Chương Tích phân suy rộng Trước đưa khái niệm tích phân suy rộng, ta xét hai toán sau đây: Bài toán 1.0.1 Tính diện tích "tam giác cong" mặt phẳng giới hạn trục Ox, đường thẳng x = đồ thị hàm số y = 1/x2 (x > 0)? Để ý diện tích S1 tam giác cong giới hạn diện tích S(A) hình thang cong {1 ≤ x ≤ A; ≤ y ≤ 1/x2 } < A dần đến vô Vì thế, A S1 = lim SA = lim A→+∞ A→+∞ dx −1 = lim A→+∞ x x A = lim A→+∞ 1− = A Trong trường hợp S1 tích phân suy rộng loại I Bài toán 1.0.2 Tính diện tích "hình thang cong" mặt phẳng giới hạn √ trục Ox, Oy, đường thẳng x = đồ thị hàm số y = 1/ x (x > 0)? Tương tự Bài toán 1.0.1, ta thấy diện tích S2 hình thang cong √ giới hạn diện tích S(η) hình thang cong {η ≤ x ≤ 1; ≤ y ≤ 1/ x} < η < dần đến Vì thế, S2 = lim+ Sη = lim+ η→0 η→0 η √ dx √ = lim x η→0+ x η = lim+ − Trong trường hợp S2 tích phân suy rộng loại II η→0 √ η = Hình 1.1: Diện tích tam giác cong Hình 1.2: Diện tích hình thang cong 1.1 Tích phân suy rộng loại I Định nghĩa 1.1.1 Giả sử f (x) xác định [a, +∞) khả tích đoạn hữu A hạn a ≤ x ≤ A < +∞, tức tồn F (A) := f (x)dx với A > a Tích phân a A +∞ f (x)dx := lim hình thức A→+∞ a a f (x)dx gọi tích phân suy rộng loại I hàm f đoạn [a; +∞) (i) Nếu tồn giới hạn hữu hạn A lim +∞ f (x)dx := A→+∞ a f (x)dx a +∞ f (x)dx hội tụ ta nói a (ii) Nếu giới hạn vô không tồn ta nói tích phân suy rộng +∞ f (x)dx phân kỳ a +∞ f (x)dx Nhận xét 1.1.1 Sự hội tụ hay phân kỳ hai tích phân suy rông a +∞ +∞ f (x)dx b f (x)dx = a b +∞ f (x)dx + a f (x)dx b +∞ f (x)dx, ta định nghĩa tích Tương tự định nghĩa tích phân suy rộng a b b f (x)dx := lim phân suy rộng a→−∞ a −∞ +∞ f (x)dx −∞ +∞ Ví dụ 1.1.1 (a) Tích phân suy rộng +∞ b f (x)dx := lim a→−∞,b→+∞ a f (x)dx dx hội tụ Thật vậy, ta có + x2 A dx = lim arctan x + x2 A→∞ dx = lim + x2 A→+∞ A = lim x=1 A→+∞ (b) Tích phân suy rộng +∞   dx  hội tụ α > xα   phân kỳ α ≤ arctan A − π = π 4 Thật vậy, khẳng định suy từ tính toán sau đây:  A  x1−α A A1−α −1 α = dx  1−α = 1−α = A xα  ln x = ln A α = 1 +∞ f (x)dx hội tụ Định lý 1.1.2 (Tiêu chuẩn Cauchy) Tích phân suy rộng loại I a A với f (x)dx < > tồn A0 > a (phụ thuộc vào ) cho với A A , A ≥ A0 Chứng minh Thật vậy, theo tiêu chuẩn Cauchy hội tụ giới hạn, ta có +∞ f (x)dx hội tụ với > tồn A0 > a (phụ thuộc vào ) a A cho |F (A ) − F (A )| < với A , A ≥ A0 , tức f (x)dx < với A A , A ≥ A0 Nhận xét 1.1.2 i) Từ Tiêu chuẩn Cauchy ta có tiêu chuẩn sau đây: Nếu ∃ > An ∃{An }, {An } với An , An → +∞ n → +∞ cho f (x)dx ≥ với n ∈ N An +∞ f (x)dx phân kỳ đủ lớn a ii) Tiêu chuẩn Cauchy khẳng định hội tụ tích phân mà không cho ta giá trị +∞ xα sin xdx (α > 0) Chọn dãy An = Ví dụ 1.1.3 Xét hội tụ tích phân π/6 + 2nπ An = 5π/6 + 2nπ, n = 1, 2, Khi đó, xα sin x ≥ 1/2 với An ≤ x ≤ An , n = 1, 2, An → +∞, An → +∞ n → +∞ Do đó, An xα sin xdx ≥ 2π π = =: 3 > 0, ∀ n = 1, 2, An +∞ xα sin xdx (α > 0) phân kỳ Chú ý rằng, ta Vì vậy, theo tiêu chuẩn Cauchy, dùng Định lý Abel để xét hội tụ tích phân suy rộng +∞ a +∞ |f (x)|dx hội tụ a +∞ |f (x)|dx phân kỳ ta nói tích phân hội tụ có điều f (x)dx hội tụ Nếu +∞ f (x)dx họi tụ tuyệt đối Định nghĩa 1.1.2 Ta nói a kiện bán hội tụ a Nhận xét 1.1.3 Từ tiêu chuẩn Cauchy ta có: Nếu tích phân suy rộng hội tụ tuyệt đối tích phân hội tụ 1.1.1 Các dấu hiệu hội tụ Định lý 1.1.4 (Dấu hiệu so sánh) Giả sử f, g : [a, +∞) → R+ hàm thỏa mãn ≤ f (x) ≤ g(x), ∀x ≥ a Khi đó, +∞ +∞ f (x)dx hội tụ g(x)dx hội tụ (i) Nếu a a +∞ +∞ f (x)dx phân kỳ f (x)dx phân kỳ (ii) Nếu a a Chứng minh Các khẳng định suy từ tiêu chuẩn Cauchy +∞ Ví dụ 1.1.5 Xét hội tụ tích phân 1 dx x2 +cos x+1 +∞ x ≥ 1 x2 +cos x+1 Ta có ≤ x2 với +∞ dx x2 hội tụ Vì vậy, theo dấu hiệu so sánh, 1 dx x2 +cos x+1 hội tụ Hệ 1.1.6 Giả sử f, g : [a, +∞) → R+ hàm không âm thỏa mãn +∞ f (x) ∼ Cg(x) x → +∞, C > Khi +∞ g(x)dx a f (x)dx a hội tụ phân kỳ Hệ 1.1.7 Giả sử f, g : [a, +∞) → R+ hàm không âm thỏa mãn ∃ limx→+∞ f (x)/g(x) = k ∈ [0, +∞] Khi đó, +∞ (i) < k < +∞ +∞ g(x)dx a f (x)dx hội tụ phân kỳ a +∞ (ii) k = Nếu +∞ g(x)dx hội tụ a f (x)dx hội tụ a +∞ (iii) k = +∞ Nếu +∞ g(x)dx phân kỳ f (x)dx phân kỳ a a +∞ Ví dụ 1.1.8 Xét hội tụ tích phân x+2014 sin x+2015 dx x2 +cos x+2016 Ta có +∞ x x → +∞ phân kỳ x+2014 sin x+2015 x2 +cos x+2016 ∼ +∞ dx x phân kỳ Vì vậy, theo dấu hiệu so sánh, x+2014 sin x+2015 dx x2 +cos x+2016 1.1.2 Các tiêu chuẩn hội tụ Định lý 1.1.9 (Weierstrass) Giả sử f, g : [a, +∞) → R thỏa mãn |f (x)| ≤ g(x) ∀x ≥ +∞ a Khi đó, +∞ g(x)dx a f (x)dx hội tụ (tuyệt đối) a Định lý 1.1.10 (Dirichlet) Giả sử f, g : [0, +∞) → R thỏa mãn A f (x)dx < B (B > 0) với A > a (i) a (ii) Hàm g đơn điệu g(x) → x → +∞ +∞ f (x)g(x)dx hội tụ Khi đó, a Định lý 1.1.11 (Abel) Giả sử f, g : [0, +∞) → R thỏa mãn +∞ f (x)dx hội tụ (i) a (ii) Hàm g đơn điệu bị chặn +∞ f (x)g(x)dx hội tụ Khi đó, a +∞ Ví dụ 1.1.12 Xét hội tụ tích phân sin x dx xα Ta xét hai trường hợp sau TH1 α > Ta có A sin xdx = | cos − cos A| ≤ 2, ∀A > (i) (ii) g(x) := 1/xα đợn điệu giảm g(x) → x → +∞ +∞ Vì vậy, theo Định lý Dirichlet, sin x dx xα hội tụ với α > +∞ TH2 α ≤ Ta chứng minh sin x dx xα hội tụ với α ≤ Với α = 0, ta có A +∞ sin xdx = cos − cos A Do ∃ limA→+∞ (cos − cos A) nên tích phân sin xdx phân kỳ Đới với trường hợp α < Ta sử dụng phương pháp chứng minh phản chứng +∞ x−α sin xdx