Thực hiện các phép toán một cách liên tục Gọi một số HS trả lời và cùng giải 2y + x 2y − x 8x 2y + x 8 x phân thức x 2 − 4 y 2 =... + 1 +  = 8 Chứng minh rằng tam gi¸c ®ã lµ tam gi¸c đều §Ĩ C/m tam gi¸c ®ã lµ tam gi¸c ®Ịu th× ta §Ĩ C/m tam gi¸c ®ã lµ tam gi¸c ®Ịu th× ta ph¶i ph¶i C/m g×? C/m a=b=c ⇔ a-b=b-c=c-a=0 H·y biÕn ®ỉi biĨu thøc trªn ®Ĩ cã ®ỵc HS biÕn ®ỉi ®iỊu cÇn C/m a +b b+c a+c  b  c   a  =8  1 + ÷1 + ÷1 + ÷ = 8 ⇔ a b c  a  b   c  a 2b + ab 2 + a 2 c + abc + abc + b 2c + ac 2 + bc 2 − 8abc ⇔ =0 abc... tr×nh cho HS * VËn dơng thµnh th¹o kü n¨nggi¶i Pt vµo c¸c bµi to¸n cơ thĨ b bµi tËp : Ho¹t ®éng cđa GV Ho¹t ®éng cđa HS 1 VÝ dơ 1 a) 8( 3x - 2) - 14x = 2(4 - 7x) + 15x Gi¶i c¸c Pt: ⇔ 24x - 16 - 14x = 8 - 14x + 15x a) 8( 3x - 2) - 14x = 2(4 - 7x) + 15x ⇔ 24x - 14x + 14x - 15x = 8 + 16 BiÕn ®ỉi Pt nh thÕ nµo? ⇔ 9x = 24 ⇔ x = b) ( x + 5 ) ( x + 2 ) − 3 ( 4x − 3) = ( 5 − x ) Thùc hiƯn phÐp nh©n, thu gän Pt ®Ĩ ... 8a 4a  8a =  + a + b + a + b8 =  a − b + a + b ÷+ a + b8 a − b4     4a ( a + b ) + 4a ( a − b 8a 8a 8a 8a ( a + b ) + 8a ( a − b ) + = + = a − b8 a + b8 a − b a + b a16 − b16 8a15 − 8a... b) Đặt y = x2 + 8x + x2 + 8x + 15 = y + ta có: (x2 + 8x + 7)(x2 + 8x + 15) + 15 = y(y + 8) + 15 = y2 + 8y + 15 = y2 + 8y +16 – = (y + 4)2 – = (y + 3)(y + 5) =(x2 + 8x + 10)(x2 + 8x + 12) a) Từ... d) Ta có:  2a 4a 8a 1 2a 4a 8a  + + + + + + + + =  ÷ 2 4 8  a−b a+b a +b a +b a +b a − b a + b a + b a + b a + b8 2a 4a 8a 2a  4a 8a  a +b+a−b   2a + + 8 = 2 + + + 8 = ÷+ 2 2 ÷  a