hội tụ Khi đó, hàm g(x) := 1/x−α đơn điệu bị Thậy vậy, giả sử chặn (0, +∞) nên theo Định lý Abel, tích phân +∞ +∞ x−α sin x sin xdx = 1 x−α dx +∞ hội tụ Theo chứng minh trên, điều vô lý Vậy 1.2 sin x dx xα phân kỳ với α < Tích phân suy rộng loại II Định nghĩa 1.2.1 Giả sử f (x) xác định [a, b), không bị chăn trên [a, b) khả tích đoạn hữu hạn a ≤ x ≤ b − η (0 < η < b − a) Tích phân hình thức b−η b a f (x)dx := lim+ η→0 f (x)dx gọi tích phân suy rộng loại II hàm f đoạn a [a; b) (i) Nếu tồn giới hạn hữu hạn b−η A I = lim+ f (x)dx := f (x)dx η→0 a a b b f (x)dx hội tụ ta viết ta nói f (x)dx = I a a b f (x)dx (ii) Nếu giới hạn vô không tồn ta nói tích phân suy rộng a phân kỳ Nhận xét 1.2.1 Bằng định nghĩa tương tự ta định nghĩa tích phân suy rộng cho hàm không bị chặn (a, b] sau b b f (x)dx := lim+ f (x)dx η→0 a a+η b Hơn nữa, cách đổi biến t = 1/(b − x) tích phân suy rộng loại II f (x)dx trở a thành tích phân suy rộng loại I Vì thế, tất dấu hiệu hội tụ tích phân suy rộng loại II (tất nhiên ta chứng minh trực tiếp) Ví dụ 1.2.1 Xét hội tụ tích phân dx (α ∈ R) xα Ta có η   1−α  x 1−α = 1−η 1−α 1−α dx η = α  x  ln x = − ln η α = α = η Vì vậy, ta kết luận dx xα hội tụ α < phân kỳ α ≥ Ví dụ 1.2.2 Xét hội tụ tích phân ln2015 xdx √ Ta có limx→0+ √ x ln2015 x = Do đó, tồn < η0 < cho | x ln2015 x| < với < x ≤ η0 , tức | ln2015 x| < √ ∀ < x ≤ η0 x η0 Do η0 √1 dx x | ln2015 x|dx hội tụ theo dấu hiệu so sánh Vì vậy, ta kết 2015 ln luận 1.3 hội tụ nên η0 xdx = ln2015 xdx + ln2015 xdx hội tụ (tuyệt đối) η0 Các tích phân suy rộng đề thi năm gần Thông thường hàm dấu tích phân suy rộng có nhiều điểm bất thường (điểm mà hàm giới hạn điểm ∞) Khi đó, ta phải chia tích phân thành tổng tích phân (suy rộng) mà tích phân có nhiều điểm bất thường Bài (Năm 2014) Xét hội tụ tích phân suy rộng sau +∞ x cos x dx, p, q ∈ R xp + xq I := a) Xét hội tụ I Trước hết, ta viết tích phân thành tổng hai tích phân +∞ x cos x dx + xp + xq I= x cos x dx xp + xq Không tổng quát ta giả sử p ≤ q Khi đó, f (x) := x cos x ∼ C , x → 0+ , p q p−1 x +x x đó, C = 1/2 p = q C = p = q Vì vậy, theo dấu hiệu so sánh, x cos x dx xp + xq I1 := hội tụ p < Đối với tích phân +∞ x cos x dx, xp + xq I2 := ta chứng minh I2 hội tụ q > phân kỳ q ≤ Thật vậy, giả sử q > Khi đó, ta có A cos xdx ≤ ∀A > 1 p q g(x) := x/(x + x ) đơn điệu với x đủ lớn (tức với x > A0 , với A0 > đó) dần x → +∞ Theo Định lý Dirichlet, I2 hội tụ với q > Bây giờ, ta xét trường hợp p ≤ q ≤ Giả sử phản chứng I2 hội tụ p ≤ q ≤ Khi đó, hàm (xp + xq )/x đơn điệu với x đủ lớn bị chặn (1, +∞) nên theo Định lý Abel, tích phân +∞ +∞ cosxdx = x cos x xp + xq dx xp + xq x hội tụ Điều vô lý (chứng minh tương tự ví dụ 1.1.12 với α = 0) Kết luận Tích phân suy rộng I hội tụ max{p, q} > min{p, q} < phân kỳ trường hợp ngược lại 10 b) Xét hội tụ I Trước hết, ta viết tích phân thành tổng hai tích phân +∞ x cos x dx + xp + xq I= x cos x dx xp + xq Không tổng quát ta giả sử p ≤ q Ta ý x cos x dx xp + xq I1 := hội tụ không p < Thật vậy, giả sử I1 hội tụ p < Khi đó, theo định lý chuyển qua giới hạn dấu tích phân, ta suy tồn 1 lim p→2 x cos x lim p dx = p→2 x + xq x cos x dx = xp + xq 0 x cos x dx x2 + x q Điều vô lý tích phân cuối phân kỳ Bây giờ, ta chứng minh I1 hội tụ p ≤ − với > Thật vậy, ta có f (x, p, q) ∼ C xp−1 ≤ x1− , x → 0+ , đó, C = 1/2 p = q C = p = q Vì vậy, tồn < η0 < cho |f (x)| ≤ C1 x1− , ∀ < x ≤ η0 , đó, C1 > số Do 1 x1− dx hội tụ nên theo Định lý Weierstrass tích phân I1 hội tụ p ≤ − Đối với tích phân +∞ x cos x dx, xp + xq I2 := ta chứng minh I2 hội tụ không q > hội tụ q ≥ + với > 12 Vì vâỵ, theo dấu hiệu so sánh, I1 hội tụ β < 2, α = β < 1, α = b) Xét hội tụ tích phân thứ hai +∞ I2 := eαx − dx xβ Ta xét trường hợp sau đây: TH1 α = Ta có −1 , x → +∞ xβ f (x) ∼ Vì vậy, theo dấu hiệu so sánh, I2 hội tụ α = 0, β > phân kỳ α = 0, β ≤ √ TH2 α > Ta có xf (x) → +∞ x → +∞ Do đó, tồn A0 > cho √ Tức f (x) > √1 x xf (x) > 1, ∀ x ≥ A0 với x ≥ A0 Do +∞ √ dx x phân kỳ nên theo dấu hiệu so sánh, I2 phân kỳ với α > 0, β ∈ R TH3 α < Ta có x2 f (x) → +∞ x → +∞ Do đó, tồn A0 > cho x2 f (x) < 1, ∀ x ≥ A0 Tức f (x) < x2 với x ≥ A0 Do +∞ dx x2 hội tụ nên theo dấu hiệu so sánh, I2 hội tụ với α < 0, β ∈ R Kết luận: I hội tụ α < 0, β < phân kỳ trường hợp lại Bài (Năm 2012) Xét hội tụ tích phân suy rộng sau +∞ √ I := xp dx, p ∈ R ex − 13 Trước hết, ta viết I := xp √ x dx + e −1 +∞ √ xp dx ex − 1 a) Xét hội tụ tích phân thứ √ I1 := xp dx ex − Ta có f (x) := √ xp ∼ 1/2−p , x → 0+ x x e −1 Vì vâỵ, theo dấu hiệu so sánh, I1 hội tụ p > −1/2 b) Xét hội tụ tích phân thứ hai +∞ I2 := xp √ x dx e −1 Ta có x2 f (x) → +∞ x → +∞ Do đó, tồn A0 > cho x2 f (x) < 1, ∀ x ≥ A0 Tức f (x) < x2 với x ≥ A0 Do +∞ dx x2 hội tụ nên theo dấu hiệu so sánh, I2 hội tụ với p ∈ R Kết luận: I hội tụ p > −1/2 phân kỳ trường hợp lại Bài (Năm 2011) Xét hội tụ tích phân suy rộng sau +∞ sin x dx, α, β > + xβ I := xα Trước hết, ta viết +∞ sin x dx + α x + xβ I := sin x dx + xβ xα 14 Không tổng quát ta giả sử α ≤ β a) Xét hội tụ tích phân thứ sin x dx + xβ I1 := xα Ta có f (x) := sin x ∼ C α−1 , x → 0+ , β +x x xα C = α = β C = 1/2 α = β Vì vâỵ, theo dấu hiệu so sánh, I1 hội tụ α < b) Xét hội tụ tích phân thứ hai +∞ sin x dx + xβ I2 := xα Khi đó, ta có A sin xdx ≤ ∀A > 1 g(x) := 1/(xβ + xα ) đơn điệu hội tụ x → +∞ Theo Định lý Dirichlet, I2 hội tụ với α, β > Kết luận: I hội tụ < min{α, β} < phân kỳ trường hợp lại Bài (Năm 2011) Xét hội tụ tích phân suy rộng sau +∞ dx dx, α, β ∈ R xα (ln x)β I := Trước hết, ta viết +∞ dx + α x (ln x)β I= dx xα (ln x)β a) Xét hội tụ tích phân thứ dx xα (ln x)β I1 := 15 Vì ln x = ln(1 + (x − 1)) ∼ x − x → 1+ nên ta có f (x) := 1 ∼ , x → 1+ α β β x (ln x) (x − 1) Vì vâỵ, theo dấu hiệu so sánh, I1 hội tụ β < b) Xét hội tụ tích phân thứ hai +∞ dx I2 := xα (ln x)β Ta xét trường hợp sau TH1 α = Trong trường hợp ta có +∞ +∞ dx = x(ln x)β I2 = d ln x (ln x)β 2 Vì vâỵ, theo dấu hiệu so sánh, I2 hội tụ β > 1, α = TH2 α > Gọi γ số tùy ý thỏa mãn < γ < α Khi đó, xγ f (x) → x → +∞ nên tồn A > cho |f (x)| < 1/xγ với x ≥ A Mặt khác, tích +∞ phân dx (x)γ hội tụ nên theo dâu hiệu so sánh I2 hội tụ TH3 α < Gọi γ số tùy ý thỏa mãn > γ > α Khi đó, xγ f (x) → +∞ x → +∞ nên tồn A > cho |f (x)| > 1/xγ với x ≥ A Mặt khác, +∞ tích phân dx (x)γ phân kỳ nên theo dâu hiệu so sánh I2 phân kỳ Kết luận: I hội tụ α > 1, β < Bài (Năm 2010) 1) Xét hội tụ tích phân suy rộng sau +∞ I := sin(x2 ) dx, α ≥ xα (1 + x) 2) Cho hàm số f (x) xác định khoảng [a, +∞), đơn điệu dần x → +∞ +∞ +∞ f (x) cos2 xdx hội tụ f (x)dx Chứng minh tích phân a a phân kỳ 1) Dùng phép đổi biến t = x2 , ta có +∞ I= sin t t α + 12 (1 + √ dt t) 16 Trước hết, ta viết +∞ sin t 2I = t α + 12 √ dt + (1 + t) sin t t α + 12 (1 + √ dt t) a) Xét hội tụ tích phân thứ sin t I1 := t α + 12 (1 + √ dt t) Ta có sin t f (t) := t α + 12 (1 + √ t) ∼ tα/2−1/2 , t → 0+ Vì vâỵ, theo dấu hiệu so sánh, I1 hội tụ α < b) Xét hội tụ tích phân thứ hai +∞ sin t I2 := t α + 12 (1 + √ dt t) Khi đó, ta có A sin tdt ≤ ∀A > 1 g(t) := √ α t + (1+ t) đơn điệu hội tụ t → +∞ Theo Định lý Dirichlet, I2 hội tụ với α ≥ Kết luận: I hội tụ ≤ α < phân kỳ trường hợp lại 2) Ta có +∞ +∞ f (x) cos xdx = +∞ f (x)dx + 2 a a f (x) cos(2x)dx a +∞ f (x) cos(2x)dx hội tụ theo Định lý Dirichlet (bài tập!) nên Mặt khác, tích phân a +∞ +∞ f (x) cos2 xdx hội tụ phân f (x)dx tích phân suy rộng a a kỳ Bài (Năm 2009) Xét hội tụ tích phân suy rộng sau +∞ xα−1 eβx dx, α, β ∈ R I := 17 Trước hết, ta viết I= +∞ x α−1 βx xα−1 eβx dx e dx + a) Xét hội tụ tích phân thứ xα−1 eβx dx I1 := Ta có f (x) := xα−1 eβx ∼ x1−α , x → 0+ Vì vâỵ, theo dấu hiệu so sánh, I1 hội tụ α > b) Xét hội tụ tích phân thứ hai +∞ xα−1 eβx dx I2 := Ta xét trường hợp sau TH1 β = Trong trường hợp ta có +∞ dx x1−α I2 = Vì vâỵ, I2 hội tụ β = 0, α < TH2 β < Do x2 f (x) → x → +∞ nên tồn A > cho |f (x)| < 1/x2 +∞ dx x2 với x ≥ A Mặt khác, tích phân hội tụ nên theo dâu hiệu so sánh I2 hội tụ TH3 β > Do x1/2 f (x) → +∞ x → +∞ nên tồn A > cho +∞ |f (x)| > 1/x1/2 với x ≥ A Mặt khác, tích phân dx x1/2 phân kỳ nên theo dâu hiệu so sánh I2 phân kỳ Kết luận: I hội tụ α > 0, β < Bài (Năm 2006-2) 1) Xét hội tụ tích phân suy rộng sau +∞ e− x2 − e− x2 dx I := 18 2) Chứng minh tích phân +∞ sin(f (x))dx hội tụ f (x) đơn điệu tăng dần +∞ x → +∞ 1) Trước hết, ta viết +∞ − I= e x2 − −e x2 e− x2 − e− x2 dx dx + a) Xét hội tụ tích phân thứ 1 e− x2 − e− x2 dx I1 := Đặt f (x) := e− x2 − e− x2 Khi đó, limx→0+ f (x) = nên điểm x = bất thường khử I1 Vì vậy, I1 hội tụ b) Xét hội tụ tích phân thứ hai +∞ e− x2 − e− x2 dx I2 := Ta có f (x) ∼ x → +∞ x2 +∞ Hơn nữa, tích phân dx x2 hội tụ nên theo dâu hiệu so sánh I2 hội tụ Kết luận: I hội tụ α > 0, β < 2) Ta viết +∞ I := +∞ sin(f (x))dx = sin(f (x))f (x) dx f (x) A Kho đó, | sin(f (x))f (x)dx| = | cos f (0) − cos f (A)| ≤ với A > hàm g(x) := 1/f (x) đơn điệu dần x → +∞ nên, theo Định lý Dirichlet, tích phân I hội tụ 19 Bài (Năm 2006-1) Xét hội tụ tích phân suy rộng sau +∞ I := xα sin x dx, α ∈ R 1+x Trước hết, ta viết xα sin x dx + 1+x I := +∞ xα sin x dx 1+x a) Xét hội tụ tích phân thứ I1 := xα sin x dx 1+x Ta có f (x) := xα sin x ∼ −α−1 x → 0+ 1+x x Vì vâỵ, theo dấu hiệu so sánh, I1 hội tụ α > −2 b) Xét hội tụ tích phân thứ hai +∞ I2 := xα sin x dx 1+x Ta xét trường hợp sau: TH1 α < Trong trường hợp ta có A sin xdx ≤ ∀A > 1 g(x) := xα /(1 + x) đơn điệu hội tụ x → +∞ Theo Định lý Dirichlet, I2 hội tụ với α < TH2 α ≥ Ta chứng minh I2 phân kỳ Thật vậy, giả sử I2 hội tụ Khi đó, hàm g1 (x) := (1 + x)/xα đơn điệu bị chặn (|g1 (x)| ≤ ∀x ≥ 1) nên theo Định lý Abel, tích phân +∞ +∞ sin xdx = 1 xα sin x + x dx + x xα 20 hội tụ Điều vô lý tích phân thực tế phân kỳ (xem chứng minh trên) Kết luận: I hội tụ −2 < α < phân kỳ trường hợp lại Bài 10 (Năm 2005-2) Xét hội tụ tích phân suy rộng sau +∞ √ x cos(x3 ) dx x + 10 I := Dùng phép đổi biến t = x3 , ta có +∞ cos t √ √ dt t( t + 10) I= Trước hết, ta viết +∞ cos t √ √ dt + t( t + 10) 3I = cos t √ √ dt t( t + 10) a) Xét hội tụ tích phân thứ cos t √ √ dt t( t + 10) I1 := Ta có cos t f (t) := √ √ ∼ 1/2 , t → 0+ t t( t + 10) Vì vâỵ, theo dấu hiệu so sánh, I1 hội tụ b) Xét hội tụ tích phân thứ hai +∞ cos t √ √ dt t( t + 10) I2 := Khi đó, ta có A cos tdt ≤ ∀A > 1 g(t) := hội tụ √ √ t( t+10) đơn điệu hội tụ t → +∞ Theo Định lý Dirichlet, I2 21 Kết luận: I hội tụ Bài 11 (Năm 2005-1) Xét hội tụ tích phân suy rộng sau +∞ sin x I := (x − a)(x − b) dx (b > a > 0) b Trước hết, ta viết +∞ c sin x I= (x − a)(x − b) sin x dx + (x − a)(x − b) c b dx (c > b) a) Xét hội tụ tích phân thứ c sin x I1 := (x − a)(x − b) dx b Ta có f (x) := sin x (x − a)(x − b) ∼ sin b (b − a)(x − b) , x → b+ Vì vâỵ, theo dấu hiệu so sánh, I1 hội tụ b) Xét hội tụ tích phân thứ hai +∞ sin x I2 := (x − a)(x − b) c dx Khi đó, ta có A sin xdx ≤ ∀A > c g(x) := √ (x−a)(x−b) đơn điệu hội tụ x → +∞ Theo Định lý Dirichlet, I2 hội tụ Kết luận: I hội tụ Bài 12 (Năm 2004) Xét hội tụ tích phân suy rộng sau +∞ I := ln2 x dx, α ∈ R xα 22 Trước hết, ta viết I= ln2 x dx + xα +∞ ln2 x dx xα a) Xét hội tụ tích phân thứ I1 := ln2 x dx xα Ta xét trường hợp sau: TH1 α = Trong trường hợp ta có ln2 xd ln x = I1 = ln x = +∞ 0 Vì vâỵ, I1 phân kỳ α = TH2 α > Chọn < γ < α Do xγ f (x) → +∞ x → 0+ nên tồn < η0 < 1 cho |f (x)| > 1/xγ với x ≥ η0 Mặt khác, tích phân dx xγ phân kỳ nên theo dâu hiệu so sánh I1 phân kỳ TH3 α < Chọn > γ > α Do xγ f (x) → x → 0+ nên tồn < η0 < 1 cho |f (x)| < 1/xγ với x ≥ η0 Mặt khác, tích phân hiệu so sánh I1 hội tụ b) Xét hội tụ tích phân thứ hai +∞ I2 := ln2 x dx xα Ta xét trường hợp sau: TH1 α = Trong trường hợp ta có +∞ ln2 xd ln x = I2 = Vì vâỵ, I2 phân kỳ α = 1 ln x +∞ = +∞ dx xγ hội tụ nên theo dâu 23 TH2 α > Chọn < γ < α Do xγ f (x) → x → +∞ nên tồn A > +∞ dx xγ cho |f (x)| < 1/xγ với x ≥ A Mặt khác, tích phân hội tụ nên theo dâu hiệu so sánh I2 hội tụ TH3 α < Chọn > γ > α Do xγ f (x) → +∞ x → +∞ nên tồn A > +∞ cho |f (x)| > 1/xγ với x ≥ A Mặt khác, tích phân dx xγ phân kỳ nên theo dâu hiệu so sánh I2 phân kỳ Kết luận: I1 hội tụ α < 1, I2 hội tụ α > I = I1 + I2 phân kỳ Bài 13 (Năm 2003) Xét hội tụ tích phân suy rộng sau +∞ √ x ln2 x dx, α ∈ R + xα I := Trước hết, ta viết √ x ln2 x dx + + xα I= +∞ √ x ln2 x dx + xα a) Xét hội tụ tích phân thứ I1 := √ x ln2 x dx + xα Do f (x) → x → 0+ nên x = điểm bất thường khử Vậy, I1 hội tụ b) Xét hội tụ tích phân thứ hai +∞ √ x ln2 x dx + xα I2 := Ta xét trường hợp sau: TH1 α = 3/2 Trong trường hợp ta có +∞ ln2 xd ln x = I2 = 1 ln x +∞ = +∞ 24 f (x) ∼ ln2 x x x → +∞ Do đó, I2 phân kỳ α = 3/2 TH2 α > 3/2 Chọn < γ < α − 1/2 Do xγ f (x) → x → +∞ nên tồn +∞ A > cho |f (x)| < 1/xγ với x ≥ A Mặt khác, tích phân dx xγ hội tụ nên theo dâu hiệu so sánh I2 hội tụ TH3 α < 3/2 Chọn > γ > α − 1/2 Do xγ f (x) → +∞ x → +∞ nên tồn +∞ A > cho |f (x)| > 1/xγ với x ≥ A Mặt khác, tích phân nên theo dâu hiệu so sánh I2 phân kỳ Kết luận: I hội tụ α > 3/2 Bài 14 (Năm 2003-1) Xét hội tụ tích phân suy rộng sau +∞ I := xα sin(2x) dx, α ∈ R + x2 Trước hết, ta viết I := xα sin(2x) dx + + x2 +∞ xα sin(2x) dx + x2 a) Xét hội tụ tích phân thứ I1 := xα sin(2x) dx + x2 Ta có xα sin(2x) ∼ −α−1 x → 0+ 1+x x Vì vâỵ, theo dấu hiệu so sánh, I1 hội tụ α > −2 f (x) := b) Xét hội tụ tích phân thứ hai +∞ I2 := xα sin(2x) dx + x2 Ta xét trường hợp sau: TH1 α < Trong trường hợp ta có A sin xdx ≤ ∀A > 1 dx xγ phân kỳ 25 g(x) := xα /(1 + x2 ) đơn điệu hội tụ x → +∞ Theo Định lý Dirichlet, I2 hội tụ với α < TH2 α ≥ Ta chứng minh I2 phân kỳ Thật vậy, giả sử I2 hội tụ Khi đó, hàm g1 (x) := (1 + x2 )/xα đơn điệu bị chặn (|g1 (x)| ≤ ∀x ≥ 1) nên theo Định lý Abel, tích phân +∞ +∞ sin(2x)dx = xα sin(2x) + x2 dx + x2 xα hội tụ Điều vô lý tích phân thực tế phân kỳ (xem chứng minh trên) Kết luận: I hội tụ −2 < α < phân kỳ trường hợp lại Bài 15 (Năm 2002) Xét hội tụ tích phân suy rộng sau +∞ I := sin2 (2x) dx x Trước hết, ta viết I := +∞ sin2 (2x) dx + x sin2 (2x) dx x a) Xét hội tụ tích phân thứ I1 := sin2 (2x) dx x Do limx→0 sin2 (2x) x = nên x = điểm bất thường khử Vì vậy, I1 hội tụ b) Xét hội tụ tích phân thứ hai +∞ I2 := sin2 (2x) dx = x +∞ Do tích phân phân kỳ nên I2 phân kỳ Kết luận: I phân kỳ +∞ 1 dx − x +∞ dx x +∞ cos(4x) dx x cos(4x) dx x hội tụ (theo Định lý Dirichlet-Bài tập) 26 Bài 16 (Năm 2000) Xét hội tụ tích phân suy rộng sau +∞ I := (x + 1)α sin x dx, α, β ∈ R (x − 1)β Trước hết, ta viết I := (x + 1)α sin x dx + (x − 1)β +∞ (x + 1)α sin x dx (x − 1)β a) Xét hội tụ tích phân thứ I1 := (x + 1)α sin x dx (x − 1)β Ta có f (x) := 2α sin (x + 1)α sin x ∼ x → 1+ (x − 1)β (x − 1)β Vì vâỵ, theo dấu hiệu so sánh, I1 hội tụ β < b) Xét hội tụ tích phân thứ hai +∞ I2 := (x + 1)α sin x dx (x − 1)β Ta xét trường hợp sau: TH1 α < β Trong trường hợp ta có A sin xdx ≤ ∀A > 1 g(x) := (x + 1)α /(x − 1)β đơn điệu hội tụ x → +∞ Theo Định lý Dirichlet, I2 hội tụ với α < TH2 α ≥ β Ta chứng minh I2 phân kỳ Thật vậy, giả sử I2 hội tụ Khi đó, hàm g1 (x) := (x − 1)β /(x + 1)α đơn điệu bị chặn nên theo Định lý Abel, tích phân +∞ +∞ sin xdx = (x + 1)α sin x (x − 1)β dx (x − 1)β (x + 1)α hội tụ Điều vô lý tích phân thực tế phân kỳ (xem chứng minh trên) Kết luận: I hội tụ α < β < ... tụ tích phân thứ hai +∞ I2 := sin2 (2x) dx = x +∞ Do tích phân phân kỳ nên I2 phân kỳ Kết luận: I phân kỳ +∞ 1 dx − x +∞ dx x +∞ cos(4x) dx x cos(4x) dx x hội tụ (theo Định lý Dirichlet-Bài tập)... x xα 20 hội tụ Điều vô lý tích phân thực tế phân kỳ (xem chứng minh trên) Kết luận: I hội tụ −2 < α < phân kỳ trường hợp lại Bài 10 (Năm 200 5-2 ) Xét hội tụ tích phân suy rộng sau +∞ √ x cos(x3... Nếu +∞ g(x)dx phân kỳ f (x)dx phân kỳ a a +∞ Ví dụ 1.1.8 Xét hội tụ tích phân x+2014 sin x+2015 dx x2 +cos x+2016 Ta có +∞ x x → +∞ phân kỳ x+2014 sin x+2015 x2 +cos x+2016 ∼ +∞ dx x phân kỳ Vì